Prosiding Pertemuan llmiah Sains Materi 1//Serpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

PERPINDAHAN DAN GAYA SUATU SILINDER BERDINDING TIPISDAN TERBUAT DARI BAHAN KOMPOSIT YANG DITINJAU

DENGAN TEORI MOMEN LENTUR, SEMI MOMEN LENTUR DANMEMBRAN536

Darwin SebayangLembaga Penerbangan clan Antariksa Nasional, JI, Pemuda Persil No.1, Jakarta

ABSTRAK

PERPINDAHAN DAN GAYA SUATU SILINDER BERDINDING TIPIS DAN TERBUAT DARI BAHANKOMPOSffYANG DITINJAU DENGAN TEORI MOMEN LENTUR, SEMI MOMEN LENTUR DAN MEMBRANSilinder merupakan konstruksi yang banyak dijumpai pada konstruksi roket atau pesawat. Di sini ditunjukkan pemacuanteknologi berupa penyelesaian persamaan silinder dengan menggunakan idealisasi dengan menggunakan teori membran,semi momen lentur dan momen lentur dari silinder yang terbuat dari bahan komposit. Penyelesaiannya dilakukan denganmenggunakan metode perpindahan matrik, di mana integrasi dalam arah keliling digunakan deret Fourier dan integrasi dalam arahmemanjang digunakan deret Lie-Magnus. Pada contoh pemakaian ditunjukkan keuntungan masing-masing teori.

ABSTRACT

DEFLECTION AND FORCE OF A THIN WALLED COMPOSffE CYLINDER BASED ON BENDING THEORY,SEMI BENDING THEORY AND MEMBRAN THEORY. The cylinder with composite material is widely used in rocket andaerospace construction. To analyse the stress due to load, it is required with the simple and accurate method. This paper showsthe derivation of the cylinder equation using the idealisation with the help of the bending theory, semi bending theory andmembran theory. The partial equation of that cylinder based on the cylinder equation were derived. The solution to the equationwas done using the transfer matrix method in which the integration in the circumferential direction with the Fourier Series and theintegration in the axial direction was done using the Lie-magnus Series. In the application of this method, it will be shown the meriteach theory

1. PENDAHULUANdigunakan oleh Dong, Pister daD Taylor [3] untukmenyelesaikan masalah statik daD stabilitas. Reuter [4]menggunakan teori ini untuk menghitung teganganyang terjadi akibat tekanan dalam daD termis.Berdasarkan persamaan Donnel, Jones daD Morgen [5]menyelesaikan masalah stabilitas daD getaran sedang-kan Jones daD Henneman [6] meneliti pengaruhdeformasi tekukan awal (prebuckling) terhadaptekukan suatu silinder. Bootern daD Tennyson [7]menyelesaikan stabilitas silinder yang terbuat daribahan anisotrop daD tidak sempurna dengan meng-gunakan rumus Airy juga dengan persamaan Donnel.Dengan menggunakan persamaan yang sarna UemuradaD Fukunawa [8] menyelidiki kondisi tegangan dalamsuatu tangki akibat tekanan dalam. Whitney [9] jugamenggunakan persamaan Donnel untuk menyelesaikanmasalah stabilitas Cheng daD Ho [10] mengem-bangkan persamaan dasar untuk silinder yang terbuatdari bahan yang beriapis-lapis dengan bantuanpersamaan Flugge. Sun daD Chin [11] menganalisisstruktur dengan teori petal Karman. Ambartsumyan[12] meninjau beban mekanis dengan leon membran.

Untuk mengembangkan teori silinder makadikenal dengan teori silinder berdinding tebal at.'lUberdinding tipis. Sebagai batasan antara krona silinderditentukan berdasarkanpemandingan leba! (h) denganjari R, misalnya menurut Novozzilov [13]

Suaul silinder mernpakan struktur yang banyakdigunakan pacta teknik penerbangan dan Antariksa.Disamping itu kegunaannya dapat dilihat juga padaperkapalan, pacta konstruksi elemen mesin daDbangunan sipil lalnnya. Akhir-akhir ini bahan seratsebagai bahan konstrnksi sangat banyak digunakankarena sesuai dengan sifatnya, yaitu kekuatan danstabilitasnya dapat dioptimalkan. Suatu strnkturdisebut komposit. bila dia terdiri dari dua atau lebihlapis. Struktur iul dibuat dari bahan yang merniliki suatyang berlainan dari berbagai arab. Untuk menghitungtegangan pacta Laminat maka umumnya dilakukandengan teori Kontinum. Bert [I) meninjau persamaandasar dengan menggunakan Persamaan Vlasov-StavSkyyang menganggap silinder lemah geser. Whitney [2)menggunakan teori silinder Vlasov-Ambartsumyanuntuk menghitung tegangan pacta suatu silinder yangterbuat dari struktur dari serat dengan meninjautegangan normal dan perubahan bentuk normal.Dengan meninjau hipotesis pertama dan kedua daTiKirschoff dihasilkan persamaan yang lebih sederhanamisalnya persamaan Donnel atau Flugge. PersamaanDonnel banyak digunakan karena mudah daD seder-hana. Tetapi barns diingat bahwa persamaan Donneluntuk bilangan Fourier lebih besar dari empat akanmenghasilkan hasil yang salah. Persamaan Donnel ini

Pro.\"iding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

n hk

Nox= L jtOXkk=lhk-1

dz(2.1.4)

(2. 5)

(2.1.6)

n hkQe= r Jtezk dz

k= I hk-l

Momen JX'-nampang atau aliran Momcn:

n hkMx= r J

k= I hk-1 (2 .7)

n hk

Me= L J O"ekk=lhk-1

zdz(2.1.8)

(2.1.9)

n hkMox = r J tOXk zdz

k=lhk-1(2 10)

2.2.

Perubahan bentuk penampang tengah dengankondisi tidak berubah bentuk berbunyi sebagai berikut:

&x = u,x

V,9 +W

(2.2.1 )

Untuk kelengkungan permukaan tegangan akibatperubahan akibat lentur daIam arab memanjang K x 'perubahan bentuk dalam arab tegak lurus KO daDperubahan bentuk akibat torsi KxO. Dalam hal inidiambil kelengkungan permukaan berdasarkanDonnel-Muchtari-Vlasov [18] :

2. METODOLOGI DAN TEORI

2.1 Definisi aliran ~aya dan aliran momen

n hk ( Z)Nx= L J O'Xk 1+- dzk=1 hk-1 R

(2.2.2)(2. 1)

n hkNo= L jao dz

kk= 1 hk-1

(2.1.2) 2.3. Persamaan kesetimbangan

Berdasarkan anggapan yang berlaku pactaidealisasi silinder dengan teori momen lentur, semi rnomenlentur daD membran, maka ditunjukkan persamaan

n hk ( )Nxo= L J txOk I+~ dzk=lhk-1 R (2. 3)

341Dan.,in .\'ehayang

Pada toori silinder yang berdinding tipis beberapabesaran yang berlaku pada silinder berdinding tebaldiabaikan. Anggapan yang berlaku pada penurnnanpersamaan dasar silinder berdinding tipis yaitu yangdikenal dengan anggapan Kirschoff. AnggapanKirschotI yang pertama menganggap bahwa tegangannormal yang tegak lurns terhadap permukaan tengahdiabaikan, karena pengarnhnya kecil diban-dingkandengan perubahan bent uk atau tegangan lainnya.Hipotesis kedua menyatakan bahwa elemen yang tegaklurns terhadap permukaan tengah juga sesudah bernbahbentuk tetap lurns clan tetap normal ke pada permukaantengah yang berubah bentuk. Panjangnya tidakbembah. Hipotesis ini menyatakan bahwa pernbahanbentuk dalam arab geser sarna dengan Nol. Dengan kedua rupotesis ini maka dinding silinder dianggap kaku.Vlasovl14) mengembangkan suatu teori yang dikenaldengan teori setengah membran. Dengan teori inibeberapa komponen tegangan dalam arab axial silinderdiabaikan dengan menganggap bahwa tegangan yangbersangkutan kecil dibandingkan dengan tegangan

lainnya. Disamping pemudahan terhadap persamaankesetimbangan digunakan juga anggapan berdasarkangeometri di mana pernbahan panjang dalam arabkeliling ("9) daD pernbahan panjang geser pada bidang(Y xe) sarna dengan Nol. Dengan persamaankesetimbangan yang sarna, Schnell 115) menganggappula bahwa pembahan panjang dalmn arab keliling (&9)sarna dengan Dol tetapi memperhitungkan pembahanbentuk dalam geser (Y xe) baik pada hubungangeometris maupun elastomekanis. Teori ini di kenaidengan teori semi momen lentur. Berdasarkan ke duateori ini maka sistem persmnaan ditIerensial berorde 8berkurang menjadi 4. Persamaan ditIerensial clan jugaperpin-dahan matrik silinder yang isotrop dengan teoriini. dapat dilihat di 116) 117]. Di sini dikembangkanpersamaan ditIerensial untuk silinder yang terbuat daribahan komposit yang diidealisasi dengan teorimembran. momen lentur clan semi momen lentur.

Prosiding Pertemuan Ilmiah ..\'ains Materi /IISerpong, 20 -21 Oktoher 1998 ISSN 1410-2897

Hubungan elastomekanis silinder berdinding tipisberdasarkan leon momen lentur dapat dituliskan sebagaiberikut:

kesetimbangan yang berlaku untuk masing-masing teori.

2.3.1. Persamaan kesetimhangan herdasarkan teorimomen lentur

.Persalnaan kesetimbangan aliran gaya dalam arab x

Nxo,oNx'x"'-=-Px (21.1)R .-

-PersaJnaan kesetirnbangan aliran gaya dalam arab e

N +~+.9-!!.= pxO 'x R R 0

-Persanman kesetirnbangan aliran gaya dalam arab z:

~ ~

(2.3.2)

Dari hubungan elastomekanis di alas maka dapatditurunkan hubungan elastomekanis berdasarkan teori-semi momen lentur daD membran.(2.3.3)R -Qx'x-~-R=Pr

-Kesetimbangan momen terhadap smubu x:

Me,e2.4.1. Hubungan elastomekanis silinder berdindingtipis dengan teori semi momen lentur

QA M,'A,v-~--~-, R = me

-Kesetimbangan momen terhadap sumbu 8:

-~. Mxe,o_-

(2.3.4)Teori se~ momen lentur menyatakan bahwa

ditinjau dalam arab x kondisi tegangan membran daDdalam arab kondisi tegangan utuh [14] [16]. Anggapanini berdasarkan kepada kaidah Vlasov, di mana keleng-kungan suatu silinder berdinding tipis dalam arabkeliling lebih dominan dibandingkan dengan dalamarab memanjang. Apabila suatu silinder isotrop

diperkuat dengan Stringer und Ringe secara orthotrop,maka berlaku kaidah Vlassov, apabila penguat dalamarab keliling samaatau lebih kuat dari pada dari penguatdalam arab memanjang. Sebagai mana teori setengabmembran atau setengah momen lentur berdasarkankaidah Vlassov tersebut, bahwa ~diabaikan daD jugaMx = Qx = 0 .Untuk menurunkan hubungan eJasto-

mekanis berdasarkan teori setengah momen lenturdengan menganggap bahwa tegangan dalam arab elebih dominan daripada dalam arab x, maka pengaruhmomen dalam arab memanjang (Mx), momentorsi(Mx.e ) daD gaya lintang dalam arab x (Qx ) pada

Persamaan 2.4.1 diabaikan. Dengan anggapan ini, makabaris dan kolom ke empat daD ke enam diabaikan. Dengandemikian dapat diperoleh hubungan elastomekanisberdasarkan teori setengah momen lentur sebagai berikut:

Qx JVJx'x-~=mx (2.3.5)R

2.3.2. Persamaan kesetimbangan berdasarkan teorisemi momen lentur

2.3.3. Persamaan kesetimbangan berdasarkan teorimembran "Nx

Ne

Nxe

Me

I

&x f&0 Yxo

KO

(2.4.2)

C11 C12 C16 K12

";12 C22 C26 K22

C16 C26 C66 K26

K12 K22 K26 D22~

Dibandingkan dengan struktur Laminat yang simetrisdi sini terjadi Kekakuan keterkaitan K12' K22 daD K26 .Bila ditinjau hubungan elastomekanis (pers. 2.4.2),maka dapat dikenal bahwa kulit silinder yang anisotropsimetris dengan keterkaitan kekuatan diperkuat.

2.4.2. Hubungan elastomekanis silinder berdin-dingtipis berdasarkan teori membran

2.4. Hubun~an clastomckanis Berdasarkan anggapan yang berlaku terhadapteori membran, maka anggapan yang berlaku pada teori

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

setengah momen lentur ditambah dengan Momen-potongan Mo dan gaya lintang Qo dibanding dengangaya potongan Nx' No' Nxo diabaikan, sehingga teorimembran dalam arab tangensial sernata-mata merupakanmasalah lempengan. Batasan ini ekuivalen denganHipotesis, bahwa distribusi tegangan merata terhadapketebalan dinding. Dengan demikian hubunganelastomekanis dapat disederhanakan sebagai berikut:

.' Mxe

Gaya geser penggantl: Nxe =Nxe +-

R (3. 1)

Gaya I intang pengganti: Q: =Qx +~ (3.1.2)

Dengan demikian vektor keadaan berbunyi sebagaiberikut:

u, N

I

Nx! [Cll C12 C16]!&X No = CI2 C22 C26 &0

Nxe C'6 C26 C66 1xo

(3.1.3)Persamaan differensial berdasarkan teori lentur dapatdilihat di Lampiran 1.

(2.4.3)

atau dalam bentuk matrik keluwesan hubunganelastomekanis dapat dituliskan sebagai berikut: 3.2. Persamaan differensial berdasarkan teon semi

momen lentur

i

NX N9

Nx9

jll 812

)12 822

16 826

Berdasarkan teori semi momenlentur daD mem-bran, perpindahan radial w daD turunannya tidakterdapat pada besaran keadaan. Harga w kemudian akandiperoleh daTi besaran keadaan yang lain, apabilabesaran lainnya sudah diperoleh, tidak tergantungapakah perpindahan radial tersebut diperoleh daTikondisi batas atau tidak. Kondisi ini merupakankonsekuensi daTi pada tidak lengkapnya teori semiroomeD lentur atau teori membran. Dengan demikianvektor keadaan {U} berdasarkan teori membran daDsemi momenlentur hanya mengandung:

{U }'x = {v,u,N x,N x(J}T (3.2.1)

Untuk memperoleh vektor keadaan berdasarkan teoriini dapat dilakukan dengan menggunakan hipotesiskekuatan atau geometris. Bila digunakan hipotesiskekuatan maka hubungan w dengan besaran keadaanlainnya dilakukan dengan meninjau hubungan elasto-mekanis (pers 2.4.2). Dengan menganggap bahwa Nejauh lebih besar daTi kondisi keadaan lainnya, makadiperoleh hubungan perpindahan w dengan besaranlainnya sebagai berikut:

C12 C26 U,o w,oow=--Ru -- (v +- )+K 22 -C22 'x C22 'x R R

Persamaan differensial berdasarkan teori ini Qdpat.dilihat di lampiran 2.

3,3. Persamaan diffcrensial panic! bcrdasarkan teonmernbran

(2.4.4)

3. PENYELESAIANSILINDER

PERSAMAAN

Dengan tujuan menurunkan perpindahan rnatrikssuatu keadaan daIam arah tertentu misalnya, daIam kasusini mengambilnya daIam arah memanjang, maka ditunm-kan persamaan differensial dalam arab memanjangsehingga semua besaran dan tumnannya dalam arabkeliling, di mana suatu keadaan ujung secara lengkapdisajikan. Bila arab perpindahan di ambil dalam arabsumbu x. maka persamaan differensial dapat dituliskansebagai berikut

{U(8)}.x = rA(8) I {U (8)} + {P(8)} (3.1)

Dengan menggunakan persamaan kesetimbanganhublmgan elastomekanis dan hubungan kinematis makadengan melakukan beberapa operasi pembahan dapatdiperoleh persamaan differensial suatu silinder. Dibawah ini ditunjukkan konsep-konsep yang berkaitandengan penumnan persamaan masing-masing teori

3.1. Penurunan differensial parsiel herdasarkan teorimomen lentur

Dari persamaan kesetimbangan, hubunganelastomekanis daD hubungan kinematis berdasarkanteori Momen lentur besaran perpindahan u, v, w, PxdaD Pe daD besaran gaya Nx' Nxe' Mx' Qx' Mxe' Ne danQe tidak diketahui. Karena arah perpindahan dalamsumbu x, maka besaran keadaan dalam vektor keadaanU berisi ~e' Ne, Me daD Qe bukan anggota besarankeadaan, karena besaran tersebut tergantung kepadasumbu q. Momen torsi Mxe diturunkan denganmenggunakan gaya pengganti Kirchhoff denganbesaran berikut ini:

Persamaan differensial parsial berdasarkan teorimembran dapat diperoleh dengan menggunakan ke tiga

persamaan kesetimbangan (persamaan kesetimbangandalam arab x, 8, daD z, hubungan elastomekanis(Persamaan 2.4.4) daD hubungan kinematis (persamaan

2.2.1). Dengan menggunakan hubungan elastomekanis,yaitu hubungan antara matrik kekakuan daD hubungankinematis. atau dengan menggunakan hipotesis bahwakekakuan dalam arab keliling sangat besar akan diperolehpersamaan differensial yang sarna dengan persarnaandifferensial yang diturunkan dari semi momenlentur. Bila

Danvin ,~eba.vang 343

816

826

866J

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

elastomekanis yang digunakan adalah Matriks kelu-wesan dan hubungan kinematis, maka diperolehpersamaan differensial secara lebih mudah. Persamaandifferensial ini ditunjukkan di lmnpiran 3

3.4. Pembahan persamaan difTerensial parsiaJ menjadipersamaan differensial biasa

00 00

Ne(x,8)= L Nem cosm8+ LN9m sinm8m=O m=o

l00 00

Me (x,8)= L Memcosm8+ LMemsinm81m=O m=O

00 00

Qe(x,8)= L Qem sinm8+ LQemcosm8m=O m=O

Untuk mengubah persamaan differensial parsielyang diturunkan menjadi persamaan biasa makaharuslah Matriks [A] daD {V} hanya terganmng kepadakoordinat yang disesuaikan dengan arab koordinat yangdipilih. Untuk mengubah persarnaan differensial parsialmenjadi persamaan biasa digunakan deret Fourier. DeretFourier untuk perpindahan daD Gaya dimnjukkan padaPeTs. 3.4.1,3.4.2 daD 3.4.3. Dapat ditambahkan di sinihanya ditinjau besaran simetris.

(3.4.2)

daD besaran beban

00 00

Pr(x?9)= L Pnncosm9+ LPnnsinm8 (3.4.3)m=O m=O

di mana Um,Vm,Wm""'Pnn hanya tergantung

kepada x .Bila deret Fourier PeTs. 3.4.1 daD PeTs. 3.4.2ataupun turunannya dimasukkan ke dalam Persamaandifferensial parsial maka akan diperoleh persamaan biasa.Dengan membandingkan Koefisien bilangan hannonisakan diperoleh sistem persarnaan Ullom untuk setiapbesaran bilangan m, yang sekarang hanya tergantungkepada Koordi~at x. Persamaan biasa tersebutditunjukkan pada PeTs. 3.4.4 di mana vektor beban Pdiambil sebagai kolom tambahan pada matriks differensial:

Am

Am,s0

Am,a Pm

Am Pm

0 1

rUm

}Um1

(

Urn } , VIm "!:i!

,x(3.4.4)

A

U = Vektor keadaan simetrism

U m = Vektor keadaan antimetriA

Am = Bagian Matriks Differensial simetris

OC' 00

v(x,e)= Lvmsinme+ Lvmcosmem=O m=O

", 00

u(x,e) = L um cosmfl + L um sin mem=() m=O

00 00

Nx(x.e)= LNxm cosme + LNxm sinmflm=() m=O

00 00

Nxe(x,e)= LNxm sinmfl+ LNxem cosmflm=() m=O ,

00 00

w(x,e)= Lwm cosmfl+ Lwm sinm8m=() m=O

00 00

f3x(x,fI)= LPxm cosmfl+ Lf3xm sinm8m=() m=O

00 00

Mx(x,9)= LMxmcosme+ LMxm sinmflm=O m=()

oc.. 00

Qx(x,8)= LQxmcosmfl+LQxmsinm8nI=O m=()

3.4.1)

Am = Bagian Matriks Differensial yang AntimetrisA ~ A-

Am,a, Am,s = Keterkaitan antara U m daD U m

Pm = P nn = Beban Mantel yang simetri

P m= Pnn = Beban mantel yang antimetri

Untuk menonnalisasikan besaran keadaan makabesaran v und Nxa yang terdapat pacta persamaan biasaberdasarkan teori semi momen lentur dan membrandiubah menjadi va dan Nxe a" Dengan dernikian diperolehbesaran yang hanya mempakan fungsi cos me untukamplitudo yang simetris atau fungsi sin me untukamplitudo yang tidak simetris" Disamping itu vektorkeadaan untuk kedua teori amplitudo gaya (Nx dan Nxa)dinormaliser dengan kekakuan geser acuan C" danjari-jari acuan Rb" Dengan demikian semua anggota

Fungsi perpindahan dan aliran gaya, yangdituliskan pada refS 3.3. 1 merupakan besaran yangtergantung kepada koordinat tangensial (8) dan aksial(x) Untuk mengubah persamaan differensial parsialtersebut menjadi persamaan biasa maka Matriks [A]daD {V} harus hanya tergantung kepada koordinatyang dipilih. Untuk mengubah persamaan differensialparsial menjadi persamaan biasa di sini digunakan deretFourier. Derel Fourier untuk perpindahan daD Gayaditunjukkan pada refs. 3.4.1, 3.4.2 daD 3.4.3. Besarantanda segitiga merupakan besaran simetri daD tandagelombang menunjukkan besaran antimetri.

Besaran yang bukan merupakan vektor keadaanberlaku sebagai berikut:

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III.\'erpong, 20 -2l Oktober 1998 ISSN 1410-2897

Dengan mengembangkan Matriks eAx diperoleh:

mempunyai dimensi yang sarna, meskipun kekakuanmasing-lnasing elemen tidak tergantung satu sarna lain.Kekakuan acuan ini C11 diberlakukan pada vektorkeadaan juga pada matrik differensial. Hal ini berlakuuntuk silinder dengan kekakuan dalam arab memanjangatau beban permukaan berbeda. Dengan demikianvektor keadaan pada ke dua ujung dapat diperolehdengan perkalian matriks, karena terdapat suatukesatuan antara vektor keadaan kedua ujung. Untuk kedua toori diberlakukan juga besaran keadaan v dibagidengan m2 untuk setiap sistem persamaan biasa danbesaran keadaan Nxe menjadi Nxe.e sehingga besarankeadaan menjadi ve 1m2 dan -mNxe sebagai ganti dari vdan NxlJ .Dengan demikan perpindahan matriks simetristerhadap sumbu lintang. Konvegensi deret matrikmenjadi lebih baik.

Untuk selanjutnya vektor keadaan berdasarkanteori semi momen lentur dan membran betbunyi sebagaiberikut:

(3.4.5){U,'=Jrnvtrn2 uRhNx/C..!

, jVURhNx/CllRhNxe/CllW{V} = 2

woxMx IRh CII RhQx ICII (3.4.6)

= d ( ) / d(x./L) dan L panjang silinder.di mana {

3.5. Penyelesaian sistem persamaan differensial biasa

Persamaan biasa yang diperoleh untuk setiapsistem persamaan differensial biasa tersebut dapatdinyatakan sebagai berikut:

dy-d = A(x)y + P(X)dx (3.5.1)x

Persamaan differensial orde pertama dengan konstantakoefisien A dapat diselesaikan sebagai berikut:

dv~ = Ay , (3.5.2)

Dengan memisahkan faktor peubah daD mengintegrasipersamaan berikut ini (16]. (17)

dy-= A dx (3 5 3)Y ..

diperoleh penyelesaian umum y = C eAx dengan C

sebagai konstanta pilihan yang bebas. Dengan mema-sukkan kondisi batas x = 0 diperoleh konstanta Yo.

Dengan demikian penyelesaian persamaan homogendapat diutliskan sebagai berikut:

di mana yang dikenal sebagai "Matriks Perpindahan".Matriks perpindahan berarti peubahan besaran vektorkeadaan U daTi x dari 0 ke 1. Ke dua ujung dihubungkandengan bantuan matrik perpindahan selurnh daerah.

Penyelesaian sistem persamaan differensial yangtidak homogen (pers 3.5.4) misalnya dapat dilakukandengan memvariasikanKonstanta (Lagrange) (19], (20].Dengan demikan dapat diperoleh penyelesaian sistempersamaan differensial biasa yang tidak homogen.Dengan cara penyelesaian di alas secara umum deret dialas cepat konvergen. Untuk perhitungan yang ril deretmatrik ini akan berhenti sesudah dicapai titik ketelitianyang diberikan. Untuk menghindari kesulitan numerisini maka struktur di bagi alas elemen kecil. lumlahelemen daD panjang elemen diperoleh daTi pengalaman.Disamping itu untuk menghindari kesulitan itu dapatjuga dilakukan dengan menyelesaikan denganpenyelesaian seluruhnya yang secara detail dapat dilihatdi (15]

4. PENGUNAAN TEORI, BASIL DANPEMBABASAN

Untuk mengetahui kemungkinan terjadi kesu-litan numeris maka ditinjau pengaruhjumlah potonganpen am pang perpindahan Matriks dengan berbagaiteori. Sebagai contoh dilakukan perhitungan besarankeadaan pada tabung yang dibebani oleh bebanhidrostatis. Tabung tersebut memenuhi persyaratanyang harns dipenuhi oleh ketiga teori.

Kedua ujung tabung masing ditutup oleh tutup.Tutup tersebut kaku pada bidangnya sendiri tetapilemah tegak lurns terhadapnya. Kondisi barns untukkedua ujung untuk setiap bilangan gelombang

Nxo=Nxl =0berikut 0Vo =vl =

Kondisi penuh terletak pada sudut 90°. Dengan kondisiini maka beban tekanan dalam deret Fourier:Axy =e Yo (3.5.4)

Danvin ,\'ehayang 345

Hal ini merupakan masalah kondisi barns, yangditinjau tidak saja pada titik awal tetapi juga pada kondisiakhir Integrasi. Fungsi Matriks yang dimaksud di atasyaitu eAx menghasilkan Matrik perpindahan yangdiperoleh dari Matrik Differensial A dengan meng-gunakan lterasi Picard, di mana Matriks A denganKoeffisien konstan sebagai Jumlah suatu deret Matrikyang tak terhingga. Dengan menjumlahkan Matrikstersebut dapat diperoleh sebagai berikut:

l-lnRbNx9/C11 J

Besaran keadaan yang berlaku berdasarkan teori momenlentur:

ISSN 1410-2897

~'~

m

~

0

Gambar. I. Struktur Tangki Air sebagai contoh

p=yR(-O.318+0.500s8-0.212cos28 +0.042400s48-O.0177cos68) (4.1)

Untuk menyelidiki pengamh panjang perpin-dahan terhadap besaran keadaan maka dipilih variasijurnlah potongan untuk berbagai struktur Laminat danleon (Ii hat TabeI4.1).

di mana tekanan adalah fungsi jari-jari dan y beratspesifik cairan tersebut.

Penelitian dilakukan dengan perhitungandengan berbagai teori (Jumlah panjang perpindahanuntuk panjang tertentu silinder). Agar hubunganelastomekanis berlaku untuk masing-masing teori makadiambil struktur Laminat untuk seTal Karbon sebagaiberiktlt:

Laminat 1 :-(0"/90"/90"/90") .Lmninat 2:-(45"/-45"/45")., ,Laminat 3: -(0"/45"/90"),. Latninat 4: -(25"/50"/75"/100")

Tanda ( ), menunjukkan struktur Laminat yangsimetri. Tanpa lndeks berartijurnJall Laminat satu.

Data Material yang digunakan adalah E, = 135.108 daN/m2 .E2 = 9.0. 108 daN/m2. G'2 = 4,0.108 daN/m2 , ~I = 0.3. Jari-jari silinder 400 rom. tebal silinder

1,8 mIll. Besaran keadaan daTi silinder yang terbuat daTi

Material isotrop atau ortotrop (0"/90"/90"/0") akibat,beban radial simetris maka persamaan differensial biasaberbunyi sebagai berikut:

I

Tabel 4.1 Pengaruh jumlah penampang (UR 2)

Jumlah potongan matrik perpindahan

Teori

+

inat 4

30

10

TMl

~

[Am ~l0 AI

TMSL(4.2)....,..

TM

Pada Persamaan 4..2 b.1gian keterkaitan akibat sifat bahan

Ortotrop hilang. Untuk struktur Laminat (45"/-45"/45")"

(0"/45"/90") dan (25"/50"/75"/100") persamaan diffe-.rensial (Pers. 4.3.5) berbunyi sebagai berikut:

~

Prosiding Pertemuan Ilmiah ,\'ains Maieri IIISerpong, 20 -2/ Oktoher /998

Pada perhitungan besaran keadaan strukturlaminat (0°/90°/90°/0°), dengan teori Membran, semimomenlentur dan momenlentur tidak terjadi kesulitannumeris. Aliran gaya normal daD aliran gaya geserterhadap panjang denganjurnlah potongan sarna dengan

, 10 hasilnya sarna (lihat gbr 4. 1 dan 4.2).{ A } [ A A ]{ A } { A } Pada perhitungan besaran keadaan untuk struktur

~m = ~m -!-n,a ~m + p~ (4.3) Lamin,at ~en~an teori m?men lentur timbul kesulitan

Urn Am.s Am Urn numens. bllajumlah perpmdahan samadengan 8. Untuk

..A .mengatasi kesulitan numeris ini maka jumlahBaglan keterkaltan Am.s dan A m." l~unculoPad: perpindahanditambahdari 8 menjadi 16atau 3~.Dcngan

Persamaan 4.3.karcna pada struktur Lammat (45 1~5 1 jurnlah potongan sebanyak 16 kesulitan numens tersebut45°), kekakuan C16 daD C26 daD kekakuan keterk~ltan sudahdapatdiatasi (lihat Gambar 4.3 dan4.4). .ada. Beda Laminat (24°/50°/75°/100°) dengan Laml-nat Kesulitan numeris tidak terjadi pada leon(45°/-45"/45") terletak pada besar quadran keterkaitan membran, karena kuadran keterkaitan daD pelatdaD pelat dibandi ngkan dengan quadran piringan. diabaikan. Kesuiitan numeris juga tidak teljadi pada teori

semi momenlentur, karena beberapa besaran kwadranketerkaitan daD pelat diabaikan. Artinya orde besar

~~

Darwin Sehayang346

~

{g:t+{p; }

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

Nx tda (E.()2 N'1II1l)l£ -

;~;

Jr-

400 (iX) I«X> t<XXJ 120

KroUimt berja1m\ x (mm)

Aliran geser terhadap panjang suatu silinderyang terhuat dari hahan ortotrop (0°/90°1

900/00)s

-I

-2

-30 200

Gamhar 4.

Nx(E.{)2 NIno)

komponen masing-masing matriks differensial sarna.Untuk stmktur Laminat maka dengan teori momenlentur memerlukan jumlah potongan 30 agar kesulitannumeris itu hilang. Tetapi teori semi momen lentur hanyamembutuhkan 10 potongan penampang (Karenaterbatasnya tempat maka gambarnya tidak ditampilkan).Dari contoh yang disajikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa dibandingkan dengan teori membran daDsemi momen lentur rnaka teori momen lentur memerlukanlebih banyak jumlah potongan. Dengan demikian bilabesar momenlentur dalam arab memanjang tidakdibutuhkan maka digunakan teori semi momen lentur.Perhitungan yang menggunakan teori momen lenturmemerlUkan jumlah potongan yang lebih besar sehinggamembutuhkan waktu yang lebih panjang untuk menyele-saikan persamaan. Tetapi teori momen lentur memt>eri-kan lebih banyak informasi.

Untuk mengatasi kesulitan numeris yang teljadidapat dihindari juga dengan menggunakan "pengu-raian secara Spektral", perpindahan "matriks denganmetode Riccati" [21] atau ldealisasi silinder denganmenganggap silinder sebagai "silinder yang tidakterhingga" [16] daD [17] .

5. KESIMPULAN

Dengan mengetahui keuntungan daD kemgiandari idealisasi silinder dengan berbagai teori, makadengan mengetahui kasus tertentu, apa yang diingin-kan dapat ditentukan teori yang sesuai. Dengandemikian dapat dilakukan optimalisasi waktu perhi-tungan. Selanjutnya teori ini dikembangkan untukperhitungan stabilitas silinder .

Nt (EO2 N'Imt2r ,'!

~~~

~ 6. LITERATUR.

""~

(1). BERT, C.W, Structural Theory for LaminatedAnisotropic Elastic Shells, Journal of CompositeMaterials, Vol.l, 1967

.WHITNEY, J.M, On the Use of Shell Theory forDetermining Stress in Composite Cylinders, J.Composite Material Vol 5, 1971, halo 340-353

(3]. DONG, S.B, PITER,K.S, TAYLOR, R.L,OntheTheory of Laminated Anisotropic Shell and Plates,Journal of Aerospace ,Science 29 (1962), Hal 969-975

(4]. REUTER,R.C. JrAnalysisofShellunderInternalPressure, J. of Composite Material, 1972, Hal 94-113

(5]. JONES, R.M, MORGAN, H.S, Buckling and Vi-bration of Cross Ply Laminated Circular CyindricalShell,AL4AJoumal,VoI.13, 1975, Hal. 664-67i

(6]. JONES, R.M, HENNEMAN, J.C.F, Effect ofPrebuckling Deformation on Buckling of LaminateComposite Circular Cylindrical Sheel , AIAA,1978, Hal 370-379

(71. BOOTEN, TENNYSON, RC, Buckling of Imperfect

13D[2)

2

1

8

-1

-2

-3

-40 200 400 600 800 1800 1200Koordinat berjalan x (nun)

(iambar 44 Perbandingan antara teori TML dengan TM akibatperbedanaan .iumlab penampang matrik perpindabanuntuk laminat (45" / -45" /45")

Darnlin .\'ehayanf( 347

-4 '.=.;.;.;.;.;.;,:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:., :...' ,

0 JJ) .m cro an 1(11)-- L-c.

~... IDjUI{ramhar 4.3 Pengaruh jumlah potongan terhadap gaya

nomlal (45° 1-45°/45°).

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -210ktoher 1998 ISSN 1410-2897

Anisotropic Circular Cylinders under CombinedLoading,AIAAJoumal, Vol.7, March 1979,Hal351-358

(8). UEMURA, FUKUNAW, H, Stress Distribution inLaminated Composite Cylinders under InternalPressure, ICCM, 3th Internatonal Conference onComposite Materials, Paris. France. 1980, Hal 782-795

(9]. WlmNEY J .M, Buckling of Anisotripoc LaminatedCylindrical Plates, AIM Journal, 1984

(10). CHENG, S., Ho. B.P.C, Stability of HeterogenousAeolotropic Cylindrical Shell under CombinedLoading..4IAAJournal. Vol. I. No.4, 1963, h. 892-898

(II]. SUN AND CHIN, H, Analysis of AsymmetricComposite Latninates, AIAA Journal, Vol 26, No.6,1987, Hal. 714-718

(1.2]. AMBARSUMYAN, S.A. Theory of AnisotropicShell TTF-I 18, NASA, May 1964

(13]. NOVOZZILOV. V. v. nun Shell TIIeory. P. NoodIl0ff,Ltd. Groningen, 1961

(14 J. WLASOV W.S, Allgemeine Schalentlleorie und ihreAnwendung in der Technik, Akademie- Verlag

Berlin, 1958(15}. SCHNELL. W, Zur Krafteinleitung in die versteifte

Kreiszylinderschale, Dissertation an der Fakultatefiir Mochanik. U. Physic der 111 Darmstad, 12.1, 1954

(16). ORY. H, Berechnung der Spannungsverteilung indl1nnwandigen Drehschalen, 2. Lehrgang flirRaumfahrttechnik, Braunschweig, 1963

(17}. ORY. H, Die dl1nwandige Zylinderschale Kraf-teinleitung und Spannungsverteling unterbeliebigen Belastungen, Vortragsreihe an der F.H.Aachen, ERNO, Raumfahrttechnik, 1974

(18). BRUSH, DON, 0., ALMROTH,B.O, Buckling ofbars, Plates and Shells, International StudentEdition, 1975

19). PESTEL, LECKIE, Matrix Methods in Elas-tornechanics,. Mc Graw-Hill New York Company,1%3

(20). COLLATZ, L, Differentialgleichungen, TeubnerStuttgart, 1960

[21). REN, WEN MIN, Statische Berechnung undStabilitatsberechnung der Schalen mit Uber-tragungsmatrizen, Disertasi di RWTH Aachen, 1992

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III.\'erpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

Lampiran 1 Persamaan differensial parsiel berdasarkan teonMomen Lentur

Y11

Y21

Y31

Y41

0

Y61

Y71-YS1

Catatan:Indeks berikut ini ()3,1...P3.9"'. °4,13 daD seterusnyamaka singkatan. Dia bukan indeks Matriks. lndeks II,22 14 menunjukkan baris dankolom suatu Matriks.

~R

Y14 = a22

Y16=~~R

YII :=

Yl3 = a21

b23(),99

R2

Y -b21<:l ~---R

Y t 7 :: b 23

~~R

Y22 =

Y24=a12v Ll =,: alJ

~2R

~R

Y26 = ~~R

Y2~ =

Y27 = b13

Y32 =O3,2( ),99Y31=O3.1().eeY34 = °3,4 ( ),9YJJ=OJ.J( ),e

Y36 = °3,6( ),99Y35 =°3.51 ( ),0 +03.52 ( ),000

YJ7=OJ.7(),e; Y42 = °3.2( ).00

: Y44 =O4.4( ),e

; Y46 =O4.6( ),ee

Y43

Y41 = 03.1 ( ),99

~ =°4,3 ( ),e

Y45 = 04.51 (),e+04.5Z( ),ooe

Y47= °4.7( ),0

~R

~~-R

b33( ),92R

Y62y,

Y, Y64 = 332331

Y66 b34 (),e~R

b.13( ),002R

Y67=a33

349Darwin .\'ebayang

Prosiamg n:n~ ---Serpong, 20 -21 Oktober 1998

~

Yl6

Y26

Y36

Y460

Y66

Y76

Y86

~-~R 2R

Prosiding Pertemuan /lmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

Y71 =-2 °3,1( ),99 ; Y72 = -2 °3.1 ( ).ee

Y73 = -2 °3,3 ( ),9 ; Y74 = -2 °J,4().e

; Y76 = -2 °3.6 ( ),00

Y77 = -2 °3,7( ),9 ; Y78 =1

YSI =OS,11().e+OS,12(),ee ; YS2 = °S,21 (),O+OS,22( ),000

; Y84 = 08,41 + °S,42 ( ),00Y83 =OS,31 +OS,31(),99

Yss = OS,SI () +OS,S2( ),0 +OS,S3 ( ),40 ; Yg6 =Og,61(),e+Og,62(),ooe

YS7 = °S,71 ( ),e +OS.72 ( ).99

Lampiran 2. Persamaan differensial berdasarkan teon semi momenlenturBesaran keadaan u'x daD v'x di peroleh dari barisketiga daD pertama hubUIigan elastOmekanis Sesudah hubungankinematis dimasukkan dan digunakan hubungan antara w dengan besaran keadaan lainnya. Dapatlah besaran

keadaan u'x dan v'x diturunkan.

0

0

~L5().e

~()'9LR

-L4

1~

L

0

H43

LJ

~L

1--()'6R

H44

+-0

H41

0

H42

2L =Cll -~+~~(f!§.-~~)-~(f!§.-~~}

C22 ~2 Lo C66 C66C22 Lo C66 C66C22

L - C C12C26 ( C262 1) Ci2C26 C.l6 ( C262 1)1-- 16+- +---

C22 Lo C66C22 C22 Lo C66C22

Ls =..)::L(~-~&)-~(--~--1)LLo C66 ~2C66 Lo C22C66

H42=TI{()""+()"'}-~(M.R

H44=T,{()",,+ (),J9} -~().e

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998

~~ ~~ ~ ISSN 1410-2897

~2-N2R4R (~+C26L4);N2 =~

L

~2NI;R4

;T2=--u" D" C'6T,=- T,= N,;T.= (R+I)R R C"

R C"L, R Cl,L,-(--C'6L,+C'6) ;N,=--(-+C'6L,)C" C" L C" L

~

Nl=-

M K12 K22C12 K22C26L4 K L1 =---+ 26 4L C22L C22

M2 = ~ -K22CIZ!:! -~~ + K22C26LS -K26LS + K26L C22L C22 C22

C22C22

M3=~ L -

Lampiran 3. Persamaan differensial parsiel berdasarkan teori Membran

[ V t o -i(),O 816 866 { V t [=R826pr }, U = 0 0 811 816 u + R812 Pr

N,x 0 0 0 -~()'O Nx 0

NxO'x ,x 0 0 0 RO NxO -Pr,O

Nomenklatur

8atuan yang adalab satuan panjang = L, gaya = K

Simbol Satuan Artih L tebal silinderm -lndeks untuk koefisien deret Fourier (bilangan

gelombang dalam arab keIiIing)fix, me K/L momen dalam arab aksial dan keIiIing

Px,PO,Pr K/L2 beban mantel dalam aksial, keIiIing daft radial

v'x , v,e L perpindahan dalam sombu x-dan 8

w 'x' w,e L perpindahan W daIam arab x- daft 8

Cij K/L kekakuan memanjang

D L diameter silinderDij K/L kekakuan lentur

F F O F K/L beban pinggir luarx' x , Z

G K/L2 modulus geser

I -matriks satuanL L panjang silinderN x' Ne K/L aliran gaya normal

N xe K/L aliran geser

Mx,Me KL/L aliran momenlentur

Mxe KL/L aliran momenpuntir

M M 0 KL/L beban pinggir lOafx' x

Qx,Qe K/L gayalintangdalamarabx-dan8

R, Rb L jari-jari silinder, jari-jari acuan

8 L2/K matriks keluwesan pada sombu acuan

I

~~~~

0

10

0 0

0 0

0 0

~~

"tmoothm

~~

"tmoothm

~

Darwin Sehayang 351

0 0

0

0

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN1410-2897

~'x,~,e~'x9&

IlL

E

YKX,Ke IlL

K/L2K/L2

kemiringan daIarn arab x -dan 8

kemirlngan torsi

perubahan bentuk daIarn sebarnng tempat(tanda garis berarti di sebarnng tempat)perubahan bentuk di permukaan tengahperubahan bentuk geserkeIengkungan dalam arab x- dan 8tegangan normal

tegangan geserbiIangan Poisson

U

't

~

Indeks

x,8, zmr( ),0

( ),69

( ),x

koordinat acuanindeks untuk koefisien deret Fourier, membranradialturunan dalam arab e

6 kaii turunan dalam arab eturunan dalam arab x