Persamaan Kuadrat dan Sifat PerkalianNol

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentukax2+bx+c= 0, dengana,b, dancadalah bilangan real, dana 0. Bentuk tersebut disebut sebagaibentuk standardari persamaan kuadrat. Bentuk standar tersebut memiliki suku-suku yang derajatnya turun secara terurut dan persamaannya sama dengan nol.Persamaan KuadratSuatu persamaan kuadrat dapat ditulis ke dalam bentuk ax2+ bx + c, di mana a, b, c bilangan real, dan a 0.Dalam persamaan kuadrat,adisebut sebagai koefisien utama,bdisebut sebagai koefisien suku linear, dancdisebut sebagai konstanta. Semua persamaan kuadrat berderajat dua, tetapi dapat memiliki satu, dua, atau tiga suku. Persamaanp2 36 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan dua suku, di manaa= 1,b= 0, danc= 36.Contoh 1: Menggolongkan Suatu PersamaanTentukan apakah persamaan-persamaan berikut merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Jika iya, tentukan koefisien-koefisiena,b, danc.1. 3x2 15 = 02. z3+ 3z2+ 3z+ 1 = 03. 0,3x2= 0PembahasanPersamaan pada soal nomor 1 merupakan persamaan kuadrat dengana= 3,b= 0, danc= 15. Akan tetapi persamaan pada nomor 2 berderajat 3, artinya variabel pada persamaan tersebut pangkat tertingginya 3. Sehingga persamaan pada soal nomor 2 bukan persamaan kuadrat. Seperti dengan soal nomor 1, persamaan pada nomor 3 merupakan persamaan kuadrat, dengana= 0,3,b= 0, danc= 0.Pada persamaan kuadrat dan persamaan polinomial lainnya, pada umumnya kita tidak dapat memisahkan variabel ke dalam satu ruas saja, karena variabel-variabelnya memiliki pangkat yang berbeda. Sehingga kita harus menyelesaikannya dengan menggunakan pemfaktoran dan menerapkansifat perkalian nol.Sifat Perkalian NolJika A dan B adalah bilangan real atau bentuk aljabar untuk bilangan real, dan A B = 0, maka A = 0 atau B = 0.Dengan kata lain, jika hasil kali dari sembarang 2 faktor (atau lebih) sama dengan nol, maka paling sedikit ada satu faktor yang sama dengan nol. Kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelesaikan persamaan dengan derajat yang lebih besar setelah menuliskannya ke dalam perkalian dari persamaan dengan derajat lebih kecil. Seperti pada persamaan linear, nilai yang dapat menyebabkan suatu persamaan menjadi benar disebut sebagaiselesaianatauakar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat Perkalian NolSelesaikan persamaan-persamaan berikut dengan menuliskannya ke dalam perkalian faktor-fakornya kemudian gunakan sifat perkalian nol.1. 3x2= 8x2. 5x+ 2x2= 33. 9x2= 30x 25Pembahasan1. Kita tulis persamaan 3x2= 8xke dalam bentuk standar, kemudian kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut.2. 3. Sehingga,x= 0 atau 3x 8 = 0. Karena 3x 8 = 0 maka kita dapat memperolehx= 8/3. Jadi, selesaian-selesaian dari 3x2= 8xadalahx= 0 ataux= 8/3.4. Persamaan 5x+ 2x2= 3 dapat ditulis ke dalam bentuk 2x2+ 5x 3 = 0. Selanjutnya kita selesaikan persamaan kuadrat tersebut.5. 6. Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalahx= 1/2 ataux= 3.7. Persamaan 9x2= 30x 25 dapat ditulis menjadi 9x2 30x+ 25 = 0. Sehingga kita memperoleh,8. 9. Sehingga persamaan tersebut hanya memiliki satu selesaian, yaitux= 5/3, yang juga disebut sebagai akar berulang.Dan akhirnya, pada pembahasan ini kita telah membahas mengenai pengertian persamaan kuadrat dan sifat perkalian nol. Selain itu kita juga telah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan menggunakan sifat perkalian nol untuk menentukan akar/selesaian dari persamaan tersebut.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sifat AkarKuadrat

Persamaanx2= 25 dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Bentuk standar darix2= 25 adalahx2 25 = 0 yang dapat difaktorkan menjadi (x 5)(x+ 5) = 0. Sehingga, solusi-solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalahx= 5 ataux= 5, yang merupakan bilangan positif dan negatif dari akar kuadrat 25. Hasil ini memberikan suatu metode untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang berbentukX2=k, yang selanjutnya disebutsifat akar kuadrat dari suatu persamaan.Sifat Akar Kuadrat dari Suatu PersamaanJika X merepresentasikan suatu bentuk aljabar dan X2= k, maka X = k atau X = k, atau juga dapat dituliskan X = kUntuk lebih memahami penggunaan metode ini dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, perhatikan contoh soal berikut.Contoh 3: Penggunaan Sifat Akar Kuadrat dari Suatu PersamaanGunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan untuk menyelesaikan masing-masing persamaan berikut.1. 9x2+ 12 = 132. x2 18 = 03. (x+ 1)2= 36Pembahasan1. Persamaan 9x2+ 12 = 13 tidak berbentukX2=k. Sehingga kita harus mengubah persamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk seperti itu.2. 3. Sehingga, selesaian dari persamaan 9x2+ 12 = 13 adalahx= 5/3 ataux= 5/3.4. BentukX2=kdarix2 18 = 0 adalahx2= 18. Sehingga,5. 6. Jadi, selesaian dari persamaanx2 18 = 0 adalahx= 33 atau x = 33.7. Persamaan (x+ 1)2= 36 sudah memiliki bentukX2=k. Sehingga,8. 9. Sehingga, selesaian dari persamaan (x + 1)2 = 36 adalah x = 6 1 = 5 atau x = 6 1 = 7.Untuk persamaan yang berbentuk (ax+b)2=k(seperti contoh 3), dapat juga diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Akan tetapi kita harus menulis pangkat dua binomial tersebut ke dalam ekspansi/bentuk panjangnya, kemudian menyederhanakan persamaan yang diperoleh agar ruas kanan sama dengan nol dan terakhir, kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut untuk menentukan selesaian-selesaiannya. Dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan, kita dapat menyelesaikan persamaan yang berbentuk (ax+b)2=ksecara lebih mudah.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan MelengkapkanKuadrat

Perhatikan persamaan kuadrat, (x 5)2= 24. Jika kita menuliskan kuadrat dari binomial tersebut menjadi bentuk panjangnya, kita memperolehx2 10x+ 25 = 24. Sehingga, apabila persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk standar maka akan menjadix2 10x+ 1 = 0, yang sangat sulit dipecah ke dalam perkalian faktor-faktornya karena faktor-faktor persamaan tersebut merupakan bilangan irasional. Dengan membalik proses di atas, kita akan mendapatkan strategi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Strategi tersebut selanjutnya disebut caramelengkapkan kuadrat. Perhatikan ilustrasi berikut.

Pada umumnya, setelah memindah konstanta ke ruas yang lain (lihat baris kedua), bilangan yang dapat melengkapi kuadrat dapat ditentukan dengan mengkuadratkan setengah dari koefisien suku linear: [1/2 (10)]2 = 25. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratDengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, selesaikanlahx2+ 13 = 6x.PembahasanKarenax2+ 13 = 6xtidak dalam bentuk standar, maka kita harus menuliskannya ke dalam bentuk standar terlebih dahulu.

Proses melengkapkan kuadrat dapat dilakukan terhadap semua persamaan kuadrat dengan koefisien suku-x2,a= 1. Jika koefisien dari suku-x2tidak 1, maka kita harus membagi persamaan tersebut dengana. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat.Melengkapkan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan KuadratUntuk menyelesaikanax2+bx+c= 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:1. Pindahkan konstantacke ruas kanan.2. Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x2,a.3. Hitung [1/2 (b/a)]2dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.4. Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.5. Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan KuadratDengan melengkapkan kuadrat, selesaikan 3x2+ 1 = 4x.PembahasanBentuk standar dari 3x2+ 1 = 4xadalah 3x2 4x+ 1 = 0. Sehingga,

Jadi, selesaian-selesaian dari persamaan 3x2+ 1 = 4xadalahx= 2/3 + 7/3 ataux= 2/3 7/3.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan RumusKuadrat

Pada pembahasan ini kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian dari persamaan kuadratax2+bx+c= 0. Sebelum itu, kita akan mencoba untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 2x2+ 5x+ 3 = 0. Perhatikan langkah-langkah dalam menyelesaikan 2x2+ 5x+ 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat berikut.

Sehingga diperoleh selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat di atas adalahx= 1 danx= 3/2. Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratax2+bx+c= 0.

Solusi-solusi dari persamaan kuadratax2+bx+c= 0 di atas selanjutnya disebut sebagairumus kuadrat, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat.Rumus KuadratJika ax2+ bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a 0, maka

atau dapat dituliskan menjadi,

CatatanPerlu diketahui bahwa nilaia,b, dancdiperoleh dari persamaan kuadrat yang ditulis ke dalam bentuk standar. Untuk 3x2 5x= 7,a= 3,b= 5, tetapic 7! Bentuk standar dari persamaan tersebut adalah 3x2 5x+ 7 = 0, sehingga nilaicdari persamaan tersebut adalah 7.Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus KuadratSelesaikan persamaan 4x2+ 1 = 8xdengan menggunakan rumus kuadrat. Nyatakan solusi-solusinya dalam bentuk eksak dan bentuk desimalnya (tiga angka di belakang koma). Ujilah salah satu selesaian eksaknya ke dalam persamaan.PembahasanPersamaan kuadrat 4x2+ 1 = 8xmemiliki bentuk standar 4x2 8x+ 1 = 0. Sehingga dari bentuk standar tersebut kita peroleha= 4,b= 8, danc= 1. Selanjutnya kita tentukan selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus kuadrat.

Selanjutnya kita uji salah satu selesaiannya, yaitux= 1 + 3/2 ke dalam persamaan.

Setelah kita uji, ternyata selesaian tersebut memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Diskriminan dari PersamaanKuadrat

Perhatikan bahwa Xmerupakan bilangan real jika dan hanya jikaX 0. Karena selesaian persamaan kuadrat memuat bentuk akar (b2 4ac), bentuk aljabarb2 4ac, yang disebutdiskriminan, akan menentukan sifat dan banyaknya selesaian/akar dari persamaan kuadrat yang diberikan.

Diskriminan dari Persamaan KuadratUntukax2+bx+c= 0, dengana 0,1. Jikab2 4ac= 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu selesaian bilangan real.2. Jikab2 4ac> 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan real.3. Jikab2 4ac< 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks.CatatanBilangan kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalama+bi, denganadanbbilangan real, dani= (1). Misalnya, 1 + (8) adalah bilangan kompleks karena 1 + 8 1 = 1 + 22i. Karena semua bilangan real dapat dinyatakan ke dalam bentuka+bi(denganb= 0), maka himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks.Dengan menganalisis secara lebih jauh mengenai diskriminan akan diperoleh beberapa sifat dari persamaan kuadrat tertentu. Jikaa,b, dancadalah bilangan-bilangan rasional dan diskriminannya merupakan bilangan kuadrat tidak nol, maka akan ada dua akar rasional dari persamaan tersebut. Atau dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Jika diskriminannya bukan bilangan kuadrat, maka akan ada dua akar yang sekawan. Dan jika diskriminannya nol, maka akan ada satu akar yang merupakan bilangan rasional, dan persamaan kuadratnya merupakan kuadrat dari binomial.Contoh: Menggunakan Diskriminan untuk Analisis SelesaianGunakan diskriminan untuk menganalisis persamaan-persamaan kuadrat berikut apakah memiliki akar bilangan real. Jika iya, nyatakan apakah akar-akar tersebut merupakan bilangan rasional atau irasional, dan apakah persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan atau tidak.1. 2x2+ 5x+ 2 = 02. x2 4x+ 7 = 03. 4x2 20x+ 25 = 0Pembahasan1. Persamaan 2x2+ 5x+ 2 = 0 memilikia= 2,b= 5, danc= 2. Sehingga,2. 3. Kita peroleh bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut merupakan bilangan kuadrat tidak nol. Maka persamaan tersebut memiliki 2 akar rasional dan dapat difaktorkan.4. Dari persamaanx2 4x+ 7 = 0 kita peroleha= 1,b= 4, danc= 7.5. 6. Karena 12 < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar bilangan kompleks dan tidak dapat difaktorkan.7. Persamaan kuadrat 4x2 20x+ 25 = 0 memilikia= 4,b= 20, danc= 25. Maka,8. 9. Karena diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar bilangan rasional dan dapat difaktorkan.Perhatikan kembali contoh (2) di atas. Diskriminan persamaan kuadrat pada contoh soal tersebut adalah 12, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks, yaitu

Akar-akar tersebut dapat dituliskan sebagaix= 2 + 3idanx= 2 3i, yang merupakan dua bilangan kompleks yang sekawan.

Penerapan Persamaan Kuadrat dalam KehidupanSehari-hari

Gerak suatu objek yang dilempar ke atas merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan rumush= 5t2+vt+k, denganhadalah ketinggian objek tersebut dalam meter,tadalah waktu dalam detik, danvadalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstantakmerepresentasikan ketinggian awal dari objek dari permukaan tanah. Untuk lebih memahami mengenai gerak objek yang dilempar ke atas, perhatikan contoh berikut.Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan KuadratSeorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah.

PembahasanDengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperolehh= 5t2+ 20t+ 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikant= 3 ke dalam persamaan tersebut.

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusih= 0 diperoleh,

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah adalah 4,28 detik.Contoh 2: Permasalahan Pelanggan Telepon GenggamDari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggamN(dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaanN= 17,4x2+ 36,1x+ 83,3, denganx= 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari2005 Statistical Abstract of the United States, Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta?PembahasanDari soal diketahui bahwaN= 17,4x2+ 36,1x+ 83,3 dan kita diminta untuk menentukan tahun ketika banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai 3.750 juta. Dengan kata lain, kita diminta untuk menentukan nilai 1995 +xketikaN= 3.750.

Karena waktu tidak pernah negatif, maka kita simpulkan bahwa 13,52 tahun setelah tahun 1995, yaitu tahun 2008, banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta.

Melukis Grafik Fungsi Kuadrat (BagianI)

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki satu variabel yang pangkat tertingginya adalah 2. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umumf(x) =ax2+bx+c, dengana,b,cbilangan real dana 0. Pada pembahasan ini akan ditunjukkan bagaimana cara melukis grafik fungsi kuadrat, khususnya grafik fungsif(x) =x2danf(x) = x2. Mengapa memilih fungsi-fungsi kuadrat tersebut? Karena fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi-fungsi kuadrat yang paling sederhana.Melukis Grafik Fungsif(x) =x2Sebelum melukis grafik fungsif(x) =x2, perlu diketahui bahwa semua fungsi kuadrat merupakan fungsi kontinu. Sehingga apabila dilukiskan grafik fungsinya, akan terbentuk grafik fungsi yang halus. Selain itu, fungsif(x) =x2merupakan fungsi genap, yaitu fungsi yang nilaif(x) =f(x). Grafik dari fungsi genap memiliki sumbu simetri pada sumbu-y. Berikut ini langkah-langkah dalam melukis grafik fungsif(x) =x2.1. Cacahlah titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsif(x) =x2. Karena grafik fungsi tersebut memiliki sumbu simetri pada sumbu-y, pilihlahx= 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3.2. 3. Lukislah titik-titik dengan koordinat (x,f(x)) pada koordinat Cartesius.4. 5. Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan kurva halus. Grafik yang terbentuk merupakan grafik fungsif(x) =x2.6. Selanjutnya akan dilukis grafik dari fungsif(x) = x2. Dengan langkah-langkah yang sama dengan melukis grafik fungsif(x) =x2di atas, melukis grafik fungsif(x) = x2dapat ditunjukkan oleh ilustrasi berikut.

Melukis Grafik Fungsi Kuadrat (BagianII)

Padaartikel sebelumnyatelah dibahas mengenai 2 grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yaitu grafikf(x) =x2danf(x) = x2. Bagaimana dengan grafik-grafik fungsi kuadrat lainnya? Seperti diketahui, bentuk umum dari fungsi kuadrat adalahf(x) =ax2+bx+c.Pada pembahasan ini akan ditunjukkan cara melukis grafik fungsi kuadrat yang memiliki nilaia= 1 (f(x) =x2+bx+c). Dalam melukis grafik fungsi kuadrat dengana= 1 dapat digunakan proses transformasi grafik fungsif(x) =x2. Berikut ini beberapa jenis grafik fungsi kuadrat yang merupakan hasil transformasi dari grafik fungsif(x) =x2.Grafik Fungsif(x) = (xp)2Grafik fungsif(x) = (xp)2,pbilangan real positif, merupakan hasil pergeseran/translasi grafikf(x) =x2ke kanansejauha. Apabila fungsif(x) =x2memiliki sumbu simetri pada sumbu-y, maka fungsif(x) = (xa)2memiliki sumbu simetri pada garisx=a. Misalkan untuk fungsif(x) = (x 2)2=x2 4x+ 4. Grafik ini merupakan hasil translasi grafikf(x) =x2ke kanan sejauh 2 satuan sehingga sumbu simetrinya adalahx= 2. Perhatikan gambar berikut:

Sedangkan grafik fungsif(x) = (x+p)2merupakan hasil pergeseran grafik fungsif(x) =x2ke kirisejauhpsatuan.Grafik Fungsif(x) =x2+qGrafik fungsif(x) =x2+q,qbilangan real positif, merupakan hasil translasi grafikf(x) =x2ke atassejauhqsatuan. Misalkanf(x) =x2+ 3. Grafik dari fungsi tersebut merupakan hasil translasi dari grafikf(x) =x2ke atas sejauh 3 satuan. Perhatikan gambar berikut.

Sedangkan grafik fungsif(x) =x2qmerupakan hasil translasi grafikf(x) =x2ke bawahsejauhqsatuan.Tips dan Trik Menggambar Grafik Fungsi KuadratDalam melukis grafik fungsi kuadrat yang berbentukf(x) =x2+bx+c, sebaiknya diubah dulu fungsi tersebut menjadi bentukf(x) = (xp)2+q. Misalkan: lukis grafik fungsif(x) =x2+ 6x+ 7. Fungsi kuadrat tersebut ekuivalen dengan fungsif(x) = (x+ 3)2 2. Sehingga grafiknya merupakan hasil translasi grafikf(x) =x2ke kiri sejauh 3 satuan, kemudian dilanjutkan ke bawah sejauh 2 satuan. Ilustrasi dari melukis grafik fungsi tersebut dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Melukis Grafik Fungsi Kuadrat (BagianIII)

Pada artikel Melukis Grafik Fungsi Kuadrat Bagian I dan Melukis Grafik Fungsi Kuadrat Bagian II telah dibahas bagaimana melukis grafik fungsi kuadrat yang berbentukf(x) =x2,f(x) = x2, danf(x) =x2+bx+c, denganb,cadalah bilangan real. Pada pembahasan ini akan ditunjukkan bagaimanamelukis grafik fungsi kuadrat yang berbentukf(x) =ax2+bx+c, denganabilangan real bukan nol (a 0) dan bukan satu (a 1).Sebelum membahas bagaimana melukis grafik fungsi kuadrat yang dimaksud, akan dibahas mengenai topikmelengkapkan kuadrat. Bentuk fungsi kuadratf(x) =ax2+bx+cdapat diubah bentuknya menjadi bentuk lain, dengan teknik melengkapkan kuadrat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari fungsi di atas dapat diketahui dengan mudah bahwa fungsi tersebut memiliki titik ekstrim, (xp,yp). Titik ekstrim dapat berupa nilai maksimum ataupun maksimum suatu fungsi kuadrat tersebut, tergantung nilaia. Apabilaapositif maka titik tersebut adalah nilai minimum, apabilaanegatif maka titik tersebut merupakan nilai maksimum. Titik ekstrim dapat ditentukan apabila yang dikuadratkan pada fungsi kuadrat di atas (setelah diubah dengan melengkapkan kuadrat) adalah nol. Mengapa? Karena bentuk kuadrat memiliki nilai minimum nol.

Grafik Fungsi Kuadratf(x) =ax2+bx+c.Untuk melukis grafik fungsi kuadratf(x) =ax2+bx+c, terlebih dahulu cari titik ekstrimnya kemudian cari 2 titik lainnya yang letaknya di kanan dan kiri titik ekstrim tersebut. Setelah itu, plot ketiga titik tersebut pada koordinat Cartesius dan hubungkan dengan kurva halus. Misalkan akan dilukis grafik fungsif(x) = 2x212x+ 17. Grafik fungsi tersebut memiliki nilaia= 2,b= 12, danc= 17. Sehingga titik ekstrimnya adalah (3, 1). Dengan substitusix= 0 danx= 6 ke fungsi kuadrat tersebut diperoleh 2 titik lainnya adalah (0, 17) dan (6, 17). Berikut adalah grafik dari fungsif(x) = 2x212x+ 17.

Sem

Persamaan Parabola

Seperti pada elips dan hiperbola, banyak sekali aplikasi parabola yang bertumpu pada definisi analitisnya daripada bentuk aljabarnya. Aplikasi-aplikasi tersebut, misalkan pembangunan teleskop radio dan perusahaan lampu senter, menggunakan definisi analitis parabola dalam penentuan lokasi fokus dari parabola tersebut. Berikut ini definisi analitis dari suatu parabola.Definisi ParabolaDiberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0,p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaany= p, sehingga semua titik padaDdapat dituliskan sebagai (x, p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwad1=d2, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebutpersamaan bentuk fokus-direktriksdari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalahy = 4px.Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-DirektriksSuatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut.Contoh 1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu ParabolaTentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaanx = 12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.PembahasanKarena hanya suku-xyang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilaip:

Karenap= 3 (p< 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, 3) dan direktriksnyay= 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6 dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikanx= 6 danx= 6, dan menghasilkan titik-titik (6, 3) dan (6, 3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garisx= 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebuttali busur fokusdari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal darifke (x,y) adalah 2p. Karenad1=d2, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|.Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x h)2 = 4p(y k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).Contoh 2: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu ParabolaTentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya:x 6x+ 12y 15 = 0.PembahasanKarena hanya suku-xyang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalamxdan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran.

Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu,semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p= 12, makap= 3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, 3), dan direktriksnyay= 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilaixdengan 3 dan nilaiydengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, 3 + 2) = (3, 1), dan direktriksnya adalahy= 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2p| = 6 satuan (karena |4p| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (3, 1) dan (9, 1).

Dalam banyak kasus, kita perlu untuk menentukan persamaan dari parabola ketika hanya beberapa informasi yang diketahui, seperti yang dicontohkan oleh contoh 3 berikut.Contoh 3: Menentukan Persamaan dari suatu ParabolaTentukan persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya.PembahasanKarena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang dimaksud merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (xh) = 4p(yk). Jarakpdari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah danp= 3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah |2p| = |2(3)| = 6, memberikan titik-titik (2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperolehh= 4 dank= 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (x 4) = 12(y 4), dengan direktriksy= 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garisx= 4.

Parabola dan Karakteristiknya

Pernah dibahas bahwa grafik dari suatu fungsi kuadrat adalah suatu kurva yang berbentuk parabola (Melukis Grafik Fungsi KuadratBagian I,Bagian II, danBagian III). Parabola sebenarnya adalah anggota terakhir dariirisan kerucut, yang juga telah didiskusikan pada pembahasan sebelumnya, yang dapat diperoleh dengan mengiris suatu kerucut dengan suatu bidang. Jika bidang yang mengiris kerucut sejajar dengan garis pelukis dari kerucut tersebut, maka irisan antara bidang dan kerucut membentuk suatu parabola. Pada pembahasan ini, kita akan menentukan karakteristik dari parabola vertikal dan horizontal.Parabola-parabola VertikalPada umumnya, pembahasan mengenai parabola diawali dengan pengenalan parabola-parabola dengan suatu sumbu vertikal, yang didefinisikan oleh persamaany=ax2+bx+c. Tidak seperti keluarga irisan kerucut lainnya, persamaan parabola tersebut merupakansuatu persamaan berderajat dua dalam xdan merupakan suatu fungsi. Karakteristik dari parabola-parabola yang demikian dapat dirangkum sebagai berikut.Karakteristik Parabola VertikalUntuk suatu persamaan berderajat dua yang memiliki bentuky=ax2+bx+cmemiliki grafik berupa parabola yang memiliki karakteristik-karakteristik sebagai berikut:1. Terbuka ke atas jikaa> 0 dan akan terbuka ke bawah jikaa< 0.2. Grafiknya memotong sumbu-ydi titik (0,c) (substitusix= 0).3. Perpotongan grafik dan sumbu-xdapat ditentukan dengan substitusiy= 0 kemudian selesaikan persamaannya.4. Sumbu simetri:x= b/2a.5. Titik puncak: (b/2a,y)

Parabola-parabola HorizontalAnalogi dengan parabola-parabola vertikal, grafik dari parabola horizontal bisaterbuka ke kiri atau ke kanan. Dengan mengganti variabelxdanypada persamaan umum fungsi kuadrat, kita akan mendapatkan parabolax=ay2+by+c, yang grafiknya simetris terhadap suatu sumbuy=k. Dari sini, kita mendapatkan bahwa sumbu simetrinya merupakan suatu garis horizontal dan kita dapat menentukan perpotongannya dengan sumbu-y(jika ada) dengan mensubstitusixdengan bilangan nol kemudian menyelesaikan persamaannya dengan faktorisasi atau dengan menggunakan rumus kuadrat (rumusabc). Yang perlu diperhatikan, walaupun grafiknya sama-sama parabola, tetapi grafik tersebut bukan merupakan suatu grafik fungsi.Karaktersitik Parabola HorizontalUntuk suatu persamaan berderajat dua yang berbentukx=ay2+by+cmemiliki grafik berupa parabola dengan karakteristik sebagai berikut:1. Terbuka ke kanan jikaa> 0, terbukan ke kiri jikaa< 0.2. Grafiknya memotong sumbu-xdi titik (c, 0) (substitusi 0 ke dalamy).3. Perpotongan grafik dan sumbu-yditentukan dengan substitusix= 0 kemudian selesaikan persamaannya.4. Sumbu simetri:y= b/2a.5. Titik puncak: (x, b/2a)Contoh 1: Menggambar suatu Parabola HorizontalGambarlah grafik dari relasi yang memiliki persamaanx=y2+ 3y 4, kemudian nyatakan domain dan range dari relasi tersebut.PembahasanKarena persamaan tersebut memiliki suatu suku kuadrat tunggal dalamy, maka grafiknya berupa parabola horizontal. Karenaa> 0 (a= 1), maka parabola tersebut terbuka ke kanan, dan memotong sumbu-xdi titik (4, 0). Selanjutnya kita tentukan titik potong dari parabola tersebut dengan sumbu-ydengan substitusi 0 ke dalamx.

Diperolehy= 4 dany= 1. Sehingga titik potong parabola dengan sumbu-yadalah (0, 4) dan (0, 1). Sumbu simetrinya adalahy= 3/(2 1) = 1,5. Dengan substitusiy= 1,5 ke dalam persamaan diperolehx= 6,25. Sehingga koordinat titik puncaknya adalah (6,25, 1,5). Sehingga grafik dari persamaanx=y2+ 3y 4 adalah sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat menentukan bahwa domain dari relasi tersebut adalah {x|x 6,25} dan rangenya adalah semuayanggota bilangan real.Serupa dengan parabola vertikal, persamaan dari parabola horizontal dapat dituliskan sebagai suatu transformasi:x=a(yk)2 +hdengan melengkapkan kuadrat. Dalam kasus ini, pergeseran vertikalnya sejauh k satuanberlawanan dengan tanda, dan pergeseran horizontalnya sejauhhsatuan searah dengan tandanya.Contoh 2: Menggambar suatu Parabola Horizontal dengan Melengkapkan KuadratGambarlah grafik dari persamaanx= 2y2 8y 9 dengan melengkapkan kuadrat.PembahasanDengan melihat persamaan tersebut, kita dapat menentukan bahwa grafik dari persamaan tersebut berupa parabola horizontal yang terbuka ke kiri dan memotong sumbu-xdi titik (9, 0). Dengan melengkapkan kuadrat kita peroleh,

Dari bentuk transformasi tersebut kita mendapatkan bahwa titik puncaknya adalah (1, 2) dan sumbu simetrinyay= 2. Dari informasi-informasi tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa grafik persamaan tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, lebih jelasnya dengan substitusix= 0 kita peroleh,

Persamaan terakhir di atas menunjukkan bahwa persamaan aslinya tidak memiliki akar. Dengan menggunakan sifat kesimetrian, titik (9, 4) juga terletak pada parabola. Sehingga grafik dari persamaanx= 2y2 8y 9 dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari pembahasan di atas kita telah mendiskusikan tentang karakteristik dari parabola vertikal maupun horizontal. Pada contoh 1, kita telah berlatih dalam menggambar grafik dari parabola horizontal dengan menerapkan karakteristiknya. Selain itu, kita juga telah menggunakan transformasi dalam menggambar suatu parabola jika diketahui persamaannya dengan melengkapkan kuadrat.