Probabilitas

Probabilitas

• P( A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi

0 < P(A) < 1

• P(A) = 0 artinya A pasti terjadi

• P(A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi

ARTI PROBABILITAS

• Jika sebutir mata uang logam kita lemparkan dengan bebaske­mungkinannya adalah kita akan memperoleh kepala (K) atauekor (E). Kemungkinan timbul atau tidak timbulnya sesuatu kejadianitu disebut probabilitas kejs u adian.

• Kemungkinan timbul disebut s u k s e s dan kemungkinan tidaktimbul disebut g a g a l.

• Jika kemungkinan sukses kita beri simbul p dan kemungkinan gagalkita beri simbul q, dan kemungkinan timbulnya p dan q adalahsama, maka kita batasi p = q. Dari seluruh kejadian yang mungkinbatasan itu dapat juga dinyatakan sbb :

• Prs =P= 1-q = PrG =q = 1-p.dalam mana PrS dan PrG masing-masing adalah probabilitas suksesdan probabilitas gagal.

ARTI PROBABILITAS

• Misalnya, jika mata uang masih baik dandilemparkan dengan bebas 10 kali, maka jikatidak ada faktor "kebetulan" yang turutcampur tangan, probabilitas untuk keluar K adalah 5 kali dan probabilitas untuk keluar E adalah 5 kali. Atau separo adalah K dan separoadalah E. Dinyatakan dengan simbul

p = 0,5 dan q = 0,5

PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS

• Umumnya ada faktor-faktor "kebetulan" diluar kekuasaan tangan manusia yang mengubah keadaan probabilitas teoritik itu, sehingga dalam kenyataannya perbandinganantara K dan E menjadi 4: 6, 7: 3, dansebagainya.

• Probabilitas yang diobservasi ini disebutobserved probability, dan dinyatakan dalambilangan pecahan seperti 0,4 : 0.,6 atau 0,7 : 0,3 dengan jumlah keseluruhan = 1,000.

PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS

Jika frekwensi observasi kita tambah terus-menerus, misalnya melemparkan mata uang tersebut menjadi 100 kali, maka perbedaan antara probabilitas teoritik denganobserved probability akan menjadi semakin kecil.

Jadi jika misalnya kita lemparkan mata uang 100 kali dankeluar 57K, dan kita lemparkan lagi mata uang itu 100 kali dan keluar 45 K, maka probabilitas ke luarnya K dari200 kali lemparan bebas itu menjadi :

= (0,57) + (0,45) : 2 = 0,5157 45

: 2100 100

PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS

• p r o b a b i l i t a s e m p i r i k dari sesuatu kejadianadalah probabilitas timbulnya kejadian itu darisejumlah besar observasi.

• jika observasi dilakukan tak terhingga kali, maka secarapraktik dapat dikatakan bahwa probabilitas empirikakan sangat dekat atau sama dengan probabilitasteoretik.

• misalnya jika terus - menerus melemparkan matauang dan kita observasi keluarnya K, maka probabilitasdari K akan sangat mendekati 0,5 , yaitu probabilitasteoretik dari satu kali melemparkan mata uangtersebut.

PERMUTASI

Definisi :

Suatu permutasi r unsur, yang diambil dari n unsur yang berlainan, yaitu penempatan r unsur itu dalam satu urutan (r n)

PERMUTASI

• Pandang 3 unsur yang berlainan, misal a, b, dan c.

• Kita dapat mengurut- kannya sebagai abc, acb, bac, bca, cba, dan cab. Tiap urutan disebut dengan permutasi 3 unsur dari ketiganya dinyatakan dengan simbol 3P3 dan 3P3 = 6.

• Jika hanya diambil 2 unsur saja, kita mendapatkan permutasi ab, ba, ac, ca, bc, dan cb. Banyaknya permutasi 3 unsur diambil dari 3P2

= 6

PERMUTASI

nPr = n (n - 1) (n – 2) . . . (n – r + 1) = )!(

!

rn

n

nPn = n !

KOMBINASI

Definisi :

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari nunsur yang berlainan, adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r n)

KOMBINASI

• Pandang 3 unsur a, b dan c .

• Sekarang diambil 2 unsur tanpa mengindahkan urutannya, jadi ab sama dengan ba, ac sama dengan ca.

• Pilihan ab, ac, dan bc adalah 3 kombinasi 3 unsur diambil 2.

KOMBINASI

nCr = (r

n) =

!

Pr

r

n =

)!(!

!

rnr

n

KOMBINASI

3C2 = !1!2

!3 =

1.2

6 = 3

4C2 = !2!2

!4 =

2.2

24 = 6

contoh

Kita hendak mengirimkan surat per pos dan biayanya Rp 2300. Kantor pos memberikan 4 perangko yang berlainan, yaitu 100, 300, 800, 1100. Dengan berapa permutasi kita dapat menempelkan 4 perangko ini pada surat kita ?

Jawab :

Banyaknya permutasi 4 unsur diambil 4 unsur adalah 4P4 = 24

contoh

Ada berapa cara satu panitia terdiri atas 3 orang dapat dipilih dari 4 pasangan suami istri. a. Jika semua orang ini dipilih b. Jika panitia ini harus terdiri dari 2 pria dan 1 wanita ? Jawab :

a. Ada 8 orang dan diambil 3; jadi ada (3

8) =

!5!3

!8 =

3.2.1

8.7.6 =

6

336 = 56

b. Dua pria dipilih dari 4 suami, jadi ada (2

4) =

!2!2

!4 = 6 cara

dan seorang wanita dari 4 istri, jadi ada (1

4) =

!3!1

!4 = 4 cara

sehingga ada 6 x 4 = 24 cara

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT

• Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu distribusi darigejala G yang mempunyai penampakan G1.. ,G2..,…….Gndengan probabilitas masing - masing pl, P2,…….pn dalammana jumlah pl + p2 + ... + pn atau p= 1

• Perlu ditambahkan bahwa sungguhpun observasi dilakukanN kali, probabilitas dari G1 , G2, ..., Gn akan tetap pl , p2 ,..., pn yang jumlahnya = 1.

• Akan tetapi dengan observasi N kali itu maka frekwensi dariGI , G2,………..Gn akan menjadi Npl , Np2, ..., Npn dengan jumlahfrekwensi = N Jumlah ini dengan mudah dapat kita lihat :N P 1

+ NP 2 + . . . . + Np n = N ( P 1 + P 2 + . . . + p n ) = N (1)= N.

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT

• Jika dua buah mata uang yang masih baik kita lemparkandengan bebas bersama - sama, kita akan memperolehkeluarnya KK, KE, EK, dan EE dalam perbandingan 1: 1: 1: 1, atau dalam bentuk probabilitas ¼ : ¼ : ¼ : ¼ .

• Jumlah seluruh probabilitas adalah 1. • Oleh karena KE dan EK pada dasarnya adalah satu

kombinasi yang sama maka probabilitasnya akan menjadi :2K = 0,251K1E = 0,502E = 0,25

• Total probabilitas = P = 1,00

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT

Jika kita tambahkan lagi sebutir mata bang yang kitalemparkan, maka probabilitas timbulnya KKK, EKK, KKE, EEK, EKE, KEE, dan EEE adalah 1/8: 1/8: 1/8 : 1/8 : 1/8:1/8 : 1/8. Atau jika kombinasi yang sama kita kumpulkan, akan kitajumpai distribusi probabilitas sebagai berikut :

GEJALA PROBABILITAS

G1 = 3K PG1 = 1/8

G2 = 2KIE PG2 = 3/8

G3 = 1 K2E PG3 = 3/8

G4 = 3E PG4 = 1/8

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT

G1 G2 G3 G4

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA KONTINU

DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA KONTINU

• Dinyatakan dalam grafik poligon :

• Dimana G1, G2, ..., Gn diubah menjadi X 1, X2, ..., Xn

dan dinyatakan pada absis,

• sedang p1, p2, ..., pn diganti dengan fl, f2, ,.. . . , f n

dan dinyatakan pada ordinat Y.

• Pada poligon semacam itu frekwensi dari score X

1 sampai XZ dicerminkan dalam luas daerah kurveyang dibatasi oleh dua ordinat pada X1 dan X2 danabsis serta kurve di antara X 1 dan X 2itu

Contoh pada distribusi normal

Dengan table distribusi normal , cari dibawah z pada kolomkiri cari 2,1dan diatas sekaliangka 5.Dari 2,1 maju ke kanan dandari 5 menurun didapat 4842luas yang dicari lihat daerahyang diarsir = 0,4842