PERBANDINGAN METODE ROBUST GENERALIZED-M SCHWEPPE

ONE-STEP ESTIMATOR (GM-S1S) DAN METODE ROBUST M-ESTIMATOR

UNTUK MENANGANI PENCILAN PADA REGRESI LINIER BERGANDA

Teguh Prasetyo, Ni Wayan Surya Wardhani, Waego Hadi Nugroho

Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya

Email: teguhprasetyo08@gmail.com

Abstrak. Metode Kuadrat Terkecil membutuhkan asumsi yang harus dipenuhi untuk menghasilkan penduga yang

bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator); salah satu asumsi adalah sisaan menyebar normal. Keberadaan

pencilan dapat menyebabkan asumsi kenormalan sisaan menjadi tidak terpenuhi. Metode Penduga -M banyak

digunakan untuk mengatasi pengaruh pencilan, tetapi memiliki nilai breakdown rendah. Metode Robust

Generalized-M Schweppe One-Step Estimator (GM-S1S) atau dikenal dengan Metode Reweighted Least Trimmed

Square (RLTS), merupakan pengembangan metode Penduga-M. Penelitian ini bertujuan membandingkan hasil

analisis metode Penduga-GM S1S, Penduga MKT dan Penduga-M untuk memilih metode pendugaan terbaik. Data

yang digunakan mengandung pencilan sebesar 1.72%, 3.33%, 6.45% dan 8.57%. Berdasarkan nilai Root Mean

Square Error (RMSE), disimpulkan metode Penduga-M dan Penduga-GM S1S lebih baik dibanding Penduga-

MKT. Selain itu, dari nilai Akaike’s Information Criterion Robust (AICR) disimpulkan metode Penduga-GM S1S

lebih baik dibanding Penduga-M. Semakin besar persentase pencilan, selisih nilai AICR antara metode Penduga-

GM S1S dengan Penduga-M juga semakin besar.

Kata Kunci: Analisis Regresi, Pencilan, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Penduga-M, Penduga-GM S1S

1. PENDAHULUAN

Analisis Regresi merupakan metode statistika yang paling banyak diterapkan dan bertujuan

untuk membentuk model hubungan antara peubah prediktor dengan peubah respon dengan dasar

kedua peubah memiliki hubungan sebab akibat (causality). Metode yang digunakan dalam proses

pendugaan parameter model adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini sederhana dan

mudah, tetapi rentan oleh pencilan (outlier) berpengaruh terhadap penduga parameter. Keberadaan

pencilan dapat menyebabkan asumsi kenormalan sisaan menjadi tidak terpenuhi.

Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pendugaan yang tahan terhadap keberadaan pencilan;

salah satunya adalah metode Penduga-GM S1S, yang merupakan pengembangan dari metode

Penduga-M. Kelemahan metode Penduga-M yakni memiliki nilai breakdown rendah. Bertolak dari

penjelasan tersebut, pada penelitian ini diterapkan metode Penduga-GM S1S serta membandingkan

hasil analisis dengan Metode Kuadrat Terkecil dan metode Penduga-M menggunakan data berpencilan

untuk memilih metode pendugaan terbaik.

2. TINJAUAN PUSTAKA

Metode Kuadrat Terkecil (MKT) banyak digunakan dalam pendugaan parameter model regresi,

tetapi asumsi dari MKT harus dipenuhi. Keberadaan pencilan menyebabkan asumsi kenormalan sisaan

yang merupakan salah satu asumsi MKT menjadi tidak terpenuhi. Terdapatnya pencilan akan

memperbesar ragam sisaan dan salah baku dari penduga (Yafee, 2002). Untuk mengatasi masalah ini,

teknik statistika yang tahan terhadap pencilan berpengaruh telah dikembangkan yang disebut dengan

metode Robust. Karena diterapkan dalam analisis regresi, maka metode Robust dinamakan metode

regresi Robust, yang hasil analisisnya shahih meskipun data mengandung pencilan berpengaruh.

Tujuan utama dari regresi Robust adalah menghasilkan penduga yang tahan terhadap kehadiran

pencilan berpengaruh. Salah satu metode penduga Robust yang relatif baru ditemukan adalah metode

Penduga Generalized-M Schweppe One-Step Estimator (GM-S1S).

2.1 Penduga Generalized-M Schweppe One-Step Estimator (GM-S1S)

Bai (2010) menjelaskan bahwa metode Penduga-GM S1S menyempurnakan kelemahan

Penduga-M dengan cara memberi pengaruh seminimal mungkin terhadap pencilan. Metode Penduga-

GM S1S memiliki dua tahap pendugaan parameter. Pada tahap pertama, pengamatan yang

diindikasikan pencilan akan dipangkas atau tidak diikutkan dalam proses pendugaan parameter.

Kemudian pada tahap yang kedua dilakukan pembobotan pada pengamatan dengan nilai sisaan besar.

Prosedur pendugaan parameter Metode Penduga-GM S1S:

2.1.1 Penduga Schweppe One-Step Estimator (S1S)

Metode Penduga-S1S merupakan pengembangan dari metode Penduga-Least Trimmed Square

(LTS) yang termasuk dalam Bounded Influence. Pengembangan ini bertujuan untuk meningkatkan

efisiensi Penduga-LTS dengan cara pembobotan kembali pada sisaan bernilai besar dengan metode

Penduga-GM. Cizek dan Visek (2003) mendefinisikan metode Penduga-S1S sebagai:

(S1S) = min Q

di mana:

Arg = argument

h = konsanta pemotongan, di mana h = *

+ + *

+ atau *

+ + *

+

Q = jumlah kuadrat sisaan dari sejumlah h statistik peringkat = ∑

p = banyaknya peubah prediktor

n = banyaknya pengamatan.

2.1.2 Penduga Generalized-M

Penduga-GM menambahkan pembobot pada fungsi kriteria sehingga pengaruh pencilan

semakin kecil. Penduga-GM terdiri dari dua fungsi kriteria, yaitu ρ0 dan ρ1, yang menentukan nilai

breakdown dan efisiensi. Metode Penduga-GM merupakan penyelesaian dari:

∑

atau

∑ (

)

3. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Pada penelitian ini, digunakan empat data sekunder hasil penelitian mahasiswa Universitas

Brawijaya. Data pertama merupakan hasil penelitian terhadap tingkat produktivitas tenaga kerja

perempuan pada perusahaan rokok Delapan Wijaya (Windo, 2007). Data kedua adalah hasil penelitian

tentang efisiensi usaha tani padi Desa Tegal Gondo dan Ngenep Kecamatan Karangploso Kabupaten

Malang (Rachmawati, 2006). Data ketiga merupakan hasil penelitian terhadap produktivitas agen

asuransi AJB Bumiputera 1912 kantor cabang Magetan (Dewi, 2009). Data keempat adalah hasil

penelitian tentang pendapatan pengusaha kecil yang menjadi nasabah penerima kredit BPR Gunung

Ringgit Kecamatan Kedung Kandang Kota Malang (Evelyn, 2007).

3.2 Metode Analisis

Langkah pertama adalah mendeteksi keberadaan pencilan sekaligus pengamatan berpengaruh,

kemudian menguji asumsi klasik Metode Kuadrat Terkecil. Dilanjutkan dengan menduga parameter

menggunakan metode Penduga-MKT, Penduga-M dan Penduga-GM S1S menggunakan perangkat

lunak SAS 9.1, serta dipilih metode pendugaan terbaik berdasarkan nilai Root Mean Square Error

(RMSE) dan Akaike’s Information Criterion Robust (AICR).

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil pendeteksian pencilan dan pengamatan berpengaruh pada empat data disajikan pada Tabel

1 sebagai berikut:

Tabel 1. Pendeteksian Pencilan dan Pengamatan Berpengaruh

Data Pencilan Pengamatan Berpengaruh

Uji Jarak Cook Uji DFITS

1 1.72% 0% 5.17%

2 3.33% 0% 13.33%

3 6.45% 0% 6.45%

4 8.57% 0% 11.43%

190

Tabel 1 memperlihatkan persentase pencilan dan pengamatan berpengaruh dari empat data,

yaitu 1.72%, 3.33%, 6.45% dan 8.57%. Berdasarkan Uji Jarak Cook disimpulkan semua data tidak

memiliki pengamatan berpengaruh terhadap koefisien regresi. Hasil uji DFITS memperlihatkan bahwa

semua data memiliki pengamatan berpengaruh terhadap nilai duga peubah respon. Apabila pencilan

diabaikan dan tetap digunakan Metode Kuadrat Terkecil untuk menduga koefisien regresi, maka hasil

pendugaan tidak layak.

Setelah diketahui persentase pencilan dan pengamatan berpengaruh tiap data, kemudian

dilanjutkan dengan pengujian asumsi klasik dan pendugaan parameter menggunakan metode Penduga-

MKT, Penduga-M, dan Penduga-GM S1S. Tabel 2 menunjukkan hasil pendugaan parameter dalam

model regresi dengan tiga jenis metode pendugaan:

Tabel 2. Model Regresi Setiap Metode Pendugaan

Data Metode Pendugaan Model Regresi

1

Penduga-MKT = 34939 + 1586.891 X1 + 1966.244 X2 + 952.62 X3 +

0.034 X4

Penduga-M = 33092.95 + 1490.279 X1 + 2026.007 X2 + 1019.582

X3 + 0.035 X4

Penduga-GM S1S = 33408.93 + 1507.475 X1 + 2013.814 X2 + 1007.621

X3 + 0.035 X4

2

Penduga-MKT = 5.33 – 0.207 X1 + 0.07 X2 + 0.453 X3 – 0.834 X4 –

0.354 X5 + 0.632 X6

Penduga-M = 5.312 – 0.275 X1 + 0.033 X2 + 0.445 X3 – 0.758 X4 –

0.406 X5 + 0.649 X6

Penduga-GM S1S = 5.327 – 0.221 X1 + 0.056 X2 + 0.453 X3 – 0.813 X4 –

0.363 X5 + 0.629 X6

3

Penduga-MKT = – 0.00832 + 0.00010254 X1 + 0.00004185 X2 –

0.00000378 X3 + 0.00208 X4

Penduga-M = – 0.0069 + 0.0001 X1 + 0.0005 X2 + 0.0003 X4

Penduga-GM S1S = – 0.0074 + 0.0001 X1 + 0.0005 X2 + 0.0003 X4

4

Penduga-MKT = – 2077087 + 0.235 X1 + 80712 X2 + 79797 X3 +

104729 X4 + 13717 X5

Penduga-M = – 1845123 + 0.277 X1 + 92372.05 X2 + 47299.38 X3

+ 57549.99 X4 + 15645.46 X5

Penduga-GM S1S = – 1866250 + 0.277 X1 + 92972.26 X2 + 44969.93 X3

+ 63278.9 X4 + 15473.12 X5

Dari Tabel 2 disimpulkan pada data yang sama, nilai penduga parameter regresi berbeda-beda

untuk setiap metode pendugaan. Penduga parameter yang dihasilkan oleh metode Penduga-MKT

relatif jauh berbeda dari penduga parameter yang dihasilkan oleh metode Penduga Robust (Penduga-M

dan Penduga-GM S1S). Pencilan menyebabkan penduga parameter berbeda, sehingga kesimpulan

yang dihasilkan akan berbeda pula. Sedangkan penduga parameter yang dihasilkan oleh Penduga-M

relatif tidak jauh berbeda dari penduga parameter yang dihasilkan oleh metode Penduga-GM S1S. Hal

ini dikarenakan baik Penduga-M maupun Penduga-GM S1S termasuk dalam metode pendugaan yang

tahan terhadap pencilan.

Pemilihan metode pendugaan terbaik didasarkan pada nilai Root Mean Square Error (RMSE)

dan Akaike’s Information Criterion Robust (AICR) yang hasilnya disajikan pada Tabel 3 dan Tabel 4:

Tabel 3. Perbandingan Nilai RMSE

Data Pencilan Metode Pendugaan

Penduga-MKT Penduga-M Penduga-GM S1S

1 1.72% 11511 13341.99 14415.21

2 3.33% 0.16832 0.1147 0.1266

3 6.45% 0.00549 0.0033 0.0048

4 8.57% 209322 150253.6 202953.1

191

Tabel 4. Perbandingan Nilai AICR

Data Pencilan

Metode Pendugaan

Penduga-M Penduga-GM S1S

Nilai AICR Nilai AICR

1 1.72% 42.925 37.174

2 3.33% 51.512 44.803

3 6.45% 38.162 22.9

4 8.57% 45.511 29.879

Metode penduga Robust (Penduga-M dan Penduga-GM S1S) menghasilkan nilai RMSE yang

lebih kecil dibanding nilai RMSE dari metode Penduga-MKT, sehingga metode Penduga-MKT tidak

lebih baik dibandingkan metode Penduga Robust (Penduga-M dan Penduga-GM S1S). Oleh karena itu

penggunaan metode Penduga-MKT tidak disarankan pada data yang mengandung pencilan.

Sedangkan untuk memilih metode Penduga Robust terbaik digunakan nilai AICR. Dari Tabel 4

disimpulkan metode Penduga-GM S1S menghasilkan nilai AICR yang lebih kecil dari nilai AICR

metode Penduga-M, sehingga metode Penduga-GM S1S lebih baik untuk menduga parameter regresi

dibanding metode Penduga-M pada data yang mengandung pencilan. Selain itu, metode Penduga-GM

S1S dapat menjadi pilihan untuk menangani data dengan pencilan berpengaruh, baik pada peubah

respon maupun peubah prediktor.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil perbandingan nilai RMSE antara metode Penduga-MKT dengan metode

Penduga Robust (Penduga-M dan Penduga-GM S1S) untuk persentase pencilan sebesar 1.72%, 3.33%,

6.45% dan 8.57%, disimpulkan metode Penduga Robust (Penduga-M dan Penduga-GM S1S)

menghasilkan RMSE yang lebih kecil daripada metode Penduga-MKT. Sedangkan hasil perbandingan

nilai AICR antara metode Penduga-M dengan Penduga-GM S1S, disimpulkan metode Penduga-GM

S1S menghasilkan AICR yang lebih kecil dibanding metode Penduga-M. Semakin besar persentase

pencilan, selisih nilai AICR antara metode Penduga-GM S1S dengan Penduga-M juga semakin besar.

DAFTAR PUSTAKA

Bai, X., (2010), Robust Linear Regression, Kansas State University, Kansas, hal 14.

Cizek, P., and Visek, J.A., (2003), Least Trimmed Square, http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/

xag/html/xaghtmlnode10.pdf, Diakses tanggal 8 Oktober 2012.

Dewi, K.M., (2009), Pengaruh Intensitas Komunikasi, Lama Kerja dan Pelatihan Terhadap

Peningkatan Produktivitas Agen Asuransi (Studi Kasus pada Agen AJB Bumiputera 1912

Kantor Cabang Magetan), Skripsi, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia.

Evelyn, Y.L., (2007), Analisis Pengaruh Kredit Pemodalan dan Faktor-Faktor Internal terhadap

Pendapatan Pengusaha Kecil yang Menjadi Nasabah Penerima Kredit BPR Gunung Ringgit

KKP Ranugati Kecamatan Kedung Kandang Malang, Skripsi, Universitas Brawijaya,

Malang, Indonesia.

Rachmawati, Y., (2006), Analisis Efisiensi Usaha Tani Padi di Desa Tegal Gondo dan Desa Ngenep

Kecamatan Karangploso Kabupaten Malang, Skripsi, Universitas Brawijaya, Malang,

Indonesia.

Windo, T.M., (2007), Variabel-Variabel yang Mempengaruhi Tingkat Produktivitas Tenaga Kerja

Perempuan Pada PR. Delapan Wijaya, Skripsi, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia.

Yafee, R.A., (2002), Robust Regression Analysis: Some Popular Statistical Package Options,

www.nyu.edu/its/sosci/Docs/Robust Regression.pdf, Diakses tanggal 5 Oktober 2012.

192