pendahuluan · 2016. 9. 16. · dari definisi di atas, -3 adalah satu-satunya bilangan yang bila...

87

BAB V

BILANGAN BULAT

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai

dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru

tanpa menghilangkan sifat-sifat sebelumnya. Akan terlihat bahwa sistem bilangan

bulat mempunyai kelebihan jika dibandingkan dengan sistem bilangan cacah,

misalnya untuk setiap bilangan bulat mempunyai invers penjumlahan, sehingga

akan selalu mungkin melakukan operasi pengurangan. Tetapi operasi pembagian

dalam sistem bilangan bulat hanya, mungkin dalam hal-hal khusus.

Dalam kehidupan sehari-hari kita pernah menjumpai bilangan besar,

misalnya 383 462 376 853 467 360. Apakah bilangan tersebut habis dibagi oleh

10? Dibagi 5? dan Dibagi 2? Mengapa? Dalam bab ini juga akan dibahas beberapa

aturan untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat habis dibagi oleh suatu

bilangan bulat positip. Di samping itu, akan dibicarakan bi1angan prima,

komposit, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil.

A. Pengertian Bilangan Bulat

Kita telah mengenal himpunan bilangan asli ialah : {1, 2, 3, 4, … , k, ...}.

Sekarang perhatikan definisi berikut : Definisi : Jika k bilangan asli, maka -k

didefinisikan sebagai bilangan yang tunggal sehingga k + -k = -k + k = 0.

Dari definisi di atas, -3 adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah 3

menghasilkan 0, yang -1000 adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah

1000 menghasilkan 0. Secara urnum -k adalah satu-satunya bilangan yang bila

ditambah k menghasilkan 0, untuk k adalah bilangan asli. Bilangan -k disebut

invers penjmnlahan dari k, invers aditif dari k, lawan k, minus k, atau negative k.

Selanjutnydibentuk himpunan yang merupakan gabungan dan {... . . . ,-k, -

4, -3, -2, -1 }, himpunan bilangan asli dan nol. Himpunan mi di.sebut himpunan

bilangan bulat. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai { . . . , -4, -3, -

2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . ). Himpunan bilangan asli sebagai bagian dan hiinpunan

88

bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat positif, ditulis {1, 2, 3, . . .} atau

{+1, +2, +3 ). Sedangkan {…... , -3, -2, -1) disebut himpunan bilangan bulat

negatif.

Jika bilangan asli dapat dipikirkan sebagai jarak berarah ke kanan pada

garis bilangan, maka untuk bilangan bulat dapat dipikirkan sebagai jarak berarah

ke kanan dan ke kiri, dimulai dari 0, yang kemudian mengukur segmen-segmen

garis yang sama ke kanan diberi tanda 1, 2, 3, dan ke kiri diberi tanda -1, -2, -3, ...

seperti. gambar 3.1 berikut.

Gambar 5.1

Ide invers penjumlahan, lawan dari atau negatif dari dapat diperluas untuk

sembarang bilangan bulat, tidak hanya untuk bilangan asli. Telah diketahui bahwa

negatif dari 3 adalah -3, maka negatif dan -3 adalah 3. Dapat ditulis -(-3) = 3.

Jelasnya, akan diilustrasikan pada gambar 3.2 berikut.

Gambar 5.2

Setujukah Anda bahwa -(-2) adalah 2? Apakah negatif dari -4? Apakah 4?

Selanjutnya, apakah negatif dari 0? Menurut definisi, 0 + (-0) = (-0) + 0 = 0. Jika

demikian negatif dari. 0 adalah 0 sendiri, bukan?

Secara umum, negatif dari k adalah -k dan negatif dari -k adalah k. Dapat

ditulis -(-k) = k, untuk k sebarang bilangan bulat. Ilustrasinya dapat dihihat pada

gambar 5.3 berikut.

Gambar 5.3

89

1. Sifat-sifat Bilangan Bulat dan Operasi pada Bilangan Bulat

a. Sifat-sifat bilangan bulat.

Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r benlaku sifat-sifat :

1) Tertutup untuk operasi penjumlahan dan perkalian

p + q adalah bilangan bulat yang tunggal

p . q adalah bilangan bulat yang tunggal

2) Komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian

p + q = q + p

p . q = q . p

3) Asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian

(p + q) + r = p + (q + r)

(p . q) . r = p . (q . r)

4) Ada elemen invers penjumlahan yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat r, ada bilangan bulat yang tunggal demikian

sehingga r + (-r) = (-r) + r = 0

5) Ada elemen identitas penjumlahan yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat p, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 0,

demikian sehingga p + 0 = 0 + p = p

6) Ada elemen identitas perkalian yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat q, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 1,

demikian sehingga 1 . q = q . 1 = q

7) Distributif perkalian terhadap penjumlahan

a(b + c) = ab + ac (distributif kiri)

(b + c)a = ba + ca (distributif kanan)

8) Perkalian dengan nol

Jika p adalah bilangan bulat, maka 0 . p = p . 0 = 0

Selanjutnya akan dibahas tentang sistem bilangan bulat (... -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, ... } bersama dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian

(.) berserta sifat-sifat bilangan bulat tersebut.

b. Operasi Bilangan Bulat

1) Penjumlahan Bilangan Bulat

90

Contoh 1:

Carilah 2 + 5. Secara diagram panah penjumlahan 2 + 5 dapat

ditunjukkan pada garis bilangan berikut.

Gambar 5.4

Contoh 2

Jumlahkan 5 + (-2)

5 + (-2) = 3

Gambar 5.5

Selanjutnya, jumlah 5 + (-2) dapat dicari dengan menggunakan sifat-sifat

bilangan bulat sebagai berikut ;

5 + (-2) = (3 + 2) + (-2) Nama lain dari 5

= 3 + (2 + -2) Sifat asosiatif penjumlahan

= 3 + 0 Sifat invers penjumlahan

= 3 Sifat identitas penjumlahan

Jadi, 5 + (-2) = 3

Telah diketahui bahwa 5 - 2 = 3, maka 5 + (-2) = 5 - 2 = 3

Secara umum : Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika Jika p > q

(p = q + r, r bilangan asili), maka

p + (-q) = (q + r) + (-q) Nama lain dari p

91

= (r + q) + (-q) Sifat komutatif penjumlahan

= r + (q + -q) Sifat asosiatif penjuinlahan

= r + 0 Sifat invers penjuinlahan

= r Sifat identitas penjumlahan

= p – q Sebab p = q + r

Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p + q

Contoh 3.

Jumlahkan (-2) + 5

Penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif, oleh karena itu (-2) + 5 = 5

+ (-2). Tetapi apakah kesamaan itu konsisten dengan sifat-sifat penjumlahan

bilangan bulat?

(-2) + 5 = (-2) + (2 + 3) Nama lain dan 5

= [(-2) + 2] + 3 Sifat asosiatif penjumlahan

= 0 + 3 Sifat myers penjumlahan

= 3 Sifat identitas penjumlahan

Jadi, (-2) + 5 = 5 + (-2) = 3

Contoh 4 :

Jumlahkan [(-3 + -2)] + (3 + 2)

[(-3) + (-2)] + (3 + 2)

= ((-3) + (-2)) + (2 + 3) Sifat komutatif penjumlahan

= (-3) + [((-2) + 2) + 3)] Sifat asosiatif penjumlahan

= (-3) +(0 + 3) Sifat invers penjumlahan

= (-3) + 3 Sifat identitas penjumlahan

= 0 Sifat invers penjumlahan

Jadi, [(-3) + (-2)] + (3 + 2) = 0

Ini berarti [(-3) + (-2)] invers penjumlahan dan (3 + 2).

Ivers penjumlahan adalah tunggal, sehingga [(-3) + (-2) = - (3 + 2) = -5 =0 +

3 =3

Secara umum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah [(-p) + (-q)] + (p + q)

= [(-p) + (-q)] + (q + p) Mengapa?

= (-p) + [[(-q) + q] + p ] Mengapa?

92

= (-p) + (0 + p) Mengapa?

= (-p) + p Mengapa?

= 0 Mengapa?

Jadi [(-p) + (-q)] + (p + q) = 0

Ini berarti [(-p) + (-q)] invers penjumlahan dari (p + q). Karena invers

penjumlahan tunggal, maka (-p) + (-q) = -(p + q).

Secara diagram panah (-3) + (-2) dapat dilihat pada garis bilangan berikut :

Gambar 5.6

Contoh 5 :

Jumlahkan (-5) + 3 dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat. Dan contoh 4,

(-5) = (-3) + (-2), maka

(-5) + 3 = [(-3) + (-2)] + 3 Mengapa?

= [(-2) + (-3)] + 3 Mengapa?

= (-2) + [(-3) + (3)] Mengapa?

= (-2) + 0 Mengapa?

= (-2) Mengapa?

Secara umum. Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika p > g, maka

p = q+r atau p - q=r

(-p) + q = -(q + r) + q Mengapa?

= [(-q) + (-r)] + q Mengapa?

= [(-r) + (-q)] + q Mengapa?

= (-r) + [(-q) + q] Mengapa?

= (-r) + 0 Mengapa?

= (-r) Mengapa?

= -(p - q) Mengapa?

Jadi, (-p) + q = -(p - q), jika p > q

93

Secara diagram panah (-5) + 3 dapat dilihat pada garis bilangan berikut :

Gambar 5.7

Definisi :

Untuk p dan q bilangan cacah, penjumlahan bilangan bulat didefinisikan seperti

berikut :

i) p + q = n(P U Q), jika p = n(P), q = n(Q),

P ∩ Q = 0, P dan Q himpunan.

ii) (-p) + (-q) = -(p + q)

iii) p + (-q) = (-q) + p = p - q, jika p > q

iv) (-p) + q = q + (-p) = -(p - q), jika p > q

2) Perkalian Bilangan Bulat

Contoh 1:

Carilah 4 . 2

Jawab : 4 .2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

Secara diagram panah terlihat pada garis bilangan gambar 5.8 berikut

Gambar 5.8

94

Contoh 2:

Carilah 4. (-2)

Jawab: 4. (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = (-8)

Secara diagram panah terlihat pada gáris bilangan gambar 3.9 berikut.

Gambar 5.9

Contoh 3:

Carilah [(-4.2)] + (4.2) dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat.

Jawab : [(-4).2] + (4.2) = [(-4) + 4].2 Mengapa?

= 0.2 Mengapa?

= 0 Mengapa?

Jadi (-4).2 adalah invers penjumlahan dan 4.2

Karena invers penjumlahan tunggal, maka (-4).2 = -(4.2).

Sekarang, tunjukkan bahwa 4.(-2) juga merupakan invers penjumlahan dan

4.2. Gunakan sifat-sifat bilangan bulat. Kerjakan sebagai latihan! Secara umum,

dapat dibuktikan (-p).q = -(p.q)

Bukti :

Telah diketahui -(p.q) adalah invers penjumlahan dari pq. Dengan kata lain

-(pq) + pq = 0. Karena invers penjumlahan bilangan bulat tunggal, maka untuk

menunjukkan (-p).q = -(pq), cukup ditunjukkan, bahwa (-p).q adalah invers

penjumlahan dari pq. Dengan kata lain harus ditunjukkan bahwa (-p).q + pq = 0.

Sekarang (-p).q + pq = [(-p) + p]q Mengapa?

= 0.q Mengapa?

= 0 Mengapa?

Sehingga (-p).q = -(p.q)

Contoh 4 :

Tunjukkan (-p).(-q) = p.q. Untuk p, q bilangan-bilangan bulat.

95

Jawab :

Untuk menunjukkan (-p).(-q) = pq, cukup menunjukkan bahwa :

[ -(p.-q) = -(pq) = 0. Mengapa?

Cobalah dikerjakan sebagai latihan.

Definisi : Untuk p dan q bilangan cacah, perkalian bilangan bulat didefinisikan

seperti berikut :

i) p .q = n(P x Q), di mana p = n(P) dan p = n(Q), P dan Q himpunan

ii) (-p) . (-q) = p . q

iii) (-p) . q = p . (-q) = -(p . q)

3) Pengurangan Bilangan Bulat

Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat selisih atau pengurangan q dari p

(ditulis p - q) adalah bilangan bulat r jika dan hanya jika p = q + r.

Contoh 1 : 3 – 2 = 1, sebab 3 = 2 + 1.

Contoh 2 : 5 - 7 = -2, sebab 5 = 7 + (-2)

Contoh 3 : (-4) - 5 = (-9), sebab (-4) = 5 + (-9).

Contoh 4 : (-4) - (-5) = 1, sebab (-4) = (-5) + 1

Pengurangan bilangan bulat mempunyai. interpretasi sederhana pada garis

bilangan. Pengurangan dipikirkan sebagai. invers penjumlahan contoh (1) sampai.

(4) di atas jika diinterpretasikan pada garis bilangan berturut-turut akan terlihat

sebagai berikut :

Contoh 1:

Gambar 5.10

96

Contoh 2:

Gambar 5.11

Contoh 3 :

Gambar 5.12

Contoh 4 :

Gambar 5.13

Dengan definisi p - q = r jika dan hanya jika p = q + r, untuk p, q, r

bilangan-bilangan bulat, dapat dibuktikan bahwa selalu ada bilangan bulat r yang

tunggal demikian sehingga p - q = r, dan r dapat ditulis sebagai r = p + (-q).

Untuk membuktikan hal tersebut, harus dibuktikan dua hal berikut :

i) Buktikan p - q = p + (-q), untuk p dan q bilangan-bilangañ bulat, dan

ii) Buktikan bahwa r tunggal

97

Bukti:

p + (-q) = (q + r) + (-q) Mengapa?

= (r + q) + (-q) Mengapa?

= r + {q + (-q)} Mengapa?

= r + 0 Mengapa?

= r Mengapa?

= p - q Mengapa?

Selanjutnya bukti (ii) untuk yang berminat dapat mencoba sebagai latihan.

4) Pembagian Bilangan Bulat

Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0, p : q adalah bilangan

bulat r (jika r ada), demikian sehingga q.r = p

(p : q = r jika dan hanya jika q . r p).

Contoh 1 :

18 : 2 = 9, karena 2 . 9 = 18

Contoh 2 :

(-18) : 2 = (-9), karena 2(-9) = (-18)

Contoh 3 :

18 : (-2) = (-9), karena (2) . (-9) = 18

Contoh 4 :

(-18) : (-2) = 9, karena (-2) . 9 = (-18)

Perhatikan bahwa dalam definisi di atas terdapat kata : Jika ada. Mengapa?

Perhatikan 7 : 2. Adakah bilangan bulat r demikian sehingga 2.r = 7? Tidak ada,

bukan. Jadi, himpunan bilangan bulat tidak tertutup terhadap operasi pembagian.

Bilangan 0 memainkan peranan yan khusus dalam pembagian. Misalnya 0

: 5 ? 0 : (-7) = ?, 0 (-100) = ?. Jawabnya 0. Sebab 5 . 0 = 0; (-7) . 0 = 0; dan (-100)

. 0 = 0. Dalam hal ini, secara umum dapat dikemukakan bahwa 0 dibagi sebarang

bilangan bulat bukan 0, menghasilkan 0.

Sekarang mengapa p : 0 tidak didefinisikan untuk p sebarang bilangan

bulat? Untuk p = 0, 0 : 0 dapat mempunyai hasil sebarang nilai; dengan kata lain

tidak mempunyai jawaban tunggal. Selanjutnya untuk p ≠ 0, p : 0 tidak mungkin

98

ada hasil. Mengapa? Jadi, dalam pembagian oleh 0 didapatkan jawab yang tidak

tunggal, atau tidak mungkin ada hasil. Oleh karena itu pembagian oleh 0 tidak

didefisikan.

2. Urutan Bilangan Bulat

Telah dipelajari bahwa ada korespondensi antara bilangan bulat dan titik-

titik pada garis bilargan. Perlu diperhatikan bahwa letak titik-titik pada garis

bilangan tersebut sudah merupakan urutan dari kiri ke kanan. Dari sini kita akan

memikirkan suatu bilangan bulat kurang dan bilangan bulat lain jika letaknya pada

garis bilangan di sebelah kiri dan letak bilangan bulat lain tersebut.

Sebagai contoh : -5 < -2, -3 < 7, -l < 13, demikian pula 10 -1, 7 > 3, dan

seterusnya. Jadi urutan pada bilangan bulat adalah ……..….< -3 < -2 < -l < 0 < l

< 2 < 3 < 4 < 5 < …………

Definisi : Untuk sebarang bilangan bulat p dan q, p < q (dibaca p kurang

dari q) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positip r sehingga p + r = q; p > q

(dibaca p lebih dan q) jika dan hanya q < p atau ada bilangan bulat positip s

sehingga q + s = p.

Contoh 1:

-5 < -2 karena ada bilangan bulat positif 3 sehingga (-5) + 3 = (-2)

Contoh 2:

-3 < 7 karena ada bilangan bulat positif 10 sehingga (-3) + 10 = 7.

Sifat Trikotomi Bilangan Bulat

Jika p dan q bilangan bulat, maka berlaku tepat satu dari tiga kemungkinan

berikut :

i) p < q

ii) p = q

iii) p > q

Jadi tidak mungkin ada lebih dari satu kemungkinan di atas dapat benlaku

bersama-sama

99

Teorema :

Untuk a, b, c bilangan-bilangan bulat, berlaku :

i) jika a = b, maka a + c = b + c

ii) jika a < b, maka a + c < b + c

Bukti : Untuk (i) buktikan sendiri sebagai latihan. Selanjutnya untuk (ii)

buktinya sebagai berikut:

Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan positip d sehingga

a + d = b

(a + d) + c = b + c Mengapa?

c + (a + d) = b + c Mengapa?

(c + a) + d = b + c Mengapa?

(a + c) + d = b + c Mengapa?

a + c < b + c Mengapa?

Jadi, jika a < b maka a + c < b + c

Teorema

(Sifat kanselasi penjumlahan)

Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat.

i) ji ka a + c = b + c, maka a = b

ii) jika a + c 0, maka ac < bc

iii) Jika a bc

Bukti : Untuk (i) dan (iii) coba buktikan sendiri sebagai latihan. Selanjutnya

untuk bukti (ii) sebagai berikut :

Menurut definisi, a 0 Diketahui

a + d = b Definisi

100

c(a + d) = cb Mengapa?

ca + cd = cb Mengapa?

ac + cd = bc Mengapa?

cd bilangan bulat positif Mengapa?

ac < bc Mengapa?

Jadi, jika a 0 maka ac < bc.

Teorema

(Sifat Transitif Urutan Bilangan Bulat)


Jika a < b dan b < c, maka a < c.

Bukti : a < b dan b < c

Menurut definisi, a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positip

d sehingga a + d = b; b < c jika dan hanya jika ada bilangan bulat

positif e sehingga b + e = c.

Kita punya : a + d = b

(a + d) + e = b + e Mengapa?

(a + d) + e = c Mengapa?

a + (d + e) = c Mengapa?

d + e bilangan bulat positif Mengapa?

a < c

Jadi, jika a < b dan b < c maka a < c.

3. Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan ungkapan sama

dengan. Yang dimaksud kalimat terbuka adalah pernyataan yang mengandung

variabel-variabel dan tidak dapat diklasifikasikan benar atau salah.

Con toh :

3x - 7 = 14, 4x + 3 = 11 dan 5 + = 9 adalah kalimat-kalimat

terbuka yang secara khusus disebut persamaan.

Perhatikan dalam contoh di atas, x adalah variabel, suatu simbol yang

mewakili sebarang anggota dan suatu himpunan yang ditentukan. Himpunan ini

101

disebut daerah asal. atau domain variabel. Umumnya, simbol yang dipilih untuk

menyatakan variabel adalah salah satu huruf dalam abjad, misalnya “p”, “q”, “r”,

“s”, “a”, “b”, “d”, “c”, “x”, “y”, atau “z”.

Selanjutnya, kalimat terbuka dapat juga menggunakan ungkapan

hubungan ≠ (tidak sama dengan), < (kurang dari), > (lebih dan), < (kurang atau

sama dengan), atau > (lebih atau sama dengan). Kalimat terbuka itu disebut

Pertidaksamaan.

Contoh:

x + 2 < 7, 3x < 12, - 2 > 5 adalah pertidaksamaan.

Bila suatu bilangan digantikan pada variabel persamaan atau

pertidaksamaan, maka bilangan itu disebut nilai. pengganti variabel. Jika suatu

kalimat sudah tidak mengandung variabel maka pernyataan tersebut dapat

diklasifikasikan benar atau salah. Selanjutnya, himpunan semua pengganti yang

membuat kalimat terbuka menjadi pernyataan bernilai benar disebut himpunan

penyelesaian.

Contoh 1 : Carilah himpunan penyelesaian 3x + 7 = 13, ji.ka domain

variabel adalah himpunan bilangan bulat

Jawab : 3x + 7 = 13 Diketahui

<=> (3x + 7) + (-7) = 13 + (-7) Mengapa?

<=> 6x + {7 + (-7)) = 13 + (-7) Mengapa?

<=> 3x + 0 = 6 Mengapa?

<=> 3x = 6 Mengapa?

<=> x = 2 Mengapa?

Jadi himpunan penyelesaian 3x + 7 = 13 adalah {2}.

Contoh 2 : Carilah himpunan penyelesaian 2x – 7 < 1, jika domain variabel

adalah himpunan bilangan bulat.

Jawab : 2x - 7 < 1 Diketahui

<=> (2x - 7) + 7 < 1 + 7 Mengapa?

<=> [2x + (-7)] + 7 < 1 + 7 Mengapa?

<=> 2x + [(-7) + 7] < 8 Mengapa?

<=> 2x + 0 < 8 Mengapa?

102

<=> 2x < 8 Mengapa?

<=> x < 4 Mengapa?

Jadi himpunan penyelesaian dan 2x - 7 < 1 adalah {. . . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Contoh 3 : Carilah himpunan penyelesaian 3x + 5 < 8, domain variabel

adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Jawab : 3x + 5 < 8 Diketahui

<=> (3x + 5) + (-5) < 8 ÷ (-5) Mengapa?

<=> 3x + [5 + (-5)] < 3 Mengapa?

<=> 3x + 0 < 3 Mengapa?

<=> 3x < 3 Mengapa?

<=> x < 1 Mengapa?

Perhatikan pada contoh ini. domain variabel ditentukan (-4, -3, -2, -1, 0, 1,

2, 3, 4). Jadi himpunan penyelesaian 3x + 5 < 8 adalah (-4, -3, -2, -1, 0).

Contoh 4 : Carilah himpunan penyelesaian dan 4x + 7 = x dan x + 8 < x, jika

domain variabel adalah himpunan bilangan bulat.

Perhatikan bahwa dalam contoh ini, tidak ada nilai di dalam

domain sebagai pengganti variabel yang memenuhi persamaan 4x

+ 7 = x maupun pertidaksamaan x + 8 < x. Maka himpunan

penyelesaian persamaan 4x + 7 = x adalah himpunan kosong,

demikian pula himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + 8 < x.

Dalam hal demikian sering dikatakan bahwa persamaan atau

pertidaksamaan tersebut tidak dapat diselesaikan.

Contoh 5 : Jika domain variabel adalah himpunan bilangan bulat.

Carilah himpunan penyelesaian dari :

a) (x - 3) + (2x + 17) = 3x + 14

b) x - 2 < x

Jawab : Ternyata himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah

himpunan bilangan bulat. Karena himpunan penyelesaiannya

mengandung semua elemen dari domain, maka contoh 5 (a) disebut

Persamaan identitas, sedang contoh 5(b) disebut pertidaksamaan

Identitas.

103

Selanjutnya, contoh 1 disebut Persamaan bersyarat sedang contoh 2 dan 3

disebut Pertidaksamaan bersyarat. Persamaan atau pertidaksamaan bersyarat

mempunyai himpunan penyelesaian berupa himpunan bagian murni dari domain

variabel, dan bukan himpunan kosong.

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Carilah invyers penjumlahan dan bilangan-bilangan bulat berikut :

a) -9 b) -13

c) 8 d) -a

2. Carilah penjunilahan bilangan-bilangan bulat berikut, kemudian jelaskan

jawabnya dengan menggunakan garis bilangan.

a) (-3) + (-10) b) (7 + (-4)) + -7

c) 8 + 0 d) (9 + (-2)) + 3

3. Selesaikan soal-soal berikut tanpa menggunakan definisi penjumlahan bilangan

bulat, sebutkan alasannya untuk setiap langkah

a) (-13) + (-4) b) 4 + (-3) c) (-7) + 5

4. Tunjukkan bahwa (-8) + (-3) = -(8 + 3), sebutkan alasannya untuk setiap

langkah.

5. Jika diketahui - (p + q) = (-p) + (-q),

a) Carilah (-7) + 3 dan tuliskan alasan-alasannya untuk setiap langkah.

b) Tunjukkan bahwa 4 + (-6) adalah nama lain dan. (-2) dan tulis kan

alasan-alasannya untuk setiap langkah.

6. Carilah hasil perkalian b{langan-bilangan bulat berikut :

a) -5(-7) b) 6.(-4)(-3)

c) 9[(-8).2] d) [(-3).(-2)]4

7. Buktikan tanpa menggunakan definisi perkalian bilangan bulat, bahwa untuk

setiap p, q bilangan cacah berlaku :

a) (-p).(-q) = pq

b) p.(-q) = -(pq)

c) (-p).q = -(pq)

104

8. a, b, dan c bilangan-bilangan bulat, buktikan :

a) jika a = b maka a + c = b + c

b) jika a + c = b + c maka a = b

c) jika a + c bc

9. Misalkan A = {0, 1, 2, 3 )

B = {0, -1, -2, -3, . . . . }

C = {. . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Yang mana dan himpunan tersebut tertutup terhadap

a) penjumlahan b) pengurangan

c) perkalian d) pembagian.

10. Tentukan benar atau salah.

(a) [50 (-10)] : 2 = 50 : [(-10) : 2)]

(b) [18 + (-6)] : 3 = (18 : 3) + [(-6) : 3]

(c) 32 : (4 + 4) = (32 : 4) + (32 : 4)

(d) 6 + (3.5) = 6.(3 + 5).

B. Konsep Habis Dibagi

Jika 3 x 4 = 12, maka 12 : 3 4. Dikatakan 3 membagi 12, 12 habis dibagi 3,

12 kelipatan 3, 3 faktor 12.

Definisi : Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a

membagi b (dinyatakan dengan a | b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan

bulat c demikian sehingga b = ac.

Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa :

a pembagi b

a faktor b

b kelipatan a

b habis dibagi a

105

Untuk a │ b maka b : a adalah sebuah bilangan bulat. “a || b” untuk

menyatakan bahwa a tidak membagi b. Misalnya 2 || 7 karena tidak ada bilangan

bulat x demikian sehingga 7 = 2x.

Contoh 1 : 32 : 4 = 8 atau 32 = 4.8

Dengan demikian 4 membagi 32

32 habis dibagi 4

4 │ 32

Contoh 2 : 3 │ 21 (dibaca 3 membagi 21) karena 3.7 = 21

Dengan demikian 3 adalah faktor 21 dan 21 adalah kelipatan 3

Contoh 3 : 6 │-42 karena 6(-7) = -42. Sehingga 6 adalah faktor dari -42

dan -42 adalah kelipatan dari 6.

Contoh 4: Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut bila a

adalah suatu bilangan asli.

i) 1 │a ii) a │a

iii) 7 │ 0 iv) 019

Jawab:

i) l │a benar, karena a = l.a

ii) a │a benar, karena a = a.1

iii) 7 │ 0 benar, karena 0 = 7.0

iv) 0 │9 salah, karena tidak ada bilangan bulat x demikian hingga

9 = 0.x

v) 0 │0 salah, karena tidak ada bilangan bulat x yang tunggal

demikian hingga 0 = x.0

Perhatikan bahwa dalam definisi membagi tidak termasuk pembagian oleh

0. Bandingkan dengan contoh 4 (iv) dan 4 (v).

Contoh 5 : 3 │15 karena 15 = 3.5

Demikian pula 15 │390 karena 390 = 15.26

Selanjutnya, 390 = (3.5).26 = 3.(5.26)

Jadi 390 = 3.130, dan 3│390.

Secara umum, jika x│y dan y│ z maka x│ z.

Contoh 6 : 3│21 dan karena 7│35, karena 21 = 7.3 dan 35 = 7.5

106

Selanjutnya, 21 + 35 = (7.3) + (7.5) = 7(3 + 5) = 7.8

Jadi, 7│ (21 + 35).

Secara umum, jika x│y dan x│z maka x│ (y + z)

Contoh 7: Gunakan fakta 3│6 untuk menunjukkan 3│54

Jawab : Karena 3│6, maka 6 = 3.2

Untuk melihat bahwa 3│ (6.9), tulis 6 sebagai 3.2

6.9 = (3.2).9

= 3(2.9) Mengapa?

= 3(18)

Jadi, 3│6.9 atau 3│54

Secara umum, jika x│y atau x│z maka x│y.z

1. Sifat-sifat Habis Dibagi

Misalkan x bliangan asli, y dan z bilangan-bilangan bulat, maka berlaku :

(a) 1│y dan x│x

(b) Jika x│y dan y│z, dimana y ≠ 0, maka x│z. sifat transitif

(c) Jika x│y dan x│z, maka x│ (y + z)

(d) Jika x│y dan x│z, maka x│ (y - z)

(e) Jika x│y dan x│ (y + z) atau x│ (y - z), maka x│z

(f) Jika x│y dan x│z, maka x│yz.

Bukti Sifat (a).

Jelas bahwa 1│y karena menurut definisi, maka y = 1.y. Demikian juga

x│x karena menurut definisi, maka x = x.1

Bukti Sifat (b)

Jika x│y dan y│z maka y = xk dan z = yt, untuk k dan t bilangan-bilangan

bulat.

Jika y = xk, maka yt = (xk).t

Karena z = yt, maka diperoleh persamaan z = (xk)t. Oleh sifat asosiatif

perkalian, diperoleh z = x(kt), dan kt adalah suatu bilangan bulat, karena sifat

tertutup perkalian pada bilangan bulat.

Jadi, jika x │ y dan y │z, dimana y ≠ 0, maka x│ z.

Sifat (c), (d), (e), (f) dibuktikan sendiri sebagai latihan.

107

Contoh 1 : 1│5 dan 9│ 9, oleh sifat (a)

Contoh 2 : 4│2 dan 12│ 36, maka 4│36, oleh sifat (b)

Contoh 3 : 6│36 dan 6│42, maka 6│78 karena 78 = 36 + 42, oleh sifat (c).

Sebaliknya 6│78 atau 6│ (70+8), tetapi 6 || 70 dan 6 || 8

Jadi kebalikan sifat (c) adalah tidak benar.

Contoh 4 : 7│28 dan 7│91, maka 7│ -63, karena -63 = 28 - 91, oleh sifat (d).

Contoh 5 : 4│16 dan 4│60, maka 4│44, oleh sifat (e).

Contoh 6 : 3│12 maka 3│12(20), meskipun 3 bukan pembagi 20, oleh sifat

(f).

Sekarang, perhatikan bahwa sifat (c) dapat digeneralisasikan dalam jumlah

sebarang bilangan bulat n yang terhingga.

Jika a│b1 , a│b2 , a│b3 , . . . . , dan a │bn , maka

a│ (b1 + b2 + b3 + . . . + bn )

Dengan cara yang sama, sifat (d) dapat digeneralisasikan dalam jumlah

sebarang bilangan bulat n yang terhingga.

Jika a│b1, a│b2 , a│b3 , . . . a│bn dan jika

a│(b1 + b2 + b3 + . . . .+ bn-1 +bn )maka

a│ bn

2. Ciri-ciri Habis Dibagi

Misalkan diminta untuk mengetahui apakah 165102 habis dibagi 7 atau

cidak. Hal mi tentu saja dapat diketahui dengan melakukan pembagian 165102 : 7.

Salah satu cara adalah melakukan pembagian panjang sebagai berikut :

23586

7 165102

14

------- -

25

21

----- -

41

35

------- -

60

56

108

-------- -

42

42

--------- -

0

Terlihat bahwa, cara demikian tidak praktis dan menghabiskan waktu.

Berikut mi akan dikemukakan ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi. oleh

suatu bilangan sehingga dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan semacam itu

dengan cara yang lebih cepat.

a) Ciri Habis Dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika bilangan satuannya

genap (dapat dibagi 2).

Contoh : Apakah 2│438?

438 dapat ditulis sebagal :

438 = 4(10) + 3(10) + 8.

Karena 2│(10)2, dan 2│10 dan 2│8 maka oleh sifat (c) didapat

2│438.

Secara umum, sebarang bilangan bulat positif N dapat ditulis dalam

bentuk :

N = ak(10)k + ak-1 (l0)

k-1 + . . . . + a2(10)

2 + a1(10)

1 + a0(10)

0 + a

Sekarang 2│10, 2│100, 2│1000, dan secara umum 2│(10)k untuk

sebarang bilangan asli 2│a maka :

2│ (ak(10)k + ak-1(10)

k-1 + . . . . + a2(10)

2 + a1(l0)

1 + a)

b) Ciri Habis Dibagi 3

Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang

dinyatakan oleh angka pada lambang bilangan tersebut habis dibagi 3.

Karena (10)k - 1 + 1 = 10

k, maka bentuk umum bilangan asli. N dapat

dituhis sebagai berikut :

N = ak(10k - 1+1) + ak-l(10

k-1 – 1 + 1) + . . . + a2(10

2 - 1 + 1) +a1(10

1 - 1

+ 1) + a0

= ak(10k - 1) + ak-l(10

k-1 -1) + ... a2(10

2 - 1) + a1(10 - 1)

+ (ak + ak-1 + . . . + a3 + a2 + a1 + a0).

109

Karena 3│ (10 - 1), 3│ (102 - 1), 3│(10

3 - 1) dan secara 3│(10

k – 1),

untuk k adalah sebarang bilangan asli, maka 3│N. jika dan hanya jika 3│

(ak + ak-i + . . .+ a2 + a1 + a0).

Contoh :

3│8682 karena 3│ (8 + 6 + 8 + 2) atau 3│24.

c) Ciri Habis Dibagi 4.

Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka terakhir dari

lambang bilangan tersebut merupakan bilangan yang habis dibagi 4.

Jelas bahwa, untuk k > 2 maka 4│10k , 4│10

2 dan 10

k = 10

k-2. 10

2

Jadi, jika N = ak(10)k + ak-l(l0)

k-1 + . . . + a2(10)

2 + a(10) + a dan 4

pembagi a1(10) + a, maka 4│N.

Contoh : 4│3216, karena 4│16.

d) Ciri Habis Dibagi 5

Suatu bilangan habis dibagi 5 jika hanya jika satuan dari bilangan tersebut

0 atau 5.

Contoh : 5│675413525, demikian juga 5│754417890.

e) Ciri Habis dibagi 6

Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis

dibagi 2 dan 3.

Karena 6 hasil kali 2 dan 3, maka bilangan yang habis dibagi 6 haruslah

memenuhi habis dibagi 2 dan 3.

Contoh :

81438 habis dibagi 6 karena 8 (angka terakhir) habis dibagi 2

dan 8 + 1 + 4 + 3 + 8=24 habis dibagi 3.

f) Ciri Habis Dibagi 7

Suatu bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika selisih antara bilangan

yang dinyatakan oleh lambang bilangan mula-mula kecuali angka terakhir dengan

dua kali bilangan angka terakhir tersebut habis dibagi 7.

Contoh :

(a) 7│91, karena 9 - 2 (1) = 7

110

dan 7 habis dibagi 7

(b) 7│196, karena 19 - 2(6) = 7

dan 7 habis dibagi,,7

(c) 7│43778, karena 4377 - 2(8) = 4361

436 - 2(1) = 434

43 - 2(4) = 35

dan jelas bahwa 35 habis dibagi 7.

g) Ciri Habis Dibagi 8

Suatu bilangan habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang

dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

Contoh :

875432504 habis dibagi 8 karena 8│504

Perhatikan bahwa ciri habis dibagi 8 di atas hanya berguna untuk bilangan

yang lambangnya terdiri tiga átau lebih dari tiga angka.

h) Ciri Habis Dibagi 9


dinyatakan oleh angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9.

Bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai

N = ak(10)k - 1 + 1) + ak-1 (l0

k-1 - 1 + 1) + . . . . +

a2 (10)2 - 1 + 1) + a1 (10 - 1 + 1) + a

= (ak + ak-1 + . . . + a2 + a1 +a0).

Jelas bahwa 9│ (10 - 1), 9│ (102 - 1), 9│(10

3 - 1) dan secara umum

9│(10k - 1), untuk k adalah sebarang bilangan asli. Dengan demikian

9│N jika dan hanya jika 9│ak + ak-1 + . . . + a2 + a1+ a0)

Contoh:

9│113 274, karena 9│1 + 1 + 3 + 2 + 7 + 4 atau 9│18.

i) Ciri Habis Dibagi 10

Suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan

tersebut 0.

Contoh:

Jelas bahwa 10│768940

111

j) Ciri Habis dibagi 11


dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan

yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11.

Ciri habis dibagi 11 di atas, dapat dibuktikan. Bagi yang berminat dapat

mencobanya.

Contoh:

a) 11│722084 karena l1│ (7 + 2 + 8) - (2 + 0 + 4) atau 11│11

b) 11│2837604 karena 11│ (2 + 3 + 6 + 4) - (8 + 7 + 0) atau 11│0

LATIHAN


1. Tulis tiga bilangan bulat positif yang merupakan pembagi bilangan-bilangan

berikut :

a) 189 b) 528

c) 1134 d) 2520.

2.Tanpa melakukan pembagian, ujilah setiap bilangan berikut, apakah habis

dibagi 5?, 6?, 7?, 8?, 9? 11?

a) 15120 b) 47481

c) 1412802 d) 498960

e) 9445616 f) 3217536.

3. Isilah setiap titik-titik berikut dengan angka terkecil yang membuat pernyataan

benar.

a) 12│..9.. b) 16│..8..

c) 33│..62… d) 56│..5..

4. a) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari sepuluh angka yang habis

dibagi 4 dan 5.

b) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari tujuh angka yang habis

dibagi 6 dan 7.

c) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari delapan angka yang habis

dibagi 11 dan 8.

112

d) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari enam angka yang habis

dibagi 8 dan 9.

5. Tanpa melakukan pembagian tentukan benar atau salah setiap pernyataan

berikut :

a) 14│18998 b) 14│8085

c) 18│5022 d) 66│22638

e) 45│4845 f) 21│7959

C. Bilangan Prima dan Komposit

Kira-kira tahun 200 SM ahli matematika Yunani Eratosthenes membuat

suatu prosedur untuk mengklasifikasikan bilangan bulat positip. Prosedur ini

dinamakan Saringan Eratosthenes untuk 100 bilangan bulat positip pertama yang

disusun dalam 10 kolom. Hal ini terlihat pada tabel 3.1. Mula-mula 1 dicoret.

Kemudian dicoret semua bilangan genap kecuali 2. Selanjutnya dicoret semua

bilangan yang habis dibagi. 3, kecuali 3; dicoret semua bilangan yang habis dibagi

5, kecuali 5 itu sendiri. Proses ini dilanjutkan untuk setiap bilangan sampai 100.

Jika telah selesai, dilingkari bilangan yang tidak dicoret. Angka-angka yang

dilingkari ini. menyatakan bilangan prima kurang dan 100.

Tabel 5.1

Definisi : Bilangan bulat positip p, lebih besar dan 1 dinamakan bilangan

prima jika dan hanya jika pembagi p hanya 1 dan p.

113

Dan tabel 5.1, perhatikan bahwa 2 adalah bilangan prima terkecil dan 2

adalah satu-satunya bilangan prima yang genap. Himpunan bilangan prima kurang

atau sama dengan 100 adalah (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97).

Tentu saja, masih banyak bilangan prima lain yang lebih besar dari 100.

Berapa banyak bilangan prima yang ada? Apakah ada bilangan prima terbesar?

Dapatkah Anda menemukan bilangan prima yang lebih besar dari 100? Lebih

besar dan 1000? Lebih besar 1000.000? Kira-kira 300 SM Euclid telah

membuktikan bahwa terdapat tak terhingga bilangan prima, dengan kata lain,

himpunan bilangan prima adalah tak terhingga.

Definisi : Suatu bilangan bulat positip dinamakan bilangan komposit

jika bilangan itu mempunyai pembagi lain kecuali bilangan itu sendiri dan 1.

Dalam Saringan Eratosthenes di atas, bilangan lain yang dicoret selain 1

adalah bilangan komposit. Himpunan sepuluh bilangan komposit pertama adalah

(4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18). Tentu saja masih banyak bilangan-bilangan

komposit yang lain. Perhatikan bahwa dari kedua definisi di atas ternyata bahwa 1

bukan termasuk bilangan prima maupun komposit. Demikian juga 0 bukan

termasuk bilangan prima maupun komposit.

Perhatikan bahwa bilangan prima hanya mempunyai dua pembagi,

bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan komposit mempunvai lebih dan dua pembagi.

Untuk menguji apakah N suatu bilangan prima, dapat diselidiki dengan

membaginya oleh semua bilangan prima yang lebih kecil dan N. Misalnya untuk

menentukan apakah 97 prima, dapat diuji dengan membagi 97 oleh 2, 3, 5, 7 , 89.

Tentu saja cara ini tidak praktis. Ada cara lain, yakni dengan cukup menguji

membagi 97 dengan semua kemungkinan pembagi prima kurang dan suatu

bilangan yang kuadratnya lebih besar dan 97. Dengan demikian untuk

menentukan apakah 97 bilangan prima, cukup menguji dengan membagi 97

dengan semua bilangan prima kurang dari 10 sebab 102 > 93. Semua bilangan

prima tersebut ialah 2, 3, 5, 7; semuanya bukan pembagi 97. Jadi bilangan prima.

114

Secara umum, setiap bilangan komposit kurang dan p2 mempunyai

sekurang-kurangnya satu pembagi prima yang lebih kecil dari p, untuk p sebarang

bilangan prima.

Setiap bilangan bulat positip lebih besar dan 1 adalah bilangan prima atau

bilangan komposit. Dengan demikian himpunan bilangan bulat positip

diklasifikasikan ke dalam dua himpunan yang saling asing, yaitu {1}, himpunan

bilangan prima, dan himpunan bilangan komposit.

1. Sifat-sifat Habis Dibagi dan Bilangan Prima

Untuk sebarang bilangan bulat positip a,b, dan bilangan prima p

a. Jika p│ab dan p││a maka p│b

b. Jika p│ab, maka p│a atau p│b

c. Misalkan p dan p1, p2, . . . , pn prima

Jika p│p1 ,p2 , . . . ., pn , maka p adalah sama dengan salah satu dari pi di

mana i = 1, 2 , 3, . . . , n.

Contoh 1 : 7│112, karena 112 dapat ditulis 8.14, dan 7││ 8 maka 7│14.

Contoh 2 : 13│3965, maka 13│39 atau 13│65

Contoh 3: 11│6006. Pikirkan 6006 sebagai hasil kali bilangan prima. Jadi

11 harus sama dengan salah satu dari bilangan prima dalam

perkalian ini.

6006 = 2.3.7.11.13.

2. Pemfaktoran Prima

Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang

prima. Ada dua metode yang umum digunakan untuk menemukan semua faktor

prima bilangan komposit. Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian

berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua

faktor prima yang diperoleh terakhir.

Contoh : Carilah faktor prima dan 180

180 = 2.90

90 = 2.45

45 = 3.15

15 = 3.5

115

180 = 2.2.3.3.5

Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran bilangan ke dalam sebaran

dua faktor yang dikenal, dan kemudian memfaktorkan faktorfaktor tersebut :

180 = (15)(12) (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3) = 2.2.3.3.5

Selain kedua metode tersebut, ada cara lain yakni dengan

menggunakan pohon faktor. Lihat gambar 3.14.

Contoh:

Gambar 5.14

3. Teorema Dasar Aritmetika

Setiap bilangan komposit dapat difaktorkan secara tunggal ke dalam suatu

hasil kali bilangan-bilangan prima. Teorema ini menetapkan bahwa jika x

sembarang bilangan komposit, maka x dapat ditulis = p1, p2, p3 , . . . , pn puntuk

setiap p1 adalah prima. Faktorisasi yang tunggal tidak memperhatikan urutan

perkalian. Misalnya 42 dapat ditulis sebagai 2.3.7 atau sebagai 3.2.7.

Contoh :

Proses pemfaktoran prima untuk bilangan 450 dengan dua cara,

ditunjukkan dalam gambar 3.15.

Dalam dua hal tersebut, 450 = 2.3.3.5.5

Gambar 5.15

116

Menurut sejarah matematika, usaha untuk menemukan Ketakterhinggaan

bilangan prima, adalah tidak mudah. Selama berabad-abad, banyak

matematikawan mencoba menemukan rumus bilangan prima, tetapi tidak berhasil

Misalnya rumusan yang dibuat oleh Pierre de Fermat sekitar tahun 1640, yaitu 2n2

+ 1 untuk n bilangan asli. Ternyata untuk n = 5 tidak menghasilkan bilangan

prima, yaitu 22 5 = 4294967297 dan 641│4294967297.

Selanjutnya ada yang menemukan bahwa bilangan prima dapat

dirumuskan sebagai n2 - n + 41, untuk n bilangan asli. Ternyata untuk n = 41 tidak

menghasilkan bilangan prima, karena 412 - 41 + 41 = 1681 dan 41│1681.

Universitas Illionis dalam tahun 1963 menemukan bilangan prima 211213

-

1. Dr. Bryant Tuckerman dengan komputer IBM dalam tahun 1971 menemukan

bilangan prima 219937

- 1. Dalam tahun 1978 dua siswa sekolah lanjutan Laura

Nickel dan Curt Noll menemukan bilangan prima 221701

- 1 (lambang bilangan

terdiri dari 6533 angka).

Pada tahun 1979 Curt Noll membuktikan bahwa 223209

- 1) bilangan prima.

Dalam tahun 1979 juga ditemukan bilangan prima - 1 (lambang bilangan terdiri

dan 13395 angka) oleh Harry L. Nelson dan David Slowinski. Bilangan prima

tersebut diketahui sebagai bilangan prima terbesar pada saat itu meskipun oleh

Euclides sudah dibuktikan tidak ada bilangan prima terbesar.

LATIHAN


1. Apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima?

a) 73 b) 97

c) 137 d) 499

2. Tulislah semua pembagi prima bilangan-bilangan berikut.

a) 646 b) 15295

c) 9072 d) 8568

3. Gunakan Saringan Eratosthenes untuk menemukan semua bilangan prima

kurang dan 160.

117

4. Misalkan A himpunan bilangan prima kurang dan 50 dan B himpunan bilangan

bulat positip ganjil kurang dan 50. Sebutkan semua anggota :

a) A ∩ B b) A U B

5. Nyatakan setiap bilangan berikut sebagai

(i) perkalian dua bilangan yang sama

(ii) perkalian sebuah bilangan prima dan sebuah bilangan komposit.

(iii) perkalian dan dua bilangan komposit.

a) 5 b) 196 c) 441

D. Faktor Persekutuan Terbesar dan Keipatan Persekutuan Terkecil

1. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Jika bilangan bulat positip r merupakan pembagi bilangan bulat positip p

dan q, maka r disebut pembagi persekutuan p dan q atau faktor persekutuan p dan

q. Selanjutnya di antara faktor persekutuan dua bilangan bulat terdapat yang

terbesar, disebut faktor persekutuan terbesar. Misalkan P adalah himpunan

pembagi 24, maka P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Q adalah himpunan pembagi 56, maka

Q = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28} Jadi P ∩ Q = {1, 2, 4, 8} adalah himpunan faktor

persekutuan 24 dan 56. Jelas bahwa 8 adalah anggota terbesar dan P ∩ Q. Jadi 8

merupakan faktor persekutuan terbesar 24 dan 56.

Definisi : Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat

positif, p dan q, adalah bilangan bulat positip terbesar r demikian

sehingga r│p dan r│q.

Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif

adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Hal ini dinotasikan

sebagam berikut

r = FPB (p q)

Masalah menemukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat

positip adalah sangat sederhana jika bilangannya kecil. Hal ini dapat dilakukan

sebagai benikut. Tulis bilangan bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan

prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor persekutuan

kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.

118

Contoh 1:

Carilah FPB 60 dan 90.

Jawab:

Karena 60 = 22.3.5, dan

90 = 2.32.5

2, 3, dan 5 adalah faktor prima sekutu 60 dan 90.

Jadi FPB (60, 90) = 2.3.5 = 30

Contoh 2 :

Carilah FPB 252 dan 270

Jawab:

252 = 22.3

2 .7

270 = 2.33.5

2 dan 3 adalah faktor sekutu 252 dan 270.

Jadi FPB (252, 270) = 2.32 = 18

FPB tiga bilangan p, q, dan r dapat dicari dengan menemukan FPB

bilangan p dan q lebih dahulu; FPB (p,q) k. Maka FPB (p,q,r) = FPB (k,r). Atau

dapat juga dengan menemukan FPB (p,q) k dan FPB (q,r) = f, maka FPB (p,q,r) =

FPB (k,f). Hal ini dapat diperluas untuk menemukan FPB empat bilangan atau

lebih.

Contoh 1:

Carilah FPB bilangan 108, 72, dan 66

Jawab:

FPB (108, 72) = 22.3 = 12. Maka FPB (108, 72, 66) = FPB (12, 66)

= 6

Atau FPB (108, 72) = 12 dan FPB (72, 66) = 6. Maka

FPB (108, 72, 66) = FPB (12, 6) = 6

Contoh 2 :

Carilah FPB bilangan 24, 28, 32, dan 48

Jawab:

FPB (24, 28) = 4

FPB (24, 28, 32) = FPB (4, 32) = 4

119

FPB (24, 28, 32, 48) = FPB(4, 48) = 4

Atau

FPB (24, 28) = 22 = 4

FPB (32, 48) = 16

FPB(24, 28, 32, 48) = FPB(4, 16),= 4

Dapatkah dicari dengan cara lain?

Proses menuliskan bilangan sebagai perkalian bilangan prima untuk

menemukan FPB dua bilangan dapat digunakan untuk mencari FPB tiga bilangan

atau lebih. Dari contoh 1 di atas,

108 = 22 . 3

3

72 = 23 . 3

2

66 = 2 . 3 . 11

Jadi FPB(108, 72, 66) = 2 . 3 = 6

Selanjutnya dari contoh 2 didapat :

24 = 23 . 3

28 = 22 . 7

32 = 25

48 = 24 . 3

Jadi FPB (24, 28, 32, 48) = 22 = 4

Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan dicari

FPB bilangan yang besar. Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih

praktis untuk menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma

Pembagian dengan berulang. Menurut Algoritma Pembagian, bilangan bulat

positip a dan b, a > b selalu dapat ditulis sebagai :

a = bq + r

dengan q bulat positip, r hilangan cacah, dan 0 < r < b.

Contoh 1 :

Carilah FPB (315, 220)

Jawab :

Menurut Algoritma Pembagian :

315 = 1.220 + 95 dan 0 < 95 < 220.

120

Telah dipelajari bahwa sebarang bilangan pembagi 315 dan 220,

tentu juga pembagi 95.

Jadi, jika FPB (315, 220) = d, tentu d juga pembagi 95.

Jelas bahwa d faktor persekutuan 220 dan 95, dan d adalah FPB

(220, 95). Jadi, FPB (315, 220) = FPB (220, 95).

Persoalan di atas dapat disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan

algoritma pembagian.

220 = 2.95 + 30, dan 0 < 30 < 95.

Dengan menggunakan alasan yang sama, FPB (220, 95) = FPB (95, 30).

Sehingga FPB (315, 220) = FPB (95, 30).

Selanjutnya, 95 = 3.30 + 5 , FPB(95, 30) = FPB(30, 5)

Akhirnya, 30 = 6.5

Pernyataan ini menunjukkan FPB (30, 5) = 5

Jadi FPB(315, 220) = 5

Contoh 2 :

Carilah FPB(7286, 1684)

Jawab:

7286 = 4.1684 + 550, FPB(7286, 1684) = FPB(1684, 550)

1684 = 3.550 + 34, FPB(1684, 550) = FPB(550, 34)

550 = 16.34 + 6, FPB(550, 34) = FPB(34, 6)

34 = 5.6 + 4, FPB(36, 6) = FPB(6,4)

6 = 1.4 + 2, FPB(6, 4) = FPB(4, 2)

4 = 2.2, FPB(4, 2) = 2

Sehingga FPB(7286, 1684) = FPB(4, 2)

Jadi FPB (7286, 1684) = 2.

Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan

Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides. Jadi, menurut

Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positip dengan a > b, dan

r adalah sisa jika b dibagi oleh a, maka :

FPB (a, b) = FPB (b, r).

121

Definisi : Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positip p dan q

adalah 1, maka p dan q disebut relative prima.

Contoh 1 : 3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1

Contoh 2 : 31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.

Contoh 3 : 9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.

Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positip kurang dari bilangan prima

p adalah relatif prima terhadap p. Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

adalah relatif prima terhadap bilangan prima 7.

2. Kelipatan Persekutuan terkecil

Telah dipelajari bahwa jika r│p maka p dikatakan kelipatan r. Himpunan

kelipatan positif 7 adalah {7, 14, 28, 35, . . .}. Himpunan kelipatan 3 adalah {3, 6,

9, 12, 15, 18, 21, . . , 3k, . . . . } Selanjutnya himpunan kelipatan persekutuan dan

7 dan 3 didapat dari irisan kedua himpunan tersebut yaitu {21, 42, 63, 84, ...). Di.

antara persekutuan tersebut terdapat anggota yang terkecil disebut kelipatan

persekutuan terkecil. Jadi 21 adalah kelipatan persekutuan terkecil 7 dan 3.

Definisi : Bilangan bulat positip m adalah kelipatan persekutuan terkecil

(disingkat KPK) dua bilangan bulat positip p dan q jika dan hanya

jika m adalah bilangan bulat positip terkecil yang dapat dibagi

oleh p dan q.

Dan definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dua

bilangan bulat adalah bilangan bulat positip yang habis dibagi kedua bilangan

tersebut. Hal ini ditulis :

m = KPK (p . q)

Contoh 1 : KPK (5, 4) = 20

Contoh 2 : KPK (7, 6) = 42

Contoh 3 : KPK (15, 12) = 60.

Proses untuk menemukan KPK dengan cara menemukan himpunan

kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil adalah suatu proses

yang tidak praktis, maka perlu dicari metode lain. Metode berikut adalah metode

yang menggunakan pemfaktoran bilangan prima.

122

Contoh 1 :

Carilah KPK (15, 24)

Jawab :

15 = 3.5 dan 24=23.3

Jika masing-masing faktor prima mempunyai sifat membagi KPK, maka

KPK 15 dan 24 harus mengandung 23, 3, dan 5. Jadi KPK (15, 24) = 2

3.3.5 = 120.

Secara umum, KPK dua bilangan bulat positip adalah hasil kali perpangkatan

tertinggi dari semua faktor prima yang terjadi dalam pemfaktoran masing-masing

bilangan.

Contoh 2 :

Carilah KPK (75, 60)

Jawab :

75 = 3.52 dan 60 = 2

2 .3.5

Jadi KPK (75, 60) = 22.3.5

2 = 300

Metode lain untuk menemukan KPK pasangan bilangan bulat positip

adalah mencari lebih dahulu FPB pasangan bilangan tersebut, kemudian membagi,

hasil kali kedua bilangan dengan FPB-nya. Dengan singkat :

Dapatkah Anda membuktikan bahwa rumus tersebut benar? Misalkan

FPB(p,q) = r, maka p = rx dan q = ry, dengan FPB (x, y) = 1. Jelas bahwa FPB(x,

y) = 1, sebab jika ada bilangan lain pembagi x dan y maka r bukan FPB bilangan p

dan q. Karena y.p = y. (rx) = y. (xr) = (rx)y = (xr)y dan xq = x(ry) = xry, maka

xry adalah kelipatan p dan q.

Akan ditunjukkan bahwa xry adalah kelipatan persekutuan terkecil p dan

q. Kelipatan persekutuan p dan q dapat ditulis sebagai kp. Jadi q │ kp karena kp

kelipatan persekutuan. Selanjutnya ry │krx dan y│kx. Mengapa? Telah diketahui

y│kx, berarti y harus membagi k, karena FPB (x, y) = 1.

Sehingga xry membagi sebarang kelipatan p dan q yaitu kp sebab xr = p

dan y│k. Jadi xry adalah kelipatan persekutuan terkecil p dan q. Misalkan xry =

m. Dengan demikian pq = (rx)(ry) = r(xry) = r m.

123

Jadi terbukti bahwa m = atau

Dalam banyak hal, rumus di atas adalah merupakan cara termudah untuk

mendapatkan KPK, khususnya jika bilangan besar.

Contoh 1 :

= 9052

KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat ditemukan dengan terlebih

dahulu mencari KPK dari bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang.

Misalkan akan dicari KPK dan p, q, r, s, maka dicari dulu KPK bilangan p dan q

misalkan terdapat m1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s misalkan terdapat

m2. Maka KPK (p,q,r,s) = KPK(m1, m2).

Contoh 2 :

Carilah KPK dan 42, 96, 104, 18

Jawab :

KPK (42, 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936

KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208

Apa yang terjadi jika dikelompokkan dengan pasangan lain?

Cobalah dikerjakan sebagai latihan.

KPK beberapa bilangan bulat positip, jika dicari melalui proses pembgian

bilangan-bilangan prima seringkali memberikan proses menghitung yang lebih

cepat.

Contoh 3 :

Carilah KPK bilangan 24 dan 60.

Jawab :

Bagilah 24 dan 60 dengan 2, diperoleh 12 dan 30.

Bagilah 12 dan 30 dengan 2, diperoleh 6 dan 15

Bagilah 6 dan 15 dengan 3, diperoleh 2 dan 5.

124

Karena 2 dan 5 relatif prima, proses selesai.

Jika urutan pembagian diubah, yaitu dibagi 2,2,2, dan 3 didapat sebagai

berikut :

Perhatikan, bahwa pada bans ketiga proses di atas, 2 bukan pembagi 15.

karena itu 15 ditulis lagi pada baris keempat. Perlu dicatat bahwa proses

pembagian diteruskan sampai baris jawaban mengandung bilangan 1 dan bilangan

lain yang prima atau mengandung bilangan-bilangan yang relatif prima.

Contoh 4 :

Carilah KPK (42, 54, 81, 35)

Jawab :

Jadi KPK (42, 54, 81, 35) = 2.3.3.3.7.1.1.3.5 = 5670

125

LATIHAN


1. Carilah FPB dan KPK bilangan-bilangan berikut.

a. 42 dan 90 b. 252 dan 72

c. 224, 228, dan 920 d. 65, 33, dan 195

e. 42, 96, 102, dan 18 f. 60, 39, 65, 21, dan 15.

2. Gunakan Algoritma Euclides untuk menemukan FPB bilangan-bilangan

berikut.

a. 5913 dan 7592 b. 32219 dan 42319.

3. Misalkan p = a2 b

3 c

4 Untuk a, b, dan c adalah bilangan-bilangan prima

berbeda.

a. Nyatakan FPB (p,q) sebagai hash kali bilangan-bilangan prima.

b. Nyatakan KPK (p,q) sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

4. Carilah KPK bilangan-bilangan berikut dengan tiga cara yang berbeda.

a. 8125 dan 1960 b. 72 dan 45

pendahuluan · 2016. 9. 16. · dari definisi di atas, -3 adalah satu-satunya bilangan yang bila...

Documents