praktikum kal i baru 2015

8/18/2019 Praktikum Kal I Baru 2015

1/47

1

MAPLE UNTUK KALKULUS INFORMATIKA

Pertemuan ke : 1Alokasi Waktu : 1,5 JamKompetensi Dasar :

1. Mengetahui Tools yang dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang

berhubungan dengan kalkulus.

2. Mempunyai pengetahuan dasar tentang Maple sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan permasalahan kalkulus

Indikator :Membuat program sederhana menggunakan perintah dasar maple untukmenyelesaikan permasalahan kalkulus.

A. TEORI PENDUKUNG

Program aplikasi MAPLE merupakan salah satu alat bantu untuk

menyelesaikan permasalahan dibidang matematika, misalnya aljabar linier,

kalkulus, matematika diskrit, grafik, komputasi mumerik, ataupun bidang

matematika lainnya. Kehadiran MAPLE sangat diperlukan untuk mencari solusidari permasalahan yang kompleks.

Program aplikasi MAPLE mempunyai tampilan seperti dalam Gambar 1.1. :

Gambar 1.1. Tampilan Utama MAPLE

Menjalankan MAPLE untuk pertama kalinya tergantung pada platform

system operasi yang dipakai. Dalam Windows, maka dapat diklik secara langsung


2/47

2

dua kali pada icon MAPLE yang akan memberikan respon langsung seperti pada

Gambar 1. dan di dalam commanw window akan muncul tanda prompt (>).

Simbol prompt ( > ) ini menyatakan bahwa MAPLE siap untuk dioperasikan.

Biasanya tanda ini muncul dengan defaultnya adalah warna merah. Apabila

diinginkan responnya ditampilkan secara langsung, maka harus diketikan tanda (;)

atau jika respon tidak ingin ditampilkan maka harus diketikkan tanda (:) pada

akhir perintah MAPLE.

Operasi aritmetika yang biasanya ada pada MAPLE adalah :

Simbol MAPLE Operasi Aritmetika

+ dan – Penjumlahan dan pengurangan* dan / Perkalian dan pembagian

^ Pangkat

sqrt Menghitung nilai akar kuadrat

evalf Memberikan nilai numeric

surd Menghitung nilai akar (kuadrat/ bukan kuadrat)

Dalam pengoperasian aritmetika dasar maka MAPLE akan menggunakan

hukum berdasarkan proiritas operasi, misalkan operasi perkalian dioperasikan

terlebih dahulu jika dibandingkan dengan operasi penjumlahan. Atau bisa juga

dilakukan tanda kurung untuk membedakan antara yang harus dikerjakan terlebih

dahulu dan berikutnya.

Adapun konstanta matematika yang biasa digunakan dalam MAPLE

adalah sebagai berikut :

Maple Fungsi

exp(x) Eksponensial

ln(x) Logaritma Narutal

sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x),cot(x) Trigonometri

sinh(x), cosh(x), tanh(x), sech(x), csch(x),coth(x) Hiperbolik

arcsin( x), arccos( x),arctan( x), arcsec( x), arccsc( x),arccot( x) Invers Trigonometri

arcsinh( x),arccosh( x),arctanh( x),arcsech( x),arccsch( x) Invers Hiperbolik


3/47

3

Sedangkan apabila ingin memanipulasi polynomial, maka perintah- perintah yang ada di MAPLE adalah :

MAPLE Kegunaan

simplify Menyederhanakan ekspresi dalam aljabar

expand Eksapansi suatu persamaan/fungsi

factor Memfaktorkan suatu persamaan/fungsi

solve Menyelesaikan suatu persamaan/fungsi

fsolve Memberikan solusi numerik dari suatu persamaan/fungsi

subs Menghitung suatu ekspresi nilai tertentu

value Memberikan hasil untu k operasi sebelumnyA

Pada MAPLE juga teradpat beberapa operasi standar kalkulus antara lainadalah

MAPLE Kegunaan

Limit Menghitung nilai limit suatu fungsi

Diff Menghitung turunan suatu fungsi

Int Menghitung nilai integral suatu fungsi

Plot Menampilkan grafik suatu fungsi

?help Menampilkan Help/bantuan pada MAPLE

B. LANGKAH PRAKTIKUM

1. Mengadakan Pretest : Soal terpisah2. Tahapan Praktikum

a. Pengenalan perintah-perintah dalam Maple

b. Praktikan mencoba contoh – contoh pemakaian maple sebagai berikut:> restart; > f:=5; > f; > f^2+f;

> restart;

:= f 55

30


4/47

4

> f:=x->3*x^2+3*2; > f(x); > f(1); > f(Pi)+4;

> g:=x^3+(x^2-1)/3*x;

> simplify(g);

> h:=x^3-1; > factor(h); > solve(h=0,x);

> restart; > y:=x->x^3-3*x^2+x+1;

> solve(y(x)); > fsolve(y(x));

> restart; > pers:={2*x+3*y=10,x^2-y=7};

> solve(pers,{x,y});

> fsolve(pers,{x,y});

> restart; > pers:=sin(x)+cos(x);

> subs(x=Pi,pers);

> evalf(%); > restart; > f:=x^2+1; > limit(f,x=0); > Limit(f,x=0);

:= f x 3 x2 6 3 x 6

9 3 10

:= g x3( ) x 1 x

3

43

x3 1

3 x

:=h x3 1( ) x 1 ( ) x x 1

, ,1 12 12 I 3 12 12 I 3

:= y x x 3 x x 1

, ,1 1 2 1 2

, ,-0.4142135624 1. 2.414213562

:= pers { },2 x 3 y 10 x y 7

y 2 ( )RootOf , 9 _Z 2 32 _Z 18 label _L2 ,{ x 3 ( )RootOf , 9 _Z 2 32 _Z 18 label _L2 5 }

{ }, x 2.898453238 y 1.401031174

:= pers ( )sin x ( )cos x

( )sin ( )cos

-1.

:= f x 11lim x 0

x2 1


5/47

5

> value(%); > restart; > f:=x^2+3*x+1; > Diff(f,x);

> value(%); > diff(f,x); > restart; > f:=x^2+1;

> Int(f,x);

> value(%);

> int(f,x);

> restart; > with(plots): > f:=x^2+1; > plot(f,x=-2..2,y=-2..2);

c. Membuat program sederhana sesuai kasus yang diberikan d. Asisten mengoreksi tugas, dan evaluasi berupa pretest dan postest

praktikan.

C. EVALUASI PRAKTIKUMSekarang Tugas Anda adalah mulai menjalankan Program MAPLE,

lakukan operasi-operasi yang ada seperti dalam contoh diatas. Lakukan denganmencoba perintah-perintah yang ada. Amati dan Mengerti dengan baik. Perintah-

perintah dasar dalam MAPLE ini akan dipakai untuk proses praktikumselanjutnya.

1

:= f x 3 x 1

d d x

( ) x2 3 x 1

2 x 3 2 x 3

:= f x2 1

d x2 1 x

13

x3 x

13

x3 x

:= f x2 1


6/47

6

LEMBAR KERJA PRAKTIKUM 1

Nama Mahasiswa/NIM :…………………………….. Nilai : ……………………………...............................Asisten : .......................................................................

Paraf asisten :

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………


7/47

7

1

111

i 2)1)(2(2

OPERASI BILANGAN REAL


1. menggunakan perintah-perintah maple untuk mengerjakan operasi dasar

bilangan real.

2. menggunakan perintah-perintah maple untuk menyelesaikan permasalahan

suatu ketaksamaan.

Indikator :Membuat program sederhana menggunakan perintah dasar maple untuk

menyelesaikan permasalahan ketaksamaan.

A. TEORI PENDUKUNG

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan real

dan imajiner. Bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai bilangan yang

berbentuk bia , komponen a disebut bagian real dan b adalah bagian imajiner.

Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan ril sedangkan i adalah bilangan

imajiner yang besarnya adalah √-1.Karena i = maka :

i 2 =

i 3 = i 2 . i = - i

i 4 = i 2 . i 2 = 1 ; dan seterusnya.

Dari keterangan diatas didapat :; dan seterusnya.

Harga mutlak dari bia didefinisikan sebagai 22 babia ,

sedangkan kojugat kompleks dari bia didefinisikan sebagai bia . Contoh

bilangan kompleks : 55;36 ii

Jika a – b adalah suatu bilangan yang tak negatif,maka dapat dikatakan

bahwa a lebih besar dari atau sama dengan b atau b lebih kecil dari atau sama


8/47

8

dengan a. Secara berturut-turut dapat dituliskan sebagai ba atau ab . Jika

tidak ada kemungkinan bahwa a = b, maka bisa dituliskan a > b atau b < a.


Langkah-langkah praktikum adalah sebagai berikut :

1. Asisten menerangkan mengenai materi operasi bilangan real

2. Mengadakan Pretest : Soal terpisah

3. Pengenalan perintah-perintah ketaksamaan dalam Maple

4. Praktikan mencoba contoh – contoh perintah maple untuk ketaksamaansebagai berikut:

Nomer 1. Contoh-contoh sifat operasi bilangan real

> a:=1;b:=2;c:=3;

> a+b=b+a;

> a+(b+c)=(a+b)+c;

> a*b=b*a;

> a*(b*c)=(a*b)*c;

> a*(b+c)=a*b+a*c;

> a+0=0+a;

> restart: (menuliskan nilai absolut suatu fungsi)

> a:=abs(x^2-2*x);

> b:=abs(3*x+2)=5; (Menyelesaikan ketaksamaan)

:=a 1 :=b 2 :=c 3

3 3

6 6

2 2

6 6

5 5

1 1

:=a x2 2 x

:=b 3 x 2 5


9/47

9

> b1:=3*x+2=5;

> solve(b1,x);

> b2:=3*x+2=-5;

> solve(b2,x);

> restart;

> a:=abs(2*x-1) a1:=2*x-1 a2:=-1 a12:=2*x-1-1;

> solve(a12,x);

> subs(x=2,a12);

> subs(x=-1,x);

> a21:=2*x;

> solve(a21,x);

> subs(x=1,a21);

:=b1 3 x 2 5

1

:=b2 3 x 2 -5

-73

:=a 2 x 1 1

:=a1 2 x 2

:=a2 0 2 x

:=a12 2 x 2

1

2

-1

:=a21 2 x

0

2


10/47

10

> subs(x=-1,a21);

Dari hasil yang didapatkan maka dapat diperoleh himpunan penyelesainnya

(dengan bantuan diagram garis) Hp = {x | 0 a:=2+sqrt(-1);

5. Membuat program sederhana sesuai kasus yang diberikan 6. Asisten mengoreksi tugas, dan evaluasi berupa pretest dan postest praktikan.

C. EVALUASI PRAKTIKUM

Selesaikan Soal-soal berikut dengan menggunakan MAPLE:

1. 1453 x x

2. x x 5823

3. 112

x x

4. 165 x

5. 15

2 x

6. 3412 x x

D. REFERENSIPurcell, E. 1985, Kalkulus dan Geometri Analitis, ErlanggaMurinto, 2011, Diktat Kuliah Kalkulus I, T. Informatika UAD Yogyakarta

:=a 2 I


11/47

11

LEMBAR LAPORAN SEMENTARAPRAKTIKUM 2

Nama Mahasiswa/NIM :…………………………….. Nilai : ................................................

Asisten : ……………………………. Paraf Asisten :

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


12/47

12

SISTEM KOORDINAT


1. Mempunyai pengetahuan dasar tentang Maple sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan permasalahan grafik sistem koordinat


menyelesaikan grafik sistem koordinat

A.TEORI PENDUKUNG

Bilamana daerah definisi dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan

bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan

grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari

persamaan y = f (x).

Secara umum cara yang digunakan untuk menggambarkan sebuah grafik

fungsi dalam koordinat Cartesian adalah sbb :

a. Berdasarkan interval (x) yang diberikan, tentukan titik-titik yang dilalui

fungsi ke dalam sebuah table sbb :

x ….. …. …. …. …. y = f(x) ….. ….. ….. ….. …..

b. Gambarkan koordinat masing-masing titik (x,y) dalam table pada bidang

Cartesian

c. Hubungkan dengan busur masing-masing titik (koordinat) pada point (b)

Sebagai Contoh buatlah sketsa grafik fungsi 2)( 2 x x g

Penyelesaian : Pertama kita buat tabel terlebih dahulu untuk menentukan x dan

g(x), kemudian digambarkan grafik dari fungsi diatas.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

y = g ( x) 7 2 -1 -2 -1 2 7


13/47

13



1. Asisten menerangkan mengenai materi operasi bilangan real


3. Pengenalan perintah-perintah ketaksamaan dalam Maple

4. Praktikan mencoba contoh – contoh perintah maple untuk grafik fungsikoordinat sebagai berikut :

Contoh menggambar grafik fungsi dengan menggunakan MAPLE :

1. 22,12 x x y .

2. x x y ),tan(

3. 1010,),sin( y x x y

4. Grafik fungsi parameter )sin(21 t y , )cos(2 t y , 2/30

t 5. Koordinat polar )cos(1 r , 30 r , 20

Penyelesaian :

Nomer 1.

> with(plots): > f(x):=x^2-1;

:=( )f x x2 1


14/47

14

> plot(f(x),x=-2..2);

Nomer 2. > restart; > f(x):=tan(x);

> plot(f(x),x=-Pi..Pi);

Nomer 3.> restart; > f(x):=sin(x);

> plot(f(x),x=-Pi..Pi,y=-5..10);

:=( )f x ( )tan x

:=( )f x ( )sin x


15/47

15

>Nomer 4> restart;

> f(x1):=2*sin(t);

> f(x2):=cos(t);

> plot([f(x1),f(x2),t=0..3*Pi/2]);

Nomer 5.> restart; > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot(r = 1 - cos(theta),r=0..2,theta=0..2*Pi,coords=polar);

c. Membuat program sederhana sesuai kasus yang diberikan d. Asisten mengoreksi tugas, dan evaluasi berupa pretest dan postest praktikan.


Gambarkan grafik dari fungsi berikut dalam sistem koordinat dengan

menggunakan MAPLE dan bandingkan hasilnya dengan gambar grafik secara

manual:

:=( )f x1 2 ( )sin t

:=( )f x2 ( )cos t


16/47

16

1. 52,22,1

y x x

x y

2. 11, xe y x

3. x x x y 0,sin2cos

4. Koordinat polar

a. 30,2 x x y

b. 20),cos(21 x x y

5. Implicit Plot y xe y y x x ,,,122

D. REFERENSIPurcell, E. 1985, Kalkulus dan Geometri Analitis, ErlanggaMurinto, 2011, Diktat Kuliah Kalkulus I, T. Informatika UAD Yogyakarta




……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


17/47

17

FUNGSI


Mempunyai pengetahuan dasar tentang Maple sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan permasalahan fungsi


menyelesaikan masalah fungsi.

A.TEORI PENDUKUNG

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A→ B yang artinya f

memetakan A ke B. Dimana A disebut daerah asal (domain ) dari f dan B

disebut daerah hasil (codomain ) dari f . Sebagai contoh, jika terdapat fungsi

f(x) = x 2 + 3 maka :

f (3) = 3 2 + 3 = 12

f (-2) = (-2) 2 + 3 = 7

f (a) = a 2 + 3

f(a + h) = (a + h) 2 + 3 = a 2 + 2ah + h 2 + 3

Maple menyediakan berbagai cara untuk mendefinisikan fungsi. Salah satu

cara adalah menggunakan notasi anak panah ( ), yang menyerupai notasi fungsi

atau pemetaan dalam matematika. Perintaj unapply dapat digunakan untuk

mengubah suatu ekspresi menjadi fungsi.



1. Asisten menerangkan mengenai materi yang akan diselesaikan dalam

pertemuan ini

2. Pretest : Soal terpisah

3. Pengenalan perintah-perintah turunan fungsi dalam Maple


18/47

18

4. Praktikan melakukan perhitungan fungsi melalui contoh – contoh perintahmaple untuk menghitung fungsi sebagai berikut sebagai berikut:

Contoh :

Mendefinisikan fungsi f(x)=cos(ᴫx)+3 dengan menggunakan MAPLE :> restart; > f:=x->cos(Pi*x)+3;

Perhatikan cara menuliskannya dengan menggunakan notasi "->" untuk

mendefinisikan fungsi x -> f(x). Maple tidak akan mendefinisikan fungsi jika Anda

menuliskan f(x):=cos(Pi*x)+3 ; Bandingkan ekspresi dan fungsi di bawah ini.

Mendefinisikan fungsi

Untuk menghitung nilai fungsi, cara yang digunakan persis sama dengan cara dalam

matematika. Maple akan menghasilkan nilai simbolik (eksak).

Perintah unapply dapat digunakan untuk mengubah suatu ekspresi menjadi fungsi.

f:= x cos (ᴫ x)+3


19/47


20/47

20




……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


21/47

21

LIMIT FUNGSI



menyelesaikan permasalahan limit fungsi

Indikator :

Membuat program sederhana menggunakan perintah dasar maple untukmenyelesaikan masalah limit kiri dan limit kanan suatu fungsi.

A.TEORI PENDUKUNG

Limit Fungsi

Definisi : f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk 0 x x , jika untuk setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditemukan bilangan positif sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi

00 x x berlaku h L x f )( .

f(x) mempunyai limit L untuk 0 x x , dituliskan dalam bentuk :

0

)(lim x x

L x f

h

h f(x)

L

X0


22/47


23/47

23

Atau bisa juga dengan mendefinisikan terlebih dulu fungsinya> f(x):=2*x+3;

> limit(f(x),x=2);

Nomor 2.> restart; > f(x):=(x-3)/((x+2)*(x-1));

> limit(f(x),x=2,right);

> limit(f(x),x=2,left);

> limit(f(x),x=1,right);

> limit(f(x),x=1,left);

Nomor 3> restart; > f(x):=(3*x-2)/(9*x+10);

> limit(f(x),x=infinity);


7

:=( )f x 2 x 3

7

:=( )f x x 3( ) x 2 ( ) x 1

-1

4

-1

4

:=( )f x 3 x 2

9 x 10

13


24/47


25/47

25

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI



menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri

Indikator :Membuat program sederhana menggunakan perintah dasar maple untukmenyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri

A.TEORI PENDUKUNG

Beberapa hal yang berhubungan dengan limit fungsi trigonometri :

Rumus-rumus limit fungsi trigonometri :

xtgx

xlim

0

=tgx x

xlim

0

=1 , demikian juga berlaku untuk fungsi cos(x), sin(x),

dan fungsi trigonometri lainnya.



2. Tahapan Praktikum

a. Pengenalan perintah-perintah ketaksamaan dalam Maple

b. Praktikan mencoba contoh – contoh perintah maple untuk ketaksamaansebagai berikut :

Contoh penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menggunakan

MAPLE :

1. x

tgx

xlim

0

3. xarc

x

x sinsin

lim0

2. xarc x

sinlim0

4. x x

x sec32/

)cos1(lim

Adapun penyelesainnya dengan MAPLE adalah sebagai berikut :

Nomor 1.

> restart;


26/47

26

> f(x):=tan(x)/x;

> limit(f(x),x=0);

Nomor 2.

> restart; > f(x):=arcsin(x);

> limit(f(x),x=0);

Nomor 3.> restart; > f(x):=sin(x)/arcsin(x);

> limit(f(x),x=0);

Nomor 4.> restart; > f(x):=(1+cos(x))^(3*sec(x));

> limit(f(x),x=Pi/2);

> evalf(%); (Untuk mengubah jadi nilai eksak/bilangan).



Dengan menggunakan MAPLE selesaikan persoalan limit fungsi trigonometri

berikut dan bandingkan hasilnya dengan perhitungan matematis secara

manual:

1. x

x

x

2cos1lim

0

6. x

x x

x cos1

sinlim

0

:=( )f x

( )tan x

x

1

:=( )f x ( )arcsin x

0

:=( )f x ( )sin x

( )arcsin x

1

:=( )f x ( )1 ( )cos x( )3 ( )sec x

e

20.08553692


27/47

27

2. x

xarc

x2

0 sin)sin2cos(1

lim

7. x x

x sin1cos1

lim0

3. xtg x

xtg 224/

)(lim

8. x

x x

x sin32

0lim

4. x x x

)2

(coslim~

9. x

tgx

xlim

5. x

x

x

2cos1lim

0

10. x

tgxctgx

x 4/lim4/

LEMBAR KERJA PRAKTIKUM 6

Nama Mahasiswa/NIM :…………………………….. Asisten/tanggal praktikum : ……………………………. ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


28/47

28

TURUNAN FUNGSI ALJABAR



menyelesaikan permasalahan turunan fungsi aljabar.

A.TEORI PENDUKUNG

Definisi : Jika )( x f y adalah suatu fungsi variabel x, dan bila x y

dxdy

x 0lim atau

x

x f x x f x f

x

)()(lim)('

0 ada dan terbatas, maka limit tersebut dinamakan

turunan atau derivative dari y terhadap x dan f(x) dikatakan fungsi dari x yang

dapat diturunkan ( differentiable ).Dalam rumus-rumus ini u,v dan w adalah fungsi-

fungsi x yang dapat diturunkan

1 0)( cdxd

,c sembarang konstanta

2 .1)( x

dx

d

3 .......)()(....)( vdx

d u

dx

d vu

dx

d

4 )()( udx

d ccu

dx

d

5 )()()( udxd

vvdxd

uuvdxd

6 )()()()( udx

d vwv

dx

d uww

dx

d uvuvw

dx

d

Turunan Fungsi Implisit

Suatu persamaan f(x,y) = 0, pada jangkau terbatas dari variabel-variabel

tertentu, dikatakan mendefinisikan y sebagai fungsi x secara implisit.

Contoh : fungsi implisi 622 xy y x


29/47

29




pertemuan ini



4. Praktikan melakukan perhitungan fungsi turunan melalui contoh – contoh perintah maple untuk turunan sebagai berikut sebagai berikut:

Contoh-contoh penyelesaian soal dengan MAPLE :

1. 1223)( 2 x x x f

2. )17)(14()( 32 x x x f

3.2

5)( 3

2

x x x

x f 4. Fungsi Implisit 622 xy y x

Penyelesaian dengan menggunakan MAPLE

>No.1

> restart;

> f(x):=3*x^2+2*x+12;

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Atau bisa juga dengan menggunakan perintah :

> diff(f(x),x);

>No.2.

> restart;

:=( )f x 3 x2 2 x 12

d d x

( ) 3 x2 2 x 12

6 x 2

6 x 2


30/47

30

> f(x):=(4*x^2-1)*(7*x^3+x);

> diff(f(x),x);

> simplify(%);

>No.3.

> restart;

> f(x):=(5*x+x^2)/(x^3+2);

> diff(f(x),x);

> simplify(%);

>No.4

> restart;

> f(x):=x^2*y+x*y^2=6;

> a:=implicitdiff(f(x),y,x);

> b:=implicitdiff(f(x),x,y);

5. Menyelesaiakan tugas praktikum sesuai kasus yang diberikan 6. Asisten mengoreksi tugas, dan evaluasi berupa pretest dan postest praktikan.

:=( )f x ( )4 x2 1 ( )7 x3 x

8 x ( )7 x x ( )4 x 1 ( )21 x 1

140 x4 9 x2 1

:=( )f x 5 x x2

x3 2

5 2 x x3 2

3 ( )5 x x2 x2

( ) x3 22

10 x3 10 x4 4 x( ) x3 2

2

:=( )f x x2 y x y2 6

:=a y ( )2 x y x ( ) x 2 y

:=b x ( ) x 2 y y ( )2 x y


31/47

31

C. TUGAS PRAKTIKUM

Selesaikan soal berikut dengan menggunakan MAPLE dan bandingkan

perhitungan matematis dengan cara manual :

1. 24)( 2 x x x f 2. 22 )1(3)( x x f 3. x x x f 2)(

4. 23 )5)(1()( x x x f 5.4

32)(

2 x

x x f 6. 5)163()( 24 x x x f

7. Fungsi Implisit 0323 y x x

8. Fungsi Implisit 02344 xy y y x



Asisten : …………………………….

Paraf Asisten :

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


32/47

32

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI



menyelesaikan permasalahan fungsi trigonometri

A.TEORI PENDUKUNG

Turunan Fungsi Trigonometrik

Untuk mencari turunan dari fungsi f (x) = sin x, kita masih berpedoman

pada definisi turunan. Apabila f (x) = sin x, maka f’ (x) adalah :

=

= =

= = cos x

Jadi )cos()sin( x xdxd

. Begitu juga untuk fungsi yang lain.

Dari turunan fungsi -fungsi tersebut, kita dapat mencari turunan fungsi-fungsi

trigonometri yang lain dengan tetap berpedoman pada teorema-teorema yang telah

diberikan. Aturan-aturan turunan. Misalkan u adalah fungsi x yang dapat

diturunkan,maka:

1. dx

duuu

dx

d cos)(sin

2. dx

duuu

dx

d sin)(cos

3. dxdu

uutg dxd 2sec)(

4. dx

duuecu g

dx

d 2cos)(cot

5. dxdu

utg uudxd

sec)(sec

6. dxdu

u g uecuecdxd

cotcos)(cos


33/47

2

Turunan Fungsi Invers Trigonometrik

Misalkan u adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka :

1.dx

du

uuarc

dx

d 21

1)sin(

2.dxdu

uuarc

dxd

21

1)cos(

3.dxdu

uutg arc

dxd

21

1)(

4.dx

du

uu g arc

dx

d 21

1)cot(

5.dxdu

uuuarc

dxd

1

1)sec(

2

6.

dx

du

uuuecarc

dx

d

1

1)cos(

2




pertemuan ini

6. Pretest : Soal terpisah7. Pengenalan perintah-perintah turunan fungsi dalam Maple


Contoh

Tentukan f’ (x) dari fungsi-fungsi trigonometri berikut

1. xtg x f )( . 2. x x f sec)( .

3. x x

x x f

cossin

sin)( 4. x x x f 2cos4sin)(

5. xarc x f 2sin)( 6. )5cos()( 2 xarc x f

Penyelesaian :

Nomer 1.


34/47

2

> restart; > f(x):=tan(x);

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 2.

> restart;

> f(x):=sec(x);

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 3.

> restart; > f(x):=sin(x)/(sin(x)+cos(x));

> Diff(f(x),x);

> value(%);

> simplify(%);

Nomer 4.> restart; > f(x):=sin(4*x)+cos(2*x);

:=( )f x ( )tan x

d d x

( )tan x

1 ( )tan x 2

:=( )f x ( )sec x

d d x

( )sec x

( )sec x ( )tan x

:=( )f x( )sin x

( )sin x ( )cos x

d d x

( )sin x ( )sin x ( )cos x

( )cos x

( )sin x ( )cos x( )sin x ( )( )cos x ( )sin x

( )( )sin x ( )cos x 2

1 2 ( )cos x ( )sin x 1

:=( )f x ( )sin 4 x ( )cos 2 x


35/47

3

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 5.> restart; > f(x):=arcsin(2*x);

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 6.> restart; > f(x):=arccos(x^2-5);

> Diff(f(x),x);

> value(%);


C. TUGAS PRAKTIKUM

Carilah nilai turunan pertama dari fungsi trigonometri dan fungsi invers

trigonometri berikut ini dan bandingkan hasilnya dengan perhitungan secara

manual :

1. x x y 2cos4sin 2. )1tan(2 3 x y

3. )42(3

xctg y

4. )2(tan23

x y

d

d

x( )( )sin 4 x ( )cos 2 x

4 ( )cos 4 x 2 ( )sin 2 x

:=( )f x ( )arcsin 2 x

d d x ( )arcsin 2 x

2 1 4 x2

:=( )f x ( )arccos x2 5

d d x

( )arccos x2 5

2 x

24 x4 10 x2


36/47

4

5. 32sec x y 6. )32(.cos xctg xec y

7. 3/2)12(sec1

x y 8.

x xctg arc y

11

9. )23

tan(2

x y 10.

x x

y2sin

cos1




……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


37/47

5

TURUNAN FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONENSIAL



menyelesaikan permasalahan turunan fungsi logaritma dan eksponensial

A.TEORI PENDUKUNG

Suatu fungsi logaritma u y a log , dengan a > 0 dan 0a dan u suatu fungsi

dari x, maka turunan pertamanya adalah :dxdu

au.

ln1

, dan khusus apabila diambil

a = e, maka akan diperoleh y = ln u dan turunan pertamanya adalah :dxdu

u.

1,

sedangkan fungsi eksponensial ua y , dengan u adalah fungsi dari x, maka

yu a

log , dan turunan pertamanya adalah : dxdu

aau

.ln , dan apabila khusus

diambil a = e, maka akan diperoleh ue y , sehingga diperoleh turunan

pertamanya adalah :dxdu

e u .




pertemuan ini




Contoh : Selesaikan permasalahan fungsi logaritma dan fungsi eksponensial

berikut dengan menggunakan MAPLE


38/47

6

1. )52ln( x y 2. )32(ln 2 x y 3. 5 4232

)1(

)1(ln

x

x y

Nomer 1.

> restart; > f(x):=ln(2*x-5);

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 2.> restart; > f(x):=(ln(2+3*x))^2;

> Diff(f(x),x);

> value(%);

Nomer 3.> restart; > f(x):=ln(((1-x^2)^3/(1+x^2)^4))^(1/5);

Atau bisa juga dituliskan dalam bentuk :

> f(x1):=1/5*(3*ln(1-x^2)-4*ln(1+x^2));

> Diff(f(x1),x);

:=( )f x ( )ln 2 x 5

d

d

x( )ln 2 x 5

2 2 x 5

:=( )f x ( )ln 2 3 x 2

d d x

( )( )ln 2 3 x 2

6 ( )ln 2 3 x 2 3 x

:=( )f x

ln

( )1 x23

( )1 x24

( )/1 5

:=( )f x1 35

( )ln 1 x245

( )ln 1 x2


39/47

7

> value(%);

> a:=simplify(%);


C. TUGAS PRAKTIKUM

Carilah nilai turunan pertama dari fungsi berikut ini dengan menggunakan

MAPLE dan bandingkan hasilnya dengan perhitungan matematis secara

manual :

1. )34ln 23 x x y 2. xe ysin2

3. COSx y 20 4. 2ln xe y x

5. 4332 )1()2( x x y 6. )19ln(3arctan6 2 x x x y

d d x

35

( )ln 1 x245

( )ln 1 x2

6 x5 ( )1 x2

8 x

5 ( )1 x2

:=a 2 x ( ) 7 x2

5 ( ) 1 x4


40/47

8




……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


41/47


42/47

10

iii. f disebut konstan pada selang jika untuk setiap titik

Teorema: Diberikan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan

terdiferensial pada selang buka (a, b).

i. Jika untuk setiap , maka fungsi f adalah monoton naik

pada selang tutup [a, b].

ii. Jika untuk setiap , maka fungsi f adalah monoton

turun pada selang tutup [a, b].

iii. Jika untuk setiap , maka fungsi f adalah konstan pada

selang tutup [a,b].




pertemuan ini




Contoh Permasalahan (1) :

Diberikan )4()( 23/2 x x x f , tentukan :

a. Harga-harga dimana f(x) positip, nol, atau negatip

b. Harga-harga dimana f(x) naik, dan turun

c. Harga-harga dimana f(x) mencapai ekstrem dan harga ekstrem

d. Plot grafiknya


43/47

11

Penggunaan Turunan Menggunakan MAPLE

1. Mencari Nilai Maksimum dan Minimum

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> f(x):=x^(2/3)*(x^2-4);

> factor(f(x));

> solve(f(x));

a). Mencari harga -harga dimana f(x) positip, nol dan negatip

> subs(x=0,f(x));

> subs(x=2,f(x));

> subs(x=-2,f(x));

> subs(x=-3,f(x));

> subs(x=-1,f(x));

> subs(x=1,f(x));

> subs(x=3,f(x));

:=( )f x x( )/2 3

( ) x2 4

x( )/2 3

( ) x 2 ( ) x 2

, ,2 -2 0

0

0

0

5 ( )-3( )/2 3

3 ( )-1( )/2 3

-3

5 3( )/2 3


44/47

12

jadi f (x) positip untuk x < -2 atau x >2, f(x) berharga nol untuk x =-2, 0, -2, dan

f(x) negatif untuk -2< x < 2 kecuali x =0.

b). Mencari harga -harga dimana f(x) naik dan f(x) turun

> restart;

> f(x):= x^(2/3)*(x^2-4);

> a:=diff(f(x),x);

> b:=simplify(a);

> solve(b,x);

> subs(x=1,b);

> subs(x=-1,b);

> subs(x=-2,b);

> subs(x=0.5,b);

> subs(x=2,b);

> subs(x=-0.5,b);

:=( )f x x( )/2 3

( ) x2 4

:=a 2 ( ) x2 4

3 x( )/1 3

2 x( )/5 3

:=b8 ( ) x2 1

3 x( )/1 3

,1 -1

0

0

4 ( )-2( )/2 3

-2.519842100

4 2( )/2 3

-1.259921050 2.182247272 I


45/47

13

Catatan : memudahkannya digambarkan pada garis bilangan harga-harga dimana

f'(x) positif, nol negatif.

c). Dari garis bilangan akan didapatkan bahwa f(x) mencapai ekstrem maksimum

di x = 0 dan mencapai ekstrem minimum di x = -1, dan x=1.

> subs(x=0,f(x));

> d:=subs(x=-1,f(x));

> evalf(d,1);

> plot(f(x),x=-6..6,y=-4..4);

Contoh Permasalahan (2)

Contoh : Diberikan suatu fungsi 22

)( x

e x f

Tentukan terlebih dahulu :a. Harga – harga x dimana f(x) positip, nol, dan negatif.

b. Harga-harga x dimana f(x) naik-turun, mencapai ekstrem dan harga

ekstrem.

c. Harga-harga x dimana f(x) cembung ke bawah, cekung ke bawah sera titik

beloknya jika ada.

d. Asimtot

e. Gambar grafiknya.

:=d 3 ( )-1( )/2 3

2. 3. I


46/47

14

LANGKAH PENGERJAANNYA SAMA DENGAN Contoh Permasalahan

(1) , dengan menambah pencarian Asimtotnya.


C. TUGAS PRAKTIKUM

Selesaikan permasalahan berikut dengan menggunakan MAPLE, dengan

memanfaatkan definisi nilai maksimum dan minimum serta teori tentang turunan.

1. Diberikan fungsi sebagai berikut :

(a). 4432)( 234 x x x x x f .

(b). 32 )53()( x x x f

(c). )5()2()( 2 x x x f

Dari soal no.1 (a), (b), (c) masing-masing tentukan :

a. Harga-harga x dimana f(x) positip, nol,dan negatif.

b. Harga-harga x dimana f(x) naik, turun.c. Harga-harga x dimana f(x) mencapai ekstrem dan tentukan nilai titik

ekstermnya.

d. Asimtot

d. Plot grafik fungsi tersebut.

2. Sebuah kapal berhenti di P pada jarak 9 Km dari pantai yaitu di Q. Seorang

awak kapal tersebut menuju suatu tempat dipantai yang terletak 15 Km dari Q.

Dimanakah dia harus mendarat agar supaya waktu yang diperlukan secepat

mungkin, bila diketahui bahwa kecepatan dengan menggunakan sampan kecil

adalah 4 Km per Jam dan kecepatan berjalan di darat 5 Km per Jam.

3. Tentukan tinggi sebuah tabung lingkaran tegak dengan isi maksimum yang

dapat dibuat di dalam suatu bola yang berjari-jari R.

4. Sebuah balon dilepas pada jarak 150 m dari seorang pengamat yang berada di

atas tanah, balon naik secara tegak dengan kecepatan 8 m/detik. Tentukan laju


47/47

sesaat perubahan jarak antara pengamat dan balon jika balon berada pada

ketinggian 50 m.

.




……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

praktikum kal i baru 2015

Documents