penalaran statistik 2 - scele.ui.ac.id · menentukan nilai rata-rata dengan menghitung mean...

Penalaran Statistik 2

Penyusun:

MPKT B. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Depok, 2011

Lingkup bahasan

• Ukuran Pusat Kecondongan

• Ukuran Penyebaran Data

• Distribusi dan Ukuran

Naskah ini disusun lebih mirip sebagai suatu ringkasan diktat dengan tujuan

agar mahasiswa dapat menggunakannya untuk belajar mandiri. Isi naskah

berupa kalimat-kalimat pendek sebagai pokok atau kunci materi sehingga

mahasiswa dapat cepat mempelajari dan mudah mengingatnya.

MPKT B. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia 2

Ukuran Pusat Kecondongan


Bagaimana cara menentukan satu nilai yang dapat mewakili suatu data?

• Sebuah perusahaan penyewaan mobil, mencatat jumlah mobil yang disewa dalam satu

pekan sbb:

Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Jumlah mobil yang disewa 10 12 9 17 15 21 22

• Ketika pengusaha tsb ingin menyatakan jumlah mobil yang disewa per hari di pekan ini dalam satu nilai

saja, dia perlu menentukan satu nilai tsb yang mana nilai ini dapat mewakili nilai-nilai jumlah mobil yang

disewa setiap harinya di pekan tsb.

• Nilai ini merupakan nilai “tengah” dari satu set data di tabel di atas. Secara umum nilai ini dikenal

sebagai nilai rata-rata (average). Di ilmu statistik nilai rata-rata disebut sebagai Ukuran Pusat

Kecondongan.

• Di sini kita akan membahas empat nilai ukuran pusat kecondongan, yaitu: mean, median, mode, dan

midrange.

• Setiap nilai ini dihitung dengan cara yang berbeda, sehingga kita tidak menyebutnya sebagai nilai rata-

rata, tetapi langsung menyebutnya dengan nama mean, median, mode, atau midrange.

Tabel 1


Menentukan Nilai Rata-rata dengan Menghitung Mean

• Ketika kita ingin menentukan jumlah mobil yang disewa per hari dari data satu

pekan (Tabel 1), pada umumnya orang berfikir dan menghitung dengan cara

menjumlahkan semua item data sewa mobil dari hari Senin sampai Minggu dan

kemudian membaginya dengan angka 7. Cara penentuan nilai rata-rata seperti

ini dikenal dengan menghitung nilai mean.

• Mean diberi simbul untuk nilai mean dari sampel, dan diberi simbul m untuk

nilai mean dari populasi.

• Contoh 1: menghitung nilai mean dari mobil yang disewa per hari untuk data di

Tabel 1.

• Jadi nilai mean jumlah mobil yang disewa per hari di pekan tsb adalah 15,2.

Kita dapat menyatakannya: rata-rata ada 15 mobil yang disewa per hari.

𝑥 =10 + 12 + 9 + 17 + 15 + 21 + 22

7= 15,2


Bagaimana Menyatakan Mean dalam Bentuk Simbul (Rumus)?

• Mean adalah jumlah dari semua item data ( = 10 + 12 + … + 22 ) dibagi dengan jumlah

itemnya ( = 7 ).

• Jika setiap item data kita beri simbul xi , yangmana i adalah bilangan 1, 2, 3, …, maka

setiap item data dapat diidentiikasi: x1 = 10, x2 = 12, x3 = 9, …, x7 = 22. Jadi huruf i memberi identitas setiap item data dan mempunyai angka terbesar sama dengan total

item data = 7, yang biasanya diberi simbul n (=7).

• Dengan demikian untuk menghitung mean dapat diberi simbul:

𝑥 =10 + 12 + 9 + 17 + 15 + 21 + 22

7= 15,2

𝑥 = 𝑥𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1

𝑛


Contoh 2: Menghitung Mean dengan Rumus

• Pembangkit listrik tenaga uap membuang sisa air turbinnya ke laut. Agar tidak mengganggu

lingkungan, temperatur air tsb selalu dimonitor. Salah satu data hasil monitor temperatur (oC)

bulanannya adalah sebagai berikut:

Data 2: 36,37,37,38,38,38,38,39,39,39,

39,39,40,40,40,40,40,41,41,41,

41,42,42,42,42,43,43,43,44,44.

Hitunglah mean dari temperatur tsb.

• Penyelesaian:

Jumlah item data, n = 30. Rumus mean:

Berdasarkan rumus mean, dapat dihitung:

𝑥 = 𝑥𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1

𝑛

𝑥 = 𝑥𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1

𝑛=

𝑥𝑖𝑖=30𝑖=1

30=

36 + 37 + 37 + 38 + 38 + 38 + 38 + 39 + 39 + 39

30

39 + 39 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 41 + 41 + 41

30

41 + 42 + 42 + 42 + +42 + 43 + 43 + 43 + 44 + 44=

1206

30= 40,2

Jadi mean temperatur di

bulan tsb = 40,2oC.


Cara Menghitung Mean dengan Distribusi Frekuensi

• Di Contoh 2 dijumpai beberapa item data dengan nilai yang sama. Kejadian ini memberika ide

tentang cara menghitung mean yang lebih sederhana yaitu dengan menggunakan distribusi

frekuensi.

• Marilah kita analisis cara menghitung mean di contoh 2:

• Berdasarkan analisis di atas, rumus mean dapat dituliskan:

x : nilai data pengamatan

f : frekuensi data pengamatan

S xf : jumlah semua hasil kali data pengamatan dan frekuensi.

n : frekuensi total.

𝑥 = 𝑥𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1

𝑛=

𝑥𝑖𝑖=30𝑖=1

30=

36 + 37 + 37 + 38 + 38 + 38 + 38 + 39 + 39 + 39

30

39 + 39 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 41 + 41 + 41

30

41 + 42 + 42 + 42 + +42 + 43 + 43 + 43 + 44 + 44=

1206

30= 40,2

= 37 x 2 = 38 x 4

= 40 x 5

dst.

𝑥 = 𝑥𝑓

𝑛


Contoh 3: Menghitung Mean dengan Distribusi Frekuensi

• Hitunglah mean dari data di Contoh 2 dengan menggunakan distribusi frekuensi.

• Penyelesaian:

Setiap item data yang mempunyai nilai sama dihitung frekuensinya, kemudian

digunakan untuk menghitung mean dengan cara distribusi frekuensi:

Kita dapat pula menghitung mean dengan menggunakan bantuan tabel distribusi

frekuensi.

𝑥 = 𝑥𝑓

𝑛

= 36 × 1 + 37 × 2 + 38 × 4 + 39 × 5 + 40 × 5 + 41 × 4 + 42 × 44 + 43 × 3 + (44 × 2)

30

=1206

30= 40,2

Item data Frekuensi

Frekuensi total

Mean temperatur = 40,2oC.


Contoh 3: Menghitung Mean dengan Distribusi Frekuensi (lanjutan)

• Kita dapat membuatkan distribusi frekuensi dari Data 2 di Contoh 2.

• Sehingga mean dapat dihitung:

x f xf

36 1 36 37 2 74 38 4 152 39 5 195 40 5 200 41 4 164 42 4 168 43 3 129 44 2 88

Item data Frekuensi total

Sf = n = 30 Sxf = 1206

𝑥 = 𝑥𝑓

𝑛=

1206

30= 40,2

Tabel 2


Contoh 4: Pengaruh nilai item data yang ekstrem terhadap mean

• Misalnya ada data yang ekstrem di tabel 1. Pada hari Jumat yang tadinya hanya tersewakan 15 mobil, tetapi karena bertepatan dengan hari libur, maka ada 50 mobil yang tersewakan. Maka tabel 1 menjadi.

• Nilai meannya sekarang adalah:

• Sebelumnya kita dapatkan nilai meannya 15,2. Setelah ada perubahan satu item data yang ekstrem yaitu di hari Jumat, ternyata nilai meannya jauh berbeda dari nilai semula.

• Contoh ini menunjukkan bahwa nilai mean sangat sensitif terhadap perubahan ekstrem nilai item data.

• Mungkin kita berfikir, lebih baik nilai ekstrem tersebut dibuang saja atau perlu dicara cara perhitungan nilai rata-rata selain mean.



𝑥 =10 + 12 + 9 + 17 + 50 + 21 + 22

7= 20,1

Tabel 3


Median

• Cara kedua untuk menyatakan nilai rata-rata adalah median.

• Median merupakan nilai tengah dari suatu set data.

• Cara mencari median:

1. Urutkan item data dari nilai terendah sampai nilai tertinggi.

2. Jika jumlah item datanya ganjil, maka nilai mediannya adalah

data yang terletak di tengah set data.

3. Ketika jumlah item datanya genap, nilai mediannya adalah mean

dari dua item data yang ada di tengah set data.


Contoh 5: Menentukan Median

• Kita ambil contoh menghitung median dari data tabel 1.

• Penyelesaian:

– Langkah 1: mengurutkan item data dari nilai terkecil sampai terbesar.

9 , 10 , 12 , 15 , 17 , 21 , 22

– Langkah 2: melihat jumlah item data. Total item data adalah 7, jadi bilangan ganjil. – Langkah 3: Karena total item datanya ganjil maka median adalah item data yang terletak

di tengah, yaitu angka 15. Seandainya hari kerja perusahaan hanya 6 hari per pekan, maka data hari Minggu tidak ada, sehingga jumlah item datanya adalah genap yaitu 6 . Sekarang nilai mediannya dapat dihitung sbb:

– Mengurutkan item data dari nilai terkecil sampai terbesar.

9 , 10 , 12 , 15 , 17 , 21

– Karena total item datanya genap yaitu 6, maka median adalah mean dari dua item data yang terletak di tengah, yaitu median = (12 + 15)/2 = 27/2 = 13,5.



Nilai tengah/

median

Nilai tengah/

median


Contoh 6: Membandingkan Median dan Mean

• Pada contoh 5, kita sudah menghitung median dari data tabel 1. Mediannya adalah 15.

• Pada contoh 1, kita telah menghitung mean. Mean dari data tabel 1 adalah 15,2.

• Dua hasil ini tidak berbeda jauh. Jadi mean dan median tidak berbeda jauh jika tidak

dijumpai item data yang bernilai ekstrem (sangat besar atau sangat kecil).

• Sekarang kita ambil contoh 4, yangmana terdapat data ekstrem (tabel 3). Di data tabel 3,

diperoleh mean = 20,1.

• Jika kita hitung median dari data tabel 3, diperoleh median = 17.

9 , 10 , 12 , 17 , 21 , 22 , 50

• Dari perhitungan median data tabel 3, diperoleh hasil yang tidak berbeda jauh dari median

data tabel 1, walaupun di tabel 3 dijumpai item data yang ekstrem. Hal yang berlawanan

terjadi pada mean data tabel 3, mennya berbeda sangat jauh dengan mean data tabel 1.

• Kesimpulan:

Jika pada data dijumpai nilai ekstrem (sangat besar atau sangat kecil

dibandingkan dengan nilai item data lainnya), maka nilai rata-rata yang

dianggap lebih “mewakili” nilai set data adalah median.

Nilai tengah/

median


Mode

• Cara ketiga untuk menyatakan nilai rata-rata adalah mode.

• Mode adalah suatu nilai yang sering muncul atau terjadi di suatu set data.

• Jika dalam suatu set data, semua item data hanya terjadi atau muncul satu kali saja, maka data tersebut tidak mempunyai mode.

• Di lain pihak, jika ada lebih dari satu item data yang mempunyai frekuensi tertinggi, maka setiap item data tersebut adalah mode.

• Contoh 7:

– Data di Tabel 1: 9 , 10 , 12 , 15 , 17 , 21 , 22. Setiap item data hanya muncul satu kali saja, sehingga data ini tidak punya mode.

– Data di Tabel 2: Temperatur 39 oC dan 40oC, masing-masing mempunyai frekuensi 5 yang merupakan frekuensi tertinggi di data. Jadi mode dari data tabel 2 adalah 39 dan 40. Data seperti ini disebut bimodal (mempunyai dua mode).


Midrange

• Cara keempat untuk menyatakan nilai rata-rata adalah midrange.

• Midrange adalah mean dari nilai terendah dan tertinggi.

• Contoh 8:

– Data di Tabel 1: 9 , 10 , 12 , 15 , 17 , 21 , 22. Nilai terendah dan

tertinggi dari data adalah 9 dan 22. Jadi midrange datanya adalah

(9 + 22)/ 2 = 15,5.

– Data di Tabel 2: Nilai terendah dan tertinggi dari data adalah 36 dan

44. Jadi midrange temperatur air adalah (36 oC + 44oC)/ 2 = 40oC.


Nilai Rata-rata Mana Yang Tepat Untuk Digunakan?

Pertanyaan ini tidak mudah untuk dijawab.

Nilai rata-rata yang sering digunakan adalah mean, median, dan mode. Ketiga nilai ini

mempunyai cara perhitungan yang berbeda, sehingga pemilihan nilai rata-rata sangat

tergantung dari kebutuhan kita untuk menyimpulkan suatu data.

Mean. Nilai rata-rata yang sering digunakan adalah mean. Tetapi perlu diingat bahwa

mean sangat sensitif terhadap item data yang ekstrim. Oleh sebab itu di olimpiade, nilai

tertinggi dan terendah dari lomba luncur es selalu dibuang.

Median. Jika distribusi data tak simetri, maka median lebih tepat untuk digunakan sebagai

nilai rata-rata. Misalnya gaji pegawai, pendapatan keluarga, dan pertumbuhan ekonomi.

Distribusi data ini sangat tidak simetri, sehingga median lebih tepat (lebih mempunyai arti)

jika digunakan untuk menghitung nilai rata-rata dari pada mean.

Mode. Mode adalah satu-satunya ukuran yang selalu menampilkan nilai item data itu

sendiri. Seorang pengusaha atau perancang mode (sepatu, baju, dll.) selalu menggunakan

mode untuk memutuskan barang yang dijualnya. Misalnya, dari survei diperoleh data

bahwa ukuran sepatu yang paling laku (mode) adalah 37 dan 40. Maka perancang sepatu

tidak akan memutuskan untuk membuat sepatu dengan ukuran 38,5 lebih banyak lagi.


Ukuran Penyebaran Data


Lampu LCD Projector Mana yang Kita Pilih?

Dua perusahaan lampu LCD Projector menuliskan spesifikasi lampu sbb:

Perusahaan A: Waktu hidup rata-rata lampu 5000 jam.

Perusahaan B: waktu hidup rata-rata lampu 4000 jam.

Sepintas lalu, kita akan memilih lampu dari perusahaan A, karena mempunyai waktu hidup

yang lebih lama. Akan tetapi, pada waktu uji kualitas diperoleh data, semua lampu B

mempunyai waktu hidup tidak keluar dari angka 500 jam dari nilai rata-ratanya, sedangkan

lampu A waktu hidupnya sangat bervariasi. Beberapa lampu A bahkan mempunyai waktu

hidup 2000 jam di bawah waktu hidup rata-ratanya.

Riwayat informasi data ini menyimpulkan bahwa lampu A dapat mempunyai waktu hidup

sampai serendah 5000 – 2000 = 3000 jam, sedangkan lampu B waktu hidupnya paling

rendah adalah 3500 jam. Dengan demikian kita akan memilih lampu B.

Cerita ini memberikan pengertian, meskipun nilai rata-rata diambil dari distribusi data,

tetapi tidak dapat bercerita tentang riwayat data.

Dengan demikian kita perlu mengembangkan suatu metode untuk mengukur sebaran dari

suatu data.


Bagaimana mengukur sebaran data secara langsung?

Dua orang mahasiswa A dan B disurvei tentang waktu (dalam jam) yang digunakannya

untuk olah raga setiap pekan. Diperoleh data survei sbb:

Jika dilihat mean dan median dari kedua mahasiswa, maka diambil kesimpulan keduanya

menghabiskan waktu rata-rata yang sama untuk olah raga, yaitu 7 jam per pekan . Tetapi

jika dilihat dari sebaran data di tabel, mahasiswa A lebih konsisten dalam berolah raga

mingguan dibandingkan dengan mahasiswa B. Sebaran data menunjukkan jam per pekan

dari mhs. B sangat bervariasi jauh dari nilai rata-ratanya.

Cara termudah untuk mengukur sebaran data adalah dengan menghitung range, yaitu

nilai tertinggi di data dikurangi dengan nilai terendah di data.

Berdasarkan data di atas Range dari mhs A = 9 – 5 = 4, sedangkan mhs B = 13 – 1 = 12.

Nilai range ini menunjukkan dengan jelas mhs B mempunyai sebaran data 3 kali mhs A.

Pekan ke 1 2 3 4 5 Mean Median

Mhs. A 5 6 7 8 9 7 7

Mhs. B 1 2 7 12 13 7 7

Tabel 4


Range adalah ukuran penyebaran data yang kasar

Kita harus berhati-hati dengan nilai range. Range dapat menjerumuskan kita jika tidak

ditafsirkan secara bijak. Marilah kita ambil contoh berikut.

Pada kontes menyelam diperoleh data waktu selam (menit) dari dua peserta (A dan B), sbb:

Jika dilihat nilai rangenya, peserta A (range = 10) lebih konsisten karena rangenya lebih

kecil dibandingkan peserta B (range = 22).

Bagaimanapun kenyataanya peserta B lebih konsisten. Sebaran data menunjukkan waktu

selam B lebih seragam kecuali ada satu item data, yaitu 6 yang ekstrem. Angka 6 ini

mungkin disebabkan ada kesalahan teknis saat menyelam atau ada kesalahan lainnya.

Perhatikan pula: Data B mediannya tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem.

Contoh ini menuntut kita untuk mencari cara yang lebih baik dalam mengukur sebaran data.

Penyelaman ke 1 2 3 4 5 Mean Median Range

Peserta A 28 22 21 26 18 23 22 10

Peserta B 27 27 28 6 27 23 27 22

Tabel 5


Deviasi standar adalah ukuran penyebaran data yang dapat diandalkan

Marilah kita mengamati peyimpangan (deviasi) setiap item data dari nilai mean di tabel 5.

Jika dianalisis total penyimpangan item data dari mean selalu sama dengan nol, karena mean

adalah pusat data. Sebagian data akan menyimpang di sebelah kiri (negatif) dan sebagian

lainnya di sebelah kanan (positif), sehingga saling meniadakan. Dengan kata lain perhitungan

penyimpangan seperti ini tidak bermanfaat.

Agar jumlah semua penyimpangan tidak nol, masing-masing nilai simpangan kita kuadratkan.

Metode perhitungan simpangan seperti ini menghasilkan deviasi standar.

Rumus deviasi standar ( s ) dari suatu sampel dengan jumlah item data n adalah


Peserta A 28 22 21 26 18 23 22 10

Penyimpangan item data (x)

dari mean ( = x – )

28 – 23

= 5 22 – 23

= -1 21 – 23

= - 2 26 – 23

= 3 18 – 23

= - 5 - - -

𝑥

𝑠 = (𝑥 − 𝑥 )2

𝑛 − 1


Contoh 9: Menghitung Deviasi Standar

Marilah kita menghitung deviasi standar data di tabel 5.

Di data ini, mean = 23, n = 5, sehingga nilai deviasi standar dapat dihitung sbb:

Nilai deviasi standar = 4.


Peserta A 28 22 21 26 18 23 22 10

Penyimpangan item data (x)

dari mean ( = x – )

28 – 23

= 5 22 – 23

= -1 21 – 23

= - 2 26 – 23

= 3 18 – 23

= - 5 - - -

𝑥

𝑠 = (𝑥 − 𝑥 )2

𝑛 − 1=

(28 − 23)2 + (22 − 23)2 + (21 − 232 + (26 − 232 + (18 − 23)2

5 − 1

= 25 + 1 + 4 + 9 + 25

4=

64

4= 4


Arti deviasi standar dan mean suatu data

Satu set data dapat diwakili oleh nilai mean dan deviasi standar. Nilai mean menunjukkan akurasi

dari data tersebut, sedangkan deviasi standar (s) menunjukkan sebaran (konsistensi) datanya.

Contoh 10:

Perusahaan cat mengisikan cairan cat sebayak 1 liter ke dalam kaleng dengan keran otomatik.

Perusahaan ini menggunakan dua keran A dan B secara bergantian. Hasil pengukuran

berulang pada volume cat dalam kaleng, untuk keran A dan B adalah

Amean = 1,05 liter, As = 0,20 liter ; Bmean = 1,20 liter, Bs = 0,05 liter

Kesimpulan:

Keran A mempunyai nilai mean (1,05) yang baik/akurat karena dekat dengan nilai 1 liter, tetapi

konsistensinya tidak baik, sebab deviasi standarnya besar (0,20).

Keran B mempunyai masalah dengan akurasi, karena meannya (1,20) jauh dari nilai 1 liter,

walupun begitu konsistensi keran baik, sebab deviasi standarnya kecil (0,05).

Hasil ini dapat digambarkan sbb:

1 1,1 1,2 1,3 1,4 9,6 9,7 9,8 9,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 9,6 9,7 9,8 9,9

Keran A Keran B


Bagaimana cara membandingkan dua distribusi data yang berbeda?

Walaupun satu set data dapat diwakili oleh nilai mean dan deviasi standarnya, tetapi ketika kita ingin

membandingkan dua set (atau lebih) data, nilai deviasi standar tidaklah mencukupi untuk

menentukan kulitas suatu data.

Contoh 11:

Seandainya dua keran A dan B seperti contoh sebelumnya dites berulang pada daerah ukuran

yang berbeda dan diperoleh datanya, keran mana yang mempunyai kualitas lebih baik?

Data: Keran A: 12,13,16,18,18, 20 ml; Keran B: 125, 131, 114, 158, 168, 193 ml.

Penyelesaian:

Setelah dihitung: Amean= 16,167ml, As= 3,125 ml ; Bmean= 153,167ml, Bs= 25,294ml

Berdasarkan hasil hitungan standar deviasi, keran A mempunyai nilai deviasi yang jauh lebih

kecil dibandingkan dengan keran B. Tetapi karena nilai mean kedua keran mempunyai

daerah ukuran yang berbeda, maka kualitas keran tidak dapat ditentukan secara langsung

dengan besar atau kecilnya nilai standar deviasi.

Maka diperlukan cara lain untuk membandingkan dua set data yang mempunyai nilai

mean yang berbeda daerah ukurannya, yaitu koefisien variasi.


Koefisien Variasi

Koefisien variasi menggunakan ukuran pusat kecondongan (mean) dan deviasi standar sekaligus

untuk membandingkan dua set (atau lebih) data.

Koefisien Variasi (V) dihitung dengan:

Di sini terlihat bahwa ukuran kualitas data ditentukan oleh nilai relatif dari standar deviasi terhadap

mean. Jika nilai koefisien variasi data adalah kecil, maka datanya berkualitas (mempunyai

konsistensi yang tinggi pada daerah ukuran tertentu).

Contoh 12: Berdasarkan contoh 11, hitunglah nilai koefisien variasi dari keran A dan B, jika:

Amean= 16,167ml, As= 3,125 ml ; Bmean= 153,167ml, Bs= 25,294ml

Penyelesaian:

Berdasarkan hasil perhitungan koefisien variasi, terlihat bahwa nilai VB lebih kecil

dibandingkan dengan nilai VA, dengan demikian kualitas keran B lebih baik dari pada keran A.

𝑉 =𝜎

𝜇. 100 𝑉 =

𝑠

𝑥 .100

untuk data sampel untuk data populasi

𝑉𝐴 =3,125

16,167 .100 = 19,3 𝑉𝐵 =

25,294

153,167. 100 = 16,5


Distribusi dan Ukuran


Distribusi Frekuensi dan Distribusi Induk

Kita telah belajar mengorganisir data hasil sampling menjadi distribusi frekuensi.

Distribusi frekuensi yang diperoleh dari data sampel disebut sebagai distribusi sampel.

Jika distribusi tersebut diperoleh dari data populasi , disebut distribusi induk.

Nilai yang diamati Frekuensi

Distribusi sampel Distribusi induk Grafik distribusi

yang dihaluskan


Bagaimana hubungan Distribusi dan Ukuran?

Distribusi data dapat diwakili oleh dua parameter (nilai) yaitu ukuran pusat kecondongan

dan ukuran penyebaran data.

Dimana letak nilai-nilai ukuran pusat kecondongan di suatu distribusi data?

Nilai mode mudah ditentukan yaitu nilai yang mempunyai frekuensi paling tinggi.

Pada distribusi tak sismetri, nilai mean akan berada lebih dekat di daerah sisi miring

dan nilai median terletak di antara nilai mode dan mean.

Mean Mean

Median Median

Median Mode


Distribusi Normal

Distribusi normal adalah simetri dan sering digunakan di kehidupan sehari-hari.

Rkarena simetri, letak mode, median, dan mean (m) berimpit di pusat distribusi.

Bentuk distribusi normal bisa ramping atau melebar tergantung dari ukuran penyebaran

datanya atau deviasi standarnya (s ) .

Mean

Median

Mode Deviasi standar

besar

s

m

Deviasi standar kecil

s

m


Sifat-sifat Distribusi Normal

Distribusi normal adalah simetri, berbentuk lonceng,

dan sering digunakan di kehidupan sehari-hari.

Karena simetri, letak mode, median, dan mean (m)

berimpit di pusat distribusi dan mempunyai nilai yang

sama.

Kaidah empiris yang berlaku pada setiap distribusi

normal:

Kira-kira 68% dari seluruh data berada dalam

satu deviasi standar dari mean (antara m – 1s

dan m +1s ).

Kira-kira 95% dari seluruh data berada dalam

dua deviasi standar dari mean (antara m – 2s

dan m +2s ).

Kira-kira 99,7% dari seluruh data berada dalam

tiga deviasi standar dari mean (antara m – 3s

dan m +3s ).

m-1s m m-2s m-3s

68%

95% 99,7%

m+3s m+2s m+1s


Penggunaan Distribusi Normal

Distribusi normal dapat digunakan untuk memprediksi sifat-sifat populasi.

Contoh 13: Suatu Rumah Sakit Umum Daerah mencatat, pada tahun 2010 telah

menangani 2000 persalinan. Analisis data menunjukkan mean berat badan

bayi sama dengan 3700 g dan deviasi standarnya 50 g.

A.Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan antara 3650 – 3750 g?

B.Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan antara 3700 – 3800 g?

C.Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan lebih dari 3850 g?

Penyelesaian:

Data berat badan bayi mengikuti distribusi normal, sehingga kita harus meninjau

permasalahan ini dengan sifat-sifat distribusi normal. Berdasarkan data, jumlah

populasi (N) = 2000 bayi, mean (m) = 3700 g, dan deviasi standar (s) = 50 g.

Jika informasi ini digambarkan pada grafik normal, akan didapatkan penyelesaian

jawaban A, B, dan C lebih sederhana.


Contoh 13 (lanjutan)

A. Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan antara 3650 – 3750 g?

Jumlah bayi dengan berat badan antara 3650 – 3750g berdasarkan distribusi normal (kedua grafik di

atas) = antara m – 1s dan m +1s = 68% populasi = 0,68 x 2000 = 1360 bayi.

B. Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan antara 3700 – 3800 g?

Daerah 3700 – 3800 = daerah antara m dan m+2s = 0,5 x 95% populasi = 0,5 x 0,95 x 2000 = 950. Jadi

jumlah bayi dengan berat badan antara 3700 – 3800g adalah 950 bayi.

C. Berapa jumlah bayi yang mempunyai berat badan lebih dari 3850 g?

Angka 3850 = m+3s . Daerah antara m –3s dan m+3s = 99,7% populasi. Jadi jumlah di luar daerah m –3s

sampai m+3s = 0,3% populasi, sehingga jumlah bayi dengan berat di atas 3850g = 0,5 x 0,3% x 2000 =

3 bayi.

m-1s m m-2s m-3s

68%

95% 99,7%

m+3s m+2s m+1s 3650 3700 3600 3550

68%

95% 99,7%

3850 3800 3750

N = 2000, m= 3700, s= 50


Kesimpulan • Suatu distribusi data dapat diwakili dengan dua parameter yaitu ukuran

pusat kecondongan dan deviasi standar.

• Ukuran pusat kecondongan merupakan nilai rata-rata dari suatu set data.

Nilai ini dapat dinyatakan dalam mean, median, mode, dan midrange.

• Kita harus memilih nilai rata-rata yang tepat untuk mewakili suatu set data.

• Ukuran penyebaran data dinyatakan dalam deviasi standar.

• Koefisien variasi digunakan untuk membandingkan kualitas dua set (atau

lebih) data.

• Pada distribusi normal (simetri) nilai mean, median, dan modus adalah

sama dan terletak di tengan distribusi data, sedangkan untuk distribusi tak

simetri, ketiga nilai tersebut berbeda.

• Kita dapat memprediksi sifat-sifat suatu populasi dengan menggunakan

distribusi normal. MPKT B. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

34

Daftar Pustaka

• Angel, R.A, Abbott, D.C, Runde, C.D. 2009, A Survey of Mathematics with Application, Ed. Ke-8, Boston, Pearson Addison Wesley.

• Blitzer, R. 2008, Thinking mathematically, Ed. Ke-4, New Jersey, Pearson Addison Wesley.

• Miller, D.C, Heeren, E.V, Hornsby, J, Morrow, L.M, Newenhizen, V.J, 2008, Mathematical Ideas, Ed. Ke-11, Boston, Pearson Addison Wesley.

• Pirnot, L.T, 2007, Mathematics All Around, Ed.Ke-3, Boston, Pearson Addison Wesley.


MPKT B. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

penalaran statistik 2 - scele.ui.ac.id · menentukan nilai rata-rata dengan menghitung mean...

Documents