PROSES BERPIKIR SISWA DALAM MENGGENERALISASI POLA

BERDASARKAN TEORI APOS

Sutarto1; Subanji

2; Intan Dwi Hastuti

2

1 IKIP) Mataram;

2 Universitas Negeri Malang

1sutarto_zadt@ymail.com

Abstrak: Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan proses berpikir siswa dalam

menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS. Subjek penelitian ini adalah 5 siswa kelas

VIII SMPN 5 Malang. Pengumpulan data menggunakan instrumen tugas pemecahan

masalah generalisasi pola (TPMGP) yang dikerjakan sambil think alouds dan wawancara.

Pada tahap pertama, siswa menyelesaikan TPMGP dan pada tahap ke dua peneliti

melakukan wawancara berbasis tugas untuk memahami proses berpikir yang dilakukan

siswa. Hasil penelitian menunjukkan bahwa proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi

pola berdasarkan teori APOS pada tahap enkapsulasi terdiri dari dua, yaitu enkapsulasi

sempurna dan enkapsulasi tidak sempurna. Proses enkapsulasi sempurna adalah proses

berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola dimana pada tahap enkapsulasi proses subjek

menghasilkan generalisasi pola yang benar, sedangkan proses enkapsulasi tidak sempurna

adalah proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola dimana pada tahap enkapsulasi

proses subjek tidak menghasilkan generalisasi pola yang benar.

Kata Kunci: Proses berpikir, generalisasi pola, APOS.

PENDAHULUAN

Pola merupakan ide yang mendasari pemikiran matematis. Zazkis dan Liljedahl (2002)

menyatakan bahwa pola adalah jantung dan jiwa dari matematika. Vogel (2005) menyatakan bahwa

menganalisis pola, mendeskripsikan pola, dan sifat-sifatnya merupakan salah satu tujuan dari

matematika. Mulligan, dkk., (2011:796) menyatakan hampir semua matematika didasarkan pada pola

dan struktur.

Menurut National Council of Teachers of Mathematics (2000) dalam memahami pola siswa

dituntut untuk merepresentasikan, menganaliasis dan menggeneralisasi variasi pola dengan tabel,

grafik, kata-kata, dan simbol. Demikian pula di Indonesia, analisis dan generalisasi pola juga

merupakan salah satu tujuan pembelajaran matematika yang termuat dalam kompetensi dasar

matematika SMP/MTs adalah memahami pola dan menggunakannya untuk menduga dan membuat

generalisasi/kesimpulan (Permendikbud, 2013).

Mulligan dan Mitchelmore (2009) menyebutkan bahwa pola matematika dapat

digambarkan sebagai keteraturan yang dapat diprediksi, biasanya melibatkan numerik, spasial,

atau hubungan logis. Sedangkan Janvier (1987) menyatakan bahwa pola dapat berbentuk

graphic, numeric, verbal dan algebraic. Dalam penelitian ini menggunakan pola berbentuk

graphic/bergambar, karena pola bergambar memungkinkan seseorang mengamati dengan cara

yang berbeda (Sutarto, dkk., 2016). Dalam hal pengamatan Wertheimer (1923) menjelaskan

tentang hukum Gestlat yaiut hukum kesamaan (law of similarity), hukum kedekatan (law of

proximity), dan hukum ketertutupan (law of closure).

Generalisasi pola merupakan aspek penting dalam aktivitas matematika sekolah (Dindyal,

2007; Hargreaves, dkk., 1999; Mulligan, Mitcelmore; Zazkis dan Liljedahl, 2002). Sejalan dengan ide

ini Kchemann (2010) menyatakan bahwa generalisasi harus menjadi inti dari kegiatan matematika

sekolah. Generalisasi pola merupakan aktivitas membuat aturan umum pola berdasarkan contoh-contoh

khusus. Lebih lanjut dijelaskan bahwa generalisasi merupakan jenis tertentu dari conjecture, yang

1

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

2

diperoleh dari penalaran khusus ke umum (Yerushalmy, 1993). Ramussen dan Miceli (2008)

menyatakan bahwa generalisasi yang berdasarkan pada penalaran induktif disebut conjecture. Jadi

generalisasi pola dalam penelitian adalah membuat aturan umum pola berdasarkan contoh-contoh

khusus.

Penelitian tentang generalisasi pola telah dikaji oleh peneliti (Radford, 2006; Blanton dan

Kaput, 2011). Radford (2003) menjelaskan tiga tipe generalisasi pola yaitu (1) factual, (2) contextual,

dan (3) simbolic. Tipe generalisasi factual adalah tipe generalisasi berdasarkan pada fakta yang

diketahui. Sifat faktual menekankan pemikiran bahwa generalisasi ini terjadi dalam tingkatan dasar dari

generalisasi di mana semesta pembicaraan tidak melampaui gambar tertentu, misalnya gambar ke

1000, gambar ke 1000000, dan sebagainya. Tingkatan generalisasi faktual pada tingkatan tindakan

(action) secara numerik dan memungkinkan siswa untuk mengatasi kasus-kasus tertentu. Contextual

adalah tipe generalisasi berdasarkan konteks masalah dan terbatas pada objek tertentu. Symbolic adalah

tipe generalisasi yang berhubungan dengan objek aljabar atau simbol yang tidak terbatas pada objek

tertentu. Blanton dan Kaput (2011: 8) menggunakan tiga model analisis pola dan hubungannya yang

didasarkan kerangka Smith sebagai kerangka kerja dalam membahas berpikir fungsional, yaitu (1)

recursive patterning meliputi penemuan variasi dalam suatu barisan nilai, (2) covariational thinking

yang didasarkan pada analisis bagaimana dua variasi kuantitas secara simultan dan memahami bahwa

perubahan sebagai suatu yang eksplisit dan bagian dinamis serta deskripsi fungsi, dan (3) hubungan

korespondensi didasarkan pada korelasi antara variabel. Diantara penelitian tersebut, belum

mengungkap tentang proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS.

Proses berpikir dalam menggeneralisasi pola akan diuraikan berdasarkan tahapan conjecturing

tipe induksi empiris dari bilangan berhingga kasus diskrit karena conjecturing tipe ini sering ditemukan

dalam masalah yang melibatkan bilangan, dimana pola yang diamati konsisten dan masalah yang

diberikan dalam penelitian ini adalah masalah pola yang konsisten. Berikut tahapannya yaitu (1)

mengamati kasus, (2) mengorganisir kasus, (3) mencari dan memprediksi pola, (4) merumuskan

conjecture, (5) memvalidasi conjecture, (6) menggeneralisasi conjecture, (7) membenarkan

generalization. Penjelasan tahapan tersebut telah diuraikan dalam (Sutarto, dkk., 2016).

Setelah diuraikan berdasarkan 7 tahapan tersebut, maka akan dianalisis berdasarkan teori

APOS, karena teori APOS merupakan teori yang dapat digunakan sebagai suatu alat analisis

untuk mendeskripsikan perkembangan skema seseorang pada suatu topik matematika yang

merupakan totalitas dari pengetahuan yang terkait (secara sadar atau tak sadar) terhadap topik

tersebut (Dubinsky, 2001). Teori ini didasari oleh hipotesis bahwa pengetahuan matematika

seseorang akan kecenderungan untuk mengatasi situasi yang merupakan masalah matematis

dengan membangun aksi, proses, dan objek serta mengaturnya dalam skema untuk memahami

situasi dan memecahkan masalah (Dubinsky dan McDonald, 2001).

Teori APOS yang mendeskripsikan sebuah action di interiorisasi sebagai Process.

Process diencapsulasi kedalam sebuah object. Selanjutnya dikaitkan dengan pengetahuan yang

lain dalam sebuah schema. Sebuah schema juga bisa diencapsulasi sebagai sebuah object.

Penjelasan yang lebih rinci tentang teori APOS dalam (Asiala, dkk., 1996). Berdasarkan uraian

diatas, maka tujuan penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan proses berpikir siswa dalam

menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS.

METODE PENELITIAN

Subjects

Subjek dalam penelitian ini adalah 8 siswa kelas VIII SMP Negeri 5 Malang yang menghasilkan rumus

atau aturan umum secara simbolik.

ISBN: 978 602 1150 17 7

3

Instrument

Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini ada dua jenis yaitu instrumen utama dan instrumen

bantu. Instrumen utama adalah peneliti sendiri yang bertindak sebagai perencana, pengumpul data,

penganalisis data, penafsir data, dan pelapor hasil penelitian. Instrumen bantu yang digunakan dalam

penelitian ini berupa Tugas Pemecahan Masalah Generalisasi Pola (TPMGP) yang dikerjakan sambil

think alouds dan wawancara. TPMGP yang diberikan bertujuan untuk memperoleh gambaran tentang

proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola, sedangkan wawancara yang digunakan adalah

wawancara yang tidak terstruktur. TPMGP disajikan pada gambar 1 berikut.

Gambar 1. Tugas pemecahan masalah generalisasi pola

Data Analysis

Penelitian ini adalah penelitian kualitatif dengan pendekatan deskriptif eksploratif. Pada tahap analisis

data, kegiatan dilakukan setelah memperoleh data meliputi: (1) mentranskrip data yang diperoleh dari

wawancara, (2) mereduksi data, (3) mengodekan data, (4) mendeskripsikan proses berpikir siswa dalam

menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS, dan (5) penarikan kesimpulan. Analisis lembar

jawaban TPMGP, dan hasil wawancara berdasarkan indikator proses conjecturing dalam (Sutarto, dkk.,

2015).

HASIL DAN PEMBAHASAN

Bagian ini akan menganalisis proses berpikir subjek S1 dan S2 dalam menggeneralisasi pola

berdasarkan teori APOS (action, process, object dan schema). Pada tahap aksi, subjek S1 mengamati

kasus dengan cara mengamati dan menghitung jumlah persegi secara utuh, tanpa membedakan persegi

hitam dan persegi putih. Pada gambar ke-1 ada 7 persegi, gambar ke-2 ada 11 persegi dan gambar ke-3

ada 15 persegi. Berdasarkan jumlah persegi pada gambar ke-1, gambar ke-2, dan gambar ke-3, subjek

S1 mengorganisir kasus dengan cara mengurutkan pola barisan bilangan. Mengurutkan pola barisan

bilangan dengan menuliskan gambar ke-1, gambar ke-2, gambar ke-3, secara berturut-turut 7, 11, 15.

Pada tahap proses, subjek S1 menginternalisasi aksi untuk mencari dan memprediksi pola dengan

cara menghitung selisih antara gambar ke-2 dan gambar ke-1, gambar ke-3 dan gambar ke-2 dan

berpikir tentang gambar selanjutnya. Selisih gambar ke-2 dan ke-1 adalah , gambar ke-3

dan ke-2 adalah , dari selisih tersebut subjek S1 memprediksi gambar ke-4 juga ditambah 4.

Pada tahap objek, subjek S1 merumuskan conjecture dengan melakukan encapsulasi proses yaitu

melihat selisih atau penambahan dari masing-masing gambar. Penambahan dari gambar ke-1 ke gambar

ke-2 adalah 4, gambar ke-2 ke gambar ke-3 adalah 4, dan gambar ke-3 ke gambar ke-4 juga 4. Dengan

melihat penambahan tersebut, subjek S1 merumuskan conjecture rumus umum untuk menentukan

banyaknya persegi pada gambar ke . Selanjutnya subjek S1 memvalidasi conjecture dengan

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

4

mencoba rumus pada gambar ke-1, . Setelah menghitung jumlah persegi gambar ke-1 dengan rumus dan melihat kesesuaian dengan jumlah persegi pada gambar ke-1

yang telah diketahui, subjek S1 mengatakan bahwa rumus nya salah. Setelah menyadari bahwa conjecture yang dirumuskan salah, subjek S1 pada tahap process

melakukan de-encapsulasi dengan cara mencari angka awal sebelum di tambahkan empat dengan

memanfaatkan rumus . Subjek S1 mencari angka awal dengan menghitung selisih jumlah persegi gambar ke-1 dikurangi 4, gambar ke-2 dikurangi 4 dan gambar ke-3 juga dikurangi 4.

Hasil pengurangannya berturut turut 3, 7, 11. Pada tahap process ini, subjek S1 melakukan

coordination antara rumus , mencari angka awal, dan jumlah persegi masing-masing gambar dikurangi beda. Selanjutnya subjek S1 menyadari bahwa angka awal yang dicari belum tepat

karena angka awalnya masih beda.

Subjek S1 selanjutnya menggunakan cara lain yaitu mencari angka awal sebelum ditambahkan

kali dengan cara memisalkan sebagai angka awal. Gambar ke-1 ( ) ,

( ), maka . Gambar ke-2 ( ), ( ),

maka . Dari dua angka awal tersebut subjek S1 menyimpulkan bahwa angka awal sebelum

ditambahkan 4 kali adalah 3. Dalam menemukan angka awal ini subjek S1 melakukan coordination

antara angka awal yang berbeda, kali , memisalkan sebagai angka awal, untuk gambar ke-1, untuk gambar ke-2.

Pada tahap objek, subjek S1 melakukan encapsulation process dalam merumuskan conjecture

rumus umum untuk menentukan banyaknya persegi pada gambar ke-n adalah ( ) . Selanjutnya subjek S1melakukan validasi conjecture berdasarkan jumlah persegi pada gambar ke-4

( ), ( ), sama dengan , , karena jumlah persegi

gambar ke-4 yang diperoleh dengan rumus ( ) sama dengan jumlah persegi yang diketahui maka rumus tersebut benar.

Pada tahapan skema, subjek S1 meyakini bahwa rumus umum untuk menentukan banyaknya

persegi pada gambar dari pola yang terbentuk adalah ( ). Subjek S1 meyakini rumus umum yang dihasilkan adalah benar setelah melakukan validasi. Dengan meyakini rumus umum

tersebut, maka subjek S1 telah menggeneralisasi conjecture yang dihasilkan.

Selanjutnya, dalam membenarkan generalisasi, subjek S1 menunjukkan contoh tertentu seperti

yang telah dilakukan pada saat memvalidasi conjecture. Contoh tertentu yang dimaksud yaitu mencari

jumlah persegi gambar ke-4 menggunakan rumus umum ( ). Selanjutnya melihat kesesuaian jumlah persegi yang dihasilkan dengan rumus dan cara manual dengan tujuan meyakinkan orang lain

bahwa conjecture yang dihasilkan adalah benar. Berikut hasil pekerjaan subjek S1 pada Gambar 1, dan

Proses berpikir subjek S1 dalam menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS disajikan pada Diagram

1.

ISBN: 978 602 1150 17 7

5

Gambar 1. Hasil Pekerjaan subjek S1 dalam menggeneralisasi pola

Pada tahap action, subjek S2 mengamati kasus dengan cara mengamati dan menghitung

jumlah persegi secara utuh, tanpa membedakan persegi hitam dan persegi putih. Beberapa

action yang dilakukan adalah mengamati dan menghitung jumlah gambar ke-1 ada 7 persegi,

gambar ke-2 ada 11 persegi, dan gambar ke-3 ada 15 persegi. Berdasarkan jumlah persegi pada

gambar ke-1, gambar ke-2, dan gambar ke-3, subjek S2 mengorganisir kasus dengan cara

membuat daftar untuk mengaitkan gambar ke-1 dengan 7 (jumlah persegi gambar ke-1),

gambar ke-2 dengan 11 (jumlah persegi gambar ke-2), dan gambar ke-3 dengan 15 (jumlah

persegi gambar ke-3).

Pada tahap proses, subjek S2 melakukan interiorization action untuk mencari dan

memprediksi pola dengan cara menghitung penambahan dari gambar ke-1 ke gambar ke-2,

gambar ke-2 ke gambar ke-3, dan berpikir tentang gambar selanjutnya. Penambahan dari

masing-masing gambar diperoleh dengan cara menghitung selisih gambar ke-2 dan ke-1 adalah

, gambar ke-3 dan ke-2 adalah , dari selisih tersebut subjek S2

memprediksi gambar ke-4 juga bertambah 4.

Pada tahap objek, subjek S2 merumuskan conjecture dengan melakukan encapsulation

process yaitu memperhatikan jumlah persegi gambar ke-1 ada 7, gambar ke-2 ada 11, dan

gambar ke-3 ada 15. Dengan memperhatikan jumlah persegi tersebut dan persegi selanjutnya

selalu bertambah 4, maka subjek S2 merumuskan conjecture rumus untuk menentukan

banyaknya persegi pada gambar . Selanjutnya subjek S2 memvalidasi

conjecture dengan mencari jumlah persegi gambar ke-5 dengan cara manual dan rumus

. Dengan cara manual subjek S2 menuliskan jumlah persegi gambar

, dengan menggunakan rumus

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

6

. Setelah mengetahui jumlah persegi gambar ke-5 dengan cara

manual dan rumus berbeda. Subjek S2 menyadari adanya kesalahan dari rumus yang

dihasilkan, selanjutnya subjek S2 mencoba rumus untuk mencari jumlah persegi gambar

( ) dan mencocokkan dengan jumlah persegi

gambar ke-1 yang sudah diketahui ada 7. Dari hasil mencocokkan, S2 menyadari bahwa

conjecture yang dihasilkan ada kekeliruan.

Setelah mengetahui bahwa conjecture yang dihasilkan ada kekeliruan, subjek S2 kembali

ke tahap process dengan melakukan de-encapsulation. De-encapsulation yang dilakukan yaitu

dengan cara mengotak-atik rumus tersebut untuk mencari polanya. S2 menyadari bahwa

jumlah persegi gambar pertama ada 7. Berdasarkan rumus , untuk gambar

pertama tidak perlu menambahkan cukup menuliskan 7, untuk gambar ke-2 empat

nya ada 1, untuk gambar ke-3 empat nya ada 2. Pada tahap process ini, subjek S2

melakukan coordination antara rumus , jumlah persegi setiap gambar, dan

banyaknya 4 pada masing-masing gambar.

Pada tahap objek subjek S2 melakukan encapsulation process setelah menyadari

gambar ke-1 tidak perlu menambahkan cukup menuliskan 7, gambar ke-2 empat nya ada 1,

gambar ke-3 empat nya ada 2. Selanjutnya subjek S2 merumuskan conjecture untuk

menentukan banyaknya persegi pada gambar ( ) atau dapat

disederhanakan menjadi ( ) . Setelah itu, subjek S2 memvalidasi

conjecture yang dihasilkan dengan menggunakan contoh tertentu yaitu melihat kembali

kecocokan jumlah persegi gambar ke-5 secara manual dan menggunakan rumus

( ). Dengan cara manual S2 menuliskan jumlah persegi gambar

, dengan rumus ( ) ( ) .

Setelah mengetahui ada perbedaan antara perhitungan manual dengan perhitungan

menggunakan rumus. S2 mengecek lagi perhitungan manualnya dan menyadari bahwa jumlah

persegi gambar bukan 35 melainkan dan

mengatakan hasilnya sama 23.

Pada tahapan schema, subjek S2 meyakini bahwa rumus umum untuk menentukan

banyaknya persegi pada gambar dari pola yang terbentuk adalah ( ). Subjek

S2 meyakini rumus umum yang dihasilkan adalah benar setelah melakukan validasi. Dengan

meyakini rumus umum tersebut, maka subjek S2 telah menggeneralisasi conjecture yang

dihasilkan.

Selanjutnya, dalam membenarkan generalisasi, subjek S2 menunjukkan contoh tertentu

seperti yang telah dilakukan pada saat memvalidasi conjecture. Contoh tertentu yang dimaksud

yaitu mencari jumlah persegi gambar ke-6 dan ke-7 dengan cara manual dan menggunakan

rumus ( ). Selanjutnya melihat kesesuaian antara jumlah persegi yang

dihasilkan secara manual dan menggunakan rumus dengan tujuan meyakinkan orang lain

bahwa conjecture yang dihasilkan adalah benar. Dengan cara manual subjek S2 menuliskan

gambar ke-1 ada 7, gambar ke-2 ada 11, gambar ke-3 ada 15, gambar ke-4 ada 19, gambar ke-5

ada 23, gambar ke-6 ada 27, gambar ke-7 ada 31 dan seterusnya. Dengan menggunakan rumus

( ) , gambar ( ) = gambar

( ) = . Selanjutnya S2 mengatakan sama antara jumlah persegi yang

diperoleh secara manual dan menggunakan rumus, begitu juga untuk gambar-gambar yang

ISBN: 978 602 1150 17 7

7

lainnya. Menggeneralisasi dan membenarkan conjecture merupakan schema yang diperoleh

dari tahap action, process dan object. Berikut hasil pekerjaan subjek S2 pada Gambar 2 dan proses

berpikir subjek S2 dalam menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS disajikan pada

Diagram 2.

Gambar 2. Hasil Pekerjaan subjek S1 dalam menggeneralisasi pola

Dalam menggeneralisasi pola untuk menentukan rumus umum banyaknya persegi pada

gambar subjek S1 dan S2 pada tahap action telah menyadari bahwa gambar ke-1,

gambar ke-2, dan gambar ke-3 membentuk sebuah pola. Untuk menggeneralisasi pola, subjek

kategori ini mengamati kasus dengan cara mengamati dan menghitung jumlah persegi secara

utuh, tanpa membedakan persegi hitam dan persegi putih. Mengamati kasus secara utuh tampa

membedakan persegi hitam dan putih ini sesuai dengan salah satu hukum Gestlat dalam

pengamatan yaitu hukum kesamaan (law of equivalence) yaitu hukum dimana seseorang

cenderung mempersepsikan stimulus yang sama sebagai suatu kesatuan (Wertheimer, 1923).

Berdasarkan jumlah persegi pada gambar ke-1, ke-2, dan ke-3, subjek tersebut

mengorganisir kasus dengan cara menuliskan jumlah persegi dalam bentuk barisan atau

membuat daftar untuk mengaitkan gambar dan jumlah persegi, sehingga memudahkan subjek

bekerja pada kasus tersebut. Menurut Allen (2001) cara yang paling umum digunakan dalam

mengorganisir-kasus tertentu adalah dengan mendaftar data atau tabel.

Diagram 1. Prose berpikir subjek S1 dalam menggeneralisasi pola Diagram 2. Prose berpikir subjek S2 dalam menggeneralisasi pola

berdasarkan teori APOS berdasarkan teori APOS

Kode Penjelasan Kode Penjelasan Kode Penjelasan

Mengamati kasus Menggeneralisasi conjecture Coord Coordination

Mengorganisir kasus Membenarkan conjecture Action

Mencari dan memprediksi pola InterAct Interriorization Action Process

Merumuskan conjecture Encapro Encapsulation Process Object

Memvalidasi conjecture De-Encap De-Encapsulation Schema

ISBN: 978 602 1150 17 7

9

Pada tahap action, subjek mengamati dan menghitung persegi secara utuh, maupun

mengorganisir kasus untuk mempermudah subjek bekerja pada kasus tersebut merupakan

reaksi dari subjek berdasarkan adanya pengaruh dari masalah yang diberikan. Hal ini sesuai

dengan pendapat Dubinsky dan McDonald (2001) bahwa action merupakan transformasi

terhadap suatu hal atau objek yang dilakukan individu sebagai kebutuhan eksternal baik secara

eksplisit maupun dari memori, langkah demi langkah sebagai petunjuk melakukan operasi.

Pada tahap proses, subjek kategori ini melakukan interiorization action untuk mencari

dan memprediksi pola dengan cara menghitung beda dari masing-masing pola dan berpikir

tentang gambar selanjutnya. Subjek S1 dan S2 menemukan pola dari masing-masing gambar

ke-1 ke gambar ke-2 adalah 4 dan gambar ke-2 ke gambar ke-3 juga 4 dan berpikir bahwa

gambar selanjutnya juga bertambah 4. Subjek tersebut dapat menemukan pola dari

masing-masing gambar setelah melakukan interiorization beberapa action, setelah itu

dikoordinasikan untuk dapat memprediksi gambar selanjutnya, sehingga dapat digunakan

sebagai dasar melakukan encapsulation. Perubahan transformasi dari masalah yang diberikan

(eksternal) ke dalam internal (pikiran) siswa disebut interiorization. Hal ini sesuai dengan

pendapat Dubinsky (2001) bahwa interiorisasi merupakan perubahan dari suatu kegiatan

prosedural untuk mampu melakukan kembali kegiatan itu dalam imajinasi beberapa pengertian

yang berpengaruh terhadap kondisi yang dihasilkan.

Dalam melakukan interiorization action, tidak hanya melakukan koordinasi beberapa

action yang telah dilakukan, melainkan dikoordinasikan juga dengan pengetahuan awal yang

dimiliki oleh siswa. Pengetahuan awal yang dimiliki oleh siswa seperti mencari beda dari

masing-masing gambar.

Pada tahap object, subjek S1 merumuskan conjecture dengan melakukan encapsulation

process yaitu melihat selisih atau penambahan dari masing-masing gambar. Penambahan dari

gambar ke-1 ke gambar ke-2 adalah 4, gambar ke-2 ke gambar ke-3 adalah 4, dan gambar ke-3

ke gambar ke-4 juga 4. Dengan melihat penambahan tersebut, subjek S1 merumuskan

conjecture rumus umum untuk menentukan banyaknya persegi pada gambar ke .

Sedangkan subjek S2 melakukan encapsulation process dengan memperhatikan jumlah persegi

gambar ke-1 ada 7 dan gambar selanjutnya selalu bertambah 4, maka subjek S2 merumuskan

conjecture rumus untuk menentukan banyaknya persegi pada gambar .

Pada tahap memvalidasi conjecture rumus subjek S1 menggunakan

contoh tertentu yang telah diketahui dalam masalah yaitu gambar ke-1, ,

sedangkan subjek S2 memvalidasi conjecture dengan mencari jumlah persegi gambar ke-5

secara cara manual dan rumus . Dasar memvalidasi berdasarkan contoh

tertentu yang telah diketahui (misalnya validasi berdasarkan gambar ke-1, ke-2, dan ke-3)

dalam masalah dinamakan validasi internal, sedangkan validasi berdasarkan contoh tertentu

selain yang diketahui dalam masalah (misalnya validasi dengan gambar ke-4, ke-5, , ke-n)

dinamakan validasi eksternal.

Subjek kategori ini melakukan encapsulation proses yang tidak sempurna dalam

merumuskan conjecture rumus umum untuk menentukan banyaknya persegi pada gambar

ke-n, karena setelah divalidasi dengan contoh tertentu, subjek mengatakan bahwa rumus atau

conjecture yang dihasilkan salah.

Setelah mengetahui bahwa conjecture yang dihasilkan salah, subjek kembali ke tahap

process untuk melakukan de-encapsilation dengan cara mencari angka awal sebelum di

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

10

tambahkan empat dengan memanfaatkan rumus . Subjek S1 mencari angka

awal dengan menghitung selisih jumlah persegi gambar ke-1 dikurangi 4, gambar ke-2

dikurangi 4 dan gambar ke-3 juga dikurangi 4. Hasil pengurangannya berturut turut 3, 7, 11.

Dari pengurangan tersebut, angka awalnya belum sama. Subjek S1 selanjutnya menggunakan

cara lain yaitu mencari angka awal sebelum ditambahkan kali dengan cara memisalkan

sebagai angka awal. Gambar ke-1 ( ), ( ), maka .

Gambar ke-2 ( ) , ( ) , maka . Dari dua angka

awal tersebut, diperoleh angka awal sebelum ditambahkan 4 kali adalah 3. Dalam

menemukan angka awal ini subjek S1 melakukan coordination antara angka awal yang

berbeda, kali , memisalkan sebagai angka awal, untuk gambar ke-1, untuk gambar

ke-2.

Sedangkan subjek S2 melakukan de-encapsulation setelah mengetahui bahwa conjecture

yang dihasilkan ada kekeliruan. Subjek S2 kembali ke tahap process dengan cara

mengotak-atik rumus tersebut untuk mencari polanya. S2 menyadari bahwa jumlah persegi

gambar pertama ada 7. Berdasarkan rumus , untuk gambar pertama tidak

perlu menambahkan cukup menuliskan 7, untuk gambar ke-2 empat nya ada 1, untuk

gambar ke-3 empat nya ada 2. Pada tahap process ini, subjek S2 melakukan

coordination antara rumus , jumlah persegi setiap gambar, dan banyaknya 4

pada masing-masing gambar.

Cara yang dilakukan oleh subjek S1 dan S2 dalam tahap prosess berbeda. Subjek S1

mencari angka awal, sedangkan subjek S2 melihat penambahan 4 (beda) untuk masing-masing

persegi. Cara yang berbeda, menandakan bahwa simbol yang dibentuk oleh subjek sangat

bermakna bagi dirinya dan menggambarkan pengetahuannya, hal ini sesuai dengan yang

dinyatakan oleh Steinbring (Botzer & Yerushalmy, 2008) bahwa tanda atau simbol matematika

merupakan alat untuk coding dan menggambarkan pengetahuan serta mengomunikasikan

pengetahuan matematika mereka.

Setelah subjek melakukan proses baru dan selanjutnya proses tersebut di encapsulation

sehingga menghasilkan generalisasi pola yaitu rumus umum untuk menentukan banyaknya

persegi pada gambar ke-n adalah . Proses menghasilkan merupakan proses

encapsulation, hal ini sesuai dengan pendapat Dubinsky dan McDonald (2001) bahwa

proses-proses baru dapat juga dikonstruksi (dibentuk) dengan cara mengoordinasikan

proses-proses yang sudah ada, Bila hal tersebut menjadi suatu proses sendiri untuk

ditransformasikan oleh suatu action, maka dikatakan proses itu telah di encapsulation menjadi

suatu object.

Proses encapsulation yang dilakukan oleh subjek sampai menghasilkan conjecture yang

benar berdasarkan contoh tertentu merupakan hasil dari encapsulation yang sempurna.

Selanjut subjek tersebut melakukan validasi dengan contoh tertentu dan mengatakan benar.

Validasi di sini bertujuan untuk mengetahui kebenaran dari conjecture yang dihasilkan

berdasarkan contoh tertentu, hal ini sejalan dengan pendapat Canadas dkk (2007) bahwa

memvalidasi conjecture adalah penetapan kebenaran dari untuk kasus tertentu tetapi tidak pada

umumnya. Proses merumuskan dan memvalidasi conjecture terjadi secara berulang sampai

menghasilkan conjecture yang benar.

ISBN: 978 602 1150 17 7

11

Pada tahapan schema, subjek S1 meyakini bahwa rumus umum untuk menentukan

banyaknya persegi pada gambar dari pola yang terbentuk adalah ( )

sedangkan subjek S2 adalah ( ) . Subjek tersebut meyakini rumus umum yang

dihasilkan adalah benar setelah melakukan validasi. Dengan meyakini rumus umum tersebut,

maka subjek telah menggeneralisasi conjecture yang dihasilkan. Generalisasi yang dilakukan

oleh subjek S1 dan subjek S2 merupakan generalisasi secara simbolik, hal ini sesuai dengan

pendapat Radford (2003) bahwa tipe generalisasi simbolik adalah tipe generalisasi yang

berhubungan dengan objek aljabar atau simbol yang tidak terbatas pada objek tertentu.

Selanjutnya, dalam membenarkan generalisasi, subjek kategori ini menunjukkan contoh

tertentu seperti yang telah dilakukan pada saat memvalidasi conjecture dan selanjutnya melihat

kesesuaian antara jumlah persegi yang dihasilkan dengan rumus dan yang telah diketahui

dalam masalah atau cara manual dengan tujuan meyakinkan orang lain bahwa conjecture yang

dihasilkan adalah benar.

PENUTUP

Proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola berdasarkan teori APOS terdiri dari dua,

yaitu proses enkapsulasi sempurna dan enkapsulasi tidak sempurna. Proses enkapsulasi sempurna adalah

proses berpikir siswa dalam menggeneralisasi pola dimana pada tahap enkapsulasi proses subjek menghasilkan

generalisasi pola yang benar, sedangkan proses enkapsulasi tidak sempurna adalah proses berpikir siswa dalam

menggeneralisasi pola dimana pada tahap enkapsulasi proses subjek tidak menghasilkan generalisasi pola yang

benar.

DAFTAR RUJUKAN

Asiala M, Brown A, DeVries DJ, Dubinsky E, Mathews D, Thomas K (1996). Framework for research

and curriculum development in undergraduate mathematics education. Res. Coll. Math. Educ.

6:1-32.

Blanton, Maria, L., & Kaput, James J. 2011. Functional Thinking as a Route Algebra in The

Elementary Grade. Dalam Cai, Jinva & Knuth, Eric (Eds.), Early Algebraization: A

Global Dialogue from Multiple Perspectives (hlm.5-23). New York: Springer

Heidelberg Dordrecht.

Dindyal, J. (2007). High school students use of patterns and generalisations. In J. Watson & K.

Beswick (Eds), Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics

Education Research Group of Australasia (pp. 236-245). Hobart, Tasmania, Australia:

MERGA Inc. Retrieved from http://www.merga.net.au/documents/RP182007.pdf

Dubinsky, E. & McDonald, M. (2011). APOS: A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research. In D. Holton et al. (Eds), The teaching

and learning of mathematics at university level: An ICMI Study (pp. 273-280). Kluwer

Academic Publisher. Retrieved from http://www.math.wisc.edu/~wilson/Courses/

Math903/ICMIPAPE.PDF

Hargreaves, M., Threlfall, J., Frobisher, L., & Shorrocks-Taylor, D. (1999). Childrens

strategies with linear and quadratic sequences. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching

and Learning of Mathematics. London: Cassell

Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education. In C. Janvier (Ed.),

Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 27-32).

Hillsdale, New Jersey: LEA.

Kchemann, D. (2010). Using patterns generically to see structure. Pedagogies: An

International Journal, 5(3), 233250. doi: 10.1080/1554480X.2010.486147

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

12

Mulligan, J., & Mitchelmore, M. 2009. Awareness of Pattern and Structure in Early

Mathematical Development. Mathematics Education Research Journal, 21(2): 33-49

Mullingan, J.T., Mitchelmore, M.C., English, L.D., & Robertson, G. (2011). Implementing a

Pattern and Structure Mathematics Awareness Program (PASMAP) In Kindegarden. In

L. Sparrow, B. Kissane, & C. Hurst (Eds.) Shaping the Future of Mathematics

Education. Proceedings of the 33rd Annual Conference of the Mathematics Education

Research Group of Australasia (pp 797804). Retrieved from

http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED521029.pdf

Nasional Council of Teacher of Mathematics. (2000). Principles and standards for school

mathematics. Reston, VA: NCTM.

Radford, L. 2003. Gestures, Speech, and the Sprouting of Signs: A Semiotic-Cultural

Approach to Students Types of Generalization. Mathematical Thinking And Learning,

5(1), 3770.

Ramussen, D., & Miceli, S. 2008. Discovering Geometry Condensed Lessons. United States

of America. Kendall Hunt Publishing.

Sutarto, Nusantara, T., Subanji, & Sisworo. (2015). Indicator of conjecturing process in a

problem solving of the pattern generalization. Proceding ICERD, UNESA Surabaya, pp.

32-45.

Sutarto, Nusantara, T, Subanji, & Sisworo (2015). Local conjecturing process in the solving of

pattern generalization problem. Educational Research and Reviews. Vol. 11(8), pp.

732-742, DOI: 10.5897/ERR2016.2719

Vogel, R. (2005). Patterns: A fundamental idea of mathematical thinking and learning. ZDM,

37(5), 445-449. doi 10.1007/s11858-005-0035-z

Wertheimer, M. (1923). Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt: II (Investigations in

Gestalt Theory: II). Psychologische Forschung, 4, 301350.

Yerushalmy, M. (1993). Generalization, induction, and conjecturing: a theoretical

perspective. In Schwartz, J.L., Yerushalmy, M., & Wilson, B. The geometric supposer:

what is it a case of?. Hillsdale, NJ Lawrence Erlbaum Associates.

Zazkis, R., & Liljedahl, P. (2002). Generalization of patterns: the tension between algebraic

thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 49: 379402. Wertheimer M (1923). Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt: II (Investigations in Gestalt Theory:

II). Psychol. Forschung 4:301-350.

ISBN: 978 602 1150 17 7

13

DESKRIPSI KESALAHAN KONSTRUKSI PENYELESAIAN MASALAH

GEOMETRI SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

Taufiq Hidayanto; Subanji; Erry Hidayanto

Universitas Negeri Malang

taufiqhidayanto749@gmail.com

Abstrak: Penyelesaian masalah merupakan salah satu standar yang harus dukuasai oleh

siswa menurut NCTM maupun kurikulum yang berlaku saat ini. Begitupun juga dengan

geometri, salah satu bagian kajian matematika yang perlu dikuasai siswa di sekolah.

Namun, tidak sedikit siswa yang mengalami kesalahan-kesalahan dalam memecahkan suatu

masalah geometri yang berdampak pada kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah

yang diberikan. Untuk itu, perlunya seorang guru untuk mengetahui letak kesalahan siswa

dalam memecahkan masalah geometri agar dapat melakukan perbaikan terhadap kesalahan

yang dialami oleh siswa tersebut. Kajian dalam makalah ini menyajikan deskripsi kesalahan

konstruksi pemecahan masalah geometri dari 6 siswa subjek yang terdiri atas 2 siswa dari

kelompok atas, 2 kelompok sedang, dan 2 kelompok bawah. Subjek yang merupakan siswa

SMP diberikan masalah geometri untuk diselesaikan, kemudian diwawancarai berbasis

tugas untuk menggali letak kesalahan struktur berpikirnya. Selanjutnya, struktur berpikir

siswa dianalisis letak kesalahan siswa berdasarkan teori kesalahan konstruksi konsep dan

pemecahan masalah matematika menurut Subanji (2015). Hasil Analisis menunjukkan

bahwa semua subjek mengalamai mislogical construction dan lubang konstruksi.

Mislogical construction terjadi karena siswa mengalami kesalahan logika berpikir dalam

melakukan prosedur pemecahan masalah. Lubang konstruksi terjadi karena skema-skema

yang digunakan untuk mengonstruksi pemecahan masalah belum lengkap.

Kata Kunci: Analisis Kesalahan, Skema, Konstruksi Penyelesaian Masalah, Geometri

Problem Solving merupakan bagian yang terpadu dalam pembelajaran matematika dan bagian yang

tidak dapat dipisahkan dari program dan tujuan pembelajaran. Hal ini sesuai dengan tujuan

pembelajaran matematika berdasarkan kurikulum yang berlaku saat ini, yaitu KTSP maupun

kurikulum 2013. NCTM (2000: 52-55) memberikan rekomendasi bahwa program pembelajaran

sebaiknya penyelesaian masalah digunakan untuk membangun pengetahuan baru, mendukung siswa

mampu menyelesaikan masalah dalam matematika maupun konsteks lain, mendukung siswa mampu

menyelesaikan masalah dengan berbagai macam strategi, dan mendukung siswa mampu mencermati

dan merefleksikan ide penyelesaian masalah yang dikemukakan.

Selain problem solving, materi geometri merupakan salah satu standar yang

direkomendasikan NCTM juga kompetensi yang perlu dicapai siswa menurut kurikulum yang berlaku

saat ini. Geometri diaplikasikan dalam menyelesaikan masalah dalam konteks matematika yang lain,

permasalahan kehidupan nyata, maupun ilmu diluar konteks matematika (Yilmaz dalam Biber, Tuna,

& Korkmaz, 2013: 50). NCTM (2000:41) menekankan bahwa geometri sangat erat dengan konteks di

dalam maupun di luar matematika. Di dalam matematika, geometri dapat digunakan sebagai alat

untuk membantu pemahaman konsep aljabar, penggunaan geometri misalnya yaitu dengan konsep

luasan persegi panjang (aljabar tile) untuk menentukan faktor bentuk kuadrat. Di luar matematika,

misalnya penetuan volume dalam perhitungan debit air, penggunaan konsep luas untuk menentukan

area lahan maupun pendirian bangunan. Hal tersebut menunjukkan bahwa geometri berkaitan erat

dengan antarkonsep dalam matematika maupun di luar matematika.

Akhir-akhir ini, beberapa penelitian tentang geometri telah dikaji. Biber, et al

mengemukakan temuan kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah geometri yaitu (1) siswa

hanya memperhatikan tampilan geometris saja tanpa melihat sisi karakteristik geometri yang

menyertainya, (2) siswa gagal menghubungan sifat-sifat geometris yang telah diketahuinya dengan

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

14

konssep lain yang digunakan untuk menyelesaikan maslalah, dan (3) mereka menggeneralisasi sifat

yang hanya sesuai dengan kondisi tertentu tanpa memperhatikan kondisi lain. Menurut Ozerem

(2012), permasalahan siswa pada geometri yaitu masalah miskonsepsi, kurangnya skema yang

dimiliki dan kemampuan penalaran, serta kesalahan dalam melakukan operasi dasar. Namun,

penelitian-penelitian tersebut sebatas mengungkap permasalahan siswa yang mengalami kesalahan-

kesalahan penyelesaian masalah yang dilakukannya, belum sampai mengungkap struktur berpikir

siswa yang mengalami kesalahan.

Struktur berpikir tidak lepas dengan skema yang digunakan siswa dalam menyelesaikan

masalah. Nunokawa (2005) memberikan pernyataan terkait pembelajaran berdasar teori skema.

Pengetahuan dasar siswa tidak hanya memuat pengetahuan prosedural maupun konseptual namun

juga pengetahuan mengenai situasi yang sesuai dengan pengetahuan matematis lain yang terkait.

Siswa yang kaya dengan skemata dapat menyelesaikan berbagai masalah menggunakan pengetahuan

tersebut dengan mudah. Siswa menggunakan skema-skema tersebut dalam menyelesaikan masalah

yang dihadapinya.

Chinnappan (2003) juga menyatakan, skema dapat berupa konsep-konsep lain yang terkait

dengan suatu konsep tertentu termasuk informasi mengenai prosedur yang sesuai ketika siswa hendak

menggunakan konsep-konsep yang saling terkait tersebut. Dengan kata lain, Skema sendiri dapat

dikonstruksi dari skema-skema lain yang saling terkait. Selanjutnya, skema tersebut menjadi struktur

pengetahuan yang mengindikasikan kumpulan informasi yang membentuk suatu makna tertentu.

Sebagai contoh, siswa dapat membangun skema seputar teorema pythagoras. Skema-skema lain yang

termasuk dalam konsep tersebut adalah bilangan (termasuk operasinya), bentuk aljabar, dan segitiga.

Misalnya, ketika siswa harus menyelesaikan masalah yang melibatkan teorema pythagoras, mereka

akan perlu menggunakan prosedur untuk menyelesaikan persamaan, manipulasi aljabar, atau

membuat ilustrasi gambar untuk memviasualisasi masalah.

Derry (1996: 165) menyatakan bahwa konstruktivis radikal percaya semua pemahaman

logis-matematis dan konseptual yang baru dikonstruksi berdasarkan skema yang terkonstruksi

sebelumnya. Selanjutnya, siswa menggunakan struktur pengetahuannya sebagai upaya untuk

mengonstruksi pemahamannya terhadap situasi yang mereka observasi dan kaji. Proses ini melibatkan

asimilasi pola aktivitas skema mental yang terkonstruksi sebelumnya, selanjutnya menggunakan

skema tersebut dalam menyelesaikan masalah dan berfikir lain secara langsung. Selanjutnya,

Chinnappan dan Thomas (2003) berpendapat bahwa skema yang terstruktur dengan baik dapat

memberi manfaat bagi siswa dalam mengasimilasi ide matematis baru karena skema dapat

mengaitkan banyak pengetahuan. Dengan kata lain, skema memberikan banyak manfaat untuk

menginterpretasikan perkembangan pengetahuan dan makna matematis.

Subanji (2015:10) menguraikan kajian mengenai struktur berpikir dalam proses konstruksi

pemecahan masalah matematika. Ketika struktur masalah yang dihadapi oleh siswa jauh lebih

kompleks dibanding struktur berpikirnya, siswa akan mengalami kesulitan dalam proses konstruksi

karena siswa akan mengalami kesulitan dalam proses asimilasi atau akomodasi. Untuk melakukan

asimilasi, siswa belum memiliki skema yang sesuai dengan masalah yang dihadapi dan untuk

melakukan akomodasi, yaitu mengubah skema lama atau membentuk skema baru, masih mengalami

kesulitan karena belum cukup memiliki skema yang dapat digunakan untuk membentuk skema baru.

Dalam hal ini perlu proses lagi agar dapat terjadi proses konstruksi, yakni menguraikan (atau

memotong) masalah ke bagian-bagiannya. Masalah yang sudah terurai menjadi informasi-informasi

yang lebih sederhana akan mudah untuk diasimilasi atau diakomodasi. Berikutnya dapat berlangsung

restrukturisasi, pengaitan antar komponen berpikir dan membentuk skema baru yang lebih kompleks

yang dapat mengasimilasi atau mengakomodasi masalah yang kompleks (keseluruhan). Proses

pemecahan struktur masalah yang kompleks ke bagian-bagiannya ini oleh Subanji disebut proses

analitik.

ISBN: 978 602 1150 17 7

15

Berdasarkan kajian di atas, peneliti menguraikan deskripsi kesalahan konstruksi penyelesian

masalah yang ditinjau dari struktur berpikir yang melibatkan skema siswa. Kesalahan tersebut dikaji

berdasarkan teori kesalahan konstruksi konsep dan pemecahan masalah yang dikemukana oleh

Subanji (2015). Kesalahan yang terjadi pada siswa meliputi:

1. Pseudo Construction, yaitu konstruksi yang seakan-akan benar tetapi siswa tidak dapat

memberikan justifikasi atau konstruksi seakan-akan salah tetapi siswa bisa memperbaiki

kesalahannya setelah refleksi

2. Lubang Konstruksi, yaitu konstruksi konsep atau penyelesaian masalah dimana skema yang

terbentuk dalam proses konstruksi ada yang belum lengkap

3. Mis-analogical Construction, yaitu konstruksi konsep atau penyelesaian masalah dimana dalam

proses konstruksinya terjadi kesalahan berpikir analogi

4. Mis-logical construction, yaitu konstruksi konsep atau penyelesaian masalah dimana dalam

proses konstruksinya terjadi kesalahan berpikir logis

METODOLOGI

Penelitian ini merupakan kualitatif dengan jenis deskriptif. Subjek dalam penelitian ini yaitu

enam siswa SMP kelas VIII terdiri atas 2 kelompok atas, 2 siswa kelompok sedang, dan 2 siswa

kelompok bawah berdasarkan prestasi hasil belajar siswa. Siswa diberikan masalah geometri dan

diwawancarai berbasis tugas terhadap penyelesaian masalah yang diajukan oleh siswa. Kemudian,

struktur berpikir siswa dideskripsikan berdasarkan teori kesalahan konstruksi konsep dan pemecahan

masalah matematika menurut Subanji (2015). Berikut instrumen penelitian beserta struktur masalah

yang diberikan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil dan pembahasan didapatkan dari hasil wawancara dengan siswa subjek setelah

mengerjakan masalah yang diberikan. Selanjutnya, proses berpikir siswa dipetakan dan

dideskripsikan.

Deskripsi Kesalahan Konstruksi Siswa S1 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa berhasil mengasimilasi informasi dari masalah yang diberikan. Siswa mampu

menyebutkan bahwa masalah yang diberikan melibatkan bentuk setengah lingkaran dan memiliki

diameter 10 cm, akibatnya jari-jarinya adalah 5 cm. Selain itu, siswa mampu menyebutkan bahwa

masalah yang dicari adalah luas daerah yang diarsir, yaitu berbentuk segitiga siku-siku. Namun, siswa

gagal mengakomodasi salah satu bagian segitiga. Proses pengerjaan S1 tersaji pada Gambar 1.

Gambar di samping adalah

setengah lingkaran dengan

diameter 10 cm dan BD = 2 cm.

Luas daerah yang diarsir adalah

................

A B

C

D

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

16

Gambar 1. Penyelesaian Masalah oleh S1

Berikut kutipan wawancara peneliti menggali informasi proses berpikir siswa dalam menyelesaikan

masalah.

P : Kemarin gimana ini kamu ngerjakannya?

S1 : saya mencari panjangnya ini [AB], karena ini [AD] panjangnya 10, berarti ini [AB] panjangnya

8. Trus saya cari tingginya tu [BC], 10 ini diameter trus saya bagi 2, kayak jari-jarinya gitu,

P : berarti luas daerah yang diarsir gimana?

S1 : ya pakai luas itu, setengah alas kali tinggi. Yaitu setengah kali 8 kali tingginya 5, jadinya 20

Berdasarkan wawancara dengan S1, siswa telah mengetahui alas segitiga dan tinggi segitiga, namun

penentuan ukuran tinggi segitiga masih salah. S1 menganggap tinggi segitiga adalah 5 cm, yaitu sama

dengan jari-jari setengah lingkaran. Akibatnya, S1 menghasilkan jawaban salah. Berdasarkan teori

kesalahan konstruksi menurut Subanji (2015), S1 mengalami mislogical construction, yaitu terletak

pada kesalahan logika siswa dalam menentukan ukuran tinggi segitiga (BC) yang dianggap sama

panjang dengan jari-jari. Lubang Konstruksi juga terjadi karena terdapat skema-skema yang belum

terkontruksi dalam struktur berpikir siswa. Kesalahan struktur berpikir siswa tersaji pada Gambar 2.

Keterangan:

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang LS Luas Segitiga yang Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 2. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S1

MG

SL

BD

AB

LS

Selesai

AD

ABC

SAB

D

BC

MC

LK

ISBN: 978 602 1150 17 7

17

Deskripsi Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S2 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa S2 merupakan kelompok atas. Ketika menyelesaikan masalah yang diberikan, siswa S2

telah memiliki skema diameter lingkaran, luas setengah lingkaran, dan luas segitiga. Namun, S2 tidak

dapat menyelesaikan masalah dengan tepat. Siswa S2 mampu mengasimilasi informasi yang terdapat

pada masalah. Siswa S2 memahami yang telah diketahui dari masalah yaitu terdapat bentuk setengah

lingkaran, terdapat diameter lingkaran,dan segitiga siku-siku. Siswa S2 juga telah mampu

mengakomodasi dari informasi tersebut untuk menentukan panjang alas segitiga siku-siku, yaitu 10

cm dikurangi dengan 2 cm, yaitu 8 cm. Meskipun demikian, siswa S2 gagal dalam mengakomodasi

untuk menentukan tinggi segitiga dan gagal mengakomodasi strategi penyelesaian masalah. Siswa S2

menyebut bahwa untuk menyelesaikan masalah yaitu dengan mengurangkan luas setengah lingkaran

dengan luas segitiga. Berikut ini kutipan wawancara peneliti dengan siswa S2.

P : bagaimana tadi mengerjakannya?

S2: jadi, lingkarannya setengah, trus dikali 3,14. Ini karena diameternya 5 kan berarti kan luas

lingkarannya pi r kuadrat, ini jadinya 5 kali 5. trus setengah kali 68,5. 68,5 dibagi 2 itu 34,25.

Trus alasnya segitiga...........trus tadi diameternya kan 10 ya, berarti ini 10, trus ini 2, berarti A

ke B kan 8.

P : maksudnya apa yang kamu cari ini?

S2: luas lingkaran, trus dikurangi luas segitiga.

Gambar 3 menunjukkan pengerjaan S2 namun belum selesai pada jawaban akhir.

Gambar 3. Penyelesaian Masalah oleh S2

Berdasarkan kutipan wawancara dengan S2 dan Gambar 3, siswa S2 tidak berhasil pada jawaban yang

diinginkan. Kesalahan konstruksi yang dialami S2 yaitu ide penyelesaian masalah. Siswa S2

menyebutkan bahwa untuk menyelesaikan masalah yaitu dengan mengurangkan luas lingkaran

dengan luas segitiga. Menurut teori kesalahan konstruksi menurut Subanji (2015), masalah tersebut

mengindikasikan bahwa siswa mengalami mislogical construction. Hal tersebut terjadi karena

kesalahan berpikir logis siswa, yaitu untuk menyelesaikan masalah adalah dengan mengurnagkan luas

segitiga dari luas setengah lingkaran meskipun sebenarnya subjek belum menemukan luas segitiga. S2

juga mengalami lubang konstruksi karena terdapat skema-skema pengonstruksi struktur masalah.

Ringkasnya, struktur berpikir siswa S1 disajikan dalam Gambar 4 berikut:

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

18

Keterangan:

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang LSL Luas Setengah Lingkaran

LSL-LS Luas Setengah Lingkaran

Dikurangi Luas Segitiga

LS Luas Segitiga yang

Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 4. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S2

Deskripsi Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S3 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa S3 merupakan siswa dalam kelompok sedang. Siswa S3 telah mempunyai skema skema

yang cukup dalam menyelesaiakn masalah yang diberikan, meskipun berlebihan. Skema yang telah

dimiliki yaitu keliling lingkaran termasuk diameter lingkaran, segitiga, dan luas segitiga. Namun

siswa S3 tidak dapat menyelesaikan masalah yang diberikan dengan tepat.

Siswa S3 berhasil mengasimilasi informasi diameter dan mendapatkan jari-jari setengah

lingakaran. S3 juga dapat mnegasimilasi informasi bahwa luas yang dicari adalah segitiga siku-siku.

Namun, S3 gagal mengakomodasi strategi pemecahan masalah. Awalnya, S3 mencari keliling

setengah lingkaran. Menurutnya, keliling lingkaran tersebut dapat digunakan untuk mencari jari-jari

setengah lingkaran tetapi S3 gagal melogikakan idenya tersebut. Dan menyimpulkan bahwa alas

segitiga panjnagnya 5 cm dan tingginya 8 cm. Berikut ini kutipan wawancara peneliti dengan siswa

S3:

P : coba, kamu ceritakan kembali, kemarin gimana ngerjakannya?

S3 : ini mencarinya yaitu setengah keliling, yaitu pi kali d. ini diameternya 10, sehingga 3,14 dikali

10 dibagi 2. Ini tak jadiin pecahan campuran hasilnya dikali dibalik, jadinya 15,7 trus saya bikin

16.

MG

SL

BD

AB

LSL - LS

Selesai

AD

ABC

SAB

D

LSL

LS

MC

LK

ISBN: 978 602 1150 17 7

19

P : kemarin kenapa kok ambil pakai keliling itu?

S3 : ini kalo nggak salah untuk nyari jari-jari dulu

P : trus akhirnya luas segitiganya berapa?

S3 : setengah kali alas kali tinggi

P : ini alasnya mana?

S3 : ini, 5

P : trus tingginya?

S3 : 8

P : delapan dapat dari mana?

S3 : 10 dikurangi 2

Siswa S3 merajut skema diameter dengan setengah lingkaran mendapatkan luas setengah lingkaran

dan diharapkan untuk mendapatkan jari-jari lingkaran menunjukkan siswa mengalami mislogical

construction. Siswa mengalami kesalahan konstruksi logika karena mengaharapakan dapat

menemukan panjang jari-jari lingkaran dan digunakan untuk mencari luas segitiga, yaitu dianggap

sebagai alasnya. Selanjutnya, siswa S3 mendapatkan BC dari setengah diameter dan dirajut dengan

skema AB menghasilkan luas segitiga menunjukkan siswa S3 mengalamai mislogical construction.

Hal ini karena siswa menganggap bahwa BC sama dengan panjang jari-jari setengah lingkaran. Siswa

S3 juga mengalami lubang konstruksi, yaitu untuk mencari BC, siswa harus mengonstruksi panjang

OC dan dirajut dengan OB menghasilkan BC menggunakan teorema pythagoras.

Apabila dipetakan, struktur berpikir siswa S3 disajikan pada Gambar 5.

Deskripsi Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S4 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa S4 termasuk dalam kategori siswa sedang. Siswa S4 telah melakukan adaptasi terhadap

masalah yang diberikan namun masih gagal dalam menyelesaikan masalah yang diberikan. Skema

yang telah dimilikinya yaitu diameter lingkaran, segitiga siku-siku, dan luas segitiga. Siswa S4 telah

berhasil mengasimilasi informasi yaitu menyadari bahwa untuk menyelesaiakan masalah, ia

menggunakan informasi diameter lingkaran untuk mencari panjang alas segitiga. Namun, siswa S4

gagal dalam melakukan akomodasi untuk mencari ukuran tinggi segitiga. Siswa S4 menggunakan

asumsi bahwa tinggi segitiga adalah tiga kali lipat dari panjang BD yaitu menghasikan 6 cm.

Akibatnya, jawaban yang dikemukakan siswa S4 menjadi salah.

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

20

Keterangan:

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang

KSL Keliling Setengah

Lingkaran

R Jari-jari

LS Luas Segitiga yang

Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 5. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S3

Berikut kutipan wawancara peneliti dengan siswa S4:

P : coba kamu jelaskan lagi ini, kamu kemarin ngerjakannya gimana?

S4: ini kan diameternya dari A ke D adalah 10, Pak. Trus dikurangi sama ini [BD], yaitu 2, jadinya 8.

Trus nyari BC itu, saya tambahkan-tambahkan gitu. Jadi, BC nya 6.

P : 6 itu dari mana?

S4: dari 3 kali lipatnya

P : jadi luasnya segitiga berapa?

S4: jadi setengah kali alas kali tinggi. Alasnya itu 8 kali tingginya 6, trus dibagi 2. 8 kali 6 itu 48 trus

dibagi 2, hasilnya 24............

MG

SL

BD

AB

Selesai

BC

ABC

SAB

D

KSL

LS

R

LK

MC

ISBN: 978 602 1150 17 7

21

Apabila diakitkan dengan teori kesalahan konstruksi (Subanji, 2015), siswa S4 mengalami

mislogical construction. Kesalahan utamanya yaitu ketika Ia menganggap bahwa ukuran tinggi

segitiga adalah tiga kali ukuran panjang BD, yaitu 6 cm. Hal ini mengakibatkan juga terjadinya

lubang konstruksi, yaitu seharusnya siswa mengonstruksi panjang OC untuk mencari ukuran tinggi

segitiga menggunakan teorema pythagoras. Karena terdapat skema yang belum terkonstruksi, struktur

berpikir S4 juga mengalami lubang konstruksi. Struktur berpikir siswa S4 dalam menyelesaikan

masalah tersaji dalam Gambar 6.

Keterangan:

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang LS Luas Segitiga yang Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 6. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S4

Deskripsi Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S5 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa S5 tergolong dalam kelompok siswa berkemampuan rendah. Dalam menyelesaikan

masalah yang diberikan, siswa S5 telah mampu ngasimilasi informasi yang diketahi, yaitu mengetahui

bahwa yang diketahui adalah setengah lingkaran dengan diameter 10 cm dan luas yang dicari adalah

luas segitiga siku-siku. Namun, siswa S5 gagal mengakomodasi strategi untuk menemukan panjang

BC. Berikut kutipan wawancara peneliti dengan siswa S5:

P : coba, kamu jelaskan lagi, kamu kemarin gimana ngerjakannya?

S5: pertama saya mencari luas lingkaran, yaitu pi kali r kali r dikali setengah

P : sehingga ketemunya.....

S5 : 39, 25

MG

SL

BD

AB

Selesai

AD

ABC

SAB

D

BC LS

LK

MC

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

22

P : trus selanjutnya mau cari apa ini?

S5 : trus waktu tu saya pengen cari yang ini [menunjuk daerah setengah lingkaran]

P : nah itu carinya gimana?

S5 : pi kali r kali r kali setengah, lalu ketemunya 6,28

P : trus kemudian, ini mencari apa ini? Itu gimana?

S5 : mencari nilai ini [Luas Setengah Lingkaran] dikurangi ini [Luas daerah BCD] hasilnya 32, 87,

trus kayak pindah ruas gitu. Sehingga ketemu 4, 10 875

P : jadi luasnya adalah.....

S5 : 8 kali 4 sama dengan 32

Berdasarkan wawancara di atas, siswa S5 mengalami mislogical construction dan lubang konstruksi.

Mislogical construction terjadi ketika S5 menentukan BC dengan mencari luas-luas setengah

lingkaran. Mislogical pertama, S5 menganggap daerah yang dibatasi titik BCD merupakan setengah

lingkaran, selanjutnya luas setengah lingkatan dikurangi dengan luas daerah BCD untuk mencari BC.

Hal ini mengahsilkan BC adalah 4, namun logika untuk menemukannya tidak tepat. Dengan

ISBN: 978 602 1150 17 7

23

ditemukannya BC, terdapat skema yang belum terkonstruksi dalam struktur berpikir S5 sehingga

mengakibatkan lubang konstruksi. Berikut struktur berpikir siswa dalam menonstruksi penyelesaian

masaalah tersaji dalam Gambar 6.

Keterangan

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang LSL Luas Setengah Lingkaran

R Jari-jari

LBCD Luas daerah yang dibatasi

BCD

LS Luas Segitiga yang

Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 6. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S5

Deskripsi Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S6 dalam Menyelesaikan Masalah Geometri

Siswa S6 tergolong siswa kelompok rendah. Siswa S6 memiliki skema yang cukup namun

prosedur pengerjaannya masih salah. S6 mampu mencoba menyelesaikan masalah, namun tidak

mampu menjelaskan langkah maupun menjastifikasi langkah penyelesaian masalah yang dibuat.

Berikut wawancara peneliti dengan Siswa S6:

P : cara menemukan jawaban ini gimana?

S6 : ngawur, Pak

P : Coba kamu jelaskan gimana coba?

S6 : awalnya nyari luas lingkarannya ini dulu [Luas Setengah Lingkaran],

MG

SL

BD

BC

LS

Selesai

R LBCD

D

LSL

SS

SAB

AB

LK MC

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

24

P : terus kemudian cari apa lagi?

S6 : trus cari panjang AC, yaitu pakai pythagoras

P : caranya gimana ini.......? ketemunya berapa?

S6 : 9

P : kalo udah ketemu AC 9, luasnya berarti?

S6 : alas kali tinggi, yaitu ............

P : 4 ini dapat dari mana?

S6 : gak tau, ngawur aja .....

Apabila dikaitkan dengan teori kesalahan konstruksi, Siswa S6 mengalamai mislogical construction

dan lubang konstruksi. Mislogical construction terjadi ketika Ia hendak menentukan BC. S6

menjawab ngawur untuk menentukan BC adalah 4, namun meuliskan BC adalah dua kali BD ketika

hendak menentukan AC. Setelah BC ditemukan, S6 langsung menentukan luas segitiga, padahal

terdapat skema pengonstruksi penyelesaian masalah belum ada. Hal ini menyebabkan struktur

berpikir S6 mengalami lubang konstruksi. Struktur berpikir S6 disajikan dalam Gambar 7.

Keterangan

Kode Penjelasan

MG Masalah Geometri

SL Setengah Lingkaran

D Diameter

BD Panjang ABC Segitiga Siku-siku ABC

SAB Sisi AB Panjang AD Panjang BC Panjang AC Panjang LSL Luas Setengah

Lingkaran

LS Luas Segitiga yang

Diarsir

LK Lubang Konstruksi

MC Mislogical Construction

Gambar 6. Letak Kesalahan Struktur Berpikir Siswa S6

MG

SL

BD

AB

LS

Selesai

AD

ABC

SAB

D

BC

AC

LSL

LK

MC

ISBN: 978 602 1150 17 7

25

Pembahasan

Stacey (2015) menyatakan Students will always tend to work with what they are given rather

than introduce new things into the problem, yaitu siswa akan selalu bekerja dengan apa yang telah

diketahui daripada mengenali hal baru dalam masalah. Hal tersebut terjadi pada subjek S1 hingga S6.

Mereka sebatas melihat dan mengadaptasi penyelesaian masalah berdasarkan keterangan yang telah

diketahui dalam masalah. Dalam hal ini, mereka berhasil mengasimilasi namun gagal dalam

mengakomodasi hal-hal yang telah mereka ketahui dalam masalah. Akhirnya, mereka tidak dapat

menyelesaikan masalah dengan tepat.

Semua subjek tidak dapat menyelesaikan masalah karena struktur berpikir mereka mengalami

kesalahan. Pertama, mereka tidak menggunakan logika yang tepat ketika hendak menentukan salah

satu skema penyusun konstruksi masalah. Dengan demikian, mereka mengalami misogical

construction (Subanji, 2015). S1 menentukan BC dari AD (diameter setengah lingkaran) yaitu

berasumsi bahwa BC adalah setengah dari AD, sehingga mendapatkan BC bernilai 5 cm. S2

berpendapat bahwa luas setengah lingkaran dikuragi dengan segitiga yang diarsir merupakan prosedur

untuk menyelesaikan masalah, meskipun gagal dalam menemukan luas segitiga yang dimaksud. S3

beranggapan bahwa BC sama dengan panjang jari-jari lingkaran. S4 berasumsi bahwa BC adalah tiga

kali panjang BD yaitu tiga kali 2 menghasilkan 6. S5 berargumentasi bahwa untuk mencari BC, ia

perlu menemukan luas setengah lingkaran dan luas bagian BCD, selanjutnya dikurangkan. Hasil

pengurangan tersebut sama dengan luas segitiga yang dimaksud. S 6 beranggapan bahwa BC adalah

dua kali BD sehingga didapatkan BC sama dengan 4 cm. Kesalahan logika yang dialami semua

subjek tersebut mengakibatkan mereka tidak dapat menyelesaikan masalah dengan tepat.

Berikutnya, terdapat skema-skema pengonstruksi penyelesaian masalah yang belum ada.

Subanji (2015) menyebut adanya lubang konstruksi dalam struktur berpikir subjek. Mereka perlu

adanya skema pusat lingkaran (misalkan O), OC, segitiga siku-siku OBC, dan teorema phytagras,

untuk dapat menentukan BC. Setelah ditemukannya BC, mereka dapat merajutnya dengan AB yang

berhasil ditemukannya sehingga mendapatkan luas daerah yang diinginkan.

Skemp (1976) mengungkapkan gagasan pemahaman instrumental dan relasional.

Permasalahan pada subjek tersebut negindikasikan bahwa mereka hanya mengandalkan pemahaman

instrumentalnya dan kurang dalam menggunakan pemahaman relasional. Hal ini tampak bahwa

mereka mampu dalam melakukan perhitungan namun tidak dapat berlogika dengan tepat dalam

menentukan skema-skema pengonstruksi penyelesaian masalah. Sehingga, mereka mengalami

mislogical construction dan lubang konstruksi yang berdampak pula pada kesalahan dalam konstruksi

penyelesaian masalah yang diberikan.

PENUTUP

Berdasarkan hasil deskripsi didapatkan bahwa semua subjek mengalami mislogical

construction dan lubang konstruksi. Lubang konstruksi terjadi ketika siswa mengalami kesalahan

logikanya dalam menyelesaikan masalah. Lubang konstruksi terjadi karena terdapat skema tertentu

yang belum ada dalam struktur berpikir siswa. Mislogical construction dan lubang konstruksi

menyebabkan siswa mengalami kesalahan dalam menyelesaikan masalah yang diberikan.

Berdasarkan kajian tersebut, siswa perlu adanya restrukturusisasi berpikir terhadap struktur-struktur

berpikir yang mengalami kesalahan. Restrukturisasi berpikir tersebut dikenal dengan defragmenting

(Nusantara & Subanji, 2015). Defragmenting adalah proses penataan ulang struktur berpikir siswa

sehingga menjadi struktur berpikir yang lebih lengkap dalam menyelesaikan masalah yang diberikan.

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

26

DAFTAR RUJUKAN

Biber, Cagri, Tuna, Abdulkadir, & Korkmaz, Samet. 2013. The mistakes and the misconceptions of

the eighth grade students on the subject of angles. European Journal of Science and

Mathematics Education, 1(2): 50 59.

Chinnappan, Mohan. 2003. Schema Construction among Pre-service Teachers and the Use of IT in

Mathematics Teaching: A Case Study. Mathematics Teacher Education and Development,

5 (2003): 32-44.

Chinnappan, Mohan dan Thomas, Mike. 2003. Teachers Function Schemas and their Role in

Modelling. Mathematics Education Research Journal, 15 (2): 151-170.

Derry, Sharon J. 1996. Cognitive Schema Theory in the Constructivist Debate. Educational

Psychologist, 31(3/4): 163 174 .

NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. US: National Council of Teachers

of Mathematics.

Nunokawa, Kazuhiko. 2005. Mathematical problem solving and learning mathematics: What we

expect students to obtain. Journal of Mathematical Behavior, 24 (2005):325340.

Nusantara, Toto & Subanji. 2015. Defragmenting Proses Berpikir Matematik melalui Pemetaan

Kognitif untuk Memperbaiki Kesalahan Matematika Siswa. Laporan Hibah Penelitian

Pascasarjana (Hibah Pasca) UM. Malang: Lemlit UM

Ozerem, Aysen. 2012. Misconceptions In Geometry And Suggested Solutions For Seventh Grade

Students. Procedia Social and Behavioral Sciences 55 (2012): 720-729.

Subanji. 2015. Teori Kesalahan Konstruksi Konsep dan Pemecahan Masalah Matematika. Malang:

UM Press

ISBN: 978 602 1150 17 7

27

KOMUNIKASI MATEMATIS LISAN SISWA HOMESCHOOLING

BERKEPRIBADIAN INTROVERT PADA MATERI OPERASI IRISAN DAN

GABUNGAN DUA HIMPUNAN

Fitri Umardiyah; Subanji; Dwiyana

Universitas Negeri Malang

fitriumardiyah@gmail.com

Abstrak: Penelitian ini dilatarbelakangi oleh keadaan yang muncul di homeschooling

dimana terdapat siswa yang dapat menjawab soal secara tertulis namun kurang dapat

menjawab soal secara lisan. Komunikasi secara lisan erat kaitannya dengan kepribadian

karena kepribadian mempengaruhi cara orang berkomunikasi. Tujuan dari penelitian ini

adalah untuk mendeskripsikan komunikasi matematis lisan siswa Homeschooling

berkepribadian introvert pada materi operasi irisan dan gabungan dua himpunan. Indikator

untuk melihat komunikasi matematis lisan terdiri atas tiga hal yaitu 1) menyampaikan ide

matematis kepada orang lain, 2) menggunakan bahasa / lambang matematika untuk

menyampaikan ide matematis, 3) memberikan alasan dari jawaban yang telah dibuat, yang

semuanya mencakup materi operasi irisan dan gabungan dua himpunan. Penelitian ini

merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Pengumpulan data dilakukan melalui pemberian

tes kepribadian JEPQRS, observasi, dan wawancara. Berdasarkan hasil pemilihan subjek

menggunakan tes JEPQRS, terpilih lima siswa introvert. Hasil observasi dan wawancara

menunjukkan bahwa komunikasi matematis lisan sangat jarang dilakukan. Siswa lebih

sering mengungkapkan ide melalui tulisan, kurang inisiatif dalam hal berkomunikasi secara

lisan, menjelaskan diagram venn melalui tulisan, tidak bisa membaca notasi pembentuk

himpunan dengan benar, dan memberikan alasan dari jawaban yang ia buat melalui tulisan.

cenderung pasif, baru mengemukakan pendapat ketika ditanya, jawaban yang diberikan pun

singkat dan lebih banyak menuliskan jawaban.

Kata Kunci: komunikasi matematis lisan, homeschooling, introvert, materi operasi irisan

dan gabungan dua himpunan

Proses belajar mengajar merupakan penentu keberhasilan dalam mencapai tujuan pendidikan.

Siswa yang belajar diharapkan mengalami perubahan baik dalam bidang pengetahuan, pemahaman,

ketrampilan, nilai dan sikap. Akan tetapi tidak dapat dipungkiri setiap siswa memiliki karakter dan

gaya belajar yang berbeda sehingga hasil belajarnya pun berbeda. Oleh sebab itu, sering muncul

pembelajaran-pembelajaran yang menfasilitasi siswa sesuai dengan kadar kemampuan pemahaman

dan hasil belajarnya. Selain itu, muncul pula alternatif lain berupa sekolah yang mengutamakan

karakter, bakat dan minat siswa. Hal ini dikarenakan setiap siswa memiliki kemampuan berbeda.

Salah satu pendidikan alternatif yang sekarang sedang ramai dibicarakan adalah

homeschooling. Homeschooling semakin diakui keberadaannya ketika pemerintah memberikan

kebijakan bahwa pendidikan yang dilakukan keluarga dan lingkungan termasuk dalam pendidikan

jalur informal. Beberapa anak mampu berkembang optimal di sekolah, namun sebagian mengalami

kegagalan. Menurut Korkmaz (2013), faktor yang mempengaruhi seseorang beralih ke homeschooling

adalah faktor perbedaan gender , faktor sosial, dan faktor ekonomi.

Seiring digalakkannya pembelajaran kooperatif untuk meningkatkan keaktivan siswa,

pembelajaran didesain dalam diskusi kelompok. Dengan pembelajaran kooperatif, siswa tidak hanya

mengomunikasikan ide-idenya sendiri melainkan juga mengomunikasikan ide dengan teman yang

lain. Akan sangat berbeda jauh dengan sistem pembelaran di homeschooling yang lebih

mengutamakan belajar individu satu guru-satu siswa. Proses interaksi berpikir siswa homeschooling

hanya dengan guru. Siswa mendapat perhatian khusus dalam pembelajaran. Adakalanya dengan

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

28

perhatian khusus yang diberikan dapat meningkatkan kemampuan siswa, namun disisi lain muncul

suatu problematika tentang proses komunikasi dalam pembelajaran.

Seringkali guru merasa kesal terhadap siswa yang susah diatur, siswa yang banyak

bertanya, siswa yang bersikap dingin, siswa yang tidak pernah bertanya, ataupun siswa yang

bersikap keras hati, dan sebagainya. Kekesalan guru tersebut pada dasarnya disebabkan oleh

ketidaktahuan guru terhadap tipe kepribadian para siswa, sehingga guru merasa kesal dengan

sikap siswa yang tidak sesuai dengan keinginan guru, kemudian memarahi, tanpa memahami,

dan tanpa memberikan solusi yang sesuai dengan kepribadian dan kebutuhan siswa

(Suhadianto: 2009).

Siswa introvert mengacu pada siswa yang yang memiliki kecenderungan tingkah laku serta

sifat-sifat yang tertutup, dan kurang suka bersosialisasi. Eysenck (dalam Feist, J. dan Feist, G.,

2010:413) mengemukakan individu yang termasuk dalam tipe introvert adalah individu yang selalu

mengarahkan pandangannya pada dirinya sendiri. Seluruh perhatian diarahkan kedalam hidup jiwanya

sendiri. Tingkah lakunya terutama ditentukan oleh apa yang terjadi dalam pribadinya sendiri.

Sedangkan dunia luar baginya tidak banyak berarti dalam penentuan tingkah lakunya, sebab itu

individu dengan tipe ini kerapkali jarang mengadakan kontak dengan lingkungan sekelilingnya.

Dalam pembelajaran, guru harus sering mendekati siswa yang pemalu dari waktu ke waktu

dengan cara yang lembut, dan berpengaruh agar mereka memperoleh rasa percaya diri (Hanley ,

2005). Siswa harus mendapat perhatian dari guru sesuai dengan porsi kebutuhannya. Dengan begitu

siswa yang berkepribadian introvert akan merasa terpenuhi rasa kenyamanan dalam belajar dan tidak

minder terhadap teman yang lain. Homeschooling dapat enjadi alternatif bagi siswa introvert karena

pembelajaran berlangsung dengan sestem satu guruuntuk satu siswa sehingga siswa introvert

mendapatkan perhatian yang penuh.

Komunikasi matematis merupakan hal yang sangat diperlukan untuk mempelajari

bahasa dan simbol-simbol matematika. Selain dari itu, komunikasi matematika juga dapat

melatih siswa untuk mengemukakan pendapat secara jujur, fakta dan rasional. Berbagi ide

dan wawasan dilakukan dengan maksud memperdalam pemahaman matematika siswa

(Brendefur dan Frykholim, 2004). Dalam pembelajaran, siswa sering kali menuliskan

pemikirannya dengan bahasa mereka.

Materi himpunan dipilih karena merupakan materi mendasar yang menjadi dasar dasar

dari materi lainnya. Himpunan disajikan dalam beberapa cara, seperti menyatakan dengan

kalimat, notasi pembentuk himpunan dan mendaftar anggota-anggotanya. Dengan

menyajikan himpunan dalam bentuk notasi matematika maka akan tampak komunikasi

matematis siswa dalam menuliskan simbol-simbol matematika. Pada materi himpunan

terdapat suatu hubungan antara menyatakan bahasa sehari ke dalam simbol matematika.

Materi yang akan dijadikan bahan penelitian difokuskan pada operasi irisan dan

gabungan dua himpunan. Pada materi operasi irisan dan gabungan dua himpunan terdapat

konsep yang menggunakan simbol matematika yaitu berupa notasi himpunan, diagram venn

sebagai salah satu representasi himpunan, dan penerapan operasi irisan dan gabungan dalam

kehidupan nyata. Dengan materi tersebut dapat dilihat komunikasi matematis yang meliputi

penggunaan simbol matematis dan penerapan dalam kehidupan nyata.

Komunikasi matematis dapat dilihat melalui indikator yang dibuat. Komunikasi

matematis lisan siswa homeschooling terjadi antara siswa dengan guru. Indikator komunikasi

matematis yang digunakan adalah sebagai berikut.

ISBN: 978 602 1150 17 7

29

Indikator komunikasi matematis lisan

a. Menyampaikan ide matematis kepada orang lain

b. Menggunakan bahasa / lambang matematika untuk menyampaikan ide matematis

c. Memberikan alasan dari jawaban yang telah dibuat

METODE PENELITIAN

Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif . Penelitian ini

merupakan jenis penelitian deskriptif. Penelitian ini bermula dari penggalian data berupa informasi

dalam bentuk cerita rinci atau asli yang diungkapkan apa adanya sesuai dengan bahasa dan

pandangan subjek penelitian. Hal yang dideskripsikan dalam penelitian ini adalah komunikasi

matematis siswa homeschooling berkepribadian introvert pada materi operasi irisan dan gabungan

dua himpunan melalui subjek penelitian. Pendeskripsian ini ditelusuri melalui observasi terhadap

subjek penelitian dalam pembelajaran matematika. Pendeskripsian ini juga dilakukan dengan

memberikan tes tulis dan melakukan wawancara terstruktur kepada subjek penelitian.

Peneliti berperan sebagai perencana, pengumpul data (observasi, proses pembelajaran,

pemberian tes, dan pelaksanaan wawancara), penganalisis data, dan pelapor hasil penelitian. Pada

penelitian ini, peran peneliti bersifat observasi partisipatif karena peneliti sebagai observer sekaligus

sebagai guru. Dengan kata lain, peneliti menjadi insrumen utama dalam penelitian. Penelitian ini

dilaksanakan di Homeschooling Primagama Malang, Jl.Candi Mendut Barat C17 Kota Malang.

Instrumen pendukung dalam penelitian ini meliputi tes kepribadian, lembar observasi, tes, dan

pedoman wawancara.

1. Tes kepribadian

2. Lembar observasi

3. Tes

4. Pedoman wawancara

Pada proses pengumpulan data,peneliti melakukan tahap 1) pemilihan subjek penelitian, 2)

observasi pembelajaran, 3) pemberian tes tulis, 4) pelaksanaan wawancara. Subjek yang dipilih adalah

siswa Homeschooling Primagama Malang kelas VII yang berkepribadian introvert. Siswa kelas VII di

Homeschooling Primagama Malang belum mendapatkan materi himpunan pada semester ganjil

karena kurikulum di Homeschooling Primagama Malang masih menggunakan Kurikulum 2006.

Subjek memperoleh materi himpunan pertama kali pada saat penelitian dilakukan.

Peneliti melakukan observasi di Homeschooling Primagama Malang untuk mencari informasi

adanya siswa introvert. Peneliti mengadakan tes kepribadian kepada siswa kelas VII untuk

mengetahui kepribadian ekstrovert-introvert. Tes kepribadian yang digunakan diadaptasi dari angket

JEPQR-S (Junior Eysenck Personality Questionare Revised- Short form). Berdasarkan hasil tes

kepribadian, dipilih siswa yang berkepribadian introvert. Berdasarkan informasi dari kepala sekolah

Homeschooling Primagama Malang, seluruh siswa kelas VII tidak ada yang tuna wicara. Informasi

tersebut sebagai dasar bahwa siswa yang menjadi subjek penelitian dapat diteliti komunikasi

matematis lisannya. Langkah yang dilakukan setelah memperoleh data valid dari lapangan adalah

melakukan proses analisis data. Aktivitas dalam analisis data meliputi reduksi data, penyajian data,

dan penarikan kesimpulan. Teknik pengecekan keabsahan data yang digunakan dalam penelitian ini

adalah triangulasi. Pada penelitian ini, peneliti menggunakan triangulasi teknik dan triangulasi sumber

untuk mengecek keabsahan data.

Prosiding Seminar Nasional Pendidik dan Pengembang Pendidikan Indonesia yang Diselenggarakan oleh APPPI,

Dinas Pendidikan Kota Batu, dan PGRI Kota Batu pada 21 Mei 2016 di Kota Batu, Jawa Timur

30

HASIL DAN PEMBAHASAN

a. Hasil Pengembangan Instrumen

Peneliti mengembangkan instrumen sebelum melakukan pengambilan data. Instrumen yang

digunakan dalam penelitian adalah tes kepribadian, lembar observasi, dan pedoman wawancara.

Peneliti mengembangkan instrumen pada bulan Januari-Februari 2016. Instrumen yang dibuat peneliti

terlebih dahulu divalidasi ke para ahli sebelum digunakan untuk penelitian di lapangan.

Subjek dalam penelitian dipilih berdasarkan hasil tes kepribadian. Tes kepribadian yang

digunakan diadaptasi dari angket JEPQRS (Junior Eysenck Personality Questionare Revised- Short

form). Tes terdiri atas 24 soal dimana 12 item untuk menguji kebohongan siswa dan 12 item untuk

mengetahui tingkat ekstroversi. Proses adaptasi angket JPEQRS mempertimbangkan tiga faktor yaitu

kebahasaan, usia siswa, kondisi lingkungan di Indonesia.

Item kebohongan terdapat pada nomor 2,4,6,8,10,12,14,16,18, dan 20. Item ekstraversi

terdapat pada nomor 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21, dan 23. Setiap jawaban iya diberi skor 1 dan

jawaban tidak diberi skor 0, kecuali pada item bertanda * diberi skor yang berkebalikan. Apabila

skor kebohongan maka subjek tersebut terindikasi bohong dan harus mengulang tes. Jika skor

pada item ekstraversi maka siswa tersebut termasuk siswa cenderung introvert.

Peneliti melakukan observasi terhadap performa subjek pada pelaksanaan pembelajaran.

Peneliti menggunakan lembar observasi sebagai pedoman hal apa saja yang harus diobservasi. Untuk

keperluan tersebut, peneliti mengembangkan instrumen lembar observasi. Sesuai dengan indikator

komunikasi matematis tulis dan lisan, peneliti mengembangkan lima aspek untuk mendukung

kegiatan observasi pembelajaran yaitu sebagai berikut.

Cara siswa menyatakan himpunan dalam diagram Venn

Cara siswa menyatakan himpunan dalam notasi pembentuk himpunan

Tindakan siswa ketika ia butuh bantuan

Cara siswa menyampaikan respon terhadap pertanyaan guru

Cara siswa memberikan alasan terhadap jawaban yang dibuat

Masing-masing aspek dilengkapi dengan rumusan performa siswa. Observer dapat memberi tanda

pada performa yang muncul. Apabila ada kejadian di lapangan yang diluar dugaan, observer dapat

menambahkan keterangan pada kolom catatan.

Wawancara dilakukan dengan tujuan mengetahui komunikasi matematis lisan siswa.

Pertanyaan wawancara harus sesuai dengan fokus penelitian. Oleh karena hal tersebut, peneliti

membuat pedoman wawancara sebagai acuan dalam memberikan pertanyaan kepada subjek

penelitian. Pedoman wawancara memuat item pertanyaan yang dapat mengungkap indikator

komunikasi matematis lisan dan sesuai dengan materi. Pengembangan pedoman wawancara

memperhatikan lima hal sebagai berikut.siswa. Pengembangan pedoman wawancara memperhatikan

empat hal sebagai berikut.

Kepribadian introvert

Kemungkinan jawaban muncul

Pertanyaan pelacak apabila siswa tidak bisa menjawab

Pertanyaan lanjutan

Bisa mengungkap komunikasi lisan (sesuai indikator)

Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini tersaji pada lampiran.

b. Hasil Pengambilan Data

Subjek penelitian merupakan elemen penting dalam sebuah penelitian. Peneliti melakukan

pemilihan subjek dengan memberikan tes kepribadian kepada siswa Homeschooling kelas VII pada 18

Februari 2016 pada saat mereka berkumpul di kantor untuk mengikuti kelas psikologi. Siswa yang

mengerjakan tes sebanyak 11siswa.

ISBN: 978 602 1150 17 7

31

Sistem penskoran terbagi menjadi dua, yaitu untuk menilai kebohongan dan tingkat

ekstroversi. Skor kebohongan yang 6 mengindikasikan bahwa siswa bohong dan tes harus diulang.

Skor ekstroversi yang < 6 menunjukkan bahwa siswa mempunyai kepribadian introvert. Hasil tes

kepribadian di sajikan dalam tabel 1. Siswa yang dipilih sebagai subjek penelitian adalah siswa yang

tidak bohong dan memiliki kepribadian introvert dengan skor relatif rendah sebanyak lima siswa.

Tabel 1. Hasil Tes Kepribadian

No Siswa

Skor Kesimpulan

Skor

Kebohongan

Skor

Ekstroversi

Bohong/

Tidak

Ekstrovert/

Introvert

1 Siswa 1 (YW) 5 3 Tidak Bohong Introvert

2 Siswa 2 4 5 Tidak Bohong Introvert

3 Siswa 3 4 5 Tidak Bohong Introvert

4 Siswa 4 7 3 Bohong -

5 Siswa 5 5 9 Tidak Bohong Ekstrovert

6 Siswa 6 (JS) 5 2 Tidak Bohong Introvert

7 Siswa 7 4 8 Tidak Bohong Ekstrovert

8 Siswa 8 (RC) 4 2 Tidak Bohong Introvert

9 Siswa 9 (VA) 4 3 Tidak Bohong Introvert

10 Siswa 10 (EA) 4 2 Tidak Bohong Introvert

11 Siswa 11 4 4 Tidak Bohong Introvert

Keterangan : Siswa yang terpilih sebagai subjek penelitian adalah siswa yang bertanda merah. Subjek

akan disebut sesuai dengan inisial

Setelah subjek terpilih, peneliti mengobservasi siswa selama pembelajaran, kemudian peneliti

melakukan wawancara untuk mengungkap lebih mendetail tentang komunikasi lisan.

1. YW

YW belum bisa menggambarkan diagram Venn dengan sempurna. YW tidak membuat kotak

dan tidak menuliskan semesta himpunannya. Penamaan diagram Venn masih belum konsisten karena

terkadang menggunakan huruf kapital, huruf kecil, bahkan digunakan bersamaan. YW menyertakan

tanda titik didekat bilangan untuk menunjukkan anggota himpunan.

Membuat notasi pembentuk himpunan merupakan hal yang sulit bagi YW. Dia masih perlu

diingatkan untuk membuat kurung kurawal sebelum menuliskan himpunan. YW jarang menggunakan

simbol-simbol matematis seperti lebih sering menggunakan kata elemen daripada simbol . YW

sering terbalik dalam menuliskan simbol irisan dan gabungan dan terbalik dalam menggunakan

kurang dari dan lebih dari.

YW masih kurang peka dalam menyadari apa yang ia bingungkan terhadap materi irisan dan

gabungan dua himpunan. Dia mengetahui kalau dia merasa ada sesuatu yang hilang dalam skemanya,

namun kurang cepat dalam menyadari. YW memberitahu guru bahwa dia kebingungan dan meminta

diulang dari awal.

Cara YW memberikan respon terhadap pertanyaan guru adalah dengan cara bertanya balik

kepada guru karena belum mengerti secara jelas tentang maksud pertanyaan sekaligus untuk

meyakinkan bahwa persepsi yang dia tangkap adalah benar. Setelah merasa pertanyaan jelas, YW

meminta waktu untuk berpikir dulu kemudian menjawab. Apabila gur