pertaksamaan..... matimatika dasar

7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar

1/39

Kalkulus I


2/39

Pokok Bahasan

Sistem Bilangan Real

Pertaksamaan dan Nilai Mutlak

Fungsi Real Limit Fungsi

Kekontinuan Fungsi

Limit Tak Hingga

Bentuk tak tentu Limit FungsiAplikasi Turunan (Masalah maksimum,

minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan,kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)


3/39

Daftar Referensi

Martono, K.1999. Kalkulus.

Erlangga.Jakarta

Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8.Erlangga. Jakarta

Leithod,L. 1996. The Calculus with

Analytic Geometry.Harper and RowPublisher. New York.


4/39


5/39

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan bilanganbeserta sifat2nya.

Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, }

Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, }

Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { ,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yangdinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q 0

Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidakdapat dinyatakan ke bentuk rasional

Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan

bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.


6/39

Sistem Bilangan

Bil Real

Bil Rasional

Bil Bulat

Bil Asli


7/39

Bilangan Rasional dan Irrasional

Contoh bil rasional :

13 113, 25 ; 0, 044 desimal terputus

4 2502

0,6666....

3 desimal tak terputus, berulang28

2,54545....11

Contoh bil irrasional :

2 1, 4142135.....

3 1, 4422496.....desimal tak terputus tak berulang

3,1415926.....

e 2, 7182818.....


8/39

Sifat Bilangan Riil

1.Notasi dari himpunan bilangan riil adalah

dinyatakan sebagai garis lurus

x

dibacax(sembarang bilangan) anggota dari

Jika x dinyatakan sebagai suatu titik di garis

2.Urutan Pada Garis Bilangan Riil

Misalkan: x< y dibacaxberada di sebelah kiri y

atau x lebih kecil dari y x> y dibacaxberada di sebelah kanan y

atau y lebih kecil dari x


9/39

Sifat Urutan

Misalkan x, y, z

a. Trikhotomi : Jika x dan y suatu bilangan, maka

berlaku

x< y atau x = y ataux> y

1. b. Transitif: jikax< y dan y< z, makax< z

c. Penambahan: x< yx+z< y+z

d. Perkalian: untuk z bilangan positif , x< y xz< yz

untuk z bilangan negatif,x< y xz> yz

e. Relasi urutan dibaca kurang dari atau sama dengan

dibaca lebih dari atau sama dengan

x y y - x, positif atau nol


10/39

Sifat-sifat lain

Misalkan a,b,c , maka berlaku

a. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc

b. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc

c. Jika 0 < a < b, maka 1/a > 1/b


11/39

Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.

Penulisan Himpunan Selang Grafik

{x| a < x < b} (a,b)

{x| a x < b } [a, b)

{x | a < x b } (a, b]

{x| a x b } [a, b]

{x | x b } (-, b]

{x | x < b } (-, b)

{x | a x } [a, +)

{x | a < x } (a, +)

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a


12/39

Pertaksamaan

Bentuk Umum

Pertaksamaan :banyaksukuDCBA

xD

xC

xB

xA,,,;

)(

)(

)(

)(

Himpunan semua bilangan realxyang

memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan

ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan

yang benar)


13/39

Prosedure Baku menyelesaikan

pertaksamaan adalah :

1. Ubahlah bentuk menjadi :

dengan P dan Q adalah suku banyak

2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/ataukuadrat definit positif

3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis

bilangan

4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan

dalam bentuk selang

0)(

)(

xQ

xP


14/39

Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah

mencari semua himpunan bilangan real yang

membuat pertidaksamaan berlaku.Himpunan bilangan real ini disebut juga

Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0)(

)(

xQ

xP


15/39

Pertidaksamaan

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan

Menyamakan penyebut dan menyederhanakan

bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan

penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan

menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut padagaris bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)

pertidaksamaan di setiap selang bagian yang

muncul


16/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaian53213 x

352313 x

8216 x48 x

84 x

8,4Hp =4 8

1


17/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaian8462 x

248 x

248 x842 x

22

1

x

2,2

1

22

1

Hp

2


18/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaian0352 2 xx

0312 xx

Titik Pemecah (TP) :21x dan 3x

3

++ ++--

21

3

Hp =

3,2

1


19/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaian637642 xxx

xx 7642 6376 xxdan

4672 xx dan 6637 xx

4

109 x 010 xdan

9

10x 010 xdan

9

10x dan 0x


20/39

Hp =

,09

10,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

9

10,0


21/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaian13

2

1

1

xx

0

13

2

1

1

xx

0131

2213

xx

xx

5.

0

1313

xx

x

TP : -1,3

1, 3

3

++ ++--

-1

--

3

1

Hp =

3,

3

11,


22/39

Contoh :

Tentukan Himpunan Penyelesaianx

x

x

x

32

1

032

1

x

x

x

x

032

231

xx

xxxx

0

32

322 2

xx

xx

6.


23/39

Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilai

Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu

positif, Jadi TP : 2,-3

Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2

-- ++ --

,23,Hp =


24/39

Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari bilangan realx, ditulis |x|,

didefinisikan sebagai berikut :

;||

0,

0,

xbilax

xbilaxx


25/39

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. Untuk setiap bilangan realxberlaku

a) |x| 0

b) |x| = |- x|

c) - |x| x |x|

d) |x|2 = |x2| = x2

2. Untuk setiap bilangan realxdan y

berlaku :a) |x| = |y| x = y x2 = y2

b) |x y | = |y x |


26/39

Sifat-sifat Nilai Mutlak

3. Jika a 0, makaa) |x| a -a x a x2 a

b) |x| a x a atau x - a x2 a2

4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiapbilangan real x dan y berlaku :

a) |x + y| |x| + |y|

b) |xy| |x| + |y|

c) |x| - |y| |x y |

d) | |x| - |y| | |x y |


27/39

Sifat sifat nilai mutlak

5. Untuk setiap bilangan real x dan y

berlaku:

a) |xy| = |x| |y|

b) |x/y| = |x| / |y|; y 0


28/39

Pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutlakx (|x|) didefinisikan sebagai

jarakx dari titik pusat pada garis bilangan,

sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

0,

0,

xx

xxx


29/39

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x

2xx

axaaax 0,

axaax 0, atau ax yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

yxyx

1

2

3

4

5

yxyx


30/39

Soal Latihan

5432 xx

22212

xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 xx

1

2

3

xx

x

1

24

2

4

3

122

x

x

x

x

5

23 xx6


31/39

FUNGSI

Definisi

Fungsi fadalah suatu aturan

korespodensi yang menghubungkan tiapobyekxdalam suatu himpunan (daerahasal) dengan sebuah nilai unik (tunggal)f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan

nilai yang disebut daerah hasil fungsitersebut.


32/39

Jenis jenis Fungsi

Fungsi linier

Fungsi kuadrat

Fungsi trigonometri

Fungsi eksponential

Fungsi logaritma


33/39

Fungsi linier

Fungsi linear memiliki gambar grafik

sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:

y = f(x) = a1x + a0; a1 0

contoh : y = 4x + 3

a1 disebut gradien atau koefisien

kemiringan


34/39

Fungsi kuadrat

Grafik bentuk kuadrat berupa parabola,

dimana bentuk rumusnya adalh:

y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 0

Contoh : y = x2 4x + 3


35/39

Fungsi Eksponential

Persamaan umum fungsi eksponen :

y = f(x) = ax; a > 0, a 1


36/39

Fungsi Logaritma

Fungsi ligaritma didefinisikan dengan

persamaan :

y = f(x) = logax , a > 0 , a 1

Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan

merupakan invers dari fungsi eksponen.


37/39

Operasi Fungsi

1. Jumlah dan Selisih

Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :

(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f g) (x) = f(x) g(x)

catatan :

Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan daridaerah asal f dan g


38/39


39/39

Komposisi Fungsi

3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua

fungsi yang berurutan artinya fungsi yang

kedua dioperasikan setelah setelah fungsiyang pertama bekerja.

Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (gf)

Jadi (gf) (x) = g (f(x)) dan

(f g) (x) = f(g(x))

pertaksamaan..... matimatika dasar

Documents