plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · dalam metode simpson menggunakan luas daerah di bawah...

i

PENGINTEGRALAN NUMERIS

DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Gigih Adiguna

NIM: 063114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2013

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

NUMERICAL INTEGRATION

USING GAUSS-LEGENDRE METHODS

A PAPER

Presented As Partial Fulfillment Of The

Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree Of

Mathematics Study Program

Written by:

Gigih Adiguna

Student ID: 063114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2013


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

"if you think you are too small to

make a difference, try sleeping

with MOSQUITO"

Makalah ini kupersembahkan untuk

Keluarga, Kawan, Kekasih dan Komunitas yang telah membantu.


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Januari 2013

Penulis

Gigih Adiguna


vii

ABSTRAK

Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk

memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat

diselesaikan secara analitik. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu

metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes merupakan

metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan

polinom interpolasi berderajat n. Salah satu metode Newton-Cotes bentuk tertutup

adalah metode trapesium. Secara Geometris, metode trapesium adalah metode

yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang

menghubungkan nilai fungsi pada batas awal dan batas akhir. Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus

menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal dan

berakhir di ujung-ujung selang batas awal dan batas akhir. Berbeda dengan

metode Newton Cotes, dalam metode Gauss untuk mengevaluasi luas daerah

dibawah garis dipilih titik sembarang secara bebas. Salah satu rumus khusus

Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre. Pada metode Gauss-Legendre sebelum

melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan

titik-titik sembarang pada kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara

bebas. Dengan menggunakan translasi, batas-batas integral yang lain dapat diubah

ke dalam bentuk baru dengan batas awal -1 dan batas akhir 1. Pemilihan titik-titik

pada metode Gauss-Legendre menyebabkan kesalahan memperoleh nilai

hampiran menjadi kecil.


viii

ABSTRACT

Numerical integration is a kind of method which is used by some

scientists in gaining approaches to solve a certain integral, which cannot be solved

analytically. There are some of numerical integral methods; they are Newton-

Cotes method and Gauss method. Newton-Cotes method is a kind of numerical

integration method, in which integral function is approached by n degrees

interpolated polynomial. One of the Newton-Cotes closed methods is trapezoid

method. Geometrically, trapezoid method is a kind of method which approaching

the wide area of trapezoid below the straight line connecting the function numbers

on the first limit and the last limit. In the Newton-Cotes method, the condition before conducting integration

we must decide the points with the same space limit. Those points have to start

and stop on the points of interval between first and last limit. It becomes different

when in Newton-Cotes method, in the Gauss method, to evaluate the wide area

below the lines, it’s chosen a random point. One of the special formulas from

Gauss is Gauss-Legendre. In the Gauss-Legendre method, before conducting

integration, it’s decided the straight line which connecting the random points on

the curve by stating the points randomly. By applying translation method, the

other integral limits can be transformed into a new shape in first limit -1 and 1 as

the last limit. The choosing of the points on Gauss-Legendre causes error in

getting approaching value becoming smaller.


ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama

Nomor Mahasiswa

: Gigih Adiguna

: 063114005

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:



beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 31 Januari 2013

Yang menyatakan

( Gigih Adiguna)


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat

yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.

Dalam menulis makalah ini banyak hambatan dan kesulitan yang penulis

temukan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya

makalah ini dapat selesai. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terimakasih

kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika sekaligus dosen pembimbing makalah yang telah meluangkan

waktu, pikiran, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam

menyusun makalah ini.

3. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing

akademik sekaligus dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan

masukan dan saran.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen penguji tugas akhir yang

telah memberikan masukan dan saran.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

6. Keluarga dan sahabat serta yang telah memberikan dukungan dalam segala

hal.


xi

7. Teman-teman angkatan 2006 tanpa terkecuali yang telah memberikan

semangat kepada penulis.

Yogyakarta, 31 Januari 2013

Penulis


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………..

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………….

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………

i

iii

iv

v

vi

ABSTRAK ………………………………………………………………..

ABSTRACT ………………………………………………………………

HALAMAN PUBLIKASI ………………………………………………..

KATA PENGANTAR ……………………………………………………

DAFTAR ISI ……………………………………………………………...

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………..

vii

viii

ix

x

xii

xiv

BAB I. PENDAHULUAN ………………………………………………..

A. Latar Belakang ………………………………………………...

B. Perumusan Masalah …………………………………………...

C. Pembatasan Masalah …………………………………………..

D. Tujuan Penulisan ……………………………………………...

E. Manfaat Penulisan ……………………………………………..

F. Metode Penulisan ……………………………………………...

G. Sistematika Penulisan …………………………………………

1

1

3

3

4

4

4

4


xiii

BAB II. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE

NEWTON-COTES……………………………………………….

A. Fungsi dan Integral Fungsi ..…………………………………..

B. Metode Newton-Cotes ………………………………………...

C. Metode Trapesium……………………………………………..

6

6

33

38

BAB III. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE GAUSS-

LEGENDRE ……………….…………………………

A. Metode Gauss-Legendre…………………………………….....

B. Metode Koefisien Tak Tentu...………………………………...

C. Metode Gauss-Legendre Dua Titik……………………………

D. Metode Gauss-Legendre Tiga Titik …………………………..

BAB IV. PENUTUP ………………………………………………………

A. Kesimpulan ……………………………………………………

B. Saran …………………………………………………………..

DAFTAR PUSTAKA .…………………………………………………….

LAMPIRAN .……………………………………………………………...

45

46

48

52

59

74

74

74

75

76


xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 ………………………………………………………………... 7

Gambar 2.2 ………………………………………………………………...

Gambar 2.3 ………………………………………………………………...

Gambar 2.4 ………………………………………………………………...

Gambar 3.1 ………………………………………………………………...

Gambar 3.2 ………………………………………………………………...

Gambar 3.3 ………………………………………………………………...

Gambar 3.4 ………………………………………………………………...

27

38

39

47

48

49

50


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk

memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat

diselesaikan secara analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian

model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku, yakni

rumus-rumus yang sudah dibuktikan kebenarannya dan memberikan hasil

sebenarnya yang memiliki galat sama dengan nol. Integrasi numeris dilakukan

dengan mengevaluasi integral tentu pada batas integrasi. Ada beberapa metode

pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss.

Metode Newton-Cotes terdiri dari metode trapesium dan metode Simpson.

Cara kerja metode tersebut biasanya diawali dengan membagi interval

integrasi menjadi beberapa subinterval dengan ukuran yang sama, kemudian

mencari pendekatan luas dari setiap daerah yang terbentuk pada subinterval

dan kemudian menjumlahkannya. Jika perhitungan dilakukan secara manual

pada umumnya dipilih sehingga ujung setiap interval jatuh pada nilai yang

mudah dihitung.

Metode trapesium adalah metode yang digunakan untuk menghitung

nilai integrasi dengan menjumlahkan luas n buah trapesium. Cara ini


2

merupakan rumus paling sederhana untuk integrasi numeris. Galat rumus ini

lebih besar dibandingkan dengan semua metode integrasi yang lainnya, tetapi

karena kemudahan pada tekniknya, yakni fungsi yang akan diintegralkan

didekati dengan fungsi linear, membuat aturan ini menjadi menarik. Metode

ini penting pada setiap kasus karena menunjukkan ide dasar rumus

pengintegrasi dengan ukuran interval tertentu, yakni menghampiri fungsi

)(xf dengan garis lurus yang menghubungkan )(af dan )(bf . Dalam

penerapannya, metode ini membagi seluruh interval menjadi sub-subinterval

dan mendekati kurva dalam beberapa subinterval dengan kurva yang lebih

sederhana, yakni kurva linear, sehingga nilai integralnya dapat dihitung secara

analitis.

Metode Simpson serupa dengan metode trapesium di mana keduanya

membagi interval batas integrasi menjadi beberapa subinterval, dan integran

dievaluasi pada ujung dari semua sub interval ini. Perbedaannya terjadi dalam

hal bagaimana luas daerah di bawah kurva tersebut didekati nilainya. Dalam

metode trapesium menggunakan luas trapesium untuk mendekati luas daerah

satu interval kecil. Dalam metode Simpson menggunakan luas daerah di

bawah suatu parabola, sebagai nilai pendekatan luas daerah dua interval yang

berdekatan. Dengan demikian diharapkan bahwa metode trapesium tepat

untuk polinomial berderajat satu, sedangkan metode Simpson tepat digunakan

untuk polinomial berderajat satu, dua, atau tiga. Ini memang metode yang


3

relatif lebih teliti dan rumusnya tidak lebih kompleks daripada metode

trapesium , yakni mendekati fungsi yang akan diintegralkan dengan parabola

(polinom interpolasi berderajat dua atau tiga). Karakteristik inilah yang

menyebabkan metode Simpson lebih luas penggunaannya.

Berbeda dengan metode Newton-Cotes, metode Gauss dalam

menghitung luas daerah di bawah garis dipilih titik sembarang secara bebas.

Titik-titik tersebut dipilih untuk meminimalkan galat. Jika galat minimum,

maka nilai hampirannya akan mendekati nilai sebenarnya.

B. PERUMUSAN MASALAH

Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini

dirumuskan sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud metode Gauss-Legendre?

2. Bagaimana mengintegralkan secara numeris dengan metode Gauss-

Legendre?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan makalah ini penulis hanya akan membahas

pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre untuk mendapatkan

pendekatan penyelesaian dengan ketelitian yang lebih tinggi.


4

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami pengintegralan numeris

dengan metode Gauss-Legendre dan untuk memperoleh pendekatan

penyelesaian integral tentu yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah

dapat memahami pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre

yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi dalam mendapatkan pendekatan

penyelesaian integral tentu.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu

dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik makalah ini,

sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

B. RUMUSAN MASALAH

C. PEMBATASAN MASALAH


5

D. TUJUAN PENULISAN

E. MANFAAT PENULISAN

F. METODE PENULISAN

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB II PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE

NEWTON-COTES

A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI

B. METODE NEWTON-COTES

C. METODE TRAPESIUM

BAB III PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE GAUSS-

LEGENDRE

A. METODE GAUSS-LEGENDRE

B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU

C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK

D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK

BAB IV PENUTUP

A. KESIMPULAN

B. SARAN


6

BAB II


DENGAN METODE NEWTON-COTES

A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI

Definisi 2.1

Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari satu himpunan dengan

elemen-elemen dari suatu himpunan kedua. Fungsi adalah relasi di mana

setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen

dalam daerah hasil. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal

seperti f dan )(xf menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x .

Daerah asal adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan

terurut dari relasi, sedangkan daerah hasil adalah himpunan komponen

keduanya. Fungsi belum dapat ditentukan bila daerah asalnya belum

diberikan.

Contoh 2.1

Jika 4)( 3 xxf , tentukan daerah hasilnya untuk 4,3,2 xxx dan

5x


7

Penyelesaian

Gambar 2.1

Dari gambar 2.1 di atas himpunan 5,4,3,2 menunjukkan daerah asal fungsi,

sedangkan himpunan 121,60,23,4 menunjukkan daerah hasil fungsi.

Definisi 2.2

Fungsi )(xf dikatakan terbatas ke atas pada suatu interval jika terdapat

konstanta M sedemikian hingga Mxf )( untuk setiap x pada interval

tersebut. Dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat konstanta m sedemikian

hingga mxf )( untuk setiap x pada interval tersebut.

Sedangkan )(xf dikatakan terbatas jika )(xf terbatas ke atas dan terbatas ke

bawah, RM sedemikian hingga AxMxf ,)(


8

Contoh 2.2

Buktikan fungsi f dengan xxf 4)( , pada interval 11 x adalah

terbatas

Penyelesaian

Jelas 1,1,5)( xxf . Jika dipilih 5M maka 5)( xf

)(xf terbatas untuk 1,1x

Definisi 2.3

Missal RA , fungsi f adalah fungsi dari A ke R . Dikatakan bahwa

Lxfcx

)(lim berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapapun

kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga

Lxf )( asalkan bahwa cx0 ; yakni,

Lxfcx )(0

Teorema 2.1

Andaikan n bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah

fungsi-fungsi yang memiliki limit di c . Maka

1. kkcx

lim ,


9

2. cxcx

lim ,

3. xfkxkfcxcx

limlim ,

4. xgxfxgxfcxcxcx

limlimlim ,

5. xgxfxgxfcxcxcx

limlimlim ,

6. xgxfxgxfcxcxcx

lim.lim.lim ,

7. Jika Lxgcx

lim dan )(lim Lfxfcx

, maka )(lim Lfxgfcx

8.

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

lim

limlim asalkan 0lim

xg

cx,

9. limx®c

f x( )éë ùûn

= limx®cf (x)é

ëùû

n

,

10. limx®c

f x( )n = limx®cf (x)n asalkan 0lim

xf

cx jika n genap.

Bukti

1. Akan dibuktikan 0 0 sehingga

kkcx0

Ambil sebarang 0 , akan dicari 0 sehingga

kkcxRx 0

Ambil 0 , perhatikan bahwa cxkk 00


10

Diketahui cx0 bila

1

jadi

1.00 cxkk

Menurut definisi 2.3, maka

kkcx

lim


cxcx0

Ambil sebarang 0 , akan dicari 0 sehingga

cxcxRx 0

Ambil 0 , perhatikan bahwa cxcx 1

Diketahui cx0 bila jadi 11 cxcx


cxcx

lim

3. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga

kLxkfcx )(0

ambil sebarang 0 pilih k

sehingga untuk cx0

Maka

k

kLxfkkLxkf )()(



11

xfkxkfcxcx

limlim

4. Missal Lxfcx

)(lim dan Kxgcx

)(lim

Akan dibuktikan 0 01 sehingga

2)(0 1

Lxfcx


2)(0 2

Kxgcxx

Perhatikan bahwa

KxgLxf

KLxgxf

KLxgxf

)()(

)()(

)()()(

KxgLxf )()(

Ambil sebarang 0 , jika dipilih 21,min maka

22)()()()()( KxgLxfKLxgxf


xgxfxgxfcxcxcx

limlimlim

5. Akan dibuktikan xgxfxgxfcxcxcx

limlimlim


12

Menurut Teorema 2.1

)(lim)(lim

)3()(lim)1()(lim

)4()()1(lim)(lim

))()1()((lim))()((lim

xgxf

xgxf

xgxf

xgxfxgxf

cxcx

cxcx

cxcx

cxcx


limx®cf (x) = L dan lim

x®cg(x) =M

)1(2)(0 1

MLxfcx


LMxgcx

2)(0 2

Perhatikan bahwa

f (x)g(x)-LM

LMxLgxLgxgxf )()()()(

LMxLgxLgxgxf )()()()(

MxgLLxfxg )()()(

Akan dibuktikan 1)( Mxg

g(x)-M <e


13

-e < g(x)-M <e

MxgM )(

-M -1<M -e < g(x) <M +e < M +1

1)( Mxg

Sehingga

f (x)g(x)-LM £ M +1 f (x)-L + L g(x)-M

Ambil sebarang 0 , Jika dipilih 21,min maka

LL

MM

MxgLLxfMLMxgxfcx

2121

)()(1)()(0


xgxfxgxfcxcxcx

lim.lim.lim

7. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga

Lfxgfcx )(0

Dari Lyfcx

lim ambil sebarang 0 pilih 01 sehingga

untuk 10 Ly Maka Lfyf ……(1)


14

Dari Lxgcx

lim ambil sebarang 0 pilih 0 sehingga untuk

cx0 Maka 1 Lxg atau 1 Ly dimana

xgy

Dari (1) dapat dilihat bahwa

Jika cx0 maka LfyfLfxgf

8. Misalkan Lxgcx

)(lim dan limx®cf (x) =M

Akan dibuktikan 0 $d > 0 sedemikian hingga

0 < x - c <d Þf (x)

g(x)-M

L<e

Ambil sebarang 0

Akan dibuktikan limx®c

1

g(x)=

1

L

Diketahui 0 $d1 > 0 sedemikian hingga

0 < x-c <d1 Þ g(x)-L <a

Perhatikan bahwa

-a < - g(x)-L < g(x) - L

Dipilih 02

1 L

-a < g(x) - L


15

-a + L < g(x)

g(x) >1

2L

1

g(x)<

2

L

Jadi

1

g(x)-

1

L=L - g(x)

Lg(x)

=1

Lg(x)L - g(x)

=1

g(x)

1

LL - g(x)

<2

L2L - g(x)

Diketahui "e > 0 $d2 > 0 sedemikian hingga

0 < x- c <d2 Þ 0 < g(x)- L <1

2L

2e

Ambil sebarang 0 , Jika dipilih d = max d1,d2{ } maka

1

g(x)-

1

L<

2

L2L- g(x) <

2

L2.1

2L

2.e =e

jadi terbukti bahwa

\limx®c

1

g(x)=

1

L

Sehingga menurut Teorema 2.1 no. 6, misal 1

g(x)= h(x)


16

limx®cf (x).h(x) = lim

x®cf x( ). lim

x®ch x( )

=M.1

L

=M

L

= limx®c

f (x)

g(x)

cx

cx

cx xg

xf

xg

xf

lim

lim

lim asalkan 0lim

xgcx

9. Misal limx®cf (x) = L

Untuk 1n

limx®c

f (x)[ ]1= limx®cf (x)

= limx®cf (x)( )

1

= L( )1

= L

Pn yaitu limx®c

f (x)[ ]n

= limx®cf (x)é

ëùû

n

benar untuk 1n

Diasumsikan Pn benar untuk n = k Î N , yaitu

limx®c

f (x)[ ]k= lim

x®cf (x)é

ëùû

k

= Lk, k Î N

sehingga untuk n = k+1 berlaku


17

1

1

.

)(lim.)(lim

)(lim.)(lim

)(.)(lim)(lim

k

k

cx

k

cx

cx

k

cx

k

cx

k

cx

L

LL

xfxf

xfxf

xfxfxf

jadi Pn benar untuk n = k+1, maka menurut induksi matematika

Nnxfxfn

cx

n

cx

)(lim)(lim

10. Misalkan n = 2k, k =1

limx®cg(x) = L

kk

cxLxg 22 )(lim

f (x) = x2k

Menurut Teorema 2.1 no 7 maka

limx®c

g(x)2k = limx®cf (g(x))

= f limx®cg(x)( )

= limx®cg(x)2k


18

Contoh 2.3

Buktikan 5)73(lim4

xx

Penyelesaian

Menurut Teorema 2.1

limx®4

(3x - 7) = limx®4

3x - limx®4

7 (5)

= 3limx®4x - 7 (3) dan (1)

= 3.4 - 7 (2)

=12 - 7

= 5

Definisi 2.4

Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat c . Dikatakan

bahwa f kontinu di c jika

)()(lim cfxfcx

.

Contoh 2.4

Apakah2

4)(

2

x

xxf kontinu di titik 2x

Penyelesaian

f (2) =0

0


19

maka f (2) tidak terdefinisi

Jadi f tidak kontinu di 2x

Definisi 2.5

Fungsi f adalah kontinu di kanan di a jika limx®a+

f (x) = f (a) dan kontinu di

kiri pada b jika limx®b-

f (x) = f (b)

Dikatakan bahwa f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di

setiap titik selang tersebut. Ia kontinu pada selang tertutup a,b[ ] jika

kontinu pada (a,b) , kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Contoh 2.5

xxf

1)( kontinu pada )1,0(I

Definisi 2.6

Turunan fungsi f adalah fungsi lain 'f yang nilainya pada sebarang

bilangan x adalah

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

asalkan limitnya ada dan bukan atau


20

Jika limitnya ada, dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x .

Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Secara umum turunan fungsi f ,

ditulis )(nf , adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung

turunan dari fungsi ,.....3,2,1,)1( nf n dengan ).()()0( xfxf Turunan ke-

n dari fungsi pada titik x dapat dihitung dengan definisi

)()(,...,3,2,1,)()(

lim

)()(lim)(

)0()1()1(

0

)1()1()(

xfxfnh

xfhxf

xt

xftfxf

nn

h

nn

xt

n

Contoh 2.6

Hitunglah turunan pertama dari fungsi 613)( xxf , untuk 4x

Penyelesaian

Turunan pertama dari fungsi 613)( xxf untuk 4x adalah

1313lim

13lim

6)4(136)4(13lim

)4()4(lim)4('

0

0

0

0

h

h

h

h

h

h

h

h

h

fhff


21

Teorema 2.2

Jika )(' cf ada, maka f kontinu di c .

Bukti

Akan ditunjukan )()(lim cfxfcx

.

cxcxcx

cfxfcfxf

),.(

)()()()(

oleh karena itu, jika diambil limitnya di x®c

)(

0).(')(

)(lim.)()(

lim)(lim

).()()(

)(lim)(lim

cf

cfcf

cxcx

cfxfcf

cxcx

cfxfcfxf

cxcxcx

cxcx

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain 'f . Misalnya, jika 2)( xxf

adalah rumus untuk f , maka xxf 2)(' adalah rumus untuk 'f .

Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f untuk

menghasilkan 'f . Seringkali digunakan huruf xD untuk menunjukan operasi

ini. Jadi dituliskan 'ffDx atau )(')( xfxfDx . Teorema berikut

dinyatakan dalam cara penulisan operator xD .


22

Teorema 2.3

Jika kxf )( dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x , 0)(' xf ,

yakni

0)( kDx

Bukti

00limlim

)()(lim)('

00

0

hh

h

h

kk

h

xfhxfxf

Teorema 2.4

Jika xxf )( , maka 1)(' xf , yakni

1)( xDx

Bukti

1limlim

)()(lim)('

00

0

h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hh

h


23

Teorema 2.5

Jika nxxf )( , dengan n bilangan bulat positif, maka 1)(' nnxxf , yakni

1)( nn

x nxxD

Bukti

h

hnxhhxnn

nxh

h

xhnxhhxnn

hnxx

h

xhx

h

xfhxfxf

nnnn

h

nnnnnn

h

nn

h

h

1221

0

1221

0

0

0

...2

)1(

lim

...2

)1(

lim

)(lim

)()(lim)('

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai

faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h

mendekati nol. Jadi

1)(' nnxxf

Teorema 2.6

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka

)('.)()'( xfkxkf yakni,


24

)(.)(. xfDkxfkD xx

Bukti

Andaikan )(.)( xfkxF . Maka

)('.

)()(lim.

)()(.lim

)(.)(.lim

)()(lim)('

0

0

0

0

xfk

h

xfhxfk

h

xfhxfk

h

xfkhxfk

h

xFhxFxF

h

h

h

h

Teorema 2.7

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

)(')(')()'( xgxfxgf yakni, )()()()( xgDxfDxgxfD xxx

Bukti

Andaikan )()()( xgxfxF . Maka


25

)(')('

)()(lim

)()(lim

)()()()(lim

)()()()(lim)('

00

0

0

xgxf

h

xghxg

h

xfhxf

h

xghxg

h

xfhxf

h

xgxfhxghxfxF

hh

h

h

Teorema 2.8

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

)(')(')()'( xgxfxgf yakni, )()()()( xgDxfDxgxfD xxx

Bukti

)()(

)()1()(

)()1()(

)()1()()()(

xgDxfD

xgDxfD

xgDxfD

xgxfDxgxfD

xx

xx

xx

xx

Teorema 2.9

Misalkan baCf , dan f terdeferensial pada ba, . Jika )()( bfaf ,

maka ada paling sedikit satu bilangan bac , sedemikian sehingga

0)(' cf .


26

Bukti

Karena )(xf kontinu pada selang bxa , berarti )(xf mempunyai nilai

maksimum M dan nilai minimum m dalam ba, , jadi Mxfm )( dalam

ba, . Bila Mm , maka )(xf = konstan, berarti 0)( xf .

Karena Mm dan )()( bfaf , maka paling sedikit salah satu m atau M

tidak sama dengan )()( bfaf , misalnya )(afM . Maka nilai maksimum

M tidak pada titik akhir dari ba, , melainkan terletak di cx , )( bca

dan berarti 0)(' cf .

Teorema 2.10

Jika f kontinu pada selang tertutup ba, dan terdefinisikan pada titik-titik

dalam dari ba, , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam ba,

dengan

)(')()(

cfab

afbf

Bukti

Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus

dari titik ))(,( afaA dan ))(,( bfbB , (Gambar 2.2), maka fungsinya


27

)()()(

)()( axab

afbfafxg

Selisih antara grafik f dan g pada x adalah

)()()(

)()()()()( axab

afbfafxfxgxfxh

Dari persamaan tersebut, maka 0)()( bhah . Oleh karena fungsi-fungsi

)(xf dan )( ax adalah kontinu dalam bxa dan terdeferensial dalam

)( bxa , maka menurut Teorema 2.9 ada nilai x yang turunannya sama

dengan 0 dan misalkan untuk cx , bca berlaku 0)(' ch .

Gambar 2.2 Teorema Nilai Rata-Rata


28

diperoleh

ab

afbfxfxh

)()()()( ''

Untuk persamaan cx , menjadi

ab

afbfcfch

)()()()( ''

ab

afbfcf

)()()(0 '

ab

afbfcf

)()()('

Definisi 2.7

Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika

)()(' xfxF untuk semua x di I .

Leibniz menggunakan lambang dx... untuk menunjukkan anti turunan

terhadap x , sama seperti xD menunjukkan turunan terhadap x . Perhatikan

bahwa )()( xfdxxfDx .

Teorema 2.11

Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka


29

1,1

1 1 ncxn

dxx nn

Bukti

Untuk menunjukkan hasil berbentuk

cxFdxxf )()(

maka ditunjukan

)()( xfcxFDx

n

nn

x

xnn

cn

xDx

)1(1

1

1

1

cn

xdxx

nn

1

1

Teorema 2.12

Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta maka

dxxfkdxxkf )()( .

Bukti

Diferensialkan ruas kanan


30

Berdasarkan Teorema 2.6

)(

)()(

xkf

xfkDxdxxfkDx

Teorema 2.13

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

Bukti

Diferensialkan ruas kanan


)()(

)()()()(

xgxf

dxxgDxdxxfDxdxxgdxxfDx

Teorema 2.14

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(


31

Bukti


)()(

)()()()(

xgxf

dxxgDxdxxfDxdxxgdxxfDx

Definisi 2.8

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ba, . Jika

n

i

iiP

xxf1

0)(lim ada maka f dikatakan terintegralkan pada ba, .

selanjutnya b

a

dxxf )( disebut integral tentu f dari a ke b dan diberikan

oleh

n

i

iiP

b

a

xxfdxxf1

0)(lim)(

Teorema 2.15

Andaikan f kontinu pada ba, dan andaikan F sebarang anti turunan dari

f di selang ba, . Maka

)()()( aFbFdxxf

b

a


32

Bukti

Andaikan bxxxxxaP nn 1210 ...: adalah partisi sebarang dari

ba, . Maka

n

i

ii

nnnn

xFxF

xFxFxFxFxFxFaFbF

1

1

01211

)()(

)()(....)()()()()()(

Menurut Teorema 2.10 yang diterapkan pada F pada selang ii xx ,1 ,

iiiiiii xxfxxxFxFxF )())((')()( 11

untuk suatu pilihan ix dalam selang terbuka ii xx ,1 . Jadi

n

i

ii xxfaFbF1

)()()(

Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk 0P , diperoleh

b

a

n

i

iiP

dxxfxxfaFbF )()(lim)()(1

0

Contoh 2.7

Tentukan dxx2 dan 3

0

2dxx


33

Penyelesaian

cxdxx 32

3

1 dan

3

0

33 9033

1dxx

B. METODE NEWTON-COTES

Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana

fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi )(xpn .

Definisi 2.9

Misal 0n . Diberikan fungsi bernilai real f , terdefinisi dan kontinu pada

selang tertutup ba, , dan titik-titik interpolasinya nibaxi ...,,0,, ,

polinomial np didefinisikan dengan

n

k

hkn xfxLxp0

dengan

n

i ik

i

k

ki

xx

xxxL

0

Adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat n dengan titik-titik

interpolasi nixi ...,,0, untuk fungsi f .


34

Contoh 2.8

Akan disusun polinom interpolasi Lagrange berderajat 2 untuk fungsi

xxf 3: pada interval 1,1 , dengan titik-titik interpolasi

1,0,1 210 xxx

Penyelesaian

Karena 2n , maka

12

1

2010

21

0

xx

xxxx

xxxxxL

2

1 1 xxL

12

12 xxxL

Oleh karena itu

1312

1031131

2

1 2

2 xxxxxxp

12

31

2

32 xxxxxp

Teorema 2.16

Misalkan 0n dan f adalah fungsi bernilai real, terdefinisi dan kontinu

pada interval tertutup ba, , sedemikian sehingga turunan ke- 1n dari f


35

ada dan kontinu pada ba, . Maka untuk setiap bax , , terdapat

baxcc ,)( sedemikian hingga

)()!1(

)()()( 1

1

xn

cfxpxf n

n

n

(2.1)

dengan

))...(()( 01 nn xxxxx (2.2)

Bukti

Jika ixx , untuk suatu i , ni ........,,1,0 , kedua ruas pada persamaan

(2.1) sama dengan 0, dan persamaan tersebut akan dipenuhi secara trivial.

Misalkan bax , dan nixx i ........,,1,0, . Untuk nilai x yang demikian,

pertimbangkan sembarang fungsi tgt , yang terdefinisi pada interval

ba, dengan

)(

)(

)()()()( 1

1

tx

xpxftptftg n

n

n

n

(2.3)

Jelas bahwa nixg i ...,,1,0,0)( dan 0)( xg . Jadi fungsi g akan

bernilai nol pada 2n titik yang berbeda pada selang ba, . Akibatnya

berdasarkan Teorema Rolle, 0)'( tg pada 1n titik pada selang ba, , satu

diantara setiap bagian dari titik-titik berturut-turut dimana 0g


36

Khususnya, jika 0n , maka berdasarkan Teorema Rolle, ada xcc

pada interval ba, sehingga 0' cg . Karena 00 xfxp dan

01 xtt , menurut persamaan (2.3) maka

)(

)(')('0

)()(')('0

)()(

)()(

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

x

xpxfcfcg

x

xfxfcfcg

cx

xfxfxfcfcg

tx

xpxftptftg

Sekarang misalkan 1n . Karena )(' tg bernilau nol pada 1n titik di

ba, , berdasarkan Teorema Rolle, "g bernilai nol di n titik yang berbeda.

Jika langkah ini dilakukan sebanyak 1n maka )1( ng akan bernilai nol di

suatu titik bac , , nilai dari c tergantung pada nilai x . Dengan menurunkan

fungsi )(tg sebanyak 1n kali maka

!1

)()()(0

1

0)1(1

nx

xpxfcfcg

n

nn

Karenanya

)()!1(

)()()( 1

1

xn

cfxpxf n

n

n


37

Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. Gagasannya

adalah menghampiri fungsi )(xf dengan polinom interpolasi xpn . Secara

umum integral suatu fungsi didekati dengan persamaan berikut

b

a

b

a

n dxxpdxxfI )()( (2.4)

dimana

n

n

n

nn xaxaxaxaaxp

1

1

2

210 ...)( (2.5)

adalah polinomial berderajat n.

Terdapat dua bentuk rumus Newton-Cotes, yaitu bentuk terbuka dan

bentuk tertutup. Bentuk tertutup adalah bentuk dimana titik data pada awal

dan akhir batas integrasi diketahui. Sedangkan bentuk terbuka mempunyai

batas integrasi yang melewati daerah dari data. Untuk lebih jelasnya dapat

dilihat pada Gambar 2.3. Pada Gambar 2.3 (a) untuk menghitung nilai

hampiran dari integrasi numeris dari a ke b digunakan polinom interpolasi

dengan batas awal a dan batas akhir b . Sedangkan Gambar 2.3 (b) untuk

menghitung nilai hampiran integrasi tersebut digunakan polinom interpolasi

yang melalui 3 titik yang bukan merupakan batas awal dan akhir.


38

(a) M Newton-Cotes tertutup (b) M Newton-Cotes terbuka

Gambar 2.3

Salah satu metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk terbuka

adalah metode titik tengah, sedangkan metode yang termasuk metode Newton-

Cotes bentuk tertutup adalah metode Simpson, Boole, dan trapesium.

Selanjutnya akan dibahas metode Newton Cotes bentuk tertutup, yaitu metode

trapesium.

C. METODE TRAPESIUM

Metode trapesium merupakan salah satu bentuk metode Newton Cotes

tertutup. Metode ini berhubungan dengan persamaan (2.4), dimana polinom

interpolasi yang digunakan adalah polinomial berderajat 1 seperti

diilustrasikan pada Gambar 2.4.


39

Gambar 2.4 Metode Trapesium

Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri

luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan

)(af dan )(bf seperti pada Gambar 2.4. Rumus untuk menghitung luas

daerah trapesium adalah dengan mengalikan tinggi dengan rata-rata alasnya.

Dalam kasus metode trapesium ini integral dapat ditafsirkan dengan Luas

)(I = lebar x rata-rata tinggi, dimana lebar ditafsirkan sebagai )( ab dan

rata-rata tinggi ditafsirkan sebagai 2/)()( bfaf karena rata-rata tinggi

adalah rata-rata dari nilai fungsi pada titik batas.

Teorema 2.17

Jika f fungsi kontinu pada ba, maka dengan metode trapesium


40

3))((''12

1

2

)()()()( abcf

bfafabxf

b

a

, dengan ),( bac (2.6)

Bukti

Pada Gambar 2.4 fungsi )(xf dihampiri dengan garis lurus yang melalui titik

)(, afa dan )(, bfb . Persamaan garis lurus yang melalui kedua titik

tersebut adalah

ab

ax

afbf

afxf

)()(

)()(

atau

)()()()( afbfaxabafxf

ab

afbfaxafxf

)()()()(

)()()(

)()( axab

afbfafxf

(2.7)

dengan demikian persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai

dxaxab

afbfafdxxfI

b

a

b

a

)(

)()()()(

b

a

axab

afbfxaf

2)(

)(2

)()()(

2)(

)(2

)()())(( ab

ab

afbfabaf


41

2

)()()()(

afbfafab

2

)()()(

afbfab

sehingga menghasilkan persamaan

2

)()()(

bfafabI

(2.8)

Persamaan (2.8) disebut metode Trapesium.

Ketika bekerja pada daerah integral di bawah garis lurus untuk

menghampiri integral di bawah kurva, akan memunculkan sebuah galat.

Penafsiran untuk galat pemotongan dari penggunaan metode trapesium adalah

)()(2

)( bfafh

dxxfE

b

a

t , dengan abh

Menguraikan )(xf ke dalam deret Taylor di sekitar axa diperoleh

...'')'(6

1')'(

2

1)'()()( 32 afxafxaxfafxf

Menguraikan )()()( hfxfbf b ke dalam deret Taylor di sekitar axa

diperoleh

')'(2

1)()()()( 2' afhahfafhfxfbf b +...

Maka


42

...')'(2

1)'()(

2

)(2

...'')'(6

1|')'(

2

1)'()(

2

32

afhahfafh

afh

dxafxafxaxfafE

b

a

...)"(4

1)'(

2)(

...)"(6

1)'(

2

1)(...)"(

6

1)'(

2

1)(

32

3232

afhafh

ahf

afaafaaafafbafbabf

...)"(

4

1)'(

2)(...)"(

6

1)'(

2

1)( 3

232 afhaf

hahfafhafhahf

...)"(12

1 3 afh

bcacfh ),("12

1 3

Jadi

3'' ))((

12

1abcfEt (2.9)

dimana c berada pada selang interval a ke b . Persamaan (2.9) menunjukkan

bahwa jika fungsi yang diintegrasikan linear maka metode trapesium akan

memperoleh hasil yang tepat karena turunan kedua dari garis lurus adalah nol.

Sebaliknya, untuk fungsi dengan derajat dua dan derajat lebih tinggi, galatnya

akan muncul.


43

Contoh 2.9

Gunakan metode trapesium untuk menghampiri nilai integral

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

dari 0a ke 8.0b

Penyelesaian

Nilai fungsi )(xf di titik 0a dan 8,0b masing-masing adalah

5432 )0(400)0(900)0(675)0(200)0(252.0)0( f

2.0

dan

5432 )8.0(400)8.0(900)8.0(675)8.0(200)8.0(252.0)8.0( f

232.0

072.13164.3686.345128202.0

Bila kedua hasil diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8) maka

diperoleh

1728.02

232.02.0)08.0(

I

Bila 8,0

0

)(xf ditentukan secara analitik maka diperoleh

dxxxxxx

8,0

0

5432 400900675200252.0


44

8,0

0

65432

6

400

5

900

4

675

3

200

2

252.0 xxxxxx

6438,148,179824,5812,6913,34816,0

Dengan demikian nilai analitiknya adalah 6438,1

Menghampiri nilai galat sangat diperlukan agar dapat diketahui besar

kesalahan perhitungan. Untuk mendapatkan nilai hampiran galat tersebut,

turunan kedua fungsi pada interval dapat ditentukan dengan menurunkan

fungsi asli dua kali sehingga menghasilkan

4

51217281620400

)8.0,0(),4.0(8000)4.0(10800)4.0(4050400

8000108004050400)(

32

32''

xdengan

xxxxf

1706.0)8.0)(4(12

1 3 tE

Sehingga

00213.01706.01728.0 tEI


45

BAB III



Metode yang umum untuk memperoleh nilai hampiran dengan metode

integrasi numeris adalah metode Newton-Cotes. Metode ini dijabarkan dengan

mengintegralkan polinom interpolasi. Polinom interpolasi digunakan karena

suku-suku polinom mudah diintegralkan dengan rumus integral yang sudah

baku. Metode Newton-Cotes memiliki 3 metode integrasi numeris yaitu

metode trapesium, metode Simpson 1/3, dan metode Simpson 3/8 yang

masing-masing menghampiri fungsi )(xf dengan polinom interpolasi derajat

1, derajat 2, dan derajat 3. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat

ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih

tinggi. Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus

menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal

dan berakhir di ujung-ujung selang a yang disebut batas awal dan b yang

disebut batas akhir. Selanjutnya akan dibahas metode integrasi numeris yang

juga digunakan untuk memperoleh nilai hampiran, metode tersebut adalah

metode Gauss.

Berbeda dengan metode Newton Cotes, metode Gauss dalam

mengevaluasi luas daerah dibawah garis dipilih titik sembarang secara bebas.


46

Titik- titik nxxx ,...,, 21 pada interval ba, dan koefisien nccc ,...,, 21 dipilih

untuk meminimalkan galat sehingga diperoleh rumus hampiran

b

a

n

i

ii xfcdxxf1

)()( (3.1)

Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre.

A. METODE GAUSS-LEGENDRE

Metode Gauss-Legendre digunakan untuk menemukan luas daerah

dibawah kurva 11),( xxfy . Pada metode trapesium telah dijelaskan

mengenai metode untuk mencari luas daerah dibawah kurva yang

menggunakan dua fungsi pada titik ujung ))1(,1( f dan ))1(,1( f . Metode

trapesium menghasilkan galat yang cukup besar yaitu seluruh bagian yang

berada diantara kurva dan garis yang memotong titik seperti ditunjukan pada

daerah terarsir Gambar 3.1.


47

Gambar 3.1

Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan

terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada

kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Jika menggunakan

dua titik 1x dan 2x yang berada di dalam interval 1,1 maka garis yang

melalui dua titik ))(,( 11 xfx dan 22 , xfx memotong kurva dan luas daerah

di bawah garis lebih mendekati luas daerah di bawah kurva sehingga galat

yang dihasilkan dengan metode Gauss-Legendre cukup kecil seperti

ditunjukan pada Gambar 3.2.


48

Gambar 3.2

Dalam metode Gauss-Legendre tidak lagi ditentukan titik-titik diskret

yang berjarak sama seperti pada metode Newton-Cotes. Pada sub bab

selanjutnya akan dijelaskan mengenai pemilihan titik-titik tersebut untuk

memperkecil kesalahan memperoleh nilai hampiran.

B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU

Persamaan garis yang melalui dua titik ))(,( afa dan bfb, adalah

ab

ax

afbf

afy

)()(

)( (3.2)

atau

ab

afbfaxafy

))()()(( (3.3)


49

dan luas daerah trapesium di bawah garis adalah

2

bfafabI

(3.4)

Persamaan (3.4) dapat dinyatakan sebagai

)()( 2211 xfcxfcI (3.5)

dimana 1c dan 2c adalah konstanta.

Metode trapesium dapat menghasilkan hasil yang tepat ketika fungsi

yang diintegrasikan tersebut adalah suatu konstanta atau garis lurus. Dua

persamaan yang sederhana ditunjukan pada kasus 1y dan xy . Keduanya

diilustrasikan pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3. Metode Trapesium untuk 1y


50

Gambar 3.4. Metode Trapesium untuk nilai xy

Konstanta 1c dan 2c tersebut akan ditentukan dengan menggunakan

metode koefisien tak tentu yang dipaparkan sebagai berikut.

Untuk 1)( xf , persamaan (3.5) menjadi

21

2/)(

2/)(

1 ccdx

ab

ab

(3.6)

dan untuk xxf )( persamaan (3.5) menjadi

2221

2/)(

2/)(

abc

abcxdx

ab

ab

(3.7)

Selanjutnya mengevaluasi integral pada persamaan (3.6) menjadi


51

22

21

ababcc

abcc 21 (3.8)

dan untuk persamaan (3.7) menjadi

22

2122

1

22

1

22

abababc

abc

022

21

ab

cab

c (3.9)

Persamaan (3.8) dan (3.9 ) merupakan dua persamaan dengan dua

koefisien yang tidak diketahui. Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut

untuk 1c dan 2c adalah

2221

abc

abc

21 cc

22 ccab

22cab

22

cab

221

abcc

(3.10)

Ketika hal tersebut disubtitusikan kembali ke persamaan (3.5) akan

memberikan hasil


52

)(2

)(2

21 xfab

xfab

I

(3.11)

Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.

C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK

Seperti halnya metode trapesium, tujuan metode Gauss-Legendre 2-

titik adalah menentukan koefisien sebuah persamaan dalam bentuk

)()( 2211 xfcxfcI (3.12)

Teorema 3.1 Gauss-Legendre Dua Titik

Jika f fungsi kontinu pada 1,1 maka dengan metode Gauss-Legendre 2-

titik )()3

1()

3

1()( 2

1

1

fEffdxxf

, dimana 135

)()(

)4(

2

cffE , dengan

)1,1(c

Bukti

Persamaan (3.12) merupakan persamaan metode Gauss-Legendre. Persamaan

tersebut mengandung empat peubah yang tidak diketahui. Maka harus dipilih

2121 ,,, ccxx sedemikian hingga galat integrasinya minimum. Karena ada

empat peubah yang tidak diketahui maka harus terdapat empat buah

persamaan yang mengandung 2121 ,,, ccxx .


53

Misalnya untuk 1)( xf dan xxf )( maka dari dua fungsi tersebut

diperoleh dua persamaan, yaitu

a) untuk 1)( xf

21

1

1

2)1(11 ccdx

b) untuk xxf )(

2211

1

1

22 0)1(2

1)1(

2

1xcxcxdx

Masih diperlukan dua fungsi lagi agar 2121 ,,, ccxx dapat ditentukan maka

dipilih 2)( xxf dan 3)( xxf untuk menambah dua persamaan, yaitu

c) untuk 2)( xxf

2

22

2

11

33

1

1

2

3

2)1(

3

1)1(

3

1xcxcdxx

d) untuk 3)( xxf

3

22

3

11

1

1

443 0)1(4

1)1(

4

1xcxcdxx

dengan demikian sudah didapatkan empat buah persamaan, yaitu

221 cc (3.13)

2211 xcxc (3.14)

3

22

22

2

11 xcxc (3.15)


54

3

21

3

11 xcxc (3.16)

Persamaan (3.14) dikalikan dengan 2

1x dan dieliminasi dari persamaan (3.16)

memberikan hasil 0)(2

2

2

122 xxxc

Solusi persamaan di atas adalah

02 c , atau/dan

02 x , atau/dan

21 xx , atau/dan

21 xx

a. Bila dipilih 02 c dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan 21 c ,

011 xc , 3

22

11 xc , dan 03

11 xc . Tetapi karena 21 c , maka dari

011 xc akan menghasilkan 01 x sehingga akan bertentangan dengan

3

22

11 xc .

Dengan demikian 02 c tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).

b. Bila dipilih 02 x dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan

221 cc , 011 xc , 3

22

11 xc , dan 03

11 xc . Karena 011 xc , maka 1c


55

atau 1x haruslah bernilai nol. Tetapi ini bertentangan dengan

03

22

11 xc

Dengan demikian 02 x tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).

c. Bila dipilih 21 xx dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan

221 cc , 01211 xcxc , 3

22

12

2

11 xcxc , dan 03

12

3

11 xcxc . Jika

01 x , maka dari persamaan 01211 xcxc diperoleh 021 cc . Tetapi

ini bertentangan dengan 221 cc . Jika 01 x , maka bertentangan

dengan 03

22

12

2

11 xcxc .

Dengan demikian 02 x tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).

Dari solusi persamaan tersebut hanya satu solusi yang memenuhi yaitu

21 xx .

Bila persamaan 2211 xcxc dibagi dengan 1x di ruas kiri dan 2x di ruas

kanan didapatkan 21 cc

Dengan mensubtitusikan persamaan 21 cc ke dalam 221 cc maka

mengakibatkan 222 cc . Sebab itu 121 cc . Bila disubtitusikan ke

persamaan (3.15) akan dihasilkan 3

22

2

2

2

2

22

2

11 xxxcxc atau 3

12

2 x


56

atau

577350269.03

11 x (3.17)

maka

577350269.03

12 x (3.18)

Jadi diperoleh persamaan akhir

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf (3.19)

Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik dapat

diperoleh 121 cc dan 577350269.01 x , 577350269.02 x . Persamaan

(3.19) tersebut dinamakan metode Gauss-Legendre 2-titik. Batas-batas

integral pada persamaan tersebut adalah dari -1 sampai dengan 1, sehingga

memudahkan hitungan dan membuat rumus yang dapat digunakan secara

umum.

Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 2-titik dapat

ditentukan dengan

)()( )22(

2 cfKfE n

n

(3.20)

Teorema 2.16 menjelaskan tentang galat dari selisih nilai fungsi dengan

polinomial hampirannya, maka )()()( 2 fExpxf n

sehingga )()()( 2 fExpxf n


57

menurut Teorema 2.16

dxxxxxxxn

cffE n

n2

10

22

2 ))...()(()!22(

)()(

dxxxxxxxn

cf n

n 2

10

22 ))...()(()!22(

1)(

dengan

dxxxxxxxn

K nn

2

10 ))...()(()!22(

1

jadi )()( )22(

2 cfKfE n

n

Untuk metode Gauss-Legendre 2-titik, maka ditentukan 1n , sehingga dari

persamaan (3.20) dapat ditentukan

)()( )4(

12 cfKfE

dengan

1

1

2

101 ))((!4

1dxxxxxK

1

1

2

)3

1)(

3

1(

!4

1dxxx

1

1

2

2

3

1

!4

1dxx

1

1

24

9

1

3

2

!4

1dxxx

1

1

35

9

1

9

2

5

1

!4

1

xxx


58

9

1

9

2

5

1

9

1

9

2

5

1

24

1

45

59

45

59

24

1

45

4

45

4

24

1

45

8

24

1

135

1

Dengan demikian )(135

1)()( )4()22(

2 cfcfKfE n

n

Contoh 3.1

Hitunglah

1

1

dxe x dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik diperoleh

11 c , 577350269,01 x

12 c , 577350269,02 x

Sehingga


59

342696087,241,78131217561383913,0

)577350269,0()577350269,0(

1

1

eedxe x

Sedangkan dengan menggunakan metode analitik, hasilnya adalah

350402387,2367879441,0718281828,211

1

1

eedxe x

Bila menggunakan rumus galat metode Gauss-Legendre 2-titik, maka menurut

Teorema 3.1

02013542,0135135

)1()(

1)4(

2 ef

fE

dengan 1,1c

Sehingga

362831508,202013542,0342696087,2)(342696087,2 2

1

1

fEdxex

D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK

Teorema 3.2 Gauss-Legendre Tiga Titik

Jika f fungsi kontinu pada 1,1 maka dengan metode Gauss-Legendre 3-

titik )()5/3(9

50

9

85/3

9

5)( 3

1

1

fEfffdxxf

,

dimana 15750

)()(

)6(

3

cffE , dengan )1,1(c


60

Bukti

Metode Gauss-Legendre 3-titik bernilai tepat untuk 6 buah fungsi yang

mengandung peubah 321321 ,,,,, cccxxx . Enam buah fungsi tersebut adalah

1)( xf , xxf )( , 2)( xxf , 3)( xxf , 4)( xxf , 5)( xxf

Dari enam fungsi tersebut diperoleh persamaan:

untuk 1)( xf

321

1

1

2)1(11 cccdx

untuk xxf )(

332211

1

1

22 0)1(2

1)1(

2

1xcxcxcxdx

untuk 2)( xxf

2

33

2

22

2

11

33

1

1

2

3

2)1(

3

1)1(

3

1xcxcxcdxx

untuk 3)( xxf

3

33

3

22

3

11

1

1

443 0)1(4

1)1(

4

1xcxcxcdxx

untuk 4)( xxf

4

33

4

22

4

11

55

1

1

4

5

2)1(

5

1)1(

5

1xcxcxcdxx

untuk 5)( xxf


61

5

33

5

22

5

11

66

1

1

5 0)1(6

1)1(

6

10 xcxcxcdxx

Sudah didapatkan enam buah persamaan, yaitu

3212 ccc (3.21)

3322110 xcxcxc (3.22)

2

33

2

22

2

113

2xcxcxc (3.23)

3

33

3

22

3

110 xcxcxc (3.24)

4

33

4

22

4

115

2xcxcxc (3.25)

5

33

5

22

5

110 xcxcxc (3.26)



memberikan hasil

0)()(2

3

2

133

2

2

2

122 xxxcxxxc (3.27)



memberikan hasil

0)()(2

3

2

1

3

33

2

2

2

1

3

22 xxxcxxxc (3.28)

Persamaan (3.27) dieliminasi dengan persamaan (3.28) memberikan hasil

0))((2

3

2

2

2

3

2

133 xxxxxc (3.29)

Solusi persamaan di atas adalah

03 c , atau


62

03 x , atau

32 xx , atau

32 xx , atau

31 xx , atau

31 xx

Didapatkan persamaan 31 xx yang menghasilkan persamaan

3212 ccc (3.30)

1322110 xcxcxc (3.31)

2

13

2

22

2

113

2xcxcxc (3.32)

3

13

3

22

3

110 xcxcxc (3.33)

4

13

4

22

4

115

2xcxcxc (3.34)

5

13

5

22

5

110 xcxcxc (3.35)

Persamaan (3.31) dikalikan 2

2x dan dieliminasi dengan persamaan (3.33)

memberikan hasil 0))(( 31

2

1

2

21 ccxxx

Dari persamaan di atas tersebut, diperoleh solusi persamaannya yaitu

01 x , atau

12 xx , atau

31 cc


63

Didapatkan persamaan 31 cc yang menghasilkan persamaan

0112211 xcxcxc , jadi 022 xc sehingga 02 x

Karena 02 x , maka 2

11

2

113

2xcxc dan

4

11

4

115

2xcxc

sehingga 3

12

11 xc dan 5

14

11 xc

Dari 3

12

11 xc dan 5

14

11 xc memberikan hasil 5/31 x

Karena 31 xx maka 5/33 x

Dari 5/31 x , 02 x , dan 5/33 x diperoleh persamaan

2

11

2

22

2

113

2xcxcxc

2

22

2

1123

2xcxc

2

1123

2xc

2

1 )5/3(23

2 c

)5/3(23

21c

129

10c

19

5c


64

Karena 31 cc maka 9

53 c

Dengan memasukkan 9

531 cc ke dalam persamaan (3.30) diperoleh

9

82 c

Sehingga didapatkan 6 buah persamaan simultan, yaitu

5/3,9

511 xc

0,9

822 xc

5/3,9

533 xc

Jadi diperoleh persamaan akhir

)5/3(9

50

9

85/3

9

5)(

1

1

fffdxxf

(3.36)

Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 3-titik dapat

diperoleh

9/51 c , 9/82 c , 9/53 c dan 774596669,01 x , 000000000,02 x ,

774596669,03 x .

Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 3-titik dapat

ditentukan dengan

)()( )22(

3 cfKfE n

n

(3.37)


65

Teorema 2.16 menjelaskan tentang galat dari selisih nilai fungsi dengan

polinomial hampirannya, maka )()()( 2 fExpxf n

sehingga )()()( 2 fExpxf n

menurut Teorema 2.16

dxxxxxxxn

cffE n

n2

10

22

2 ))...()(()!22(

)()(

dxxxxxxxn

cf n

n 2

10

22 ))...()(()!22(

1)(

dengan

dxxxxxxxn

K nn

2

10 ))...()(()!22(

1

jadi )()( )22(

2 cfKfE n

n

Untuk metode Gauss-Legendre 3-titik, maka ditentukan 2n , sehingga dari

persamaan (3.37) dapat ditentukan

)()( )6(

23 cfKfE

dengan

1

1

2

2102 ))()((!6

1dxxxxxxxK

1

1

2

5

30

5

3

!6

1dxxxx

1

1

2

2

5

3

5

3

!6

1dxxxx


66

1

1

2

223

5

3

5

3

5

3

!6

1dxxxxx

1

1

2

3

5

3

!6

1dxxx

dxxxx

1

1

246

25

9

5

6

!6

1

1

1

57 375

9

25

6

7

1

!6

1

xxx

525

63

525

126

525

75

525

63

525

126

525

75

720

1

525

12

525

12

720

1

525

24

720

1

15750

1

Dengan demikian )(15750

1)()( )6()22(

3 cfcfKfE n

n

Contoh 3.2

Hitunglah

1

1

dxe x dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 3-titik


67

Penyelesaian


9/51 c , 774596669,01 x

9/82 c , 02 x

9/53 c , 774596669,03 x

sehingga

350336933,2169716837,29

5

9

8460889643,0

9

5

9

5

9

8

9

5 )774596669,0()0()774596669,0(

1

1

eeedxex


350402387,2367879441,0718281828,211

1

1

eedxe x


Teorema 3.2

932240,000172581575015750

)()(

1)6(

3 ecf

fE , dengan )1,1(c

Sehingga

350508919,2932240,00017258350336933,2

)(350336933,2 3

1

1

fEdxex


68

Dari contoh 3.1 dan 3.2 dapat disimpulkan bahwa nilai hampiran yang

dihasilkan dari metode Gauss-Legendre 3-titik mempunyai nilai ketelitian

yang lebih tinggi dibanding menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik.

Dapat dilihat, hasil nilai hampiran dari metode Gauss-Legendre 3-titik lebih

mendekati hasil nilai dari metode analitiknya dengan selisih yang tidak terlalu

besar dibanding menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik.

Teorema 3.3 Translasi Metode Gauss-Legendre

Misalkan diberikan ix dan bobot ic , ni .....1 untuk aturan Gauss-Legendre

n -titik pada interval 1,1 . Untuk menerapkan metode Gauss-Legendre pada

interval ba, , gunakan perubahan variabel

xabba

t .22

dan dx

abdt

2

Maka hubungan

b

a

dxab

xabba

fdttf

1

1222

)( (3.38)

digunakan untuk memperoleh rumus

xabba

fcab

dttfn

i

i

b

a222

)(1


69

Bukti

Dengan menggunakan translasi, batas-batas integral yang lain dapat diubah ke

dalam bentuk pada persamaan (3.38). Untuk itu dianggap terdapat hubungan

antara variabel baru x dan variabel asli t secara linear dalam bentuk

xaat .10 (3.39)

Apabila batas bawah variabel asli adalah at dan batas atasnya bt , untuk

variabel baru batas bawahnya adalah 1x dan batas atasnya 1x .

Selanjutnya nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke dalam persamaan (3.39)

memberikan hasil

)1.(10 aaa dan )1.(10 aab (3.40)

Persamaan (3.40) dapat disubtitusikan sehingga menghasilkan

20

aba

dan

21

aba

(3.41)

Subtitusikan persamaan (3.41) ke dalam persamaan (3.39) menghasilkan

xabab

t .22

(3.42)

Diferensial dari persamaan (3.42) menghasilkan

dxab

dt2

(3.43)

Persamaan (3.42) dan (3.43) dapat disubtitusikan ke dalam persamaan

b

a

dttf )( sehingga memperoleh hasil


70

dxabxabba

fdttf

b

a22

)()()(

1

1

xabba

fcab n

i

i222 1

(3.46)

Algoritma

Untuk menghitung integrasi numerik dengan metode Gauss-Legendre perlu

ditentukan langkah-langkah sebagai berikut

1. Menentukan batas awal a dan batas akhir b

2. Menentukan xabab

t .22

dan diferensialnya terhadap x

3. Subtitusikan persamaan pada langkah 2 ke dalam

dxabxabba

fdttf

b

a22

)()()(

1

1

4. Jika menggunakan 2 titik maka

2

)()(

3

1

2

)()(

3

1

2)(

abbaf

abbaf

abdttf

b

a

dan jika menggunakan 3 titik maka


71

2

)()(

9

5

5

3

02

)()(

9

8

2

)()(

9

5

5

3

2)(

abbaf

abbaf

abbaf

abdttf

b

a

Contoh 3.3

Hitunglah 6

0

dxe xdengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik

Penyelesaian

Dengan menggunakan persamaan (3.42) untuk 0a dan 6b , maka

diperoleh

xxt .33.2

06

2

06

dan diferensial dari persamaan tersebut adalah dxdt 3

Kedua bentuk persamaan di atas disubtitusikan ke dalam persamaan (3.46)

maka diperoleh

1

1

.33

1

1

.33

6

0

33 dxedxedte xxt


11 c , 577350269,01 x

12 c , 577350269,02 x

sehingga


72

2451166,3515844443,34066067227,10

.3.3 )577350269,0(33)577350269,0(33

6

0

eedtet


06

6

0

eedxe x = 4287935,402


Teorema 3.1

02013542,0135135

)()(

1)4(

2 ecf

fE , dengan )1,1(c

Sehingga

265252,35102013542,02451166,351)(2451166,351 2

1

1

fEdxex

Contoh 3.4

Hitunglah 6

0

dxe x

dengan metode Gauss-Legendre menggunakan

pemrograman MATLAB

Penyelesaian

masukan batas integrasi

a=0

b=6


73

masukan fungsi yang akan diintegralkan

f(x)=exp(x)

nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 2 titik

=351.245117

nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 3 titik

=398.77206


74

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Pemilihan titik-titik pada metode Gauss-Legendre menyebabkan

kesalahan memperoleh nilai hampiran menjadi kecil. Jika galat yang

dihasilkan kecil maka nilai hampirannya mendekati nilai sebenarnya. Metode

Gauss-Legendre dengan derajat yang semakin tinggi akan menghasilkan galat

yang semakin kecil. Dibandingkan dengan metode trapesium, pendekatan

penyelesaian dengan metode Gauss-Legendre mempunyai ketelitian yang

lebih tinggi.

B. SARAN

Penulis sadar bahwa dalam penyusunan makalah ini masih ada

kekurangan. Pada makalah ini belum dibahas lebih lanjut mengenai metode

Gauss-Legendre dengan derajat yang lebih tinggi dan pada makalah ini

metode Gauss-Legendre belum dibandingkan tingkat ketelitiannya dengan

metode integrasi numeris yang lain. Semoga selanjutnya akan dibahas lebih

mendalam.


75

DAFTAR PUSTAKA

Conte, S.D. dan de Boor, C. (1980). Dasar-Dasar Analisis Numerik. Suatu

Pendekatan Algoritma. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Mathews, J.H. (1992). Numerical Methods for Mathematics, Science and

Engineering. Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc.

Mathews, J.H. dan Fink, K.D. (2004). Numerical Methods Using Matlab.

Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc.

Munir, Rinaldi. (2008). Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika.

Suli, E. dan Mayers, D. (2006). An Introduction to Numerical Analysis. New

York: Cambridge University Press.

Varberg, D. dan Purcell, E. J. (2001). Kalkulus. Edisi 7. Penerbit Interaksara

Varberg, D, Purcell, E. J dan Rigdon, S. E. (2001). Kalkulus. Edisi 8. Jilid 1.

Jakarta: Penerbit Erlangga


76

Lampiran : Program ini untuk menentukan nilai integral suatu fungsi meng

gunakan metode Gauss-Legendre

clear all clc

% a= batas awal; % b= batas akhir; fprintf('masukan batas integrasi \n') a=input (' a='); b=input (' b='); h=(b-a)/2;

fprintf('masukan fungsi yang akan diintegralkan \n') fprintf('f(x)=exp(x) \n')

c1=1; c2=1; x1=-0.577350269; x2=0.577350269; t1=(b+a)/2+(h*x1); t2=(b+a)/2+(h*x2);

c_1=5/9; c_2=8/9; c_3=c_1; x_1=-0.774596669; x_2=0; x_3=0.774596669; t_1=(b+a)/2+(h*x_1); t_2=(b+a)/2+(h*x_2); t_3=(b+a)/2+(h*x_3); GL(h,c1,c2,c_1,c_2,c_3,t1,t2,t_1,t_2,t_3)

function y = GL(h,c1,c2,c_1,c_2,c_3,t1,t2,t_1,t_2,t_3) GL2=h*((c1*exp(t1))+(c2*exp(t2))); GL3=h*((c_1*exp(t_1))+(c_2*exp(t_2))+(c_3*exp(t_3))); fprintf('nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 2

titik \n=%f\n',GL2) fprintf('nilai integral fungsi f(x) dengan metode gauss-legendre 3

titik \n=%f\n',GL3)


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · dalam metode simpson menggunakan luas daerah di bawah...

Documents