precálculo - 5a ed. - stewart

8/12/2019 Precálculo - 5a Ed. - Stewart

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Precálculo Quinta ediciónMatemáticas para el cálculo

Límites

JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON

Pag. 881-924



3.1 Concepto intuitivo de límite de una función.

LimitesEsquema del capituloEn este capitulo se estudia la idea central subyacente al cálculo, el concepto de “límite”.El cálculo se emplea para modelar numerosos fenómenos de la vida real, en particularsituaciones relacionadas con cambio o movimiento. Para entender la idea básica de límitesconsidérese dos ejemplos fundamentales.Para hallar el área de una fiura polional simplemente se divide en triánulos y se suman susáreas, como se muestra en la fiura !ue se encuentra a la a bajo.

"in embaro, es mucho más difícil hallar el área de una reión con lados curvos. #na maneraes apro$imar el área inscribiendo políonos en la reión. En la fiura se ilustra cómo se haceesto para un círculo.

"i n A es el área de políono reular inscrito con n lados, entonces se puede observar !ue

cuando n aumenta, n A se apro$ima cada ve% más al área del círculo. "e dice !ue el área

A del círculo es el “límite” de las áreas n A y se escribe

nn

Alímárea∞→

=

En caso de hallar un patrón para las áreas n A , entonces se podría determinar el límite A de

manera e$acta. En este capítulo se usa una idea similar para hallar las áreas de reionesacotadas por ráficas de funciones.En el capitulo & se aprendió cómo hallar la tasa de cambio promedio de una función. Porejemplo, para hallar la velocidad promedio se divide la distancia total recorrida entre el tiempo

total. Pero, '(ómo se puede encontrar la velocidad “instantánea”) es decir, la velocidad en undeterminado instante* +o se puede dividir la distancia total recorrida entre e tiempo total,por!ue en un instante la distancia total recorrida es cero y el tiempo total empleado en elrecorrido es cero- Pero se puede hallar la ta%a de cambio “promedio” en intervalos cada ve%más pe!ueos mediante una ampliación en el instante deseado. Por ejemplo, supona !ue

( )t f proporciona la distancia !ue un automóvil ha recorrido en el tiempo. Para determinar la

velocidad del automóvil e$actamente a las &/00 p.m., se halla primero la velocidad promedio

en un intervalo de & y un poco después de &, es decir, en el intervalo [ ]h+2,2 . "e sabe !ue la

velocidad promedio en este intervalo es ( ) ( )[ ] h f h f /22 −+ . 1l determinar esta velocidad

promedio para valores cada ve% más pe!ueos de h 2permitiendo !ue h se acer!ue a

cero3, se reali%a una amplificación del instante deseado. "e puede escribir.

4elocidad instantánea

( ) ( )h

f h f

límoh

22 −+

= →



"i se encuentra un patrón para la velocidad promedio, se puede evaluar este límite de manerae$acta.5as ideas en este capítulo tienen aplicaciones de amplio alcance. El concepto de “tasa decambio instantánea” se aplica a cual!uier cantidad variante, no sólo la velocidad. El conceptode “área bajo la ráfica de una función” es muy versátil. 6e hecho, numerosos fenómenos, enapariencia no relacionados con el área, se pueden interpretar como el área bajo la ráfica de

una función.

3.2 ituaciones prácticas donde se presenta el concepto de límite.

!reas"e ha visto !ue los límites son necesarios para calcular la pendiente de una recta tanente ouna tasa de cambio instantánea. 1!uí se vera !ue también son necesarios para hallar el áreade una reión con un límite curvo. El problema de hallar tales áreas tiene consecuencias másallá de simplemente determinar el área

Pro"lema del área#no de los problemas centrales en el cálculo es el probl!a "l #ra/ hallar el área de la reión" !ue yace bajo la curva ( ) x f y = de a a b . Esto sinifica !ue ", ilustrada en la fiura 7,

está acotada por la ráfica de una función f 2donde ( ) 0≥ x f 3, las líneas verticales a x = y

b x = , y el eje x .

1l tratar de resolver el problema del área, hay !ue preuntarse/ '(uál es el sinificado de lapalabra área* Esta preunta es fácil de responder para reiones con lados rectos. Para unrectánulo, el área se define como el producto de la lonitud y el ancho. El área de un triánuloes la mitad de la base por la altura. El área de un políono se encuentra dividiéndolo entriánulos 2como en la fiura &3 y sumando las áreas de los triánulos

"in embaro no es fácil hallar el área de una reión con lados curvos. 8odos tenemos una ideaintuitiva de lo !ue es el área de una reión. Pero parte del problema del área es hacer esta ideaintuitiva precisa al dar una definición e$acta de área9ecuerde !ue para definir una tanente primero se apro$imó la pendiente de la tanentemediante pendientes de secantes y lueo se tomó el límite de estas apro$imaciones. "e siueuna idea similar para las áreas. Primero se apro$ima la reión " mediante rectánulos, y lueose toma el límite de las áreas de estos rectánulos cuando se incrementa el n:mero derectánulos. En el siuiente ejemplo se ilustra el procedimiento

Ejemplo 7 Estimar un área por medio de rectánulos



#se rectánulos para estimar el área bajo la parábola2

x y = de 0 a 7 2la reión parabólica "

ilustrada en la fiura ;

"olución "e observa primero !ue el área de " debe estar en aluna parte entre 0 y 7 por!ue "está contenida en un cuadrado con lonitud lateral 7, pero por supuesto se puede hacer alo

mejor !ue eso. "upona !ue " se divide en cuatro tiras 321 ,, S S S y 4S dibujando líneas

verticales 2

1,4

1

== x x y 4

3

= x como en la fiura <a3. "e puede apro$imar cada tira

mediante un rectánulo con la misma !ue el lado derecho de la tira 2véase la fiura <b3. Enotras palabras, las alturas de estos de estos rectánulos son los valores de la función

( ) 2 x x f = en los puntos finales derechos de los intervalos

4

1,0 ,

2

1,

4

1

4

3,

2

1 y

1,

4

3

(ada rectánulo tiene amplitud4

1 y las alturas son

2

4

1

,

2

2

1

2

4

3

y 21 . "i 4

R es la

suma de las áreas de estos rectánulos de apro$imación, se obtiene

46875.0

32

151

4

1

4

3

4

1

2

1

4

1

4

1

4

1 2

222

4 ==•+

+

•+

•= R

6e la fiura <b3 se puede observar !ue el área 1 de " es menor !ue 4 R , entonces

46875.0<a



En luar de usar los rectánulos de la fiura <b3, se podrían usar los rectánulos más

pe!ueos de la fiura = cuyas alturas son los valores de f en los puntos i%!uierdos de los

subíntervalos. 2El rectánulo de la i%!uierda ha desaparecido por!ue su altura es cero.3 5asuma de las áreas de estos rectánulos de apro$imación es

21875.032

7

4

3

4

1

2

1

4

1

4

1

4

10

4

1 222

2

4 ==

+

+

•+•= L

"e puede observar !ue el área de " es mayor !ue 4 L , por lo tanto se tienen las estimaciones

inferior y superior para 1/

46875.021875.0 << a"e puede repetir este procedimiento con un n:mero rande de tiras. En la fiura > se muestralo !ue sucede cuando se divide la reión " en ocho tiras de iual amplitud. 1l calcular la suma

de las áreas de los rectánulos más pe!ueos ( )8 L y la suma de las áreas de los rectánulos

más randes ( )8 R se obtienen las estimaciones inferir y superior para 1/

3984375.02734375.0 << A 1sí !ue una respuesta posible a la preunta es decir !ue el área verdadera de " se ubica enaluna parte entre 0.&?;<;?= y 0.;@A<;?=

"e podían obtener mejores estimaciones si se incrementa el n:mero de tiras. En la tabla delmaren se muestran los resultados de cálculos similares 2con una computadora3 usando n

rectánulos cuyas alturas se encuentran con puntos i%!uierdos ( )n L o puntos derechos ( )

n R .

En particular, se puede observar al usar =0 tiras !ue el área está entre 0.;&;< y 0.;<;&<. (on7000 tiras se estrecha a:n más/ 1 se locali%a entre 0.;;&A;;= y 0.;;;A;;=. #na buenaestimación se obtiene promediando estos n:meros/

3333335.0≈ A

6e los valores de la tabla parece como si 4 R se apro$ima a

3

1 cuando n aumenta.

Esto se confirma en el siuiente ejemplo.

Ejemplo & 5ímite de sumas de apro$imación



Para la reión " del ejemplo 7, muestre !ue la suma de lasa áreas de los rectánulos de

apro$imación tiende a3

1, es decir

3

1=

∞→ nn

Rlím

"olución n R es la suma de las áreas de los n rectánulos mostrados en la fiura ?.

(ada rectánulo tiene ancho n/1 , y las alturas son los valores de la función ( ) 2 x x f = en

los puntos nnnnn /...../3,/2,/1 . Es decir, las alturas son

( ) ( ) ( ) ( ) 2222/...../3,/2,/1 nnnnn . 1sí

22221

........312111

++

+

+

=

n

n

nnnnnnn Rn

( )

( )2222

3

2222

2

...3211

.....32111

n

n

nnn

++++=

+++•=

1!uí se necesita la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos

( ) ( )

6

121...321

2222 ++=++++

nnnn

1l colocar la fórmula anterior en la e$presión para n R , se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )23

6

121

6

1211

n

nnnnn

n Rn

++=

++•=

1sí, se tiene

( ) ( )2

6

121

n

nnlím Rlímn

nn

++=

∞→∞→

3

121

6

1

12

11

6

1

12161

=••=

+

+=

+

+=

∞→

∞→

nnlím

nn

nnlím

n

n

"e puede demostrar !ue las sumas de apro$imación menores se apro$iman también a3

1, es

decir.

3

1=

∞→

n

n

Llím



6e las fiuras A y @ es evidente !ue, cuando n aumenta n R y n L se vuelve cada ve%

mejores apro$imaciones al área de ". Por lo tanto, se define el área 1 como el límite de lassumas de las áreas de los rectánulos de apro$imación, es decir.

3

1===

∞→∞→ nn

nn

Llím Rlím A

#efinición de área"e aplicara la idea de los ejemplos 7 y & a la reión más eneral " de la fiura 7. "e inicia

subdividiendo " en n tiras nS S S ,....,21 de iual ancho como en la fiura 70.

El ancho del intervalo [ ]ba, es ab − , así !ue el ancho de cada de las n tiras es

n

ab x

−=∆

Estas tiras dividen el intervalo [ ]ba, en n subíntervalos

[ ] [ ] [ ] [ ],,,........,,,,,1322110 nn x x x x x x x x −

6onde a x =0 y b xn = . 5os puntos derechos de los intervalos son

,1 xa x ∆+= ,22 ∆+= a x ,........,.........33 xk a x xa x k ∆+=∆+=



"e apro$imará la BCésima tira k S mediante un rectánulo con ancho x∆ y la altura ( )k x f ,

!ue es el valor de f en el punto final derecho 2véase la fiura 773. Entonces el área del BC

ésimo rectánulo es ( )k

x f x∆ . 5o !ue se considera en forma intuitiva como el área de " se

apro$ima mediante la suma de las áreas de estos rectánulos, la cual es.

( ) ( ) ( ) x x f x x f x x f R nn ∆++∆+∆= ....21

En la fiura 7& se muestra esta apro$imación para 12....8,4,2 yn =

Dbserve !ue esta apro$imación parece ser mejor cada ve% conforme aumenta el n:mero de

tiras, es decir, cuando ∞→n . Por lo tanto, se define el área 1 de la reión " de la siuiente

manera

6efinición de área

El área 1 de la reión " !ue yace bajo la ráfica de la función continua f es el límite de la

suma de las áreas de rectánulos de apro$imación

( ) ( ) ( )[ ] x x f x x f x x f lím Rlím A nn

nn

∆++∆+∆==∞→∞→

.....21

"i se usa la notación sima, lo anterior se escribe como siue/

( )∑=∞→ ∆=

n

K K n x x f lím A 1

(uando utilice esta fórmula para el área, recuerde !ue x∆ es el ancho de un rectánulo de

apro$imación, K x es el punto final derecho de BCésimo rectánulo y ( )1 x f es su altura. Por

lo tanto,

1nchon

ab x

−=∆

Punto final derecho x K a x K

∆+=

1ltura ( ) ( ) x K a f x f k ∆+=

1l trabajar con sumas serán necesarias las siuientes propiedades de la sección 77.7/



( ) ∑∑∑===

±=±n

K

k

n

K

k

n

K

k k baba111

∑ ∑= =

=n

K

n

K

k k acca1 1

8ambién se necesitarán las siuientes fórmulas para las sumas de las potencias de los

primeros n n:meros naturales de la sección 77.=.

( )

( )( )

( )∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

+=

++=

+=

=

n

K

n

K

n

K

n

K

nnk

nnnk

nn K

ncc

1

22

3

1

2

1

1

4

1

6

2121

2

1

Ejemplo ; allar el área debajo de una curva

(alcule el área de la reión !ue yace bajo la parábola 50,2 ≤≤= x x y

"olución 5a reión se ráfica en la fiura 7;. Para hallar el área, primero se determinan las

dimensiones de los rectánulos de apro$imación en la n Césima etapa.

1ncho/ nnn

ab x

505

=−

=−

=∆

Punto final derecho/

=+=∆+=

n

k

nk xk a xk

550

1ltura/ ( )2

222555

n

k

n

k

n

k f x f k =

=

=

1hora se sustituyen estos valores en la definición de área/

( )∑=

∞→∆=

n

k

k n

x x f lím A1



( ) ( )

( )

( )3

125002

6

125

132

6

125

6

132125

6

121125

125

125

525

2

2

2

3

1

2

3

13

2

12

2

=++=

++=

++=

++•=

=

=

•=

∞→

∞→

∞→

=∞→

=∞→

=∞→

∑

∑

∑

nnlím

n

nnlím

nnn

nlím

k n

lím

n

k lím

nn

k lím

n

n

n

n

k n

n

k n

n

k n

1sí, el área de la reión es 7.413

125≈

3.3.$ Cálculo de límites por m%todos al&e"raicos' num%ricos ( &ráficos.

#eterminación de límites en forma num%rica ( &ráfica

En esta sección se emplean tablas de valores y ráficas de funciones para responder la

preunta, 'Fué sucede con los valores

( ) x f de una función f cuando la variable x se

apro$ima a un n:mero a *

#efinición de límite"e comien%a por investiar el comportamiento de la función f definida por

( ) 22 +−= x x x f

Para valores de x cercanos a &. En la tabla siuiente se dan los valores de ( ) x f para

valores de x cercanos a & pero no iuales a &.

6e la tabla y la ráfica de f 2una parábola3 mostrada en la fiura 7, se puede observar !ue

cuando x está cerca de & 2en cual!uier lado de &3, ( ) x f está cerca de <. 6e hecho, parece

!ue se puede lorar !ue los valores de ( ) x f se apro$imen a < tanto como se desee al tomar



x suficientemente cerca de &. Esto se e$presa diciendo “el límite de la función

( ) 22 +−= x x x f cuando x se apro$ima a & es iual a <”. 5a notación para esto es

( ) 422

2

=+−→

x xlím x

En eneral, se usa la siuiente oración

6efinición de límite de una oración"e escribe

( ) L x f líma x

=→

,

G se dice “el límite de ( ) x f , cuando x tiende a a , es iual a L ” "i es posible hacer !ue

los valores de ( ) x f se apro$imen de manera arbitraria a L 2tan cerca de L como se

!uiera3 al tomar x suficientemente pró$ima a a , pero no iual a a .

En términos enerales, esto dice !ue los valores de ( ) x f se apro$iman más y más al n:mero

L cuando x se acerca cada ve% más al n:mero a 2desde cual!uier lado de a 3 pero

a x ≠ .

Dtra notación para ( ) L x f lím a x =→ es( ) L x f → (uando a x →

5o !ue normalmente se lee “ ( ) x f tiende a L cuando x tiende a a ”. Esta es la notación

!ue se usó en la sección ;.> en la e$plicación de asíntotas de funciones racionales.

Dbserve la fase “pero a x ≠ ” en la definición de límite. Esto sinifica !ue al hallar el límite de

( ) x f cuando x tiende a a , nunca se considera a x = . 6e hecho, incluso ( ) x f no

necesita estar definida cuando a x = . 5o :nico !ue importa es cómo f está definida cerca

de a .

En la fiura & se muestran las ráficas de tres funciones. ay !ue observar !ue en el inciso c3,

( )a f no está definida, y en el inciso b3 ( ) La f ≠ . Pero en cada caso, sin importar lo !ue

sucede en a ( ) L x f lím a x =→ .

Estimación de límites en forma num%rica ( &ráficaEn la sección 7&.& se desarrollaran técnicas para hallar valores e$actos de límites. Por ahora,se usan tablas y ráficas para estimar límites de funciones.

Ejemplo7 Estimar un límite en forma numérica y ráfica

6edu%ca el valor de1

121 −−

→ x

xlím x

. (ompruebe con una ráfica

"olución. Dbserve !ue la función ( ) ( ) ( )1/1 2 −−= x x x f no está definida cuando 1= x , pero

esto no importa por!ue la definición de ( ) x f lím a x→ dice !ue se consideran valores de x

pró$imos a a pero diferentes a a . 5as siuientes tablas proporcionan valores de ( ) x f



2correctos hasta seis decimales3 para valores de x !ue se apro$iman a 7 2 pero !ue son

distintos de 73

"obre la base de valores en las dos tablas, se interfiere !ue

5.01

121

=−−

→ x

xlím x

(omo comprobación ráfica se usa un dispositivo de raficación para producir la fiura ;.

"e puede observar !ue cuando x se apro$ima a 7, y se acerca a 0.=. "i se usan las

características HDDI y 891(E para tener una vista más amplia, como en la fiura <, se puede

observar !ue cuando x se acerca cada ve% mas a 7, y se apro$ima más y más a 0.=. Esto

refuer%a la conclusión

Ejemplo & allar un límite a partir de una tabla

Encuentre2

2

0

39

t

t límt

−+→

"olución. En la tabla del maren se listan valores de la función para varios valores de t cerca

de 0. (uando t se apro$ima a 0, los valores de la función al parecer tienden a 0.7>>>>>>JJ,

y por lo tanto, se interfiere !ue

6

1392

2

0=

−+→ t

t límt

'Fué sucedería en el ejemplo & si se hubiera tomado incluso valores cada ve% más pe!ueos

de t * En la tabla del maren se muestran los resultados !ue proporciona una calculadora) se

puede observar !ue al parecer alo e$trao está sucediendo."i prueba estos cálculos en su calculadora, podría obtener valores distintos, pero en al:n

momento se obtendría el valor 0 si se hace a t suficientemente pe!uea. 'Esto sinifica !ue

en realidad la respuesta es 0 en luar de61 * +o, el valor del límite es

61 , como se mostrará



en la siuiente sección. El problema es !ue la calculadora dio valores falsos por!ue 92 +t es

muy cercano a ; cuando t es pe!uea, 26e hecho, cuando t es suficientemente pe!uea,

un valor de calculadora para 92 +t es ;.000J. hasta los díitos !ue la calculadora pueda

llevar.3 1lo similar !ue sucede cuando se intenta raficar la función del ejemplo & en un dispositivo de

raficación. 5os incisos a3 y b3 de la fiura = muestran ráficas bastante e$actas de estafunción, y cuando se usa la característica 891(E, se puede estimar con facilidad !ue el límite

está cercano a6

1. Pero al amplificar demasiado, como en los incisos c3 y d3, se obtienen

entonces ráficas ine$actas, de nuevo como resultado de problemas con la resta

Limites que no e)isten5as funciones no necesariamente se apro$iman a un valor infinito en todo punto. En otraspalabras, es posible !ue un límite no e$ista. En los tres ejemplos siuientes se ilustran formasen las !ue esto puede suceder

Ejemplo ; #n límite !ue no e$iste 2una función con un salto3

5a función de eaviside H se define como

( ) ( )

( ) 0......1

0......0

≥

<=

t s

t st H

KEsta función es llamada así en honor al ineniero eléctrico Dliver eaviside 27A=0C7@&=3 y se

puede usar para describir una corriente eléctrica !ue se activa en el 0=t L "u ráfica se

muestra en la fiura >.Dbserve el “salto” en la ráfica 0= x .

(uando t tiende a 0 por la i%!uierda, ( )t H se apro$ima a 0. (uando t se apro$ima a 0 por

la derecha, ( )t H tiende a 7. +o hay un solo n:mero al !ue se apro$ime ( )t H cuando t se

apro$ima a 0. Por lo tanto, ( ) x H lím at =→ no e$iste.

Ejemplo < 5ímite !ue no e$iste 2una función !ue oscila3

Encuentre x

senlím x

π

0→

"olución 5a función ( ) ( ) x sen x f /π = no esta definida en 0. 5a evaluación de la función para

alunos valores pe!ueos de x da.

( ) 01 == π sen f



Para indicar la clase de comportamiento e$hibido en el ejemplo =, se usa la notación

∞=→ 20

1

xlím x

Esto no sinifica !ue se esté considerando a ∞ como un n:mero. 8ampoco sinifica !ue el

límite e$iste. "implemente e$presa la forma particular en la !ue el límite no e$iste/ 7M 2 x se

puede hacer tan rande como se !uiera al tomar el valor de x suficientemente cerca de 0.

Dbserve !ue la línea 0= x 2el eje y3 es un asíntota vertical en el sentido !ue se describió en

la sección ;.>.

#eterminación al&e"raica de límitesEn la sección 7&.7 se emplearon calculadoras y ráficas para inferir los valores de límites, perose vio !ue tales métodos no siempre conducen a la respuesta correcta.En esta sección, se usan métodos alebraicos para hallar límites de manera e$acta

5eyes de límites

"upona !ue c es una constante y !ue los siuientes límites e$isten/( ) x f lím

a x→ G ( ) x g lím

a x→

Entonces

7. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) x g lím x f lím x g x f líma xa xa x →→→

+=+ límite de una suma

&. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) x g lím x f lím x g x f líma xa xa x →→→

−=− limite de una diferencia

;. ( )[ ] ( ) x f límc xcf líma xa x →→

= límite de un m:ltiplo constante

<. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) x g lím x f lím x g x f líma xa xa x →→→

•= límite de un producto

=. ( )( )

( )( ) x g lím x f lím

x g x f lím

a x

a x

a x

→

→

→= si ( ) 0≠

→ x g lím

a x límite de un cociente

Estas cinco leyes se pueden e$presar verbalmente como siue7. El límite de una suma es la suma de los límites.&. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites;. El límite de una constante por una función es la constante multiplicada por el límite de

la función<. El límite de un producto es el producto de los límites=. El limite de un cociente es el cociente de los límites 2siempre !ue el límite del

denominador no sea 03



Es fácil pensar !ue estas propiedades son ciertas. Por ejemplo, si ( ) x f es cercana a L y

( ) x g es cercana a M , es ra%onable concluir !ue ( ) x f N ( ) x g es cercana a L N M .Esto da una base intuitiva para creer !ue la ley 7 es cierta.

"i se usa la ley < 2límite de un producto3 de manera repetida con ( ) ( ) x f x g = , se obtiene la

siuiente ley > para el límite de una potencia. #na ley similar se cumple para las raíces

5eyes de límites

>. ( )[ ] ( ) na x

n

a x x f lím x f lím

→→= donde n es un entero positivo “límite de una potencia”

?. ( ) ( )na x

n

a x x f lím x f lím

→→= ´ donde n es un entero positivo “límite de una raí%”

Ksi n es par, se supone !ue ( ) 0>→ x f lím a x .L

En palabras, estás leyes dicen>. El límite de una potencia es la potencia del límite?. El límite de una raí% es la raí% del límite

Ejemplo 7 #so de leyes de límites

#se las leyes de límites y las ráficas de f y g en la fiura 7 para evaluar los siuientes

límites, si e$isten.

a3 ( ) ( )[ ] x g x f lím x

52

+−→

b3 ( ) ( )[ ] x g x f lím x 1→

c3( )

( ) x g

x f lím x 2→

d3 ( )[ ]31

x f lím x→

"olución

a3 6e las ráficas de f y g se puede observar !ue

( ) 12

=−→

x f lím x

G ( ) 12

−=−→

x g lím x

Por lo tanto, se tiene

( ) ( )[ ] x g x f lím x

52

+−→ = ( ) ( )[ ] x g lím x f lím

x x5

22 −→−→+ 5ímite de una suma

O ( ) ( ) x g lím x f lím x x 22

5−→−→

+ 5ímite de un m:ltiplo constante

O ( ) 4151 −=−+

b3 "e puede observar !ue ( ) 21

=→ x f lím x . Pero ( ) x g lím x 1→ no e$iste por!ue los

límites i%!uierdo y derecho son diferentes/

( ) 21

−=−→

x g lím x

( ) 11

−=+→

x g lím x

c3 5as ráficas muestran !ue



( ) 4.12

≈→

x f lím x

G ( ) 02

=→

x g lím x

6ebido a !ue el límite del denominador es 0, no se puede usar la ley = 2límite de uncociente3. El límite dado no e$iste por!ue el denominador se apro$ima a 0 mientras elnumerador se apro$ima a un n:mero no cero.

d3 Puesto !ue ( ) 21 =→ x f lím x , se usa la ley > para obtener

( )[ ] ( ) 31

3

2

x f lím x f lím x x →→

=

823 ==

*plicación de las le(es de límites

1l aplicar las leyes de límites, se re!uiere usar cuatro límites especiales

1lunas unidades especiales

73 cclíma x

=→

&3 a xlíma x

=→

;3nn

a xa xlím =

→ donde n es un elemento positivo

<3 nn

a xa xlím =

→ donde n es un entero positivo y 0>a

5os límites especiales 7 y & son intuitivamente obvios, un vista%o a las ráficas de c y = y x y = lo convencerán de su valide%. 5os límites ; y < son casos especiales de las leyes de

límites > y ? 2límites de una potencia y una raí%3

Ejemplo & #so de las leyes de límites

Evalué los siuientes límites y justifi!ue cada paso.

a3 ( )432 2

5

+−→

x xlím x

b3 x

x xlím x 35

12 23

2 −−+

−→

"olución

a3 ( )432

2

5 +−→ x xlím x O ( ) ( ) 432 55

2

5 →→→ +− x x x lím xlím xlím 5ímites de una diferencia y suma

43255

2

5 →→→+−=

x x xlím xlím xlím 5ímite de un m:ltiplo constante

( ) ( ) 45352 2 +−= 5ímites especiales ;,& y 7

39=b3 "e empie%a con la ley =, pero su uso se justifica por completo sólo en la etapa final

cuando se ve !ue los límites de numerador y el denominador e$isten y el límite deldenominador no es 0.

x

x xlím x 35

12 23

2 −−+

−→

( )

( ) xlím

x xlím

x

x

35

12

2

23

2

−

−+=

−→

−→



( ) ( )

( )

11

1

235

1222

35

2

23

22

22

3

2

−=−−

−−+−=

−

−+=

−→−→

−→−→−→

xlímlím

límlím xlím

x x

x x x

"i ( ) 432 2 +−= x x x f , entonces ( ) 395 = f . En el ejemplo &a3, se encuentra !ue

( ) 395 =→ x f lím

x . En otras palabras, se habría obtenido la respuesta correcta al sustituir x

por =. 6e manera similar, la sustitución directa proporciona la respuesta correcta en el inciso b3.5as funciones del ejemplo & son una función polinomial y una función racional,respectivamente, y el uso similar de leyes de límites prueba !ue la sustitución directa funcionasiempre para tales funciones. Este hecho se e$presa como siue

5ímites por sustitución directa

"i f es una función polinomial o racional y a está en el dominio de f , entonces

( ) ( )a f x f líma x

=→

5as funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a . 1prenderá más acerca de las funciones continuas cuando estudie cálculo.

Ejemplo ; 6eterminación de límites por sustitución directa

Eval:e los siuientes límites

a3 ( )8102 3

3

−−→

x xlím x

b32

54

2

1

+

+−→

x

x xlím x

"olución

a3 5a función ( ) 12102 3 −−= x x x f es un polinomio, de modo !ue se puede hallar el

límite por sustitución directa/

( ) ( ) ( ) 16831032122102 33

3

=−−=−−→

x xlím x

b3 5a función ( ) ( ) ( )2/5 42 ++= x x x x f es una función racional y 1−= x está en su

dominio 2por!ue el denominador no es cero para 1−= x 3. 1sí, se puede hallar el

límite por sustitución directa/

( ) ( )

( ) 3

4

21

151

2

54

2

4

2

1−=

+−

−+−=

++

−→ x

x xlím x

#eterminación de límites por medio de ál&e"ra ( le(es de límites

(omo se pudo observar en el ejemplo ;, evaluar los límites por sustitución directa es fácil. Perono todos los límites pueden ser evaluados de esta manera. 6e hecho, la mayor parte de lassituaciones en las !ue los límites son :tiles re!uiere un tablado más arduo para evaluar ellímite. En los tres ejemplos siuientes se ilustra cómo usar el álebra para hallar límites

Ejemplo < allar una límite mediante cancelación de un factor com:n

Encuentro1

121 −−

→ x

xlím x



"olución "ea ( ) ( ) ( )1/1 2 −−= x x x f . +o se puede hallar el límite sustituyendo 1= x por!ue

( )1 f no está definido/ en cambio, es necesario reali%ar antes alunas operaciones

alebraicas. "e factori%a el denominador como una diferencia de cuadrados

( )( )11

1

1

12 +−

−=

−−

x x

x

x

x

El numerador y el denominador tienen un factor com:n de 1− x . 1l tomar el límite cuando x tiende a 7, se tiene 1≠ x y, por lo tanto. 01≠− x . En consecuencia, se puede cancelar e

factor com:n y calcular el límite como siue//

( )( )11

1

1

1

121 +−−

=−−

→→ x x

xlím

x

xlím

x x

1

1

1 +=

→ xlím x

2

1

11

1=

+=

Este cálculo confirma alebraicamente la respuesta obtenida en forma numérica y ráfica en elejemplo 7 de la sección 7&.7

Ejemplo = allar el límite mediante simplificación

Eval:e( )

h

hlímt

93 2

0

−+→

"olución +o se puede usar sustitución directa para evaluar este límite por!ue el límite deldenominador es 0. 1sí !ue primero se simplifica alebraicamente el límite

( ) ( )h

hhlím

h

hlím

x x

96993 2

0

2

0

−++=

−+→→

( )6

6

6

0

2

0

=+=

+=

→

→

hlím

h

hhlím

h

h

Ejemplo > allar el límite mediante racionali%ación

Encuentre2

2

0

39

t

t límt

−+→

"olución +o se puede aplicar la ley = 2límite de un cociente3 de manera inmediata, puesto !ueel límite del denominador es 0. 1!uí el álebra preliminar consiste en racionali%ar el numerador

39

393939

2

2

2

2

02

2

0 ++++•−+=−+

→→ t

t

t

t lím

t

t lím

t t

( )( ) ( )

( ) 6

1

33

1

39

1

39

1

3939

99

2

0

20

22

2

022

2

0

=+

=++

=++

=

++=

++

−+=

→

→

→→

t límt lím

t t

t lím

t t

t lím

x

x

t t

Este cálculo confirma la interferencia !ue se hi%o en el ejemplo & en la sección 7&.7

+so de límites i,quierdo ( derec-o.



1lunos límites se calculan mejor si se determinan primero los límites i%!uierdo y derecho. Elsiuiente teorema es un recordatorio de lo !ue se describió en la sección 7&.7. Establece !ue$% l&!'( b'la(ral )'*( *' *+lo a!bo* l&!'(* $%'la(ral* )'*(% *o% 'g$al*

1l calcular los límites unilaterales se emplea el hecho de !ue las leyes de los límites secumplen también para los límites unilaterales

Ejemplo ? (omparar los límites derecho e i%!uierdo

Iuestre !ue 00

=→ xlím

x

"olución 9ecuerde !ue

0....

0....

<−

≥=

x si x

x si x x

Puesto !ue x x =

para 0> x , se tiene0

00

==++ →→ xlím xlím

x x

Para 0< x , se obtiene x x −= , así !ue

( ) 000

=−=−− →→

xlím xlím x x

Por consiuiente

00

=→ xlím

x

Ejemplo A (omparación de los límites derecho e i%!uierdo

Pruebe !ue x xlím

x 0→ no e$iste

"olución Puesto !ue x x = para 0> x y x x −= para 0< x , se tiene

11000

===+++ →→→ x x x

lím x

xlím

x

xlím

( ) 11000

−=−=−

=−−− →→→ x x x

lím x

xlím

x

xlím

Puesto !ue los límites derecho e i%!uierdo e$isten y son diferentes, se deduce !ue

x xlím x /0→ no e$iste. 5a ráfica de la función ( ) x x x f /= se muestra en la fiura ; y

corrobora los límites !ue se determinaron.



3. Límites unilaterales.

Límites unilaterales

"e observa en el ejemplo ; !ue ( )t H tiende a 0 cuando t se apro$ima a 0 por la i%!uierda y

( )t H tiende 7 cuando t se apro$ima a 0 por la derecha. Esta situación si indica con

símbolos escribiendo

( ) 00

=−→

t H límt

y ( ) 10

=+→

t H límt

El símbolo “ −→ 0t ” indica !ue se consideran solo valores de t !ue son menores !ue 0. 6e

iual manera, “ +→ 0t ” indica !ue se consideran sólo valores de t !ue son mayores !ue 0.

6efinición de un límite unilateral

"e escribe

( ) L x f líma x

=−→

G se lee el “límite i%!uierdo de ( ) x f cuando x se apro$ima a a ” K o el “límite de ( ) x f

cuando x se apro$ima a a por la i%!uierda”L es iual a L si es posible hacer los valores de

( ) x f arbitrariamente cercanos a L al tomar x suficientemente cercana a a y x menor a

a

ay !ue observar !ue esta definición difiere de la definición de un límite bilateral sólo en !ue se

re!uiere !ue x sea menor !ue a . 6e manera similar, si se re!uiere !ue x sea mayor !ue

a , se obtiene “el límite derec-o de ( ) x f cuando x se apro)ima a a es iual a L ” y

se escribe

( ) L x f líma x

=−→

Por lo tanto, el símbolo “ +

→ a x ” sinifica !ue sólo se considera a x > . Estas definiciones seilustran en la fiura @.

1l comparar las definiciones de límites bilaterales y unilaterales, se puede observar !ue lasiuiente recta es cierta.



Por lo tanto, si los límites por la i%!uierda y por la derecha son diferentes, el límite 2bilateral3 noe$iste. "e usa este hecho en los dos ejemplos siuientes

Ejemplo > 5ímites de una ráfica

5a ráfica de una función g se muestra en la fiura 70. #tilícela para e$presar los valores 2 si

e$isten3 de los siuiente/

a3 ( ) x g lím x −→2

, ( ) x g lím x +→2

, ( ) x g lím x 2→

b3 ( ) x g lím x −→5

, ( ) x g lím x +→5

, ( ) x g lím x 5→

"olución

a3 6e la ráfica se puede observar !ue los valores de ( ) x g se apro$iman a ; cuando x

se apro$ima a & por la i%!uierda, pero se apro$iman a 7 cuando x se apro$ima a &por la derecha. Por lo tanto

( ) 32

=−→

x g lím x

G ( ) 12

=+→

x g lím x

Puesto !ue los límites i%!uierdo y derecho son diferentes, se concluye !ue ( ) x g lím x 2→

no e$iste

b3 5a ráfica muestra también !ue

( ) 25

=−→

x g lím x

G ( ) 25

=+→

x g lím x

Esta ve% los límites i%!uierdo y derecho son los mismos y, por lo tanto, se tiene

( ) 2

5 =→ x g lím x

1 pesar de este hecho, observe !ue ( ) 25 ≠ g

Ejemplo ? unción definida por partes

"ea f la función definida por

( )1......4

1......2 2

>−

<=

x si x

x si x x f

Qrafi!ue f y emplee la ráfica para hallar lo siuiente

a3 ( ) x f lím x

−

→1



b3 ( ) x f lím x

+→1

c3 ( ) x f lím x 1→

"olución 5a ráfica de f se muestra en la fiura 77. 6e la ráfica se puede observar !ue los

valores de ( ) x f tienden a & cuando x tiene a 7 por la i%!uierda, pero tienden a ; cuando x tiende a 7 por la derecha. 1sí, los límites i%!uierdo y derecho no son iuales. Por lo tanto se

tiene.

a3 ( ) 21

=−

→

x f lím x

b3 ( ) 31

=+

→

x f lím x

c3 ( ) x f lím x 1→

no e$iste

3./ Limites al infinito.

Límites en el infinito0 límites de sucesionesEn esta sección se estudia una clase especial de límite conocida como l&!'( % l '%'%'(o. "e

e$amina el límite de una función ( ) x f cuando aumenta el valor de x . "e e$amina también

el límite de una sucesión na cuando n aumenta. 5os límites de sucesiones se emplearán en

la sección 7&.= como ayuda para determinar el área bajo la ráfica de una función

Límites en el infinito"e investiara el comportamiento de la función f definida por

( )1

1

2

2

+

−= x

x x f

(uando x toma valores randes. En la tabla de abajo se dan los valores de esta función

correctos hasta seis decimales, y la ráfica de f ha sido tra%ada mediante una computadora

en la fiura 7



(uando x toma valores cada ve% más randes, se ve !ue los valores de ( ) x f se apro$imen

a 7 tanto como se !uiera al tomar x suficientemente rande. Esta situación se e$presa en

símbolos como

11

12

2

=+−

∞→ x

xlím x

En eneral, se usa la notación

( ) L x f lím x

=∞→

Para indicar !ue los valores de ( ) x f se apro$iman más y más a L cuando x toma valorescada ve% más ranes

5ímites al infinito

"ea f una función definida en al:n intervalo ( )∞,a . Entonces,

( ) L x f lím x

=∞→

Rndica !ue los valores de ( ) x f se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L si x toma

valores suficientemente randes

Dtra notación para ( ) L x f lím x

=∞→

( ) L x f → (uando ∞→ xEl símbolo ∞ no representa un n:mero. "in embaro, con frecuencia la e$presión

( ) L x f lím x

=∞→

se lee como

“el limite de ( ) x f , cuando x se apro$ima al infinito, es L

5as ilustraciones eométricas se muestran en la fiura &. Dbserve !ue hay muchas maneras

para !ue la ráfica de f se apro$ime a la recta L y = 2!ue se llama a*&%(o(a or'/o%(al 3

como se ve a la derecha

9efiriéndose de nuevo a la fiura 7, se ve !ue para valores numéricamente randes de x , los

valores de ( ) x f se apro$iman a 7. "i se permite !ue x disminuya por valores neativos sin

cota, se puede hacer !ue ( ) x f se apro$ime a 7 tanto como se desee.

Esto se e$plica escribiendo



11

12

2

=+−

−∞→ x

xlím x

5a definición eneral es como siue

5ímite en el infinito neativo

"ea f una función definida en al:n intervalo ( )a,∞− . Entonces

( ) L x f lím x

=−∞→

"inifica !ue los valores de ( ) x f se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L si x toma

valores neativos suficientemente randes

6e nuevo, el símbolo ∞− no representa un n:mero, pero la e$presión ( ) L x f lím x

=−−∞→

suele leerse como

“el límite de ( ) x f , cuando x se apro$ima al infinito neativo, es L ”

5a definición se ilustra en la fiura ;. Dbserve !ue la ráfica se apro$ima a la recta L y =

como se ve a la i%!uierda

1síntota hori%ontal

5a recta L y = se llama asíntota hori%ontal de la curva ( ) x f y = si

( ) L x f lím x

=−∞→

D ( ) L x f lím x

=−−∞→

Por ejemplo, la curva ilustrada en la fiura 7 tiene la recta 1= y como una asíntota hori%ontal

por!ue

11

12

2

=+−

−∞→ x

xlím x



(omo se aseura en la sección ?.<, un ejemplo de una curva con dos asíntotas hori%ontales es

x y 1tan

−= 2véase la fiura <3. 6e hecho

2tan

1 π −=−

−∞→ xlím

x G

2tan

1 π

=−

∞→ xlím

x

6e modo !ue ambas rectas 2/π −= y y 2/π = y son asíntotas hori%ontales. 2Esto se

deduce del hecho de !ue las líneas 2/π ±= y son asíntotas verticales de la ráfica de tan3

Ejemplo 7 5ímites en el infinito

Encuentre x

lím x

1

∞→ G

xlím x

1

−∞→

"olución Dbserve !ue cuando x es rande, x/1 es pe!uea. Por ejemplo

000001.01000000

1

0001.010000

1

01.0100

1

=

=

=

6e hecho, si se toma un valor de x bastante rande, se puede hacer !ue x/1 se apro$ime a

0 tanto como se desee. Por lo tanto

01

=∞→ x

lím x

(on un ra%onamiento similar se ve !ue cuando x es rande y neativa, x/1 es pe!uea y

neativa, por lo tanto se tiene también

01

=−∞→ x

lím x

"e deduce !ue la recta 0= y 2el eje x 3 es una asíntota hori%ontal de la curva x y /1= .

2Esta es una hipérbola) véase la fiura =.3



5as leyes de límites anali%adas en la sección 7&.& se cumplen también para límites en elinfinito. En particular, si se combina la ley > 2límite de una potencia3 con los resultados delejemplo 7, se obtiene la siuiente importante rela para calcular límites

Ejemplo & allar el límite en el infinito

Evalué145

232

2

++−−

∞→ x

x xlím x

"olución Para evaluar el límite de una función racional en el infinito, se divide primero

numerador y denominador entre la potencia más alta de x !ue aparece en el denominador.

2"e podría suponer !ue 0≠ x puesto !ue solo se tiene interés en valores randes de x .3 En

este caso, la potencia más alta de x en el denominador es 2 x , así !ue se tiene

2

2

2

2

145

213

145

23

x x

x xlím x

x xlím

x x

++

−−=

++

−−∞→∞→

5

3

005

003

1145

12

13

145

213

2

2

2

2

=++−−

=

++

−−=

−+

−−

=

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

∞→

∞→

xlím

xlímlím

xlím

xlímlím

x xlím

x xlím

x x x

x x x

x

x



#n cálculo similar muestra !ue el límite cuando − ∞→ x es también5

3. En la fiura > se

ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo las ráficas de la función racional

dada se apro$ima a la asíntota hori%ontal5

3= y

Ejemplo ; 5ímite en el infinito neativo

#se métodos numéricos y ráficos para determinar x

xelím

−∞→

"olución 6e la ráfica de la función e$ponencial natural xe y = en la fiura ? y la tabla de

valores correspondientes, se puede observar !ue

0=−∞→

x

xelím

"e deduce !ue la recta 0= y 2el eje x 3 es una asíntota hori%ontal

Ejemplo < #na función sin límite en el infinito

Evalué x senlím x

..∞→

"olución 6e la ráfica de la fiura A y la naturale%a periódica de la función seno, se puede

observar !ue, cuando se incrementa x , los valores de sen x oscilan entre 7 y C7 de manera

infinita y, por lo tanto, no se apro$iman a al:n n:mero definido. En consecuencias,

x senlím x ..∞→ no e$iste.



Límites de sucesiónEn la sección 77.7 se introdujo la idea de una sucesión de n:meros ,.....,,

321 aaa

1!uí se tiene interés en su comportamiento cuando n toma valores randes. Por ejemplo, la

sucesión definida por

1+= nnan

"e ilustra en la fiura @ raficando sus términos en una recta numérica y en la fiura 70mediante el tra%o de su ráfica. 6e la fiura @ o 70 pare;ce !ue los términos de la secuencia

( )1/ += nnan se apro$iman a 7 cuando n crece. Esto se indica escribiendo

11=

+∞→ n

nlímn

6efinición de límite de una sucesión

#na sucesión ,.....,, 321 aaa tiene el límite L y se escribe

Lalím n x

=∞→

D Lan → cuando ∞→n

"i el termino nCésimo na de la secuencia puede hacerse arbitrariamente cercano a L al

tomar n suficientemente rande. "i n x alím ∞→ e$iste, se dice !ue la sucesión convere 2o

es converente3. 6e lo contrario, se dice !ue la sucesión divere 2o es diverente3

Esta definición se ilustra en la fiura 77

"i se comparan las definiciones de Lalímn x

=∞→ y ( ) L xc f lím x =∞→ , se observa !ue la

:nica diferencia es !ue se re!uiere !ue n sea un entero. 1sí, lo siuiente es cierto.

En particular, puesto !ue se sabe !ue ( ) 0/1 2 =∞→ xlím

x cuando k es un entero positivo, se

tiene

01=

∞→ k x nlím "i k es un entero positivo

Dbserva !ue las leyes de los límites dadas en la sección 7&& se cumplen también para límitesde sucesiones

Ejemplo = allar el límite de una sucesión



Encuentre1+∞→ n

nlímn

"olución El método es similar al !ue se empleó en el ejemplo &/ divida numerador y

denominador entre la potencia más alta de n y después use las leyes de los límites

n

límnnlím

nn 11

1

1 +=+ ∞→∞→

101

1

11

1

=+

=

+=

∞→∞→

∞→

nlímlím

lím

nn

n

Por lo tanto, la sucesión ( )1/ += nnan es converente

Ejemplo > #na sucesión !ue divere

6etermine si la sucesión ( ) nn

a 1−= es converente o diverente

"olución "i se escriben los términos de la sucesión, se obtiene,....1,1,1,1,1,1 −−−

5a ráfica de esta sucesión se muestra en la fiura 7&. Puesto !ue los términos oscilan entre 7

y C7 de manera infinita na no se apro$ima a nin:n n:mero. 1sí, ( ) nnlím 1−∞→ no e$iste) es

decir, la sucesión ( ) nna 1−= es diverente

Ejemplo ? allar el límite de una sucesión

Encuentre el límite de la sucesión dada por

( ) ( )

++

= 6

12115

3

nnn

nan

"olución 1ntes de calcular el límite, se simplificaran primero la e$presión para na . 6ebido a

!ue nnnn ••=3 , se coloca un factor de n debajo de cada factor en el numerador !ue

contiene una n /

+

+••=

+•

+••=

nnn

n

n

n

n

nan

12

111

2

5121

6

15

1hora se puede calcular el límite



+

+=

∞→∞→ nnlímalímn

nn

12

11

2

5

( )( ) 5212

5

12

11

2

5

==

+

+=

∞→∞→ nlím

nlím

nn



Cálculo diferencial e inte&ral

unciones continuas ( discontinuas

WILLIAM ANTHON0 RANILLE

Pag. 13-19

3..$ Concepto de continuidad.

unciones continuas ( discontinuas

( ) 124lim 2

2

=+→

x x x



Dbservamos !ue la solución es el valor de la función para 2= x ) es decir, el valor límite de la

función cuando x tiende a & es iual al valor de la función para 2= x . En este caso decimos

!ue la función es continua para 2= x . 5a definición eneral es la siuiente/

6ER+R(RD+. "e dice !ue la función ( ) x f es continua para a x = si el límite de la función,

cuando x tiende a a , es iual al valor de la función para a x = . En símbolos, si

( ) ( )a f x f a x =→lim ,

Entonces ( ) x f es continua para a x = .

"e dice !ue la función es discontinua para a x = si no se satisface esta condición.

5lamamos la atención de los dos casos siuientes, !ue se presentan frecuentemente.

(1"D 7. (omo ejemplo sencillo de una función !ue es continua para un valor particular de lavariable, consideremos la función

( )2

42

−−

= x

x x f

Para 1= x , ( ) ( ) 31 == f x f 1demás, si x tiende a 7, la función ( ) x f tiende a ; como

límite 21rt. 7>3. 5ueo la función es continua para 1= x

(1"D RR. 5a definición de función continua supone !ue la función está definida para a x = . "in

embaro, si este no es el caso, a veces es posible asinar a la función tal valor para a x =

!ue la condición de continuidad se satisfaa. En estos casos se aplica el siuiente teorema

8ED9EI1. "i ( ) x f no esta definida para a x = , pero

( ) B x f a x

=→lim ,

Entonces ( ) x f será continua para a x = , si se toma valor de ( ) x f para a x = el valor de

S 1sí, por ejemplo, la función.

2

42

−

−

x

x

+o está definida para 2= x 2puesto !ue entonces habría división por cero3. Pero para todo

otro valor de x

22

42

+=−−

x x

x

G ( ) 42lim2

=+→

x x

)

5ueo 42

4lim

2

2=

−−

→ x

x

x

1un!ue la función no esta definida para 2= x , si arbitrariamente asinamos a ella para

2= x el valor de <, se hace continua para este valor "e dice !ue una función ( ) x f es continua en un intervalo cuando es continua para todos los

valores de $ dentro de este intervalo

En el (álculo diferencial e interal, es frecuente tener !ue calcular el límite de una función de lavariable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo donde la función es continua. En

este caso el límite de la función es el valor de la función para av =

precálculo - 5a ed. - stewart

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