penggunaan regresi robust pada data yang...

i

PENGGUNAAN REGRESI ROBUST PADA DATA

YANG MENGANDUNG PENCILAN DENGAN

METODE MOMEN

Skripsi

Oleh:

NURMIATI NURDIN

H 121 09 279

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2013

ii

“Penggunaan Regresi Robust pada Data yang

Mengandung Pencilan dengan Metode Momen”

S K R I P S I

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar

Oleh:

NURMIATI NURDIN

H 121 09 279

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2013

vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin penulis panjatkan atas ke hadirat Allah SWT

atas limpahan rahmat, hidayah, nikmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir dengan judul “Penggunaan Regresi Robust pada

Data yang Mengandung Pencilan dengan Metode Momen” dengan segala

kekurangan dan kelebihan. Salam dan sholawat penulis juga hanturkan kepada

Baginda Rasulullah Muhammad SAW sebagai satu-satunya suri tauladan dalam

menjalankan kehidupan dunia dan akhirat.

Penyusunan skripsi ini tentunya tidak lepas dengan bantuan berbagai pihak

baik moriil maupun materiil. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan

terima kasih yang tulus serta penghargaan yang tak terhingga kepada Ayahanda

H. Nurdin dan Ibunda tercinta Hj. Bungatia yang telah mendidik penulis dengan

penuh kesabaran dengan cinta, kasih sayang dan penuh ketulusan hati. Serta

kepada Kakanda dan Adinda ku tercinta Bripka Ibrahim, Brigpol Amri,

Khaeruddin, S.T. dan Nurhijrah Nurdin yang selalu menjadi sahabat terbaik

dan memberi motivasi yang tiada hentinya.

Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan

juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Prof. Dr. dr. Ir. H. Idrus Andi Patturusi, Sp.B., Sp.BO. selaku

Rektor Universitas Hasanuddin beserta seluruh jajarannya.

vii

2. Bapak Prof. Dr. H. Abd. Wahid Wahab, M.Sc. selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin dan para

staf Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin yang telah membekali ilmu

dan kemudahan-kemudahan kepada penulis.

3. Ibu Dr. Hasmawati, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin dan staf

Jurusan Matematika (Pak Nasir dan Pak Sutamin, S.Sos.) yang telah

membekali ilmu dan kemudahan-kemudahan kepada penulis.

4. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si. selaku Penasehat Akademik penulis

sekaligus sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini.

Terima kasih atas atas segala masukan positif dan motivasi yang diberikan

selama penulis menjalani pendidikan.

5. Ibu Anna Islamiyati, S.Si., M.Si dan Bapak Drs. Raupong, M.Si. selaku

dosen pembimbing. Terima kasih telah meluangkan waktunya dengan penuh

kesabaran memberikan bimbingan, arahan dan saran kepada penulis dalam

penyusunan tugas akhir ini. Smoga Allah senantiasa membalas segala

kebaikan beliau dengan limpahan nikmat-Nya.

6. Bapak Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc. selaku Ketua Tim Penguji.

Terima kasih atas segala koreksi dan saran yang diberikan dalam penyusunan

tugas akhir ini.

7. Bapak Andi Kresna Jaya, S.Si., M.Si. selaku Sekretaris Tim Penguji. Terima

kasih telah memberikan kritikan membangun dalam penyempurnaan

penyusunan tugas akhir ini serta segala bentuk support yang telah diberikan.

viii

8. Seluruh Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Terima kasih atas ilmu yang telah

diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan.

9. Teman-teman terbaik EKSTRIM’09 yaitu Statistika 2009 (Uni, kiki, Ayu,

Yanti, Mimi, Fitri, Yuni, Anda, Evi, Isna, Ida, Tenri, Vinni, Iva, Risma, Niki,

Ira, Hesty, Whay, Yuli, Jumi, Jejen, Try, Naser, Endy, Iman, Fahrun, Mirsam,

Juned, Firman, Irzan, Ivin) dan Matematika 2009 (Dedel, Iche, Rina, Cia,

Nur, Icha, Fifik, Mery, Devita, Arni, Erika, Apri, Nida, Inggrid, Lesdi, Edi,

Taufik, Sadno, Faisal, Jamal, Ali, Fairus, Iksan). Terima kasih atas

kebersamaan dan persaudaraan terindah yang terjalin selama perkuliahan ini.

Ada banyak kenangan yang berkesan yang akan sulit untuk dilupakan.

10. Seluruh warga HIMATIKA tanpa terkecuali, yang telah mengajarkan arti

kebersamaan dalam berorganisasi. BRAVO HIMATIKA.

11. Seluruh pemain DRUM CORP PRAMUKA UNHAS tanpa terkecuali

terutama teman-teman seperjuangan dalam GPMB 2012. Terima kasih atas

kebersamaan termanis dan pengalaman yang telah diberikan. One Band One

Sound.

12. My Bestfriend Amma, Fika, Dian, Ayat, Yatto, Uga dan Ajju selaku teman

seperjuangan dari Parepare. Terima kasih atas persahabatan yang telah terjalin

dan motivasi yang diberikan kepada penulis selama ini. Selamat berjuang

meraih mimpi kawan.

13. Teman-teman KKN Gel. 82 Kab. Wajo, Kec. Sajoanging, Desa Sakkoli

(Ami, Martin, Komang, kak Nining, kak Eko, kak Roy, kak Diaz, Mas

ix

Roman, dan Apri). Terima kasih atas pengalaman termanis yang telah

diberikan.dan segala bentuk support yang telah diberikan.

14. Semua pihak yang tak sempat disebutkan satu persatu atas segala bentuk

bantuan dan perhatiannya hingga terselesaikannya tugas akhir ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan

sehingga kritik dan saran yang membangun akan penulis terima dengan tangan

terbuka demi perbaikan lebih lanjut.

Akhir kata, Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat dan menambah ilmu

pengetahuan bagi semua pihak yang membacanya.

Amin Yaa Rabbal’alamin.

Makassar, April 2013

Penulis

x

PENGGUNAAN REGRESI ROBUST PADA DATA YANG

MENGANDUNG PENCILAN DENGAN METODE MOMEN

ABSTRAK

Analisis regresi merupakan sebuah alat statistika yang memberikan

tentang pola hubungan antara dua variabel atau lebih. Salah satu metode yang

umumnya digunakan dalam mengestimasi parameter pada analisis regresi linear

adalah metode kuadrat terkecil (OLS). Namun metode ini mempunyai kelemahan

apabila data terdeteksi mengandung outlier. Maka regresi robust disarankan dapat

mengatasi masalah outlier dalam data untuk mengestimasi parameter, salah

satunya adalah Metode Momen (MM) yang digunakan untuk data yang terdeteksi

outlier pada variabel bebas dan variabel terikat serta memiliki nilai breakdown

point yang tinggi.

Dalam skripsi ini dikaji tentang penggunaan Metode Momen dengan

metode iterasi Iteratively Reweighted Least Square (IRLS). Metode Momen

merupakan gabungan antara estimasi S dan estimasi M. Pada Metode Momen ini

digunakan fungsi pembobot Tukey Bisquare.

Kata Kunci : Analisis Regresi, OLS, Outlier, Breakdown Point, Regresi Robust,

Metode Momen, Tukey Bisquare.

xi

USING ROBUST REGRESSION ON DATA CONTAINING

OUTLIERS BY THE METHOD OF MOMENTS

ABSTRACT

Regression analysis is a statistical tool that provides about the

relationship between two or more variables. One of the methods commonly used

in estimating the parameters of the linear regression analysis is a Ordinary Least

Squares (OLS). But this method has a weakness if the data contains outliers

detected. Then the robust regression suggested to solve the problem of outliers in

the data to estimate the parameters, one of which is the Method of Moments (MM)

used for data detected outlier on the independent variable and the dependent

variable and also has a high value of the breakdown point.

In this thesis examined the use of method of moments with the Iteratively

Reweighted Least Square (IRLS). The method of moment is a combination of S-

estimates and M-estimates. At the Method of Moment is used Tukey Bisquare

weighting function.

Keywords : Regression Analysis, OLS, outlier, Breakdown Point, Robust

Regression, Method of Moments, Tukey Bisquare.

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i

LEMBAR KEOTENTIKAN ......................................................................... iii

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iv

LEMBAR PENGESAHAN PENGUJI ......................................................... v

KATA PENGANTAR .................................................................................... vi

ABSTRAK ...................................................................................................... x

ABSTRACT .................................................................................................... xi

DAFTAR ISI ................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xvi

DAFTAR LAMPIRAN................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah .......................................................................... 4

1.4 Tujuan Penelitian ........................................................................ 4

1.5 Manfaat Penelitian ....................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 5

2.1 Regresi ........................................................................................ 5

2.2 Model Regresi Linier Sederhana ................................................ 5

2.3 Model Regresi Linier Berganda .................................................. 6

xiii

2.4 Pencilan (Outlier) ........................................................................ 6

2.4.1 Defenisi Pencilan ................................................................ 6

2.4.2 Dampak Pencilan................................................................. 7

2.4.3 Tipe Pencilan ...................................................................... 7

2.4.4 Identifikasi Pencilan............................................................ 8

2.5 Metode Kuadrat Terkecil ............................................................ 11

2.6 Regresi Robust ............................................................................. 13

2.6.1 Breakdown Point ................................................................ 15

2.6.2 Fungsi Obyektif.................................................................. 15

2.6.3 Estimasi S .......................................................................... 16

2.6.4 Estimasi M ........................................................................ 17

2.6.5 Estimasi MM ..................................................................... 18

2.7 Uji Signifikansi Parameter .......................................................... 19

BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................... 22

3.1 Sumber Data ................................................................................ 22

3.2 Identifikasi Variabel .................................................................... 22

3.3 Metode Analisis ........................................................................... 23

3.3 Diagram Alur Kerja ..................................................................... 24

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................... 25

4.1 Estimasi Parameter Regresi Robust Menggunakan

Metode Momen ........................................................................... 25

4.2 Pengolahan Data .......................................................................... 27

4.2.1 Identifikasi Pencilan ........................................................... 27

xiv

4.2.2 Regresi Robust Estimasi MM ............................................. 28

4.2.3 Koefesien Determinasi (𝑅2) ............................................... 30

4.2.2 Uji Signifikansi Parameter ................................................. 31

BAB V PENUTUP ......................................................................................... 35

5.1 Kesimpulan .................................................................................. 35

5.2 Saran ............................................................................................ 36

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 37

LAMPIRAN..................................................................................................... 38

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Diagram Alur Kerja .................................................................. 24

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 1 Hasil Iterasi Memperoleh Nilai Koefesien Parameter Robust .... 30

Tabel 2 Nilai 𝑇𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 Model Regresi Robust ........................................... 32

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Data IPK dan Nilai UAN .......................................................... 39

Lampiran 2 Nilai DfFITS dan Leverage Value (𝑕𝑖𝑖) .................................... 40

Lampiran 3 Output Program SAS 9.1 Estimasi-S ........................................ 41

Lampiran 4 Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai

Pembobot untuk Iterasi Pertama ............................................... 42


Pembobot untuk Iterasi Kedua .................................................. 43


Pembobot untuk Iterasi Ketiga ................................................. 44


Pembobot untuk Iterasi Keempat .............................................. 45


Pembobot untuk Iterasi Kelima ................................................ 46


Pembobot untuk Iterasi Keenam ............................................... 47


Pembobot untuk Iterasi Ketujuh ............................................... 48


Pembobot untuk Iterasi Kedelapan .......................................... 49


Pembobot untuk Iterasi Kesembilan ......................................... 50

xviii

Lampiran 13 Output Regresi Robust Estimasi MM ....................................... 51

Lampiran 14 Output Hasil Estimasi Menggunakan OLS ............................... 52

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk

membentuk model hubungan antara variabel terikat (dependent; respon; Y)

dengan satu atau lebih variabel bebas (independent; prediktor; X). Secara

umum regresi linear terdiri dari dua yaitu regresi linear sederhana dimana

terdapat satu variabel terikat 𝑌 dan satu variabel bebas X sedangkan regresi

linear berganda dimana terdapat satu variabel terikat Y dan beberapa

variabel bebas 𝑋. Regresi linear banyak digunakan dalam berbagai bidang

dalam hal analisis untuk melihat pengaruh suatu kondisi atau kejadian.

Dalam menaksir parameter model regresi ini maka penaksir yang umum

digunakan adalah penaksir kuadrat terkecil (ordinary least square). Hal ini

disebabkan oleh mudahnya penghitungan penaksir ini dan sifatnya sebagai

penaksir tak bias terbaik untuk parameter model regresi jika data yang

digunakan memenuhi asumsi klasik (Draper & Smith,1998: 34-38).

Pelanggaran asumsi yang sering terjadi pada data, biasanya

disebabkan oleh adanya data pencilan. Menurut Soemartini (2007) pencilan

adalah pengamatan yang jauh dari kelompok data yang mungkin

berpengaruh besar terhadap koefesien regresi. Beragam faktor yang dapat

menyebabkan adanya pencilan, diantaranya kekeliruan pada sistem

pengukuran (measurement system error), kesalahan input data (human

2

error) atau karena terjadinya peristiwa yang luar biasa (misalnya krisis atau

bencana).

Cara mengatasi pencilan diantaranya membuang data pencilan dari

proses analisis dengan pertimbangan sudah bisa terwakili oleh sebagian

besar data lainnya dan tidak mengurangi informasi serta beranggapan bahwa

bisa saja pencilan tersebut disebabkan kekeliruan, bukan data sebenarnya.

Dengan menghilangkan data pencilan diharapkan telah hilang pula

penyebab pelanggaran asumsi, sehingga peneliti dapat menggunakan

metode analisis standar.

Jika data pencilan merupakan data yang sangat berpengaruh dan

menyimpan informasi penting dari sebuah peristiwa, maka peneliti tidak

diperkenankan membuang data pencilan begitu saja. Data pencilan tersebut

tetap dipertahankan dalam analisis dengan melakukan transformasi terhadap

data dengan maksud agar asumsi terpenuhi. Namun seringkali transformasi

yang dilakukan terhadap data tidak dapat menghilangkan atau memperkecil

nilai leverage outlier yang akhirnya membiaskan pendugaan. Dalam

keadaan seperti ini, pendekatan yang biasa digunakan adalah regresi robust.

Regresi robust merupakan alat yang penting untuk menganalisis data

yang terkontaminasi oleh pencilan. Regresi robust digunakan untuk

mendeteksi pencilan dan memberikan hasil yang resisten terhadap adanya

pencilan (Chen 2000). Regresi robust terdiri dari 5 metode yaitu estimasi M

(M Estimation), estimasi LMS (Least Median of Square), estimasi LTS

3

(Least Trimmed Square), estimasi S (Scale Estimation) dan estimasi MM

(Method of Moment).

Penelitian tentang regresi robust dengan metode LTS telah dilakukan

oleh Nuraidah (2012), yang dimana metode LTS digunakan hanya ketika

variabel bebasnya terdapat pencilan.

Dalam penelitian ini penulis membahas menggunakan metode

estimasi-MM karena metode ini mempunyai kelebihan yaitu dapat

digunakan untuk data yang terdeteksi pencilan pada variabel bebas dan

variabel terikat .

Estimasi MM (Method of Moment), dikenalkan oleh Yohai (1987).

Metode ini menggabungkan estimasi S (estimasi dengan high breakdown

point) dan estimasi M.

Berdasarkan uraian dan penelitian sebelumnya tersebut maka penulis

tertarik untuk mengangkat judul “Penggunaan Regresi Robust Pada Data

yang Mengandung Pencilan dengan Metode Momen”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, dapat

dirumuskan masalah sebagai berikut :

1. Bagaimana mengestimasi parameter regresi robust menggunakan

estimasi Metode Momen?

2. Bagaimana model regresi pada data indeks prestasi kumulatif pada

mahasiswa yang mengandung pencilan dengan regresi robust melalui

estimasi Metode Momen?

4

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini dibatasi pada penggunaan estimasi Metode Momen

dalam penerapannya pada data yang mengandung pencilan dengan

menggunakan pembobot Tukey Bisquare.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini berdasarkan permasalahan yang

telah dirumuskan sebelumnya adalah :

1. Untuk mengestimasi parameter regresi robust menggunakan estimasi

Metode Momen.

2. Untuk mendapatkan model regresi pada data indeks prestasi kumulatif

mahasiswa yang mengandung pencilan dengan regresi robust melalui

estimasi Metode Momen.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat akademisi maupun

praktisi bagi pengguna ilmu statistik sebagai gambaran dan alternatif

pertimbangan dalam menganalisis model regresi yang di dalamnya terdapat

data pencilan.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Regresi

Analisis regresi merupakan sebuah alat statistika yang memberikan

penjelasan tentang pola hubungan antara dua variabel atau lebih. Dalam

analisis regresi, dikenal dua jenis variabel yaitu :

Variabel terikat disebut juga variabel dependent yaitu variabel yang

keberadaannya diperngaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan

dengan 𝑌.

Variabel bebas disebut juga variabel independent yaitu variabel yang

tidak dipengaruhi oleh variabel lainnya dan dinotasikan dengan 𝑋.

2.2 Model Regresi Linier Sederhana

Bentuk hubungan yang paling sederhana antara variabel 𝑋 dengan

variabel 𝑌 adalah bentuk garis lurus atau berbentuk hubungan linier yang

disebut dengan regresi linier sederhana atau sering disebut regresi linier saja

dengan persamaan matematikanya sebagaimana diungkapkan (Walpole,

Ronald E, dkk. 1995) adalah sebagai berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.1)

di mana :

Yi : variabel terikat pada pengamatan ke-i

6

Xi : variabel bebas pada pengamatan ke-i

𝛽0 : intercept

𝛽1 : koefisien regresi

𝜀𝑖 : galat (error)

2.3 Model Regresi Linier Berganda

Hubungan fungsional atau hubungan kausal antara dua atau lebih

variable yang dinyatakan dalam suatu bentuk fungsi linier pada umumnya

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dibahas dalam

analisis regresi. Untuk hubungan fungsional yang linier dapat dirumuskan

dalam bentuk persamaan regresi sebagai berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.2)

di mana :

Yi : variabel terikat pada pengamatan ke-i

Xik : variabel bebas pada pengamatan ke-i

𝛽0 : intercept

𝛽1, … , 𝛽𝑘 : koefisien-koefisien regresi atau koefisien kemiringan

𝜀𝑖 : galat (error)

2.4 Pencilan (Outlier)

2.4.1 Defenisi Pencilan (Outlier)

Pencilan adalah pengamatan yang jauh dari pusat data yang

mungkin berpengaruh besar terhadap koefesien regresi. Pencilan dapat

7

muncul karena kesalahan dalam memasukkan data, kesalahan pengukuran,

analisis, atau kesalahan-kesalahan lain. Pengaruh pencilan dalam analisis

data dapat dibedakan berdasarkan asal pencilan tersebut yaitu yang berasal

dari peubah respon (y-outliers; titik influence) atau berasal dari peubah

bebasnya (x-outliers; titik leverage).

2.4.2 Dampak Pencilan (Outlier)

Dampak keberadaan pencilan ini dapat mengganggu dalam proses

analisa data dan harus dihindari dalam banyak hal. Dalam kaitannya

dengan analisis regresi, pencilan dapat menyebabkan hal – hal berikut :

1. Galat yang besar dari model yang terbentuk atau 𝐸[𝑒] ≠ 0.

2. Varians pada data tersebut menjadi lebih besar.

3. Taksiran interval memiliki rentang yang lebar.

2.4.3 Tipe Pencilan (Outlier)

Tipe-tipe dari pencilan diantaranya adalah:

1. Pencilan regresi adalah sebuah pengamatan yang menyimpang dari

hubungan kelinearan ditentukan dari (𝑛 − 1) pengamatan yang

lainnya, atau paling tidak dari mayoritas pengamatan tersebut.

2. Pencilan galat adalah sebuah pengamatan yang memiliki standarisasi

galat yang besar ketika digunakan dalam perhitungan.

3. Pencilan 𝑥 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang hanya pada

koordinat 𝑥 atau disebut titik leverage baik (good leverage points).

8

4. Pencilan 𝑦 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang hanya pada

koordinat 𝑦 atau disebut pencilan vertical (vertical outliers).

5. Pencilan 𝑥 dan 𝑦 adalah sebuah pengamatan yang menyimpang pada

kedua koordinat atau disebut titik leverage jelek (bad leverage points).

(Puput, 2011 : 13).

2.4.4 Identifikasi Pencilan (Outlier)

Terdapat beberapa metode untuk mengidentifikasi adanya pencilan

yang berpengaruh dalam koefisien regresi antara lain :

1. Metode Grafis

Keuntungan dari metode ini yaitu mudah dipahami karena

menampilkan data secara grafis (gambar) dan tanpa melibatkan

perhitungan yang rumit. Sedangkan menurut Soemartini, kelemahan

dari metode ini adalah keputusan bahwa suatu data merupakan

pencilan sangat bergantung pada judgement peneliti, karena hanya

mengandalkan visualisasi grafis, untuk itu dibutuhkan seseorang yang

ahli dan berpengalaman dalam menginterpretasikan plot tersebut.

a. Scatter Plot

Metode ini dilakukan dengan cara memplot data dengan

pengamatan ke-i (𝑖 = 1,2, … , 𝑛). Selain itu, jika sudah

didapatkan model regresi maka dapat dilakukan dengan cara

memplot antara galat (𝑒) dengan nilai penaksir 𝑌(𝑌 ). Jika

terdapat satu atau beberapa data yang terletak jauh dari pola

9

kumpulan data keseluruhan maka hal ini mengindikasikan adanya

pencilan.

b. Box Plot

Metode ini mempergunakan nilai kuartil dan jangkauan untuk

mendeteksi pencilan. Dengan menggunakan nilai kuartil 1,2 dan 3

yang akan membagi sebuah urutan data menjadi beberapa bagian

IQR = Q3 – Q1 (2.3)

di mana :

Q1 : Kuartil ke 1

Q2 : Kuartil ke 2

Q3 : Kuartil ke 3

IQR : Jangkauan (Interquartile Range)

Data-data yang merupakan pencilan yaitu nilai yang kurang

dari 1,5xIQR terhadap kuartil 1 dan nilai yang lebih dari 1,5xIQR

terhadap kuartil 3.

2. Metode DfFITS (Difference fitted value FITS) atau Standardized

DfFITS

DfFITS merupakan suatu ukuran berpengaruh yang ditimbulkan

oleh pengamatan ke-i terhadap nilai taksiran 𝑦 𝑖 . Nilai 𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖

diperoleh dari persamaan berikut:

(𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆)𝑖 =𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑖−1

𝑆𝑖−12 − 𝑕𝑖𝑖

(2.4)

10

di mana :

𝑦 𝑖 : nilai taksiran 𝑦𝑖

𝑦 𝑖−1 : nilai taksiran 𝑦𝑖 tanpa pengamatan ke-i

𝑆𝑖−12 : jumlah kuadrat galat tanpa pengamatan ke-i

𝑕𝑖𝑖 : elemen diagonal ke-i dari matriks 𝐻 = 𝑋𝑖𝑇(𝑋𝑇𝑋)−1𝑋𝑖

Suatu pengamatan ke-i data diidentifikasikan sebagai pencilan

apabila nilai :

𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖 > 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≤ 30

𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆𝑖 > 2 𝑝

𝑛

1/2

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 30

dengan p banyaknya parameter dan n banyaknya pengamatan .

3. Nilai Pengaruh (Leverage Point)

Metode yang digunakan dalam mengidentifikasi pencilan terhadap

variabel 𝑋 adalah nlai pengaruh (Leverage Point). Nilai pengaruh

𝑕𝑖𝑖 dari penamatan 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 menunjukan besarnya peranan 𝑌𝑖

terhadap 𝑌 𝑖 dan didefinisikan sebagai:

𝑕𝑖𝑖 = 𝑋𝑖𝑇(𝑋𝑇𝑋)−1𝑋𝑖 ; 𝑖: 1,2, . . . , 𝑛 (2.5)

dengan 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖1 𝑋𝑖2 ⋯ 𝑋𝑖𝑘 adalah vektor baris yang berisi

nilai-nilai dari peubah variabel bebas dalam pengamatan ke-i. Nilai 𝑕𝑖𝑖

berada diantara 0 dan 1 dengan rumus

𝑕𝑖𝑖 = 𝑘

𝑛

𝑖=1

(2.6)

dengan k=p-1. Sehingga dapat dituliskan menjadi

2𝑕 𝑖𝑖 =2 𝑕𝑖𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

2𝑘

𝑛=

2(𝑝 − 1)

𝑛 (2.7)

11

Suatu pengamatan ke-i data diidentifikasikan sebagai pencilan

apabila nilai 𝑕𝑖𝑖 > 2𝑕 𝑖𝑖 .Sehingga pengamatan ke-i dikatakan pencilan

terhadap X.

2.5 Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square = OLS) merupakan

suatu metode untuk mendapatkan garis regresi yang baik yaitu sedekat

mungkin dengan datanya sehingga nanti menghasilkan prediksi yang baik

(Widarjono, 2005).

Dasar dari penaksiran koefisien regresi linier dalam regresi linier

berganda adalah metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah

kuadrat galat sedemikian sehingga didapat koefisien-koefisien regresi yang

tak bias. Akan ditaksir koefisien-koefisien regresi dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat

𝜀𝑖2𝑛

𝑖=1 .

Estimator OLS memberikan hasil cukup baik saat semua asumsi

klasik dalam regresi dipenuhi, akan tetapi metode ini memiliki kelemahan

yang sangat sensitif terhadap pencilan. Pengaruh pencilan dapat

menyebabkan estimasi OLS mempunyai nilai variansi yang sangat besar dan

mengakibatkan distribusi galat 𝑒𝑖 tidak lagi berdistribusi normal. Dengan

demikian maka pengujian statistik untuk melihat signifikansi hasil estimasi

parameter regresi dan untuk pembuatan selang kepercayaan yang didasarkan

12

pada distribusi normal tidak dapat dilakukan karena menjadi tidak dapat

diandalkan lagi (Rosseeuw, 1987).

Model regresi berganda dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai

berikut :

𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (2.8)

dengan,

𝒚 =

𝑦1

𝑦2

⋮𝑦𝑛

, 𝑿 =

1 𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑘

1 𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑘

⋮1

⋮𝑥𝑛1

⋮ ⋱ ⋮𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑘

, 𝜷 =

𝛽0

𝛽1

⋮𝛽𝑘

, 𝑑𝑎𝑛 𝜺 =

𝜀1

𝜀2

⋮𝜀𝑛

di mana 𝑝 = 𝑘 + 1

Dalam hal ini y adalah variabel bebas X adalah matriks konstanta, β

adalah vektor parameter dan ε adalah vektor galat yang bersifat acak normal

bebas dengan nilai ekspektasi, 𝐸 𝜺 = 0 dan matriks varians

kovarians,𝜎2 𝜺 = 𝜎2𝐼𝑘 .

Untuk mendapatkan penaksir 𝑦 yaitu 𝒚 = 𝑿𝜷 diperlukan nilai

penaksir untuk parameter β yaitu 𝜷 . Salah satu prosedur penaksir yang

sering digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Pada dasarnya, metode ini

meminimumkan jumlah kuadrat simpangan 𝑦 dari nilai ekspektasinya yaitu

meminimumkan :

𝑆 𝜷 = 𝜺𝒊𝟐

𝑛

𝑖=1

= 𝜺𝑇𝜺 = 𝒚 − 𝑿𝜷 𝑇(𝒚 − 𝑿𝜷) (2.9)

dan 𝑆 𝜷 dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝑆 𝜷 = 𝒚𝑇𝒚 − 𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 − 𝒚𝑇𝑿𝜷 + 𝜷𝑇𝑿𝑇𝑿𝜷 (2.10)

13

= 𝒚𝑇𝒚 − 2𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 + 𝜷𝑇𝑿𝑇𝑿𝜷

Karena 𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚 adalah sebuah matriks (1 𝑥 1) atau sebuah skalar dan

transposenya adalah (𝜷𝑇𝑿𝑇𝒚)𝑇 = 𝒚𝑇𝑿 𝜷 merupakan skalar juga penaksir

kuadrat terkecil harus memenuhi,

𝜕𝑆

𝜕𝜷 𝜷

= −2𝑿𝑇𝒚 + 2𝑿𝑇𝑿𝜷 = 0 (2.11)

maka penaksir kuadrat terkecil dari β adalah

𝜷 = 𝑿𝑇𝑿 −1 𝑿𝑇𝒚 (2.12)

2.6 Regresi Robust

Regresi robust merupakan metode regresi yang digunakan ketika

distribusi dari galat tidak normal dan atau adanya beberapa pencilan yang

berpengaruh pada model (Ryan, 1997). Metode ini merupakan alat penting

untuk menganalisa data yang dipengaruhi oleh pencilan sehingga dihasilkan

model yang robust atau resistant terhadap pencilan. Suatu estimasi yang

resistant adalah relatif tidak terpengaruh oleh perubahan besar pada bagian

kecil data atau perubahan kecil pada bagian besar data. Metode ini

dikembangkan oleh Rousseuw dan Leroy (1987).

Metode robust lebih didekatkan pada parameter rata-rata dan

variansikovariansi dari suatu penaksir tertentu, yaitu dengan

menstandarisasikan penaksir untuk parameter rata-rata dan variansi-

kovariansi sedemikian sehingga menghasilkan penaksir yang konsisten

terhadap parameter-parameter tersebut. Dalam hal ini, dilakukan dengan

14

bentuk pembatasan nilai pada penaksiran untuk parameter-parameternya.

Dengan ke-robust-an, penaksirannya tidak akan menyimpang terlalu jauh.

Menurut Chen (2002:1) metode-metode estimasi dalam regresi robust

diantaranya adalah:

1. Estimasi M (Maximum likelihood type) yang dikenalkan oleh Huber

(1973) adalah metode yang sederhana baik dalam penghitungan

maupun secara teoritis. Estimasi ini menganalisis data dengan

mengasumsikan bahwa sebagian besar yang terdeteksi pencilan pada

variabel independen.

2. Estimasi LTS (Least Trimmed Squares) adalah metode dengan high

breakdown point yang dikenalkan oleh Rousseeuw (1984). Breakdown

point adalah ukuran proporsi minimal dari banyaknya data yang

terkontaminasi pencilan dibandingkan seluruh data pengamatan.

3. Estimasi S (Scale) juga merupakan metode dengan high breakdown

point yang dikenalkan oleh Rousseeuw and Yohai (1984). Dengan nilai

breakdown yang sama, metode ini mempunyai efisiensi yang lebih

tinggi dibanding estimasi LTS.

4. Estimasi MM (Method of Moment), dikenalkan oleh Yohai (1987).

Metode ini menggabungkan estimasi S (estimasi dengan high

breakdown point) dan estimasi M.

15

2.6.1 Breakdown Point

Breakdown point adalah salah satu cara yang digunakan untuk

mengukur ke-robust-an (kekekaran) suatu estimator. Breakdown point

merupakan proporsi minimal dari banyaknya pencilan dibandingkan

seluruh data pengamatan.

Dengan kata lain, breakdown point sebagai suatu ukuran

ke-robuts-an dari suatu penaksir. Semakin besar nilai persen dari

breakdown point pada suatu penaksir, maka penaksir tersebut semakin

robust.

Regresi robust yang mempunyai breakdown point adalah regresi

robust dengan metode estimasi S, LTS, LMS, dan MM. Metode estimasi

MM mempunyai breakdown point 50%. Breakdown point 50% adalah

breakdown point yang tinggi.

2.6.2 Fungsi Obyektif

Fungsi obyektif adalah fungsi yang digunakan untuk mencari fungsi

pembobot pada regresi robust. Fungsi pembobot yang digunakan yaitu

fungsi pembobot Tukey Bisquare.

Diberikan suatu fungsi obyektif sebagai berikut:

𝜌 𝑒𝑖∗ =

𝑟2

6 1 − 1 −

𝑒𝑖∗

𝑟

2

3

, 𝑒𝑖∗ < 𝑟

𝑟2

6, 𝑒𝑖

∗ ≥ 𝑟

(2.13)

dengan fungsi influence yaitu:

16

𝜓 𝑒𝑖∗ = 𝜌′(𝑒𝑖

∗) =𝜕 𝜌 𝑒𝑖

∗

𝜕𝑒𝑖∗ = 𝑒𝑖

∗ 1 − 𝑒𝑖

∗

𝑟

2

2

, 𝑒𝑖∗ < 𝑟

0, 𝑒𝑖∗ ≥ 𝑟

2.14

Sehingga diperoleh fungsi pembobot

𝑤𝑖 = 𝑤 𝑒𝑖∗ =

𝜓 𝑒𝑖∗

𝑒𝑖∗ = 1 −

𝑒𝑖∗

𝑟

2

2

, 𝑒𝑖∗ < 𝑟

0, 𝑒𝑖∗ ≥ 𝑟

2.15

di mana:

𝑒𝑖∗ : galat yang distandarisasi

𝑟 : 4,685

Nilai 𝑟 pada fungsi objektif, influence dan pembobot adalah tunning

constant. Kelly (2006) menyatakan permasalahan dalam estimasi regresi

robust adalah perlu dilakukan pemilihan tunning constant agar estimasi

yang diperoleh lebih spesifik dan memimimumkan jumlah kuadrat galat.

Menurunkan tunning constant akan menaikan pembobot terhadap galat

yang besar. Menaikkan tunning constant akan menurunkan pembobot

terhadap galat yang besar. Semakin besar 𝑟 maka estimasi robust akan

mendekati least square.

2.6.3 Estimasi S

Jika data terkontaminasi pencilan pada variabel X, estimasi M tidak

dapat bekerja dengan baik. Estimasi M tidak dapat mengidentifikasi bad

observation yang berarti tidak dapat membedakan good leverage point dan

bad leverage point. Good leverage merupakan pengamatan yang berada di

ruang distribusi tetapi sudah tidak berada di daerah mayoritas data

17

sedangkan bad leverage merupakan pengamatan yang tidak berada baik

dalam ruang distribusi pengamatan maupun daerah mayoritas. Untuk

mengatasi hal tersebut, estimasi high breakdown sangat diperlukan (Chen,

2002:5). Salah satu estimasi yang mempunyai nilai high breakdown adalah

estimasi S. Bentuk estimator S adalah:

)16.2(,...,,ˆminˆ21 ns eee

di mana :

𝜌 : fungsi obyektif

neee ,...,, 21 : nilai galat hingga pengamatan ke-n

𝜎

: estimator skala robust yaitu

𝜎 = 𝑛 𝑒𝑖

2 − 𝑒𝑖𝑛𝑖=1 2𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑛 − 1) (2.17)

2.6.4 Estimasi M

M-Estimation merupakan metode regresi robust yang sering

digunakan. M-Estimation dipandang dengan baik untuk mengestimasi

parameter yang disebabkan oleh x-outlier dan memiliki breakdown point

1/𝑛. Estimator M yang meminimumkan fungsi 𝜌 (fungsi obyektif) dari

galatnya.Bentuk estimatornya yaitu:

𝛽 𝑀 =𝑚𝑖𝑛𝛽

𝜌 𝑒𝑖∗

𝑛

𝑖=1

; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.18)

di mana :


18

𝑒𝑖∗ : galat yang distandarisai yaitu

𝑒𝑖

𝜎 𝑠

𝜎 : estimator skala robust yang memenuhi:

𝜎 =𝑀𝐴𝑅

0.6745=

1𝑛

𝑦𝑖−𝑦 𝑖 𝑛𝑖

0.6745 (2.19)

dengan MAR adalah Median Absolute Residual.

𝑦𝑖 : variabel terikat pada pengamatan ke-i

𝑦 𝑖 : penaksir 𝑦𝑖

Dalam mengestimasi parameter regresi robust M metode iterasi

diperlukan, karena galat tidak dapat dihitung sampai diperoleh model yang

cocok dan parameter regresi juga tidak dapat dihitung tanpa mengetahui

nilai galat. Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) adalah metode

iterasi yang banyak digunakan.

2.6.5 Estimasi MM

Estimasi MM menggabungkan estimasi high breakdown point dan

efisiensi statistik yang dikenalkan oleh Yohai (1987). Langkah pertama

dalam estimasi ini adalah mencari estimator S, kemudian menetapkan

parameter-parameter regresi menggunakan estimasi M. Estimasi S

menjamin nilai breakdown point tinggi dan estimasi M membuat estimator

mempunyai efisiensi tinggi. Pada umumnya digunakan fungsi Tukey

Bisquare baik pada estimasi S maupun estimasi M.

19

Bentuk dari metode estimasi MM:

𝛽 𝑀𝑀 =𝑚𝑖𝑛𝛽

𝜌 𝑒𝑖

𝜎 =

𝑚𝑖𝑛𝛽

𝜌 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖𝑗 𝛽𝑗

𝑘𝑗=0

𝜎

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

(2.20)

di mana :


𝑒𝑖 : galat untuk pengamatan ke-i

𝜎 : estimator skala robust

Metode MM juga menggunakan IRLS (Iteratively Reweighted Least

Square) untuk mencari estimasi parameter regresi.

Prosedur estimasi parameter pada model regresi linier ganda dengan

regresi robust estimasi MM:

1. Menghitung estimator awal koefisien 𝛽 𝑗(1)

dan galat ei(1)

dari regresi

robust dengan high breakdown point (estimasi S) dengan bobot Tukey

Bisquare .

2. Menghitung skala estimasi 𝜎 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)

menggunakan galat ei(1)

pada langkah pertama.

3. Menghitung koefisien regresi menggunakan galat ei(1)

dengan skala

estimasi wi(1)

pada langkah kedua.

4. Menghitung bobot baru wi(2)

dengan skala estimasi dari iterasi awal.

5. Mengulang langkah 2, 3, 4 (dengan skala estimasi tetap konstan) sampai

mendapatkan 𝑒𝑖(𝑚)

𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝛽 𝑗

(𝑚+1) dan 𝛽 𝑗

(𝑚) mendekati

0, dengan 𝑚 banyaknya iterasi).

20

2.7 Uji Signifikansi Parameter

Pengujian signifikansi parameter dalam model regresi bertujuan untuk

mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Disamping

itu juga untuk mengetahui kelayakan parameter dalam menerangkan model.

Terdapat dua tahap pengujian yaitu uji simultan dan uji parsial (individu).

a. Uji Simultan (Uji F)

Uji simultan merupakan pengujian secara bersama semua

parameter dalam model regresi. Hipotesis yang digunakan adalah

sebagai berikut :

𝐻0 ∶ 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0

𝐻1 ∶ 𝐴𝑑𝑎 𝛽𝑗 ≠ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘

Statistik uji yang digunakan untuk Weighted Least Square (WLS)

adalah :

𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =

)1/()ˆ(

)/()ˆ(

1

2

1

2

knyyw

kyyw

n

i

iii

n

i

ii

(2.21)

di mana:

𝑤𝑖 : Nilai pembobot untuk pengamatan ke-i

𝑦 𝑖 : Penaksir 𝑦 untuk pengamatan ke-i

𝑦 𝑖 : Rataan dari 𝑦 untuk pengamatan ke-i

Kriteria pengambilan keputusannya adalah:

Tolak 𝐻0 jika 𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

Terima 𝐻0 jika 𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

21

Nilai 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dapat dilihat menggunakan Microsoft Office Excel

dengan fungsi = 𝐹𝐼𝑁𝑉(𝛼; 𝑛 − 𝑘 − 1).

b. Uji Parsial (Uji T)

Uji parsial merupakan pengujian secara individu parameter

dalam model regresi yang bertujuan untuk mengetahui parameter

model regresi telah signifikan atau tidak. Hipotesis yang digunakan

adalah sebagai berikut :

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘

𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0

Statistik uji yang digunakan untuk Weighted Least Square (WLS)

adalah :

𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝛽 𝑗

𝑆𝑒(𝛽 𝑗 ) (2.22)

di mana:

𝛽 𝑗 : Penaksir parameter model regresi

𝑆𝑒(𝛽 𝑗 ) : Standard error dari 𝛽𝑗

Kriteria pengambilan keputusannya adalah:

Tolak 𝐻0 jika 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

Terima 𝐻0 jika 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≥ 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

Nilai 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dapat dilihat menggunakan Microsoft Office Excel

dengan fungsi = 𝑇𝐼𝑁𝑉(𝛼; 𝑛 − 𝑘 − 1).

22

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder

yang dikumpulkan melalui pengambilan sampel nilai Ujian Nasional dan

Indeks Prestasi Kumulatif selama tiga semester pada 150 orang mahasiswa

jurusan matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas

Hasanuddin angkatan tahun 2010, 2011 dan 2012. Yang dimana setiap

angkatannya mewakili 50 orang mahasiswa sebagai sampel. Dalam

penelitian ini diasumsikan bahwa kondisi yang terjadi antara tiga tahun

angkatan itu dianggap sama.

3.2 Identifikasi Variabel

Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

𝑦𝑖 = Variabel terikat yaitu indeks prestasi kumulatif

𝑥𝑖𝑗 = Variabel bebas yaitu,

𝑥𝑖1 = Nilai bahasa Indonesia

𝑥𝑖2 = Nilai bahasa Inggris

𝑥𝑖3 = Nilai Matematika

𝑥𝑖4 = Nilai Fisika

𝑥𝑖5 = Nilai Kimia

𝑥𝑖6 = Nilai Biologi

23

3.3 Metode Analisis

Adapun langkah-langkah yang dilakukan berdasarkan tujuan

penelitian adalah sebagai berikut :

1. Melakukan pengambilan data sekunder.

2. Mengidentifikasi adanya pencilan pada data menggunakan metode

DfFITS dan Leverage Point.

3. Melakukan estimasi MM yaitu langkahnya sebagai berikut:


dan galat 𝑒𝑖 1

dari regresi

robust dengan high breakdown point (estimasi S) dengan bobot

Tukey Bisquare .

2. Menghitung skala estimasi 𝜎 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)

menggunakan galat 𝑒𝑖 1

pada langkah pertama.

3. Menghitung koefisien regresi menggunakan galat 𝑒𝑖 1

dengan skala

estimasi wi(1)

pada langkah kedua.

4. Menghitung bobot baru wi(2)

dengan skala estimasi dari iterasi awal.

5. Mengulang langkah 2, 3, 4 (dengan skala estimasi tetap konstan)

sampai mendapatkan 𝑒𝑖(𝑚)

𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝛽 𝑗

(𝑚+1) dan 𝛽 𝑗

(𝑚)

mendekati 0, dengan 𝑚 banyaknya iterasi).

4. Uji signifikansi parameter antara variabel IPK dengan nilai-nilai Ujian

Akhir Nasional.

24

3.4 Diagram Alur Kerja

Menghitung estimator awal dan galat 𝑒𝑖(1)

Mulai

Input data yang

mengandung pencilan

Menghitung skala estimasi 𝜎 dan

pembobot awal wi(1)

Menghitung bobot baru wi(2)

dengan skala

parameter dari literasi awal

Apakah selisih

𝛽 𝑗(𝑚+1)

dan 𝛽 𝑗(𝑚)

mendekati nol

(konvergen) ?

Tidak

Ya

Model regresi dari estimasi MM

Kesimpulan

Selesai

Gambar 1 Diagram Alur Kerja

25

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang estimasi MM (Method of Moment)

dalam penerapannya pada data yang mengandung pencilan. Data yang digunakan

adalah data sekunder mengenai pengaruh nilai Ujian Nasional terhadap Indeks

Prestasi Kumulatif selama tiga semester mahasiswa jurusan Matematika Fakultas

MIPA Universitas Hasanuddin.

4.1 Estimasi Parameter Regresi Robust Menggunakan Metode Momen

Secara umum persamaan (2.2) merupakan model regresi linier

berganda untuk data ke-𝑖 dan data 𝑛 pengamatan yang dapat dituliskan

sebagai berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 = 𝑿𝜷 + 𝜀𝑖

Taksiran modelnya yaitu:

𝑌 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1𝑋𝑖1 + 𝛽 2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑘𝑋𝑖𝑘 = 𝑿𝜷 (4.1)

Estimasi parameter menggunakan OLS menjadi kurang baik apabila

distribusi galatnya tidak normal dan mengandung pencilan. Salah satu cara

untuk mengatasinya adalah menggunakan regresi robust. Salah satu metode

regresi robust yang digunakan adalah Metode Momen, yang diperkenalkan

oleh Yohai pada tahun 1978 (Chen,2002).

Pada umumnya, estimasi MM meminimumkan fungsi obyektif

dengan persamaan:

26

𝜌 𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝜌 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷

𝑛

𝑖=1

(4.2)

Selanjutnya dari persamaan (4.2) dicari turunan parsial pertama dari

𝜌 terhadap 𝛽𝑗 , 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 dan disamakan dengan 0, diperoleh:

𝜓 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷 𝑿𝑻 = 0

𝑛

𝑖=1

(4.3)

dengan 𝜓 = 𝜌′ dan 𝜓 merupakan fungsi influence yang digunakan untuk

memperoleh pembobot. Kemudian galatnya distansarisasi, sehingga pers

(4.3) menjadi

𝜓 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷

𝜎 𝑿𝑻 = 0

𝑛

𝑖=1

(4.4)

Didefenisikan suatu fungsi pembobot 𝑤𝑖 =𝜓(𝑒𝑖

∗)

𝑒𝑖∗ dengan 𝑒𝑖

∗ adalah

galat yang distandarisasi sehingga 𝑒𝑖∗ =

𝑒𝑖

𝜎 . Maka pers. (4.4) dapat ditulis

menjadi:

𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝑿𝜷

𝜎 𝑿𝑻 = 0

𝑛

𝑖=1

𝑿𝑻𝑤𝑖𝑌𝑖 − 𝑿𝑻𝑤𝑖𝑿𝜷 = 0

𝑛

𝑖=1

(4.5)

𝑿𝑻𝑤𝑖𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝑿𝑻𝑤𝑖𝑿𝜷

𝑛

𝑖=1

= 0

Dalam bentuk matriks persamaan (4.5) dapat dituliskan menjadi :

𝑿𝑇𝑾𝑿𝜷 = 𝑿𝑇𝑾𝒀 (4.6)

(2.9)

27

dimana 𝑊 adalah matriks diagonal yang berukuran n x n dengan elemen

diagonalnya 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 (n banyaknya pengamatan). Pers. (4.6) dikalikan

dengan 𝑿𝑇 𝑾 𝟏 𝑿 −1

pada kedua ruas maka didapatkan estimasi

parameter sebagai berikut:

𝜷 = 𝑿𝑇𝑾 𝑿 −1𝑿𝑇𝑾𝒀 (4.7)

Pada langkah selanjutnya dihitung kembali bobot 𝑤𝑖 yang baru

menggunakan 𝛽 𝑗 dari hasil sebelumnya dan skala parameter 𝜎 𝑠 konstan.

Untuk 𝑤𝑖(𝑚)

bobot yang diberikan, dapat diperoleh estimator

𝜷 𝒋 𝒎+𝟏

= 𝑿𝑇 𝑾 𝒎 𝑿 −1

𝑋′𝑾 𝒎 𝒀 sampai

n

i

m

ie0

)( konvergen (selisih

nilai 𝛽 𝑗𝑚 dan 𝛽 𝑗

𝑚+1 mendekati 0) dengan m banyaknya iterasi.

4.2 Pengolahan Data

Data yang digunakan adalah data sekunder yang dikumpulkan melalui

pengambilan sampel nilai Ujian Nasional dan Indeks Prestasi Kumulatif

selama tiga semester mahasiswa jurusan Matematika Fakultas MIPA

Universitas Hasanuddin (Lampiran 1).

Untuk menganalisis data tersebut, berikut adalah langkah-langkah

pengolahan datanya:

4.2.1 Identifikasi Pencilan

Untuk mendeteksi pencilan dapat menggunakan metode DfFITS untuk

mengidentifikasi pencilan di variabel 𝑌 dan Leverage Value (𝑕𝑖𝑖) untuk

mengidentifikasi pencilan di variabel 𝑋.

28

a. Metode DfFITS

Suatu data dikatakan terdeteksi adanya pencilan pada variabel

terikat apabila nilai |𝐷𝑓𝐹𝐼𝑇𝑆| > 2 𝑝

𝑛= 0.432. Data yang terdeteksi

pencilan yaitu data ke-1, 6, 24, 86, dan 122 (Lampiran 2).

b. Leverage Value (𝑕𝑖𝑖)

Suatu data dikatakan terdeteksi adanya pencilan pada variabel

bebas apabila nilai 𝑕𝑖𝑖 > 2𝑘

𝑛= 0.080. Data yang terdeteksi pencilan

yaitu data ke- 5, 7, 25, 27, 40, 90, 100, 111, 122, 124, 131, 133, 138,

139, 142, 143 dan 144 (Lampiran 2).

4.2.2 Regresi Robust Estimasi MM (Method of Momen)

Hasil identifikasi pencilan dapat disimpulkan bahwa terdapat

pencilan pada data. Selanjutnya, untuk mengatasi permasalahan tersebut

digunakan regresi robust dengan estimasi MM (Method of Moment).

Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :


dan galat 𝑒𝑖 1

dari metode

estimasi S.

Dengan menggunakan program SAS 9.1 (Lampiran 3) maka didapatkan

parameter - parameter regresi awalnya sebagai berikut :

𝛽 0(1)

= 1.1744

𝛽 1(1)

= 0.0272

𝛽 2(1)

= 0.0988

29

𝛽 3(1)

= 0.0475

𝛽 4(1)

= −0.0564

𝛽 5(1)

= 0.1152

𝛽 6(1)

= 0.0419

Nilai parameter diatas merupakan parameter iterasi awal. Selanjutnya

estimator dari metode S ini akan digunakan mencari nilai galat ei(1)

Dengan 𝑒𝑖(1)

= 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖(1)

.

7. Galat ei(1)

pada langkah pertama digunakan untuk menghitung skala

estimasi 𝜎 𝑠 dan dihitung pula pembobot awal wi(1)

dengan bobot Tukey.

Berdasarkan lampiran 3 didapatkan nilai scale yang dijadikan sebagai

nilai 𝜎 yaitu 0.2827 dan 𝜓(𝑒𝑖∗) dihitung sesuai fungsi pembobot Tukey

Bisquare. Hasil perhitungan pembobotnya dapat dilihat di Lampiran 4

sampai Lampiran 12.

8. Galat ei(1)

dengan skala estimasi wi(1)

pada langkah kedua digunakan

dalam iterasi awal untuk menghitung koefisien regresi. Nilai wi(1)

akan

dijadikan menjadi matriks diagonal dengan ukuran 𝑛𝑥𝑛 dimana 𝑛 = 150

dengan wi merupakan elemen diagonalnya kemudian dimasukkan

kedalam persamaan berikut:

𝜷 𝑗(2)

= 𝑿𝑻 𝑾 1 𝑿 −1

𝑿𝑻 𝑾 1 𝒚 (4.8)

Untuk mendapatkan nilai estimasi parameter kedua, yaitu:

30

𝜷 𝑗(2)

=

𝛽 0

𝛽 1𝛽 2

𝛽 3

𝛽 4𝛽 5

𝛽 6

=

1.307030.032560.092290.04262

−0.050970.108100.03359

9. Selanjutnya mengulang langkah 2 dan 3 untuk menghitung bobot baru

wi(2)

dengan skala estimasi 𝜎 𝑠tetap konstan) sampai mendapatkan

𝑒𝑖(𝑚)

𝑛𝑖=1 konvergen (selisih 𝜷 𝑗

(𝑚+1) dan 𝜷 𝑗

(𝑚) mendekati 0, dengan 𝑚

banyaknya iterasi).

Hasil iterasi selengkapnya dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 1 Hasil Iterasi Memperoleh Nilai Koefesien Parameter Robust

𝛽 0 𝛽 1 𝛽 2 𝛽 3 𝛽 4 𝛽 5 𝛽 6

Iter

asi

(m

)

0 1.1744 0.0272 0.0988 0.0475 -0.0564 0.1152 0.0419

1 1.30703 0.03256 0.09229 0.04262 -0.05097 0.10811 0.03359

2 1.32601 0.03311 0.09204 0.04235 -0.05068 0.10710 0.03202

3 1.32914 0.03318 0.09210 0.04235 -0.05069 0.10696 0.03168

4 1.32973 0.03318 0.09213 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03161

5 1.32985 0.03319 0.09213 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03159

6 1.32988 0.03319 0.09214 0.04236 -0.05071 0.10693 0.03159

7 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158

8 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158

9 1.32989 0.03319 0.09214 0.04237 -0.05071 0.10693 0.03158

Berdasarkan Tabel 1 diatas, terlihat bahwa selisih estimasi parameter

pada iterasi ke-9 dan ke-8 sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa

31

estimasi parameter telah konvergen, sehingga diperoleh model regresi

robust sebagai berikut:

𝑦 = 1.32989 + 0.03319𝑋1 + 0.09214𝑋2 + 0.04237𝑋3 − 0.05071𝑋4 + 0.10693𝑋5 + 0.03158𝑋6 (4.9)

4.2.3 Koefesien Determinasi (𝑹𝟐)

Menggunakan nilai 𝑅2 dapat diketahui tingkat signifikansi atau

kesesuaian hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat dalam

model regresi yang dihasilkan. Maka diperoleh nilai 𝑅2 dari regresi robust

sebesar 0.1429 = 14.29% (Lampiran 13) yang lebih besar dibandingkan

dengan nilai 𝑅2 yang diperoleh dari metode OLS yaitu sebesar

0.075 = 7.5 % (Lampiran 14). Hal ini berarti pengaruh nilai Ujian Nasional

terhadap Indeks Prestasi Kumulatif mahasiswa jurusan Matematika FMIPA

UNHAS sebesar 14.29 %. Sisanya yaitu 85.71% dipengaruhi oleh variabel-

variabel lain.

4.2.4 Uji Signifikansi Parameter

a. Uji Simultan (Uji F)

Uji simultan merupakan pengujian secara bersama semua

parameter dalam model regresi. Hipotesis yang digunakan adalah

sebagai berikut :

𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽6 = 0

𝐻1: 𝛽1 ≠ 𝛽2 ≠ ⋯ ≠ 𝛽6 ≠ 0

dengan statistik uji seperti pada pers. (2.21) untuk model regresi

robust didapatkan nilai 𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 23.8 dan nilai

32

𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝐹(𝛼 ;𝑘;𝑛−𝑘−1) = 𝐹0,05;6;143 = 2.162

Karena nilai 𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 lebih besar dari nilai 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 , maka 𝐻0 ditolak

artinya terdapat pengaruh nilai Indeks Prestasi Kumulatif mahasiswa

jurusan Matematika FMIPA UNHAS terhadap nilai-nilai Ujian

Nasional yang meliputi nilai bahasa Indonesia(𝑋1), bahasa

Inggris(𝑋2), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), Kimia(𝑋5) dan

Biologi(𝑋6).

b. Uji Parsial (Uji T)

Uji parsial merupakan pengujian parameter secara individu

dalam model regresi yang bertujuan untuk mengetahui variabel-

variabel mana yang berpengaruh terhadap nilai IPK mahasiswa

jurusan Matematika selama tiga semester untuk angkatan 2010, 2011

dan 2012. Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0 ; 𝑗 = 1,2, … ,6

𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0

dengan statistik uji seperti pada pers. (2.22) diperoleh hasil sebagai

berikut :

33

Tabel 2 Nilai 𝑻𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 Model Regresi

Robust

Variabel Nilai 𝒕𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈

𝑋1 1.1366

𝑋2 2.7836

𝑋3 1.5350

𝑋4 -1.5229

𝑋5 2.5219

𝑋6 1.0288

dan diperoleh nilai

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡(𝛼 ;𝑛−𝑘−1) = 𝑡0.05;143 = 1.977

Berdasarkan Tabel 2 dapat dilihat bahwa variabel nilai bahasa

Indonesia(𝑋1), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), dan Biologi(𝑋6)

mempunyai nilai 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 kurang dari 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 diterima, artinya

variabel nilai bahasa Indonesia(𝑋1), Matematika(𝑋3), Fisika(𝑋4), dan

Biologi(𝑋6) tidak signifikan terhadap nilai IPK. Sebaliknya variabel

nilai bahasa Inggris(𝑋2) dan Kimia(𝑋5) mempunyai nilai 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔

lebih besar dari 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻0 ditolak, artinya nilai bahasa

Inggris(𝑋2) dan Kimia(𝑋5) signifikan terhadap nilai IPK. Maka kita

mendapatkan suatu model baru yaitu :

𝑦 = 1.32989 + 0.09214𝑋2 + 0.10693𝑋5 (4.10)

Makna yang dapat diterangkan dari pers. (4.9) adalah sebagai berikut:

1. 𝛽0 = 1.32989

Apabila nilai bahasa Inggris dan Kimia sama dengan 0.

Maka nilai IPK adalah sebesar 1.32989.

34

2. 𝛽2 = 0.09214

Angka tersebut menunjukkan koefesien untuk nilai bahasa

Inggris. Angka sebesar 0.09214 menunjukkan tanda positif yang

berarti apabila nilai bahasa Inggris meningkat satu satuan

sedangkan variabel lainnya dianggap konstan, maka

mengakibatkan nilai IPK naik sebesar 0.09214 satuan.

3. 𝛽5 = 0.10693

Angka tersebut menunjukkan koefesien untuk nilai Kimia.

Angka sebesar 0.10693 menunjukkan tanda positif yang berarti

apabila nilai Kimia meningkat satu satuan sedangkan variabel

lainnya dianggap konstan, maka mengakibatkan nilai IPK naik

sebesar 0.10693 satuan.

35

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dan berdasarkan

penjelasan yang telah diberikan, maka dapat diambil beberapa kesimpulan

sebagai berikut:

1. Estimasi MM (Method of Moment) merupakan salah satu estimasi

pada regresi robust yang dapat digunakan untuk data yang terdeteksi

pencilan pada variabel bebas dan variabel terikat.

2. Model regresi robust yang didapatkan dari estimasi MM yaitu:

𝑦 = 1.32989 + 0.03319𝑋1 + 0.09214𝑋2 + 0.04237𝑋3 − 0.05071𝑋4 + 0.10693𝑋5 + 0.03158𝑋6

3. Hasil perhitungan koefisien determinasi model regresi menggunakan

estimasi MM lebih besar yaitu 14.29 % dibandingkan dengan

koefisien determinasi model regresi menggunakan metode kuadrat

terkecil yaitu 7.5 % , sehingga model regresi robust dikatakan lebih

baik dibandingkan dengan model regresi menggunakan metode

kuadrat terkecil.

4. Berdasarkan uji signifikansi parameter yang dilakukan yaitu uji-F dan

uji-T didapatkan bahwa terdapat pengaruh nilai Indeks Prestasi

Kumulatif mahasiswa jurusan Matematika FMIPA UNHAS terhadap

nilai Ujian Nasional yang meliputi nilai bahasa Indonesia(𝑋1), nilai

bahasa Inggris(𝑋2), nilai Matematika(𝑋3), nilai Fisika(𝑋4), nilai

36

Kimia(𝑋5) dan nilai Biologi(𝑋6) . Serta dengan 𝛼 = 0.05 diperoleh

koefisien regresi 𝑋2 𝑑𝑎𝑛 𝑋5 signifikan. Maka kita mendapatkan suatu

model baru yaitu :

𝑦 = 1.32989 + 0.09214𝑋2 + 0.10693𝑋5

5.2 Saran

Penelitian ini membahas tentang penggunaan regresi robust pada

data yang mengandung pencilan dengan Metode Momen. Untuk

penelitian selanjutnya dapat dilakukan penelitian atau kajian lebih dalam

mengenai sifat-sifat teoritis pada beberapa estimator robust, salah satunya

least median square (LMS) ataupun melakukan pendekatan lain untuk

mengatasi data yang mengandung pencilan.

37

DAFTAR PUSTAKA

Chen, Colin .2002. Robust Regression and Outlier Detection with the Robustreg

Procedure. SUGI paper 265-27. SAS Institute : Cary, NC

Drapper, N. R.,& Smith, H. 1996. Applied Regression Analysis, 2nd edition. New

York: John Wiley & Sons. Chapman and Hall.

Hasanah, Isma. Regresi Robust Untuk Mengatasi Outlier Pada Regresi Linier

Berganda. Jurnal Universitas Jenderal Soedirman.

Kelly, M. (2006). “A Tour Around PROC ROBUSTREG”. Paper ST01. Dublin:

Quintiles Ireland Ltd.

Kurniawati, Lina Dewi. 2012. Kekekaran Regresi Linier Ganda Dengan Estimasi

MM (Method Of Moment) Dalam Mengatasi Pencilan. Yogyakarta : UNY.

Montgomery, D. C., & Peck, E. A. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis.

New York : A Wiley-Interscience Publication.

Rousseeuw, R. J. & A. M. Leroy. 1987. Robust Regression and Outlier Detection.

New York: By John Wiley and Sons, Inc.

Soemartini. 2007. Outlier (Pencilan). Bandung: UNPAD.

Puput,Nuraidah. 2011. Estimasi Parameter Dalam Regresi Linear Berganda Dengan

Metode Least Median Square (LMS). Makassar : Universitas Hasanuddin.

Walpole, Ronald. E and Myres, Raymond. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika

untuk Insinyur dan Ilmuan Edisi ke-4. Bandung : Institut Teknologi

Bandung.

Yohai, V. J. (1987). High Breakdown Point and High Efficiency Robust Estimates

for Regression. Annals of Statistics, Vol. 15, No.20, 642-656.

38

L

A

M

P

I

R

A

N

39

Lampiran 1

Data IPK dan Nilai UAN

𝒊 𝒙𝒊𝟏 𝒙𝒊𝟐 𝒙𝒊𝟑 𝒙𝒊𝟒 𝒙𝒊𝟓 𝒙𝒊𝟔 𝒚𝒊

1 9.00 8.00 9.75 8.50 8.50 7.75 1.30

2 7.40 8.60 9.00 9.25 9.25 8.75 3.41

3 6.80 8.00 8.75 8.00 8.75 8.75 3.30

4 8.20 6.80 8.50 9.00 8.25 9.00 3.55

5 7.80 7.80 8.25 6.00 8.25 6.25 3.67

6 8.80 7.20 6.50 7.00 7.50 6.50 1.42

7 8.25 8.00 8.50 7.25 7.75 5.25 3.03

8 7.00 8.60 7.00 9.75 8.00 6.50 3.50

9 8.80 8.00 7.90 7.60 8.00 7.40 3.16

10 8.00 8.40 8.00 7.25 7.75 8.25 3.60

11 6.40 8.20 8.00 7.25 8.50 8.00 3.18

12 7.60 9.00 9.25 8.75 8.50 8.75 3.85

13 8.20 8.20 7.50 8.25 8.00 7.25 3.00

14 8.80 8.00 8.75 8.25 8.75 9.00 3.54

15 7.80 8.60 9.00 7.25 8.50 8.50 3.67

16 6.20 7.80 7.00 8.00 8.25 8.25 3.51

17 7.60 7.60 8.50 8.00 8.00 7.00 3.00

18 5.20 8.20 8.25 7.50 8.50 8.75 3.06

19 8.80 7.40 9.25 7.75 7.75 7.00 3.13

20 8.00 7.20 8.75 8.25 9.50 8.25 3.28

21 8.80 7.40 8.50 7.75 8.50 8.00 3.51

22 9.20 8.20 9.25 7.75 9.00 7.25 3.16

23 9.00 8.20 9.00 9.25 8.00 9.00 3.24

24 8.20 8.00 9.50 8.25 8.25 8.75 1.15

25 6.20 8.00 4.50 8.25 8.75 8.00 3.40

26 8.80 8.00 7.90 8.90 7.70 8.00 3.20

27 5.60 6.50 8.60 6.70 7.40 8.25 3.43

28 6.40 8.20 8.00 7.25 8.50 7.60 3.18

29 7.60 9.00 8.00 8.75 8.50 8.70 3.43

30 7.25 8.25 7.75 8.25 7.50 8.50 2.65

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

147 8.20 7.25 8.50 6.80 8.00 7.25 3.23

148 7.20 8.40 9.00 8.00 9.00 8.80 3.76

149 8.00 6.00 8.40 7.25 7.60 7.70 3.63

150 9.20 7.80 9.00 8.25 8.00 7.80 3.22

40

Lampiran 2

Nilai DfFITS dan Leverage Value (𝒉𝒊𝒊)

Obs. Nilai

DfFITS |DfFITS|

Nilai Leverage

Value

1 -1.2435 1.2435 0.0368

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

5 0.2503 0.2503 0.0811

6 -1.4667 1.4667 0.0770

7 -0.1676 0.1676 0.0898

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 24 -1.1059 1.1059 0.0222

25 0.0424 0.0424 0.1135

26 -0.0178 0.0178 0.0259

27 0.1828 0.1828 0.0886

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 40 0.3089 0.3089 0.1117

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 86 0.4930 0.4930 0.0651

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

90 0.2656 0.2656 0.1418

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 100 0.2437 0.2437 0.1079

109 -0.0412 0.0412 0.0045

111 -0.1451 0.1451 0.0947

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

122 -0.6029 0.6029 0.1025

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 131 0.1989 0.1989 0.0889

132 0.1409 0.1409 0.0552

133 0.1101 0.1101 0.0818

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

138 0.1379 0.1379 0.1311

139 -0.3802 0.3802 0.0895

140 0.0076 0.0076 0.0379

141 -0.1051 0.1051 0.0468

142 0.3667 0.3667 0.1968

143 -0.0156 0.0156 0.1066

144 -0.0830 0.0830 0.1042

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

149 0.3344 0.3344 0.0532

150 -0.0300 0.0300 0.0234

41

Lampiran 3

Output Program SAS 9.1 Estimasi-S

Data Set WORK.MAHASISWA

Dependent Variable y

Number of Independent Variables 6

Number of Observations 150

Method S Estimation

Number of Observations Read 150

Number of Observations Used 150

Parameter Estimates

Standard 95% Confidence Chi-

Parameter DF Estimate Error Limits Square Pr > ChiSq

Intercept 1 1.1744 0.6025 -0.0065 2.3553 3.80 0.0513

X1 1 0.0272 0.0319 -0.0353 0.0897 0.73 0.3934

X2 1 0.0988 0.0361 0.0281 0.1695 7.51 0.0062

X3 1 0.0475 0.0299 -0.0111 0.1062 2.53 0.1120

X4 1 -0.0564 0.0363 -0.1276 0.0147 2.42 0.1201

X5 1 0.1152 0.0462 0.0247 0.2057 6.22 0.0126

X6 1 0.0419 0.0340 -0.0246 0.1084 1.52 0.2172

Scale 0 0.2827

42

Lampiran 4

Hasil Perhitungan Nilai Estimasi, Nilai Residual dan Nilai Pembobot

untuk Iterasi Pertama

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟏)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟏)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟏)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊

∗| 𝝍(𝒆𝒊∗) 𝒘𝒊

(𝟏)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.4973 -2.1973 -7.7724 7.7724 0 0

2 3.5634 -0.1534 -0.5426 0.5426 -0.5281 0.9734

3 3.4888 -0.1888 -0.6679 0.6679 -0.6410 0.9598

4 3.2929 0.2571 0.9093 0.9093 0.8421 0.9261

5 3.4230 0.2471 0.8739 0.8739 0.8141 0.9316

6 3.1754 -1.7554 -6.2095 6.2095 0 0

7 3.2968 -0.2668 -0.9438 0.9438 -0.8688 0.9205

8 3.1910 0.3090 1.0929 1.0929 0.9772 0.8941

9 3.3824 -0.2224 -0.7868 0.7868 -0.7430 0.9444

10 3.4315 0.1685 0.5961 0.5961 0.5769 0.9679

11 3.4441 -0.2641 -0.9343 0.9343 -0.8615 0.9220

12 3.5620 0.2880 1.0187 1.0187 0.9246 0.9077

13 3.3239 -0.3239 -1.1458 1.1458 -1.0128 0.8839

14 3.5396 0.0004 0.0015 0.0015 0.0015 1.0000

15 3.5902 0.0798 0.2823 0.2823 0.2803 0.9928

16 3.2911 0.2189 0.7745 0.7745 0.7327 0.9461

17 3.2995 -0.2995 -1.0593 1.0593 -0.9537 0.9004

18 3.4407 -0.3807 -1.3467 1.3467 -1.1333 0.8416

19 3.3333 -0.2033 -0.7190 0.7190 -0.6855 0.9535

20 3.4938 -0.2138 -0.7561 0.7561 -0.7173 0.9486

21 3.4259 0.0841 0.2974 0.2974 0.2950 0.9920

22 3.5777 -0.4177 -1.4774 1.4774 -1.1982 0.8110

23 3.4339 -0.1939 -0.6857 0.6857 -0.6567 0.9576

24 3.4908 -2.3408 -8.2802 8.2802 0 0

25 3.2251 0.1749 0.6187 0.6187 0.5973 0.9654

26 3.2997 -0.0997 -0.3526 0.3526 -0.3487 0.9887

27 3.1977 0.2323 0.8217 0.8217 0.7720 0.9394

28 3.4274 -0.2474 -0.8751 0.8751 -0.8151 0.9314

29 3.5006 -0.0705 -0.2496 0.2496 -0.2481 0.9943

30 3.3097 -0.6597 -2.3335 2.3335 -1.3193 0.5654

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5820 0.1780 0.6297 0.6297 0.6072 0.9642

149 3.1731 0.4570 1.6164 1.6164 1.2545 0.7761

150 3.4059 -0.1859 -0.6576 0.6576 -0.6319 0.9610

43

Lampiran 5


untuk Iterasi Kedua

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟐)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟐)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟐)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟐)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5000 -2.2000 -7.7820 7.7820 0 0

2 3.5477 -0.1377 -0.4872 0.4872 -0.4767 0.9785

3 3.4718 -0.1718 -0.6078 0.6078 -0.5875 0.9666

4 3.2994 0.2506 0.8866 0.8866 0.8242 0.9297

5 3.4285 0.2415 0.8542 0.8542 0.7983 0.9346

6 3.2075 -1.7875 -6.3228 6.3228 0 0

7 3.3209 -0.2909 -1.0291 1.0291 -0.9322 0.9058

8 3.2132 0.2868 1.0143 1.0143 0.9215 0.9084

9 3.3947 -0.2347 -0.8301 0.8301 -0.7788 0.9382

10 3.4292 0.1708 0.6043 0.6043 0.5844 0.9670

11 3.4313 -0.2513 -0.8889 0.8889 -0.8260 0.9293

12 3.5462 0.3038 1.0746 1.0746 0.9645 0.8975

13 3.3384 -0.3384 -1.1969 1.1969 -1.0458 0.8737

14 3.5326 0.0074 0.0262 0.0262 0.0262 0.9999

15 3.5732 0.0968 0.3424 0.3424 0.3387 0.9893

16 3.2884 0.2216 0.7839 0.7839 0.7407 0.9448

17 3.3104 -0.3104 -1.0981 1.0981 -0.9807 0.8931

18 3.4153 -0.3553 -1.2569 1.2569 -1.0825 0.8612

19 3.3487 -0.2187 -0.7737 0.7737 -0.7321 0.9462

20 3.4886 -0.2086 -0.7379 0.7379 -0.7017 0.9510

21 3.4314 0.0786 0.2779 0.2779 0.2760 0.9930

22 3.5791 -0.4191 -1.4826 1.4826 -1.2005 0.8098

23 3.4362 -0.1962 -0.6939 0.6939 -0.6638 0.9566

24 3.4826 -2.3326 -8.2510 8.2510 0 0

25 3.2332 0.1668 0.5900 0.5900 0.5715 0.9685

26 3.3161 -0.1161 -0.4108 0.4108 -0.4045 0.9847

27 3.1914 0.2386 0.8439 0.8439 0.7900 0.9362

28 3.4179 -0.2379 -0.8414 0.8414 -0.7880 0.9365

29 3.4913 -0.0613 -0.2167 0.2167 -0.2157 0.9957

30 3.3106 -0.6606 -2.3369 2.3369 -1.3187 0.5643

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5611 0.1989 0.7035 0.7035 0.6721 0.9554

149 3.1900 0.4400 1.5563 1.5563 1.2318 0.7915

150 3.4164 -0.1964 -0.6948 0.6948 -0.6646 0.9565

44

Lampiran 6


untuk Iterasi Ketiga

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟑)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟑)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟑)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟑)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5010 -2.2010 -7.7856 7.7856 0 0

2 3.5458 -0.1358 -0.4804 0.4804 -0.4703 0.9791

3 3.4699 -0.1699 -0.6011 0.6011 -0.5814 0.9674

4 3.2990 0.2510 0.8878 0.8878 0.8252 0.9295

5 3.4312 0.2388 0.8447 0.8447 0.7907 0.9360

6 3.2120 -1.7920 -6.3388 6.3388 0 0

7 3.3262 -0.2962 -1.0477 1.0477 -0.9455 0.9025

8 3.2166 0.2834 1.0024 1.0024 0.9128 0.9105

9 3.3969 -0.2369 -0.8379 0.8379 -0.7851 0.9371

10 3.4296 0.1704 0.6028 0.6028 0.5830 0.9672

11 3.4305 -0.2505 -0.8862 0.8862 -0.8239 0.9297

12 3.5448 0.3052 1.0795 1.0795 0.9679 0.8966

13 3.3407 -0.3407 -1.2053 1.2053 -1.0510 0.8720

14 3.5315 0.0085 0.0302 0.0302 0.0301 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2880 0.2220 0.7854 0.7854 0.7419 0.9446

17 3.3126 -0.3126 -1.1059 1.1059 -0.9861 0.8917

18 3.4127 -0.3527 -1.2477 1.2477 -1.0770 0.8632

19 3.3516 -0.2216 -0.7840 0.7840 -0.7407 0.9448

20 3.4877 -0.2077 -0.7346 0.7346 -0.6989 0.9514

21 3.4322 0.0778 0.2752 0.2752 0.2733 0.9931

22 3.5804 -0.4204 -1.4870 1.4870 -1.2025 0.8087

23 3.4361 -0.1961 -0.6936 0.6936 -0.6636 0.9566

24 3.4818 -2.3318 -8.2484 8.2484 0 0

25 3.2334 0.1666 0.5893 0.5893 0.5708 0.9686

26 3.3181 -0.1181 -0.4176 0.4176 -0.4110 0.9842

27 3.1911 0.2389 0.8452 0.8452 0.7911 0.9360

28 3.4177 -0.2377 -0.8409 0.8409 -0.7876 0.9366

29 3.4903 -0.0603 -0.2133 0.2133 -0.2124 0.9959

30 3.3109 -0.6609 -2.3379 2.3379 -1.3185 0.5640

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5589 0.2011 0.7112 0.7112 0.6788 0.9544

149 3.1920 0.4380 1.5494 1.5494 1.2290 0.7932

150 3.4182 -0.1982 -0.7009 0.7009 -0.6699 0.9557

45

Lampiran 7


untuk Iterasi Keempat

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟒)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟒)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟒)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟒)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5012 -2.2012 -7.7865 7.7865 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4794 0.4794 -0.4694 0.9792

3 3.4697 -0.1697 -0.6002 0.6002 -0.5806 0.9674

4 3.2988 0.2512 0.8887 0.8887 0.8259 0.9293

5 3.4320 0.2380 0.8420 0.8420 0.7885 0.9364

6 3.2128 -1.7928 -6.3415 6.3415 0 0

7 3.3274 -0.2974 -1.0519 1.0519 -0.9485 0.9017

8 3.2172 0.2828 1.0003 1.0003 0.9111 0.9109

9 3.3973 -0.2373 -0.8394 0.8394 -0.7864 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6021 0.6021 0.5824 0.9672

11 3.4306 -0.2506 -0.8864 0.8864 -0.8240 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0798 1.0798 0.9682 0.8966

13 3.3412 -0.3412 -1.2069 1.2069 -1.0520 0.8717

14 3.5313 0.0087 0.0309 0.0309 0.0309 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3465 0.3465 0.3427 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7856 0.7856 0.7421 0.9446

17 3.3131 -0.3131 -1.1076 1.1076 -0.9873 0.8913

18 3.4124 -0.3524 -1.2467 1.2467 -1.0764 0.8634

19 3.3522 -0.2222 -0.7860 0.7860 -0.7424 0.9445

20 3.4875 -0.2075 -0.7340 0.7340 -0.6984 0.9515

21 3.4323 0.0777 0.2747 0.2747 0.2728 0.9931

22 3.5808 -0.4208 -1.4884 1.4884 -1.2031 0.8083

23 3.4360 -0.1960 -0.6933 0.6933 -0.6633 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2481 8.2481 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5896 0.5896 0.5711 0.9686

26 3.3183 -0.1183 -0.4186 0.4186 -0.4119 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8453 0.8453 0.7912 0.9359

28 3.4179 -0.2379 -0.8415 0.8415 -0.7881 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2121 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7121 0.7121 0.6796 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5486 1.5486 1.2287 0.7934

150 3.4185 -0.1985 -0.7021 0.7021 -0.6709 0.9556

46

Lampiran 8


untuk Iterasi Kelima

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟏)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟓)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟓)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟓)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5013 -2.2013 -7.7867 7.7867 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4793 0.4793 -0.4693 0.9792

3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675

4 3.2987 0.2513 0.8890 0.8890 0.8262 0.9293

5 3.4321 0.2379 0.8414 0.8414 0.7880 0.9365

6 3.2129 -1.7929 -6.3421 6.3421 0 0

7 3.3276 -0.2976 -1.0528 1.0528 -0.9492 0.9016

8 3.2174 0.2826 0.9998 0.9998 0.9108 0.9110

9 3.3974 -0.2374 -0.8398 0.8398 -0.7867 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6020 0.6020 0.5823 0.9673

11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966

13 3.3413 -0.3413 -1.2072 1.2072 -1.0522 0.8716

14 3.5312 0.0088 0.0310 0.0310 0.0310 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445

17 3.3132 -0.3132 -1.1080 1.1080 -0.9875 0.8913

18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634

19 3.3523 -0.2223 -0.7865 0.7865 -0.7428 0.9444

20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515

21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931

22 3.5809 -0.4209 -1.4888 1.4888 -1.2033 0.8082

23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6632 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5711 0.9686

26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4120 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8453 0.8453 0.7912 0.9359

28 3.4180 -0.2380 -0.8417 0.8417 -0.7883 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7934

150 3.4185 -0.1985 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556

47

Lampiran 9


untuk Iterasi Keenam

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟔)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟔)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟔)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟔)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4693 0.9792

3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675

4 3.2987 0.2513 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293

5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7879 0.9366

6 3.2129 -1.7929 -6.3422 6.3422 0 0

7 3.3277 -0.2977 -1.0530 1.0530 -0.9493 0.9015

8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110

9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7867 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673

11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966

13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716

14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445

17 3.3132 -0.3132 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8913

18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634

19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444

20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515

21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931

22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082

23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6632 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686

26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359

28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7934

150 3.4185 -0.1985 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556

48

Lampiran 10


untuk Iterasi Ketujuh

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟕)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟕)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟕)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟕)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792

3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675

4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293

5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366

6 3.2129 -1.7929 -6.3422 6.3422 0 0

7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015

8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110

9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673

11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8241 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966

13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716

14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445

17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8913

18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634

19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444

20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515

21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931

22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082

23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686

26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359

28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935

150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556

49

Lampiran 11


untuk Iterasi Kedelapan

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟖)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟖)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟖)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟖)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792

3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675

4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293

5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366

6 3.2130 -1.7930 -6.3422 6.3422 0 0

7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015

8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110

9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673

11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8242 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966

13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716

14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445

17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8912

18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634

19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444

20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515

21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931

22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082

23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686

26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359

28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935

150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556

50

Lampiran 12


untuk Iterasi Kesembilan

𝒊 𝒀 𝒆𝒊

(𝟗)

= 𝒀𝒊 − 𝒀 𝒊(𝟗)

𝒆𝒊

∗ =𝒆𝒊

(𝟗)

𝝈 𝒔 |𝒆𝒊


(𝟗)=

𝝍(𝒆𝒊∗)

𝒆𝒊∗

1 3.5013 -2.2013 -7.7868 7.7868 0 0

2 3.5455 -0.1355 -0.4792 0.4792 -0.4692 0.9792

3 3.4696 -0.1696 -0.6000 0.6000 -0.5805 0.9675

4 3.2986 0.2514 0.8891 0.8891 0.8262 0.9293

5 3.4322 0.2378 0.8412 0.8412 0.7878 0.9366

6 3.2130 -1.7930 -6.3422 6.3422 0 0

7 3.3277 -0.2977 -1.0531 1.0531 -0.9494 0.9015

8 3.2174 0.2826 0.9997 0.9997 0.9107 0.9110

9 3.3974 -0.2374 -0.8399 0.8399 -0.7868 0.9368

10 3.4298 0.1702 0.6019 0.6019 0.5822 0.9673

11 3.4306 -0.2506 -0.8865 0.8865 -0.8242 0.9297

12 3.5447 0.3053 1.0799 1.0799 0.9682 0.8966

13 3.3413 -0.3413 -1.2073 1.2073 -1.0523 0.8716

14 3.5312 0.0088 0.0311 0.0311 0.0311 0.9999

15 3.5721 0.0979 0.3464 0.3464 0.3426 0.9891

16 3.2879 0.2221 0.7857 0.7857 0.7421 0.9445

17 3.3133 -0.3133 -1.1081 1.1081 -0.9876 0.8912

18 3.4124 -0.3524 -1.2465 1.2465 -1.0763 0.8634

19 3.3524 -0.2224 -0.7866 0.7866 -0.7429 0.9444

20 3.4875 -0.2075 -0.7339 0.7339 -0.6983 0.9515

21 3.4324 0.0776 0.2746 0.2746 0.2727 0.9931

22 3.5809 -0.4209 -1.4889 1.4889 -1.2033 0.8082

23 3.4360 -0.1960 -0.6932 0.6932 -0.6631 0.9567

24 3.4817 -2.3317 -8.2480 8.2480 0 0

25 3.2333 0.1667 0.5897 0.5897 0.5712 0.9686

26 3.3184 -0.1184 -0.4187 0.4187 -0.4121 0.9841

27 3.1910 0.2390 0.8454 0.8454 0.7912 0.9359

28 3.4180 -0.2380 -0.8418 0.8418 -0.7883 0.9365

29 3.4902 -0.0602 -0.2129 0.2129 -0.2120 0.9959

30 3.3110 -0.6610 -2.3381 2.3381 -1.3185 0.5639

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

148 3.5587 0.2013 0.7122 0.7122 0.6797 0.9543

149 3.1922 0.4378 1.5485 1.5485 1.2286 0.7935

150 3.4186 -0.1986 -0.7023 0.7023 -0.6711 0.9556

51

Lampiran 13

Output Regresi Robust Estimasi MM

Data

The ROBUSTREG Procedure

Model Information

Data Set IN.ABC

Dependent Variable Y

Number of Independent Variables 6

Number of Observations 150

Method MM Estimation

Number of Observations Read 150

Number of Observations Used 150

Data

The ROBUSTREG Procedure

Diagnostics Summary

Observation

Type Proportion Cutoff

Outlier 0.0200 3.0000

Goodness-of-Fit

Statistic Value

R-Square 0.1429

AICR 106.7603

BICR 134.2688

Deviance 9.5677

52

Lampiran 14

Output Hasil Estimasi Menggunakan OLS

Regression Variables Entered/Removed

b

Model Variables Entered Variables Removed Method

1 X6, X4, X5, X2, X1, X3a . Enter

a. All requested variables entered.

b. Dependent Variable: Y

Model Summaryb

Model R R Square Adjusted R

Square Std. Error of the

Estimate

1 .275a .075 .037 .40058

a. Predictors: (Constant), X6, X4, X5, X2, X1, X3


ANOVAb

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 1.871 6 .312 1.943 .078a

Residual 22.947 143 .160

Total 24.818 149

a. Predictors: (Constant), X6, X4, X5, X2, X1, X3


Coefficientsa

Model Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients t Sig.

B Std. Error Beta

1 (Constant) 1.695 .757 2.239 .027

X1 -.009 .041 -.019 -.218 .828

X2 .096 .046 .170 2.062 .041

X3 .015 .038 .034 .390 .697

X4 -.047 .046 -.089 -1.038 .301

X5 .109 .059 .150 1.839 .068

X6 .040 .042 .081 .960 .339

a. Dependent Variable: Y

penggunaan regresi robust pada data yang...

Documents