RUAS GARIS BERARAH

9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana

Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian

tentang ruas garis berarah sebagai berikut:

Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu

ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan

titik akhir.

Apabila A dan B dua titik, lambang kita gunakan sebagai ruas garis

berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Dengan dan AB melukiskan

dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa menggambarkan sinar atau

setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B.

Dua ruas garis dan disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB

= CD, dan tidak perlu sama; adalah sebuah himpunan sedangkan

AB adalah bilangan real. Jika dan kongruen ditulis .

Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah dan . Dalam

membandingkan dua ruas garis berarah dan tidaklah sukup, jika AB =

CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas

garis berarah ekivalen dengan ruas garis berarah yang ditulis sebagai

= .

Definisi: = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah .

Teorema 9.1:

Andaikan dan dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4

ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika = .

Bukti:

Akan ditunjukkan jika dan adalah dua ruas garis berarah yang tidak

segaris maka ABCD jajargenjang = .

Untuk menunjukkan hal tersebut pertama akan ditunjukkan jika ABCD

sebuah jajargenjang dengan dan adalah dua ruas garis berarah yang

tidak segaris maka = . Selanjutnya akan dibuktikan jika =

maka ABCD jajargenjang dengan dan adalah 2 ruas garis berarah

yang tidak segaris.

() Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajargenjang dengan dan

adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka =

Andaikan ABCD sebuah jajargenjang,

maka diagonal-diagonal dan berpotongan di tengah-tengah,

misalkan di titik P, sehingga Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah

maupun . Berdasarkan definisi keekivalenan, diperoleh =

.

() Akan dibuktikan jika = maka ABCD jajargenjang dengan

dan adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.

Andaikan = .

Buat titik tengah , misalkan titik P,

Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.

Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.

Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah

segiempat ABCD. Dengan dan adalah diagonal-diagonal

segiempat ABCD yang terbagi sama panjang di P.

Akibatnya segiempat ABCD adalah sebuah jajargenjang.

Akibat Teorema 9.1:

Jika = maka AB = CD dan dan sejajar atau segaris.

Bukti:

Akan dibuktikan = = dan dan sejajar atau segaris.

Andaikan =

Kasus :

Karena = , menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan P

adalah titik tengah , sehingga BP = PC.

Pilih titik P pada perpanjangan .

Karena Sp(A) = D, artinya AP = PD

diperoleh AP = PD AB + BP = PC + CD

Karena BP = PC, maka AB = CD.

Buat garis yang melalui titik A dan D

diperoleh dan sehingga dan

karena segaris dengan maka segaris dengan .

Kasus :

Karena = , maka tidak segaris

Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajargenjang,

menurut karakteristik jajargenjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama

panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.

Karena // , dan maka // .

Teorema 9.2:

Diketahui ruas-ruas garis berarah , , dan maka

1. = (sifat reflexi);

2. jika = maka = (sifat simetrik);

3. jika = dan = maka = (sifat transitif).

Bukti:

1. Akan dibuktikan = (sifat reflexi)

Misalkan P adalah titik tengah , maka Sp(A) = B

Menurut definisi keekivalenan diperoleh = .

2. Akan dibuktikan jika = maka = (sifat simetrik)

Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang,

diagonal-diagonal dan membagi sama panjang di P,

maka P dalah titik tengah

akibatnya Sp(C) = B

menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah

maka = .

3. Akan dibuktikan jika = dan = maka = (sifat

transitif):

Diperoleh = apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah

Diperoleh = apabila Sq(C) = F dengan Q titik tengah

Menurut teorema 9.1 jika = maka segiempat ABCD jajargenjang

sehingga // dan // akibatnya // .

Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika = maka AB = CD,

jika = maka CD = EF

Akibatnya AB = EF.

Karena AB = EF dan // maka ABFE jajargenjang.

Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka // .

Teorema 9.3:

Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah maka ada titik

tunggal Q sehingga = .

Bukti:

Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga =

Andaikan ada titik Q

misal R adalah titik tengah dengan Sp(A) = Q maka =

Menurut teorema 9.2 (2) maka =

Akan dibuktikan Q tunggal,

Andaikan ada titik T sehingga =

Karena R titik tengah maka SR(A) = T

Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga =

Akibat 1:

Jika

Jika ( , ), ( , ), dan ( , ) titik-titik yang diketahui maka

titik ( + , + ) adalah titik tunggal sehingga

= .

Andaikan P bukan titik tungga maka artinya 0

diperoleh =( ) ( )

= [( + , + ) ( , )] [( , ) ( , )]

= [( + , + )] [( , )]

= ( , ) ( , )

= (0,0)

= 0.

Akibat 2:

Jika = ( , ), = 1,2,3, maka =

= , =

() Akan dibuktikan jika Jika = ( , ), = 1,2,3, maka

= = , =

Karena = maka = sehingga =

[( , ) ( , )] = [( , ) ( , )]

( , ) = ( , )

menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d)

jika dan hanya jika = dan =

diperoleh = dan =

() Akan ditunjukkan jika = , = maka

Jika = ( , ), = 1,2,3, maka =

Dipunyai = , = maka dapat dibuat

titik yang sama misalkan R dan S, dengan = ( , )

dan = ( , )

misalkan R = S ( , ) = ( , )

[( , ) ( , )] = [( , ) ( , )]

=

= =

Jadi jika = , = maka Jika =

( , ), = 1,2,3, maka =

Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar

Definisi:

Andaikan sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka

k adalah ruas garis berarah sehingga dan AP = k (AB) jika

k>0.

Apabila k

SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN

1. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?

a. =

b. ( ) =

c. ( ) = ( )

d. Jika = ( ) maka = 2

e. Jika = ( ) dan = ( ), maka =

Jawab:

a. Benar

b. Benar

c. Benar

d. Benar

e. Benar

2. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:

a. R sehingga =

b. S sehingga =

c. T sehingga =

Jawab:

a. R sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka AR = BC sehingga

= = +

= 24 53 +

00 =

71

Jadi R = (-7,1).

b. S sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka CS = AB sehingga

= = +

= 53 00 +

24 =

37

Jadi R = (3,7).

c. T sehingga =

Berdasarkan teorema akibat jika = maka TB = AC sehingga

= = +

= 53 24 +

00 =

71

Jadi R = (7,-1).

3. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:

a. D sehingga CD = AB

b. E sehingga AE = BC

c. F sehingga AF =

Jawab:

a. D sehingga CD = AB

Karena CD = AB maka =

= +

= 34 21 +

15 =

00

Jadi D (0,0).

b. E sehingga AE = BC

Karena AE = BC maka =

= +

= 15 34 +

21 =

210

Jadi E (-2,10). c. F sehingga AF =

Karena AF = maka =

=12 +

=12

15

21 +

21 =

123

Jadi koordinat E adalah ( ,3).

4. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram

ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.

Jawab:

Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K

adalah titik tengah BC dan AD.

Karena K titik tengah BC maka = , = , = ,

Karena K titik tengah AD maka = ,

12 ,

112 =

1 +2 ,

3 +2

1 +

2 =12 1 + = 1 = 0

3 +

2 =112 3 + = 11 = 8

Jadi koordinat D adalah (0,8).

5. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang

ABCD, tentukan h dan k.

Jawab:

Karena ABCD jajargenjang maka = dan =

Dari = menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka

=

3 24 =

30

5 + 21 =2

Sehingga diperoleh + 2 = 2 = 4 dan = 1 = 1.

6. Jika A(-h,-k), B(5,-23), C(k,83) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga

= , tentukan h dan k.

Jawab:

Karena = maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD

sehingga

= 5 + 23 +

= 9 83

5 + = 9 + = 14 ... (1)

23 + = 83 @ = 63 ...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 33 dan h = - 7 + 33.

7. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi?

a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.

b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.

c.