Aljabar Linier

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Oleh : Agus Supriyanto 10130007 Anggun Sukmawanti 10130019 Ani Tri Astuti 10130021 Defi Rahmawati 10130045 Fina Dwi Lestari 10130379 Rima Anggraini 10130279 Yushilatu Felayati Aziiza 10130373

Matriks ???? Matriks adalah kumpulan bilangan yang berbentuk segi

empat yang tersusun dalam baris dan kolomContoh:

dimana aij untuk setiap i = 1, 2,…, m & j = 1, 2,…, n dinamakan unsur / entri / elemen matriks yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j. aij dinamakan unsur diagonal jika i = j. Ukuran suatu matriks (orde matriks) yaitu jumlah baris kali jumlah kolom.

A merupakan matriks berorde m x n Misal A dan B adalah matriks berorde sama, maka

dapat dikatakan bahwa A = B, jika unsur-unsur matriks yang seletak pada kedua matriks tersebut adalah sama.

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa

....

....

....

a...aa

a...aa

CONTOH

MATRIKS 3X4

Contoh Soal

Diketahui matriks

Berapa ukuran P?Tentukan yang mana: Baris 1, kolom ke 2, diagonal utama,

dan baris 3?

Operasi Matriks

Definisi:Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan entri-entrinya yang berpadanan sama.

example

Kesimpulannya B = CA ≠ CA ≠ B

Operasi Matriks Penjumlahan Matriks

Syarat yang harus dipenuhi oleh keduanya adalah orde kedua matriks tersebut harus sama. Penjumlahan dua buah matriks akan menghasilkan sebuah matriks dengan ordo yang sama , dan setiap unsur didalamnya merupakan hasil penjumlahan dari unsur yang seletak pada kedua martriks tersebut.

Contoh :

Penjumlahan dua matriks berukuran 2 x 2 adalah sebagai berikut :

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ a b │ + │ e f │ = │ a + e b + f │ │ c d │ │ g h │ │ c + g d + h│ └ ┘ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 1 2 │ + │ 5 6 │ = │ 6 8 │ │ 3 4 │ │ 7 8 │ │ 10 12 │ └ ┘ └ ┘ └ ┘

Operasi matriks

Perkalian skalar

Definisi :Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar,maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap anggota A dengan c.Dalam notasi matriks ,

Sehingga hasil dari A∙B dapat kita ketahui =

Matriks- Matriks Terpartisi

Sebuah matriks dapat dibagi atau di partisi menjadi matriks- matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertikal diantara baris dan kolom yang ditentukan.

pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks ;

kedua adalah sebuah parisi A menjadi matriks matriks baris

ketiga adalah partisi A menjadi matriks matriks kolom

Perkalian Matriks Dengan Kolom dan Dengan Baris

Dan dari (4) matriks baris pertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan

Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier

Matriks –mariks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai perkalian matriks. Misalnya, anggap bahwa

maka

Dengan matriks diatas diperoleh bahwa hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linier dari matriks matriks kolom dari A dengan koefisien koefisien yang berasal dari matriks x.

Contoh

Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linier

karena dua matriks adalah sama jika dan hanya jika elemen – elemennya yang berpadanan sama, maka kita dapat menggantikan persamaan persamaan m dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.

Matriks m x 1 pada ruas kiri persaman ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk menghasilkan

Jika kita menandai matriks matriks ini masing masing dengan A, x danb sistem persamaan hasil m dalam n peubah telah digantikan oleh persamaan matriks tunggal

Ax = b

Transpos Suatu Matriks

Definisi: jika A adalah sembarang matriks m x n ,

maka transpos A, dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A ; yaitu , kolom pertama dari adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Contoh Matriks dan Transposnya :

Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar

Definisi:. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka trace A , dinyatakan dengan tr ( A ), didefinisikan sebagai jumlah entri- entri pada diagonal utama A. Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.

Latihan