kal kulu s vektor

7/21/2019 Kal Kulu s Vektor

http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 1/24

Kalkulus Vektor 38

BAB 3 : KALKULUS VEKTOR

3.1.

Pendahuluan

Di dalam bab ini, akan dibicarakan fungsi-fungsi bernilai

real dengan satu, dua atau tiga peubah. Seperti umumnya

pembicaraan kalkulus, maka pembicaraan fungsi bernilai vektor

akan meninjau pula konsep Limit, Derivatif dan Integral,

meskipun secara ringkas. Dibicarakan pula operato-operator Div,

Grad dan Curl. Pembaca diasumsikan sudah akrab dengan

geometri ruang, khususnya persamaan garis, bidang dan luasan.

Pada bagian akhir, ditambahkan konsep integral garis yang

pada beberapa buku teks kadang-kadang dipisahkan dengan

pembicaraan fungsi bernilai vektor. Pembicaraan integral garis

diakhiri dengan Teorema Green dan akibatnya. Integral garis

tersebut akan diterapkan untuk menghitung luas sekat, luas

daerah dengan batas suatu kurva dan menghitung besar kerja

suatu gaya.

3.2. Fungsi Bernilai Vektor

Diketahui fungsi-fungsi f 1,f 2,f 3 : Rn → R. Fungsi bernilai

vektor f didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 1

Tujuan Instruksional Khusus :

Mahasiswa diharapkan dapat menyebutkan perbedaan fungsi bernilaireal dan fungsi bernilai vektor, dapat mencari limit dan derivatif fungsibernilai vektor, dapat mengerjakan operasi Grad, Div dan Curl sertadapat mengerjakan integral garis.



Kalkulus Vektor 39

(a). Untuk n=1, f (x)=f 1(x)i+f 2(x) j+f 3(x)k

(b).

Untuk n=2, f (x,y)=f 1(x,y)i+f 2(x,y) j+f 3(x,y)k (c). Untuk n=3, f (x,y,z)=f 1(x,y,z)i+f 2(x,y,z) j+f 3(x,y,z)k

dengan i, j dan k masing-masing vektor satuan searah

sumbu x, y dan z.

Berikut ini contoh-contoh fungsi bernilai real beserta pola vektor-

vektor yang dihasilkan.

Catatan :

f (x) = f 1(x)i+f 2(x) j+f 3(x)k

= ⟨f 1(x),f 2(x),f 3(x)⟩ f (x,y) = f 1(x,y)i+f 2(x,y) j+f 3(x,y)k

= ⟨f 1(x,y),f 2(x,y),f 3(x,y)⟩

f (x,y,z) = f 1(x,y,z)i+f 2(x,y,z) j+f 3(x,y,z)k

= ⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩

1).

Beberapa nilai f

x=0 ⇒ f (0)=4i

x=π /6 ⇒ f (π /6)=2i+2√3 j

x=π /4 ⇒ f (π /4)=2√2i+2√2 j

x=π /2 ⇒ f (π /2)=4 j

Pola vektor yang terbentuk adalah lingkaran pada bidang

XOY dengan jari-jari 4.

2).

f (x)=4cos(x)i+4sin(x) j

f (t)=4cos(t)i+4sin(t) j+3k

k

f (x)i j

bidang z=3



Kalkulus Vektor 40

Bentuk kurva adalah lingkaran pada

bidang z=3, dengan jari-jari 4.

3). f (x)=4cos(x)i+4sin(x) j+xk

Kurva yang terbentuk adalah spiral

ke arah sumbu z.

Dari tiga contoh di atas, terlihat

bahwa nilai-nilai fungsi berupa

vektor-vektor posisi membentuk

suatu kurva pada ruang R3.

Selanjutnya ditinjau contoh pola nilai-nilai fungsi vektor

dengan dua atau tiga peubah yang biasa disebut vector field .

(1). f (x,y)=xi+y j

(2). f (x,y)=-yi+x j

-4

4-4

4

-4

4

-4

4



Kalkulus Vektor 41

π 0

π

(3). f (x,y)=sin(x)i+cos(y) j

(4). f (x,y,z)=xi+y j+zk

3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral

( ) ( ) ( ) ( ) 33tt

22tt

11tttt

vtf limdanvtf lim,vtf limtlim0000

===⇔=→→→→

vf

Definisi 2:Diketahui f (t)=⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)⟩ dan vektor v=⟨v1,v2,v3⟩.

Hal ini berarti :

( ) ( ) ( ) ( )tf lim,tf lim,tf limtlim 3tt

2tt

1tttt 0000 →→→→

=f .

Contoh

y

z

x



Kalkulus Vektor 42

f (t)=(t2+1)i+1t

1t2

+

− j+(2t+5)k , maka

( ) ( ) ( )

k322

3,2,2

5t2lim,1t

1tlim,1tlimtlim

1t

2

1t

2

1t1t

+−=

−=

++

−+=

−→−→−→−→f

( )tlim0ttf

→

Eksistensi Limit

Berdasarkan definisi 2 di atas, maka ada (eksis) jika

hanya jika ( ) ( ) ( )tf limdantf lim,tf lim 3tt

2tt

1tt 000 →→→

ada.

Limit fungsi vektor dua atau tiga peubah serupa dengan

pendefinisian di atas.

( ) ( )0tt

ttlim0

f f =→

Definisi 3:

Diketahui fungsi vektor

f (t) = f 1(t)i+f 2(t) j+f 3(t)k = ⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)

Fungsi f dikatakan kontinu di titik t=t0 jika dan hanya jika

.

( ) ( ) ( ) ( )

h

thtlimt't

dt

d0h

f f f f

−+=≡

→

Definisi 4:



Derivatif fungsi vektor f didefinisikan

asalkan limit tersebut ada.

Dengan demikian diperoleh :



Kalkulus Vektor 43

( ) ( ) ( ) ( )tf dt

d,tf

dt

d,tf

dt

dt

dt

d321=f

1t

1t2

+

−

Contoh :

f (t)=(t2+1)i+ j+(2t+5)k

( ) ( ) ( )

2,)1t(

1t2t,t2

2,)1t(

)1t()1t(t2,t2

5t2dt

d,

1t

1t

dt

d,1t

dt

dt

dt

d

2

2

2

2

22

+

−+=

+

+−+=

+

+

−+=f

Tafsiran geometris derivatif

:

1.

Sifat 1:

( ) ( )( ) ( ) ( )t

dt

dt

dt

dtt

dt

dgf gf +=+

2. ( )( ) ( ) ( ) ( )

+

= t

dt

d)t(kttk

dt

dt)t(k

dt

df f f

3. ( )( ) ( ) ( ) ( )

⋅+⋅

=⋅ t

dt

d)t(tt

dt

dt)t(

dt

dgf gf gf

4. ( )( ) ( ) ( ) ( )

×+×

=× t

dt

d)t(tt

dt

dt)t(

dt

dgf gf gf

f ’(t)

f (t)

f (t+h)

garis tangen

kurva C



Kalkulus Vektor 44

5. Jika f =f (s) dan s=s(t), makadt

ds

ds

d

dt

d f f = (aturan rantai)

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ = dttf ,dttf ,dttf dtt 321f

Definisi 5:



Integral fungsi vektor f didefinsikan :

3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL

( ) ( ) ( )

ji

∂

∂+

∂

∂=∇≡

y

y,xf

x

y,xf f f Grad

Definisi 6:

Diketahui fungsi skalar f(x,y) dan g(x,y,z). Gradien fungsi f

dan g tersebut, masing-masing didefinisikan sebagai berikut

( ) ( ) ( ) ( )

k ji

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇≡

z

z,y,xg

y

z,y,xg

x

z,y,xgggGrad

Dalam hal ini :

k ji ji

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂≡∇

∂

∂+

∂

∂≡∇

zyx

atau

yx

disebut operator gradien.

( )

( ) ( ) ( )k ji

k ji

yz2zxy1

z

f

y

f

x

f f f Grad

2 ++++=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇≡

Contoh

Jika f(x,y)=x+xy+yz2 , maka



Kalkulus Vektor 45

( ))y,x(f Grad1

)y,x(f D ⋅

= v

vv

Derivatif berarah

Derivatif berarah fungsi skalar f(x,y) pada arah vektor v di

bidang XOY adalah

Khususnya jika :

v=i ⇒ x

)y,x(f )y,x(f D

∂

∂=v

v= j ⇒ y

)y,x(f )y,x(f D∂

∂=v

Tafsiran geometris

( )z

f

y

f

x

f Div 321

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇≡ f f

Definisi 7:


f (x,y,z)=⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩.

Divergensi f didefinisikan :

v

Definisi 8:

Grad(f(P))

z=f(x,y)

kurva C

bidang tangenP

garis singgung kurva C di titik P

gradien=Dvf(P)



Kalkulus Vektor 46


f (x,y,z)=⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩.Curl f didefinisikan :

( )

321 f f f

zyxCurl ∂∂∂∂∂∂=×∇≡

k ji

f f

( ) z3,zy2,yxzy,x, 32

=f

Contoh:

( ) ( ) ( ) ( )

3zy6xy2

z3z

zy2y

yxx

Div

2

32

++=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇≡ f f

( ) ki

k ji

f f 23

32

xy2

z3zy2yx

zyxCurl −−=∂∂∂∂∂∂=×∇≡

Dari contoh di atas, terlihat bahwa operator divergensi

mengasilkan fungsi skalar, sedangkan operator curl

menghasilkan fungsi vektor.

3.5. Integral Garis

Telah diketahui bahwa ( )∫b

adxxf dimaksudkan sebagai

integral fungsi f pada interval [a,b]. Bila konsep integral tersebut

diperluas dengan menggantikan peranan interval [a,b] dengan

suatu kurva C maka akan diperoleh suatu bentuk integral yang

dinamakan integral garis (line integral).

Beberapa Istilah



Kalkulus Vektor 47

Ditinjau suatu kurva C yang didefinisikan oleh persamaan

parameter : x=x(t) , y=y(t) , a≤t≤b. Titik A(x(a),y(a)) danB(x(b),y(b)) masing-masing disebut titik pangkal dan titik

ujung kurva C.

1. C dikatakan mulus (smooth) jikadx

/dt dandy

/dt masing-

masing kontinu pada interval tertutup [a,b] dan tidak

serempak bernilai nol pada interval terbuka (a,b).

2. C dikatakan mulus sepotong-sepotong (piecewise

smooth) jika terdapat bilangan bulat positif n sedemikian

hingga n

1k

kCC=

= , C j∩Ck=∅, ∀ j≠k dengan Ck kurva mulus

untuk k=1,2,...,n.

3. C dikatakan kurva tertutup (closed curve) jika A=B.

4. C dikatakan kurva tertutup sederhana (simple closed

curve) jika A=B dan C tidak memotong dirinya sendiri.

5. Orientasi positif kurva C adalah dari titik A ke titik B.

1. f terdefinisi pada suatu daerah yang memuat C pada

bidang xy.

Konstruksi Integral Garis

Ditinjau fungsi f, z=f(x,y) dan kurva mulus C yang didefinisikan

oleh persamaan parameter : x=x(t), y=y(t), a≤t≤b. Titik A dan B

masing-masing titik pangkal dan titik ujung kurva C, sedemikian

hingga :

2. C dipartisi menjadi n subkurva : s1, s2, s3,..., sn dengan

panjang masing-masing : ∆s1, ∆s2, ∆s3,..., ∆sn. Partisi

pada kurva C tersebut bersesuaian dengan partisi

interval tertutup [a,b] : a=t0<t1<...<tn=b. Selanjutnya



Kalkulus Vektor 48

∆xk dan ∆yk masing-masing adalah panjang proyeksi

subkurva ∆sk , k=1,2,...,n pada sumbu x dan sumbu y.3. Diambil { } ( ) k

*k

*kk

nk1sy,xdansmaksP ∈∆=

≤≤

( ) ( )∑∫ =→ ∆=

n

1kk

*

k

*

k0PC sy,xf limdsy,xf

Definisi 9:

Integral Garis fungsi f sepanjang kurva C dari titik A ke titik

B didefinisikan sebagai berikut :

Selanjutnya, mengingat :

( ) ( ) k

2

k

k

2

k

k2

k

2

kk tt

y

t

xyxs ∆

∆

∆+

∆

∆=∆+∆≈∆

maka pada saat 0P → diperoleh :

( ) ( ) ( )( )∫∫

+

=

b

a

22

C

dtdt

dy

dt

dxty,txf dsy,xf

Dengan cara serupa dapat pula dirumuskan integral garis fungsi

f sepanjang kurva C, masing-masing terhadap x dan y sebagai

berikut :

( ) ( ) ( )( )∫∫

=

b

aC

dtdt

dxty,txf dxy,xf

( ) ( ) ( )( )∫∫

=

b

aC

dtdt

dyty,txf dyy,xf

1.

Teorema 1:

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+CCC

dsy,xgdsy,xf dsy,xgy,xf



Kalkulus Vektor 49

2. ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+CCC

dyy,xgdxy,xf dyy,xgdxy,xf

3. Jika –C adalah kurva yang sama dengan kurva C, dengan

orientasi berlawanan dengan orientasi kurva C, maka :

a). ( ) ( )∫∫ =− CC

dsy,xf dsy,xf

b). ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=+− CC

dyy,xgdxy,xf dyy,xgdxy,xf

4. Jika C kurva mulus sepotong-sepotong dan n

1k

kCC=

= ,

C j∩Ck=∅, ∀ j≠k dengan Ck kurva mulus untuk k=1,2,...,n

maka : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++=n21 CCCC

dsy,xf dsy,xf dsy,xf dsy,xf

–C : x = 4 sin t , y = 4 cos t , 0≤t≤π /2

Contoh

Diketahui kurva C dengan persamaan parameter :

C : x = 4 cos t , y = 4 sin t , 0≤t≤π /2

maka kurva yang sama dengan orientasi berlawanan adalah

Persamaan parameter lain C adalah : x=(16-y2)1/2, y=y,

0≤y≤4

Akan dihitung :

∫C

2 dsxy , ∫C

2 dxxy , ∫−C

2 dsxy dan ∫−C

2 dxxy

masing-masing sebagai berikut :

-CC



Kalkulus Vektor 50

( )( ) ( ) ( )

3

256dttsintcos256

dttcos4tsin4tsin4tcos4dsxy

2

0

2

2

0

222

C

2

==

+−=

∫

∫∫π

π

( )( ) ( )

64dttsintcos256

dttsin4tsin4tcos4dxxy

2

0

3

2

0

2

C

2

−=−=

−=

∫

∫∫π

π

3

256dsxydsxy

C

2

C

2 == ∫∫−

(berdasarkan teorema 3a)

64dxxydxxyC

2

C

2 =−= ∫∫−

(berdasarkan teorema 3b)

Hasil-hasil yang sama juga diperoleh dengan menggunakan

parameterisasi lain untuk C.

Perumusan integral garis dapat diperoleh untuk fungsi tiga

peubah f(x,y,z), dengan persamaan kurva C : x=x(t), y=y(t),

z=z(t), a≤t≤b .

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫

+

+

=

b

a

222

C

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxtz,ty,txf dsz,y,xf

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫

=

b

aC

dtdtdxtz,ty,txf dxz,y,xf

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫

=

b

aC

dtdt

dytz,ty,txf dyz,y,xf

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫

=

b

aC

dtdt

dztz,ty,txf dzz,y,xf



Kalkulus Vektor 51

( ) ( )∫ +C

dyy,xgdxy,xf

Teorema 2: (Teorema Fundamental Integral Garis)

Diketahui fungsi f(x,y) dan g(x,y) masing-masing terintegralterhadap x dan y. Jika terdapat fungsi Φ(x,y) sedemikian

hingga

dΦ(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dy

maka

hanya bergantung pada A (titik pangkal) dan B (titik ujung)

kurva C, dan

( ) ( ) ( ) ( )ABdyy,xgdxy,xf C

Φ−Φ=+∫ .

Teorema tersebut menyatakan bahwa bila fungsi f(x,y) dan

g(x,y) merupakan bentuk diferensial total dari fungsi Φ(x,y)

maka perhitungan integral garisnya tidak bergantung jejak

(bentuk) kurva C, tetapi hanya bergantung pada titik awal dan

titik akhir C. Dengan kata lain, perhitungan integral garis

tersebut bebas jejak (independent of the path).

( ) ( )∫ +C

dyy,xgdxy,xf

Teorema 3: (Kriterium Bebas Jejak)

Jika fungsi f(x,y) dan g(x,y) masing-masing mempunyai

derivatif parsial tingkat satu kontinu di dalam suatu daerah

terhubung sederhana D, maka

bebas jejak untuk setiap kurva mulus sepotong-sepotong C

di dalam D, bila dan hanya bila :

x

g

y

f

∂

∂=

∂

∂.



Kalkulus Vektor 52

Catatan

( ) ( ) ( )∫ ++C

dzz,y,xhdyz,y,xgdxz,y,xf

:

Untuk fungsi tiga peubah, f(x,y,z)

bebas jejak, bila dan hanya bila

x

g

y

f

∂

∂=

∂

∂,

x

h

z

f

∂

∂=

∂

∂ dan

y

h

z

g

∂

∂=

∂

∂

x

g

y

f

∂

∂=

∂

∂

Akibat Teorema 3

Jika C suatu kurva tertutup sederhana dan , maka

( ) ( )∫ +C

dyy,xgdxy,xf =0.

Catatan

( )∫C

dxy,xf

:

Simbol integral garis suatu fungsi f khusus untuk kurva

tertutup C adalah .

( ) ( ) ∫∫∫

∂

∂−

∂

∂=+

DC

dAy

f

x

gdyy,xgdxy,xf

Teorema 4 : (Teorema Green)

Diketahui D daerah di bidang xy dengan batas berupa kurva

C mulus sepotong-sepotong dan tertutup sederhana dengan

orientasi berlawanan arah jarum jam. Jika f(x,y) dan g(x,y)

masing-masing kontinu dan mempunyai derivatif parsial

tingkat satu kontinu di dalam D, maka



Kalkulus Vektor 53

3.6. Terapan

( ) ( ) ( )( )∫∫

+

=

b

a

22

C

dtdt

dy

dt

dxty,txf dsy,xf

Masalah Luas Sekat

Diketahui kurva C pada bidang XOY:

C : x=x(t), y=y(t), a≤t≤b

Diketahui pula luasan z=f(x,y).

Sekat yang dimaksudkan adalah luasan tegak mengikuti

bentuk kurva C dari bidang XOY ke luasan z=f(x,y). Jika A

adalah luas luasan tersebut, maka :

A=

Masalah Kerja (Work

( ) ( ) ( )∫∫ ++=⋅C

321

C

dzz,y,xFdyz,y,xFdxz,y,xFdrF

)

Jika diketahui fungsi vektor

F=F1(x,y,z)i+F2(x,y,z) j+F3(x,y,z)k

dan kurva C : x=x(t), y=y(t), z=z(t), a≤t≤b,

kemudian diambil r(t)=x(t)i+y(t) j+z(t)k, maka :

z=f(x,y)

Sekat tegak

y

z

x

kurva C



Kalkulus Vektor 54

Tafsiran fisis bentuk integral tersebut adalah besarnya Kerja

(work) oleh gaya F sepanjang kurva C, yaitu :

∫ ⋅=C

dW rF

( )( ) ( )( )( )

( ) jakersatuan1

dtt3t2t

dtt3ttt2tttt

dzxydyxzdxyz

dW

1

0

555

1

0

22332

C

C

=

++=

++=

++=

⋅=

∫

∫

∫

∫ rF

Contoh:

Hitung besar kerja yang dilakukan gaya

f (x,y,z)=yzi+xz j+xyk

pada suatu partikel yang bergerak menurut kurva

r(t)=ti+t2 j+t3k

Penyelesaian:

)Ddaerahluas(AdyxC

=∫

Akibat Teorema Green

Dari teorema green, jika diambil f(x,y)=0, g(x,y)=x maka

diperoleh luas daerah D, yaitu :

.

atau jika diambil f(x,y)=-y, g(x,y)=0 diperoleh juga

AdxyC

=− ∫

Dan apabila kedua rumusan ini digabung, diperoleh :

∫ −=C

21 ydxdyxA



Kalkulus Vektor 55

1by

ax 2

2

2

2

=+

Contoh

Dihitung luas daerah ellips .

Ambil C kurva berbentuk ellips dengan persamaan

parameter :

x=a cos t , y=b sin t , 0≤t≤2π.

Berdasarkan akibat teorema green diperoleh luas daerah

ellips :

( )( )

( ) abdtt2cos1ab

dttcosbtcosa

dyxA

2

0

21

2

0

C

π=+=

=

=

∫

∫

∫

π

π

3.7. Perintah-Perintah MA THEMAT I CA

Grafik fungsi parameter dan fungsi vektor

In[1]:= <<Gr aphi cs` (*mengaktifkan grafik*)

In[2]:= Par amet r i cPl ot 3D[ {4Cos[ t ] ,

4Si n[ t ] , 3}, {t , 0, 6Pi }]



Kalkulus Vektor 56

In[3]:= Par amet r i cPl ot 3D[ {4Cos[ t ] ,

4Si n[ t ] , t }, {t , 0, 6Pi }]

In[4]:= Pl ot VectorFi el d[ {Si n[ x] , Cos[ y] },

{x, 0, Pi }, {y, 0, Pi }]

In[5]:= Pl ot Vect or Fi el d3D[ {x, y, z}, {x, 0, 2},

{y, 0, 2}, {z, 0, 2}, Vect or Heads→ Tr ue]



Kalkulus Vektor 57

2z 2xyz3xz

9xyz , 2xx y, x z 3y z

10xy z , 15x y z , 20x y z

Klakulus vektor

In[1]:= <<Cal cul us`Vect or Anal ysi s`

(*mengaktifkan fungsi-fungsi kalkulus vektor*)

In[2]:= Gr ad[ 5 x 2̂ y 3̂ z 4̂, Car t esi an[ x, y, z] ]

Out[2]=

In[3]:= Di v[ {x 2̂*y*z, 3x*y*z 3̂, ( x 2̂- z 2̂) },

Car t esi an[ x, y, z]]Out[3]:=

In[4]:= Cur l [ {x 2̂*y*z , 3x*y*z 3̂, ( x 2̂- z 2̂) },

Car t esi an[ x, y, z]]

Out[4]:=

Integral

Pada program MATHEMATICA v5, perhitungan integral,

derivatif atau limit lebih jelas menggunakan fasilitas

palettes. Dengan fasilitas tersebut integral ditulis apa

adanya (seperti menuliskan equations pada MSWord).

Berikut beberapa contoh hitung integral:



Kalkulus Vektor 58

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Jika didefinisikan (f g h)=f (g×h), buktikanlah

(f g h)’=(f’ g h)+ (f g’ h)+ (f g h’)

2. Diketahui kurva C : r(t)=t2i+(t2-1) j-7tk. Tentukan

persamaan parameter garis tangen kurva C pada saat t=3.

3. Hitunglah

a. Grad(f), jika f(x,y,z)=5x2+y3+z4

b.

Div(f ), jika f (x,y,z)=⟨xe-z,4yz2,3ye-2x⟩

c. Curl(f ), jika f (x,y,z)=⟨xz,2yz,3xy⟩

4. Buktikan ∇2f=0 untuk f(x,y,z)=(x2+y2+z2)-1/2, kecuali di titik

(0,0,0). Operator2

2

2

2

2

22

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂≡∇ biasa disebut

operator Laplace atau Laplacian.

5. Jika f(x,y,z)=xy-yz, tentukan Curl(Grad(f 2))

6. Diketahui benda bermassa m1 di titk pusat dan massa m2

dengan vektor posisi r(x,y,z)=xi+y j+zk. Gaya gravitasi

antara kedua benda tersebut adalah

F= rr

3

21mmG− , G konstanta gravitasi

Buktikan Div(F)=0 dan Curl(F)=0.

7.

Diketahui vektor kecepatan suatu fluida ideal di sekitarpenampang silinder adalah

( )( ) ( )

+−

+

−−= jiF

222222

22

yx

xy2

yx

yx1Ay,x , A suatu

konstanta

Buktikanlah :



Kalkulus Vektor 59

a. Jika titik (x,y) cukup jauh dari pusat silinder, maka

F(x,y)≅Ai b. F(x,y) irrotational , yaitu Curl(F)=0

c. F(x,y) incompressible, yaitu Div(F)=0

8. Tentukan persamaan parameter kurva-kurva berikut :

a). b).

c). (ans. x=a+(c-a)t, y=b+(d-b)t, t∈[0,1])

9. Hitung integral garis berikut terhadap kurva mulus C yang

berpangkal di titik (a,b) dan ujung di titik (c,d), dengan

memanfaatkan kriteria bebas jejak:

a. ∫ +C

223 dyyx3dxxy2

b. ∫ +C

y2y dyexdxxe2

c. ( ) ( )∫ ++−+−C

dy2y4xdx1yx3

d. ( ) ( )∫ −++−C

22 dyx3xy2dx6xy6y

-1 3

C

3

C

4

(a,b)

(c,d)

C



Kalkulus Vektor 60

10. Gunakan akibat teorema green untuk menghitung luas pelat

segiempat dengan titik-titik sudut (0,0),(1,-2),(5,-3) dan(4,2)

11. Diketahui ( ) ( )( )∫ ++−++C

22dy1xyx1kdxyx2

a. Tentukan nilai k sedemikian hingga integral garis

tersebut bebas jejak.

b. Gunakan nilai k pada bagian a untuk menghitung integral

tersebut sepanjang penggal garis dari titik (0,0) sampai

titik (5,-3).



Kalkulus Vektor 61

BAB 3 : KALKULUS VEKTOR ............................................... 38

3.1. Pendahuluan ...................................................... 38

3.2. Fungsi Bernilai Vektor.......................................... 38

3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral............... 41

3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL ............................. 44

3.5. Integral Garis ..................................................... 46

3.6. Terapan............................................................. 53

3.7.

Perintah-Perintah MATHEMATICA........................... 55

SOAL-SOAL LATIHAN.................................................. 58

BAB 3 : KALKULUS VEKTOR ................................................ 38

3.1. Pendahuluan ....................................................... 38

3.2. Fungsi Bernilai Vektor ........................................... 38

3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral ............... 41

3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL .............................. 44

3.5. Integral Garis ...................................................... 46

3.6. Terapan .............................................................. 53

3.7. Perintah-Perintah MATHEMATICA ........................... 55

SOAL-SOAL LATIHAN ................................................... 58

kal kulu s vektor

Documents