presesi dan nutasi

Suryadi Siregar Mekanika Benda Langit

Bab 5Presesi dan Nutasi_________________________________________________________________________________

5.1 PresesiPresesi adalah pergeseran orientasi sumbu rotasi Bumi secara perlahan-lahan setiap satu

kali putaran. Orientasi sumbu rotasi akan kembali pada keadaan semula dalam tempo sekitar 26000 tahun.

Presesi Bumi disebut juga dengan presesi equinox. Titik equinox bergerak ke arah barat sepanjang ekliptika relatif terhadap bintang latar belakang (bintang acuan), dengan gerak yang berlawanan dengan gerak Matahari.

Gambar 5- 1 Gerak presesi, meyebabkan arah kutub utara terhadap langit berubah seiring waktu

Pada pertengahan abad ke 19, telah diketahui bahwa ekliptika beringsut sedikit demi sedikit fenomena ini disebut dengan presesi planet. Komponen dominan dinamai presesi lunisolar. Kombinasi dari kedua presesi tersebut dinamai presesi umum. Disebut juga dengan presesi equinox. Presesi lunisolar disebabkan oleh gaya gravitasi Bulan dan Matahari pada ekuator Bumi, yang menyebabkan sumbu rotasi Bumi bergerak dengan arah yang bergantung pada kerangka inersia yang dipilih. Presesi planet adalah perubahan sudut yang kecil disebabkan oleh gaya gravitasi planet lain pada Bumi dengan bidang orbit (ekliptika). Hal ini menyebabkan bidang ekliptika bergeser perlahan relatif terhadap kerangka inersia. Presesi lunisolar 500 kali lebih besar dibandingkan presesi planet. Pada tahun 2006, IAU menetapkan komponen dominan

KK-Astronomi Page 5-1


dinamakan presesi ekuator dan komponen minor, presesi ekliptik. Kombinasi keduanya disebut presesi umum.

5.2 Efek PresesiPresesi Bumi memiliki beberapa efek yang dapat diamati. Pertama, posisi kutub langit

utara dan kutub langit selatan tampak bergerak dalam arah yang berlawanan dengan gerak latar belakang langit yang dipenuhi oleh bintang. Mencapai satu putaran Bumi setelah mengelilingi Matahari sebanyak 25.771,5 kali atau setara dengan 25.771,5 tahun. Dengan demikian, bintang Polaris yang saat ini berada di kutub langit utara akan berubah posisinya dengan waktu dan bintang yang lain akan menjadi bintang utara. Bersamaan dengan bergesernya kutub langit maka secara perlahan-lahan terjadi pula pergeseran pada arah tampak semua bintang.

Posisi Bumi dalam orbitnya ketika mengitari Matahari pada titik solstice dan titik equinox akan berubah secara perlahan. Contohnya, misalkan posisi orbit Bumi pada saat itu berada pada summer solstice, ketika kemiringan sumbu rotasi Bumi tepat mengarah ke Matahari, satu kali orbit penuh kemudian, Matahari terlihat kembali pada posisi relatifnya terhadap bintang-bintang latar belakang, kemiringan sumbu rotasi bumi yang sekarang tidak akan tepat mengarah ke Matahari. Ini dikarenakan efek presesi, dengan kata lain solstice terjadi lebih cepat. Dengan demikian, tahun tropis yang digunakan untuk menghitung musim (dari solstice ke solstice atau equinox ke equinox) menjadi lebih pendek sekitar 20 menit dibandingkan tahun sideris. Beda waktu sebesar 20 menit per tahun berarti ekivalen dengan satu tahun setiap 25.771,5 kali putaran Bumi mengitari Matahari (atau 25.771,5 tahun), maka setelah satu putaran selama 25.771,5 tahun posisi perubahan musim akan kembali seperti semula.

5.3 NutasiNutasi adalah gerak irregular dalam order beberapa detik busur pada sumbu rotasi Bumi.

Nutasi adalah pergerakan sumbu rotasi dimana presesinya konstan.



Gambar 5- 2 Perbedaan antara presesi (P) dan nutasi (N)

Nutasi pada planet terjadi akibat efek pasang surut (tidal efek). Gaya pasang surut menyebabkan presesi equinox berbeda dari waktu ke waktu sehingga kecepatan presesi menjadi tidak konstan. Phenomena nutasi pertama kali ditemukan pada tahun 1728 oleh astronom Inggris James Bradley. Nilai nutasi adalah beberapa detik busur per decade, selain itu ada gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan polar motion atau gerak kutub yang dapat diperkirakan hanya dalam beberapa bulan, karena ia terpengaruhi oleh hal-hal yang cepat berubah dan tidak dapat diprediksi seperti pasang surut, kecepatan dan arah angin serta gerak perut Bumi.

Nutasi dibedakan dalam komponen paralel dan komponen tegak lurus terhadap bidang ekliptika. Komponen yang bekerja sepanjang ekliptika atau komponen paralel dikenal dengan nutasi dalam longitude. Komponen yang tegak lurus ekliptika dikenal dengan nutasi dalam inklinasi. Sistem koordinat langit berdasarkan pada “ekuator” dan “equinox”, yang berarti lingkaran besar di langit yang menjadi proyeksi ekuator Bumi, dan garis vernal equinox yang memotong lingkaran tesebut, yang menjadi titik awal untuk menentukan asensiorekta. Hal tersebut dipengaruhi oleh presesi equinox dan nutasi, maka dengan demikian tergantung pada teori yang digunakan pada presesi dan nutasi dan pada tanggal yang digunakan sebagai epoch (tanggal referensi) untuk sistem koordinat. Jadi jelas, nutasi dan presesi sangat penting dalam pengamatan ketika kita mengukur posisi semu bintang dan obyek lainnya.

5.4 Nutasi pada BumiPada kasus Bumi, sumber utama gaya pasang surut adalah Matahari dan Bulan yang lokasinya satu sama lain berubah secara kontinyu. Keadaan ini menyebabkan nutasi pada sumbu rotasi Bumi. Komponen terbesar nutasi Bumi memiliki perioda 18,6 tahun, sama seperti presesi node orbit Bulan. Tetapi ada hal periodik lain yang signifikan yang harus dihitung dengan ketelitian yang ingin dicapai yaitu persamaan matematika yang merepresentasikan nutasi yang disebut dengan teori nutasi. Pada dasarnya ada sejumlah gaya yang menggangu rotasi Bumi, misalnya gaya yang timbul akibat arus laut, gerak permukaan bumi (plate tektonik), beban/tekanan atmosfer (atmosfer loading), mencairnya es di kutub (melting of ice), tekanan dari permukaan laut (sea level loading), gempa bumi (earth quakes), pergerakan udara di lapisan troposfer/ angin (winds), torka cairan (viscous torques), air bawah tanah (ground water) dan electromagnetic coupling.

5.5 Persamaan Gerak Euler untuk Benda KakuDefinisi Sudut Euler



Gambar 5- 3 Sudut Euler- Sumbu xyz adalah tetap ditandai dengan warna biru, sumbu XYZ system yang berotasi, ditunjukkan oleh warna merah. Garis nodal diberi label N ditunjukkan

dengan warna hijau .Oleh sebab itu dengan kata lain; α (atau φ) adalah sudut diantara sumbu x dan garis nodal. β (atau θ) adalah sudut diantara sumbu z- dan sumbu Z. γ (atau ψ) adalah sudut diantara garis nodal dan sumbu X.

Tinjau benda kaku yang terdiri dari kumpulan titik massa, berputar secara tiba-tiba pada sumbu dengan pusat O, kecepatan sudut ω. Andaikan titik O tetap dalam ruang atau jika bergerak ia menjadi pusat massa dari system. Maka dapat diturunkan pernyataan berikut;Kecepatan linier

Momentum Sudut

Atau boleh juga ditulis sebagai


http://en.wikipedia.org/wiki/File:Eulerangles.svg


Gambar 5- 4 Titik massa dengan i=1,2, .. n dalam koordinat kartesis x,y dan z

Jadi untuk sejumlah n, titik massa berlaku

(5.1)Tetapi radius vektor terhadap pusat koordinat O(0,0,0) adalah

Kecepatan sudut

Momentum sudut

Persamaan momentum sudut (5.1) diatas dapat dinyatakan kembali

KK-Astronomi -5


Besaran diatas didefinisikan sebagai1. Momen Inersia

, dan (5.2)

2. Product of Inertia

, dan (5.3)Untuk medium yang kontinyu simbol penjumlahan ∑ dapat diganti dengan integral.

5.6 Hukum II Newton, untuk gerak rotasiTinjau turunan momentum sudut L

(5.4)

N adalah Torka di titik O. Misalkan ( ) menyatakan bilangan arah sebuah garis lurus yang melalui titik O (lihat Gambar5.4)

Gambar 5- 5 Titik massa mj dengan koordinat (x,y,z). Koordinat (x,y,z) adalah projeksi mj

ke garis l, dengan bilangan arah (,,).

Terdefinisi Momen inersia terhadap garis, l dengan jarak d adalah;

(5.5)Dalam hal ini menurut dalil Phytagoras ;



Karena;

Maka dapat ditulis;

(5.5a)Untuk distribusi massa yang kontinyu

Dalam hal ini, rapat massa (density) dan dV elemen volume

Sehingga momen inersia dalam komponen x,y dan z dapat ditulis dengan mensubstitusi (5.5a) kedalam (5.5)

(5.6)Dengan demikian dapat ditulis secara parsial

Kalau kita gabungkan diperoleh

(5.7)Pernyataan (5.7) adalah momen inersia dari sebuah garis lurus yang melalui titik O, selanjutnya

misalkan merupakan koordinat sebuah titik massa yang terletak pada garis tersebut, berjarak dari sumbu O akan mempunyai bilangan arah

(5.8)Sehingga, persamaan (5.7) dapat ditulis kembali sebagai;

(5.9)

Jika dimisalkan maka kita peroleh;



(5.10)

Menyatakan persamaan ellipsoida. Permukaannya disebut momental ellipsoid untuk benda yang pusatnya berada di titik O.

Pilih sebagai koordinat sehingga pernyataan (5.9) dapat ditulis dalam bentuk;

(5.11)

Dengan menyatakan momen inersia terhadap sumbu simetri ellipsoid, persamaan ini disebut principal moments of inertia.Sebagai sumbu inersia dipilih sumbu utama ellipsoid, sehingga arah vektor momentum sudut akan segaris dengan vektor kecepatan sudut.

Dengan perkatan lain (5.12)

Dalam hal ini didefinisikan;I=momen inersia utama

Tinjau momentum sudut Jadi kalau diturunkan terhadap waktu t, diperoleh;

(5.13)Atau dapat juga ditulis;

(5.14) Jadi kita peroleh;

(5.15)

Karena tetap, maka sehingga pernyataan diatas menjadi;



(5.16)

Pernyataan (5.16) terdefinisi sebagai persamaan gerak Euler berlaku dengan syarat pusat massa tetap di titik O. Pusat massa system sekaligus merupakan sumbu koordinat.

5.7 Variasi lintang

Tinjau tiga titik massa bergerak pada bidang xy. Dengan kecepatan sudut konstan Seluruh bidang xy juga berputar dengan kecepatan sudut konstan terhadap sumbu y, sehingga sumbu x bergerak dalam bidang kertas.

Gambar 5- 6 Tiga titik massa yang bergerak pada bidang xy. Bidang xy berotasi terhadapsumbu y dengan kecepatan sudut tetap sebesar . Sedangkan ketiga benda berotasi

dalam bidang xy dengan kecepatan sudut

Dari Gambar 5-6 dapat diturunkan pernyataan berikut;

(5.17)

(5.18)

(5.19)



(5.20)

dan (5.21)Dari sifat-sifat momen inersia, kita ketahui ,

, dan (5.22)Oleh sebab itu, persamaan Eulernya menjadi

(5.23)

(5.24)

(5.25)

Jadi Torka pada masing-masing sumbu adalah

(pitching moment) (5.26)

(yawing moment) (5.27)

(rolling moment) (5.28)

Dalam kasus ini sumbu z menembus bidang kertas. Contoh lain tentang gerak pitching, yawing dan rolling dapat ditemukan pada gerak Toutatis

5.8 Pitching, yawing dan rolling Tinjau rotasi terhadap suatu titik, tanpa adanya torka misalnya rotasi bumi sebagai contoh (aproximasi) torka yang disebabkan oleh matahari dan bulan relative kecil. Mempunyai sumbu

simetri Dari persamaan gerak Euler (5.16);

(5.29)

Misalkan diambil ,maka dengan cara yang sama dapat disimpulkan kembali;



(5.30)

Karena konstant, maka dapat juga ditulis

(5.31)

Misalkan suatu konstanta yang tidak bergantung pada waktu jadi kalau

pernyataan diatas diturunkan satu kali terhadap t serta mengingat tetap maka diperoleh;

(5.32)Maka

(5.33)Merupakan solusi real, dalam hal ini a dan b merupakan konstanta integrasiJadi

(5.34)Jadi kalau pasangan persamaan (5.33) dan (5.34) masing-masing dikuadratkan kemudian dijumlahkan diperoleh;

(5.35)Dengan perkataan lain projeksi vektor pada bidang (1-2) atau bidang x-y bergerak dalam suatu lingkaran, dengan jejari a;Dalam hal ini;



(5.36)

Gambar 5- 7 Kecepatan sudut diuraikan dalam komponen sumbu (1), sumbu (2) dan sumbu (3)

Diketahui sifat fungsi sinus & cosinus periodik dengan periode 2π. Jadi periode dan harus

memenuhi atau tulis t=P maka dengan perkataan lain Vektor

akan berputar pada sumbu-(3) dengan periode P, yang selalu konstan.

Untuk Bumi diketahui dan radian/hari

Jadi 300 hari, menyatakan gerak periodic vector , terhadap sumbu simetri (poros Bumi),

fenomena ini disebut sebagai “variation of latitude”. Data observasi 433 hari. Perbedaan disebabkan asumsi benda kaku tidaklah benar. Bumi sebenarnya bersifat elastik.

5.9 Sudut Eulers dan pers gerakTinjau sistem koordinat kartesis yang tetap θx0, θy0, θz0



Gambar 5- 8 Definisi sudut Euler untuk sistim 3 benda

Dapat dilihat

(5.37)

(5.38)

(5.39)

Dengan bantuan persamaan gerak Euler dan sumbu simetri diambil diperoleh persamaan berikut. Untuk ketiga sudut tersebut

(5.40)

(5.41)

(5.42)

Bila persamaan ini dapat kita selesaikan maka orientasi dari tiga titik massa ,ψ, φ untuk setiap waktu dapat ditentukan.



Gambar 5- 9 Rotasi gerak dalam sudut . Nutasi gerak dalam arah sudut dan presesi gerak dalam arah sudut . Gerak ini identik dengan gerak gasing .

Contoh: Gerak sebuah gasing, dapat diturunkan dengan persamaan Euler. Sifat gasing ,berputar pada porosnya dan sekaligus bergerak mengitari sumbu-z. Jika dimisalkan l, jarak pusat gravitasi ke sumbu (koordinat), maka

Komponen Torka yang lain tidak mempunyai peran, artinya Jadi persamaan Geraknya

(5.43)

(5.44)

(5.45)

Atau (5.46)Demikian pula

konstan (5.47)

Atau (5.48)



Besaran ini disebut kecepatan presesi, hanya merupakan fungsi dari sudut sajaAnalisis lebih lanjut menunjukkan bahwa juga berubah terhadap waktu. Fenomena ini disebut

Nutasi. Selanjutnya jika (kecepatan spin jauh lebih besar dari kecepatan gerak

rotasinya) maka dan memenuhi hubungan . Substitusi persamaan (5.48) dan (5.46) pada (5.43) diperoleh

(5.49)

Dapat diselesaikan bila bentuk diketahui.

Selanjutnya tinjau persamaan energy kinetis

(5.50)Atau

(5.51)Atau

(5.52)

Jadi energy total E=T+V dengan energi potensial

Atau (5.53)Atau

(5.54)Misalkan



(5.55)Bentuk ini sering dinyatakan sebagai “potensial fiktif”. Dapat dilihat nilainya akan maksimum

bila dan . Mempunyai nilai minimum bila yang dapat dicari dengan meletakkan

syarat , maka diperoleh;

(5.56)

Kalau diintegralkan diperoleh;

(5.57)

Daftar IsiBab 5............................................................................................................................................................1

Presesi dan Nutasi.......................................................................................................................................1

5.1 Presesi...................................................................................................................................................1

5.2 Efek Presesi......................................................................................................................................2

5.3 Nutasi..............................................................................................................................................2

5.4 Nutasi pada Bumi.............................................................................................................................3

5.5 Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku......................................................................................3

5.6 Hukum II Newton, untuk gerak rotasi..............................................................................................6

5.7 Variasi lintang..................................................................................................................................9



5.8 Pitching, yawing dan rolling.................................................................................................................10

5.9 Sudut Eulers dan pers gerak..........................................................................................................12

Daftar GambarGambar 5- 1 Gerak presesi, meyebabkan arah kutub utara terhadap langit berubah seiring waktu.........1

Gambar 5- 2 Perbedaan antara presesi (P) dan nutasi (N)..........................................................................3

Gambar 5- 3 Sudut Euler- Sumbu xyz adalah tetap ditandai dengan warna biru, sumbu XYZ system yang

berotasi, ditunjukkan oleh warna merah. Garis nodal diberi label N ditunjukkan dengan warna hijau .....4

Gambar 5- 4 Titik massa dengan i=1,2, .. n dalam koordinat kartesis x,y dan z...................................5

Gambar 5- 5 Titik massa mj dengan koordinat (x,y,z). Koordinat (x,y,z) adalah projeksi mj ke garis l,

dengan bilangan arah (,,)......................................................................................................................6

Gambar 5- 6 Tiga titik massa yang bergerak pada bidang xy. Bidang xy berotasi terhadap.......................9

Gambar 5- 7 Kecepatan sudut diuraikan dalam komponen sumbu (1), sumbu (2) dan sumbu (3)...........12

Gambar 5- 8 Definisi sudut Euler untuk sistim 3 benda............................................................................13

Gambar 5- 9 Rotasi gerak dalam sudut . Nutasi gerak dalam arah sudut dan presesi gerak dalam arah

sudut . Gerak ini identik dengan gerak gasing ........................................................................................14

Daftar Indexdalil Phytagoras, 7ekliptika, 1, 3electromagnetic coupling., 4epoch, 3IAU, 2momen inersia utama, 9momental ellipsoid, 8Nutasi, 1, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18pasang surut, 3, 4

permukaan laut, 4pitching moment, 11potensial fiktif, 17Presesi, 1, 2, 17principal moments of inertia, 8rolling moment, 11rotasi Bumi, 1, 2, 4solstice, 2Sudut Euler, 4, 17, 18



tahun sideris, 2Titik equinox, 1

yawing moment, 11


presesi dan nutasi

Documents