Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

KELOMPOK 2 :1.AFWANIL HUDA NST2.ADE YOLANDA3.DAMAYANTI DAMANIK

Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut

dalam RHD Basis ortonormal : Metode Gramm-Schimdt Perubahan basis

Hasil kali dalamDefinisi : adalah fungsi yang mengkaitkan setiap

pasangan vektor di ruang vektor V ( misalkan vektor u dan v dengan notasi <u, v> )dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini :

1. Simetris : <u, v> = <v , u>2. Aditivitas : <u+ v , w> = <u, w> + <v , w>3. Homogenitas : <ku, v> = k<u, v> , k : scalar4. Positivitas : <u, v> ≥ 0 dan ( <u, u> = 0 u = 0)Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam

disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD

Contoh soal :1. Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3

merupakan hasil kali dalam !Jawab :

Misalkan : a (a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3) dan c (c 1, c 2, c 3) berada dalam R3.

Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma

hasil kali dalam yaitu :1. Simetri : <a , b> = (a .b) = (a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3) = (b 1a 1 + b 2a 2 + b 3a 3) = <b ,a > (terpenuhi) 

2. Aditivitas :<a +b , c> = ((a + b) . c )= ((a 1+b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3) . (c 1, c 2, c 3))= ((a 1c 1 + b 1c 1) + (a 2c 2 + b 2c 2) + (a 3c 3 + b 3c 3))= (a 1c 1 + a 2c 2 + a 3c 3) + (b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3)= <a ,c> + <b ,c> (terpenuhi)

3. Homogenitas : <ka , b> = (ka . b) = (ka 1b 1 + ka 2b 2 + ka 3b 3)= k(a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3)= k(a . b) = k< a , b > (terpenuhi)

4. Positivitas : <a , a > = (a . a ) = (a 1

2 + a 22 + a 3

2)≥ 0 terpenuhi)

dan <u,u> = (a 1

2 + a 22 + a 3

2)= 0 u =(0,0,0) = 0 (terpenuhi)

2. Diketahui <u,v> = a d + c f dengan u = (a ,b ,c ) dan v = (d ,e ,f). Apakah <u,v> tersebut merupakan

hasil kali dalam ? Jawab :Akan ditunjukkan apakah <u,v> memenuhi 4

aksioma hasil kali dalam berikut ini :

1. Simetri

<u, v> = a d + c f

= da + fc

= <v , u> (terpenuhi)

 2. Aditivitas

Misalkan w = (g , h, i)

<u + v , w> = ((a + d , b + e , c + f), (g ,h,i))

= (a + d )g + (c + f)i

= (a g + c i) + (dg + fi)

= <u, w> + <v , w> (terpenuhi)

3. Homogenitas <ku, v> = (ka d + kc f) = k(a d + c f) = k<v , u> (terpenuhi)4. Positivitas<u , u> = (u. u) = (a 2 + c 2) ≥0 (terpenuhi) dan<u,u> = (a 2 + c 2) = 0 tidak selalu u =(0,0,0), karena nilai u =(0,b ,0) dengan b ≠0, maka nilai <u,u> = 0 tidak

terpenuhi

Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka <u, v> = a d+ c f dengan dengan u = (a ,b ,c ) dan v = (d ,e ,f) bukan merupakan hasil kali dalam

Panjang vektor, jarak antar vektor dan besar sudut dalam RHD

Jika V merupakan ruang hasil kali dalam, u,v dalam V, maka :

a. Panjang u = <u, u>1/2

b. Jarak u dan v : d (u, v) = <u – v , u – v >1/2

c. Misalkan sudut θ dibentuk antara u dan v dalam RHD,

maka :

jika u dan v saling tegak lurus, maka

,cos

u v

u vθ < >=

2 2 2u v u v+ = +

Bukti :

Contoh soal :Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam <u, v> = (u 1v 1 + 2 u 2v2 + u 3v3) dengan u =(u 1,u 2,u 3), v =(v 1,v 2,v 3). Jika vektor-vektor a , b dalam V

dengan a = (1,2,3) dan b = ( 1,2,2), tentukan :a. Besar cos Ѳ dengan Ѳ adalah sudut antara a

dan bb. Jarak antara a dan b !

2

2 2

,

, ,

, , 2 ,

u v u v u v

u v u u v v

u u v v u v

u v

+ =< + + >=< + > + < + >=< > + < > + < >

= +

Jawab :

a.

b. Jarak a dan b : d (a , b) = <a – b , a – b >1/2

(a – b ) = (0,0,1)

( ) ( )2 2 2 2 2 2

, 1.1 2.(2.2) 2.3cos

1 2.2 3 1 2.2 2

15 15

18 13 234

a b

a bθ < > + += =

+ + + +

= =

12( , ) ,

0.0 2.(0.0) 1.1 1

d a b a b a b=< − − >

= + + =

Basis ortonormalDiketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1 , v 2 … … . , v n adalah vektor-vektor dalam V

Beberapa definisi pentinga . H = {v 1 , v 2 … … . , v n} disebut himpunan o rto no rm a l

bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu <v i, v j> = 0 untuk i ≠ j dan i, j = 1,2,…..,n

b . G = {v 1 , v 2 … … . , v n} disebut himpunan ortonormal bila :

- G himpunan ortogonal- Norm dari v i = 1, i = 1,2,….n atau <v i, v i>=1

Proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor.

H = {v 1, v 2, ….., v n} adalah himpunan vektor bebas linier dari ruang vektor dengan dim≥n dan S = {w 1, w 2, ….., w n} merupakan himpunan yang ortonormal.

Jika W adalah ruang yang dibangun oleh w 1, w 2, …., w n, maka untuk setiap vektor z 1 dalam w 1 dapat dituliskan sebagai : dengan k1 , k2 , … . , kn :skalar.

z 1 = k1 w 1 + k2w 2 + …. + knw n

Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 2 vektor yang saling tegak lurus :

Karena z 1 dalam W, maka z 1 merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W. Sedangkan z 2 merupakan komponen u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z 1 perlu ditentukan nilai k1 yang merupakan panjang u terhadap w 1.

Proyeksi ortogonal u terhadap w1 adalah :

w1, w2, ……, wn merupakan vektor-vektor ortonormal.

proy w1(u) = <u, w1>

u = z 1 + z 2 .

Jadi penulisan proyeksi ortogonal u terhadap W adalah :

(w 1, w 2, ……, w n merupakan himpunan vektor ortonormal)

Komponen u yang tegak lurus terhadap W dituliskan sebagai :

Proyw (u) = z 1

= <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn

z2 = u – z1

= u – <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn

Metode Gramm – Schmidt

Mengubah suatu himpunan vektor yang bebas

linier menjadi himpunan yang ortonormal

Syarat : Himpunan yang ditransformasikan ke

himpunan ortonormal adalah yang bebas linier.

Jika yang ditransformasikan adalah himpunan

vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V,

maka metode G ra m m – Schm id t akan

menghasilkan basis ortonormal untuk V

Jika diketahui K = {v 1, v 2, …..,v n} merupakan himpunan yang

bebas linier, maka K dapat diubah menjadi himpunan S = {w 1,

w 2, …..,w n} yang ortonormal dengan menggunakan metode

Gramm – Schimdt yaitu :

1. , ini proses normalisasi yang paling sederhana

karena melibatkan hanya 1 vektor saja.

Pembagian dengan bertujuan agar w 1 memiliki panjang

= 1, pada akhir langkah ini diperoleh bahwa w 1 ortonormal

11

1

vw

v=

1v

2.

Pada akhir langkah ini diperoleh dua vektor w1 dan w2 yang ortonormal.

3. ...n.

2 2 1 12

2 2 1 1

,

,

v v w ww

v v w w

− < >=− < >

3 3 1 1 3 2 23

3 3 1 1 3 2 2

, ,

, ,

v v w w v w ww

v v w w v w w

− < > − < >=− < > − < >

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

, , .... ,

, , .... ,n n n n n n

nn n n n n n

v v w w v w w v w ww

v v w w v w w v w w− −

− −

− < > − < > − < >=− < > − < > − < >

Secara umum :

W merupakan ruang yang dibangun oleh w 1, …., w i-1

Pada metode ini, pemilihan v1, v2, …., vn tidak harus mengikuti

urutan vektor karena basis suatu ruang vektor tidak tunggal.

Jadi dengan mengubah urutan v1, v2, …., vn sangat

memungkinkan diperoleh jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari v1, v2, …., vn yang disarankan adalah

yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu <vi,

vj>= 0.

Dalam kasus ini bisa diambil v1 = vi dan v2 = vj dan seterusnya.

( )

( )i w i

ii w i

v proy vw

v proy v

−=−

Contoh soal :Diketahui H = {a , b , c } dengan a = (1, 1, 1), b = ( 1, 2,

1) dan c (- 1, 1, 0). a) Apakah H basis R3 ? b) Jika ya, transformasikan H menjadi basis ortonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides !

Jawab :a) Karena dim (R3) = 3 dan jumlah vektor dalam H =

3, maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R3 atau bukan yaitu dengan cara menghitung determinan matrik koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R3. Jika det = 0 berarti H bukan merupakan basis R3, sedangkan jika det ≠ 0, maka vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R3, sehingga H merupakan basis R3.

Matrik koefisien dari SPL adalah :

Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, didapatkan :

Karena det = 1, berarti H merupakan basis dari R3

b) Hasil kali dalam antara a , b dan c <a , b>=4, <a , c> 0, <b , c > = 1Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil : v 1 = a , v 2 = b , v 3

= c

1 1 -1

1 2 1

1 1 0

1 1 -11 -1 1 -1

1 2 1 3 2 12 1 1 1

1 1 0

= − = − =

{Karena <a,c> = 0 maka <c,w1> }

1

(1,1,1)1.

3

aw

a= =

1 12

1 1

, ( 1,1,0)2.

, 2

c c w w cw

c c w w c

− < > −= = =− < >

, ,0

c a a c

a a

< > < >= = =

1 1 2 23

1 1 2 2

1 13 2

1 13 2

, ,3.

, ,

, ,

, ,

b b w w b w ww

b b w w b w w

b b a a b c c

b b a a b c c

− < > − < >=− < > − < >− < > − < >=− < > − < >

16

1 1 1163 2 6

13

1 1 1 14 1

, , 2 1 1 13 2

1 1 0 - -2

b b a a b c c

− − < > − < > = − − = =

1 13 2

6 1, ,

6 6b b a a b c c− < > − < > = =

13 6

1

Jadi 1

-2

w s

=

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal

Diketahui V RHD dan H = {v 1 , v 2 , … . , v n} dalam V merupakan

ortogonal dengan v1≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan

ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s1, s2, …., sn}

dengan

Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm –

Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proyw(vi) = 0,

akibat dari

v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Proses untuk

mendapatkan vektor yang ortonormal disebut

menormalisasikan vektor.

Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal

dari V

, 1, 2,......ii

i

vs i n

v= =

Contoh soal :Diketahui a, b, c dalam R3 dengan a = (2,-1,1), b = (2,

5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R3 merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal !

 Jawab : <a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 02 2 22 ( 1) 1 6a = + − + = 2 2 22 5 1 30b = + + =

2 2 2( 1) 0 2 5c = − + + =

Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R3) = 3 jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R3.

Misalkan :

Basis ortonormal untuk R3 adalah :

11 6

(2, 1,1)a

sa

= = − 12 30

(2,5,1)b

sb

= =

13 5

( 1,0,2)c

sc

= = −

{ }1 1 16 30 5

(2, 1,1), (2,5,1), ( 1,0, 2)− −

Perubahan basis

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis

Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B

Gambar di atas menunjukkan 2 sistem koordinat dalam R2

yang berbeda yaitu : basis B = {u 1, u 2} dan basis C = {v 1, v 2}Dengan :

x

y

x

y

u1

u2

3u2

x x

6v1v1

v2

-v2

(a) (b)

1 2 1 1

-1 2 1 1, , ,

2 -1 0 1u u v v

= = = =

Untuk vektor x yang sama pada setiap sistem koodinat, maka penulisan koordinat vektor x yang sesuai dengan B dan C adalah :

Untuk menghitung x dengan mengunakan

x = u 1 + 3 u 2 =

Dengan menuliskan bentuk u1 dan u2 ke v1 dan v2 diperoleh :

x = (-3v1 + 2v2) + 3(3v1 –v2) = 6v1 – v2

[ ] [ ]1 6 dan

3 -1B Cx x

= =

[ ] Bx diperoleh :

-1 2 53

2 -1 -1

+ =

1 1 2

-1 1 13 2 3 2

2 0 1u v v

= = − + = − +

2 1 2

2 1 13 3

-1 0 1u v v

= = − = −

dan

[ ] 6

-1Cx

=

Jika V ruang vektor, S= {s 1 , s 2 , … . , s n} merupakan basis V, maka untuk sembarang x dalam V dituliskan:

dengan k1 , k2 , … . kn skalar yang juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S

x = k1 s 1 + k2s 2 + … … + kxs n

disebut matrik x relatif terhadap basis S

[ ]1

2

s

n

k

kx

k

=

Jika S merupakan basis ortonormal, maka :

Jika A = {x 1 , x 2} dan B = {y 1 , y 2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan :

Bagaimana hubungan ?

[ ]1

2

,

,

,

s

n

x s

x sx

x s

< > < > = < >

[ ] [ ]dan A B

z z

[ ] [ ]dan A B

z z

Misalkan :

Dari (1)

Dari (2)

Untuk (3)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

[ ] [ ]1 2 dan B B

a cx x

b d

= =

[ ]1 1 1 2 didapatkan B

ax x ay by

b

= = +

[ ]2 2 1 2 didapatkan B

cx x cy dy

d

= = +

[ ] 11 1 2 2

2

didapatkan A

kz z k x k x

k

= = +

1 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

z k ay by k cy dy

k a k c y k b k d y

= + + += + + +

Ini berarti :

P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B.Secara umum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn}

berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah :

Jika P dapat dibalik, maka P-1 merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A

[ ] [ ]1 2 1

1 2 2

B A

k a k c ka cz P z

k b k d b d k

+ = = = +

[ ] [ ] [ ]1 2 nB B BP x x x=

Contoh soal :Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut

merupakan basis R2 dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3) dan y = (-1,-1).

Tentukan :a. Matrik transisi dari basis A ke basis B

b. Hitung

c. Hitung dengan menggunakan hasil dari b

d. Matrik transisi dari basis B ke basis A

-1

3A

÷ -1

3B

÷

a. Misalkan  Dan untuk  Jadi matrik transisi dari basis A ke basis B adalah :

b. Misalkan

[ ] 2 1 -1 0, maka didapatkan

2 3 -1 -2B

a a av

b b b

= = =

[ ] 3 1 -1 -2, maka didapatkan

-1 3 -1 -5B

c c cw

d d d

= = =

0 -2

-2 -5P

=

1 1

2 2

-1 1 maka didapatkan

3 -1A

k k

k k

= = ÷

c. Dari (a) dan (b) didapatkan

sehingga

0 -2 -1 1 dan

-2 -5 3 -1A

P

= = ÷

-1 -1 0 -2 1 2

3 3 -2 -5 -1 3B A

P

= = = ÷ ÷

d. Matrik transisi dari basis B ke basis A adalah P-

1 dengan P merupakan matrik transisi terhadap

basis A ke basis B.

Jadi 1 14

-5 2-

2 0P−

=

merupakan matrik transisi

dari basis B ke basis A

Perhitungan perubahan basis suatu matrik dengan metode Gauss-Jordan

Anggap B = {u1….., un} dan C = {v1….., vn} merupakan basis dari ruang vektor V dan P adalah matrik transisi basis B ke C.Kolom ke i dari P adalah :

Sehingga : u i = p 1 i v 1 + …. + p ni v n . Jika ε adalah sembarang

basis di V, maka :

[ ]1i

i C

ni

P

u

P

=

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1..... ......i i ni n i ni nu p v p v p v p vε ε ε ε= + + = + +

Dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut :

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss – Jordan dari matrik augmented :

Diperoleh hasil :

[ ] [ ] [ ]1

1 ......i

n i

ni

p

v v u

pε ε ε

=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 ...... ...... = n i nv v u u C Bε ε ε ε

[ ] [ ] C B I P

Contoh soal :Dalam M22 diketahui basis B = {E11, E21, E12, E22} dan

basis C = {A, B, C, D} dengan :

Tentukan matrik transisi dari basis B ke basis C !

Jawab :

Jika ε adalah basis sembarang untuk M22

merupakan basis standar, maka dapat

diperoleh :

1 0 1 1 1 1 1 1, , ,

0 0 0 0 1 0 1 1A B C D

= = = =

1 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1 dan

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1

B CP Pε ε→ →

= =

Dengan metode Gauss – Jordan diperoleh :

[ ]

1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0

0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1

0 0 1 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

C B

=

1 0

0 0 1 0 0 1 0 -1

0 0 0 1 0 0 0 1

Jadi matrik transisi P diperoleh :

1 0 -1 0

0 -1 1 0

0 1 0 -1

0 0 0 1

P

=

Soal latihan : 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali

dalam atau bukan :a. <u,v> = u1

2+u2 v22 di R2

b. <u,v>= u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 di R3

c. <u,v>= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3

d. <u,v>= 2u1v1 +u2v2 +3u3v3

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah ortogonal dalam ruang Euclides

3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor (1,1,0) dan (1,0,-1)

Tentukan proyeksi ortogonal vektor (-1,1,2) pada W4. Diketahui B={u1, u2} dan C ={v1, v2} adalah basis ruang

vektor V dengan u1 =(2, 2), u2= (4, -1), v1=(1, 3) dan v2= (-1, -1).

Tentukan matrik transisi P dari basis B ke basis C