POTENSIAL KOTAK 3 DIMENSI

Potensial dalam kotak 3 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:

0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly atau 0 ≤ z≤ Lz

V ( x , y , z )

∞, untuk daerah selain itu.

Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 3 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.

−ħ2

2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )

Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 3 dimensi dapat dipecah satu-persatu, sehingga

ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )

Sehingga, persamaaan

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )+V ( x , y , z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )=E X ( x ) Y ( y ) Z ( z )

Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y , z )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y , z )=0 , sehingga

−ħ2

2m ( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )=E X (x ) Y ( y ) Z (z )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−2 mEħ2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−k 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )

Dengan k2=2 mE

ħ2 ,

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+k2 X ( x )Y ( y ) Z (z )=0

( ∂2

∂ x2 +∂2

∂ y2 +∂2

∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+(kx2+k y

2+k z2) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )

Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.

∂2

∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0

∂2

∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0

∂2

∂ z2 Z (z )+kz2 Z ( z )=0

Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah

X ( x )=A sin k x x+B cosk x x

Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y

Z ( z )=E sin k z z+ F cos kz z

Syarat kontinyu pada ψ ( x , y , z )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam

kotak bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y

dan z, dan ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x dan z, serta ψ=0di z=0 dan z=L z

untuk semua x dan y.

ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y dan z

X (0 )=A sin k x x+B cos k x x

0=A sin k x 0+B cosk x 0

0=B cos 0

B=0

X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx

0=A sin k x Lx+0

Agar A tidak bernilai 0, maka

sin k x Lx=0

k x Lx=π ,2 π ,3 π …

k x=nx π

Lx

Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0 dan F=0, sehingga

k y=ny π

L y

k z=nz π

Lz

Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y , kz diketahui maka dengan mudah kita akan mendapatkan,

ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )

ψ ( x , y , z )=A sin k x xC sin k y y E sin k z z

ψ ( x , y , z )=ACE sinnx π

Lx

x sinny π

L y

y sinnz π

Lz

z

ψ ( x , y , z )=Gsinnx π

Lx

x sinn y π

Ly

y sinnz π

L z

z

Nilai E dapat ditentukan dengan ,

k 2=2mE

ħ2

E= k2ħ2

2m

E= ħ2

2 m(k x

2+k y2+kz

2)

E= ħ2

2 m(k x

2+k y2+kz

2)

E=π2 ħ2

2m ( nx2

Lx2 +

n y2

L y2 +

nz2

L z2 )