ruang-9

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

Makalah Pendamping: Matematika 3 233

ANOVA UNTUK ANALISIS RATA-RATA RESPON MAHASISWA KELAS

LISTENING

Novatiara Fury Pritasari

1), Hanna Arini Parhusip

2), Bambang Susanto

3)

1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2), 3)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1)

[email protected], 2)

[email protected], 3)

[email protected]

Abstract

Data pengukuran berulang (repeated measures) memiliki struktur data longitudinal. Dalam

makalah ini, data longitudinal yang dianalisa adalah data hasil penyebaran kuesioner

mahasiswa FBS UKSW pada 2 kelas Listening FBS UKSW yang berbeda selama 3 kali

pertemuan (3 minggu). Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui apakah ada

perbedaan yang signifikan antara respon mahasiswa kelas Listening terhadap pertanyaan yang

diteliti pada setiap kelas menggunakan one-wayrepeated measures dan dua kelas yang bebeda

menggunakan two-way repeated measures. Analisis data menggunakan program SPSS 16.0

sebagai alat bantu. Berdasarkan pengujian one-way repeated measures, pada Kelas A ada

perbedaan yang signifikan yaitu ada perbedaan respon minggu kedua dengan minggu ketiga.

Sedangkan respon mahasiswa pada Kelas B tidak berbeda secara signifikan. Pada pengujian

two-way repeated measuresada perbedaan respon Kelas A dan Kelas B, tetapi tidak ada

perbedaan respon mahasiswa dari minggu pertama sampai minggu ketiga. Untuk interaksi

Kelas dan Rata-rata respon mahasiswa menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada

dua kelas yang berbeda.

Kata Kunci:One-way repeated measures, two-way repeated measures

PENDAHULUAN

Pritasari dkk (2013) telah membahas perbedaan respon mahasiswa kelas Listening antar dua

minggu yang berbeda dalam tiga minggu yang bertujuan untuk mengetahui perbedaan respon

mahasiswa menggunakan paired comparisons. Pada pengujian tersebut disimpulkan bahwa pada

kelas A minggu ke-1 dengan minggu ke-3 tidak ada perbedaan respon mahasiswa. Tetapi pada

minggu ke-1 dengan minggu ke-2 dan minggu ke-2 dengan minggu ke-3 ada perbedaan respon.

Sedangkan pada kelas B tidak ada perbedaan respon mahasiswa pada minggu ke-2 dengan minggu

ke-3, tetapi pada minggu ke-1 dengan minggu ke-2 dan minggu ke-1 dengan minggu ke-3 ada

perbedaan respon. Hal ini juga diperkuat dengan hasil analisa penghitungan daerah konfidensi

95%.

Dalam makalah ini ANOVA digunakan untuk menganalisis data yang sama.ANOVA adalah

suatu metode untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi. Analisis

terhadap data pengukuran berulang tersebut dilakukan untuk menyelidiki apakah ada perbedaan

yang signifikan antara respon mahasiswa kelas Listening pada setiap kelas dan dua kelas yang

berbedamenggunakan one-wayrepeated measures dan two-way repeated measures. Program SPSS

16.0 digunakan sebagai alat bantu untuk melakukan analisis data.

Volume 2 Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

234 Makalah Pendamping: Matematika 3

METODE PENELITIAN

Jenis Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif.

Waktu dan Tempat Penelitian

Penyebaran kuesioner dilakukan pada kelas Listening Fakultas Bahasa dan Sastra (FBS)

UKSW selama tiga kali pertemuan pada setiap hari Senin tanggal 11, 18, dan 25 Februari 2013

untuk kelas A. Sedangkan untuk kelas B setiap hari Kamis tanggal 14, 21, dan 28 Februari 2013.

Target atau Subjek Penelitian

Subjek dari penelitian ini adalah mahasiswa baru kelas Listening FBS UKSW pada dua

kelas yang berbeda.

Data dan Teknik Pengumpulan Data

Data yang digunakan adalah data sekunder dari penelitian Rahandika(2013). Data tersebut

diperoleh melalui penyebaran kuesioner yang berisi 13 pertanyaan yang sama di setiap minggu

untuk 29 mahasiswa pada 2 kelas Listening FBS-UKSW selama tiga kali pertemuan. Isi

kuesioner mengenai persepsi mahasiswa tentang variasi latihan pada kelas Listening. Jenis data

adalah data skala 1-5 (skala likert) sebagai skala untuk menyatakan berturut-turut sangat tidak

setuju hingga sangat setuju.

Teknik Analisis Data

ANOVA adalah suatu modelyangcukup komprehensif untukmendeteksi perbedaan

kelompok pada variabel terikat tunggal. Teknik yang lebih umum biasa dikenal sebagai multivariat

analisis varians (MANOVA). MANOVA dapat dianggap sebagai ANOVA untuk situasi dimana

ada beberapa variabel terikat. Pada Tabel 1 dijelaskan perbedaan dari ANOVA dan MANOVA.

Informasi lebih lengkap dapat dilihat di Field(2009) dan Stevens (2009).

Tabel 1. Perbedaan ANOVA dan MANOVA

ANOVA MANOVA

Hanya satu variabel terikat Beberapa variabel terikat

Menguji perbedaan mean pada

variabel terikat untuk beberapa

variabel bebas

Menguji perbedaan vektor mean

beberapa variabel terikat

Sedangkan perbedaan one-way repeated measures dan two-way repeated measures hanya

pada variabel bebas. One-way repeated measures menggunakan satu variabel bebas dan two-way

repeated measures menggunakan dua variabel bebas.

a. Repeated Measures (Pengukuran Berulang) ANOVA

Repeated measures adalah pengukuran berulang terhadap sekumpulan obyek atau partisipan

yang sama. Pada prinsipnya Repeated Measures ANOVA sama dengan paired t-test untuk

membandingkan rata-rata dua sampel yang saling berhubungan. Perbedaannya dengan ANOVA



adalah sampel uji ini adalah sampel pengukuran berulang, sementara ANOVA mensyaratkan

sampel bebas.

One-way repeated measures ANOVA biasanya digunakan untuk membandingkan nilai

disain sebelum dan sesudah partisipan yang sama pada satu grup. Sedangkan two-way repeated

measures ANOVA membandingkan pada dua grup. (Web 4)

Dalam disain general linear model repeated measures, level dari within subject factor

mewakili beberapa pengamatan dari skala waktu ke waktu dalam kondisi yang berbeda. Ada 3 jenis

tes yang dilakukan jika within subject factormemiliki lebih dari dua level, yaitustandar univariat uji

F, uji univariat alternatif, dantes multivariat. Tiga jenistes ini mengevaluasi hipotesis yang sama,

rata-rata populasisama untuk semua level pada faktor (Web 1).

Standarunivariatuji F ANOVAtidak dianjurkanketikawithin subject factormemiliki lebih

daridua levelkarenapadaasumsitersebut, asumsi Sphericity umumnyadilanggardanuji F

ANOVAmenghasilkan p-value yangakuratsejauhasumsiini dilanggar.

Tes univariat alternatif memperhitungkan pelanggaran asumsi Sphericity. Tes ini menggunakan

penghitungan statistik F yang sama dengan standar univariat tes. Namun p-value berpotensi

berbeda. Dalam menentukan p-value, sebuah epsilon statistikdihitung berdasarkan data sampel

untuk mengetahui derajat yang melanggar asumsi Sphericity. Pembilang dan penyebut derajat

kebebasan uji standar dikalikan dengan epsilon untuk mendapatkan serangkaian derajat

kebebasanyang sudah dikoreksi untuk membuat nilai F yang baru dan menentukan p-value.

Uji multivariat tidak memerlukan asumsi Sphericity. Perbedaan nilai

dihitung dengan membandingkan nilai-nilai dari berbagai levelwithin subject factor.Misalnya

untuk within subject factor dengan tiga level, nilai perbedaan mungkin

dihitung antara level pertama dengan kedua dan antara level kedua dengan ketiga. Uji

multivariat kemudian akan mengevaluasi apakah rata-rata populasi untuk nilai perbedaan kedua

pasangan secara simultan sama dengan nol. Tes ini tidak hanyamengevaluasi rata-rata terkait

dengan dua pasangan nilai perbedaan, tetapi juga mengevaluasi apakah rata-rata dari nilai

selisih antara level pertama dan ketiga faktor tersebut sama dengan nol sebagaikombinasi linier

dari nilai perbedaan.

Menurut Carey (1998), semua perhitungan statistik multivariat didasarkan pada akar-akar

karakteristik dari matriks A yang dibentuk dari

= 1 (1)

dengan H : matriks varians-kovarians perlakuan pada MANOVA

E : matriks varians-kovarians error pada MANOVA.

Dalam uji multivariat sendiri ada beberapa uji yang digunakan, yaitu:

Wilks Lamda



Statistik uji digunakan jika asumsi homogenitas dipenuhi. Nilai Wilks Lamda berkisar

antara 0-1. Statistik uji ini yang sering dipakai (Web 2). Statistik uji Wilks Lamda dirumuskan

sebagai:

=

+ =

1

1+

=1 (2)

dengan : Wilks Lamda; : determinan dari matriks E; : banyaknya akar-akar karakteristikdari

matriks A; : akar-akar karakteristik ke-i matriks A.

Statistik Wilks Lamda di atas dapat ditransformasikan menjadi suatu statistik yang

berdistribusi F. Khususnya

Kasus 1: = 1, 2

1

1 ~ 1, . (3)

Kasus 2: 1, = 2

1

1

1 ~ ,1 (4)

dengan : banyaknya variabel; : banyaknya grup; : banyaknya partisipan.

Informasi lebih lanjut dapat dilihat pada Patel dkk (2013).

Pillais Trace

Statistik uji ini paling cocok digunakan jika asumsi homogenitas tidak dipenuhi (Web 2).

Statistik uji Pillais Trace dirumuskan sebagai:

= + 1 =

1+

=1 . (5)

Beberapa ahli statistik menganggapnya paling kuat dari 4 statistik yang lain.

Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 0 ketika , dengan nilai diperoleh dari tabel nilai

kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

Hotellings Trace

Statistik uji ini jarang digunakan oleh para ahli (Web 2). Berikut rumus dari Hotellings

Trace:

= 1 = =1 . (6)

Statistik Hotellings Trace di atas dapat ditransformasikan menjadi suatu statistik yang

berdistribusi F (Web 3). Khususnya

12

,1 ~1 ,2 , (7)

dimana 1 = 1 dan 2 = 1 , 1 , dengan p : akar-akar karakteristik dari matriks

A; n : banyaknya partisipan.

Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 0 ketika , dengan nilai diperoleh dari

tabel nilai kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

Roys Largest Root



Roys Largest Root digunakan jika asumsi dipenuhi dan berkorelasi dengan kuat. Tetapi uji

ini harus hati-hati dalam penggunaanya (Web 2).

= . (8)

Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 0 ketika , dengan nilai

diperoleh dari tabel nilai kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

Keempat tes multivariat tersebut menggunakan uji statistik sebagai berikut:

0: 1 = 2 = = (tidak ada perbedaan antar perlakuan)

: 1 2 (setidaknya ada perbedaan antar dua perlakuan).

Kriteria pengujiannya tolak 0 jika p-value < 0.05 dan > .

b. Sphericity

Pada dasarnya, asumsi Sphericitymengacu padakesamaanvariansdariperbedaan diantaralevel

pada faktorrepeated measures.Dengan kata lain, kitamenghitungperbedaanantara setiap

pasanganlevelfaktorrepeated measuresdankemudian

menghitungvariansdarinilaiperbedaan.Sphericitymensyaratkan bahwavariansuntuk

setiapnilaiperbedaansama. Kita mengasumsikanbahwa hubunganantara tiap

pasangkelompokadalahsama. Untuk menguji asumsi Sphericity dapat menggunakan tes Mauchly,

uji Greenhouse Geisser dan tes Huynh Feldt.

Hipotesis untuk Sphericity:

0: 122 = 13

2 = 232 (tidak ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan)

: 122 13

2 232 (ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan)

dengan 1 2 : perbedaan level 1 dengan level 2 pada faktorrepeated measure

1 3 : perbedaan level 1 dengan level 3 pada faktorrepeated measure

2 3 : perbedaan level 2 dengan level 3 pada faktorrepeated measure.

Kriteria pengujiannya tolak 0 jika hasil p-value dari Mauchly Tests< 0.05, yang artinya

bahwa ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan, dengan kata lain bahwa kondisi

Sphericity tidak ditemui (Field, 2012). Jika tes Mauchly dari Sphericity tidak signifikan, maka tes

within-subjects effects dapat dilakukan. Sedangkan jika tes Mauchly dari Sphericity signifikan, tes

multivariat yang digunakan (Ho, 2006).

Jika data melanggar asumsi Sphericity, ada beberapa pembenaran yang dapat diterapkan

untuk menghasilkan rasio Fyang valid. SPSS membuat tiga pembenaran berdasarkan perkiraan

Sphericity yang dianjurkan oleh Greenhouse Geisser dan Huynh Feldt. Kedua perkiraan ini

menimbulkan faktor koreksi yang diterapkan pada derajat kebebasan yang digunakan untuk menilai

rasio Fyang telah diteliti.

Koreksi Greenhouse Geisser biasanya dilambangkan dengan bervariasi antara 1

1 dan 1,

dimana k adalah jumlah kondisi repeated measures. Semakin dekat ke 1, varians dari perbedaan

semakin homogen.



Ketika estimasi Greenhouse Geisser lebih besardari 0,75 maka hipotesis nol ditolak. Ketika

perkiraan Sphericity lebihbesar dari 0.75 maka koreksi Huynh Feldtharus digunakan, tetapi ketika

perkiraan Sphericity kurang dari 0,75 atau Sphericity sama sekali tidak diketahui maka koreksi

Greenhouse Geisser harus digunakansebagai gantinya(Field, 2009).

c. Pengukuran Pengaruh atau Dampak

Ukuran pengaruh keseluruhan untuk pendekatan univariat adalah parsial eta kuadrat 2

dan dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

Parsial2 =

+. (9)

Ukuran pengaruh keseluruhan untuk uji multivariat terkait dengan Wilks Lamda adalah

multivariat eta kuadrat dan dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

Multivariat2 = 1 . (10)

Nilai parsial eta kuadrat dan multivariat eta kuadrat berkisar antara 0 sampai 1. Nilai 0

menunjukkan tidak ada hubungan antara faktor repeated measures dan variabel terikat, sedangkan

nilai 1 menunjukkan adanya hubungan yang kuat. (Web 1)

d. Pairwise Comparisons

Desain within-subjects direkomendasikan menggunakan pendekatan Bonferroni.

Pendekatan ini harus digunakan terlepas dari apakah peneliti merencanakan untuk menguji semua

perbandingan berpasangan atau hanya membuat keputusan untuk memeriksa data (Maxwell dkk,

2004)

Uji statistik disusun sebagai berikut:

0 : 1 = 2 = = (tidak ada perbedaan antar perlakuan)

: 1 2 (ada perbedaan antar perlakuan).

Kriteria pengujiannya tolak 0 jika p-value < 0.05.

Prosedur

a. Variabel Penelitian

1. Variabel terikat (level) : banyaknya perlakuan, yaitu minggu pertama, minggu kedua dan

minggu ketiga.

2. Variabel bebas (faktor repeated measures) :

One-way repeated measures: rata-rata respon mahasiswa.

Two-way repeated measures : kelas dan rata-rata respon mahasiswa.

b. Langkah-langkah dalam Analisis Data

1. Menghitung rata-rata respon tiap mahasiswa pada tiap minggu.

2. Menganalisa hasil Sphericity. Jika signifikan (p-value< 0.05) dilanjutkan tes multivariat,

sebaliknya jika tidak signifikan dilanjutkan tes within-subject effects.



3. Jika dilanjutkan tes multivariat, setelah itu menganalisa keempat uji pada tes multivariat.

Tolak Ho saat p-value < 0.05 dan sebaliknya. Untuk memperkuat hasil tersebut,kemudian

menghitung nilai-nilai dari keempat uji menggunakan persamaan (1), (2) , (5), (6) dan (8).

Statistik uji yang dianalisis adalah Wilks Lamda sehingga untuk menghitung penolakan Ho

digunakan persamaan (3) dan (4). Tolak Ho saat > dan sebaliknya.

4. Jika dilanjutkan tes within-subject effects, setelah itu menganalisa p-value dari Greenhouse

Geisser dan Huynh-Feldt. Tolak Ho saat p-value < 0.05 dan sebaliknya. Untuk

memperkuat hasil tersebut, kemudian membuat perubahan derajat kebebasan untuk

pembilang dan penyebut yang baru.

5. Menghitung pengaruh faktor dari repeated measures menggunakan persamaan (9) atau

(10).

6. Menganalisa hasil p-value dari Pairwise Comparisons. Tolak 0 jika p-value < 0.05.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

One-Way Repeated Measures

Kasus 1

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan pada Kelas A minggu pertama, minggu

kedua dan minggu ketiga. Hasil dari analisis mengindikasikan bahwa tes Mauchlydari Sphericity

signifikan (p-value = 0 < 0.05). Artinya bahwa ada perbedaan yang signifikan diantara varians

perbedaan, dengan kata lain bahwa kondisi Sphericity tidak ditemui. Oleh karena itu, teswithin-

subject effects tidak dapat digunakan, tetapi yang dapat digunakan adalah tes multivariat.

Dari Tabel 2a dapat disimpulkan bahwa rata-rata minggu pertama sampai rata-rata minggu

ketiga semakin meningkat, tetapi perbedaannya tidak terlalu jauh. Sedangkan standart deviasi dari

minggu pertama sampai minggu ketiga semakin menurun.

Tabel 2a. Rata-rata dan standar deviasi

Kelas A

Mean Standart Deviasi

Minggu pertama 4.019 0.396

Minggu kedua 4.098 0.296

Minggu ketiga 4.223 0.232

Tabel 2b. Hasil dari tes multivariat untuk

Kelas A minggu pertama, kedua dan ketiga

Untuk mengetahui apakah rata-rata dari minggu pertama sampai minggu ketiga berbeda

secara signifikan, dapat dilakukan tes multivariat dengan melihat Tabel 2b. Dari semua uji

diperoleh kesimpulan bahwa semua menolak Ho karena semua uji menghasilkan p-value yang

Nama Uji p-value

Pillais Trace 0.008

Wilks Lamda 0.008

Hotellings Trace 0.008

Roys Largest Root 0.008



sama yaitu 0.008 < 0.05. Maka ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon

mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga.

Pada tes multivariat yang meliputi uji Pillais Trace, Wilks Lamda, Hotellings Trace

dan Roys Largest Root, nilai-nilai dari keempat uji tersebut juga digunakan untuk memperkuat

hasil hipotesis. Setiap uji dapat dihitung nilainya dengan menghitung akar-akar karakteristik

terlebih dahulu. Dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh:

= 0.605 0.0770.077 0.010

, = 3.262 1.8761.876 2.305

dan 1 = 0.5763 0.46910.4691 0.8156

.

Sehungga matriks = 0.3848 0.34660.0491 0.0443

dan didapatkan akar-akar karakteristik 0.42900.0001

.

Setelah akar-akar karakteristik diperoleh maka uji-uji dalam tes multivariat dapat dihitung

menggunakan persamaan (2), (5), (6) dan (8) sehingga diperoleh:

=1

1+0.4290 .

1

1+0.0001= 0.6997; =

0.4290

1+0.4290+

0.0001

1+0.0001= 0.3003

= 0.4290 + 0.0001 = 0.4291; = 0.4290.

Dalam kasus ini yang dianalisis adalah 1 variabel dan 3 grup. Dari persamaan (3) diperoleh

statistik F (hanya untuk Wilks Lamda karena uji yang lain tabel nilai kritis tidak diketahui)

= 10.6997

0.6997

293

31 = 5.5794.

Dengan = 0.05 diperoleh nilai dari yaitu 31,293 = 2,26 = 3.37. Jadi 0 ditolak

karena > . Artinya bahwa ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon

mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga.

Kemudian mengukur pengaruh rata-rata respon mahasiswa tersebut menggunakan

multivariat eta kuadrat sehingga diperoleh

Multivariat2 = 1 0.6997 = 0.3003.

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa

dan perlakuan yang diberikan setiap minggunya.

Tabel 2d menunjukkan semua perbandingan berpasangan (dengan interval konfidensi

Bonferroni) diantara 3 level. Dengan membandingkan respon setiap minggunya, kita dapat

memasang-masangkan data rata-rata respon antar minggu pertama sampai minggu ketiga.

Tabel 2d. Hasil analisa perbandingan berpasangan Kelas A

Respon mahasiswa p-value Analisa

Minggu ke-1 dan ke-2 1 0 diterima

Minggu ke-1 dan ke-3 0.092 0 diterima

Minggu ke-2 dan ke-3 0.042 0 ditolak



Dapat dilihat dari Tabel 2d, dengan = 5% maka rata-rata respon mahasiswa minggu

kedua dan minggu ketiga berbeda secara signifikan (p-value< 0.05). Rata-rata respon

mahasiswa minggu pertama dengan minggu kedua dan rata-rata respon minggu pertama dengan

minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05).

Kasus 2

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan pada Kelas B minggu pertama,

minggu kedua dan minggu ketiga. Dari hasil analisis mengindikasikan bahwa tes Mauchlydari

Sphericity tidak signifikan (p-value= 0.299 > 0.05). Hasiltes within-subject

effectsmengindikasikan bahwa within-subjects variabel rata-rata respon mahasiswa tidak

signifikan karena p-value = 0.736 >0.05. Artinya, tidak ada perbedaan yang signifikan diantara

varians perbedaan dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.

Setelah hasil tes Mauchlydari Sphericity sudah diperoleh, kemudian dari tes within-

subject effects dibuat sebuah perubahan derajat kebebasan untuk pembilang dan penyebut. Hal

ini dapat diperoleh dengan mengalikan kedua nilai ini menggunakan Huynh-Feldt karena

perkiraan Sphericity lebih dari 0.75. Perubahan derajat kebebasan pembilangnya adalah

2 0.921 = 1.966. Rasio F = 0.308 harus dievaluasi dengan derajat kebebasan yang baru ini.

Setelah dihitung dengan derajat kebebasan yang baru diperoleh F yang sama yaitu 0.308 dan p-

value = 0.733 > 0.05. Ternyata setelah dievaluasi dengan derajat kebebasan yang baru tetap

memperoleh kesimpulan yang sama dengan sebelumnya, yaitu tidak ada perbedaan yang

signifikan diantara varians perbedaan dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.

Dari Tabel 3a dapat disimpulkan bahwa rata-rata minggu pertama sampai rata-rata

minggu ketiga perbedaannya tidak terlalu jauh.

Tabel 3a. Rata-rata dan standar deviasi

Kelas B

Mean Standar deviasi

Minggu pertama 3.939 0.300

Minggu kedua 3.989 0.184

Minggu ketiga 3.955 0.219

Tabel 3b. Hasil analisa perbandingan

berpasangan Kelas B



Minggu ke-1 dan ke-3 1 0diterima


Kemudian mengukur pengaruh rata-rata respon mahasiswa tersebut menggunakan

parsial eta kuadrat sehingga diperoleh

Partial2 =

0.038

0.038+3.500= 0.011.

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa

dan perlakuan yang diberikan setiap minggunya.



Tabel 3b menunjukkan semua pairwise comparisons (dengan interval konfidensi

Bonferroni) diantara 3 level. Dengan membandingkan setiap minggunya, kita dapat memasang-

masangkan data rata-rata antar minggu pertama sampai minggu ketiga.

Dapat dilihat dari Tabel 3b dengan = 5% maka rata-rata respon mahasiswa minggu

pertama, kedua dan ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05).

Two-Way Repeated Measures

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan interaksi respon dari mahasiswa pada

Kelas A dan Kelas B pada minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.Dari Tabel 4a,

variabel Kelas menghasilkan hasil yang sangat signifikan untuk semua tes multivariat dengan p-

value = 0 < 0.05. Artinya ada perbedaan respon Kelas A dan Kelas B.Dari Tabel 4b dapat

dilihat bahwa pada respon Kelas A lebih besar daripada rata-rata respon Kelas B.

Tabel 4a. Hasil tes multivariat Kelas A dan

B untuk variabel Kelas

Nama Uji p-value

Pillais Trace 0

Wilks Lamda 0

Hotellings Trace 0

Roys Largest Root 0

Tabel 4b. Perbedaan rata-rata respon Kelas

A dan B untuk variabel Kelas

Kelas Mean

A 4.113

B 3.961

Selanjutnya diuji variabel Rata-rata respon mahasiswa.Padates MauchlydariSphericity

menghasilkan nilai 0.731, dan signifikan karena p-value = 0.015 < 0.05. Asumsi Sphericity

dilanggar, maka harus menginterpretasi tes multivariat. Keempat tes multivariat pada Tabel 4c

menunjukkan bahwa variabel Rata-rata respon mahasiswa tidak signifikan. Hal ini dapat dilihat

dari p-value = 0.170 > 0.05 yang artinya tidak ada perbedaan rata-rata respon mahasiswa dari

minggu pertama sampai minggu ketiga. Tetapi dari Tabel 4ddapat dilihat bahwa rata-rata respon

mahasiswa minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga semakin meningkat.

Tabel 4c. Hasil tes multivariat rata-rata

respon mahasiswa

Nama Uji p-value

Pillais Trace 0.170

Wilks Lamda 0.170



Tabel 4d. Rata-rata respon mahasiswa

Respon mahasiswa Mean

Minggu ke-1 3.979

Minggu ke-2 4.044

Minggu ke-3 4.089



Untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa, tes Mauchlydari Sphericity

menghasilkan nilai 0.454 dan signifikan karena p-value = 0.042 < 0.05. Asumsi Sphericity juga

dilanggar, maka harus menginterpretasi tes multivariat. Keempat tes multivariat pada Tabel 4e

menunjukkan bahwa efek interaksi signifikan karena p-value = 0.023 < 0.05. Hal ini

menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda.

Tabel 4e. Hasil tes multivariat dari interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa

Nama Uji p-value

Pillais Trace 0.023

Wilks Lamda 0.023



Nilai-nilai dari keempat uji pada tes multivariat yang meliputi uji Pillais Trace, Wilks

Lamda, Hotellings Trace dan Roys Largest Root untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata

respon mahasiswa juga digunakan untuk memperkuat hasil hipotesis. Setiap uji dapat dihitung

nilainya dengan menghitung akar-akar karakteristik terlebih dahulu. Menggunakan persamaan

(1) dapat diperoleh:

= 0.094 0.2930.293 0.907

, = 2.898 1.6951.695 2.717

dan 1 = 0.5433 0.33890.3389 0.5795

.

Sehingga matriks = 0.0482 0.13790.1482 0.4263

dan didapatkan akar-akar karakteristik

0.00030.3784

. Setelah akar-akar karakteristik diperoleh maka uji-uji dalam tes multivariat dapat

dihitung menggunakan persamaan (2), (5), (6) dan (8) sehingga diperoleh:

=1

10.0003 .

1

1+0.3784= 0.7257; =

0.0003

10.0003+

0.3784

1+0.3784= 0.2742

= 0.0003 + 0.3784 = 0.3781; = 0.3784.

Dalam kasus ini yang dianalisis adalah 3 variabel dan 2 grup. Dari persamaan (4) diperoleh

statistik F (hanya untuk Wilks Lamda karena uji yang lain tabel nilai kritis tidak diketahui)

= 10.7253

0.7253

2931

31 = 4.7342.

Dengan = 0.05 diperoleh nilai dari yaitu ,1 = 3,25 = 2.99. Jadi 0

ditolak karena > . Hal ini menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada

dua kelas yang berbeda.

Kemudian mengukur pengaruh interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa

tersebut menggunakan multivariat eta kuadrat sehingga diperoleh

Multivariat2 = 1 0.7257 = 0.2743.

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara Kelas dengan Rata-rata

respon mahasiswa terhadap perlakuan yang diberikan setiap minggunya.



Gambar 1. Grafik rata-rata respon mahasiswa pada Kelas A dan Kelas B

Gambar 1 menunjukkan bahwa rata-rata respon mahasiswa yang diberikan pada 3

minggu tergantung pada perbedaan kelas. Pada kelas A, rata-rata respon mahasiswa semakin

meningkat tetapi pada kelas B rata-rata respon mahasiswa meningkat dan mengalami penurunan

lagi pada minggu ketiga.

Tabel 4f. Hasil analisa perbandingan berpasangan minggu pertama sampai minggu ketiga





Tabel 4f menunjukkan semua perbandingan berpasangan antara dua kelas dan rata-rata

respon mahasiswa tiga minggu dengan menggunakan interval konfidensi Bonferroni 95%.

Dapat dilihat dari Tabel 4f dengan = 5%, rata-rata respon mahasiswa di Kelas A dan Kelas B

pada minggu pertama, kedua dan ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05). Artinya

tidak ada perbedaan rata-rata respon mahasiswa di minggu pertama sampai ketiga.

SIMPULAN

Pada makalah ini telah dibahas studi tentang respon mahasiswa dengan metode one-way

dan two-wayrepeated measures untuk dua kelas Listening FBS-UKSW. Berdasarkan hasil yang

diperoleh dapat disimpulkan bahwa:

One-wayRepeated Measures

Pada kelas A

Berdasarkan tes multivariat, ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon

mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga. Tetapi varians dari minggu

pertama, minggu kedua dan minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan. Dari hasil

parsial eta kuadrat menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon

mahasiswa dan perlakuan setiap minggunya. Dalam pengujian pairwise comparisons,



respon minggu kedua dengan respon minggu ketiga berbeda secara signifikan sedangkan

respon minggu pertama dengan minggu kedua dan respon minggu pertama dengan

minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan.

Pada kelas B

Berdasarkan tes within-subject effects, varians dari minggu pertama, minggu kedua dan

minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan. Dari hasil parsial eta kuadrat menunjukkan

bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa dan perlakuan setiap

minggunya. Dalam pengujian pairwise comparisons, rata-rata respon mahasiswa minggu

pertama, kedua dan ketiga juga tidak berbeda secara signifikan.

Two-way Repeated Measures

Berdasarkan uji yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan respon

Kelas A dengan Kelas Btetapi tidak ada perbedaan respon mahasiswa dari minggu pertama

sampai minggu ketiga. Untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa menunjukkan

bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda. Pengujian Pairwise

Comparisonsyang dilakukan untuk dua kelas yang berbeda mengindikasikan tidak ada

perbedaan antara respon mahasiswa di minggu pertama sampai ketiga.

DAFTAR PUSTAKA

Carey, G. (1998). Multivariate Analysis of Variance (MANOVA): I. Theory. Diakses tanggal 1

November 2013 pukul 12.40 WIB dari

http://ibgwww.colorado.edu/~carey/p7291dir/handouts/manova1.pdf.

Field, A. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. (3thed.). India : Sage.

Field, A. (2012). Discovering Statistics Repeated Measures ANOVA. Diakses tanggal 29

Oktober 2013 dari http://www.discoveringstatistics.com.

Giri, N.C. (2004). Multivariate Statistical Analysis. (2nd

ed). New York : Marcel Dekker.

Ho, R. (2006). Handbook of Univariate and Multivariate Data Analysis and Interpretation with

SPSS. New York : Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group.

Maxwell, S.E. & Delaney, H.D. (2004). Designing Experiments And Analyzing Data A Model

Comparison Perspective. (2nd

ed.). London: Lawrence Erlbaum Associates.

Patel, S. & Bhavsar, C.D. (2013). Analysis of Pharmocokinetic Data by Wilks Lamda (An

Important Tool of Manova). International Journal of Pharmaceutical Science Invention,

Vol. 2, 36-44.

Pritasari, N.F., Parhusip, H.A. & Susanto, B. (2013). Analisis Respon Mahasiswa Kelas

Listening Menggunakan Metode Paired Comparisons. Prosiding, Seminar Nasional

Matematika VII yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika FMIPA dan Prodi

Pendidikan Matematika Program Pascasarjana UNNES tanggal 26 Oktober 2013.

Semarang: Universitas Negeri Semarang.



Rahandika, A. (2013). The Students Perceptions toward Different Task Types in Public

Listening Class. Skripsi. Program Studi Pendidikan Bahasa Inggris, Fakultas Bahasa dan

Sastra, Universitas Kristen Satya Wacana. Salatiga.

Stevens, J.P. (2009). Applied Multivariate Statistics For The Social Sciences. (5thed.). New

York : Routledge Taylor & Francis Group.

Web 1: http://oak.ucc.nau.edu/rh232/courses/EPS625/Handouts/RM-

ANOVA/Understanding%20Repeated-Measures%20ANOVA.pdf. Diakses tanggal 30

Oktober 2013 pukul 09.53 WIB.

Web 2:

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&ved

=0CFQQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.chsbs.cmich.edu%2Fk_han%2Fpsy613%2F

manova1.doc&ei=4tZ5UvzpOqzwiQfH-

oCwAw&usg=AFQjCNFOCcK9hRRVQczMgt0tSqX6Al8z5Q&sig2=w5KyDbLxz-Ma-

MqVVyntzA&bvm=bv.55980276,d.aGc. Diakses tanggal 6 November 2013 pukul

12.45 WIB.

Web 3: http://www.stat.ncsu.edu/people/bloomfield/courses/st784/twa-08-3.pdf. Diakses

tanggal 7 November 2013 pukul 08.27 WIB.

Web 4: http://www.zu.ac.ae/main/files/contents/research/training/one-

wayrepeatedmeasureanova.pdf. Diakses tanggal 7 November 2013 pukul 09.12 WIB.



ANALISIS BIPLOT PADA PEMETAAN KARAKTERISTIK KEMISKINAN

DI PROVINSI NUSA TENGGARA BARAT

Desy Komalasari 1)

, Mustika Hadijati 2)

, Marwan 3)

1) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: [email protected] 2) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: [email protected]

3) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: [email protected] 1), 2), 3). Jln. Majapahit No.62 Mataram- NTB.

Abstrak Penelitian ini bertujuan memberikan inovasi baru mengenai pemetaan

karakteristik kemiskinan pada kabupaten/kota di provinsi Nusa Tenggara Barat,

menggunakan metode analisis Biplot. Analisis Biplot didasarkan pada singular value

decomposition, matriks orthonormal, dan faktorisasi dari matriks data. Penelitian ini

menghasilkan Square Root Biplot (SQRT) atau Biplot Simetri, yaitu grafik Biplot yang

memetakan secara bersamaan kabupaten/kota dengan karakteristik kemiskinan di

provinsi NTB. Analisis Biplot dalam penelitian ini memberikan penyajian yang cukup

baik mengenai informasi data yang sebenarnya berdasarkan nilai 2 sebesar 84,59%. Grafik Biplot menampilkan wilayah yang memiliki kesamaan karakteristik kemiskinan

ada pada kabupaten Bima dan kabupaten Sumbawa, dengan jarak Euclid terdekat

sebesar 0.266. Sedangkan jarak terjauh ada pada kabupaten Lombok Tengah dan kota

Mataram, sebesar 9.779. Keragaman karakteristik kemiskinan ditunjukkan dengan

panjang vektor, vektor terpanjang pada penduduk miskin yang bekerja di sektor

pertanian (7) dan vektor terpendek pada angka partisipasi sekolah penduduk miskin (3).

Kata kunci: Analisis Biplot, Singular Value Decomposition, Karakteristik Kemiskinan.

PENDAHULUAN

Kemiskinan merupakan masalah yang sering dihadapi di setiap daerah di Indonesia

seperti halnya provinsi Nusa Tenggara Barat. Jumlah penduduk miskin di provinsi Nusa

Tenggara Barat (NTB) pada Maret 2011 sebesar 19,73%, dan menurun pada Maret 2012

sebesar 18,63% (Berita Resmi Statistik, 2012). Angka penurunan sebsar 1,10% dipengaruhi

oleh beberapa faktor karakteristik kemiskinan di antaranya faktor sosial ekonomi dan faktor

pendidikan. Penurunan yang kurang signifikan menyebabkan perlunya pemetaan karakteristik

kemiskinan, sehingga upaya pengentasan kemiskinan tepat sasaran. Karakteristik kemiskinan

yang digunakan merupakan data kemiskinan makro. Data kemiskinan makro menunjukkan

jumlah dan persentase penduduk miskin di setiap daerah berdasarkan estimasi. Data ini

digunakan untuk perencanaan dan evaluasi program kemisikinan dengan target geografis. Oleh

karena itu, perlunya dilakukan pemetaan karakteristik kemiskinan pada kabupaten/kota di

Provinsi NTB menggunakan analisis Biplot. Analisis Biplot merupakan teknik statistik

deskriptif dimensi ganda dengan menyajikannya secara visual dan simultan sejumlah objek

pengamatan dan variabel dalam suatu grafik. Oleh karena itu, tujuan penelitian ini yaitu untuk

mengetahui gambaran pemetaan karakteristik kemiskinan di Provinsi NTB menggunakan

analisis Biplot. Sehingga manfaat dari pemetaan ini dapat digunakan sebagai bahan acuan

Pemerintah Daerah Provinsi NTB untuk melakukan upaya pengentasan kemiskinan yang tepat

sasaran pada karakteristik kemiskinan di wilayah tersebut.



METODE PENELITIAN

Jenis Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif dan aplikatif, yaitu mengaplikasikan

data data numerik ke dalam analisis Biplot. Analisis Biplot adalah salah satu upaya

menggambarkan data - data yang ada pada tabel ringkasan kedalam grafik berdimensi dua.

Grafik yang dihasilkan dari Biplot ini merupakan grafik yang berbentuk bidang datar. Dengan

penyajian seperti ini, ciri-ciri variabel dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek

pengamatan dengan variabel dapat dianalisis (Kohler dan Luniak, 2005).

Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilaksanakan mulai bulan Juni 2013 sampai dengan bulan Oktober 2013.

Tempat penelitian di Universitas Mataram dan Badan Pusat Statistik Provinsi NTB.

Data Penelitian

Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik

(BPS) Provinsi Nusa Tenggara barat. Data yang digunakan yaitu data karakteristik kemiskinan

tahun 2011, terdiri dari 10 kabupaten/kota yang merupakan Objek penelitian dan 10

karakteristik kemiskinan yang merupakan variabel penelitian. Objek penelitian meliputi Kab.

Lombok Barat, Kab. Lombok Tengah, Kab. Lombok Timur, Kab. Sumbawa, Kab. Dompu, Kab.

Bima, Kab. Sumbawa Barat, Kab. Lombok Utara, Kota Mataram, Kota Bima. Variabel

penelitian merupakan karakteristik kemiskinan meliputi Jumlah Penduduk Miskin (1), Angka

Melek Huruf Penduduk Miskin (2), Angka Partisipasi Sekolah Penduduk Miskin (3),

Penduduk miskin yang tidak bekerja (4), Penduduk miskin yang bekerja di sektor Informal

(5), Penduduk miskin yang bekerja di sektor formal (6), Penduduk miskin yang bekerja di

sektor pertanian (7), Penduduk bekerja di bukan sektor pertanian (8), Pengeluaran perkapita

untuk makanan (9), Luas lantai perkapita rumah tangga miskin (10).

Prosedur Penelitian

Prosedur penelitian ini meliputi observasi pendahuluan, perancangan penelitian,

pengumpulan data, analisis data, interpretasi hasil, dan kesimpulan. Observasi pendahuluan

dilakukan dengan survey data-data yang relevan, dengan tujuan untuk memberikan gambaran

dan informasi mengenai karakteristik kemiskinan di setiap kabupaten/kota di provinsi NTB.

Perancangan penelitian meliputi penetapan rumusan masalah, tujuan penelitian, penentuan alat

dan bahan, pengumpulan data, serta penentuan teknik analisis data. Langkah selanjutnya yaitu

pengumpulan data, data yang dikumpulkan disini adalah data sekunder yang berhubungan

dengan karakteristik kemiskinan. Selanjutnya analisis data menggunakan Biplot, kemudian



interpretasi hasil Biplot yaitu memberikan gambaran atau penjelasan secara deskriptif mengenai

kedekatan antar objek yang diamati, keragaman variabel, hubungan atau korelasi antar variabel,

dan nilai variabel pada suatu objek. Berdasarkan hasil interpretasi akan ditarik kesimpulan

mengenai analisis Biplot terhadap posisi kabupaten/kota terhadap karakteristik yang dimilikinya

serta karakteristik kemiskinan mana saja yang paling dominan di suatu kabupaten/kota di

provinsi NTB.


Analisis data menggunakan teknik analisis Biplot. Prosedur analisis biplot meliputi

menentukan matriks data yang dikoreksi terhadap rata-rata (), menentukan matriks ,

menentukan nilai eigen dan vektor eigen, mencari Singular Value Decomposition (SVD) yaitu

mendapatkan matriks U, L dan A, menentukan matriks koordinat dengan yang digunakan

berkisar pada 0 1. Namun nilai yang lazim digunakan dalah = 1; 0.5; dan

0 (Nugroho, 2008). Menentukan matriks G(objek) dan H(variabel) terpilih berdasarkan

, menggambar grafik menggunakan program, interpretasi hasil dan kesimpulan.

Analisis Biplot bertujuan menggambarkan suatu matriks dengan menumpang tindihkan

vektor-vektor baris dengan vektor-vektor kolom matriks. Analisis Biplot didasarkan pada

penguraian nilai-nilai singular (Singular Value Decomposition) dari suatu matriks data yang

telah dikoreksi oleh rataanya. Biplot dibentuk dari suatu matriks data, dimana setiap kolom

mewakili variabel-variabel penelitian, dan setiap baris mewakili objek penelitian.

Misalkan matriks Xadalah matriks yang terdiri dari variabel-variabel sebanyak p dan

objek penelitian sebanyak n. Misalkan matriks Y merupakan hasil dari matriks X yang dikoreksi

terhadap rataannya, maka akan diuraikan menjadi perkalian tiga buah matriks berikut:

() = () (1)

Matriks merupakan nilai singular dengan unsur-unsur diagonalnya akar kuadrat

dari nilai eigen, sedangkan matriks diperoleh dari = . Sehingga = =

, I adalah matriks identitas dan L adalah matriks diagonal berukuran (rxr) dengan unsur-unsur

diagonalnya adalah akar dari nilai eigennilai eigen tak nol yaitu

(Menurut Matjik dan Sumertajaya, 2011)).

Menurut Joellife (1986) dalam Matjik dan Sumertajaya, 2011, dari matriks Y akan

dibentuk matriks G dan H, dimana = dan = dengan besarnya 0

1, yang masing-masing berukuran dan maka persamaan (1) menjadi:

= = (2)

Masing-masing merupakan matriks G baris ke-i , dimana = 1,2, , serta matriks H kolom ke-

j dimana = 1,2, ,, dan r adalah rank matriks data Y. Jika matriks Ymempunyai rank dua,



maka vektor baris dan vektor akan digambarkan dalam dimensi dua. Namun, jika Y

mempunyai rank lebih dari dua maka persamaan di atas menjadi :

=

= (3)

dengan merupakan elemen ke-(i,k) pada matriks U, merupakan elemen ke-(k,j) pada

matriks AT serta

adalah elemen diagonal ke-k matriks Lyang merupakan akar kuadrat nilai

eigen .

Menurut Gabriel (1971) dalam Matjik dan Sumertajaya, 2011, data pengamatan awal

matriks X yang terdiri dari n objek dan p variabel tereduksi menjadi beberapa himpunan data

yang terdiri dari n baris dengan m kolom.

Jika ada sebanyak m kolom yang ditentukan, maka persamaan (2) menjadi;

=

= , < (4)

Persamaan di atas dapat dibentuk sebagai berikut :

=

=

=

=

=

(5)

dengan dan

masing-masing merupakan elemen vektor dan . Jika = 2 pada

persamaan (5) maka dikatakan sebagai Biplot, sehingga dapat dibentuk menjadi :

=

(6)

Dengan merupakan elemen matriks Yberdimensi dua, sedangkan mengandung elemen

dua kolom pertama vektor , dan mengandung dua kolom pertama vektor .

Sehingga dari matriks Y pada dimensi dua diperoleh matriks dengan ukuran tereduksi

yaitu matriks Gdan H sebagai berikut (Johnson danWichern, 2002) :

=

11 12 1

1

2

2

dan =

11 1211

22

Masing-masing pada matriks G dan H merupakan titik-titik koordinat dari n objek dan titik-

titik koordinat dari p variabel.

Rencer (2002), mengemukakan ukuran Biplot dengan pendekatan matriks Y berdimensi

dua dalam bentuk :

2 =(1+ 2)

=1

(7)



Dengan 1 adalah nilai eigen terbesar pertama, 2 adalah nilai eigen terbesar kedua dan

, = 1,2, , adalah nilai eigen ke-k. Apabila nilai 2 mendekati satu, maka Biplot

memberikan penyajian yang semakin baik mengenai informasi data yang sebenarnya.

Biplot mempunyai beberapa tipe. Perbedaan tipe ini berdasarkan pada nilai yang

digunakan. Nilai yang digunakan dalam Biplot adalah 0 1. Namun nilai yang lazim

digunakan dalah = 1; 0.5; dan 0 (Nugroho, 2008).

1) Biplot dengan 1 disebut juga dengan Biplot komponen utama. Jika yang

digunakan adalah = 1 maka Biplot yang dibentuk disebut Biplot RMP (Row Metric

Preserving). Biplot RMP ini digunakan untuk menduga jarak Euclid secara optimal.

Sehingga Biplot untuk = 1 diperoleh:

= = dan = = (8)

Pada kondisi ini jarak Euclid antara dan sama dengan jarak antara dan pada

pengamatan sesungguhnya. Selain itu koordinat merupakan koefisien variabel ke-j

dalam dua komponen utama pertama.

2) Nilai lain yang digunakan dalam pembuatan Biplot yaitu = 0.5. Untuk nilai ini,

Biplot yang dibentuk disebut Biplot Simetri atau Biplot SQRT (Square Root Biplot)..

Biplot untuk = 0.5 diperoleh:

= ,dan = , = , (9)

3) Jika yang digunakan adalah 0, maka akan terbentuk tipe Biplot yang disebut

Biplot CMP (Column Metric Preserving).

Saat = 0 diperoleh matriks G dan H sebagai berikut

diperoleh = = dan = = (10)

sehingga terbentuk =

()

= ()

=

=

= (11)

Matriks U merupakan matriks orthonormal dan = 1 dengan n merupakan

banyaknya objek serta Smerupakan matriks varian kovarian dari matriks Y, sehingga =

1 .Hasil kali elemen akan sama dengan ( 1) kali kovarian variabel ke-j dan

variabel ke-k. Elemen diagonal utama matriks , 112 + 21

2 , ,12 + 2

2 , ,12 + 2

2

merupakan variansi dari variabel. Sedangkan 12 + 2

2 , = 1,2, . . , merupakan panjang vektor

variabel (dengan pusat jarak Euclid di titik O(0,0)). Sehingga dapat dikatakan bahwa panjang

vektor variabel sebanding dengan variansi variabel (Matjik dan Sumertajaya, 2011).



HASIL DAN PEMBAHASAN

Deskripsi data penelitian

Gambaran data penelitian di tampilkan pada tabel Deskriptif Statistik berikut.

Tabel 1. Deskriptif Statistik

N Minimum Maximum Mean Std. Deviation Variance

Penduduk Miskin (X1) 10 11.69 39.27 19.9220 7.46983 55.798

AMH (X2) 10 72.57 91.63 84.3240 6.12581 37.526

APS (X3) 10 92.58 100.00 96.3380 2.54088 6.456

Tidak Bekerja (X4) 10 31.22 47.67 37.2530 5.46294 29.844

Bekerja Informal (X5) 10 36.38 68.34 54.7690 9.49724 90.197

Bekerja Formal (X6) 10 .45 15.95 7.9810 4.85856 23.606

Bekerja Sektor Pertanian (X7) 10 1.78 55.85 39.6360 16.41475 269.444

Bekerja Bukan Pertanian (X8) 10 12.40 50.54 23.1140 11.71297 137.194

Pengeluaran Makanan (X9) 10 59.69 73.21 67.2390 4.13745 17.118

Luas Lantai (X10) 10 41.12 79.19 59.3520 12.71368 161.638

Valid N (listwise) 10

Pada tabel 1 terlihat Gambaran karakteristik kemiskinan di provinsi NTB, rata-rata

penduduk miskin di 10 kabupaten tersebut sebesar 19.92%, dengan rata-rata angka melek huruf

84.32%, rata-rata angka partisipasi sekolah yang tinggi oleh penduduk miskin sebesar 96.33%

yang berarti semangat penduduk miskin untuk bersekolah sangat tinggi. Persentase penduduk

miskin yang tidak bekerja 37.25%, rata-rata penduduk miskin yang bekerja di sektor informal

54.77%, sedangkan yang bekerja di sektor formal masih sangat kecil yaitu 7.98%. Penduduk

miskin yang bekerja di sektor pertanian 39.64% lebih tinggi daripada penduduk miskin yang

bekerja di bukan sektor pertanian sebesar 23.11%. Rata-rata pengeluaran perkapita untuk

makanan rumah tangga miskin sebesar 67.24%. Pengeluaran perkapita adalah rata-rata

pengeluaran makanan rumah tangga dibagi dengan jumlah anggota rumah tangga yang

bersangkutan. Rata-rata luas lantai rumah tangga miskin di provinsi NTB sebesar 59.35%,

dengan luas lantai setiap rumah tangga lebih kecil dari 8m2 82 .

Hasil Analisis Biplot

Berdasarkan prosedur analisis Biplot diperoleh hasil berupa grafik Biplot seperti pada

Gambar 1.



a. Hasil grafik Biplot untuk = 0.5 ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Gambar 1. Pemetaan Biplot data karakteristik kemiskinan di provinsi NTB

Pada penelitian ini dihasilkan grafik biplot dengan = 0.5. Alasan terpilihnya biplot

dengan = 0.5 yaitu karena hasil kali matriks koordinat Objek (G) dan matriks koordinat

variabel (H) sama dengan elemen-elemen pada matriks data awal .Sehingga biplot

dalam penelitian ini merupakan Square Root Biplot (SQRT) atau Biplot Simetri. Biplot Simetri

merupakan tipe Biplot yang membuat kesamaan penskalaan atau pembobotan pada baris dan

kolom secara bersamaan, sehingga digunakan untuk menggambarkan gabungan vektor objek

yaitu kabupaten/kota serta variabel yang merupakan karakteristik kemiskinan secara bersamaan

dalam satu plot (grafik).

b. Interpretasi Informasi Biplot

Biplot adalah upaya membuat gambar di ruang berdimensi banyak menjadi gambar di

ruang dimensi dua. Informasi data yang disajikan dalam Biplot ditentukan berdasarkan nilai

2,semakin mendekati nilai satu berarti Biplot yang diperoleh dari matriks pendekatan

berdimensi dua akan memberikan penyajian data yang semakin baik mengenai informasi-

informasi yang terkandung pada data yang sebenarnya. Penyajian informasi ini bergantung pada

nilai eigen(). Pada penelitian ini diperoleh nilai 1sebesar 5231.74, dan 2 sebesar 1078.05,



sehingga diperoleh nilai 2 sebesar 84.59%. Nilai 2 mendekati satu, maka Biplot dalam

penelitian ini memberikan penyajian yang cukup baik mengenai informasi dari data yang

sebenarnya.

c. Kedekatan Antar Objek (Kabupaten/kota)

Informasi ini dijadikan panduan untuk mengetahui kabupaten/kota yang memiliki

kemiripan karakteristik kemiskinan dengan kabupaten/kota lainnya. Kabupaten/kota yang

berada pada kuadran yang sama dapat dikatakan memiki kesamaan karakteristik kemiskinan

yang cukup dekat, jika dibandingkan dengan kabupaten/kota yang berada pada kuadran yang

berbeda. Pada gambar 1. terlihat kabupaten/kota yang berada pada kuadran yang sama yaitu

kuadran keempat, diantaranya Kota Bima dan Kota Mataram. Dapat dikatakan bahwa kedua

kota tersebut memiliki kesamaan karakteristik kemiskinan. Selain itu juga dapat ditentukan

melalui jarak Euclidean, dari plot yang dihasilkan dapat ditentukan jarak Kota Bima dan Kota

Mataram sebesar 4.037, yang berarti kota kabupaten tersebut memiliki kemiripan karakteristik

kemiskinan. Interpretasi yang sama juga berlaku untuk kabupaten/kota lainnya.

d. Interpretasi Nilai Variabel Pada Suatu Objek

Informasi ini digunakan untuk menentukan karakteristik kemiskinan di setiap wilayah

(kabupaten/kota). Suatu wilayah yang terletak searah dengan vektor karakteristik kemiskinan

menunjukkan tingginya nilai karakteristik kemiskinan untuk wilayah tersebut. Atau dapat

interpretasikan bahwa karakteristik kemiskinan untuk wilayah tersebut mempunyai nilai di atas

rata-rata seluruh kabupaten/kota. Sebaliknya, jika suatu wilayah terletak berlawanan arah

dengan vektor karakteristik kemiskinan maka nilai karakteristik kemiskinannya rendah atau di

bawah nilai rata-rata seluruh kabupaten/kota. Sedangkan jika wilayah yang hampir berada di

tengah-tengah berarti wilayah tersebut memiliki nilai karakteristik kemiskinan yang dekat

dengan rata-rata.

Pada gambar 1, terlihat bahwa Kabupaten Lombok Barat searah dengan arah vektor

variabel (10). Sesuai dengan data asli, dimana luas lantai perkapita rumah tangga miskin (10)

di Kabupaten Lombok Barat sebesar 79.19% di atas rata-rata keseluruhan yakni 59.35%.

Contoh lainnya pada Kabupaten Lombok Utara yang searah dengan vektor 1, hal ini

menyatakan jumlah penduduk miskin di kabupaten tersebut sebesar 39.27% berada di atas rata-

rata yakni sebesar 19.92%. Contoh lainnya pada Kabupaten Lombok Tengah yang searah

dengan vektor 5, hal ini menandakan bahwa penduduk miskin yang bekerja di sektor informal

pada kabupaten Lombok Tengah sebesar 68.34% berada di atas rata-rata keseluruhan yaitu

54.77%. Sedangkan variabel 6 berlawanan arah dengan kabupaten Lombok Tengah yang

berarti penduduk miskin yang bekerja di sektor formal pada kabupaten tersebut sebesar 0.45%

berada di bawah rata-rata seluruh kabupaten sebesar 7.98%. Interpretasi yang sama pada kota



Mataram yang searah dengan vektor variabel 8 dan berlawan arah dengan vektor variabel 7.

Hal ini menandakan penduduk miskin yang bekerja di bukan sektor pertanian (8) sebesar

50.54% berada di atas rata-rata yakni 23.11%. Sedangkan penduduk miskin yang bekerja di

sektor pertanian (7) sebesar 1.78% berada di bawah rata-rata yakni 39.64%. Interpretasi yang

sama juga berlaku untuk kabupaten/kota dan karakteristik kemiskinan lainnya.

e. Keragaman Variabel (Karakteristik Kemiskinan)

Informasi ini digunakan untuk melihat keragaman karakteristik kemiskinan setiap

kabupaten/kota. Dengan informasi ini, bisa diperkirakan pada karakteristik kemiskinan yang

mana strategi harus ditingkatkan dalam rangka menurunkan angka kemiskinan, dan juga

sebaliknya. Dalam Biplot nantinya komponen-komponen dengan keragaman yang kecil

digambarkan sebagai vektor yang pendek sedangkan komponen-komponen dengan keragaman

yang besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.

Pada gambar 1 terlihat bahwa vektor terpanjang pada variabel 7 yaitu penduduk

miskin yang bekerja di sektor pertanian, dengan nilai keragaman sebesar 34.162. Sesuai data

aslinya penduduk miskin yang bekerja disektor pertanian (7) untuk kota Mataram sebesar

1.78%, paling kecil di antara 9 kabupaten/kota lainnya. Sedangkan kabupaten Bima menempati

urutan ke sepuluh, dengan jumlah penduduk miskin yang bekerja disektor pertanian paling besar

yaitu 55.85%. Vektor terpendek ada pada variabel 3 (angka partisipasi sekolah penduduk

miskin), yang berarti keragaman data pada variabel 3 sebesar 0.232. Ini berarti angka

partisipasi sekolah penduduk miskin sangat tinggi. Kota Bima menempati urutan pertama,

dengan angka partisipasi sekolah penduduk miskin mencapai 100%, sedangkan yang terendah

pada kota Mataram sebesar 92.58%. Hal ini menandakan program pemertintah provinsi NTB

untuk meningkatkan angka partisispasi sekolah penduduk miskin sudah berhasil, terlihat dari

nilai rata-rata angka partisipasi sekolah di 10 kabupaten/kota mencapai 96.34% (Data Tabel 1).

Interpretasi yang sama juga berlaku untuk panjang vektor variabel lainnya. Secara berturut-turut

panjang vektor variabel yang menunjukkan keragaman data karakteristik kemiskinan meliputi

variabel 7 (penduduk miskin yang bekerja disektor pertanian) sebesar 34.162, 10 (Luas lantai

perkapita rumah tangga miskin) sebesar 30.230, 8 (Penduduk miskin bekerja di bukan sektor

pertanian) sebesar 17.389, 5 (Penduduk miskin yang bekerja di sektor informal) sebesar 9.307,

1 (Penduduk Miskin) sebesar 4.020, 4 (Penduduk miskin yang tidak bekerja) sebesar 3.146,

2 (angka melek huruf penduduk miskin) sebesar 3.140, 9 (Pengeluaran perkapita untuk

makanan) sebesar 1.878, 6 (Penduduk miskin yang bekerja di sektor formal) sebesar 1.661,

dan 3 (angka partisipasi sekolah penduduk miskin) sebesar 0.232.

f. Korelasi Antar Variabel (Karakteristik Kemiskinan)



Korelasi atau hubungan saling mempengaruhi antar karakteristik kemiskinan dapat

diinterpretasikan dari penyajian grafik Biplot. Pada grafik Biplot, karakteristik kemiskinan

digambarkan sebagai garis berarah. Dua karakteristik yang memiliki korelasi positif akan

digambarkan sebagai dua garis dengan arah yang sama sehingga membentuk sudut sempit atau

sudut lancip. Sedangkan jika dua buah karakteristik digambarkan sebagai dua garis yang

berlawanan maka dikatakan memiliki korelasi negatif, sehingga membentuk sudut lebar atau

tumpul. Namun jika dua buah karakteristik digambarkan dalam bentuk garis dengan sudut siku-

siku maka dikatakan karakteristik kemiskinan tersebut tidak saling berkorelasi atau

berhubungan.

Sudut yang dibentuk antara dua karakteristik kemiskinan merupakan nilai cosinus. Semakin

kecil nilai cosinus yang dibuat antara dua karakteristik kemiskinan maka semakin tinggi

korelasinya. Sehingga diperoleh hasil bahwa jumlah penduduk miskin (1) dan pengeluaran

perkapita untuk makanan penduduk miskin (9)saling mempengaruhi dan berkorelasi positif.

Hal tersebut ditentukan dari sudut yang terbentuk sebesar 18.03. Semakin banyak jumlah

penduduk miskin dalam satu keluarga, maka semakin banyak pengeluaran perkapita untuk

makanan yang harus dikeluarkan. Contoh lainya yaitu pada karakteristik penduduk miskin yang

bekerja di sektor informal (5) berkorelasi negative dengan penduduk miskin yang bekerja di

sektor formal (6), dengan sudut yang terbentuk sebesar 173.84. Semakin banyak jumlah

penduduk miskin yang bekerja di sektor informal maka semakin sedikit penduduk miskin yang

bekerja di sektor formal. Interpretasi yang sama juga berlaku untuk karakteristik kemiskinan

lainnya.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan analisis hasil dan pembahasan, maka dapat disimpulkan hal-hal berikut:

Analisis Biplot dalam penelitian ini memberikan penyajian yang cukup baik mengenai

informasi dari data yang sebenarnya berdasarkan nilai 2 sebesar 84,59%. Biplot yang terbentuk

dalam pada penelitian ini merupakan Square Root Biplot (SQRT) atau Biplot Simetri. Wilayah

yang memiliki kesamaan karakteristik kemiskinan ada pada kabupaten Bima dan kabupaten

Sumbawa, dengan jarak Euclid terdekat sebesar 0.266. Sedangkan jarak terjauh ada pada

kabupaten Lombok Tengah dan kota Mataram, sebesar 9.779. Keragaman karakteristik

kemiskinan ditunjukkan dengan panjang vektor, dengan vektor terpanjang pada penduduk

miskin yang bekerja di sektor pertanian (7) dan vektor terpendek pada angka partisipasi

sekolah penduduk miskin (3).

Saran.

Selain menggunakan analisis Biplot, pemetaan karakteristik kemiskinan juga dapat

dilakukan menggunakan Multidimensional Scalling atau dengan kombinasi Biplot



menggunakan analisis faktor dan Cluster. Serta saran bagi pemerintah provinsi NTB dari hasil

pemetaan ini diharapkan program-program pemerintah dalam mengentaskan kemiskinan lebih

tepat sasaran, karena dari plot terlihat beberapa daerah yang memiliki karaktersitik kemiskinan

yang sama. Sehingga nantinya diperoleh distribusi kesejahteraan yang merata di setiap

kabupaten/kota.

DAFTAR PUSTAKA

Berita Resmi Statistik, 2012. BPS Provinsi NTB. BRS No. 44/07/52/TH.VI , 2 Juli 2012

Johnson, R.A. dan D.W. Wichern, 2002, Applied Multivariate Statistical Analysis, Fifth Edition.

Prentice Hall Inc, New Jersey.

Kohler, U. dan Luniak, M. (2005). Data inspection using Biplots. The Stata Journal Vol 5,

Number 2, pp. 208223.

Matjik, A.A., dan Sumertajaya, (2011) I. M., Sidik Peubah Ganda dengan Menggunakan

SAS. IPB Press. Dermaga. Bogor.

Nugroho, S., 2008. Statistika Multivariat Terapan. UNIB Press. Bengkulu

Rencer, A. C., 2002. Methods of Multivariate Analysis. Brigham Young University.



PROBABILITAS WAKTU DELAY MODEL EPIDEMI ROUTING

Dyah Wardiyani1, Respatiwulan, Sutanto

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas Maret Surakarta

1) [email protected]

Abstrak Model epidemi routing menjelaskan pengiriman paket data pada jaringan mobile melalui analogi pada model epidemi penyebaran penyakit. Analogi didasarkan

pada kemiripan proses dan variabel. Pengiriman paket data dapat dilihat berdasarkan

banyaknya node yang menerima paket data. Perubahan banyaknyanode yang

menerima paket data terhadap waktu dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial.

Waktu delay merupakan waktu yang dibutuhkan untuk mengirim paket dari satu node

ke node yang lain. Setiap pengiriman paket data memiliki waktu delay yang berbeda,

sehingga waktu delay dapat dipandang sebagai variabel random yang memiliki fungsi

distribusi probabilitas.

Tujuan penelitian ini adalah mengonstruksi model epidemi routing dan

menentukan probabilitas waktu delay. Selanjutnya, model epidemi routing dan

probabilitas waktu delay diterapkan pada kasus pengiriman informasi pada area

militer dan disimulasikan dengan mengambil laju pengiriman paket, yang berbeda. Hasil simulasi menunjukkan semakin besar maka semakin cepat waktu yang diperlukan agar semua node menerima paket data dan probabilitas kumulatif waktu

delay menuju 1.

Kata kunci: delay, epidemi routing, mobile, node, dan probabilitas.

1. Pendahuluan

Model epidemi merupakan model matematika yang dapat menggambarkan pola

penyebaran penyakit. Banyak ilmuwan yang meneliti dan memodelkan pola penyebaran

penyakit, diantaranya Mc.Kendrick dan Kermack [5]. Pada tahun 1927 Mc.Kendrick dan

Kermack berhasil memodelkan pola penyebaran penyakit dalam bentuk deterministik yang

sesuai dengan kasus epidemi sebenarnya. Kesesuaian model epidemi dengan kasus epidemi

sebenarnya, mengakibatkan banyak dilakukan pengembangan model epidemi. Menurut Isham

[4], pengembangan model epidemi dapat dilakukan dengan menambah variabel atau menambah

perlakuan. Pengembangan model epidemi juga dapat dilakukan dengan melakukan analogi

antara proses penyebaran penyakit dengan proses lain yang memiliki kemiripan proses. Salah

satu proses yang mirip dengan penyebaran penyakit adalah proses pengiriman paket data pada

routing (Zhang [10]).

Routing merupakan proses pemilihan jalur pengiriman paket data pada suatu jaringan

mobile (Andrew [1]). Jaringan mobile dibentuk oleh beberapa node yang dapat berpindah

tempat atau bersifat mobile. Menurut Liu [7] dan Zhang [10], pengiriman paket data pada

routing dapat dinyatakan dengan algoritma store- carry-forward. Maksud dari algoritma store-

carry-forward adalah node menerimapaket data, membawa paket data dan mengirimkannya ke

node lain yang belummemiliki paket data sampai semua node memiliki paket data. Menurut



Small [8]dan Sun[9], algoritma store-carry-forward mirip dengan proses penyebaran

penyakitpada model susceptible infected (SI ). Pada model SI, individu menularkanpenyakit ke

individu lain yang belum terinfeksi. Karena kemiripan proses penyebaranpenyakit dan

pengiriman paket data pada routing, maka dapat dilakukananalogi.

Model analogi penyebaran penyakit dan pengiriman paket data pada routing disebut

dengan model epidemi routing (Zhang [10]). Model epidemi routing menggambarkan pola

pengiriman paket data pada routing berdasarkan banyaknyanode yang menerima paket data tiap

waktu. Menurut Zhang [10], padamodel epidemi routing diharapkan mampu mencapai

minimum waktu penundaanpengiriman paket data (waktu delay). Waktu delay merupakan

selang waktudari pertama kali paket data diterima oleh sebuah node sampai dikirimkan ke

nodeyang lain. Pengiriman paket yang satu dengan yang lain memiliki waktu delay yang

berbeda, sehingga waktu delay tidak dapat diprediksi dengan pasti. Olehkarena itu waktu delay

dapat dipandang sebagai variabel random. Ketidakpastian waktu delay dapat dinyatakan dalam

fungsi distribusi kumulatif waktu delay.Sehingga pada penelitian ini akan dikonstruksi ulang

model epidemi routing danprobabilitas waktu delay.

2. Model Epidemi Routing

Model epidemi routing merupakan model yang dapat menggambarkan pola pengiriman

paket data pada jaringan mobile berdasarkan banyaknya node yang menerima paket data.

Menurut Zhang [10], model epidemi routing dapat mudah dikonstruksi dengan menganalogikan

pengiriman paket data dan penyebaran penyakit, berdasarkan proses dan variabel yang

berpengaruh. Menurut Small [8] dan Sun [9], model epidemi yang sesuai dengan proses

pengiriman paket data pada routing adalah model susceptible infected (SI).

Pada model SI, populasi individu dibagi ke dalam dua kelompok, yaitu kelompok

individu rentan () dan kelompok individu terinfeksi penyakit (). Individu dapat terinfeksi

penyakit dengan laju penularan sebesar b, sehingga banyaknya individu akan berkurang

sebesar ke individu . Individu rentan yang terus berkurang mengakibatkan semua individu

akan terinfeksi penyakit.

Karena pengiriman paket data pada routing dapat dianalogikan dengan model SI,

asumsi pada model epidemi routing mengacu pada model SI. Berikut adalah asumsi-asumsi

konstruksi model epidemi routing.

1. Pengiriman paket data terjadi pada suatu jaringan mobile dengan banyaknya node

konstan.

2. Node dalam jaringan mobile tersebut dibagi ke dalam kelompok node tanpa paket dan

node yang memiliki paket.

3. Setiap node memiliki peluang yang sama untuk mendapat paket data.

4. Hanya satu paket data yang dikirimkan



Pada model epidemi routing, node-node dibagi dalam kelompok node tanpa paket data

() dan kelompok node yang memiliki paket data (). Node dapat terkirimi paket data dengan

laju pengiriman paket data sebesar , sehingga node akan berkurang ke node sebesar .

Karena setiap node memiliki kemungkinan yang sama untuk menerimat paket data, banyaknya

node kelompok berpindah ke kelompok sebesar . Sehingga proses pengiriman dan

penerimaan paket data antar node disajikan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Proses pengiriman dan penerimaan paket data antar node

Banyaknya node pada kelompok dan pada waktu , masing-masing dinyatakan

sebagai () dan (). Jika banyaknya node dalam jaringan mobile dinyatakan dengan maka

() = (). Dengan demikian perubahan banyaknya node yang menerima paket data

terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai

()

= , (2.1)

dengan laju pengiriman paket data > 0.

Model epidemi routing menggambarkan pola pengiriman paket data berdasarkan

banyaknya node yang menerima paket data. Persamaan (2.1) menyatakan perubahan banyaknya

node yang menerima paket data terhadap waktu. Sehingga persamaan (2.1) perlu diselesaikan

untuk mendapatkan banyaknya node yang menerima paket data tiap waktu.

Persamaan (2.1) harus dibentuk ke dalam persamaan diferensial dengan variabel

terpisah (Campbell [2]), yaitu

()

1

= (2.2)

Jika diasumsikan (0) = 1 yang berarti mula-mula terdapat sebuah node yang memiliki paket

data, maka banyaknya node yang menerima paket data dapat dinyatakan sebagai

=

1 + 1 , (2.3)


Jika nilai semakin besar maka nilai semakin mendekati 0. Hal ini

mengakibatkan banyaknya node yang menerima paket data mendekati . Sedangkan jika

bernilai 0 maka bernilai 1, berakibat hanya terdapat sebuah node yang menerima paket

data yaitu node awal. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka banyaknya

node yang menerima paket data semakin cepat mendekati N.

3. Probabilitas Waktu Delay



Ketika terjadi pengiriman paket data pada jaringan mobile dimungkinkan terdapat waktu

penundaan pengiriman paket data atau waktu delay (Groenevelt [3]). Menurut Zhang [10] dan

Zhou [11], waktu delay merupakan selang waktu dari pertama kali paket data diterima oleh

sebuah node sampai dikirimkan ke node yang lain, < < + dengan kecil.

Pengiriman paket yang satu dengan yang lain memiliki waktu delay yang berbeda, sehingga

waktu delay tidak dapat diprediksi secara pasti. Oleh karena itu, waktu delay dapat dipandang

sebagai variabel random. Ketidakpastian waktu delay dapat dinyatakan dalam fungsi distribusi

kumulatif waktu delay. Menurut Zhang [10], fungsi distribusi kumulatif dari ,() =

( < ).

Fungsi distribusi kumulatif sulit diperoleh secara langsung. Menurut Small [8] dan

Lin [6] perubahan fungsi distribusi kumulatif untuk kecil dapat dinyatakan dengan

= lim

0

+

= lim0

> + >

. 3.1

Pada persamaan (3.1),

> + = ( [, + ]| > )( > )

= (1 , + > ) > . (3.2)

Probabilitas waktu delay pada , + ditentukan berdasarkan durasi delay dan rata-rata

banyaknya node yang menerima paket data. Karena waktu delay terdapat pada , + maka

durasi delay sebesar , sedangkan rata-rata banyaknya node yang menerima paket data sebesar

(). Probabilitas waktu delay pada , + dinyatakan sebagai

, + > = . (3.3)

Persamaan (3.3) disubtitusikan ke persamaan (3.2), sehingga didapatkan

> + = 1 > . (3.4)

Selanjutnya, persamaan (3.4) disubstitusikan ke persamaan (3.1), diperoleh

= lim

0

[ > 1 >

= > .

Karena > = 1 ( < ), maka

= 1 . (3.5)

Persamaan (3.5) diselesaikan untuk mendapatkan persamaan yang menyatakan

probabilitas waktu delay. Persamaan (3.5) harus dibentuk ke dalam persamaan diferensial

dengan variabel terpisah (Campbell [2]). Jika diasumsikan (0) = 0, maka penyelesaian

persamaan (3.5) yaitu



= 1

+ ( 1), (3.6)


Jika nilai semakin besar maka nilai juga semakin besar tergantung pada . Hal

ini mengakibatkan probabilitas kumulatif waktu delay semakin mendekati 1. Sedangkan jika

bernilai 0 maka bernilai 1, berakibat probabilitas kumulatif waktu delay bernilai 0.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka probabilitas kumulatif waktu delay

semakin cepat mendekati 1.

4. Penerapan Kasus

Pada bagian ini diberikan kasus pengiriman paket data jaringan mobile di area militer.

Pada area militer tertentu terdapat 100 node mobile yang dapat mengirimkan paket data dengan

laju 0.222 jam/node (Groenevelt [3]). Semua node dalam jaringan mobile tersebut diharapkan

dapat menerima paket data dengan terdapat sebuah sumber atau node awal yang memiliki paket

data. Banyaknya node pada waktu t pada jaringan mobile di area militer tersebut dapat

dinyatakan dengan

=100

1 + 9922.2. (4.1)

Pada model epidemi routing juga diharapkan mampu mencapai minimum waktu

penundaan pengiriman paket data (delay).Pengiriman paket yang satu dengan yang lain

memiliki waktu delay yang berbeda, sehingga waktu delay tidak dapat diprediksi dengan pasti.

Oleh karena itu waktu delay dapat dipandang sebagai variabel random. Ketidakpastian waktu

delay dapat dinyatakan dalam fungsi distribusi kumulatif waktu delay. Fungsi distribusi

kumulatif waktu delay pada jaringan mobile dalam area militer tersebut adalah

= 1 100

22.2 + 99. (4.2)

Persamaan (4.1) dan persamaan (4.2) yang menyatakan banyaknya node yang menerima paket

data dan probabilitas kumulatif waktu delay dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 () menunjukan bahwa pada waktu 0.87 jam semua node dalam jaringan

mobile telah menerima paket data. Gambar 2 () menunjukan bahwa probabilitas kumulatif

waktu delay kurang dari 0,87 jam dalam jaringan mobile menuju 1. Hal ini menunjukan

probabilitas waktu delay mendekati 0 atau dapat dikatakan sudah tidak terjadi waktu delay.

Sehingga semua node dalam jaringan mobile pada area militer tersebut menerima paket dan

probabilitas delay mencapai minimum setelah 0,87 jam. Banyaknya node yang menerima paket

data dan probabilitas waktu delay pengiriman paket data dalam area militer tersebut hanya

dipengaruhi oleh laju pengiriman paket data.



Gambar 2. (a) Banyaknya node yang menerima paket data dan (b) probabilitas waktu delay

Pengaruh laju pengiriman paket data terhadap pola pengiriman paket data dan

probabilitas waktu delay dalam jaringan mobile dapat diperjelas dengan simulasi. Simulasi pola

pengiriman paket data dan probabilitas waktu delay untuk = 0.15, = 0.222, = 0.9

dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3. () Banyaknya node yang menerima paket data dan (b) probabilitas waktu delay

dengan = 0.15, = 0.222, = 0.9

Gambar 3 () menunjukan bahwa untuk = 0.15 semua node dalam jaringan mobile

dapat menerima paket data dalam waktu 1.28 jam, untuk = 0.222 memerlukan waktu 0.87

jam, dan = 0.9 memerlukan waktu 0.22 jam. Sedangkan dari Gambar 3 () terlihat bahwa

untuk = 0.15 probabilitas waktu delay menuju 1 setelah 1.28 jam, untuk = 0.222 setelah

0.87 jam, dan = 0.9 setelah 0.22 jam. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar laju

pengiriman paket data ()maka semakin cepat waktu yang diperlukan agar semua node

menerima paket data dan probabilitas waktu delay cepat menuju 1. Hasil simulasi ini

memperjelas pengaruh laju pengiriman paket data ()terhadap banyaknya node yang menerima

paket data dan probabilitas waktu delay yang telah dijelaskan sebelumnya.



5. Kesimpulan

Model epidemi routing pada jaringan mobile dinyatakan sebagai

=

1 + 1 ,

dengan syarat terdapat satu node awal yang memiliki paket data, sedangkan probabilitas

kumulatifwaktu delay pada model epidemi routing yaitu

= 1

+ ( 1),

dengan probabilitas waktu delay mula-mula 0, laju pengiriman paket data > 0 dan banyaknya

node dalam jaringan N. Simulasi menunjukan semakin besar laju pengiriman paket data

() maka semakin cepat waktu yang diperlukan agar semua node menerima paket data dan

probabilitas waktu delay juga semakin cepat menuju 1.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Andrew S.T., Computer Networks, Pearson Education, Inc., Amsterdam, 2003.

[2] Campbell,L. Stephen, An Introduction to Differential Equations and Their Application,

second ed., Wadswordh, Inc, California, USA, 1990.

[3] Groenevelt, R., P. Nain, and G. Koole, The Message Delay in Mobile Ad Hoc Network,

Perform (2005), no. 62, 210-228.

[4] Isham, V., Stochastic Models for Epidemics, Research Report 263, Department of

Statistical Science, University College London, 2004.

[5] Kermack,W.O. and A. G. McKendrick, A Contribution to The Mathematical Theory

ofEpidemics, Proceedings of the Royal Society of London Series A 115(1927), 700-721.

[6] Lin, Y., B. Li, B. Liang, Stochastic Analysis of Network Coding in Epidemic Routing, ACN

MobiOpp (2007).

[7] Liu, J., X. Jiang, H. Nishiyama, and N. Kato, General Model for Store-Carry-

ForwardRouting Schemes with Multicast in Delay Tolerant Networks, IEEE (2011), 494-

500.

[8] Small, T., and Z.J. Haas, The Shared Wireless Infostation Model-A New Ad Hoc

NetworkingParadigm, MobiHoc, Maryland, USA (2003), 233-244.

[9] Sun,L., Epidemic Content Distribution in Mobile Networks, Master of science thesis, KTH

Royal Institute of Technology, Stockholm, Swedia, Februari 2013.

[10] Zhang, E., G. Neglia, J. Kurose, and D. Towsley, Performance Modeling of

EpidemicRouting, Tech. Report 44, UMass Computer Science, 2005.

[11] Zhou, S., L. Ying, S. Tirthapura, Delay, Cost and Infrastructure Tradeoff of Epidemic

Routingin Mobile Sensor Networks, Proceedings of 11 the 6th International Wireless

Communications and Mobile Computing Conference.



PIECEWISE POLYNOMIAL SMOOTH SUPPORT VECTOR MACHINE

UNTUK KLASIFIKASI DESA TERTINGGAL

DI PROVINSI KALIMANTAN TIMUR

Ita Wulandari1)

, Santi Wulan Purnami2)

, Santi Puteri Rahayu3)

1,2,3) Program Magister Jurusan Statistika FMIPA ITS

Kampus ITS Keputih, Sukolilo, Surabaya 60111, Jawa Timur,

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak

Support Vector Machine (SVM) adalah metode yang sangat popular untuk klasifikasi

data biner pada data mining. SVM dapat diaplikasikan secara luas seperti pengenalan

pola, analisis regresi, dan estimasi probabilitas. SVM memanfaatkan optimasi dengan

quadratic programming yang apabila digunakan untuk data berdimensi tinggi dan data

dengan jumlah besar menjadi kurang efisien. Oleh karena itu para peneliti

mengembangkan suatu teknik dengan mengubah formulasi SVM menggunakan

smoothing technique yang disebut Smooth-SVM (SSVM). Teknik ini mampu

mengkonversi quadratic programming pada SVM menjadi linear programming.

Penelitian selanjutnya berkembang dengan memodifikasi smooth function pada SSVM

kedalam bentuk polynomial smooth function seperti: quadratic polynomial function,

fourth polynomial function, piecewise polynomial function dan spline function.

Dibandingkan dengan ketiga polynomial smooth function lainnya, piecewise polynomial

function mempunyai performansi yang lebih baik. Piecewise polynomial function jika

diterapkan pada model SSVM, maka akan diperoleh model Piecewise Polynomial

Smooth Support Vector Machine (PPSSVM). Penelitian ini menggunakan dua model

yaitu Smooth-SVM (SSVM) dan PPSSVM yang ditemukan oleh Wu dan Wang.

Penelitian ini akan mengkaji performansi piecewise polynomial function dan

konvergensi kedua model secara teoritis serta mencoba menerapkan model terbaik

untuk klasifikasi desa tertinggal di Provinsi Kalimantan Timur menggunakan data

PODES (Potensi Desa) 2011.

Keywords: desa tertinggal, klasifikasi, piecewise polynomialsmooth functionSVM,

Smooth SVM.

PENDAHULUAN

SVM adalah suatu teknologi pembelajaran statistik yang dapat menghasilkan

performansi generalisasi terbaik. SVM diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh Vapnik pada

tahun 1995 dan sangat berhasil melakukan prediksi, baik dalam kasus klasifikasi maupun

regresi. Metode ini berusaha untuk menemukan fungsi pemisah optimal yang bisa memisahkan

dua set data dari dua kelas atau disebut juga hyperplane terbaik diantara fungsi yang tidak

terbatas (Gunn, 1998).

Lee dan Mangasarian, (2001) menyatakan bahwa SVM memanfaatkan optimasi

dengan quadratic programming yang apabila digunakan untuk data berdimensi tinggi dan data

dengan jumlah besar menjadi kurang efisien. Oleh karena itu para peneliti mengembangkan

smoothing technique untuk mengubah optimasi yang terbatas menjadi optimasi yang tanpa

batas menggunakan formulasi dari SVM standar. Teknik tersebut adalah Smooth-SVM (SSVM)

yang mampu mengkonversi quadratic programming pada SVM menjadi linear programming

dengan menggunakan algoritma Newton-Armijo.



Para peneliti kemudian mengembangkan smooth function ke dalam bentuk fungsi

polynomial. Yuan dan Huang, (2005) menemukan quadratic polynomial function dan fourth

polynomial function. Luo dkk, (2006) menemukan piecewise polynomial function. Yuan dkk,

(2007) menemukan spline function. Purnami dkk, (2009a, 2009b) membandingkan keempat

fungsi yang ditemukan oleh peneliti-peneliti tersebut pada permasalahan diagnosis kanker

payudara. Hasil yang diperoleh adalah piecewise polynomial function mempunyai performansi

terbaik.

Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Wu dan Wang (2013) yang menemukan

piecewise polynomial function yang berbeda rumus fungsinya dengan yang ditemukan Luo, dkk

(2006). Penelitian tersebut memberikan kesimpulan bahwa piecewise polynomial function

memiliki efisiensi, ketepatan serta akurasi yang terbaik.

Pada penelitian ini akan membandingkan model PPSSVM yang ditemukan Wu dan

Wang dengan model SSVM. Kedua model akan dilihat performansi smooth function dan

konvergensi kedua model secara teoritis untuk mendapatkan model terbaik. Model terbaik

selanjutnya diterapkan untuk klasifikasi desa tertinggal di Provinsi Kalimantan Timur

menggunakan data PODES Tahun 2011.

METODE PENELITIAN

Data dan Prosedur Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder. Variabel respon

berasal dari Kemendagri pada profil desa dan kelurahan 2011: data dasar tipologi klasifikasi,

kategori desa kelurahan (2012). Variabel prediktor berasal dari BPS yaitu data PODES Provinsi

Kalimantan Timur Tahun 2011 yang terdiri dari 16 variabel. Penelitian dilakukan terhadap 1465

desa. Untuk melakukan analisis data dalam penelitian ini digunakan program aplikasi

MATLAB. Langkah-langkah analisis data penelitian ini antara lain sebagai berikut:

1. Melakukan analisis secara teoritis performansi smooth function dan konvergensi kedua

modeluntuk mendapatkan model terbaik. Langkah-langkah untuk menyelesaikan tahap ini

adalah sebagai berikut:

a. Performansi smooth function: membandingkan selisih antara smooth function dengan

plus function.

b. Konvergensi kedua model: dengan membuktikan bahwa problem optimasi model

SSVM dan PPSSVM dapat mendekati problem optimasi model awal ketika k

mendekati tak hingga.

2. Model terbaik kemudian digunakan untuk klasifikasi desa tertinggal di Provinsi

Kalimantan Timur menggunakan data PODES 2011. Langkah-langkahnya adalah sebagai

berikut:



a. Menggunakan fungsi kernel Gaussian dalam implementasi pembentukan model

terbaik.

b. Membagi data training dan testing menggunakan 10-fold cross validation.

c. Mencari kombinasi 2log dan 2log v terbaik sebagai parameter model terbaik dengan

memilih akurasi yang paling tinggi.

d. Membangun model terbaik dengan algorithma Newton-Armijo.

e. Evaluasi performansi klasifikasi dilihat dari akurasinya.


1. Support Vector Machine (SVM)

Support Vector Machine (SVM)pertama kali diusulkan oleh Vapnik untuk klasifikasi

dua kategori atau binomial. Pada bentuk yang paling sederhana, SVM memisahkan titik-titik dari

kelas yang berbeda, misalkan kelas {+1} dan {-1} dengan hyperplane tunggal pada ruang

berdimensi banyak yang pada akhirnya partisi-partisi tersebut diselesaikan secara nonlinier.

Hyperplane yang optimum diperoleh melalui program nonlinier, tepatnya quadratic

programming (Bertsimas dan Shioda, 2007).

Diberikan permasalahan klasifikasi dari sebanyak n objek dalam ruang dimensi Rp

sehingga susunan data berupa matrik A berukuran n x p dan keanggotaan tiap titik yaitu yi

terhadap kelas {+1} atau {-1} didefinisikan pada diagonal matriks D berukuran n xn. Untuk

permasalahan klasifikasi program dari algorithma SVM standar adalah sebagai berikut ( 22||.||

SVM

):

1

2122

( , , )min ' || ||

w ye y w

p nRv

(1)

dengan kendala ( )D Aw e y e

y 0

dimana:

v : Parameter yang ditentukan sebagai pengontrol (trade off)

y : Vektor variabel slack berukuran n x 1 yang mengukur kesalahan klasifikasi dan bernilai

nonnegatif.

ruang-9

Documents