Download - Potensial Kotak 3 Dimensi
![Page 1: Potensial Kotak 3 Dimensi](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012316/55cf8fa7550346703b9e731a/html5/thumbnails/1.jpg)
POTENSIAL KOTAK 3 DIMENSI
Potensial dalam kotak 3 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:
0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly atau 0 ≤ z≤ Lz
V ( x , y , z )
∞, untuk daerah selain itu.
Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 3 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.
−ħ2
2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )
Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 3 dimensi dapat dipecah satu-persatu, sehingga
ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )
Sehingga, persamaaan
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )+V ( x , y , z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )=E X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y , z )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y , z )=0 , sehingga
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )=E X (x ) Y ( y ) Z (z )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−2 mEħ2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−k 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )
Dengan k2=2 mE
ħ2 ,
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+k2 X ( x )Y ( y ) Z (z )=0
![Page 2: Potensial Kotak 3 Dimensi](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012316/55cf8fa7550346703b9e731a/html5/thumbnails/2.jpg)
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+(kx2+k y
2+k z2) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.
∂2
∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0
∂2
∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0
∂2
∂ z2 Z (z )+kz2 Z ( z )=0
Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah
X ( x )=A sin k x x+B cosk x x
Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y
Z ( z )=E sin k z z+ F cos kz z
Syarat kontinyu pada ψ ( x , y , z )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam
kotak bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y
dan z, dan ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x dan z, serta ψ=0di z=0 dan z=L z
untuk semua x dan y.
ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y dan z
X (0 )=A sin k x x+B cos k x x
0=A sin k x 0+B cosk x 0
0=B cos 0
B=0
X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx
0=A sin k x Lx+0
Agar A tidak bernilai 0, maka
sin k x Lx=0
![Page 3: Potensial Kotak 3 Dimensi](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012316/55cf8fa7550346703b9e731a/html5/thumbnails/3.jpg)
k x Lx=π ,2 π ,3 π …
k x=nx π
Lx
Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0 dan F=0, sehingga
k y=ny π
L y
k z=nz π
Lz
Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y , kz diketahui maka dengan mudah kita akan mendapatkan,
ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )
ψ ( x , y , z )=A sin k x xC sin k y y E sin k z z
ψ ( x , y , z )=ACE sinnx π
Lx
x sinny π
L y
y sinnz π
Lz
z
ψ ( x , y , z )=Gsinnx π
Lx
x sinn y π
Ly
y sinnz π
L z
z
Nilai E dapat ditentukan dengan ,
k 2=2mE
ħ2
E= k2ħ2
2m
E= ħ2
2 m(k x
2+k y2+kz
2)
E= ħ2
2 m(k x
2+k y2+kz
2)
E=π2 ħ2
2m ( nx2
Lx2 +
n y2
L y2 +
nz2
L z2 )
![Page 4: Potensial Kotak 3 Dimensi](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012316/55cf8fa7550346703b9e731a/html5/thumbnails/4.jpg)