persamaan schrodinger

PERSAMAAN SCHRODINGER

M E KA N I KA KU A N T U M

Nurhidayah,S.Pd, M.Sc


Dasar dari mekanika kuantum

energi itu tidak kontinyu, tapi diskrit berupa paket atau kuanta.

Level-level mekanika kuantum Level dasar : mekanika gelombang dirintis oleh

Schrodinger Level menengah: Mekanika tranformasi oleh

Dirac Level lanjut: Mekanika kuantum Relativistik


LATAR BELAKANG DAN BUKTI EMPIRIS

Kegagalan teori klasik dalam menjelaskan sifat dualisme gelombang : radiasi benda hitam, efek fotolistrik, efek compton, difraksi elektron oleh kisi atom

Kegagalan elektrodinamika klasik dalam menjelaskan kestabilan atom dan molekul


PERBEDAAN MEKANIKA KUANTUM DAN MEKANIKA KLASIK

Daerah makro (>µm) sebelum abad 20

Daerah mikro(<µm) sesudah abad 20

1. Semua observabel(besaran fisis) dapat diukur secara pasti (=0)

1. Tidak semua observabel dapat diukur secara serentak/ pasti

2. Perkalian observabel yang berkomutasi

2. Perkalian observabel tak berkomutasi karena observabel diwakili oleh operator

3. Diperlukan ruang dimensi berhingga (N)

3. Diperlukan ruang berdimensi tak hingga

4. Bilangan real saja perlu untuk deskripsikan sistem

4. Diperlukan bilangan komplek untuk mendeskripsikan sistem

5. Konsep lintasan partikel adalah nyata

5. Konsep lintasan partikel tidak mungkin lagi dipertahankanSetiap sistem fisis dinyatakan dengan Fungsi

Gelombang


FUNGSI GELOMBANG ()

1. Fungsi gelombang merupakan sebuah fungsi matematika

2. Fungsi gelombang mengandung semua informasi yang mungkin diketahui tentang lokasi dan gerak dari partikel

3. Jika sebuah fungsi gelombang memiliki nilai yang besar, maka semakin besar kemungkinan menemukan partikel pada posisi tersebut. Jika memberikan nilai 0, maka tidak ada kemungkinan untuk menemukan partikel pada posisi tersebut

4. Perubahan fungsi gelombang yang lebih cepat dari satu tempat ke tempat lain membutuhkan energi kinetik partikel yang lebih besar


PERSAMAAN SCHRODINGER

Hukum NewtonMenuliskan persamaan dan memecahkan persamaan dengan manipulasi matematika belaka

Mekanika Kuantum

Persamaan utama harus dipecahkan dengan suatu persamaan diferensial orde dua

Persamaan Schrodinger

(Erwin Schrodinger)

Fungsi gelombang


Kriteria Kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan

energi

dibatasi pada keadaan tak relativistik, maka

E bukan energi massa relativistik Taat azas terhadap hipotesis de Broglie

Persamaan harus “berperilaku baik” dalam pengertian matematika (linear dan bernilai tunggal)

K V E

221

2 2pK mv m

2 2

2 2p kK m m


22

2 2 2

2 2 ( )d m mk K E Vdx

2 2

22d V E

m dx

Persamaan Schrodinger

Tak gayut Waktu 1-dimensi

Jika V(x) adalah energi potensial dari partikel, yang tergantung pada posisi (x)

Jsxh 341005457.12

Modifikasi konstanta Planck (h)


Solusi untuk Persamaan Schrodinger

gayut Waktu 1-dimensi

, i tx t x e

denganEh


Pernyataan persoalan fisika klasik yang setara bagi mekanika kuantum

Apabila sebuah benda bergerak melewati perbatasan dua daerah dimana bekerja gaya , maka perilaku gerak dasar dari benda dapat dicari

potensial hukum kedua Newton kedudukanDengan memecahkan persamaan Schrodinger fungsi gelombang

kecepatanSelalu kontinyu pada daerah perbatasan, dan bahwa turunan d/dx

gaya juga kontinu apabila tetap berhingga. perubahan potensial


PROBABILITAS DAN NORMALISASI

Probabilitas : Jumlah dari semua kemungkinan atau keboleh jadian atau peluangProbabilitas untuk menemukan partikel sistem fisis pada suatu titik tertentu

2P x dx x dx

Rapat Probabilitas (probabilitas per satuan panjang dalam ruang 1

dimensi)


Probabilitas untuk menemukan partikel sistem fisis antara x1 dan x2

2 2

1 1

2x x

x x

P x dx x dx

Probabilitas untuk menemukan partikel sistem fisis di suatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 %

21x dx

Syarat Normalisasi

NORMALISASI FUNGSI GELOMBANG

Fungsi gelombang yang ternormalisasi N, kemungkinan partikel untuk berada pada daerah dx senilai dengan (N*)(N)dx.

Jumlah dari semua kemungkinan (probability) pada semua tempat harus bernilai 1

21

*

*2

)(

1

1

dxN

dxN


NORMALISASI

1* dx

1* dxdydz

1* d dxdydzd

ddrdrd

rzryrx

sin

cossinsincossin

2

Koordinat Sperik


OPERATOR DAN OBSERVABLES

Operator: suatu instruksi matematis yang apabila dikenakan/ atau dioperasikan pada suatu fungsi, maka fungsi tersebut akan berubah menjadi fungsi lain.


Contoh

ˆ dikenakan terhadap fungsi,maka

ˆ , ,

Ot

O x t x tt


Persamaan Schrodinger :

)(2 2

22

xVdxd

mH

EH

H merupakan operator, yang sering digunakan untuk persamaan gelombang

H adalah Operator HAMILTONIAN

Operator : wakilan dari sistem observabel (besaran fisis)

OPERATOR

Operator momentum linear, pada sumbu x:

pdxd

i


NILAI DAN FUNGSI EIGEN

F adalah fungsi, adalah operator dan adalah konstanta

Nilai adalah Nilai Eigen dari operator

Fungsi f adalah Fungsi Eigen



BEBERAPA PENERAPAN

1. Partikel bebas

Tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruangF=0, V(x)=tetapan all x

2 2

2

22

2

0

d2 d

dd

V

Em x

atau

kx

dimana 22

2mEk

solusi sin cosx A kx B kx


Energi yang diperkenankan

2 2

2kEm

Karena pemecahan tidak memberi batasan pada k, maka energi partikel diperkenankan memiliki semua nilai

Energi tidak terkuantisasika

n


1. Partikel dalam Sebuah Kotak ( 1 dimensi)

To To

V= V= 0 V=

X=0 X=L

0 0

0,

V x x L

x x L

Sumur Potensial Tak Hingga


Bila V= 0

sin cos 0x A kx B kx x L

pada X=0, untuk x<0, =0, maka

0 sin 0 cos 0

0

A B

B

pada X=L, untuk x>L, =0, maka sin cos

oleh karena 0maka sin 0sin 0

,2 ,3 ,1,2,3,

L A kL B kL

BA kL

kLkLkL n n

Sederetan gelombang

berdiri deBroglie


Karena nilai tertentu yang diperkenankan, maka hanyalah nilai-nilai tertentu E yang dapat terjadi Energinya Terkuantisasi

2 2 2 2 2

22 2k nEm mL

20E n E


Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak berenergi En2

sin nn

mEA x

Tetapan A??

2 2

0

2

sin 1

2

2

L nA xdxL

LA

sehingga

A L

Normalisasi


Maka pemecahannya

2 sin 1,2,3,nx x nL L


CONTOH SOAL

Sebuah elektron terperangkap dalam suatu daerah satu dimensi sepanjang 1,0x10-10m (diameter khas atomik).a) Berapa banyak energi yang harus dipasok untuk

mengeksitasikan elektron dari keadaan dasar ke keadaan eksitasi pertama

b) Pada keadaan dasar, berapakah probabilitas untuk menemukan elektron dalam daerah dari x= 0,090x10-10m hingga 0,110x10-10m?

c) Pada keadaan dasar, berapakah probabilitas untuk menemukan elektron dalam daerah dari x= 0 m hingga 0,250x10-10m?

persamaan schrodinger

Documents