penggunaan integral

5/6/2018 Penggunaan Integral - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-559aba038eb25 1/5

Penggunaan Integral - 1

BAB 7

PENGGUNAAN INTEGRAL

7.1 Luas Daerah Bidang Datar

Daerah di atas sumbu- x Luas daerah dibatasi oleh kurva y = f ( x) 0, y = 0, x = a, dan

x = b adalah

b

a ydx A

CONTOH 1 Cari luas daerah yang dibatasi oleh 12

x y , y = 0, x = 1 dan x = 2.

Penyelesaian

6

)1()1(3

122

3

1

3

1

1

33

2

1

3

2

1

2

x x

dx x A

Daerah di bawah sumbu- x Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f ( x) 0, y = 0, x =

a, dan x = b adalah

b

a

ydx A

y = f ( x) y

x

A

a b

y = f ( x)

y

x

A

a b

y = x2

+ 1 y

x A

1 2



CONTOH 2 Cari luas daerah yang dibatasi oleh 322 x

x y dan y = 0.

Penyelesaian

Titik potong kurva dengan sumbu- x

0322 x

x y

0)1)(3( x x

x =

3 dan x = 1

Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada

gambar di samping. Luasnya adalah

3

2

2323

1

3

23

1

3

2

10

)3(3)3()3(3

11311

3

1

331

32

x

x x

dx x x A

Daerah yang dibatasi oleh dua kurva Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f ( x),

y2 = g( x), x = a, dan x = b, dengan y1 y2 adalah

dx y y A

b

a

21

CONTOH 3 Cari luas daerah yang dibatasi oleh2

2 x y dan y = x.

Penyelesaian

Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada

gambar. Batas bawah dan batas atas integral

diperoleh dengan mencari titik potong kedua

kurva sebagai berikut.

21y y maka

x x22

022

x x

0)1)(2( x x

x =

2 (batas bawah) dan x = 1 (batas atas).

Dengan demikian,

y = x2

+ 2 x – 3

y

x

A

3 1

y1 = f ( x) y

x

A

a b

y2 =g( x)

y

x2

1




1

2

22 dx x x A

1

2

22 dx x x

1

2

32

3

1

2

12 x x x

3232

)2(3

1)2(

2

1)2(21

3

11

2

112

5,4

Catatan Jika daerahnya dibatasi oleh x1 = f ( y), x2 = g( y), y = c, dan y = d , dengan x1

x2,

dy x x A

d

c

21

CONTOH 4 Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurva x y 42

dan garis 434 y x .

Penyelesaian

Titik potong kedua kurva

4

43

4

2

21

y

y x x

0432 y y

0)4)(1( y y

1 y (batas bawah) dan 4 y (batas atas)

Dengan demikian,

b

a

dy x x A )(12

4

1

2

44

43dy

y y

dy y y

4

1

2

434

1

4

1

32

3

14

2

3

4

1 y y y

3232

)1(3

1)1(4)1(

2

34

3

1444

2

3

4

1

24

125

x

1

4

4 x –

3 y = 4

y2 = 4 x



7.2 Volume Benda Putar

Pemutaran terhadap sumbu-x Jika y = f ( x) dengan batas a x b diputar ke sumbu-x

positif, volume yang dihasilkannya adalah

b

a

dx yV 2

Jika bidang yang diputar dibatasi oleh dua kurva,

b

a

dx y yV 2

1

2

2

CONTOH 1 Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh2

x y ,0 y , x = 0, dan x = 4. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke

sumbu- x.

Penyelesaian

9033

1

3

1 3

3

0

3

3

0

22 xdx

xdx yV

b

a

satuan volume.

CONTOH 2 Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh2

x y ,

2

x y , dan x = 0. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke

sumbu- x.

Penyelesaian

Batas-batas integral dapat ditentukan oleh titik potong kedua grafik maka

22

21

x x y y

022

x x

0)2)(1( x

x

1

x dan 2 x

Akan tetapi x = – 1 berada di luar daerah yang didefinisikan maka batas bawah integral

adalah x = 0 dan batas atasnya x = 2 sehingga

y

xa b

y2

y1




dx x xdx y yV

b

a

2

0

422

1

2

2

2

dx x x x

2

0

42

44

2

0

523

5

142

3

1 x x x x

CONTOH 3 Tentukan volume benda yang dihasilkan oleh pemutaran bidang ke-

sumbu-y seperti ditunjukkan pada gambar.

Penyelesaian

Titik potong kedua kurva, y y x x

222

2

2

1

022

y y

0)1)(2( y

y

2

y dan y 1

maka batas bawah integral y 0 dan batas atanya y 1 sehingga

dx y ydy x xV

d

c

1

0

22

1

2

22

penggunaan integral

Documents