STEP 4

P (s )= R(s)Θ(s )

= mgd

L( JR2

+m)

1s2

[ mrad

] (1)

C ( s)=K p+K i

s+K d s=

K d s+K p s+K i

s(2)

C (s ) merupakan SRV02 Compensator dan P(s) merupakan SRV02 Plant

Ingat bahwa definisi standar untuk waktu puncak adalah t p dan persen terlampaui, PO adalah:

t p=π

ωn√1−ζ 2

Dan PO=100 exp( −π ζ√1−ζ 2 )

Jika pada persamaan PO=5.0% , maka dapat dihitung rasio redaman yang diperlukan untuk memperoleh persentaseyang melampaui sesuai yang diinginkan. Maka:

ζ=0.690

Dan frekuensi alami minimum yang diperlukan untuk mencapai puncak waktu yang diinginkan, dengan persamaan t p=0.15 s, adalah:

ωn=28.9 rad /s

Maka, dapat menemukan gains kontrol yang diinginkan

a. Persamaan GerakMekanisme bola dan balok sistem penelitian ini memiliki dua DOFs, yang ditunjukkan pada Gambar 2, skematik. Dalam rangka untuk menurunkan persamaan Euler-Lagrange, langkah pertama adalah untuk menentukan kinetik (1) dan energi potensial (2) untuk bola dan balok.

K=12

mB r2+ 12

J B( rR )

2

+12 (J B+mB r2 ) ∝2+ 12 Jb ∝2 (1)

P=12mb g sin∝+mBgr sin∝ (2)

di mana parameter mB ,mb, Jb dan R adalah bola dan balok massa, saat balok inersia dan radius bola, masing-masing; juga g dan l adalah percepatan gravitasi dan panjang balok; variabel r dan α adalah gerak linear dari bola sepanjang balok dan balok sudut. Perbedaan antara energi kinetik dan potensial disebut fungsi Lagrange, yang didefinisikan oleh persamaan L (3).

L=K Kinetic−PPotential (3)Persamaan dinamika mewakili pengaruh variasi variabel sistem ditunjukkan pada persamaan (4). Menurut persamaan (4), persamaan (5) dan (6) menunjukkan persamaan dinamis untuk dua DOFs bola dan balok sistem.

ddt ( ∂ L

∂ q )−∂ L∂q

=Q (4)

(mB+J B

R2 ) r−mB ∝2 r+mB g sin∝ (5)

(J B+Jb+mB r2 )∝+2mB r r ∝+( 12 mB+mB r )gcos∝=τ (6)

di mana τ adalah torsi yang dihasilkan oleh motor diterapkan di ujung balok.

b. Linierisasi sekitar Operasi-Titik-SistemDalam rangka untuk mencari pendekatan linear dari persamaan dinamis, metode linierisasi Jacobian digunakan. Output dari prosedur Jacobian adalah persamaan ruang keadaan dalam format linear. Teori matematika metode linierisasi harus diterapkan di negara ruang format.The dinamika linear persamaan bola dan balok sistem dapat disajikan dalam realisasi ruang keadaan [12] sebagai berikut.

˙x (t)=Ax (t)+BV (t)

y (t )=Cx(t )+DV (t ) (7)

x1=∝ x2=r x3=∝ x4=r (8)

di mana matriks A mendefinisikan sifat dinamis dari sistem; dan matriks B mendefinisikan posisi dan sifat dari sistem aktuator; matriks C mendefinisikan hubungan antara negara dan output dari sistem; matriks D sama dengan nol.

Linierisasi Jacobian memberikan persamaan dinamis linear sekitar titik operasi, yang dipilih untuk menjadi di tengah-tengah balok. Akibatnya, perumusan ruang negara harus berasal sekitar titik operasi. Salah satu asumsi utama yang digunakan untuk menurunkan persamaan state-space adalah untuk menentukan titik operasi dari sistem. Perlu dicatat bahwa semua negara, input dan output dengan bintang (*) tanda sesuai dengan titik operasi dari sistem, yang ditunjukkan sebagai berikut:

∆ x=A ∆ x+B∆u

∆ y=C∆ x+D∆u (9)

∆ x=[∆ x1..

∆ xn]=[ x1−x1

¿

.

.xn−xn

¿ ] (10)

∆u=u−u¿ ∆ y= y−h (x¿¿¿ ,u¿)¿

x1¿=0 x2

¿=δ x3¿=0 x4

¿=0

Persamaan dinamis sistem dinyatakan dalam format mana f (x) diberikan dalam persamaan (11-14).

f 1=x1 (11)

f 2=x4 (12)

f 3=−2mB x2 x3 x4−mBx2g−mb gl+τ

Jb+mB x22 (13)

f 4=5 x3

2 x2−5 g x17

(14)

Berdasarkan metode Jacobian, matriks A dan B dapat diberikan sebagai persamaan (15) dan (16). Matriks C dan D tidak memiliki istilah nonlinier, sehingga karakteristik dari matriks yang disebutkan di atas tidak berubah. Matriks C dan D disajikan dalam persamaan (17) dan (18).

A=[ ∂ f j

∂ xi ]x1¿ ,x2¿ , x3¿ , x4¿ τ¿ i=1−4 j=1−4 (15)

B=¿ j=1−4 (16)

C=I 4 x4 (17)

D=0 (18)

Beban statis diperlukan dalam titik operasi ditentukan oleh τ ¿:

τ ¿=g(mb l2

+mBr ) (19)

Model laboratorium bola dan balok sistem memiliki dua sensor untuk mengukur variasi setiap DOF dan motor DC sebagai aktuator. Aktuator ini terhubung ke gearbox dengan tiga gigi sederhana dan lengan tuas. Balok terhubung ke sisi lain dari gearbox dengan mekanisme yang ditunjukkan pada Gambar 1. Akibatnya, masukan dari bola dan balok kontrol sistem tegangan. Akibatnya, relasi harus ditetapkan antara torsi dan tegangan dalam sistem bola balok. Dengan demikian, masukan dari model ruang keadaan berubah dengan tegangan motor DC. Persamaan dasar untuk perilaku dinamis dari motor ditunjukkan dalam persamaan (20) dan (21).

Lm I+Rm I+Km θmotor=V (20)

τ motor=K i I (21)

di mana V dan saya adalah tegangan motor dan saat ini masing-masing, θmotor adalah sudut motor, Lm, Rm, Kmdan K i adalah motor konstan, Lm adalah diasumsikan adalah nol.

Dengan mensubtitusi persamaan (20) ke dalam persamaan (21), formulasi untuk mewakili hubungan torsi motor dan tegangan dapat ditunjukkan dalam persamaan (22).

τ beam=K g K iη total

Rm

Ld

V −K g2K i Kmηtotal

Rm

L2

d2α (22)

Dengan menggantikan persamaan (22) ke dalam persamaan (6), sistem input berubah dari torsi ke tegangan. Didasarkan pada asumsi, tegangan V* harus ditetapkan untuk jalur operasi, yang ditunjukkan dalam persamaan (23). Persamaan ruang keadaan dapat diperoleh dengan menerapkan persamaan (15) dan (16) sekitar V* dan nilai awal di titik operasi.

V ¿=( L2

mb g+mB gδ ) RmLd Kg K i ηtotal

(23)

A=[0 00 0

1 00 1

0−mBJb g+mB

2 gδ 22

(J b+mBδ22 )2

−5g7

0

−K g2 K iKmηtotal

Rm (J b+mBδ 22)

. l2

d20

0 0] (24)

B=[0 0−K g K i ηtotal

Rm (Jb+mBδ22 )

. ld

0

0 0

0]T

(25)