pencilan dlm regresi

7/24/2019 Pencilan Dlm Regresi

1/30

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Model matematik dalam statistika merupakan penyederhanaan dari realitas atau

permasalahan yang diteliti oleh statistikawan. Oleh karena itu, diperlukan asumsi-asumsi agar

model tersebut dapat menggambarkan permasalahannya. Selain itu, asumsi diperlukan agar

dapat merumuskan apa yang peneliti ketahui atau terka mengenai penganalisaan data atau

masalah pemodelan statistik yang dihadapinya, dan pada saat yang bersamaan asumsi

diperlukan agar model yang dihasilkan dapan memudahkan (manageable) dalam sudutpandang teoritik dan komputasinya. Salah satu asumsi yang paling banyak ditemukan dalam

statistic adalah asumsi kenormalan, yang telah ada selama 2 abad, asumsi kenormalan

menjadi kerangka berpikir dalam semua metode statistik inferensi, yaitu : regresi, analisis

variansi, analisis multivariat, model time seriesdan lain-lain.

Analisis regresi merupakan analisis yang mempelajari bagaimana membangun

sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu

fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Untuk itu kita membutuhkan sekumpulan data

prediktor untuk dapat menjelaskan data respon.

Hal pertama yang dilakukan dalam setiap analisis data adalah tahap

persiapan data yang meliputi pengumpulan dan pemeriksaan data. Proses pengumpulan data

dapat dilakukan dengan cara sensus atau sampling. Untuk kedua hal tersebut, langkah

yang dapat ditempuh adalah :

a. Mengadakan penelitian langsung ke lapangan atau laboratorium terhadap objek

penelitian.

b. Mengambil atau menggunakan, sebagian atau seluruhnya, dari sekumpulan data yang

telah dicatat atau dilaporkan oleh pihak lain.

c.

Mengadakan angket, yakni cara pengumpulan data dengan menggunakan daftar isian

atau daftar pertanyaan yang telah disiapkan dan disusun sedemikian rupa

sehingga calon responden tinggal mengisi atau menandainya dengan mudah dan cepat.


2/30

2

Tahap selanjutnya adalah pemeriksaan data. Hal ini dilakukan untuk menghindari

hal-hal yang tidak diinginkan, misalnya kekeliruan atau ketidakcocokan tentang data.

Pada data yang diperoleh bukan dari angket, tidak jarang ditemukan satu atau

beberapa data yang jauh dari pola kumpulan data keseluruhan, yang lazim didefenisikan

sebagai data pencilan (outlier). Karena dalam suatu pengamatan terhadap suatu keadaan tidak

menutup kemungkinan diperoleh suatu nilai pengamatan yang berbeda dengan nilai

pengamatan lainnya. Hal ini mungkin disebabkan oleh kesalahan pada saat persiapan data

atau terdapat peristiwa yang ekstrim yang mempengaruhi data.

Seringkali dalam prakteknya, asumsi kenormalan terpenuhi secara aproksimasi

pada sebagian besar data observasi. Bahkan, beberapa observasi berbeda pola atau bahkan

tidak berpola mengikuti distribusi normal. Hal ini dikarenakan observasi yang tidak normal,observasi yang terpisah dari observasi lainnya yang dikenal dengan data outlier atau pencilan.

Apabila data mengandung pencilan maka akan menghasilkan informasi yang tidak akurat atau

tidak valid. Berdasarkan hal tersebut, perlu adanya suatu metode untuk mendeteksi adanya

pencilan dari suatu kumpulan data.

Berbagai metode klasik telah banyak digunakan untuk mendeteksi apakah suatu

data merupakan pencilan. Metode tersebut dilakukan secara eksploratif dan secara pengujian.

Metode untuk mendeteksi pencilan secara eksploratif adalah dengan plot sisa dan diagram

kotak garis. Sedangkan metode untuk mendeteksi pencilan secara pengujian yaitu sisaan

terbaku ( ) dan dengan sisaan terstudent * . MenurutSembiring (2003), metode mendeteksi pencilan secara pengujian (sisaan terbaku dan sisaan

terstudent) juga mempunyai kelemahan yaitu sulit mendeteksi pencilan jika dari suatu

kumpulan data terdapat banyak pencilan dan letaknya tidak saling berdekatan.

Metode Bayes dapat digunakan untuk mengatasi kelemahan dari metode klasik

tersebut. Pendekatan Bayes untuk mendeteksi pencilan dengan menggunakan definisi yang

ditulis oleh Freeman (1980), yaitu sebuah pencilan adalah suatu pengamatan yang

menyimpang (terpencil), dibangkitkan oleh suatu mekanisme yang berbeda dengan

pembangkitan suatu kumpulan data secara umum. Pendekatan Bayes dalam mendeteksi

adanya suatu pencilan tidak membedakan jenis distribusi pembangkit pengamatan. Pencilan

dideteksi dengan memeriksa distribusi peluang posterior dari sisaan acak. Pada sebuah model

linier,

dengan sisaan acak

yang berdistribusi normal dengan rataan sama


3/30

3

dengan nol dan varians , dikatakan bahwa pengamatan ke-i adalah sebuah pencilan jikamempunyai nilai peluang posterior yang lebih besar dari nilai peluang prior untuk nilai k

tertentu (Chaloner dan Brant, 1988).

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk :

a. Menjelaskan definisi pencilan;

b. Mengetahui dampak keberadaan pencilan dalam analisis data, dalam hal ini analisis

regresi.

c. Menjelaskan metode yang dapat dipergunakan dalam mengidentifikasi keberadaan

pencilan dan menyusun model persamaan regresinya.d.

Membandingkan metode pendugaan koefisien regresi antara Metode Kuadrat

Terkecil dengan Metode Robust Estimasi M.

1.3 Batasan Masalah

Data yang digunakan adalah data di bidang pertanian yang memiliki k peubah respon

Metode pendugaan regresi yang digunakan bagi data yang mengandung pencilan

tersebut yaitu Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Robust Estimasi-M. Kriteria pembanding yang digunakan adalah Koefisien Determinansi (R

2), Uji Parsial t,

dan Uji F.


4/30

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Gambaran Umum Regresi Linier

Banyak analisis statistik bertujuan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara

dua atau lebih peubah. Dalam penentuan hubungan tersebut dua jenis peubah yaitu peubah tak

bebas atau peubah respon yang dilambangkan dengan Y dan peubah bebas atau peubah

peramal yang biasanya dilambangkan dengan X. Nilai dari peubah bebas biasanya dapat

diatur dan diamati, tetapi tidak dapat dikendalikan (Draper dan Smith, 1992).

Hubungan antara peubah respon dan peubah prediktor yang dicocokkan pada datapercobaan ditandai dengan persamaan prediksi, disebut persamaan regresi duga. Apabila

peubah X jumlahnya tunggal, maka dapat dikatakan bahwa regresi tersebut adalah sederhana,

sedangkan jika terdapat k peubah bebas maka dikatakan sebagai regresi berganda (Steel dan

Torrie, 1991).

Model regresi linier sederhana menurut Draper dan Smith (1992) dituliskan

sebagai berikut :

untuk i = 1, 2, , n

sedangkan model regresi linier berganda dituliskan sebagai berikut : untuk i = 1, 2, , ndi mana : = nilai pengamatan peubah respon ke-i = peubah-peubah bebas yang menentukan nilai pengamatan ke-i

= koefisien-koefisien regresi untuk peubah-peubah

secara

berturut-turut = intersep (menunjukkan titik potong antara garis regresi dengan sumbu Y) = galat ke-i dan merupakan peubah acak yang mempunyai sebaran tertentun = banyaknya pengamatan


5/30

5

2.2 Regresi Linier Berganda

2.2.1 Asumsi Regresi Linier Berganda

Asumsi-asumsi yang melandasi analisis regresi linier berganda menurut

Gujarati (1999) sebagai berikut :

1. Cov( ) , (Asumsi Autokorelasi)Asumsi ini menghendaki adanya kebebasan galat untuk setiap nilai pengamatan Y.

Meskipun asumsi ini tidak terppenuhi, pendugaan parameter model regresi menggunakan

metode kuadrat terkecil masih tetap menghasilkan penduga yang tak bias.

2. Var

) (Asumsi Homoskedastisitas)

Asumsi ini menghendaki agar varians di sekitar garis regresi atau lebih jelasnya

varians dari galat adalah adalah konstan untuk setiap . Apabila asumsi ini tidakterpenuhi maka pendugaan parameter menggunakan metode kuadrat terkecil bukanlah

pendugaan yang efisien. Hal ini disebabkan karena metode ini tidak lagi memberikan

varians yang kecil, padahal metode kuadrat terkecil berusaha untuk meminimumkan

jumlah kuadrat dari galat.

3. Cov

(

) untuk

(Asumsi Multikolinieritas)

Asumsi ini tidak menghendaki adanya korelasi antara peubah bebas satu dengan

peubah bebas lainnya.

4. Kenormalan Galat, Asumsi ini berarti bahwa galat mengikuti sebaran normal dengan nilai tengah nol

dan varians konstan .2.2.2 Pendugaan Koefisien Regresi Linier Berganda

Model populasi dari persamaan regresi linier barganda dinyatakan oleh Draperdan Smith (1992) dengan : untuk i = 1, 2, , n (2.1)

Hampir dalam semua situasi praktis apa yang dimiliki oleh peneliti adalah suatu

sampel nilai-nilai Y yang berhubungan pada beberapa nilai X yang tetap. Oleh karena itu

persamaan (2.1) dapat diduga dengan menggunakan model sampel yaitu :


6/30

6

(2.2)untuk i = 1, 2, , n

Prosedur pendugaan

menggunakan metode kuadrat terkecil

(MKT) dengan galat meminimumkan jumlah kuadrat sisa (JKsisa). JKsisa mencapai nilai

minimum jika turunan parsial terhadap sama dengan nol. JKsisa minimumdapat dinyatakan dengan :

= sehingga JKsisaminimum adalah :

() = () maka didapatkan : () (2.3)

(Yusuf Wibisono, 2015)

2.2.3 Pengujian Persamaan Regresi

2.2.3.1 Pengujian Koefisien Regresi Secara Serentak

Menurut Hines dan Montgomery (1990), hipotesis yang diuji adalah : versus Paling sedikit terdapat

Penyelidikan koefisien regresi dapat dipermudah dengan menggunakan tabel

analisa ragam seperti dalam Tabel 2.1

Tabel 2.1 Analisis Ragam untuk Menguji Keberartian Koefisien Regresi secara Serentak

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Tengah

Fhit Ftabel P

Regresi k JKR KTR ( )Sisa n-k-1 JKS KTS

Total n-1 JKT


7/30

7

di mana :

n = banyak pengamatan

k = banyak peubah bebas yang terlibat dalam model

Apabila Fhit > atau p < maka kita akan menolak H0 yang artinyapaling sedikit terdapat satu (menunjukkan peubah bebas mempunyai kontribusi yangnyata terhadap peubah tak bebas) dan sebaliknya jika Fhit < maka terima H0yangartinya (menunjukkan peubah bebas tidak mempunyai kontribusiyang nyata terhadap peubah tak bebas) (Drapper dan Smith, 1992).

2.2.3.2 Pengujian Koefisien Secara Parsial

Pengujian ini dilakukan terhadap setiap koefisien regresi dengan hipotesis sebagai

berikut : versus Statistik uji yang digunakan adalah :

(2.4)di mana adalah elemen diagonal dari matriks korelasi (). Apabila || ( ) atau nilai maka kita akan menolak H0yang artinya atau peubah Xjmemberikansumbangan yang nyata terhadap model dan sebaliknya jika || ( ) atau makaterima H0 atau peubah Xj tidak memberikan sumbangan yang nyata terhadap model (Hines

dan Montgomery, 1990).

2.3 Pengujian Asumsi Linier Berganda

2.3.1 Analisis Sisaan

Menurut Drapper dan Smith (1992), analisis sisaan adalah analisis tentang selisih

nilai pengamatan dengan nilai ramalan () setelah model ditetapkan, sehingga modelyang didapat dijamin validitasnya. Secara matematis, sisaan dapat ditulis sebagai berikut : (2.5)


8/30

8

Jika model yang dipostulatkan benar maka sisaan akan menunjukkan

kecenderungan yang mendukung asumsi yang berlaku yaitu atau setidaknyatidak menunjukkan penyimpangan dari asumsi-asumsi tersebut.

2.3.2 Pengujian Kehomogenan Ragam Sisaan (Homoskedastisitas)

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah ragam sisaan sama (ragam

konstan). Hal ini dapat dilihat melalui plot antara sisaan baku dengan nilai ramalan

(

). Di mana

dan

(Aunuddin, 1989).

Pengujian kehomogenan ragam sisaan dapat juga menggunakan uji dari J.

Szroeter. Dalam Dielman (1991) disebutkan bahwa Griffith dan Sureka (1986) telah

menunjukkan bahwa nilai uji ini lebih baik dalam mendeteksi kehomogenan ragam sisaan

dibandingkan dengan metode lain.

Hipotesis yang diuji adalah :

H0: Ragam sisaan homogen

versusH1: Ragam sisaan tidak homogen

Statistik uji Szroeter adalah :

(2.6)di mana :

n = ukuran sampel

Kriteria pengujiannya adalah :

Jika , maka terima H0Jika , maka tolak H0

Pendeteksian kehomogenan ragam galat dapat dilakukan melalui uji Glejser. Uji

Glejser didasarkan atas uji persamaan regresi dari harga mutlak galat ||dan X, dengan ||


9/30

9

sebagai peubah respon dan X sebagai peubah prediktornya. Bentuk hubungan yang

sebenarnya antara ||dan X umumnya tidak diketahui sehingga digunakan berbagai macambentuk hubungan untuk menduganya. Bentuk-bentuk hubungan yang digunnakan oleh Glejser

yaitu :

|| || || (2.7)|| || ||

di mana :

= koefisien regresi parsial pada bentuk hubungan antara

||dan X

= sisaan ke-iGlejser menggunakan bentuk-bentuk hubungan tersebut karena pada umumnya hubungan

antara || dan X mengikuti bentuk hubungan seperti pada persamaan (2.7). Jika koefisienregresi tidak signifikan, maka asumsi homoskedastisitas terpenuhi. Namun, model

|| dan|| tidak dapat digunakan karena bersifat tidak linier terhadap parameter (Gujarati, 1999).

Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji F, dengan menggunakan persamaan :


10/30

10

di mana :

KTR = Kuadrat Tengah Regresi (antara ||dan X)KTG = Kuadrat Tengah Galat (antara ||dan X)

Nilai uji F dibandingkan dengan nilai pada dimana V1adalah derajat bebasregresi dan V2adalah derajat bebas galat.

Kaidah keputusan yang digunakan adalah :

Jika Fhitung< Ftabel, berarti H0diterima

Jika Fhitung> Ftabel, berarti H0ditolak

2.3.3 Pengujian Kebebasan Nilai Sisaan (Autokorelasi)

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah terdapat ketergantungan antara

nilai sisaan. Hal ini dikaitkan dengan Cov untuk , yang dapat diuji denganstatistik uji DurbinWatson.

Untuk mengetahui ada tidaknya korelasi di antara sisaan, hipotesis yang diuji adalah :

H0: Tidak terdapat korelasi di antara sisaan

versus

H1: Terdapat korelasi di antara sisaan

Statistik uji yang dipakai adalah : (2.8)Di mana : = sisaan ke-i= sisaan ke-(i-1) dengan i = 2, 3, , n

Statistik uji ini kita bandingkan dengan titik-titk kritis pada tabel DurbinWatson

dengan mengambil sebagai batas bawah dan sebagai batas atas Durbin Watsondengan taraf nyata . Kriteria pengujian menurut Draper dan Smith (1992) adalah :


11/30


12/30

12

Sedangkan menurut Stephen, M.A. (1982) pengujian kenormalan sisaan dapat

menggunakan uji AndersonDarling.

Hipotesis yang mendasari pengujian adalah :

H0: Sisaan berdistribusi normal

versus

H1: Sisaan tidak berdistribusi normal

Statistik uji yang dipakai adalah :

{ } (2.9)di mana adalah peluang kumulatif dari distribusi normal baku dengan i =1, 2, , n.Kriteria untuk mengambil keputusan terima atau tolak H0adalah :

Jika atau maka terima H0.Jika atau maka tolak H0.2.3.5Kolinieritas Berganda (Multikolinieritas)

Permasalahan yang sering dihadapi dalam menggunakan regresi berganda adalah

adanya kolinieritas berganda (ketergantungan antara peubah-peubah bebas X) sehingga

didapat kesulitan untuk mengetahui pengaruh masing-masing peubah bebas terhadap peubah

tak bebas (Hines dan Montgomery, 1990).

Salah satu metode untuk menghitung besarnya kolinieritas berganda tiga peubah

bebas adalah faktor keragaman inflasi (Varian Inflation Factor = VIF). VIFdidefinisikan oleh

Bowerman dan OConnel (1990) sebagai berikut : (2.10)di mana

menunjukkan koefisien determinasi berganda dari peubah dengan semua peubah

bebas lain.Hines dan Montgomery (1990) serta Hocking (1982) menyatakan faktor ini tidak

lain adalah unsur diagonal utama dari matriks korelasi. Apabila maka korelasi diantara peubah sangat tinggi, maka cara terbaik mengatasinya dengan menambah data

pengamatan. Jika tidak mungkin untuk menambah data maka salah satu cara mengatasinya

dengan menghilangkan peubah yang menyebabkan kolinieritasnya berganda. Analisis


13/30

13

komponen utama dan Regresi Gulud dapat digunakan untuk mengatasi kolinieritas berganda

jika peubah bebas X satupun tidak boleh dibuang.

2.4 Pendeteksian Pencilan

Sisaan yang merupakan pencilan adalah sisaan yang memiliki nilai mutlak jauh

lebih besar daripada sisaan-sisaan lainnya dan biasanya terletak tiga atau empat simpangan

baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata sisaannya. Pencilan merupakan suatu keganjilan dan

menandakan suatu titik data mempunyai sifat khusus dibandingkan dengan data lain (Drapper

dan Smith, 1992).

Gambar 2.2 Identifikasi Data Pencilan Dengan IQR (I nter Quartile Range) atau Box Plot

Sembiring (2003) menjelaskan bahwa cara yang sederhana untuk memeriksa

kenormalan sisa adalah dengan melihat apakah persentasi sisa memenuhi antara s dan s

sekitar 68%; antara -2s dan 2s sekitar 95% dan antara -3s dan 3s sekitar 99,7%. Berdasarkan

cara sederhana tersebut, apabila digunakan nilai 2s maka peluang terjadinya pencilan adalah

sebesar 10.95 = 0.05 dan jika 3s maka peluang terjadinya pencilan sebesar 10.997 = 0.003.

Pelanggaran terhadap ketentuan di atas dapat terjadi karena sisaan tidak memenuhi anggapan

kenormalan atau ada pencilan dalam data.


14/30

14

Berbagai kaidah telah dianjurkan untuk menolak pencilan, dengan kata lain untuk

memutuskan menyisihkan amatan tersebut dari data, untuk kemudian menganalisis kembali

tanpa amatan tersebut. Penolakan begitu saja suatu pencilan bukanlah prosedur yang

bijaksana. Adakalanya pencilan memberikan informasi yang tidak biasa diberikan oleh titik

data lainnya, misalnya karena pencilan timbul dari kombinasi keadaan yang tidak biasa yang

mungkin saja sangat penting dan perlu diselidiki lebih jauh. Sebagai kaidah umum, pencilan

baru kita tolak jika setelah ditelusuri ternyata merupakan akibat dari kesalahan-kesalahan

seperti kesalahan mencatat amatan bersangkutan atau kesalahan ketika menyiapkan peralatan.

Bila ternyata bukan akibat dari kesalahan-kesalahan semacam itu, penyelidikan yang seksama

harus dilakukan (Drapper dan Smith, 1992).

Menurut Aunuddin (1989), sebuah pengamatan disebut sebagai pencilan apabilasisaan mutlak dari pengamatan tersebut jauh lebih besar dibandingkan sisaan-sisaan lain atau

jauh dari rata-rata sisaan (memiliki simpangan terbesar).

Menurut Bowerman dan OConnell (1990) dan Myers (1990) terdapat beberapa

cara yang dapat digunakan untuk mengidentifikasikan adanya pencilan yaitu :

1.Nilai pengaruh (Leverage value = hii)

Nilai pengaruh (hii) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

(2.11)

di mana : Jika nilai pengaruh hii besar maka pengamatan ke-i dikatakan memencil terhadap X.

Pengamatan ke-i dianggap pencilan jika : (2.12)di mana :

n = banyaknya pengamatan

p = banyaknya parameter dalam model termasuk faktor intersep

2. Studentized deleted residual (TRES)

Studentized deleted residual (TRES) didefinisikan sebagai berikut : (2.13)di mana :


15/30

15

= KTsisatanpa menggunakan pengamatan ke-i

Kriteria pengujiannya adalah :

Jika || ( ) maka terima H0Jika || ( ) maka tolak H0 (2.14)

Hipotesis yang mendasari pengujian :

H0: pengamatan ke-i bukan data pencilan terhadap Y

versus

H1: Pengamatan ke-i data pencilan terhadap Y

2.5 Pendeteksian Amatan Berpengaruh

Data berpengaruh yaitu pengamatan yang berpengaruh besar terhadap persamaan

garis regresi. Data berpengaruh ini mungkin mempunyai nilai sisaan yang besar (merupakan

pencilan) atau mungkin tidak, tergantung pada model yang digunakan dan pengamatan lain

(Draper dan Smith, 1992).

Cryer dan Miller (1991), Myers (1990) dan Schulman (1992) menjelaskan bahwa

terdapat beberapa cara mendeteksi adanya data berpengaruh yaitu :

1. Ukuran Jarak Cook (Cooks Distance)

Hipotesis yang melandasi pengujian :

H0: Pengamatan ke-i tidak berpengaruh

versus

H1: Pengamatan ke-i berpengaruh

Statistik Uji jarak Cook adalah : , - (2.15)Kriteria pengujiannya yaitu :

Jika || maka terima H0Jika || maka tolak H0


16/30

16

2.DFITS(The Difference in Fits Statistics)

Hipotesis yang melandasi pengujian :

H0: Pengamatan ke-i tidak berpengaruh

versus

H1: Pengamatan ke-i berpengaruh

Statistik UjiDFITSadalah :

[ ] + (2.16)Kriteria pengujiannya yaitu :

Jika

|| maka terima H0

Jika || maka tolak H0 (2.17)2.6 Pencilan Berpengaruh

Data dikategorikan ke dalam pencilan berpengaruh apabila termasuk data pencilan

sekaligus data berpengaruh. Hipotesis yang digunakan adalah :

H0: Pengamatan ke-i bukan pencilan berpengaruh

versus

H1: Pengamatan ke-i pencilan berpengaruh

Kriteria pengujiannya :

Jika atau || ( ) dan || atau || makaterima H0

Jika

atau

|| ( ) dan

|| atau

||

maka

tolak H0 (2.18)

Apabila hal ini terjadi maka untuk menghilangkan pengaruh dari pencilan

digunakan regresi kekar (Myers, 1990).


17/30

17

2.7 Penduga-M dengan Fungsi Penimbang Bisquare Weight

Apabila pengamatan Y di dalam model regresi linier adalah berdistribusi normal,

metode kuadrat terkecil merupakan cara yang baik untuk menduga. Namun ketika terdapat

beberapa pengamatan pencilan yang meyebabkan sebaran data tidak normal, terutama

terdapat kelompok pengamatan yang jauh dari nilai tengah, metode kuadrat terkecil tidak bisa

menangani masalah tersebut dengan baik. Jika pemakaian metode kuadrat terkecil dipaksakan

maka akan menghasilkan suatu kesimpulan yang tidak sahih, maka alternatifnya digunakan

regresi kekar (Hines dan Montgomery, 1990).

Heber (1964) dan Hill Dixon (1982) memperkenalkan jenis penduga yang disebut

penduga-M dengan menggunakan modifikasi terhadap penduga kuadrat terkecil. T merupakan

penduga parameter rata-rata yang didapat dengan meminimumkan untukbeberapa fungsi objektif . Penduga-M adalah penyelesaian dari di mana disebut fungsi pengaruh yang merupakan turunan dari

Penduga-M adalah penyelesaian dari dimana disebut fungsipengaruh yang merupakan turunan dari . Untuk mendapatkan penduga T yang kekarterhadap pencilan, maka diharapkan pada titik data yang ekstrim mendapatkan pembobot nol

atau cukup kecil, dengan cara sisaan atau simpangan

sehingga sumbangannya

terhadap penduga parameter mengecil atau tidak ada. Jika ada rata-rata yang dipakai sebagai

penduga awal atau T0 maka keberadaan pencilan dalam data menjadi tersamar karena sifat

yang dimiliki rata-rata menyebabkan semua nilai ||membesar secara merata (Devor, 1982).Penggunaan median lebih baik dari rata-rata karena sifat resistennya yang tinggi

dan dipilih sebagai ukuran penyebaran S = median | | yang selanjutnya digunakanuntuk mendapatkan ukuran simpangan relatif

(2.19)

di mana konstanta c ditentukan kemudian, sedangkan T0 adalah penduga awal rata-rata

(Aunuddin, 1989).

Mosteller dan Tukey (1977) menjelaskan bahwa konstanta yang sering dipakai

adalah c = 6 atau c = 9. Fungsi pembobot yang disarankan oleh Mosteller dan Tukey (1977)

dalam Aunuddin (1989) memakai fungsi obyektif seperti :


18/30

18

() || || (2.20)dengan fungsi pengaruh :

() || || (2.21)Karena maka didapatkan fungsi pembobot :

|| || (2.22)fungsi pengaruh dan pembobot ini disebut denganBisquare WeightatauBiweight. Pendugaan

koefisien regresi selanjutnya ditentukan dengan pemodifikasian metode kuadrat terkecil yaitu

metode kuadrat terkecil terboboti dengan fungsi pembangkitBisquare Weightdi atas.

2.8 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti

Pengembangan teori kuadrat kecil pada model Y = dengan anggapanbahwa jika berkorelasi dan bahwa di mana V adalah matriksdefinit positif berukuran n x n yang diketahui. Penduga yang sesuai bagi

untuk model

umum dengan bentuk matriks V yang bukan berupa matriks identitas tersebut bukanlah

penduga kuadrat terkecil sebagaimana persamaan : (2.23) akan selalu mempunyai kebalikan karena juga merupakanmatriks definit positif. Penduga kuadrat terkecil umum bagi penduga adalah : (2.24)Apabila

dihitung berdasarkan teori kuadrat terkecil sebagai persamaan

maka akan didapatkan hasil yang sama dengan E(dalam metode kuadrat terkecil terboboti dengan W pembobot bernilai positif untuk datake-i sehingga penduga kuadrat terkecil terboboti bagi adalah : (2.25)dengan meminimumkan persamaan (2.25) akan menghasilkan jumlah kuadrat sisa terboboti

sebagai berikut :

(2.26)


19/30

19

Pembobot yang dimaksud adalah fungsi penimbang bisquare weight yang telah dijelaskan

sebelumnya.

2.9

Koefisien Korelasi Berganda dan Koefisien Determinasi

Wibisono (2015) mengemukakan bahwa koefisien korelasi antara dua peubah

sering disebut koefisien korelasi linier sederhana. Misalnya terdapat dua peubah X dan Y

maka koefisien korelasi anatar X dan Y diberi simbol didefinisikan sebagai : (2.27)di mana :

dan

Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara peubah Y dengan beberapa peubahX, maka digunakan koefisien korelasi linier berganda dengan rumus sebagai berikut :

(2.28)Dalam regresi dua peubah, koefisien korelasi linier sederhana r terletak antara -1

dan 1. Sedangkan dalam regresi yang melibatkan lebih dari dua variabel, koefisien korelasi

berganda terletak antara 0 dan 1.

Jika koefisien korelasi linier berganda dikuadratkan, maka akan diperoleh

koefisien determinasi R2yang digunakan untuk mengetahui proporsi variasi total peubah tak

bebas yang diterangkan oleh beberapa peubah bebas secara bersama-sama. Pada saat R2= 1

berarti garis regresi yang dicocokkan menjelaskan 100 persen variasi dalam peubah tak bebas

Y. Di pihak lain, jika R2= 0 berarti model tadi tidak menjelaskan sedikitpun variasi dalam

peubah tak bebas Y (Gujarati, 1999 dan Mulyono, 2000).

Selanjutnya menurut Gujarati (1999), suatu sifat penting R2 adalah bahwa nilai

tadi merupakan fungsi yang tidak pernah menurun dan hampir-hampir selalu meningkat

seiring dengan meningkatnya jumlah peubah bebas X.

Dalam membandingkan dua model regresi dengan peubah tak bebas Y sama tetapi

berbeda dalam banyaknya peubah bebas X, seharusnya sangat berhati-hati dalam memilih

model dengan R2yang tertinggi. Sehingga, untuk membandingkan dua model regresi harus

memperhitungkan banyaknya peubah bebas X yang ada pada model. Ini dapat dilakukan


20/30

20

dengan mempertimbangkan R2 yang disesuaikan ). Adapun rumus )sebagai berikut :

(2.29)di mana :

n = jumlah pengamatan

p = banyaknya parameter dalam model termasuk faktor intersep

Istilah disesuaikan (adjusted) berarti disesuaikan terhadap derajat bebas (df). mempunyain-p derajat bebas dan mempunyai n-1 derajat bebas.Dari persamaan (2.29) dapat diketahui bahwa yang berarti bahwa

seiring meningkatnya peubah bebas X, maka meningkat dengan peningkatan yanglebih kecil dibandingkan dengan R2.


21/30

21

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Data

Data yang digunakan dalam analisis ini Data Produksi Padi di Kecamatan

Purwodadi Kabupaten Purworejo pada Tahun 2011 (Skripsi : Widhyotami T.P., 2012, Studi

Komparatif Usaha Tani pada Pengguna Pupuk di Kecamatan Purwodadi Kabupaten

Purworejo, Fakultas Pertanian Universitas Jenderal Soedirman, Semarang). Pada penelitian

ini ingin diketahui pengaruh banyaknya benih (X1), pupuk organik (X2) dan pupuk kimia

(X3), terhadap produksi padi (Y). Adapun data tersebut sebagai berikut.

Tabel 3.1 Hasil Pengamatan Produksi Padi

No X1(Kg) X2(Kg) X3(Kg) Y (Kg)15 15 2500 50 1500

16 5 1000 10 1000

1 2,5 320 5 280 17 3,5 500 5 600

2 10 1000 70 1100 18 3 500 3 500

3 15 1000 150 3000 19 15 2000 100 3000

4 2 1200 100 1200 20 10 1500 15 1700

5 7 1500 30 1700 21 7 2000 10 17006 5 2000 20 1000 22 10 2500 20 2000

7 15 2000 100 2800 23 15 3000 100 3600

8 30 2000 200 3600 24 14 2500 55 2500

9 5 570 55 2400 25 10 1500 90 2200

10 40 5000 350 6000 26 8 2000 45 2000

11 12 2500 20 2200 27 10 1000 40 2300

12 20 2500 100 3000 28 7 1000 5 1200

13 8 1500 15 1200 29 11 2000 10 1800

14 7 2000 20 1200 30 9 1500 15 1800

3.2 Metode

3.2.1 Estimasi Koefisien Regresi Linier Berganda

1. Pendugaan koefisien regresi linier berganda sesuai persamaan (2.2)

2.

Uji koefisien regresi secara serentak menggunakan persamaan (2.3)

3. Hitung R2sesuai persamaan (2.28)


22/30

22

3.2.2Identifikasi Outlier

a. Boxplot

b.

Pemeriksaan Terhadap Pencilan Berpengaruh menggunakan metode DfFITS

3.2.3Pembentukan Koefisien Regresi dengan Metode Estimasi-M

1. Menjadikan hasil penduga parameter model regresi linier berganda sebagai penduga awal

koefisien regresi kekar dan sisaan dihitung sesuai persamaan (2.5) yang dijadikan sisaan

awal 2.

Dengan sisaan awal

dihitung nilai

sesuai persamaan

di mana c = 6 atau c = 9

3.

Membentuk matriks pembobot yang merupakan matriks diagonal dengan elemen

diagonal dengan fungsi penimbangBisquare Weightberdasarkan persamaan(2.22)

4. Menggunakan metode kuadrat terkecil terboboti untuk mendapatkan koefisien regresi

kekar dengan persamaan (2.25)

5. Menjadikan hasil penduga pada langkah keempat sebagai penduga parameter koefisien

regresi linier berganda untuk menghilangkan sisaan baru dengan matriks pembobot baru

6.

Kembali ke langkah kedua sampai tercapai kekonvergenan. Kekonvergenan tercapai

apabila perubahan penduga koefisien regresi dan jumlah simpangan mutlak dari iterasi ke

iterasi berikutnya tidak berarti (kurang dari 0.01)

7. Jika sudah kovergen, hitung R2untuk mengetahui informasi yang dihasilkan oleh model

regresi tersebut


23/30

23

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1

Model Regresi dengan MKT Biasa

Dengan metode kuadrat terkecil biasa diperoleh model regresi linier berganda

beserta nilai R2sebagai berikut : R2551 + 53 X1 + 0.274 X2 + 6.48 X3 83.7%

Nilai R2disebut koefisien determinasi (berganda), yang merupakan nilai kuadrat

dari koefisien korelasi berganda. Koefisien korelasi berganda mengukur kedekatan titik-titik

pengamatan dengan bidang regresi. Dengan kata lain korelasi ini adalah korelasi antara

pengamatan Y dengan nilai regresinya . Nilai sebesar 83.7% berarti bahwa sebesar83.7% proporsi data mendukung model atau sebesar 83.7% keragaman yang bisa diterangkan

oleh regresi sedangkan sisanya diterangkan oleh sebab-sebab lain.

4.2 Menguji Koefisien Model Regresi

1. Pengujian Koefisien Regresi Secara Serentak

Hipotesis yang diuji adalah : versus Paling sedikit terdapat Statistik Uji :

Jika Fhit > atau p < maka tolak H0Jika Fhit atau 50.63 > 2.98sehingga Ho ditolak artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel tak bebas.


24/30

24

2. Pengujian Koefisien Secara Parsial

Hipotesis yang diuji adalah :

versus Statistik uji yang digunakan adalah :

Prediktor Koefisien ttabel KeputusanKonstan 551

X1 53 1.88 2.056 Tidak Nyata

X2 0.274 2.63 2.056 Tidak Nyata

X3 6.48 4.07 2.056 Nyata

Untuk karena nilai || ( ) maka kita menolak H0 yang artinya atau peubah Xjmemberikan sumbangan yang nyata terhadap model. Sedangkannilai nilai || ( ) maka kita menerima H0 yang artinya atau

peubah Xj memberikan sumbangan yang tidak nyata terhadap model. Meskipunmemberikan sumbangan yang tidak nyata terhadap, diputuskan untuk tidak mengeluarkan

peubah tersebut dari model regresi.

4.3 Pendeteksian Pencilan dan Pengamatan Berpengaruh

Identifikasi pencilan dapat menggunakan metode grafis, yaitu boxplot. Adapun

hasil yang diperoleh dengan menggunakan Minitab 14 sebagai berikut :


25/30

25

Suatu data dikatakan outlier apabila data tersebut bernilai kurang dari 1,5 D IQR

terhadap kuartil 1, atau bernilai lebih dari 1,5 D IQR terhadap kuartil 3. Oleh karena itu,diperlukan perhitungan nilai kuartil 1, kuartil 3 dan IQR agar dapat mengidentifikasi outlier

menggunakan boxplot. Adapun perhitungan tersebut sebagai berikut :

Variabel Nilai Q1 Nilai Q3 Nilai IQRX1 6,5 15 8,5X2 1000 2125 1125X3 17,5 100 82,5Y 1200 2575 1375

Berdasarkan tabel tersebut diketahui bahwa tidak terdapat data yang nilainya lebih

dari 3 D IQR terhadap Q3, atau nilainya kurang dari 3 D IQR terhadap Q1, namun terdapat

data yang nilainya lebih dari 1,5 D IQR terhadap Q3. Oleh karena itu, dapat disimpulkan

bahwa titik yang terdapat di luar kotak boxplot merupakan outlier


26/30

26

Selanjutnya dari analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil biasa dapat

dideteksi pencilan dan pengamatan berpengaruh dengan melihat nilai || yangkemudian dibandingkan dengan

Hasil pendeteksian pencilan dan pengamatan berpengaruh adalah sebagai berikut :

DataDfFITS |DfFITS|

10 -153,870 153,870 21 0,10920 0,10920

ke- 11 0,16792 0,16792 22 0,08515 0,08515

1 -0,43283 0,43283 12 0,04277 0,04277 23 0,72951 0,72951

2 -0,47205 0,47205 13 -0,14258 0,14258 24 0,10491 0,10491

3 0,51878 0,51878 14 -0,26309 0,26309 25 0,07659 0,07659

4 -117,832 117,832 15 -0,67382 0,67382 26 0,11291 0,112915 0,07974 0,07974 16 -0,08323 0,08323 27 0,47854 0,47854

6 -0,42811 0,42811 17 -0,22045 0,22045 28 -0,01820 0,01820

7 0,11994 0,11994 18 -0,26448 0,26448 29 0,03946 0,03946

8 -101,068 101,068 19 0,21605 0,21605 30 0,14625 0,14625

9 105,234 105,234 20 0,07036 0,07036

Setelah dibandingkan dengan kriteria (2.18)didapat untuk pengamatan ke-4, ke-8,

ke-9, ke-10, ke-15, dan ke-23 merupakan pengamatan berpengaruh karena memiliki standar

baku galat (standardized residual) yang tinggi dan sekaligus merupakan pencilan karena nilai

|| > atau > 0.6325.Pendeteksian pencilan dan amatan berpengaruh pada Data Produksi Padi di

Kecamatan PurwodadiKabupaten Purworejo pada Tahun 2011 diketahui bahwa terdapat

pencilan berpengaruh pada data tersebut sehingga pengamatan tersebut tidak dapat

dihilangkan begitu saja. Untuk memperoleh kesimpulan yang sahih maka sebagai

alternatifnya digunakan regresi Robust Estimasi M.


27/30

27

4.4 Model Regresi Kekar (Robust) dengan Estimasi M

Dari hasil identifikasi pencilan disimpulkan bahwa terdapat pencilan pada data,

maka alternatifnya digunakan regresi robustEstimasi-M. Adapun prosedur penyelesaiannya

sebagai berikut :

a.

Menghitung nilai estimasi model dan nilai residual dengan menggunakan persamaan

regresi MKT sehingga diperoleh tabel sebagai berikut :

X1 X2 X3 Y Residual2,5 320 5 280 803,58 -523,5810 1000 70 1100 1808,6 -708,615 1000 150 3000 2592 4082 1200 100 1200 1633,8 -433,87 1500 30 1700 1527,4 172,65 2000 20 1000 1493,6 -493,615 2000 100 2800 2542 25830 2000 200 3600 3985 -3855 570 55 2400 1328,58 1071,4240 5000 350 6000 6309 -30912 2500 20 2200 2001,6 198,420 2500 100 3000 2944 568 1500 15 1200 1483,2 -283,27 2000 20 1200 1599,6 -399,615 2500 50 1500 2355 -8555 1000 10 1000 1154,8 -154,8

3,5 500 5 600 905,9 -305,9

3 500 3 500 866,44 -366,4415 2000 100 3000 2542 45810 1500 15 1700 1589,2 110,87 2000 10 1700 1534,8 165,210 2500 20 2000 1895,6 104,415 3000 100 3600 2816 78414 2500 55 2500 2334,4 165,610 1500 90 2200 2075,2 124,88 2000 45 2000 1814,6 185,410 1000 40 2300 1614,2 685,87 1000 5 1200 1228,4 -28,4

11 2000 10 1800 1746,8 53,29 1500 15 1800 1536,2 263,8

b. Setelah dihitung pembobot awal, fungsi pembobot Huber, serta dilakukan iterasi dari

pendugaan regresi robust estimasi M, maka hasil pendugaan koefisien regresi yang telah

sesuai adalah sebagai berikut :


28/30

28

Iterasi b0, robust b1, robust b2, robust b3, robust1 454,8963 42,6409 0,3855 6,60222 437,3306 43,5426 0,3929 6,4829

3 434,8732 43,7432 0,3938 6,45894 434,4871

43,7777

0,3939

6,4547

5 434,4454 43,7832 0,3939 6,45416 434,4284 43,7839 0,3939 6,45407 434,4284 43,7839 0,3939 6,4540

= 454.8963 + 42.6409 X1+ 0.3855 X2+ 6.6022 X3Nilai yang diperoleh adalah sebesar 88.79% berarti bahwa sebesar 88.79%

proporsi data mendukung model atau sebesar 88.79% keragaman yang bisa diterangkan oleh

regresi sedangkan sisanya diterangkan oleh sebab-sebab lain.

Penyelidikan koefisien regresi linear berganda menggunakan Metode Robust Estimasi

M secara serentak dengan menggunakan taraf signifikansi sebesar 5% atau 0.05

menghasilkan nilai Fhitung sebesar 231.1575. Berdasarkan tabel statistik, Ftabel = 2.98, maka

Fhit > atau 50.63 > 2.98 sehingga Ho ditolak artinya variabel bebas sangatberpengaruh terhadap variabel tak bebas.

Uji parsial t menunjukkan bahwa ketiga variabel bebas berpengaruh signifikan

terhadap variabel respon. Hal ini ditunjukan oleh ketiga nilai

|| (

)maka kita

menolak H0 yang artinya atau peubah X1, X2, dan X3 memberikan sumbangan yangnyata terhadap model.

Makna dari model persamaan di atas adalah :

Produksi padi dipengaruhi secara positif oleh ketiga faktor yaitu banyaknya benih,

pupuk organik dan pupuk kimia

Produksi padi akan naik sebesar 43,7839 kg setiap penambahan benih sebanyak 1 kg,

jika banyaknya pupuk organik maupun kimia tetap;

Produksi padi akan naik sebesar 0,3939 kg setiap penambahan jumlah pupuk organik

sebanyak 1 kg, jika jumlah benih dan pupuk kimia tetap;

Produkdi padi akan naik sebesar 6,454 kg setiap penambahan pupuk kimia sebanyak 1

kg, jika jumlah benih dan pupuk organik tetap


29/30

29

BAB V

KESIMPUAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Untuk mendapatkan penduga yang baik jika dalam data yang dianalisis mengandung

pencilan maka pencilan tersebut tidak dapat dibuang begitu saja karena akan

mempengaruhi kesimpulan akhir dan sebenarnya justru pencilan tersebut mengandung

informasi yang cukup berarti.

2.

Dengan membandingkan koefisien determinasi dari kedua metode yang dihasilkan,menunjukkan bahwa Estimasi M (Regresi Robust) dapat dikatakan lebih baik

dibandingkan dengan model regresi menggunakan metode kuadrat terkecil.

3.

Salah satu cara untuk menduga model regresi jika terdapat data pencilan atau outlier

adalah dengan menggunakan Regresi Robust Metode Estimasi M.

4. Setelah dilakukan iterasi terhadap data yang mengandung pencilan, diperoleh bahwa

produksi padi dapat diduga dengan persamaan model regresi kekar :

= 454.8963 + 42.6409 X1 + 0.3855 X2 + 6.6022 X3

5.2 Saran

Untuk membandingkan hasil analisis, disarankan untuk mencari pengamatan

berpengaruh atau pencilan dengan metode lain seperti metode Bayes. Analisis regresi yang

digunakan juga analisis selain model analisis regresi kekar estimasi M, karena diatas Estimasi

M terdapat metode estimasi lain yang memiliki tingkat efisiensi (tingkatan seberapa baiknya

suatu teknis robust sebanding dengan Metode Kuadrat Terkecil/OLS tanpa outlier) dan

breakdown point yang lebih baik (ukuran kestabilan dari estimator ketika data observasi

mengandung outlier dengan jumlah yang besar). Diantaranya adalah Estimasi Least Mean

Square, Estimasi Least Trimmed Square, Estimasi S, dan Estimasi MM.


30/30

30

DAFTAR PUSTAKA

Aunuddin, 1989. Analisis Data. Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat : IPB Press, Bogor.

Bowerman, B.L and O'connel, R.T., 1990. Linier Statistical. Models:an applied approach.

PWS-KENT Publishing. Company, Boston.

Brainard, D.H. & Freeman, W.T., 1980.Bayesian Method for Recovering Surface Responses.

Proceedings of SPIE, vol. 2179, San Jose, CA.

Draper N.R. dan H.Smith., 1966. Applied Regression Analysis. John Wiley & Son, Inc., New

York.

Gujarati, Damodar N., 1995.Basics Econometrics. McGraw-Hill, New York.

Hines, W.W. dan Montgomery, D.C. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa danManajemen, Edisi Kedua, Alih Bahasa : Rudiansyah, UI Press, Jakarta.

Hocking, R. R., 1982. Methods and Applications of Linear Models : Regression and the

Analysis of Variance. Wiley, New York.

Montgomery, Douglas C., Peck, Elizabeth, A., 1982. Introductions to Linear Regression

Analysis. John Wiley & Sons, New York.

Mosteller, F., dan Tukey, J.W., 1977. Data Analysis and Linear Regression. Addison-Wesley.

Reading, Massachussets.

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur

dan Ilmuwan, Edisi ke4. ITB Bandung.

Sembiring, R.K., 2003. Analisis Regresi, Edisi Kedua. Penerbit ITB, Bandung

Steel, R.G.D dan J.H. Torrie. 1995. Prinsip Dan Prosedur Statistika : Suatu Pendekatan

Biometrik. Penterjemah Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka, Jakarta.

Wibisono, Y., 2015. Metode Statistik, Edisi Ketiga. Gadjah Mada University Press,

Yogyakarta.Widhyotami, T. P. 2012. Studi Komparatif Usaha Tani pada Pengguna Pupuk diKecamatan

Purwodadi Kabupaten Purworejo. Purwokerto: Unsoed.

pencilan dlm regresi

Documents