perhitungan harga opsi eropa menggunakan metode gerak

1

PENDAHULUAN

Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan

seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang

memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena

saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain itu,para investor juga dapat

berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu

turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi

memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual

sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus

mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi

(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau

dijual.

Pada tahun 1900 Louis Bachelier memodelkan pergerakan harga saham mengikuti

gerak Brown dengan konstanta drift = 0. Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron

Scholes mempublikasikan ”The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, suatu paper

yang mengubah secara cepat teori dari perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black –

Scholes membuat beberapa asumsi,salah satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown

Geometrik (GBG), dengan drift (ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi

dari return) yang bersifat konstan. Menurut Brigo (2007) return dari harga saham

berdistribusi normal dan bersifat independent.

Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak

Brown Geometrik dengan nilai volatility dicari menggunakan metode Maximum Likelihood

Estimation,serta menganggap kedua asumsi diatas telah dipenuhi.

Selanjutnya data PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012

digunakan untuk menguji kedua asumsi tersebut sehingga metode Gerak Brown Geometrik

dapat digunakan, baik untuk memprediksi pergerakan harga saham maupun untuk

menentukan Harga Opsi Eropa.

1

Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometrik

Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1)

, Bambang Susanto2)

, dan Hanna Arini Parhusip3)

1)Mahasiswa Program Studi Matematika

email:1)[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected] 2) 3)

Dosen Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

ABSTRAK

Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer

memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put

option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan

mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi

harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black

– Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa

menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang

diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk

memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan

menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham

harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum

Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT.

HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan dari

penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM.

Sampoerna Tbk. dengan pihak lain.

Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility

PENDAHULUAN



memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor

karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan

cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat

berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu

turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi

memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual

sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus

mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi

mailto:[email protected]




2

(option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau

dijual.

Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown

Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood

Estimation.

DASAR TEORI

Opsi

Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan

hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan

harga dan waktu yang telah ditetapkan.

Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu:

1. Opsi beli

Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli

sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.

2. Opsi Jual

Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual

sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu.

Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu :

1. Opsi Eropa

Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir

saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.

2. Opsi Amerika

Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam

masa berlakunya kontrak opsi.

Fungsi Payoff

Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0 t < T sebelum expiry date dari opsi

akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T

akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat

tiga kasus yang mungkin, yaitu

3

1. Harga saham lebih besar dari Strike Price (S > K)

Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S – K > 0. Ini adalah

alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya

untuk Opsi Put Eropa.

2. Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K)

Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut

dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa.

3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K )

Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk

membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0.

Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat

expiry date T adalah

V(S, T) = maks{d(ST - K ), 0} (1)

dengan d= .

Gerak Brown

Suatu gerak Brown [ ,t ≥ 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat – sifat

berikut :

1. B(0) = 0.

2. Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.

3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u : dan saling bebas.

4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial

dimanapun.

Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1

dinamakan gerak Brown baku (Nugroho).

Model harga saham

Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu

keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon

saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan

4

bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov

merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga

yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t.

Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas

dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt

Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift

ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham

secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan

σdBt. Nilai σ didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar

deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat

diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang

dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan

sebagai berikut

dengan

µ : nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return)

Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk

(2)

dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown

Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(S(t)),

persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)

. (3)

Untuk = 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi

atau (4)

dengan B(t)= ; Z~N(0,1) dan return.

Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat

diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak

berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga

saham yang bebas risiko atau Risk Neutral Pricing.

5

Risk Neutral Pricing

Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam

finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku

bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan

analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam

fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut.

Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode

dinotasikan dengan . Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan

Jika bunga sebanding dengan besarnya maka dinamakan bunga berganda. Artinya

(5)

dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali

menjadi

(6)

dan diambil = F = 1, maka diperoleh dengan adalah

besarnya tabungan.

Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap

tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku

bunga untuk setiap periode , maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh

. (7)

Dimisalkan untuk bilangan – bilangan asli m dan n , maka besarnya deposito

saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus

. (8)

Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai = . Karena

= F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk atau dapat pula dituliskan dalam

bentuk

6

(9)

dengan disebut sebagai faktor terdiskon.

Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan

diasumsikan bahwa:

1. X = ln ~ N(µT,σ2T)

2. S (0) = E(S (T)).

Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan

(10)

Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah

acak melalui persamaan (10)

. (11)

Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu

E[S(T) / S0] = E[ ] = E[ ] =

Sehingga . (12)

Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh

S0 = = S0 sehingga

Jadi . (13)

Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi

; sehingga

(14)

Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal

Misalkan sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.

Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan

X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) = disebut sebagai fungsi likelihood.

Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai

= θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ

7

dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi

Likelihood

Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk

.

Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi yaitu . Diperoleh

. (15)

Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi , yaitu

(16)

Untuk mempelajari sifat optimal selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l

karena dan det( ) > 0, maka negatife definite (Peressini,1988) yang berarti

dan memaksimumkan .

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Estimasi Parameter

Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan

menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data

8

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna

waktu (t)

Harg

a S

aham

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Nilai Return dari Harga Saham

Retu

rn H

arg

a S

aham

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 15.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9x 10

4

waktu

Harg

a Sa

ham

Simulasi Pergerakan Harga Saham

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9x 10

4

simulasi

Harg

a Sa

ham

Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan

saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010

sampai 29 Februari 2012. Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham

penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih

dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t-1.

Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna Gambar 2 return dari harga saham

Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh = 0,00281 , =

0,000402 dan volatility = 0,02004.

Simulasi Harga Saham

Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham

dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang

digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih

dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga

saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi

harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gambar 4.

Gambar 3. S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ =

0,02004 dan r = 5,75%.

Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu

tahun kedepan.

Perhitungan Nilai Opsi Eropa

Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9)

dapat diperoleh persamaan

9

dengan

M : Banyaknya simulasi,K : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d=

Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K< , K= , dan K> maka

diambil K dengan nilai 50.000, 53.000,dan 56.000 dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh

Tabel 1.

Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S0 = 53.000 , T = 1 Tahun , σ = 0,02004, r = 5,75%

dan K yang berbeda.

Strike Price (K) Harga Call Option Harga Put Option

50.000 5.777 0

53.000 2.944 0

56.000 470 358

Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data

harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan

bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan

harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak

akan menghasilkan keuntungan.

KESIMPULAN

Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi

Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna

Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari 2012. Metode yang digunakan adalah Gerak

Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun

Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT

Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M.

Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak

opsi dilaksanakan.

10

DAFTAR PUSTAKA

Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:

Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and

Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,

(diakses pada 24 April 2012).

BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6

Maret 2012).

Black, F. Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of

Political Economy, Vol 81. No. 3

Brigo, D. D’alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F. 2007. A Stochastic Processes

Toolkit for Risk Management, http://ssrn.com/abstract=1109160, (diakses pada 25 Februari

2012).

Higham, Desmond J., 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. United

Kingdom: Cambridge University Press.

HMSP.JK Historical Prices, http://finance.yahoo.com, (diakses pada 1 Maret 2012).

Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th

Edition. New Jersey:

Pearson Education

Nugroho, D. B. 2008. Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia

Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear

Programming. New York : Springer-Verlag.

Rahman, A. 2010. Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan

Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Sebelas Maret.

Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari

2012).

http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217

http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate

http://ssrn.com/abstract=1109160

http://finance.yahoo.com/q/hp?s=HMSP.JK&a=08&b=25&c=2001&d=00&e=3&f=2012&g=d

http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29

1

Uji Normalitas dan Uji Independensi Dalam Model Gerak Brown Geometrik Untuk

Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna Tbk.

Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1)

, Bambang Susanto2)

, dan Hanna Arini Parhusip3)

1)Mahasiswa Program Studi Matematika

email:1)[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]

2) 3)Dosen Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

ABSTRAK

Pergerakan harga saham tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi dapat diprediksi

melalui suatu simulasi. Pergerakannya dimodelkan mengikuti Gerak Brown

Geometrik. Terdapat dua asumsi yang ada pada Gerak Brown Geometrik, yaitu

return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Pada

penelitian ini akan dibahas mengenai cara menguji kedua asumsi tersebut serta

simulasi pergerakan harga saham. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai

volatility dan µ dari harga saham harus diestimasi terlebih dahulu. Estimasi untuk

volatility dan µ dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation.

Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM.

Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012. Hasil yang didapatkan

dari penelitian ini adalah harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna

mengikuti Gerak Brown Geometrik dan hasil simulasi Gerak Brown Geometrik

untuk harga saham PT. HM Sampoerna juga disertakan.

Kata Kunci: Gerak Brown Geometrik, return, distribusi normal, independent, volatility, Maximum

Likelihood Estimation

PENDAHULUAN



memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena

saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Pada tahun 1900 Louis Bachelier

memodelkan pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown dengan konstanta drift = 0.

Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron Scholes mempublikasikan ”The Pricing of

Options and Corporate Liabilities”, suatu paper yang mengubah secara cepat teori dari

perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black – Scholes membuat beberapa asumsi,salah





2

satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown Geometrik (GBG), dengan drift

(ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi dari return) yang bersifat konstan.

Menurut Brigo (2007) return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent.

Pada penelitian sebelumnya (Pradhitya dkk, 2012) telah dibahas mengenai Gerak

Brown Geometrik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah perhitungan harga Opsi

Eropa dengan memanfaatkan kedua asumsi dari Gerak Brown Geometrik tersebut.

Sedangkan pada penelitian kali ini akan dibahas mengenai pengujian asumsi tersebut

sehingga metode ini dapat digunakan.

Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012

digunakan untuk menguji asumsi tersebut sehingga dapat dilakukan simulasi pergerakan

harga sahamnya.

PEMBAHASAN

Model Harga Saham

Dalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu

keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon

saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat

diasumsikan bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai

Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi

harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan

dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham

terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan

dengan µdt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan

drift ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga

saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan

dengan σdBt. Nilai σ adalah volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi

dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat diestimasi

menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Dengan demikian model harga saham

yang dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t

dirumuskan sebagai berikut

dengan

µ : nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return)

3

Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk

(1)

dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (1) disebut juga Gerak Brown

Geometrik untuk harga saham.

Adapun [ ,t ≥ 0] disebut sebagai Gerak Brown jika memiliki sifat – sifat berikut :

1. B(0) = 0.

2. Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s.

3. Untuk 0 ≤ s ≤ t ≤ u : dan saling bebas

4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial

dimanapun.

Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1

dinamakan gerak Brown baku.

Dengan mengaplikasikan Lemma Ito, persamaan (1) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009)

. (2)

Persamaan (2) dapat dituliskan menjadi

Untuk dan = 0, maka persamaan (2) dapat dituliskan kembali menjadi

(3)

dengan

= harga saham saat T; = harga saham saat ini; T = waktu (dalam tahun).

Persamaan (3) menunjukan Gerak Brown Geometrik untuk harga saham berdistribusi

log-normal dengan return ln berdistribusi normal dan bersifat independent (Brigo).

Data harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna yang diambil pada

tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari

harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2.

4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna

waktu (t)

Harg

a S

aham

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

20

40

60

80

100

120

140

160

Return

Frek

uens

i

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Nilai Return dari Harga Saham

Retu

rn H

arg

a S

aham

waktu (t)

Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna. Gambar 2 return dari harga saham.

(finance.yahoo.com)

Uji Normalitas

Terdapat dua metode dalam uji normalitas data, yaitu menggunakan statistik uji dan

dengan metode grafis. Berikut ini akan dibahas mengenai uji normalitas data menggunakan

metode grafis.

Dalam metode grafis terdapat beberapa alat yang dapat digunakan untuk memeriksa

apakah data berdistribusi normal atau tidak, misalnya:

1. Histogram

Apabila data berdistribusi normal atau mendekati normal maka bentuk

histogram akan simetris atau mendekati simetris (seimbang). Hal ini ditunjukkan

dengan nilai - nilai frekuensi yang besar berada di tengah – tengah histogram.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, model return dari Gerak Brown

Geometrik diasumsikan berdistribusi normal. Maka selanjutnya diuji apakah return

dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. memiliki distribusi

normal. Histogram dari return ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut ini.

Gambar 3. Histogram dari return

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Standard Normal Quantiles

Qua

ntile

s of

Inpu

t Sam

ple

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

Dari histogram yang tersebut,dapat dilihat bahwa return harga saham

penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. terpusat ditengah – tengah histogram

tepatnya berada disekitar nilai nol. Hal ini menunjukan bahwa return memiliki mean

sama dengan nol. Selain itu dapat dilihat pula bahwa bentuk histogram mendekati

simetris sehingga dapat disimpulkan bahwa return harga saham penutupan harian PT.

HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal.

2. QQ-Plot (Quantile – Quantile Plot)

QQ plot akan membentuk plot antara nilai – nilai quantil teoritis (sumbu x)

melawan nilai - nilai quantil dari data (sumbu y). Apabila plot berbentuk linier (garis

lurus), maka hal ini merupakan indikasi bahwa data berdistribusi normal.

QQ-Plot untuk return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

Tbk. ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut.

Gambar 4. QQ-Plot dari return

Dari QQ-Plot tersebut dapat dilihat bahwa return harga saham penutupan harian

PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati garis lurus sehingga dapat disimpulkan bahwa

return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal

walaupun ujung – ujung dari QQ-Plot menyimpang dari garis lurus (Kurniawan).

Uji Independensi

Sifat penting lainnya dari Gerak Brown Geometrik adalah return bersifat independent.

Untuk menjamin Gerak Brown Geometrik sesuai untuk memodelkan harga saham, harus diuji

bahwa return dari data yang diamati bersifat independent.

6

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Auto

corre

latio

n

Sample Autocorrelation Function (ACF)

Data dapat dikatakan independent jika nilai suatu data tidak dipengaruhi oleh nilai

dari data yang sebelumnya atau tidak terdapat autokorelasi. Dalam makalah ini metode yang

digunakan adalah dengan pengamatan terhadap nilai autokorelasi (ACF). Fungsi autokorelasi

untuk lag k didefinisikan oleh:

(4)

dengan

n = banyak data; k = panjang lag; x = return; = variansi dari return;

µ = ekspektasi dari return.

ACF(k) dapat dikatakan memberikan perkiraan korelasi antara dan .

Independensi dapat pula diamati dari fungsi autokorelasi parsial (PACF). PACF(k)

memberikan informasi tentang korelasi antara dan dan dapat dedfinisikan

dengan

dengan dan adalah estimasi terbaik dari dan jika

diberikan (Brigo).

ACF dan PACF dari return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk.

yang ditunjukkan oleh Gambar 5 dan Gambar 6 berikut.

Gambar 5. ACF dari return

7

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Parti

al A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function

Gambar 6. PACF dari return

Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa nilai ACF dan PACF dari return harga

saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati nol. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa return tidak berkorelasi yang berarti return harga saham penutupan

harian PT. HM Sampoerna Tbk. bersifat independent (Brigo).

Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal

Setelah asumsi normal dan independent dari return dipenuhi, selanjutnya model

Gerak Brown Geometri dapat digunakan untuk mensimulasi pergerakan harga saham PT. HM

Sampoerna Tbk. dimasa mendatang. Sebelumnya nilai volatility dan µ harus diketahui.

Untuk mengetahui nilai volatility dan µ digunakan metode Maximum Likelihood Estimation.

Misalkan sampel acak dengan pdf f(xi,θ) ,i = 1, 2, ... ,n dengan θ ϵ Θ.

Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X1,X2,...,Xn dipandang sebagai fungsi dari θ dan

X1, X2, ... , Xn konstan, maka L(θ) = disebut sebagai fungsi likelihood.

Misalkan X1,X2,...,Xn sampel acak dengan pdf f(xi,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai

= θ(X1,X2,...,Xn) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) ≥ L(θ) untuk semua θ ϵ Θ

dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi

Likelihood

Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk

8

.

Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi , sehingga didapatkan

. (5)

Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi , sehingga

didapatkan

(6)

dengan x = return; = variansi dari return; µ = ekspektasi dari return.

Dengan menggunakan persamaan (5) dan (6) maka diperoleh = 0,00281 ,

= 0,000402 dan volatility = 0,02004.

Simulasi Gerak Brown Geometrik

Setelah didapatkan estimasi volatility dan µ, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi

harga saham tiga bulan mendatang (T = 1/4) dengan sama dengan 53000 yang dilihat dari

data harga saham penutupan PT. HM Sampoerna tanggal 29 Februari 2012.

Untuk simulasi Gerak Brown Geometrik, persamaan (3) dituliskan dalam bentuk :

dengan Z adalah bilangan acak berdistribusi normal baku (Brigo,2007) dan dt = T/n.

Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan

oleh Gambar 7.

9

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.255.1

5.15

5.2

5.25

5.3

5.35

5.4

5.45x 10

4

waktu(Tahun)

Harg

a Sa

ham

(Rup

iah)

Simulasi Pergerakan Harga Saham

Gambar 7. simulasi pergerakan harga saham PT. HM Sampoerna Tbk.

selama tiga bulan mendatang.

Dari Gambar 7 dapat dilihat adanya variasi perubahan harga saham saat tiga bulan

kedepan. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, hal ini disebabkan oleh adanya faktor

dari luar yaitu informasi baru tentang saham PT. HM Sampoerna Tbk.

Studi Error

Karena , artinya nilai saham t menentukan nilai saham pada

waktu selanjutnya (t + 1), sehingga nilai juga berpengaruh terhadap kesalahan simulasi

pada waktu (terjadi perambatan error).

Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari

sampai 31 Mei 2012 yang ditunjukan oleh Gambar 8 digunakan untuk mendapatkan nilai

error dari simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 7. Prosentase Nilai error didapatkan

dengan menggunakan rumus

dengan merupakan rata – rata dari simulasi ke i dan ditunjukan oleh Gambar 9.

10

0 10 20 30 40 50 60 705.25

5.3

5.35

5.4

5.45

5.5

5.55

5.6x 10

4

waktu(Hari)

Harg

a S

aham

Harga Saham PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012

0 10 20 30 40 50 60 700

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

waktu(Hari)

Err

or

Dari S

imula

si (d

ala

m p

ers

en)

Studi Error

Gambar 8. Harga Saham Penutupan Harian PT.

HM Sampoerna Tbk. Tanggal 29 Februari Sampai

31 Mei 2012

Gambar 9. Nilai Error Dari Simulasi

Prosentase nilai error terbesar dari simulasi adalah sebesar 4.95 %.

KESIMPULAN

Pada makalah ini telah dijelaskan mengenai bagaimana menguji asumsi yang terdapat

pada Gerak Brown Geometri serta simulasi Gerak Brown Geometrik. Data yang digunakan

data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret

2010 sampai 29 Februari 2012. Hasil yang didapatkan adalah return dari harga saham

penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29

Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian

dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

mengikuti Gerak Brown Geometrik. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari

simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown

Geometrik dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan dari harga saham penutupan

harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk.

11

DAFTAR PUSTAKA


Political Economy, Vol 81. No. 3.



2012).




Hull, John C. 2009. Options,Futures, and Other Derivatives, 7th

Edition. New Jersey: Pearson

Education.

Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei

2012).



Pradhitya, K.A.S., Susanto, B., dan Parhusip,H.A.,2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa

Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri. Prosiding Seminar Nasional Penelitian,

Pendidikan dan Penerapan MIPA,Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta.



Sebelas Maret, Surakarta.



http://ineddeni.wordpress.com/

2

PENUTUP

Hasil analisa dan pembahasan yang didapatkan adalah return dari harga saham

penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29

Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian

dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012

mengikuti Gerak Brown Geometri. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna

Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari

simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown

Geometri dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham ataupun menentukan

harga Opsi Eropa PT. H.M. Sampoerna Tbk.

DAFTAR PUSTAKA

Alam,M.M dan Uddin , G.S. 2009. Relationship between Interest Rate and Stock Price:

Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and

Management, Vol 4. No. 3, http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217,

(diakses pada 24 April 2012).

BI Rate, http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate, (diakses pada 6

Maret 2012).


Political Economy, Vol 81. No. 3



2012).




Hull, John C. 2009. Options,Futures, And Other Derivatives, 7th

Edition. New Jersey:

Pearson Education.

Kurniawan, D. 2008. Regresi Linier, http://ineddeni.wordpress.com,(diunduh pada 10 Mei

2012).



Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J. 1988. The Mathematics of Nonlinear

Programming. New York : Springer-Verlag.



Sebelas Maret.

Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_%28keuangan%29, (diakses pada 3 Januari

2012).

http://ccsenet.org/journal/index.php/ijbm/article/view/217

http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate



http://ineddeni.wordpress.com/

http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_(keuangan)

perhitungan harga opsi eropa menggunakan metode gerak

Documents