Probability & StatisticsRandom Variable

Dibuat oleh: Bayu Rima Aditya

Peubah Acakaturan pemetaan outcome

suatu eksperimen ke bilanganReal (Numerik)

Berapa rata-rata kebutuhan listrik wargaBandung perbulannya?

Ada yang tahu?

Kalau tidak adayg tahu, berarti

itu peubah acak.

Suatu Server di suatu Data Centre memerlukan daya listrik 3000 Watt. 5 buah UPS dipasang paralel sebagai backup dan identik satu

sama lain. Masing-masing 1 kWatt.

Banyaknya Ruang Sampel: 32

X: S RealSehingga dalam kasus ini X : S {0,1,2,3,4,5}

Inilah Peubah Acak, yang kita tidak tau nilainya berapa, akan tetapikita tau pasti ada di antara suatu nilai dengan nilai lain.

PEU

BA

H A

CA

K Beragam

Berubah-Ubah

Belum Diketahui Nilainya

Memiliki Nilai Peluang

Memiliki Distribusi

Broadband Access Performance Test

Apabila Anda tertarik untuk mengukur keceparan download, kecepatan upload, menentukan ISP yang dipakai, dan sebagainya, berarti Anda sedang berbicaratentang peubah acak, karena nilainya bisa beragam dan bisa beubah-ubah dari

pengukuran ke pengukuran.

Peubah Acak Diskrit vs Peubah Acak Kontinu

Peubah Acak Diskrit

• Peubah acak diskrit nilainyadiperoleh dengan caramembilang ataupunmenghitung.

• Nilainya merupakan bilanganbulat dan asli (tidak pecahan).

Peubah Acak Kontinu

• Peubah acak kontinu nilainyadiperoleh dari atau diperolehdengan cara mengukur.

• Peubah acak kontinu biasanyadigunakan untuk menyatakanukuran sebuah waktu dan hasilpengukuran

• Nilainya berupa interval

Distribusi Probabilitas

• Sering juga disebut sebaran probabilitas atau sebaran peluang.

• Menunjukkan besarnya probabilitas dari setiap hasil (outcome) yangmuncul dalam suatu percobaan acak (random).

• Sehingga besar peluang dapat dihitung melalui fungsi yang sudahtertentu.

Distribusi Probabilitas Diskrit

• Distribusi probabilitas dari peubah yang cara memperolehnya dengan caramenghitung atau membilang

• Distribusi binomial, multinomial, hipergeometrik dan distribusi poisson

Jumlah Server Down dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari:

Jumlah Server Down dlm sehari Jumlah hari

0 54

1 117

2 72

3 42

4 12

5 3

Total 300

Jika X menyatakan jumlah server yang down dalam sehari, maka f(0) menyatakanprobabilitas 0 server yang down dalam satu hari, f(1) menyatakan probabilitas 1 server yang down dalam satu hari dan seterusnya.

Berdasarkan data server down per hari, nilai probabilitasnyadapat dilihat sebagai berikut:

X f(x)

0 0.18

1 0.39

2 0.24

3 0.14

4 0.04

5 0.01

Total 1

probabilitas 0 server down dalam sehari

adalah 54/300 = 0.18

Sehingga apabila kita ingin menghitung probabilitas bahwa 3 atau lebihserver down dalam sehari, maka kita hitung

f(3) + f(4) + f(5)

= 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit:

atau

Jumlah peluang total:

oxf )( 1)(0 xf

1)(xf

Grafik fungsi Probabilitas

FUNGSI PROBABILITAS KUMULATIFPEUBAH ACAK DISKRIT

Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitasyang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa server yang down kurangdari 3, Maka kita akan menjumlahkan semua probabilitas dari nilai2x yangbersangkutan.

Rumus Probabilitas Kumulatif Peubah Acak Diskrit

Dimana :

menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x samaatau kurang dari x

f(x)x)P(XF(X)

x)P(XF(x)

Probabilitas Kumulatif dari jumlah Server Down dalam Sehari

X F(X)

0 0.18

1 0.57 (=0.18+0.39)

2 0.81 (=0.57+0.24)

3 0.95 (=0.81+0.14)

4 0.99 (=0.95+0.04)

5 1.00 (=0.99+0.01)

Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagaiberikut :

Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit

E ( X )= x = [xi.f (xi)]

Dimana :

Xi = nilai ke i dari peubah acak X

f(xi) = probabilitas terjadinya xi

Contoh :

X = banyaknya pesanan pemasangan set infrastuktur pada DC selama 1 minggu. P(x) = probabilitas X = x.

X 0 1 2 3

P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan!

Varians dan Simpangan Baku

Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians dan simpanganbaku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :

Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2

Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x) = Var (X)

Nama Distribusi Notasi dan Parameter fX(x) X 2X

Uniform X ~ Uni(N) 1/Nx=1,2,3,…,N

(N+1)/2 (N2-1)/ 12

Bernouli X ~ Bin(1,p)0<p<1 q=1-p

pxq1-x

x=0,1p pq

Binomial X ~ Bin(n,p)0<p<1 q=1-p

x=0,1,2,…,n np npq

Geometrik X ~ Geo(p)0<p<1 q=1-p

pqx-1

x=1,2,…1/p q/p2

Negatif Binomial X ~ NB(r,p)0<p<1 q=1-pr=1,2,3,…

x=r,r+1,r+2,… r/p rq/p2

Hipergeometrik X ~ Hyp(n,M,N)n=1,2,…,NM=0,1,2,…,N

x=0,1,2,…,n NM/N n(M/N)(1-M/N)*((N-n)/(N-1))

Poisson X ~ Poi(λ)λ > 0

x=0,1,2,… λ λ

Beberapa Distribusi Peluang Peubah Diskrit

xnxn

x qpC

xrrx

r qpC

1

1

N

n

MN

xn

M

x

C

CC

!x

e x

Distribusi Probabilitas Kontinu

• Distribusi probabilitas dari peubah yang cara memperolehnya dengan caramengukur

• Distribusi normal, z, t, chi kuadrat dan F

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas kontinu:

atau

Jumlah peluang total:

oxf )( 1)(0 xf

1)( dxxf

Rumus Probabilitas Kumulatif Peubah AcakKontinu

0x

f(x)dxx)P(XF(X)

)()()()( aFbFdxxfbXaPb

a

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Dimana :

Xi = nilai ke i dari peubah acak X

f(xi) = probabilitas terjadinya xi

)dxx.f(xE(X) i

Varians dan Simpangan Baku

Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians dan simpanganbaku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :

Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2

Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x) = Var (X)

Beberapa Peluang Peubah Kontinu

Nama Distribusi Notasi dan Parameter fX(x) X 2X

Uniform X ~ Uni(a,b)a < b

1/(b-a)a < x < b

(a+b)/2 (b-a)2/12

Normal X ~ Normal (,2)2 > 0

Gamma X ~ Gam(,)0 < 0 <

0 < x

2

Eksponensial X ~ Exp()0 <

0 < x

2

Weibul X ~ Wei(,)

0 < x

(1+1/) 2[(1+2/)-2(1+1/)]

Pareto X ~ Par(,)

0 < x

/(-1) > 1

(2) /((-2)(-1)2) > 2

Beta X ~ Beta(a,b)0 < a 0 < b

0 < x < 1

2

2)(

2

1

x

e

/1

)(

1 xex

/1 xe

/1 xex

1/1

x

1)1(

1

)()(

)(

bx

ax

ba

ba