Propositional Logic 3

“kusnawi.S.Kom, M.Eng”

version 1.1.0 .2009

Properties of Sentences

Adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh kalimat logika.

Ada 3 sifat logika yaitu :- Valid(Tautologi)- Kontradiksi- Satisfiable(Contingent).

Valid(Tautologi)

SuatuSuatu sentence sentence ff disebutdisebut validvalid, , jikajika untukuntuk setiapsetiap interpretation interpretation IIfor for ff, , makamaka ff truetrue

ContohContoh::1. (f and g) if and only if (g and f)1. (f and g) if and only if (g and f)2. f or not f2. f or not f3. (p and (if r then s)) if only if ((if r then s) and p)3. (p and (if r then s)) if only if ((if r then s) and p)4. (p or q) or not (p or q)4. (p or q) or not (p or q)5. (if p then not q) if and only if not (p and q)5. (if p then not q) if and only if not (p and q)

Kontradiksi

SuatuSuatu sentence sentence ff disebutdisebut contradictorycontradictory, , jikajika untukuntuk setiapsetiapinterpretation interpretation II for for ff, , makamaka f f falsefalse

ContohContoh::1. 1. p and not pp and not p2. ((p or q) and not r) if and only if ((if p then r) and (if q 2. ((p or q) and not r) if and only if ((if p then r) and (if q then r)then r)3. (p or q) and ((not p) and (not q))

Satisfiable(Contingent)

SuatuSuatu sentence sentence ff disebutdisebut satisfiablesatisfiable, , jikajika untukuntuk suatusuatuinterpretation interpretation II for for ff, , makamaka ff truetrue

ContohContoh::1. if (if p then q) then q1. if (if p then q) then q2. (if p then q) and (not r and s)2. (if p then q) and (not r and s)3. (if r then q) or p

Inference Method

Suatu teknik/metode untuk menurunkan kesimpulan berdasarkanhipotesa yang diberikan, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran

Misalkan kepada kita diberikan beberapa proposisi. Kita dapat menarikkesimpulan baru dari deret proposisi tersebut.

Contoh Metodenya adalah :- Modus Ponen atau law of detachment- Modus Tollen- Silogisme Hipotetis- Silogisme Disjungtif- Simplifikasi- Konjungsi

Modus Ponen atau law of detachment

p qp q

Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p q benar, maka konklusi q benar.

Misalkan implikasi “Jika 20 habis dibagi 2,maka 20 adalah bilangangenap” dan hipotesis “20 habis dibagi 2” keduanya benar. Maka menurutmodus ponen, inferensi berikut:1. Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap. 2. 20 habis dibagi 2. 3. Karena itu, 20 adalah bilangan genap

Modus Tollen

p q~ q

~ p

Misalkan implikasi “Jika n bilangan ganjil, maka n pangat 2 bernilai ganjil”dan hipotesis “n pangkat 2 bernilai genap” keduanya benar. Makamenurut modus tollen, inferensi berikut1. Jika n bilangan ganjil, maka n pangkat 2 bernilai ganjil2. n pangkat 2 bernilai genap3. n bukan bilangan ganjil

Silogisme Hipotetis

p qq rp r

Misalkan implikasi “Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian”dan implikasi “Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah” adalahbenar. Maka menurut kaidah silogisme, inferensi berikut:

1. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian2. Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah3. Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah

Silogisme Disjungtif

p v q~ pq

Inferensi berikut:“Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan.Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahundepan.” Menggunakan kaidah silogisme disjungtif:

1. Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan.2. Saya tidak belajar dengan giat.3. Saya menikah tahun depan.

Simplifikasi

p v qp

Contoh :

“Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM. Karena itu, Hamidadalah mahasiswa UGM.”

kaidah simplifikasi, atau dapat juga ditulis dengan cara:1.Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM.2.Hamid adalah mahasiswa UGM.atau

“Hamid adalah mahasiswa UGM dan mahasiswa AMIKOM. Karena itu, Hamid adalah mahasiswa AMIKOM”

Konjungsi

pqp ^ q

Contoh :“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah

Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit danmengulang kuliah Algoritma” kaidah konjungsi:

1.Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.2.Taslim mengulang kuliah Algoritma.3.Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah

Algoritma.

Exercise

No 1 : Diketahui hipotesa :a. a bb. c v dc. c ed. ~be. f gf. d a

Penyelesainnya:1. a b hipotesa (a)

~b hipotesa (d)~a , modus tollen

2. d a hipotesa (f)~a kesimpulan 1~d , Modus tollen

3. c v d hipotesa (b)~d kesimpulan 2c, silogisme disjungtif

4. c e hipotesa (c) c kesimpulan 2

e, Modus ponen

Kesimpulannya : Pernyataan E

No 2:Pada suatu hari, Anda hendak pergi kuliah dan barusadar bahwa Anda tidak memakai kacamata. Setelah diingat-ingat, ada beberapa fakta dimanaAnda yakin itu benar:

1) Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudahmelihatnya ketika mengambil makanan kecil.

2) Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu atau akumembacanya di dapur.

3) Jika aku membaca buku pemrograman di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.

4) Aku tidak melihat kacamataku ketika aku mengambilmakanan kecil.

5) Jika aku membaca majalah di ranjang, maka kacamatakukuletakkan di meja samping ranjang.

6) Jika aku membaca buku pemrograman di dapur, makakacamata ada di meja dapur.

Berdasar fakta-fakta tersebut, tentukan dimana letakkacamata tersebut!.

Penyelesaiannya:Untuk memudahkan dalam menggunakan penggunaanmetode inferensi, maka kalimat-kalimat tersebutdinyatakan dengan simbol-simbol logika, Misalnya:

p : Kacamata ada di meja dapur.q : Aku melihat kacamataku ketika aku mengambil

makanan kecil.r : Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu.s : Aku membaca buku pemrograman di dapurt : Kacamata kuletakkan di meja tamu.u : Aku membaca buku pemrograman di ranjang.w : Kacamata kuletakkan di meja samping ranjang.

Dengan simbol-simbol tersebut, maka fakta-faktadi atas dapat ditulis, sebagai berikut:1. p q2. r s3. r t4. ~q5. u w6. s p

Hasilnya :Inferensi yang dapat dilakukan adalah:1. p q

~ q~p , modus Tollen

2. s p~p

~s, Modus Tollen3. r s

~sr, Silogisme Disjungtif

4. r tr

t, Modus PonenKesimpulannya: Kacamata ada di meja tamu.

No 3:Beberapa fakta ditujukan sebagai berikut ini:a. Harga BBM naikb. Penghasilan pemilik angkutan tidak menurunc. Jika harga BBM naik tetapi harga angkutan umum tidak

naik maka penghasilan pemilik angkutan menurund. Jika harga angkutan umum naik maka masyarakat harus

diberi subsidi.Berdasarkan fakta-fakta diatas, kerjakan :1. Nyatakan kalimat pada fakta-fakta diatas dengan simbol

logika.2. Nyatakan hasil kesimpulan dengan metode inferensi

apakah masyarakat harus dibersi subsidi ?

Penyelesainnya:1. p : harga BBM naik

q : Penghasilan pemilik angkutan menurunr : harga angkutan umum naiks : masyarakat harus diberi subsidi

2. Kesimpulan hasil metode inferensi :

No 4:Perhatikan hipotesa-hipotesa di bawah berikut:

1. Jika saya rajin kuliah atau saya cerdas, maka saya akan lulus matakuliah Logika informatika.

2. Saya tidak diijinkan mengambil mata kuliah pemrogmanan.3. Jika saya lulus mata kuliah logika Informatika, maka saya akan

diijinkan mengambil mata kuliah pemrograman.4. Saya cerdas

Misalkan:p: Saya rajin kuliahq: Saya cerdasr: Saya lulus ujian logika Informatikas: Saya diijinkan mengambil mata kuliah pemrograman

Nyatakan kalimat-kalimat di atas dengan simbol-simbollogika!, Kemudian simpulkan, apakan saya rajin kuliah?

No 5:Tentukan validitas argumen dari beberapa pernyataan berikut:

“Mahasiswa diperbolehkan mengambil mata kuliah MatematikaDiskrit jika telah melewati tahun pertama dan berada padasemester ganjil. Mahasiswa jurusan Farmasi tidak diperbolehkanmengambil mata kuliah Matematika Diskrit. Dengan demikianmahsiswa jurusan Farmasi belum melewati tahun pertama atausedang berada pada semester genap.”

Next time :-D