paket latihan 1 luas segitiga sama sisi dan luas juring, dan luas tembereng 1. luas segitiga sama...

1 |Jejak Seribu Pena, Strategi Cerdik Menghadapi Olimpiade Matematika SMP/MTs

SOAL-SOAL 1

1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga 2

111

ba.

2. Gantilah huruf-huruf yang berbeda pada lingkaran

berikut ini dengan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7,

sehingga jumlah angka-angka pada baris dari tiga

lingkaran adalah sama.

3. Diberikan dua buah bilangan: 0620062006200620052005200520 x dan

0520052005200520062006200620 y .

Hitunglah nilai dari 2006yx .

4. Carilah angka satuan dari hasil perjumlahan bilangan-bilangan berikut ini.

1 2 + 1 2 3 + 1 2 3 4 + + 1 2 3 4 5 + … + 1 2 3 … 2006

5. Diketahui a, b, dan c bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa

3

1 acbcab .

6. Carilah nilai a dan b dari sistem persamaan

2492627373

3508373627

ba

ba

7. Jika xy 0 dan xyyx 1022 , hitunglah yx

yx

.

8. Fauzan dibayar $18 untuk satu hari kerja dan dikenakan denda $3 per hari apabila

tidak bekerja. Apabila pada akhir ke 40 Fauzan menerima bersih $531, berapa

harikah Fauzan tidak bekerja?

9. Dalam ABC siku-siku di C, panjang hipotenusa = 8 dan 72 ba . Carilah luas

ABC.

g

a

c f

e d

b


10. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini.

11. Sebuah kotak panjangnya 2

11 kali lebarnya dan

2

14 kali tingginya. Jumlah semua

rusuknya 40 dm dan 8 cm. Hitunglah volume dan luas permukaannya.

12. Dalam ABC besar sudut A dua kali besar sudut B. Buktikan bahwa )(2 cbba .

13. Diberikan tiga buah lingkaran K, L, dan M yang saling berpotongan dan melalui

titik pusat, dengan jari-jari KL = LM = KM = 6 cm. Hitunglah luas daerah yang

diarsir.

18

16

8

6

O X

Y

g

h

K

L

M


SOLUSI SOAL-SOAL 1

1. 2

111

ba

abab 22

)2(2 bab

2

2

b

ba

2

4)2(2

b

ba

2

42

ba .

Jika a bilangan bulat, maka 2b harus merupakan faktor dari 4, yaitu

2b 4,2,1 , maka 2,6,4,1,3 b , sehingga 1,3,4,2,6 a .

Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).

2. Angka yang di tengah adalah 4.

Jumlah tiga angka 123

7654321

Dengan mudah kita dapat melengkapi diagram itu.

3. 0620062006200620052005200520 x

= )0011000100010(2006)100010001(2005

0520052005200520062006200620 y

= )0011000100010(2005)100010001(2006

Ternyata yx , sehingga nilaidari 0020062006 yx .

4. 1 2 = 2

1 2 3 = 6

1 2 3 4 = 24

4

1

3 5

6 7

2


1 2 3 4 5 = 120

1 2 3 4 5 6 = 720

1 2 3 … 2006 = …0

Perhatikan hasil perkalian bilangan mulai dari baris ke-4 dan seterusnya memiliki

angka satuan nol. Sedangkan jumlah bilangan pada baris ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah

2 + 6 + 24 = 32 yang memiliki angka satuan 2. Jadi, angka satuan dari hasil

perjumlahan bilangan-bilangan itu adalah 2.

5. 0)( 2 ba abba 222 ………. (1)

0)( 2 ca acca 222 ………. (2)

0)( 2 cb bccb 222 ………. (3)

Jumlahkan ketiga persamaan itu, maka kita memperoleh:

)(22 222 bcacabcba

bcacabbcacabcba 2222

)(312

bcacab

3

1 acbcab (qed)

6.

2492627373

3508373627

ba

ba

Jumlahkan kedua persamaan itu, maka kita memperoleh:

600010001000 ba

ab 6

ab 6 3508373627 ba

3508)6(373627 aa

35083732238627 aa

1270254 a

5254:1270 a

5a ab 6 = 6 – 5 = 1


Jadi, nilai a dan b masing-masing adalah 5 dan 1.

7. xyyx 1022

xyxyyx 102)( 2

xyyx 12)( 2 …………….(1)

xyxyyx 102)( 2

xyyx 8)( 2 ……………(2)

2

3

8

12

)(

)(2

2

xy

xy

yx

yx

2

3

yx

yx6

2

1

Jadi, nilai dari yx

yx

adalah 6

2

1.

8. Misalnya jumlah hari tidak bekerja adalah x hari, maka jumlah hari kerja adalah

)40( x hari.

Jumlah pendapatan – jumlah denda = 531

5313)40(18 xx

531318720 xx

18921 x

921:189 x

Jadi, Fauzan tidak bekerja selama 9 hari.

9. Menurut Dalil Pythagoras:

6422 ba

72 ba

72)( 2 ba

72222 abba

72264 ab

4ab

Luas ABC 22

1 ab b

a

A C

B

8 cm


10. Persamaan garis h yang melalui titik )0,18( dan )6,0( adalah

618186 yx

183 yx ……………….. (1)

Persamaan garis g yang melalui titik )0,8( dan )16,0( adalah

816816 yx

162 yx

xy 216 ……………….(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

18)216(3 xx

18648 xx

305 x

6)5(:30 x

6x xy 216 41216)6(216

Koordinat titik potong garis g dan h adalah (6, 4).

Luas daerah yang diarsir 6)46(2

14)68(

2

146 6424 = 34

11. Misalanya ukuran kotak itu adalah panjang p, lebar l dan tinggi t, maka

lp2

11 pl

3

2

tp2

14 pt

9

2

Panjang seluruh rusuknya = 40 dm + 8 cm = 408 cm.

Panjang rusuk = )(4 tlp

ppp

9

2

3

24408

p9

17102

18

16

8

6

O X

Y

g

h (6, 4)

Rumus:

Persamaan garis yang melalui titik )0,(a dan ),0( b adalah abaybx .


10217

9p 54 cm

54p pl3

2 3654

3

2 cm

54p pl9

2 1254

9

2 cm

pltV 328.23123654 cm3

)(2 ltptplL )123612543654(2 048.6)4326481944(2 cm2.

Jadi, volume kotak itu adalah 23.328 cm3 dan luas permukaannya adalah 6.048 cm

2.

12. Perpanjang sisi CA sepanjang AD = AB, sehingga

ABD sama kaki, maka ADB = ABD = .

Akibatnya CBD = 90o.

Perhatikan bahwa ABC sebangun dengan BDC,

Sehingga berlaku hubungan:

BC

AC

DC

BC

a

b

ba

a

)(2 cbba (qed)

13. Segitiga-segitiga itu masing-masing adalah

Segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm.

Jumlah luas segitiga = 364

13 2

= 327 cm2

Jumlah luas tembereng

= 5(luas juring KLM – luas KLM)

36

4

16

360

605 22

o

o

345π30 cm2.

A B

C

D

2

b

c

c

a

K

L

M


Luas lingkaran = r2 = (6

2) = 36 cm

2.

Jadi, luas daerah yang diarsir = Luas lingkaran – jumlah luas segitiga – jumlah luas

tembereng

= 36 327 345π30

= 318π6 cm2

Rumus: Luas Segitiga Sama Sisi dan Luas Juring, dan Luas Tembereng

1. Luas segitiga sama sisi (L) yang mempunyai panjang sisi a ditentukan oleh

rumus: 34

1 2aL

2. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah o dan jari-jarinya r, maka:

a. Luas juring AOB 2

o

o

π360

r

b. Luas tembereng ASB = luas juring AOB – luas AOB

2

o

o

π360

r

– luas AOB

O

A

B

tembereng

o

S


SOAL-SOAL 2

1. Jika diketahui 3 nm dan 522 nm , berapakah 44 nm ?

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

9

4

1

zx

yz

xy

3. Hitunglah: 710323521251454 .

4. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah

n

nun

1log . Tentukan

jumlah 999 suku pertama.

5. Diberikan a + b + c = 0. Hitunglah nilai dari

222222222

111

cbabacacb

.

6. Hitunglah 20072006

1

20062005

1....

54

1

43

1

32

1

7. Tentukan nilai a dan b dari persamaan ababa 321832 586

8. Umur seorang pria sama dengan usia istrinya bila angka-angkanya dibalik. Jumlah

umur mereka adalah 99 tahun dan umur pria tersebut 9 tahun lebih tua daripada

istrinya. Berapakah umur pria itu?

9. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran

pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Temukan rasio dari luas daerah yang diarsir

dengan segitiga ABC.

B

C

A


10. Panah yang diperlihatkan pada diagram terbuat dari dua segitiga yang tumpang

tindih. Luas daerah terbesar yang diarsir berisi 15

13 dari luas segitiga terbesar dan

luas daerah yang gelap 5

4luas segitiga yang kecil. Temukan rasio luas yang diarsir

dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang besar.

11. Semut Fauzan berada di A dari sebuah kubus pejal dan ingin mencapai B dengan

jalur terpendek. Tunjukkan untuk memperoleh jalur terpendek itu. Jika panjang

rusuk kubus adalah 20 cm, hitunglah panjang jalur terpendek itu.

12. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF, dengan luas bidang alas = 84 cm2, luas

sisi-sisi tegaknya adalah 52 cm2 , 56 cm

2 , 60 cm

2 . Carilah volume prisma itu.

a. Berapakah panjang seluruh rusuk prisma itu?

b. Hitunglah luas volume prisma itu.

A

B


13. Gambar di samping adalah dua buah bujur sangkar (persegi) dengan ukuran sisi 4

cm dan 6 cm. Titik P berjarak 2 cmdari titik A. Hitunglah luas bagian daerah

yang diarsir.

A P

4 cm

6 cm


SOLUSI SOAL-SOAL 2

1. 522 nm

52)( 2 mnnm

52)3( 2 mn

2mn

44 nm 22222 2 nmnm 2222 )(2 mnnm 22225 825 17

2. 941 zxyzxy

36)( 2 xyz

6xyz

1xy 6xyz

61 z

6z

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

6,3

2,

2

3.

3. 710323521251454

17523235212245254

72557549

755757

12

4.

n

nun

1log

4yz 6xyz

64 x

2

3x

9zx 6xyz

69 y

3

2y


nnun log)1log(

999998321999 ... uuuuuS

= (log 2 – log 1) + (log3 – log2) + ... + (log 999 – log 998) +

(log 1000 – log 999)

= log 1000 – log 1

= 3 – 0

= 3

5. 0 cba )( bac

222222222

111

cbabacacb

222222222 )(

1

)(

1

)(

1

babababaabab

222222222222 2

1

2

1

2

1

babababababaababab

ababaabb 2

1

22

1

22

122

abbaabab 2

1

)(2

1

)(2

1

ababba 2

111

)(2

1

abab

ba

ba 2

1

)(2

1

abab 2

1

2

1

= 0

Rumus: Sifat Logaritma

bab

a ggg logloglog


6. 20072006

1

20062005

1....

54

1

43

1

32

1

2007

1

2006

1

2006

1

2005

1...

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2007

1

2

1

4014

2005

7. ababa 321832 586

ababa 323232 5286

21586 3232 ababa

156 aa

151060 aa

549 a

6a

28 abb

210810 bab

6)6(109 b

549 b

6b

Jadi, nilai a = 6 dan b = 6.

8. Misalnya Umur pria itu adalah )10( ut tahun dan umur istrinya adalah

)10( tu tahun.

)10( ut + )10( tu = 99

991111 tu

9 tu ………………………….(1)

)10( ut 9)10( tu

999 ut

1ut


1 ut …………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

1 ut 9 tu

91uu

82 u

4u

4u 1 ut 514 .

Jadi, umur pria itu adalah 54 tahun.

9. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya – 2

1 luas lingkaran besar

222

2

1π

2

1

2

1π

2

1

2

1π

2

1

2

1

ABBCACBCAC

)π(8

1

2

1 222 ABBCACBCAC

)0π(8

1

2

1 BCAC

BCAC 2

1

Luas segitiga ABC BCAC 2

1

Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = BCAC 2

1: BCAC

2

1= 1 : 1.

10. Misalnya luas segitiga terkecil adalah a satuan luas dan luas segitiga terbesar adalah

b satuan luas, maka

Luas daerah yang diarsir dari segitiga kecil a5

4 satuan luas

Luas daerah yang diarsir dari segitiga besar b15

13

Luas daerah yang tumpang tindih aa5

1

5

41

satuan luas yang sama dengan

bb15

2

15

131

, maka kita memperoleh ab

2

3


Jadi, rasio luas yang diarsir dari segitiga terkecil dengan luas yang diarsir dari yang

besar

ba15

13:

5

4

aa2

3

15

13:

5

4

3

2

13

15

5

4

13

8 atau 8 : 13

11. Titik Q adalah titik tengah rusuk PR. Hubungkan garis AQ dan QB.

Jalur terpendek yang ditempuh semut itu AB yang melalui pertengahan rusuk PR.

5202040 22 AB cm

Jadi, panjang jalur terpendek itu adalah 520 cm.

12. a. Perhatikan gambar berikut ini.

Luas ABCD = c t = 56 t

c56

Luas ACFD = b t = 52 t

b52

Luas BCFE = a t = 60 t

a60

)(2

1cbas

A

B

Q

R

P

A

B

Q

P

R

20 cm

20 cm 20 cm

A B

C

D

E

F

84

52

56

60

a

b c

t


tttt

s84565260

2

1

Luas ABC = ))()(( csbsass

84 =

ttttttt

56845284608484

84 =

tttt

28322484

84 = 2

1344

t

1684:13442 t

416 t cm

t = 4 t

c56

= 144

56 cm

t = 4 t

b52

134

52 cm

t = 4 t

a60

154

60 cm

Jadi, panjang seluruh rusuk prisma itu = 2 keliling alas + 3 tinggi prisma itu

= 2(15 + 13 + 14) + 3 4

= 96 cm

b. Volume prisma itu = luas alas tinggi = 84 4 = 336 cm3

13. Luas PQT = luas PUS

2444 22 AR cm.

23224 PR cm.

2PQPR

223 PQ

PQ = 3 cm

PQRS adalah persegi dengan panjang sisinya 3 cm.

Luas PQRS = PQ2 = 3

2 = 9 cm

2

Jadi, luas daerah yang diarsir itu adalah 9 cm2.

A P

4 cm

6 cm Q

R S

T

U


SOAL-SOAL 3

1. Sederhanakanlah yx

yx

y

x

y

x

y

x

x

y

11

11

2. Diberikan 31

ww . Buktikan bahwa 0

13

3 w

w .

3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 15037a dan

100215b ?

4. Jika 2

2

22

22

b

a

cb

ba

, tentukan

b

a.

5. Buktikan bahwa jika 1

ba

c

ac

b

cb

amaka 0

222

ba

c

ac

b

cb

a.

6. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian pertama ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 =

bagian ke-3 dikalikan dengan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Cari ke empat bilangan itu.

7. Pecahan 7000

1997ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-1997 dari

tempat desimal itu?

8. Ayah mempunyai selembar uang Rp 10.000,00. Uang ini akan ditukarkan dengan

koin Rp 1.000,00 dan Rp 500,00 (tidak boleh Rp 1.000,00 semua atau Rp 500,00

semua). Ada berapa banyak cara memperoleh penukaran?

9. Di dalam kubus dibuat bola dalam dan bola luarnya. Tentukan rasio volume bola

dalam dengan bola luarnya.


10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13 , 74 , dan 85 satuan. Berapakah

luas segitiga itu?

11. Dalam ABC, AC = 6, BC = 2, dan ACB = 120o. Garis bagi sudut C memotong

AB di D. Tentukan panjang CD.

12. Diberikan ABC. Jika transversal sisi k berturut-turut memotong perpanjangan BA

di P, AC di Q, dan BC di R, buktikan bahwa 1QA

QC

RC

RB

PB

PA.

13. Rasio rusuk dua buah kubus tanpa tutup adalah 3 : 5. Selisih volumenya adalah 784

liter. Hitunglah luas permukaan kubus terkecil.


SOLUSI SOAL-SOAL 3

1. yx

yx

y

x

y

x

y

x

x

y

11

11

yx

yx

y

yx

y

yx

y

xy

x

yx

y

x

x

y

x

x

y

y

yx

y

yx

y

yx

x

yx

)(

)(

)1(

x

xy

x

y)1(

x

y

y

x

)1(

2. Rumus: 1. 3223333 babbaaba

2. 22333 33 abbababa )(33

baabba

ww

ww

ww

ww

113

113

3

3

3333

3333

= 0 (qed)

3. e 15037a 503375050653

100215b 502215 5046225

Jadi, bilangan yang terbesar adalah a.


4. 2

2

22

22

b

a

cb

ba

2222422 cababba

224 cab

acb 2

c

b

b

a

5. cbaba

c

ac

b

cb

acba

)(

cbaba

cbac

ac

cbab

cb

cbaa

)()()(

cbacba

cb

ac

ba

cb

a

222

cbacbaba

c

ac

b

cb

a

222

0222

ba

c

ac

b

cb

a(qed)

6. Misalnya keempat bilangan itu a, b, c, dan d, maka

7777

dcba

Misalnya kd

cba 7

777 , maka

Bilangan pertama: 7 ka

Bilangan ke-2: 7 kb

Bilangan ke-3: kd 7

Bilangan ke-4: 7

kd

192 dcba

1927

777 k

kkk


1927

64

k

64

7192k

21k

21k 7 ka 14721

21k 7 kb 28721

21k kd 7 147217

21k 7

kd 3

7

21

Jadi, keempat bilangan itu adalah 14, 28, 147, dan 3.

7. ...485714285712852857142,07000

1997 dengan enam angka 285714 terdapat dalam

satu blok yang terulang setelah tiga angka pertama.

Jadi, 1997 = 3 + 6 332 + 2, angka ke-1997 adalah angka kedua yang terulang yang

terdapat dalam satu blok angka, yaitu 8.

8. 1 lembar Rp 1.000,00 + 18 lembar Rp 500,00

2 lembar Rp 1.000,00 + 16 lembar Rp 500,00








Dengan demikian, banyak cara memperoleh penukaran ada 9 cara.


9. Misalnya jari-jari bola dalam adalah R, maka panjang rusuk kubus adalah 2R,

sehingga panjang jari-jari bola luar adalah setengah panjang diagonal ruang kubus

3R .

Volume bola dalam : Volume bola luar 33 3π3

4:π

3

4RR 33:1

10. Kita mengetahui bahwa 22 9285 , 22 5774 , dan 22 3213 , sehingga

persegi panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.

Luas ABC 752

132

2

192

2

159

2

353945

2

31 satuan

Jadi, luas segitiga itu adalah 2

31satuan.

11. Perpanjang AC sampai ke E, sehingga CBCE .

Perhatikan bahwa ECB adalah segitiga sama sisi dan DCBE // .

ACD dan AEB adalah sebangun, sehingga:AE

EB

AC

CD

ACAE

EBCD

2

3

8

126

)26(

2

Jadi, panjang CD adalah 2

3.

A C

D

B

E

R

t

Q

P

T

C

B

A

R

t

85

74

13

A

B

C

3

2

2

9

7

5


12. Perhatikan gambar berikut.

Tarik garis tegak lurus pada garis k, berturut-turut dari A dinamakan a, dari B

dinamakan b, dan dari C dinamakan c, sehingga diperoleh segitiga-segitiga yang

sebangun, akibatnya:

b

a

PB

PA ,

c

b

RC

RB , dan

a

c

QA

QC .

Jadi, QA

QC

RC

RB

PB

PA1

a

c

c

b

b

a (qed)

Teorema ini dikenal dengan nama teorema Menelaos.

Catatan:

a. Transversal sisi adalah sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau

perpanjangan sisi sebuah segitiga. Teorema penting mengenai transversal sisi

adalah Teorema Menelaos.

b. Perhatikan urutan pengambilan titik-titik sudutnya.

13. Misalnya panjang rusuk kubus besar a dm maka panjang kubus kecil b dm.

Rasio rusuk dua buah kubus tanpa tutup adalah 3 : 5, maka

a : b = 5 : 3

ba3

5

Selisih volumenya adalah 784 liter, maka

78433 ba

A B

C

P

Q

R

a

b

c

k


7843

5 3

3

bb

78427

125 33 bb

2778427125 33 bb

2778498 3 b

21698

277843

b

62163 b dm

Jadi, luas permukaan kubus kecil tanpa tutup = 5 62 = 180 cm

2.


SOAL-SOAL 4

1. Carilah angka-angka A, B, C, dan D dari perkalian berikut ini.

2. a, b, dan c masing-masing adalah bilangan positif yang semuanya berbeda. Jika

ca

b

b

a

c

ba

, carilah rasio dari a dan b.

3. Dua kali banyak bola dalam kantong A kurang sedikit dari banyak bola dalam

kantong B. Jumlah banyak bola dalam kantong A dan C adalah kurang sedikit dari

banyak bola dalam kantong B. Ada lebih banyak bola dalam kantong D dari pada

dalam kantong B. Ada 6 bola dalam kantong C dan 9 bola dalam kantong D. Berapa

isi bola di kantong B?

4. Dua orang ingin bermain dengan beberapa bola di dalam sebuah kotak. Peraturan

bermainnya adalah masing-masing orang dapat mengambil satu atau dua bola

sebanyak satu kali. Setelah orang pertama mengambil bola, orang lain juga akan

memiliki kesempatan yang sama. Orang yang kalah adalah orang yang mengambil

bola paling teakhir.

a. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 6 bola yang tertinggal di dalam

kotak, berapa banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan

menang?

b. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 8 bola yang tertinggal di dalam


menang?

A B C D

9

D C B A


c. Jika giliran mu mengambil bola dan hanya ada 20 bola yang tertinggal di dalam


menang?

d. Sekarang kita ubah peraturannya. Ada 100 bola dan masing-masing pemain

mengambil 1, 2, 3, atau 4 bola. Jika kamu mendapat giliran pertama untuk main,

berapakah banyak bola yang harus kamu ambil dengan ketentuan kamu akan

menang?

5. Mathman menjual jeruk dan menerima sejumlah uang. Jika Mathman menjual 10

buah lebih banyak jeruk menerima jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk

adalah 2 satuan lebih murah dari harga aslinya. Jika Mathman menjual 10 buah

lebih sedikit jeruk untuk jumlah uang yang sama, harga setiap jeruk 4 satuan lebih

mahal dari pada harga asli. Berapa banyak jeruk dan harga sebenarnya yang dijual

Mathman?

6. Jarak kota A dan B adalah 625 km. Pada pukul 07.30 pagi, Fauzan berangkat dari A

menuju B dengan kecepatan 100 km/jam. Lima belas menit kemudian, Afifah

berangkat dari B menuju A dengan kecepatan 80 km/jam. Pada pukul berapa Fauzan

dan Afifah ketemu?

7. Sebuah perahu berada di 60 km dari pelabuhan. Perahu itu bocor sehingga air

masuk ke dalam perahu sebanyak 2 ton per 5 menit. Jika dalam perahu itu

kemasukan 90 ton air, maka perahu akan tenggelam. Jika sebuah pompa air

memompa keluar 12 ton air per jam, berapa km/jam kecepatan minimum perahu itu

untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam?

8. Berapa banyak segitiga yang terdapat pada gambar di bawah ini.


9. Luas sebuah persegi panjang tidaklah berubah, kalau lebarnya diperpendek 5 cm

dan panjangnya diperpanjang 10 cm. Luasnya menjadi 350 cm2 lebih besar, kalau

kedua ukurannnya ditambah 5 cm. Hitunglah keliling persegi panjang itu.

10. Sebuah bak air berbentuk silinder terbuka berkapasitas 30772 liter air. Diameter

silinder bagian dalam adalah 28 dm. Dinding dan dasar bak memiliki ketebalan

yang sama yaitu 1 dm. Jika setiap dm2 memerlukan biaya Rp 500,00 untuk

pengecatan, berapa biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu.

(Perhatikan seluruh permukaan bak yang harus dicat termasuk bagian dalam bak).

11. Perhatikan gambar berikut. Panjang CP adalah….

12. Jika tiga buah transversal sudut-sudut ABC melalui satu titik O, dan transversal

sudut C memotong AB di P, transversal sudut A memotong BC di Q, dan transversal

sudut B memotong CA di R, maka berlakulah hubungan 1RA

RC

QC

QB

PB

PA.

13. Sebuah persegi panjang dipotong ke dalam 4 bagian, seperti diperlihatkan pada

gambar.

a. Hitunglah panjang DG dan AE.

b. Hitunglah luas persegi panjang itu.

c. Jika mungkin potongan itu

disusun menjadi persegi, carilah

keliling persegi itu?

3

5

P

160

A B

C D

A B

C D

E

F

G

H

20

10

18

6

24


SOLUSI SOAL-SOAL 4

1. Jika 0A , maka 0D .

Jika 2A atau lebih, maka 9ABCD akan menjadi lima angka. Dengan demikian,

Jika 1A dan 9D .

Jika B (dengan 1B ) adalah 2 atau lebih, maka ABCD akan lebih besar dari 1200

dan perkaliannya dengan 9 akan memberikan hasil lima angka. Dengan denikian,

0B . Kita memperoleh 0199910 CC , sehingga haruslah .8C

Jadi, perkalian itu adalah 980191089 , sehingga A = 1, B = 0, C = 8, dan D = 9.

2. ca

b

b

a

c

ba

b

a

c

ba

acbab 2 ……………………(1)

b

a

ca

b

acab 22 ……………………(2)


222 babab

02 22 baba

0))(2( baba

ba 2 (diterima) atau ba (ditolak, karena a, b, dan c adalah bilangan positif)

22

b

b

b

a atau 1:2: ba

Jadi, rasio dari a dan b adalah 2 : 1.

3. Dari keterangan yang diberikan pada soal, kita memperoleh

2A < B ……………….(1)


A + C < B ……………..(2)

D > B .............................(3)

C = 6 ……………….…(4)

D = 9…………….…….(5)

Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh B A > 6 ……(6)

Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh B < 9 …………(7)

Dari persamaan (6) dan (7) diperoleh A + 6 < 9 atau A < 3

Jika A = 2, maka 8 < B < 9 tidak mungkin.

Jadi, A = 1, maka 7 < B < 9, sehingga B = 8.

4. a. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 2.

b. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1.

c. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 1.

d. Banyak bola yang harus diambil dengan ketentuan akan menang adalah 4.

5. Misalnya banyak jeruk a buah dan harganya b satuan, maka

abba )2)(10(

abbaab 20102

20102 ba

105 ba …………………(1)

abba )4)(10(

abbaab 40104

40104 ba

2052 ba ………………….(2)


105 ba

2052 ba

30 a

30a

10530 baa

10530 b


30105 b

5

40

b

8b

Jadi, banyak jeruk yang dijual Mathman adalah 30 buah dan harga sebenarnya setiap

jeruk adalah 8 satuan.

6. 100Mv km/jam

4

1

60

15tttM jam

80Nv km/jam

ttM jam

625 NNMM tvtv

625804

1100

tt

6258025100 tt

25625180 t

180

600t jam

3

13t jam = 3 jam 20 menit

Jadi, Fauzan dan Afifah bertemu pada pukul adalah 07.30 + 3 jam + 20 menit + 15

menit = 11.05.

7. 60S km

2airv ton/5menit =

60

5

12 ton/jam = 24 ton/jam

12pompav ton/jam.

Masuk air ke perahu = 24 – 12 = 12 ton/jam.


Air akan memenuhi perahu selama 5,712

90 jam.

Jadi, kecepatan minimum perahu itu untuk mencapai pelabuhan agar tidak tenggelam

= 85,7

60 km/jam.

8. Banyak segitiga yang terdapat pada gambar itu adalah 47 buah.

9. Perhatikan gambar berikut ini.

xyyx )5)(10(

xyyxxy 50105

102 yx ………………(1)

350)5)(5( xyyx

3502555 xyyxxy

65 yx ……….……….(2)


102 yx

65 yx

3y = 75

y = 25

y = 25 65 yx

6525 x

x = 40

130)2540(2)(2 yxK cm

Jadi, keliling persegi panjang itu adalah 130 cm.

x + 10

y 5

y + 5

x + 5

x

y


10. hdV 2

4

π

2

2284

14,330772 h

22

2814,3

430772

h 50 dm

121 hh = 50 dm + 1 dm = 51 dm

12282 bdD = 30 dm

L1 = luas alas bagian luar

= luas alas bagian dalam + luas bagian atas

L2 = luas selimut luar

L3 = luas selimut dalam

3212 LLLL 21

2 ππ4

π2 dhDhD

502814,3513014,3304

14,32 2 L 43962,48041413

2,10613 dm2.

Jadi, biaya untuk mengecat seluruh permukaan dari bak itu = 10613,2 dm2

Rp 500,00/dm2 = Rp 530.660,00

11. Perhatikan gambar di bawah ini.

Menurut Dalil Pythagoras:

d = 28 dm b = 1 dm

h1 h2

D

3

5

P

160

A B

C D

c

a

d

b x


2225 ca

2223 cb

2222 35 ba ………………….(1)

222

160 da

222 dbCP

222160 baCP ………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) , kita memperoleh:

222 35160 CP

9251602 CP = 144

12144 CP

Jadi, CP = 12 cm

12. Transversal sudut k, l, dan m berpotongan di titik O. Garis k memotong AB di P, l

memotong BC di Q, dan m memotong AC di R.

Bila P di antara AB, maka PB

PAdiberi nilai negatif (ruas garis PA dan PB berada di

sebelah menyebelah). Jika P di luar AB maka PB

PAdiberi nilai positif.

Perhatikan PBC dengan transversal sisi AOQ atau garis l. Berdasarkan teorema

Menelaos berlaku:

A B

C

P

Q R

l m

k

O


1OP

OC

QC

QB

AB

AP………………….(1)

Perhatikan APC dengan transversal sisi BOR atau garis m. Berdasarkan teorema

Menelaos berlaku:

1RA

RC

OC

OP

BP

BA………………….(1)

Hasil kali persamaan (1) dan (2):

OP

OC

QC

QB

AB

AP1

RA

RC

OC

OP

BP

BA

1RA

RC

QC

QB

BP

AP

1

RA

RC

QC

QB

PB

PA

1RA

RC

QC

QB

PB

PA. (qed)

Teorema ini dikenal dengan nama teorema De Ceva.

Catatan:

Transversal sudut adalah sebarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah

segitiga. Garis bagi, garis berat, dan garis tinggi dapat dipandang sebagai suatu

transversal sudut. Teorema penting mengenai transversal sudut adalah Teorema De

Ceva.

14. a. Menurut Dalil Pythagoras:

22 ADAGDG 22 18)2010( 24576 cm

Perhatikan AEF dan GDA adalah sebangun, maka

GA

AF

GD

AE

30

10

24

AE

8AE cm


c. Panjang AB = 8 + 24 = 32 cm

Panjang AD = 18 cm

Luas persegi panjang ABCD = AB AD = 32 18 = 576 cm2.

d. Karena luas persegi panjang ABCD = 576 = 242 cm

2, maka persegi panjang itu

memungkinkan untuk dikonstruksi menjadi menjadi persegi. Kita menyusun

bagian-bagian dari potongan itu menjadi persegi yang diminta seperti

ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Misalnya panjang sisi persegi panjang adalah c, maka

5762 c

24576 c cm

Jadi, keliling persegi itu = 4 24 = 96 cm2.

A

B

H

D

E

N

G

M

12

10 18

6

24

6

6


SOAL-SOAL 5

1. Carilah semua pasangan bilangan bulat (a,b) sedemikian, sehingga 2

111

ba.

2. Fauzan, Afifah, dan Annisa bekerja bersama dan menerima gaji seluruhnya

Rp 2.620.000,00. Fauzan menerima 125% dari gaji Afifah, yang juga merupakan

90% dari gaji Annisa. Siapakah yang gajinya lebih besar Afifah atau Annisa?

Berapa rasio gaji Afifah dan Annisa?

3. Yuda memiliki 288 buku dan disumbangkan ke 4 sekolah. Ketika Yuda mengecek

buku yang disumbangkan ke setiap sekolah, dia melihat bahwa selisih banyaknya

buku yang diterima oleh sekolah A dan sekolah B adalah 4, selisih banyaknya buku

yang diterima oleh sekolah B dan sekolah C adalah 3 dan selisih banyaknya buku

yang diterima oleh sekolah C dan sekolah D adalah 2. Sekolah A menerima paling

banyak tetapi kurang dari 40 buku. Ada berapa cara Yuda dapat menyumbangkan

buku-bukunya ke sekolah B dan ke sekolah D? Berapa banyak buku yang diterima

masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D?

4. Jika 10 yx dan 272533 yx , temukan nilai dari 22 yx .

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 1356 x c. 8)1(2 xxx e. 161523 xx

b. 7423 xx d. 9123 x f. 64

3

3

2642 xxx

6. Buktikan bahwa 21 32326)( nnnnnnP habis dibagi 13 untuk setiap n

bilangan asli.


7. Untuk a, b, c Q+, jika 2

2

22

22

b

a

cb

ba

, maka

c

b

b

a . Buktikan bahwa jika

2

2

22

22

a

c

cb

ba

, maka

2

22

44

bca

ca

.

8. Pertaksamaan 32

12

axxax

mempunyai penyelesaian 5x . Carilah nilai a.

9. a. Jika x menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit dan y menyatakan suhu dalam

derajat celcius. Diperoleh data sebagai berikut:

Suhu didih = 212o F = 100

o C

.

Suhu beku = 32o F = 0

o C.

Carilah persamaan yang menghubungkan x dan y .

b. Berapa tanjakan (gradien/koefisien arah) persamaan itu?

c. Suhu badan 105,8o F, berapa dalam derajat celcius?

d. Suhu runagan 20o C, berapa dalam derajat Fahrenheit?

10. Jika rasio volume dua kubus adalah 27:8 , berapakah rasio luas permukaannya?

11. Pada persegi panjang ABCD yang luasnya 2007 cm2, titik M, N, P dan Q terletak

pada AB, BC, CD dan DA. Rasio panjang masing-masing adalah sebagai berikut:

AM : MB = 3 : 5

BN : NC = 1 : 3

CP : PD = 4 : 5

DQ : QA = 1 : 8

Berapa rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD? Hitunglah luas MBNPDQ.

12. Diberikan ABC, dengan AB = 40 cm, BC = 42 cm, dan AC = 26 cm. Carilah jari

lingkaran singgung dalam, jari-jari lingkaran luar, dan jari-jari lingkaran singgung

luar pada sisi BC.


13. Diberikan ABC sama sisi, dengan AB = 8 cm. Di dalam segitiga itu dibuat 3 buah

lingkaran kongruen yang saling bersinggungan. Ketiga lingkaran ini juga

menyinggung sisi-sisi ABC dari dalam seperti dipertunjukkan pada gambar.

a. Hitunglah luas daerah yang diarsir yang dibatasi oleh 3 buah lingkaran.

b. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada setiap pojok segitiga.

c. Hitunglah seluruh luas daerah yang diarsir.

A

C

B 8 cm


SOLUSI SOAL-SOAL 5

1. 2

111

ba

abab 22

)2(2 bab

2

2

b

ba

2

4)2(2

b

ba

2

42

ba

Jika a bilangan bulat, maka 2b harus merupakan faktor dari 4, yaitu

2b 4,2,1 , maka 2,6,4,1,3 b , sehingga 1,3,4,2,6 a .

Jadi, semua pasangan (a, b) adalah (-2,1), (1, -2), (3, 6), (6,3), dan (4,4).

2. Misalnya gaji Fauzan, Afifah, dan Annisa berrurut-turut adalah a, b, dan c satuan,

maka:

2620000 cba ………………… (1)

cba %90%125

cba 10

9

4

5

ab5

4 ……………………………….(2)

ac9

10 ……………………………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3), kita memperoleh:

26200009

10

5

4 aaa

262000045

503645

a


131

452620000 a 000.900

000.720000.9005

4

5

4000.900 aba

000.000.1000.9009

10

9

10000.900 aca

Jadi, gaji Afifah adalah Rp 720.000,00 dan gaji Annisa adalah Rp 1.000.000,00. Di

antara Afifah dan Annisa, gajinya yang paling besar adalah Annisa. Sedangkan rasio

gaji Afifah dan Annisa = 720.000 : 1.000.000 = 18 : 25.

3. Misalnya banyak buku yang diterima sekolah A, B, C, dan D adalah a, b, c, dan d,

maka

144 dcba …………………..(1)

4ba

4 ba ……………………………..(2)

3bc

3 bc …………………………….(3)

2 dc

2 cd …………………………… (4)

Dari persamaan (3) dan (4) kita memperoleh

23 bd

1 bd ……………………………. (5)

Dari persamaan (1), (2), (3), dan (5), kita memperoleh:

288134 bbbb

28884 b

2804 b

70b

71170170 bdb

Karena dcbcba dan,, , maka Yuda dapat menyumbangkan buku-bukunya

ke sekolah B dan ke sekolah D dengan 1 cara.


Banyak buku yang diterima masing-masing oleh sekolah B dan sekolah D berturut-

turut adalah 70 dan 71 buah.

4. 22333 33)( xyyxyxyx

)(3)( 333 yxxyyxyx

)10(32725)10( 3 xy

xy3027251000

5,57xy

215115100)5,57(2)10(2)( 2222 xyyxyx .

5. a. 1356 x

5136 x

186 x

6

18x

3x

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 3xx .

b. 7423 xx

2743 xx

9 x

9x


c. 8)1(2 xxx

8)22 xxx

28)2 xxx

102 x


2

10x

5x


d. 9123 x

19213 x

824 x

42 x

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 42 xx .

e. 161523 xx

1) 1523 xx

2153 xx

12 x

2

1x

2) 1615 x

155 x

3x

Dari 1) dan 2) kita memperoleh: 32

1 x .


32

1xx .

f. 64

3

3

2642 xxx

1) xx3

2642

xx 218126

308 x


4

33x

2) 64

3

3

26 xx

729872 xx

017 x

0x

Dari 1) dan 2) kita memperoleh: 4

330 x .


4

330 xx .

6. 21 32326)( nnnnnnP

96366 nnn

)931(6 n

n613

Jadi, terbukti bahwa 21 32326)( nnnnnnP habis dibagi 13 untuk setiap n

bilangan asli.

7. 2

2

22

22

a

c

cb

ba

422224 ccbbaa

222244 cbbaca

22244 cabca

2

22

44

bca

ca

(qed)

8. 32

12

axxax

axxax 2)1(3612

axxax 233612


3629 aaxx

36)29( aax

a

ax

29

36

Karena penyelesaianya adalah 5x , maka haruslah:

529

36

a

a

aa 104536

4816 a

3a

Jadi, nilai a adalah 3.

9. a. Misalnya hubungan itu adalah nmxy .

Dari data titik didih diperoleh: nm 212100 …………(1)

Dari data titik beku diperoleh: nm 320 ……………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: 9

5m dan

9

160n

nmxym

9

1609

5

9

160

9

5 x atau 16095 yx

b. Tanjakan (gradien/koefisien arah) 9

5 .

c. 8,105x 16095 yx

16098,1055 y

5291609 y

3699 y

y = 41o C

d. 20y 16095 yx

1602095 x


1801605 x

3405 x

x = 68o C

10. Misalnya panjang rusuk-rusuk kubus itu adalah a dan b, maka volume kubus

pertama adalah 3

1 aV dan volume kubus kedua 3

2 bV , sehingga

27:8: 21 VV

27:8: 33 ba

3333 3:2: ba

3:2: ba

ba3

2

22

21 :: baLL 2

2

:3

2bb

9:41:

9

4

Jadi, rasio luas permukaannya adalah 4 : 9.


ckkcBCABABCDL 72984segi

)(4segi6segi CPNLAMQLABCDLMBNPDQL

CNCPAQAMBCAB

2

1

2

1

A B

C D

M

N

P

Q k

8k

k4

9

k4

27

c3 c5

c9

40 c

9

32


kckckc

4

27

9

32

2

183

2

198

ckckck 121272

ckck 2472

ck48

Rasio luas MBNPDQ terhadap luas ABCD = 3:272:48 ckck .

Luas MBNPDQ 20073

2 = 1.338 cm

2.

12. AB = c = 40 cm, BC = a = 42 cm,

BC = b = 26 cm.

Setengah keliling ABC adalah

)(2

1cbas

54)402642(2

1s cm

Luas segitiga ABC (= L) ditentukan

Dengan rumus Heron:

))()(( csbsassL (Rumus Heron)

)4054)(2654)(4254(54 L )14)(28)(12(54 246 732

504732 23 cm2

Jari-jari lingkaran uar (R) ditentukan oleh rumus: L

abcR

4

3

221

5044

402642

R cm.

Jari-jari lingkaran singgung dalam (r) ditentukan oleh rumus:s

Lr

3

19

54

504r cm.

Jari-jari lingkaran singgung luar pada sisi BC = a (ra) ditentukan oleh rumus:

as

Lra

lingkaran singgung

dalam

lingkaran

singgung luar

lingkaran luar

A B

C


424254

504

ar cm.

13. 482

1

2

1 ACAD cm

343 ACAD cm

Luas ACD = CDAD 2

1

3442

1 38 cm

2

)(2

1CDACADs

32634842

1s cm

s

Lr

33

33

33

34

326

38

r

6

12312 232 cm

LM = 2r 434 cm

Luas LMN (sama sisi) = 34344

1 2

cm 243163332644

1 cm

2.

Luas 3 buah juring di dalam LMN = 2

1 luas lingkaran

= 2232π2

1

= 3816π2

1

= π348 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir yang dibatasi oleh 3 buah lingkaran

= 24316 π348

= 32320 cm2

b. 32323 KLAK = 326 cm.

Luas AKL = KLAK 2

1 2323262

1 1238 cm

2

Luas derah yang diarsir pada pojok-pojok segitiga = 6 luas AKL – luas lingkaran

A

C

B

8 cm

D K

r

L M

N


= 12386 2232π

= 3π8π1672348 cm2

c. Luas seluruh daerah yang diarsir = 32320 + 72348 3π8π16

= 3π8π16104368 cm2


SOAL-SOAL 6

1. Jika a dan b adalah dua bilangan genap berturutan, buktikan )2(222 abba .

2. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 204216a dan

3065b ?

3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 512 a dan

714 b ?

4. Bilangan 2025 dibagi menjadi 4 bagian. Bagian pertama ditambah 4 = bagian kedua

dikurangi 4 = bagian ketiga dikalikan 4 = bagian ke empat dibagi 4. Carilah

perbandingan bagian bilangan yang terkecil dan terbesar.

5. Temukan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga hasilkalinya 840 dan

bilangan bulat ini adalah sama dengan kuadrat suatu bilangan bulat.

6. Gunakan semua angka 1, 3, 5, 6, 8, dan 9 satu kali secara tepat untuk mendapatkan

bilangan A dan B. Kedua-duanya A dan B terdiri dari tiga angka dan A – B adalah

bilangan positf. Carilah nilai terkecil dari A – B.

7. Tempatkan huruf x dengan sebuah angka ganjil dan huruf y dengan sebuah angka

genap, sedemikian sehingga 12 adalah sebuah pembagi dari bilangan x579y. Carilah

jumlah angka-angka dari bilangan x579y yang terkecil.

8. Dalam ABC, B = C = 78o. Titik-titik D dan E berturut-turut terletak pada

AB dan AC, sehingga BCD = 24o dan CBE = 51

o. Carilah besar BED?

9. P adalah titik dalam persegi panjang ABCD sedemikian sehingga luas ABP, BCP

dan CDP masing-masing adalah 48 dm2, 40 dm

2, dan 96 dm

2. Cari luas DAP.

10. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak tersebut

akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu menyedot air 0,7 liter


per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas

bak adalah 10.500 cm2, maka tinggi bak tersebut adalah….

11. Temukan jumlah dari sudut-sudut yang ditandai pada diagram berikut ini.

12. Di dalam persegi ABCD yang luasnya 1 m2 dibuat segitiga sama sisi APQ.

Berapakah luas APQ.

13. Setiap sudut segitiga sama sisi ABC, dipotong, sehingga membentuk segi-6

beraturan PQRSTU dengan panjang sisinya 1 satuan.

a. Berapakah panjang BC?

b. Carilah rasio luas segi-6 PQRSTU dengan

luas segitiga ABC.

b

a c d

e f

g h

A

B

C

D

E

F

H

G

S

Q P

R

A B

C D

P

Q

C

A B P Q

R

S T

U


SOLUSI SOAL-SOAL 6

1. Misalnya na 2 dan 22 nb , maka

22 )222()( nnba

42 22 baba

4222 abba

)2(222 abba (qed)

2. 204216a 204216 102221610246656

3065b 10235102125

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

3. 512 a 22 512 a 560212 60217

714 b 22 714 b 798214 98221

22 ba ba

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

4. Misalnya bilangan-bilangan itu adalah a, b, c, dan d, maka

kd

cba 4

444

ka 4 4 ka

kb 4 4 kb

kc 4 4

kc

kd

4 kd 4

2025 dcba

202544

44 kk

kk

20254

6 k

k


20254

25

k

32425

42025

k

4 ka = 324 – 4 = 320

4 kb = 324 + 4 = 328

4

kc 81

4

324

kd 4 = 12963244

Bagian bilangan yang terkecil dan terbesar masing-masing adalah 81 dan 1296.

Jadi, perbandingan bagian bilangan yang terkecil dan terbesar = 81 : 1296 = 1 : 16.

5. Misalnya bilangan bulat positif terkecil a dan kuadrat suatu bilangan bulat b2, maka

2840 ba

ab 840

ab )5327( 3

Agar bilangan yang di bawah tanda akar dapat ditarik akarnya, maka haruslah nilai

adalah 5372 a = 210, sehingga

)5372()5327( 2 b = 7 22 3 5 = 420

Jadi, bilangan bulat terkecil yang diminta adalah 210.

6. Angka A dan B harus berbeda 1. Angka kedua dari A harus lebih kecil dari angka

kedua dari B. Pilihlah 2 dan 8 masing-masing sebagai angka kedua dari A dan B.

Argumen ini digunakan untuk angka ketiga, kita memilih 3 dan 7 masing-masing

sebagai angka ketiga dari A dan B. Terakhir, kita memilih 5 dan 4 masing-masing

sebagai angka pertama dari A dan B. Ini memberikan A = 613 dan B = 598, sehingga

A – B = 613 – 598 = 15.

7. 12 pembagi x579y , maka 4 pembagi x579y. Demikian 4 pembagi dari 9y, maka y =

2 atau y = 6. Juga, 3 adalah sebuah faktor dari x579y. Sehingga 5 + 7 + 9 = 21 habis

dibagi 3, x + y juga habis dibagi 3. Jika y = 2, maka x = 1 atau x = 7. Jika y = 6,

maka x = 3.


Bilangan-bilangan yang mungkin adalah 15792, 75792, dan 35796.

Jumlah angka-angka dari stiap bilangan itu adalah sebagai berikut.

15792 1 + 5 + 7 + 9 + 2 = 24.

75792 7 + 5 + 7 + 9 + 2 = 30.

35796 3 + 5 + 7 + 9 + 6 = 30.

Jadi, bilangan yang diminta 15792, dengan jumlah angka-angkanya terkecil 24.


Karena ABC = BCA = 78o dan CAB = 24

o , maka

BEC = ABE + BAE = 27o + 24

o = 51

o, sehingga BC = EC .

Kita mendapatkan bahwa:

BDC = DAC + ACD = 24o + 54

o = 78

o,

maka BC = CD.

Jadi, CD = CE dan CDE = CED = 63o, maka

BED = DEC BEC = 63o 51

o = 12

o.


A

24o

51o

51o

24o

54o

E

D

C B

N L

P

B

A

C

D


.Luas ABP 96482

1 PNABPNAB

Luas CDP 192962

1 PLABPLCD

288)( PLPNAB

288NLAB

Luas persegi panjang ABCD = 288

Luas ABP + Luas BCP + Luas CBP + Luas DAP = 288

48 + 40 + 96 + Luas DAP = 288

Luas DAP = 288 – (48 + 40 + 96) = 104 dm2

Jadi, luas DAP adalah 104 dm2.

10. 7,0pv liter/detik

30t menit

500.10L cm2

Volume bak = 0,7 liter/detik 30 menit

= 0,7 dm3/detik 30 60 detik

= 1.260 dm3

= 1.260.000 cm3

LtpltV

120500.10

000.260.1

L

Vt cm

Jadi, tinggi bak tersebut adalah 120 cm.

11. Pada PAB : )(180o baP

Pada QCD : )(180 o dcQ

Pada REF : )(180 o feR

Pada SGH : )(180o ghS

+


)(720o fedcbaSRQP

)(720360 oo fedcba

o360 fedcba

12. Misalnya BP = DQ = x, maka PC = CQ = (1 – x) m.

22 1 xAP 222 )1()1( xxPQ 2242 xx 22 APPQ

22 1242 xxx 0142 xx

12

114)4()4( 2

2,1

x

2

4164

2

124

2

324 32

321 x (ditolak) atau 322 x (diterima)

Substitusikan 32 x ke persamaan 22 1 xAP , maka diperoleh:

22 1 xAP 2321 33441 348

Luas APC = 34

2AP3

4

348 332 332 m

2

Jadi, luas APQ adalah 332 m2

A B

C D

P

Q 1 x

1

1 x

1

x

x

Rumus Kuadrat (rumus abc):

1. Akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax adalah x1 dan x2 dapat

ditentukan oleh rumus: a

acbbx

2

42

2,1

2. Luas segitiga sama sisi (L) yang memiliki panjang sisi adalah a ditentukan

oleh rumus: 34

2aL


13. a. Sifat dari segi-6 beraturan adalah bahwa panjang jari-jari lingkaran luarnya sama

dengan panjang sisinya. Dengan menghubungkan diagonal-diagonal segi-6

beraturan, maka akan terjadi 6 buah segitiga sama sisi yang kongruen.

Berdasarkan sifat-sifat tersebut, maka dapat disimpulan bahwa RST = 120o,

dan suplemennya TSC = 60o, sehingga TSC adalah segitiga sama sisi.

Akibatnya CS = SR = RB = 1 satuan.

BC = 3 SR = 3 1 = 3 satuan.

b. Luas segi-6 bearturan PQRSTU = 6 luas TSC

Luas ABC = 9 luas TSC

Rasio luas segi-6 beraturan PQRSTU dengan luas

ABC = (6 luas TSC) : (9 luas TSC)

= 2 : 3

R

R

a = R

60o


SOAL-SOAL 7

1. Carilah jumlah semua bilangan dua angka, sehingga jika bilangan itu dibagi dengan

jumlah angka-angkanya hasilnya adalah 4 dan sisanya 3.

2. Diberikan bahwa nn yx habis dibagi oleh yx untuk n adalah bilangan ganjil

positif. Carilah yx yang merupakan bilangan prima yang merupakan faktor dari

1515 32 .

3. Masukkan angka 1, 2, 3, ..., 9 ke dalam kotak berikut, sehingga memperoleh hasil

perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).

4. Bilangan 10200000 memiliki 5 nol berurutan. Berapakah banyaknya angka nol

yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1 2 3 4 5 . .

. 2006?

5. Suatu bilangan bulat 2n merupakan bilangan prima jika faktornya hanya n dan 1.

Misalnya N menyatakan perkalian 2006 bilangan prima yang pertama. Berapa

banyakkah angka 0 diakhir bilangan N?

6. Tentukan jumlah bilangan yang merupakan faktor prima dari bilangan berbentuk

abcabc.

7. Jika 446135 yx dan 224723 yx dipenuhi oleh yxp 2 , carilah nilai

pp 43 2 .

8. Diketahui Rx dan 168532

28622

22

yxxyyx

yxxyyx. Carilah nilai y.


9. Ayah yang baru saja meninggal dunia meninggalkan seorang istri, 5 orang putra, dan

4 orang putri. Di samping itu almarhum juga meninggalkan uang sebesar Rp

7999,29 juta. Sebelum meninggal Ayahnya mewasiatkan bahwa masing-masing

putra harus menerima tiga kali lebih banyak dibanding yang diterima oleh masing-

masing putrinya, dan masing-masing putrinya menerima dua kali lebih banyak

dibanding yang diterima oleh ibu mereka. Berapa jumlah uang yang diterima

istrinya ?

10. Diketahui a, b, dan c bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa

3

1 acbcab .

11. Tentukan jumlah diagonal segi-n, jika jumlah sudut segi-n itu adalah 1.440o.

12. Temukan jumlah dari sudut-sudut yang ditandai pada diagram berikut ini.

13. Dinda merencanakan memotong persegi yang diarsir dari segitiga. Jika sisi dari

segitiga 8 cm, 15, cm, dan 17 cm, berapa besar ukuran persegi itu?

C

A B

D

E

e

b

c

d

a

1

1

1

1

1


SOLUSI SOAL-SOAL 7

1. Misalnya bilangan itu mempunyai angka puluhan t dan angka satuan u, dengan

angka-angka itu berbeda maka

utut

ut

34

10

34410 utut

336 ut

12 ut

12 tu

t 12 tu Bilangan yang diminta

1 11)1(2 u 11 (ditolak)

2 31)2(2 u 23 (diterima)

3 51)3(2 u 35 (diterima)

4 71)4(2 u 47 (diterima)

5 91)5(2 u 59 (diterima)

Semua bilangan dua angka itu adalah 23, 35, 47, dan 59.

Jadi, jumlah semua bilangan dua angka itu = 23 + 35 + 47 + 59 = 164.

2. 1515 32 dapat dibagi oleh 2 + 3 = 5.

5353 32 dapat dibagi oleh 23 + 3

3 = 8 + 27 = 35 = 5 7.

3535 32 dapat dibagi oleh 25 + 3

5 = 32 + 243 = 275 = 5

2 11.

Jadi, faktor-faktor prima yang diminta adalah 5, 7, dan 11.

3. Perhatikan pola berikut ini:


a. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, dan 4 ke dalam kotak sehingga memperoleh hasil

perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).

b. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 ke dalam kotak sehingga memperoleh

hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai sekali).

c. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 ke dalam kotak sehingga memperoleh


d. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 ke dalam kotak sehingga memperoleh


e. Masukkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan 8 ke dalam kotak sehingga

memperoleh hasil perkalian yang tersbesar. (Setiap angka hanya boleh dipakai

sekali).

Solusi dari semua masalah itu adalah:

a. 41 32

b. 431 52

c. 631 542

d. 742 6531

e. 8531 7642

Jadi, agar memperoleh hasil perkalian yang tersbesar, maka kotak-kotak itu harus

diisi oleh angka-angka 76421 853 9.


4. 51 = 5 menghasilkan 1 angka 0.

52 = 25 menghasilkan 2 angka 0.



2006 : 5 = 401

2006 : 25 = 80

2006 : 125 = 16

2006 : 625 = 3

Jadi, banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian

1 2 3 4 5 … 2003 adalah 401 + 80 + 16 + 3 = 500 buah.

5. Bilangan prima: 2, 3, 5, 7, …

Perkalian bilangan prima yang menghasilkan angka 0 hanya bilangan prima 2 dan 5.

Perkalian 2006 bilangan prima yang pertama ...117532 0...

Jadi, banyak angka 0 di akhir bilangan perkalian 2006 bilangan prima yang pertama

adalah 1.

6. abcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c

= (100000 + 100)a + (10000 + 10)b + (1000 + 1)c

= 100100a + 10010b + 1001c

= 1001(100a + 10b + c)

= 1001abc

= 7 11 13(abc)

Bilangan prima yang merupakan faktor dari bilangan yang berbentuk abcabc adalah

7, 11, dan 13.

Jadi, jumlah jumlah bilangan yang merupakan faktor prima dari bilangan berbentuk

abcabc = 7 + 11 + 13 = 31.

7. )22(2)4723(2 yx 44)9446 yx

446135 yx

03311 yx


yx 3

yx 3 446135 yx

4461)3(35 yy

4461105 yy

4444 y

1y

12321

3

yyyyxp

y

yx

143)1(4)1(343 22 pp

Jadi, nilai dari pp 43 2 adalah 1.

8. 168532

28622

22

yxxyyx

yxxyyx

68532286 2222 yxxyyxyxxyyx

0816448 2 yxxyy

0242 2 yxxyy

0122 2 xxyyy

0)1()1(2 2 yxy

0)22)(1( xyy

01y atau 022 xy

1y

1y 022 xy

02)1(2 x

0x

Jadi, nilai dari y adalah 1.

9. Misalnya jumlah uang yang diterima oleh x juta rupiah, maka

putrinya menerima masing-masing = x2 juta rupiah.


putranya menerima masing-masing = x6 juta rupiah.

29,999.7)2(4)6(5 xxx

29,999.739 x

11,205x

Jadi, jumlah uang yang diterima istrinya adalah Rp 205,11 juta.

10. 0)( 2 ba abba 222 ………. (1)

0)( 2 ca acca 222 ………. (2)

0)( 2 cb bccb 222 ………. (3)

Jumlahkan ketiga persamaan itu, maka kita memperoleh:

)(22 222 bcacabcba

bcacabbcacabcba 2222

)(312

bcacab

3

1 acbcab (qed)

11. Rumus jumlah sudut segi-n o180)2( n

oo 440.1180)2( n

o

o

180

440.12 n

82 n

10n

Jumlah diagonal segi-n dirumuskan sebagai: )3(2

1nn

Jumlah diagonal segi-10 35)310(102

1

12. o

11111 180)25( EDCBA

oooooo 540180180180180180 edcba


o360 edcba

Kita dapat menyimpulkan bahwa jumlah sudut luar segi-n adalah 360o.

13. Misalnya panjang sisi persegi adalah x, maka

15:8:)8( xx

xx 8)8(15

xx 815120

12023 x

23

55x cm

Jadi, persegi terbesar memiliki ukuran panjang sisi adalah 23

55 cm.

x

8 x

15

17 x


SOAL-SOAL 8

1. Carilah sisa pembagian apabila bilangan 10.327 dan 11.351 dibagi dengan bilangan

yang terdiri atas tiga digit masing-masing memberikan sisa yang sama.

2. Manakah di antara bilangan berikut yang rasional?

a. 20,04 c. 8 e.

b. 232232 d. 3,14 f. 2232

3. Nyatakan dalam hasil bagi bilangan rasional.

a. 2,005 c. 0,444… e. 31,253253…

b. 19,54 d. 0,6565…

4. Jika a dan b rasional, p dan q irrasional, apa yang dapat dikatakan tentang bilangan:

a. ba c. qp e. ap

b. pa d. p2 f. pq

5. Sederhanakan setiap bentuk berikut ini.

a. ...222 c. 3 3 3 ...:16:16:16 e. ...121212

b. 3 3 3 ...999 d. ...666

6. Hitunglah nilai dari 1100...1312

1100...1312333

333

7. Untuk berenang satu mil dalam kolam renang siku empat tertentu. Orang harus

berenang menempuh jarak panjang kolam 80 kali, atau menempuh keliling kolam 22

kali.. Berapa yar persegi luas kolam renang itu?


8. Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang

tubuhnya. Tubuhnya tiga perempat dari panjang keseluruhan. Panjang kepalanya 10

cm. Berapa panjang total ikan itu?

9. Fauzan mempunyai binatang peliharaan ayam dan kambing. Setelah dihitung jumlah

kakinya ada 140, sedangkan kepalanya ada 44 ekor. Berapakah rasio banyak ayam

dengan kambing yang dimiliki Yuda?

10. Segitiga ABC sama kaki, D adalah titik pada sisi BC sehingga EAD = 30o; E

adalah titik pada sisi AC sehingga AD = AE. Hitung ukuran dari EAD.

11. Jika ABCD adalah sebuah persegi dan AB = 12 cm, hitung luas daerah yang diarsir.

12. Gambar ABCD adalah persegi dari sisi 1 cm. Diberikan bahwa AE = 0,8 cm dan CF

= 0,2 cm, temukan luas bagian daerah yang diarsir.

13. Diberikan segitiga ABC, dengan 34AB cm , 10BC cm, dan 4AC cm.

a. Dapatkah segitiga ABC dikonstruksi?

b. Bagaimanakah caranya menentukan luas segitiga ABC?

c. Berapakah luas segitiga ABC?

B C

E F

D A

A B

D C


SOLUSI SOAL-SOAL 8

1. Misalnya sisa pembagian itu adalah s, maka:

Bilangan pertama: p

sk

p

327.10skp 327.10

Bilangan kedua: p

sc

p

351.11scp 351.11

Perbedaan antara kedua bilangan itu adalah 024.1)( pck .

Faktor-faktor dari 1.024 yang terdiri dari tiga digit adalah 128, 256, dan 512

merupakan pembagi dari bilangan-bilangan itu. Pada pembagian 10.327 dan 11.351

dengan 512 memberikan sisa yang sama, yaitu s = 87.

2. a. 20,04 (bilangan rasional)

b. 22232232232 14184 (bilangan rasional)

e. 228 (bukan bilangan rasional)

f. 3,14 (bilangan rasional)

g. = 3,14… (bukan bilangan rasional)

h. 222

2323222232 182224 22222 (bukan

bilangan rasional)

Jadi, yang merupakan bilangan rasional adalah butir a, b, dan d.

3. a. 200

401

1000

2005005,2

b. 50

977

100

195454,19

c. Strategi 1:

Misalnya ...444,0x , maka

...44,410 x


...444,0x

9x = 4

9

4x

Jadi, 9

4...444,0 .

Strategi 2:

0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + …

a = 0,4 dan 1,04,0

04,0r

9

4

9,0

4,0

1,01

4,0

1

r

aS

Jadi, 9

4...444,0 .

Catatan: 0,444… biasa ditulis juga sebagai 4,0 .

d. Strategi 1:


...65,65100 x

...6565,0x

99x = 65

99

65x

Jadi, 99

65...6565,0 .

Strategi 2:

0,6565… = 0,65 + 0,0065 + 0,000065 + …


a = 0,65 dan 01,065,0

0065,0r

99

65

99,0

65,0

01,01

65,0

1

r

aS

Jadi, 99

65...6565,0 .


e. Strategi 1:


...253,312531000 x

...253253,31x

999x = 31222

999

31222x

Jadi, 999

31222...253253,31 .

Strategi 2:

31,253253… = 31 + 0,253 + 0,000253 + …

a = 0,253 dan 001,0253,0

000253,0r

999

253

999,0

253,0

001,01

253,0

1

r

aS

Jadi, 999

31222

999

25331...253253,31 .


4. a. ba adalah rasional. d. p2 adalah irrasional.

b. pa adalah irrasional. e. ap adalah irrasional, jika 0a .

c. qp adalah irrasional. f. pq adalah tak dapat dikatakan.


5. a.. Misalnya ...222x , maka

xx 2

xx 22

0)2( xx

0x (ditolak) atau 2x (diterima)

Jadi, 2...222

b. Misalnya 3 3 3 ...999x , maka

3 9xx

xx 93

0)2( 2 xx

0)3)(3( xxx

0x (ditolak) atau 3x (ditolak) atau 3x (diterima)

Jadi, 3...9993 3 3

c. Misalnya 3 3 3 ...:16:16:16x , maka

3 :16 xx

xx :163

164 x

2164 x

Jadi, 2...:16:16:163 3 3

d. Misalnya ...666 x , maka

xx 6

xx 62

062 xx


0)2)(3( xx

3x (diterima) atau 2x (ditolak)

Jadi, 3...121212

e. Misalnya ...121212 x , maka

xx 12

xx 122

0122 xx

0)3)(4( xx

4x (diterima) atau 3x (ditolak)

Jadi, 3...121212

6. Gunakan hubungan ))(( 2233 babababa kemudian lakukanlah observasi

pada dua fungsi 1)( 2 xxxf dan 1)( 2 xxxg . Kita memperoleh hubungan

bahwa )1()( xfxg . Sebagai ilustrasi: 1100100)100( 2 g =

19999)99()1100( 2 ff dan sebagainya.

1100...1312

1100...1312333

333

110010019999...122101...543

110010019999...12299...321222

222

1011003

101012

5050

3367

7. Misalnya panjang kolam renang y yar dan lebarnya x yar. Kita pilih yar karena

kuantitas yang diinginkan, luas adalah yar persegi.

Ada 1760 yar dalam 1 mil, sehingga terdapat 80y = 1760 atau y = 22.

Dari berenang mengikuti keliling terdapat 22(2x + 2y) = 1760 atau 22(2x + 44) =

1760, sehingga x = 18 yar.

Jadi, luas kolam renang adalah 22 18 = 396 persegi yar.


8. Misalnya ,,, cba dan d adalah panjang kepala, panjang badan, panjang ekor, dan

panjang total, maka:

bac4

1 acb 44 … .... (1)

db4

3 bd

3

4 ……………. (2)

10a ……………. (3)

cbad .......... (4)

Substitusikan 10a ke persamaan (1), diperoleh:

bc4

110

404 cb ……... (5)

Substitusikan 10a dan bd3

4 ke persamaan (4), diperoleh:

cbb 103

4

cbb 33304

303 cb ………. (6)

Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh:

404 cb

303 cb

70 c

70c

Substitusikan 70c ke persamaan (6), diperoleh:

30)70(3 b

240b

Substitusikan 240b ke persamaan (2), diperoleh:

320)240(3

4d

Jadi, panjang total ikan adalah 320 cm.


9. Misalnya banyak ayam x ekor dan banyak kambing y ekor. Seekor ayam mempunyai

2 dua buah kaki dan seejor kambing mempunyai 4 buah kaki.

x + y = 44

x = 44 – y ………………….(1)

2x + 4y = 140

x + 2y = 70……………….(2)

Substitusikan x = 44 – y ke persamaan (2), diperoleh:

44 – y + 2y = 70

y = 70 – 44 = 26

Substitusikan y = 26 ke persamaan x = 44 – y, diperoleh:

x = 44 – 26 = 18

Jadi, rasio banyak ayam dengan kambing yang dimiliki Yuda = 18 : 26 = 9 : 13.

10. Karena segitiga ABC sama kaki, maka

wACDABC

ywADEAED

o180 ADCADB

ooo 18030180 yyww

o302 y

o15y


A

B C

E

D

30o

w y w w+ y

w+ y

A B

D C

E


Perhatikan CDE adalah sama sisi, maka:

Luas tembereng 32

1515

2

115π

360

60 2

o

o

3

4

225π

2

75cm

Luas daerah yang diarsir = 2 luas tembereng + luas CDE

32

1515

2

13

4

225π

2

752

34

2253

4

450π75

3

4

225π75 cm

2


5

2

5

4

2

1

2

1 AEGH cm

10

1

5

1

2

1

2

1 CFHI cm

Luas segi-4 EIFG = Luas EFG + luas EIF

= HIEFGHEF 2

1

2

1

= )(2

1HIGHEF

B C

E F

D A

I

H

G cm8,0

cm2,0


=

10

1

5

21

2

1

=

10

5

2

1

= 0,25 cm2

Jadi, luas bagian yang diarsir adalah 0,25 cm2.

13. a. Suatu segitiga dapat dikonstruksi, jika jumlah dua sisinya lebih dari panjang sisi

yang lainnya.

ACBCAB

49,81,38,51034

b. Perhatikan diagram berikut ini.

a. Luas ABC = luas persegi panjang ABCD – luas BCQ – luas ABP

352

113

2

135

2

15

2

315

915

= 6 cm2.

A P

C

B Q

34 5

3

1

3

4

t


SOAL-SOAL 9

1. Temukan bilangan yang hilang dari ....2005

20042006

2005

2004 ?

2. Carilah bilangan yang lenyap dari 5

1

3

1

3

1

2

1...

5

1

4

1

3

1

2

11

3. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berkut ini.

4. Tunjukkan bahwa hasil kali dari empat bilangan positif yang berturutan adalah

bilangan bulat yang bukan bentuk kuadrat sempurna.

5. Apabila diberikan

4 7 = 63

3 5 = 34

6 4 = 52

8 9 = 145

Hitunglah 7 5 dan 12 9.

6. Diketahui rumus umum suatu deret: ,431 nn aa n 0, dan ao= 2. Carilah 100a .

7. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif ),( nm yang merupakan solusi

dari persamaan 124

nm.

8. Diberikan 3 buah bilangan real positif x, y, dan z, sedemikian sehingga x

z

z

y

y

x .

I T A M

4

A T I H

H

M


Hitunglah nilai dari

15

100310051006

200320052006

yyx

zyx.

9. Annisa mempunyai 20 lembar uang di dompetnya. Dalam bentuk pecahan 10 ribu,

20 ribu dan 50 ribu. Total jumlah uangnya 500 ribu. Jika dia memiliki pecahan 50

ribu lebih banyak daripada 10 ribu. Berapa banyak pecahan 10 ribu yang ia miliki?

10. Masing-masing lingkaran I, II, dan III adalah

bersinggungan pada dua lingkaran yang lainnya.

Luas lingkaran-lingkaran itu masing-masing

adalah 81 cm2, 256 cm

2, 625 cm

2. Temukan

panjang keliling dari segitiga yang dibentuk

dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran

ini.

11. Perhatikan gambar di bawah ini. AB = 64 cm, BC

= 48 cm, CD = 36 cm, dan DE = 27 cm, dengan

AB, BC, CD, dan DE adalah diameter dibuat

setengah lingkaran. Carilah panjang busur

ABCDE.

12. Pada gambar berikut ini, tiga buah persegi mempunyai luas yang sama. Tentukan

apakah luas dari tiga daerah yang diarsir pada masing-masing persegi juga sama.

13. Garis tengah sebuah silinder diperkecil 10% dan tingginya diperbesar 20%.

Berapakah pengurangan volume silinder itu?

I

III

II

A C E D B


SOLUSI SOAL-SOAL 9

1. 20042005

200420051

2005

20042006

2005

2004

Jadi, bilangan yang hilang itu adalah 2004.

2. 5

1

4

1

3

1

2

11

5432

24304060120

5

1

3

1

3

1

2

1274

Jadi, bilangan yang hilang itu adalah 274.

3. H 4 harus kurang dari 10 (tidak ada yang dibawa), yaitu 1 atau 2.

H tidak mungkin 1, karena HITAM 4 bersatuan genap, maka haruslah H = 2.

Kalau H = 2, maka haruslah M = 8.

ITA 4 + 3 = ATI (ingat yang dibawa dari 8 4).

I 4 < 10, maka nilai I yang mungkin adalah 0, 1, atau 2, sehingga nilai yang

memenuhi adalah I = 1.

Akibat ini adalah haruslah A = 7.

T 4 + 3 menghasilkan angka akhir T dan dibawa 3, maka haruslah T = 9.

Jadi,

4. 15244321 2

1111205432 2

1193606543 2

1298407654 2

Misalnya empat bilangan positif itu adalah ,1,,1 nnn dan 2n , maka:

)2)(1()2)(1)()(1( 22 nnnnnnn

nnnn 22 234

1122 234 nnnn

1)1( 22 nn

21 978

4

87 912


Jadi, perkalian empat bilangan positif yang berturutan adalah bilangan bulat yang

bukan berbentuk kuadrat sempurna.(qed).

5. Setelah melakukan uji coba, maka diperoleh bahwa secara umum a b = a2 + b

2

Jadi, 7 5 = 72 + 5

2 = 74 dan 12 9 = 12

2 + 9

2 = 225

6. a1 = 3 2 + 4

a2 = 3 (3 2 + 4) + 4 = 32 2 + 3 4 + 4

a3 = 3(32 2 + 3 4 + 4) + 4 = 3

3 2 + 3

2 4 + 3 4 + 4

Sehingga untuk an dapat ditulis dalam bentuk

an = 3n 2 + (3

n-1 + 3

n-2 +…+3

2 + 3 + 1)4

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri diperoleh

an = 3n 2 +

13

4)13(

n

an = 3n 2 + 2(3

n 1) = 8 3

n – 2

Jadi, nilai dari 100a = 8 3100

– 2

7. 124

nm

mnmn 24

nmmn 42

nmn 4)2(

2

4

n

nm

2

884

n

n

2

84

n

n

2

4

n

nm

),( nm

3 12 (3, 12)

4 8 (4, 8)

6 6 (6, 6)

10 5 (10, 5)

Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat positif ),( nm yang diminta ada 4 buah.


8. Misalnya kx

z

z

y

y

x , maka

ky

x kyx ………….(1)

kz

y kzy …………..(2)

kx

z kxz …………..(3)

Jumlah persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:

x + y + z = k(x + y + z)

k = 1

Sehingga x = y = z.

15

100310051006

200320052006

yyx

zyx15

100310051006

200320052006

xxx

xxx15

1004

2008

15

2

= 32768

9. Misalnya jumlah pecahan 50 ribu = x, pecahan 20 ribu = y, maka jumlah pecahan

10 ribu = )(20 yx , sehingga persoalan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

500)(20102050 yxyx

xy 430

Secara sistematis dapat ditentukan kemungkinan jawaban dengan mencoba

mensubstitusikan nilai x ke persamaan terakhir. Kita tidak dapat mensubstitusikan

nilai x = 1, 2, dan 3; karena akan menghasilakn jumlah pecahan uang yang lebih

dari 20. Perhatikan daftar kemungkinan berikut ini.

50 ribu (x) 20 ribu (y) 10 ribu

4 14 2

5 10 5

6 6 8

7 2 11


Kita tidak dapat melajutkan untuk 7x , karena akan diperoleh nilai y negatif.

Dari 4 kemungkinan itu yang memenuhi syarat adalah empat pecahan 50 ribu, 14

pecahan 20 ribu, dan 2 pecahan 10 ribu.

10. π81IL π256IIL π625IIIL

π81π 2 Ir π256π 2 IIr π625π 2 Ir

812 Ir 2562 IIr 6252 IIIr

9Ir 16IIr 25IIIr

Jadi, panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-

pusat lingkaran ini IIIIII rrr = 9 + 16 + 25 = 50 cm.

11. Panjang busur ABCDE )π()π()π()π(2

1DECDBCAB

)27364864(14,32

1 = 274,75 cm

12. Pada gambar (a), jari-jari lingkaran adalah 4r, maka

Luas daerah yang diarsir = 22 π16)4π( rr

Pada gambar (b), jari-jari lingkaran adalah 2r, maka:

Luas daerah yang diarsir = 22 π16)2π(4 rr

Pada gambar (c), jari-jari lingkaran adalah r, maka:

Luas daerah yang diarsir = 22 π16)π(16 rr

Ternyata, luas dari tiga daerah yang diarsir pada persegi-persegi itu adalah sama.

13. Vulume tabung: tdVsemula

2

4

t

r


Garis tengah tabung diperkecil 10%, maka: dddD10

9%10

Tinggi tabung diperbesar 20%, maka: tttT10

12%20

Vulume tabung sekarang:

tdVsekarang

10

12

10

9

4

2

td 2

41000

972

semulaV 972,0

Jadi, pengurangan volume silinder itu %8,2%100)972,01(


SOAL-SOAL 10

1. Jika 1 yx dan 1933 yx , tentukan 22 yx

2. Misalnya N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat: bersisa 2 jika dibagi 5,

bersisa 1 jika dibagi 3, dan bersisa 5 jika dibagi 8. Carilah nilai N?

3. Carilah bilangan-bilangan pengganti huruf-huruf

,,,,, edcba dan f pada bintang-bintang ajaib,

sehingga jumlah bilangan-bilangan pada setiap

garis adalah sama.

4. Berapakah hasil dari 1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+ 2

2 1

2?

5. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Carilah bilangan itu dan hasil

baginya!

6. Dinda pergi ke sanggar senam setiap 3 hari sekali, Annisa setiap 2 hari sekali, dan

Fitri setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 24 September 2002 ketiganya datang

bersama-sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali ?

7. Seorang Ayah berkata kepada anaknya: “Kalau sekarang hari Rabu, 1000 hari

kemudian, jatuhnya pada hari apa, nak?” Coba bantulah anak itu untuk menentukan

hari yang diminta Ayahnya.

8. Diberikan 6 buah bilangan positif A, B, C, D, E, dan F; sehingga 29 BA ,

45 DC , 65 FE , 36AC , dan 312BE . Carilah nilai-nilai dari A, B, C,

D, E, dan F.

15 d

16

3

6

19

c

b a 2


9. Pada gambar di bawah ini, EOD = 45o dan panjang AB = OD. Cari besar EAD.

10. ABCD adalah trapesium dengan AB//CD. Panjang AB = a dan panjang CD = b. MN

sejajar AB dan membagi luas trapesium menjadi sama besar. carilah panjang MN.

11. Persegi panjang ABCD terbagi dalam empat persegi panjang yang sama. Berapa

panjang diagonal AC, jika AX = 29 cm dan AY = 41 cm?

12. Sebatang kawat baja yang panjangnya 72 cm dibagi menjadi dibagi menjadi tiga

bagian yang sama panjangnya. Dari bagian kawat tadi dijadikan alas kubus,

silinder, dan prisma segitiga beraturan yang tingginya masing-masing sama. Dari

ketiga bangun ruang itu, manakah yang mempunyai volume terkecil?

13. Luas sisi-sisi suatu balok yang berbeda masing-masing adalah 432 dm

2, 216 dm

2,

dan 288 dm2. Hitung volume dan panjang seluruh rusuk balok itu.

D

E

O C

B

A

45o

A B

N

C

a

b

D

M

A B

C D Y X


SOLUSI SOAL-SOAL 10

1. 1933 yx

19)(3)( 3 yxxyyx

19)1(3)1( 3 xy

183 xy

6xy

22 yx 13)6(2)1(2)( 22 xyyx

2. 5

2

5 a

N 25 aN ……………. (1)

3

1

3 b

N 13 bN …………….. (2)

8

5

8 c

N 58 cN ……………...(3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat persamaan 581325 cba ,

sehingga:

)15(3

1 ab ………………………….(4)

)35(8

1 ac …………………………(5)

Persamaan (4) dan (5) dipenuhi oleh a =7, b = 12, dan c = 4.

a = 7 25 aN 372)7(5

Jadi, nilai dari N adalah 37.

3. Jumlah bilangan pada setiap garis .40163615

44015219 cc

403191626 dbbadca

40221810 dbbada

8 db

18 db

102 b 15 13

16

3

6

19

4

5 17

2

2

+


135 db

5b 4018 ba 17a

Selengkapnya bintang-bintang ajaib dapat dilihat pada gambar.

4. Perhatikan pola berikut.

22 – 1

2 = 3 = 1 + 2.

42 – 3

2 = 7 = 3 + 4.

62 – 5

2 = 11= 5 + 6.

Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret

1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+2

2 - 1

2 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100

50502

)1100(100

Jadi, hasil dari 1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+ 2

2 – 1

2 adalah 5050.

5. 72 = 8 9. Karena itu:

1) ba1989 habis dibagi dengan 8, sehingga b89 habis dibagi 8, maka haruslah

6b .

2) ba1989 habis dibagi dengan 9, sehingga 339891 aba , maka

haruslah 3a .

Jadi, bilangan yang diminta adalah 319896 dan hasil baginya adalah 4443.

6. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,

…

Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,

24, 26, 28, 30, 32, …

Fitri pergi ke sanggar setiap 5 hari sekali: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 5, yaitu 3 2 5 = 30.

Jadi, mereka akan bersama-sama kembali setelah 30 hari.

7. Dalam satu pekan ada 7 hari yang sepadan dengan bilangan jam tujuhan. Kita

anggap angka-angka pada jam tujuhan dan hari-hari dalam dalam sepekan terdapat

hubungan korespondensi satu-satu.


1) Hari Rabu menunjuk angka 3.

2) Seribu hari kemudian sepadan dengan 1000 angka

berikutnya setelah jarum menunjuk angka 3.

3) Satu putaran penuh jarum jam melewati 7 angka,

maka 1000 hari kemudian sepadan dengan 142 putaran

penuh ditambah 7

6 putaran atau 1000 = 14 2 7 + 6 .

4) Pada permulaan jarum menunjuk angka 3, maka setiap putaran penuh jarum jam

pasti ia kembali menunjuk angka 3, sehingga 1000 kemudian jarum jam

menunjuk angka 3 seratus empat puluh dua kali kemudian angka 2 pada jam

tujuhan yang sepadan hari Selasa.

Jadi, apabila sekarang hari Rabu, maka seratus hari kemudian adalah hari Selasa.

8. 312BE 13323 . Pilihan untuk B adalah 13, 24, 8, 26. Hanya B = 26 yang

mungkin, sehingga:

B = 26 29 BA

2926 A

3A

3A 36AC

363 C

12C

12C 45 DC

4512 D

33D

B = 26 312BE

31226 E

12E

12E 65 FE

0

6

5 4

3

1 2

Bilangan jam tujuhan: 0 1 2 3 4 5 6

Hari dalam sepekan : Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu


6512 F

53F

Jadi, nilai-nilai dari A, B, C, D, E, dan F berturut-turut adalah 3, 26, 12, 33, 12, dan 53.


Misalnya αEAD .

Karena AOB sama kaki, maka αAOB .

α2180o ABO .

α2α2180180 oo EBO .

Karena BOE sama kaki, maka α2OEB .

α4180α2α2180 oo BOE .

α3α4180α180 oo EOD

α345o

o15α

Jadi besar EAD adalah o15 .


BY sejajar dengan AD. Dan tinggi BXN dan BYC berturut-turut h dan H.

Misalkan panjang MN adalah x. maka HN adalah (x – a) dan YC adalah (b – a),

sehingga bisa diperoleh :

D

E

O C

B

A

r

r

r r

45o

C

A B

N

a

a D

M

h

H-h

b-a

X

Y

x-a


ab

ax

YC

XN

H

h

)(

)(

ab

axHh

2 (Luas ABNM) = Luas ABCD

2

)(

2

)(2

Hbahax

Hba

ab

axHax

2

)()()(

)()(2 2222 abHaxH

2222 22 abax

22

212 bax

22

21 2 bax

Jadi, panjang MN adalah 22

21 2 bax .

11. Misalnya panjang sisi-sisinya x dan y, maka

2222 29 yxAX

AY 2

= (2x)2 + y

2 = 4x

2 + y

2 = 41

2

AY 2

– AX 2 = (4x

2 + y

2) – (x

2 + y

2) = 41

2 – 29

2

x 2

= 280

AC 2

= (4x)2 + y

2 = 16x

2 + y

2 = 12x

2 + (4x

2 + y

2) =12(280) + 41

2 = 5041

5041AC = 71 cm

Jadi, panjang diagonal AC adalah 71 cm.

12. Misalnya tinggi dari masing-masing bangun ruang itu adalah t dm.


Panjang masing-masing kawat baja 243

72 t

Panjang rusuk kubus 64

24 t dm

Volume kubus: 21663 kubusV liter

Keliling alas silinder: rK 2

r 224

12r

Volume silinder: trVsil

2

612

2

silV

7

22

864 275 liter

Panjang rusuk alas prisma 83

24 dm

Luas alas prisma segitiga beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi

34

82

316 dm2.

Volume prisma segitiga tegak: 08,16673,1966316 prismaV liter

Jadi, dari ketiga bangun ruang itu yang memiliki volume terkecil adalah prisma

segitiga tegak.

13. 432pl ……………..(1)

288pt ………………(2)

216lt ……………….(3)

Hasil kali persamaan (1), (2), dan (3)

menghasilkan:

216288432 ltptpl

3325342 323232)( plt

8122 32)( plt

l p

t

288 dm2

432dm2

216 dm2


812 32 plt = 46 32 184.58164 liter

Jadi, volume balok itu adalah 5.184 liter.

Substitusikan pl = 432, pt = 288, dan lt = 216 berturut-turut ke persamaan plt =

5.184, maka diperoleh:

pl = 432 plt = 5.184

432t = 5.184

t = 5.184 : 432 = 12 dm

pt = 288 plt = 5.184

288l = 5.184

l = 5.184 : 288 = 18 dm

lt = 216 plt = 5.184

216p = 5.184

p = 5.184 : 216 = 24 dm

4(p + l + t) = 4(24 + 18 + 12) = 216 dm

Jadi, panjang seluruh rusuk balok adalah 216 cm.


SOAL-SOAL 11

1. Diberikan persamaan: edcba 9738 . Dapatkah anda mensubstitusikan atau

mengganti huruf-huruf yang diberikan itu, dengan menggunakan angka-angka yang

belum digunakan dari 1 sampai 9, agar menjadi pernyataan yang benar?

2. Dapatkah Anda menemukan pembagian dan perkalian suatu bilangan, sehingga

bilangan-bilangan 1 sampai dengan 9 hanya muncul sekali, baik di kedua ruas atau

sebuah ruas saja?

3. Dapatkah Anda menemukan pola bilangan berikut ini!

313 1535

824 2446

4. Tanpa melakukan pembagian langsung, apakah bilangan 250.673.976 habis dibagi

8 ?

5. Carilah bilangan-bilangan pengganti huruf-huruf ,,,,, edcba dan f pada bintang-

bintang ajaib, sehingga jumlah bilangan-bilangan pada setiap garis adalah sama.

6. Hitunglah 100020071

100020061...

100031

100021

100011

33333

f

8

e c d

b

14

20

12 a 3

7


7. Berapakah jumlah digit bilangan 20032002 52 ?

8. Hitunglah nilai dari 98019800

1...

43

1

32

1

21

1

9. Jika x dan y adalah bilangan real sedemikian, sehingga 443 23 xyx dan

83 23 yxy , carilah nilai dari 22 yx .

10. Ada dua buah kubus besar dan kubus kecil. Selisih panjang rusuknya adalah 3 cm

dan jumlah volumenya adalah 2.457 liter. Berapa panjang rusuk kedua kubus itu?

11. Sebuah kubus hampa mempunyai panjang sisi 8 cm, setengahnya terisi air. Sebuah

kubus pejal dengan panjang sisi 4 cm ditempatkan di dalam kubus hampa itu.

Berapakah kenaikan tinggi air dalam kubus itu.

12. Desain bendera suatu negara diperlihatkan pada diagram di bawah. Ukuran bendera

itu adalah panjang = 100 cm dan lebar 60 cm. Ketiga gambar pada bendera itu

memiliki rasio luas yang sama. Carilah diameter lingkaran itu.

13. Titik T terletak di dalam ABC.

TP AB, TQ BC, TR AC .

Buktikan bahwa 222 CRBQAP 222 RAQCPB

A B

C

T

P

Q R


SOLUSI SOAL-SOAL 11

1. 629174358

Jadi, 5a , 1b , 4c , 2d , dan 6e .

2. a. 15948

632.7 (pada kedua ruas muncul angka 1 sampai 9 hanya sekali)

b. 9742.583.16678.253.149 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

c. 632.547.8916195.287.34 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

d. 351.249.8768153.749.62 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

3. 313 214121212 22

824 819131313 22

1535 15116141414 22

2446 24125151515 22

1111 222 mmmm

4. Bilangan-bilangan yang habis dibagi:

a. Jika suatu bilangan berakhir dengan digit genap, maka bilangan itu habis dibagi

2.

b. Jika suatu bilangan jumlah digitnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis

dibagi 3.

c. Jika suatu bilangan dua digit terakhirnya habis dibagi 4, maka bilangan itu

habis dibagi 4.

d. Jika suatu bilangan digit akhirnya 0 atau 5, maka bilangan itu habis dibagi 5.

e. Jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3, maka bilangan itu habis dibagi 6.


f. Jika suatu bilangan tiga digit terakhirnya habis dibagi 8, maka bilangan itu

habis dibagi 8.

Oleh karena bilangan 250.673.976, dengan tiga digit terakhirnya 976 habis dibagi

8, yaitu 122, maka bilangan 250.673.976 pasti habis dibagi 8, yaitu 31.334.247.

5. 2820314123 adda

781431214 baeeba

14123 afedc

29722 afbaa

22 baf

fba 12714123

221929 baba

1222 ab

6 ab

Andaikan jumlah bilangan pada setiap garis = 40, maka:

114014123 aa

5611 b

9211 d

137511 e

1622511 f

6.

100020071

100020061...

100031

100021

100011

33333

100020071

100020061...

1000101...

100031

100021

100011

333333

100020071

100020061...

100010001...

100031

100021

100011

33333

100020071

100020061...11...

1000271

100081

100011

33

100020071

100020061...0...

1000271

100081

100011

33

0

16

8

13 2 9

5

14

20

12 11 3

7


7. 20032002 52 552 20022002 5)52( 2002 2002105

Jadi, jumlah digit bilangan 20032002 52 adalah 2003 digit.

8. 98019800

1...

43

1

32

1

21

1

98019800

98019800...

43

43

32

32

21

21

98019800...433221

98011

991

= 98

9. 443 23 xyx

2223 443 xyx

193696 42246 yxyxx ………(1)

83 23 yxy

2223 83 yxy

6496 24426 yxyxy …………...(2)

Penjumlahan persamaan (1) dan (2) menghasilkan:

20009966 2442422466 yxyxyxyxyx

200033 642246 yyxyxx

2000322 yx

322 2000 yx 3 210

Jadi, nilai dari 22 yx adalah 3 210 .


10. Misalnya panjang rusuk kubus yang besar adalah (x + 3) dm, maka panjang rusuk

kubus yang kecil adalah x dm, sehingga:

457.2)3( 33 xx

457.227279 323 xxxx

0430.22792 23 xxx

0430.22792 23 xxx

0)270272)(9( 2 xxx

9x

Jadi, panjang rusuk kubus besar 12 dm dan panjang rusuk kubus kecil 9 dm.

11. Volume kubus pejal = 64444 cm3.

Luas permukaan alas kubus = 6488 cm2.

Jadi, kenaikan tinggi air dalam kubus itu 164

64 cm

12. Luas bendera 600060100 cm2.

Luas lingkaran 3

6000

20004

2

d

20004d

14,3

8000

14,3

8000 5,50 cm

Jadi, diameter lingkaran itu adalah 50,5 cm.

13. Perhatikan CRT dan CQT.


222 CRTRCT …………….(1)

222 QCTQCT …………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

22 CRTR 22 QCTQ ……..(3) A B

C

T

P

Q


Perhatikan ART dan APT.


222 TPAPAT …………….(4)

222 TRRAAT …………….(5)


22 TPAP 22 TRRA ……..(6)

Perhatikan BPT dan BQT.


222 BQTQBT …………..(7)

222 PBTPBT …………...(8)


22 BQTQ22 PBTP ……..(9)

Jumlah dari persamaan (3), (6), dan (9) diperoleh:

22 CRTR 22 TPAP 22 BQTQ 22 QCTQ + 22 TRRA + 22 PBTP

222 CRBQAP 222 RAQCPB (qed)


SOAL-SOAL 12

1. Dapatkah Anda menemukan pola bilangan berikut ini!

1231412 22 34791634 22

2354923 22 459162545 22

2. Sebuah kombinasi angka yang terdiri dari tiga angka, yaitu 9, 5, dan x . Apabila

angka-angka itu dibalik dan mengurangi angka semula, maka hasilnya akan

memuat angka-angka yang sama tetapi dalam urutan yang berlainan. Temukan

angka x ?

3. a) Dengan bilangan berapa 59 harus dikalikan agar diperoleh 5959 ?

b) Dengan bilangan berapa 43 harus dikalikan agar diperoleh 434343 ?

c) Carilah empat bilangan prima yang hasilkalinya dengan sebarang bilangan

berangka ab menghasilkan bilangan berangka enam ababab.

d) Selidiki pengaruh hasil kali 13710173 terhadap bilangan berangka dua ab.

4. Isikan bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 ke dalam lingkaran-lingkaran

dengan suatu cara tertentu, sehingga jumlah ke empat bilangan itu pada masing-

masing sepanjang sisinya adalah 21. Carilah nilai x , kemudian isilah lingkaran-

lingkaran itu!

5. Angka-angka 1 sampai 9 dapat diisikan ke dalam lingkaran-lingkaran kosong pada

segitiga dalam berbagai cara, sehingga jumlahnya sepanjang sisi sama. Tetapi

x

Jumlah 21

Jumlah 21

Jumlah 21


sekarang dapatkah anda menemukan susunan semacam itu dengan sifat selain

jumlah sepanjang sisinya sama, juga jumlah kuadrat sepanjang sisinya sama?

6. Hitunglah 39999963999994 dan 999899999898 .

7. Sederhanakanlah 521028521028 .

8. Berapakah hasil perkalian

2222 2007

11...

4

11

3

11

2

11 ?

9. Nilai-nilai a, b, dan c memenuhi sistem persamaan

7

13

12

1

ca

accb

bcba

ab

.

Tentukanlah nilai dari bca )( .

10. Tentukan semua bilangan tiga angka, sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali

jumlah ketiga angka itu.

11. Pada seperempat lingkaran dibuat sebuah lingkaran yang menyinggung batas-batas

seperempat lingkaran itu. Tentukan persentase luas lingkaran di dalam seperempat

lingkaran besar itu!

2

1 3 6 7

9

5

4

8



a. Buktikan bahwa 222 cba (Dalil Pythagoras)

b. Jika luas trapezium ABCD = 18 cm2 dan ba 2 , hitunglah panjang c.

13. Titik T terletak di dalam ABC.

CF AB, TP AB, TQ BC, TR AC .

Jika ABC adalah segitiga sama sisi, buktikan

bahwa CF = TP + TQ + TR.

A B

C

D

E a

a b

c c

b

A B

C

T

F P

Q R


SOLUSI SOAL-SOAL 12

1. Misalnya bilangan pertama m dan bilangan kedua n , maka dapat dinyatakan

bahwa:

nmnmnmnmnm 122 .

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola bilangan itu memenuhi hubungan

1 nm , sehingga nmnm 22 .

2. Bilangan x95 sama artinya dengan x 1051009 .

Bilangan x95 dibalik menjadi 59x yang sama artinya dengan 9105100 x .

x 50900 )950100( x 590100 x

796199 x

4x

Jadi, 4x .

3. a) 59 101 = 5959

b) 43 1001 = 434343

c) Faktor dari 10101 = 3 7 13 37

abababab 371373

Jadi, empat bilangan prima yang diminta adalah 3, 7, 13, dan 37.

d) Hasil kali dari 73 101 137 = 1010101

Jadi, abababababab 101010113710173

4. Misalnya angka-angka dari lingkaran tengah x ke atas adalah a, b, dan c; angka-

angka dari lingkaran tengah x ke kiri bawah adalah d, e, dan f; dan angka-angka

dari lingkaran tengah x ke kanan bawah adalah g, h, dan i; maka

10...321 ihgfedcbax = 55)101(1021

63212121)()()( ihgxfedxcbax

63)(2 ihgfedcbaxx

63552 x


82 x

4x

Dengan demikian, angka yang diletakkan pada lingkaran paling tengah adalah 4

dan angka- angka yang lainnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

5. 2 + 7 + 3 + 8 = 20

2 + 9 + 4 + 5 = 20

5 + 1 + 6 + 8 = 20

1268372 2222

1265492 2222

1268615 2222

6. 39999963999994 )44000000)(64000000(

244000000)46(1016 12

00241599996000

999899999898 )1011000000(1021000000(

103022030000000001000000000

029996970103

7. Misalnya 521028521028 x , dengan x > 0, maka

521028521046425210282 x

2

10

5

4

3

6 8

1 7

9

Jumlah 21

Jumlah 21

Jumlah 21

2

5 8 1 6

9

4

7

3


5264162 x

154162 x

54122 x

5412 x

20212 x

210 x

Jadi, bentuk sederhana dari 521028521028 adalah 210 .

8.

2222 2007

11...

4

11

3

11

2

11

=

2007

11

2007

11...

4

11

4

11

3

11

3

11

2

11

2

11

=

2007

2008

2007

2006...

4

5

4

3

3

4

3

2

2

3

2

1 1 2008

2 2007

1004

2007

9. 2

1

ba

ab

2

ab

ba

211

ba……..(1)

Jumlah persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:

12222

cba

6111

cba………………(4)

Substitusikan 211

ba, 3

11

cb, dan 7

11

caberturut-turut ke persamaan

(4), maka diperoleh:

3

1

cb

bc

3

bc

cb

311

cb……..(2)

7

1

ca

ac

7

ac

ca

711

ca……..(3)


211

ba 6

12

c

4

1c

311

cb 63

1

a

3

1a

711

ca 67

1

b 1b

1

4

1

3

1)(

bca 12

12

11

Jadi, nilai bca )( adalah 12.

10. Misalnya bilangan tiga angka itu adalah abc, maka

)(3010100 cbacba

cbacba 30303010100

0292070 cba ………………………(1)

Kita asumsikan 0c , maka persamaan (1) menjadi:

0)0(292070 ba

02070 ba

027 ba ……………………………….(2)

Persamaan (2) dipenuhi oleh a = 2 dan b = 7.

Jadi, bilangan tiga angka yang diminta adalah 270.

11. 222 ABOBOA

222)( rrrR

222 22 rrRrR

02 22 rRrR

12

442 22

rrrR

12

222

rrR

2rrR

r

r r

r O

A

B

R


Nilai yang memenuhi adalah 21 rR atau 12 Rr

%100

12%100

2

22

2

2

R

R

R

r %100223

Persentase luas lingkaran di dalam seperempat lingkaran besar itu

adalah %100223 .

12. a. Luas trapesium ABCD = luas AED + luas BEC + luas DEC

))((2

1baba 2

2

1

2

1

2

1cabab

222 22 cabbaba

222 cba

b. Luas trapesium ABCD = ))((2

1baba

18 = )2)(2(2

1bbbb

36 = 9b2

b2

= 4

24 b cm

ba 2 = 2(2) = 4 cm

2024 22222 bac

5220 c cm

Jadi, panjang c adalah 52 cm.

13. Luas ABC = luas ABT + luas BTC + luas ATC

AFAB2

1TPAB

2

1TQBC

2

1TRAC

2

1

Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka

AB = BC = AC = k, sehingga

AFk TPk TQk TRk

AF = TP + TQ + TR (qed)

A B

C

D

E a

a b

c c

b

A B

C

T

F P

Q R


SOAL-SOAL 13

1. Seorang guru menulis persegi ajaib 33 menggunakan angka-angka sampai

dengan 9 pada papan tulis. Seseorang telah menghapus, kecuali dua buah

bilangan. Lengkapilah persegi ajaib itu.

2. Carilah pengganti huruf-huruf ,,,, dcba dan e dari 1 sampai dengan 8, sehingga

jumlah bilangan sepanjang setiap sisi sama dengan bilangan yang tercantum di

dalam pusat siku empat ajaib.

3. Diberikan

1

1

1

1

17

30

dc

b

a , dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat.

Carilah nilai dari dcba .

8

7

6 6

4 d

5

a b

7

c

12

3 7 d

e

5 a

c

b

14

d c 7

4

a 1

b

6

15

(2) (1) (3)


4. Diberikan tiga bilangan bulat positif a, b, c sedemikian, sehingga a

c

c

b

b

a .

Carilah cba

cba

.

5. Buktikan bahwa nnn2

1

2

1...321 2

6. Carilah nilai dari

2222

11...

4

11

3

11

2

11

n.

7. Carilah bilangan bulat terbesar x untuk x32320 ?

8. Diberikan 3 bilangan real p, q, dan r yang memenuhi sistem persamaan

qpr

pqr

rpq

.

Jika A menyatakan himpunan penyelesaian dari system persamaan itu, carilah

banyak anggota himpunan A.

9. Pada gambar ditunjukkan sebuah benda pejal yang dibangun dari kubus-kubus

dengan sisi 1 dm. Carilah luas permukaan dan volume bangun itu.

10. Diketahui keliling segitiga ABC siku-siku di C adalah 24 cm. Panjang sisi-sisinya

merupakan 3 buah bilangan yang berurutan, dengan selisih antara dua bilangan

yang berurtan adalah sama. Hitunglah luas segitiga itu.


11. Diameter setengah lingkaran yang besar sama 2 satuan. Carilah jari-jari lingkaran

yang kecil.

12. Pada gambar berikut ini AB // CD, BC // DE, A = 25o, E = 55

oA = w.

Hitunglah nilai w.


Panjang AD = AE = 6 cm, AB = 10 cm,

BAD = 30o, dan CDE = 15

o.

a. Buktikan bahwa B = C.

b. Hitunglah panjang CE.

A B

C D

E

F

25o

wo

55o

30o

15o

6 cm

10 cm A

E D

B

C


SOLUSI SOAL-SOAL 13

1. Dalam persegi ajaib, jumlah bilangan pada baris, kolom, dan diagonal masing-

masing adalah sama.

Karena pesegi ajaib 33 , hanya diisi oleh angka-angka dari 1 sampai dengan 9,

maka jumlah semua sel adalah 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45. Dengan demikian, jumlah

bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal masing-masing = 45 : 3 = 15.

Selengkapnya persegi ajaib 33 disajikan pada diagram di samping.

2. (1) 11265 aa

21246 dd

31227127 ccdc

8123112 bbcba

Jadi, nilai ,3,8,1 cba dan 2d

(2) 61435 ee

41473 dd

1

455

ac

cbbadcbba

Untuk 2111 ca

81415145 bbba


(3) 81561 aa

31548154 ddda

21576 bb

51573157 cccd


1 8 6

5 3 7

9 4 2

6 4 2

5

1 8

7

3

12 (1)

3 7 4

6

5 1

2

8

14 (2)

3 5 7

4

8 1

2

6

15 (3)


3.

13

17

11

17

30

4

13

11

11

4

13

11

11

1a , 1b , 3c , dan 41d atau 3d

dcba 83311

Jadi, nilai dari dcba adalah 8.

4. Deret n ...321 adalah deret aritmetika (deret bilangan asli), dengan a = 1, b

= 2 – 1, dan nun .

nnnn

uan

S nn2

1

2

11

22

2 (qed)

5. Karena a

c

c

b

b

a , maka

c

b

b

a 2bac

c

ba

2

a

c

c

b 2cab

22

cbc

b 33 cb cb

a

c

b

a 2abc 222 acb cba

cba

cba

3

3

a

a

aaa

aaa

6.

2222

11...

4

11

3

11

2

11

n

n

n

n

n 11...

4

5

4

3

3

4

3

2

2

3

2

1

n

n

2

1

7. x32320 x520 23

x234


812 x

Karena x adalah bilangan bulat, maka nilai x yang paling mendekati yang

merupakan bilangan bulat terbesar adalah 6.

8. Dengan mengalikan ketiga persamaan yang diberikan, kita memperoleh:

pqrpqr 2)(

0)( 2 pqrpqr

0)1( pqrpqr

0pqr atau 1pqr

Untuk 0pqr , kita memperoleh p = 0, q = 0, r = 0.

Substitusikan pq = r, qr = p, dan pr = q berturut-turut ke persamaan pqr = 1, maka

diperoleh:

pq = r pqr = 1

r2 = 1

1r

Solusi dari sistem persamaan itu dapat disajikan pada table berikut ini.

p 0 1 1 1 1

q 0 1 1 1 1

r 0 1 1 1 1

A = {(0,0,0), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)}

Bilangan cardinal himpunan A adalah n(A) = 6.

Jadi, banyak anggota himpunan A adalah 6 buah.

9. Permukaan kubus yang terlihat sebanyak 10 buah.

Luas permukaannya = )11(610 = 60 dm2

Banyak kubus = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 buah.

Vulume bangun itu = 20 (1 1 1) = 20 liter.

qr = p pqr = 1

p2 = 1

1p

pr = q pqr = 1

q2 = 1

1q


10. Strategi Biasa:

Keliling: 24 cba

bca 24 ………..….(1)

Sisi-sisinya berurutan dengan beda sama: a, b, c, maka

bcab

cab 2 ………………………….(2)


bb 242

243 b

83:24 b

8b 16 ca …………..…….(3)

222 bac

222 acb

))((2 acacb …………………(4)


)2)((2 bacb

bbbac2

12:2

4)8(2

1 ac

ac 4 ………………………….(5)


ac 4 16 ca

164 aa

122 a

62:12 a

6a 10644 ac

Luas ABC = BCAC 2

1 2468

2

1 cm

2.

B

A

C

b

a

c


Strategi Cerdas:

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku merupakan bilangan yang berurutan dengan beda

antara dua sisi yang berurutan itu sama, maka rasio sisi-sisinya adalah 3k : 4k : 5k

atau 3 : 4 : 5.

Untuk soal di atas, kita mengerjakannya sebagai berikut.

ka 3 , kb 4 , dan kc 5

24 cba

24543 kkk

2412 k

2k

6)2(3 a , 8)2(4 b , dan 10)2(5 c

Luas ABC = ba2

12486

2

1 cm

2.

11. 15002

1 xyL

3000xy

Menurut Dalil Pythagoras: 722585222 yx

72252)( 2 xyyx

7225)3000(2)( 2 yx

1225)( 2 yx

35 yx

Jadi, kelilingnya = 120853585 yx

10. 222 )()( RrarR

222 )22()( RrrRrR

22222 442 RrRrRrRrR

064 2 RrR

0)32( rRR

85

x

y

R

R r

R

r

a


R = 0 (ditolak) atau Rr3

2 (diterima)

Rr3

2 )1(

3

2

3

2

Jadi, jari-jari lingkaran yang kecil adalah 3

2 satuan.

12. AFC = DEF = 55o (sudut sehadap)

CFE = 180o 55

o = 125

o

AFB = CFE = 125

o

ABF = 180

o – (

BAF + AFB)

= 180o – (25

o + 125

o)

= 30o

DCF = ABF = 30

o

CDE = 360

o – (

DCF + CFE + DEF)

wo = 360

o – (30

o + 125

o + 55

o)

wo = 150

o

Jadi, nilai w adalah 150.

13. a. Misalnya sudut B = x dan C = y, maka

DEC = 180o – y – 15

o

DEA = 180o – (180

o – y – 15

o)

= y + 15o

ADB = 180o – x – 30

o

ADC = 180o – (180

o – x – 30

o)

= x + 30o

ADE = x + 30o – 15

o

= x + 15o

Karena ADE adalah sama kaki, dengan AD = AE, maka haruslah:

ADE = DEA

x + 15o = y + 15

o

55o

A B

C D

E

F

25o

wo

55o

55o

30o

15o

9 cm

15 cm A

E D

B

C

x

y x + 15o

y + 15o


x = y

Jadi, terbukti bahwa B = C.

b. Akibat B = C, maka ABC sama kaki, sehingga:

AB = AC

AB = AE + CE

15 = 9 + CE

CE = 6 cm

Jadi, panjang CE adalah 6 cm.


SOAL-SOAL 14

1. Berapa banyak angka 0 (angka nol) yang digunakan untuk menuliskan semua

bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000?

2. Carilah sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor dan hasil kali 8

faktor itu adalah 331776.

3. Suatu kelas mempunyai 45 siswa. Dalam tes matematika yang terdiri dari 4

pertanyaan,

38 siswa menjawab 1 pertanyaan dengan benar,

35 siswa menjawab 2 pertanyaan dengan benar,

31 siswa menjawab 3 pertanyaan dengan benar, dan

42 siswa menjawab 4 pertanyaan dengan benar.

Sekurang-kurangnya berapa banyak siswa yang menjawab 4 pertanyaan dengan

benar?

4. Laras pergi ke tempat kursus setiap 3 hari sekali, Yuda setiap 2 hari sekali, dan

Dinda setiap 4 hari sekali. Pada tanggal 6 Maret 2006 ketiganya datang bersama-

sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga

kalinya?

5. Carilah bilangan yang terdiri dari 4 angka dan berbentuk kuadrat sempurna yang

memenuhi syarat:

a. angka ribuan = angka puluhan.

b. angka ratusan = 4 lebihnya dari angka satuan.

6. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli n: 2)12(...531 nn .


7. Buktikanlah bahwa !2006

2005

!2005

2004...

!5

4

!4

3

!3

2

!2

1

!2006

1!2006 .

Catatan:

Notasi n! dibaca n faktorial. Didefinisikan bahwa n! = 1 2 3 … (n 1) n.

Di samping itu didefinisikan pula bahwa 0! = 1 dan 1! = 1. Sebagai ilustrasi:

a. 2! = 1 2 = 2 d. 5! = 1 2 3 4 5 = 120

b. 3! = 1 2 3 = 6 e. 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720, dan sebagainya.

c. 4! = 1 2 3 4 = 24

8. Diketahui ABC siku-siku di C, dengan AC = 8 cm dan BC = 6 cm. CD adalah

garis tinggi pada sisi AB. Hitunglah AB, CD, AD, dan BD.

9. Jika BC = 30 cm, AB = 20 cm, dan ED = 40 cm, carilah AC, AE, dan AD.

10. Diberikan persegi panjang ABCD, dengan AB = 16 cm dan BC = 12 cm. Titik-titik

P, Q, R, S, E, F, G, dan H adalah titik tengah pada segmen garis (lihat gambar).

Carilah luas EFGH.

A B

C D

P

Q

R

S

E

F G

H

A

B

C

D E


11. Diberikan segitiga ABC, dengan D dan F masing-masing adalah titik tengah dari

sisi-sisi AC dan BC. Garis AF dan BD berpotongan di titik E. Carilah rasio luas

segitiga ABE dan luas segi-4 DEFC.


Garis m // garis n.

Buktikan bahwa o360 cba

13. Perhatikan gambar berikut ini. Hitunglah besar sudut x.

x

3x

m

n 4x

A

B

C

a b

m

n c

A

B

C


SOLUSI SOAL-SOAL 14

1. Misalnya bilangan itu adalah abba )4( dan 0a .

babaabba 10)4(1001000)4(

baba 104001001000

4001011010 ba

400)10(101 ba

Misalnya 400)10(1012 bak , maka

101

40010

2

kba

101

)20)(20(

kk

Dalam kasus ini 20k atau 20k harus dibagi 101, dan nilai k terletak antara 32

dan 99.

Ternyata nilai k yang memenuhi adalah 81k .

Jadi, bilangan yang diminta adalah 6561812 .

2. Deret )12(...531 n adalah deret aritmetika (deret bilangan ganjil), dengan

a = 1, b = 3 – 1 = 2, dan 12 nun

212122

nnn

uan

S nn (qed)

3. Perhatikan bagan berikut ini.

Bilangan Banyak angka 0

1 – 99 9

100 – 199 20

200 – 299 20

300 – 399 20

900 – 999 20

1000 3

20 9 = 180

Total bilangan = 192


Jadi, banyak angka 0 (angka nol) yang digunakan untuk menuliskan semua bilangan

bulat dari 1 sampai dengan 1000 adalah 192 buah.

4. Misalnya 8 buah faktor bilangan bulat positif itu adalah ,1a ,2a ,3a …, 8a , dengan

11 a , na 8 , dan 54637281 aaaaaaaa , maka

3317764

81 aa

3317764n

4 331776n = 24

Jadi, sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor adalah 24.

5. 45 – (7 + 10 + 14 + 3) = 45 – 34 = 11.

Jadi, sekurang-kurangnya banyak siswa yang menjawab 4 pertanyaan dengan benar

adalah 11 orang.

6. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,

36, 39, …

Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,

24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, …

Fitri pergi ke sanggar setiap 4 hari sekali: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

Jadi, mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga kalinya adalah setelah 36 hari.

Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 4, yaitu 3 22 = 12

mereka akan bersama-sama kembali yang ketiga kalinya setelah = 3 12 = 36

hari.

7. !2006

2005

!2005

2004...

!5

4

!4

3

!3

2

!2

1

!2006

1

!2005

1

!2005

1

!2004

1...

!4

1

!3

1

!3

1

!2

1

!2

11

!2006

1

!2005

1

!2005

1

!2004

1...

!4

1

!3

1

!3

1

!2

1

!2

11

!2006

11

!2006

1!2006 (qed)



1068 2222 BCACAB cm

Luas ABC = CDABBCAC 2

1

2

1

AB

BCACCD

8,4

10

68

cm

4,696,408,48 2222 CDACAD cm

6,396,128,46 2222 CDBCBD cm

Kita boleh menghitung BD sebagai berikut.

6,34,610 ADABBD cm


13102030 2222 ABBCAC cm

ED

AB

AC

AE

ACED

ABAE 1351310

40

20 cm

BC

ED

AB

AD

ABBC

EDAD

3

8020

30

40 cm


20816 22 AC cm

1068 22 PSRSQRPQ

10 HFPQ cm

5 AHCF cm

Perhatikan bahwa PBQ dan HEF adalah

kongruen, maka

Luas EFGH = 2 luas HEF = 48682

12 cm

2

A B

C D

P

Q

R

S

E

F G

H

8 8

6

6

A

B

C

D

8 cm

6 cm


11. Luas ABD sama dengan luas CBD, kerena

mempunyai alas yang sama panjang dan tinggi

yang sama pula (D adalah titik tengan pada sisi

AC). Demikian pula luas ABF sama dengan

luas ACF, karena mempunyai alas yang sama

panjang dan tinggi yang sama pula (F adalah

titik tengah pada sisi BC). Dengan demikian,

Luas ABD = luas CBD = 2

1ABC

Luas ABF = luas ACF = 2

1ABC

Gabungan luas daerah ABD dan ABF sama dengan gabungan luas daerah AFC

dan BDC.

Gabungan luas daerah ABD dan ABF dikurangi jumlah luas ADE dan BEF

adalah 2 kali luas ABE sama dengan gabungan daerah AFC dan BDC dikurangi

jumlah luas ADE dan BEF adalah 2 kali luas DEFC.

Jadi, rasio luas segitiga ABE dan luas segi-4 DEFC = 1 : 1.

12. Perhatikan gambar di samping ini. Tarik garis PQ // m // n melalui titik B.

PBA = 180o – a

PBC = 180o – c

b = PBA + PBC

b = 180o – a + 180

o – c

a + b + c = 360o (qed)

13. Berdasarkan rumus yang telah dibuktikan pada soal nomor 11, kita dapat

menentukan besar sudut x sebagai berikut.

180o – x + 3x + 4x = 360

o

6x = 180o

x = 180o : 6 = 30

o

Jadi, besar sudut x adalah 30o.

A

C

B

E F D

a

b

m

n c

A

B P Q

C


SOAL-SOAL 15

1. Bilangan-bilangan 2005 dan 5002 dibagi dengan bilangan prima yang sama yang

terdiri dari dua angka memberikan sisa yang sama. Carilah sisa pembagian itu .

2. Buktikan bahwa angka satuan dari (1) + (1 2) + (1 2 3) + (1 2 3 4) + . .

. + (1 2 3 4 . . . 999 1000) adalah 3.

3. Berapa banyak bilangan bulat antara 1001 dan 9999 yang tepat memiliki 3 angka

identik?

4. Bilangan manakah yang paling kecil yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5

bersisa 1?

5. Buktikan bahwa nnn 22...642 .

6. Buktikan bahwa hasil kali suku-suku barisan geometri a + ar + ar

2 + … + ar

n1

adalah )1(

2n

n

nra .

7. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 6. Jika m menyatakan banyaknya bilangan

yang terdiri dari dua angka yang dapat disusun dari angka-angka itu dan n

menyatakan banyaknya bilangan yang berlainan yang terdiri dari dua angka yang

dapat disusun dari angka-angka itu, carilah nilai m – n.

8. Misalnya 43 a , 54 b , 65 c , 76 d , 87 e , dan 98 f . Berapakah hasilkali

abcdef ?

9. Diketahui ABC siku-siku di C, dengan CD adalah garis tinggi pada sisi AB. Jika

AD = 16 cm dan BD = 9 cm, hitunglah AB, CD, AC, dan BC.


10. Diketahui ABC siku-siku di A. Titik-titik D, E, dan F berturut-turut adalah titik-

titik tengah BC, AC, dan AB. Buktikan bahwa 2225 CFBEAD .

11. Diberikan segi-4 ABCD, dengan AC BD, AP = PB, DQ = CQ, AC = 21 cm, BD =

212 cm. Carilah panjang PQ.

12. Perhatikan gambar berikut ini. Jika a = 20

o, b = 30

o, c = 2x

o, d = 25

o,

e = 24o, f = 36

o, dan g = 22

o. Hitung nilai x.


ABC = 2p, CBE = p, BED = 80o,

CDF = q, CDE = 2q. Hitunglah besar

BCD = 80o,

A

B

C

D

P

Q

E

A

B C

D

E F

G

m

n

a b

c d

e

f g

75o

p 2p

q

2q

A B

C

D

E

F


SOLUSI SOAL-SOAL 15

1. Misalnya bilangan itu adalah a, maka

a

cb

a

2005 b

aa

c

2005…………….(1)

a

cd

a

5002 d

aa

c

5002……………..(2)


da

ba

50022005

adab 50022005

20055002 abad

2997)( bda

3781)( bda

Bilangan prima yang terdiri dari dua angka adalah 37.

2. (1) + (1 2 ) + (1 2 3) + (1 2 3 4) + . . . + (1 2 3 . . . 999

1000)

Perhatikan 4 suku pertama:

Suku ke-1: 1 = 1 (angka satuan 1)

Suku ke-2: 1 2 = 2 (angka satuan 2)

Suku ke-3: 1 2 3 = 6 (angka satuan 6)

Suku ke-4: 1 2 3 4 = 24 (angka satuan 4)

Untuk 4 suku pertama dapat ditentukan angka satuannya sebagai berikut.

1 + 2 + 6 + 24 = 33, berari angka satuannya 3.

Perhatikan suku-suku ke-5, ke-6, dan seterusnya.

Suku ke-5: 1 2 3 4 5 = 120 (angka satuan 0)

Suku ke-6: 1 2 3 4 5 6 = 720 (angka satuan 0)

Suku ke-1000: 1 2 3 . . . 999 1000 (angka satuan 0)


Dari semua suku itu dapat ditentukan angka satuannya sebagai berikut.

1 + 2 + 6 + 24 + 0 + 0 + … + 0 = 33 (angka satuan 3)

Jadi, terbukti, bahwa angka satuan dari (1) + (1 2) + (1 2 3) + (1 2 3 4) +

. . . + (1 2 3 4 . . . 999 1000) adalah 3.

3. Perhatikan bagan berikut ini.

Jadi, banyak bilangan bulat antara 1001 dan 9999 yang tepat memiliki 3 angka

identik = 8 + 8 9 + 27 9 = 8 + 9(8 + 27) = 8 + 9 35 = 8 + 315 = 323.

4. Misalnya bilangan itu adalah a.

Bilangan a dibagi 7 bersisa 2, maka a = 7 b + 2

Bilangan a dibagi 5 bersisa 1, sehingga a = 5 c + 1

Untuk a = 7 b + 2, diperoleh bilangan-bilangannya: 9, 16, 23, 30, 37, 44, ...

Untuk a = 5 c + 1, diperoleh bilangan-bilangannya: 6, 11, 16, 21, 26, 31, ...

Dari kedua barisan bilangan itu diperoleh persekutuannya adalah 16, sehingga

2000

3000

4000

9000

8

1222 2111 .. 9111

1333 2333 .. 9222

1444 2444 .. 9333

1999 2999 .. 9888

8 9

1011 1101 .. 1110

1211 1121 .. 1112

1311 1131 .. 1113

1911 1191 .. 1119

9 3 9 = 27 9


27

16 sisa 2 dan 3

5

16 sisa 1.

Jadi, bilangan yang paling kecil yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5 bersisa

1 adalah 16.

5. Deret n2...642 adalah deret aritmetika (deret bilangan ganjil), dengan a =

2, b = 4 – 2 = 2, dan nun 2

nnnn

uan

S nn 22222

(qed)

6. a ar ar2 … ar

n1 = )1(...321 nn aa

= )11(

2

1

n

n

n aa

= )1(

2n

n

nra (qed)

7. Buatlah dua buah kotak:

Kotak pertama dapat diisi oleh 5 angka dan kotak kedua dapat diisi oleh 5 angka.

2555 m

Buatlah dua buah kotak:

Perhatikan kotak pertama dapat diisi oleh 5 angka dan kotak kedua dapat diisi oleh 4

angka.

2045 n

52025 nm

Jadi, nilai m – n adalah 5.

8. 535354

43

abba

b

a

636365

53

abccab

c

ab

5 4

5 5


737376

63

abcddabc

d

abc

837387

73

abcdeeabcd

e

abcd

9398

83

fabcde

f

abcde

93 abcdef

233 abcdef

2 abcdef

Jadi, hasilkali abcdef adalah 2.

9. Perhatikan gambar di samping ini.

25916 BDADAB cm

BDADCD 2

12916 CD

ABADAC 2

202516 AC cm

ABBDBC 2

15259 BC cm

Catatan:

BDADCD 2 , ABADAC 2 , dan ABBDBC 2 dinamakan Relasi Euclid.


A

B

C

D

16 cm

9 cm

A

B C D

E F

2

a

2

a

2

c

2

c

2

b

2

b


Menurut Dalil Pythagoras dalam ABE dan AFC:

22

2

4BE

bc ……………..….(1)

2

22

4CF

cb ………………..(2)

Jumlah persamaan (1) dan (2) adalah

2222

4

5CFBEcb ………(3)

Sekarang kita menggunakan Dalil Pythagoras dalam ABC:

222 acb ……………………(4)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3), diperoleh:

222

4

5CFBEa …………….(5)

Kita mengetahui bahwa panjang garis berat pada sisi miring adalah adalah setengah

panjang sisi miringnya.

2

aAD

ADa 2 ……………………….(6)

Substitusikan persamaan (6) ke persamaan (5), diperoleh

222)2(4

5CFBEAD

2225 CFBEAD (qed)


A

B

C

D

P

Q

E

R


Gambarkan garis PR sejajar dengan AC dan garis QR sejajar dengan BD, sehingga

kedua garis ini berpotongan tegak lurus di titik R.

Dalam BCD diketahui bahwa DQ = CQ

dan QR // BD, maka CR = BR.

Sehingga 262

212

2

BDQR cm

Dalam ABC, diketahui bahwa AP = BP, maka BR = CR.

Sehingga 5,102

21

2

ACPR cm

Dalam PQR berlaku Dalil Pythagoras:

5,132

27

4

72926

2

21 22

22

QRPRPQ cm

Jadi, panjang PQ adalah 13,5 cm.

12. Jumlah sudut-sudut berlawanannya adalah sama. a + c + e + g = b + d + f

20o + 2x

o + 24

o + 22

o = 30

o + 36

o + 22

o

2xo + 66

o = 88

o

2xo = 22

o

x = 11

13. ABC + CBE + CDE + CDF = BED

2p + p + 2q + q = 75o

p + q = 25o

BCD = ABC + FDC

= 2p + 2q

= 2(25o)

= 50o


UJI PRESTASI 1

SOAL TIPE 1

Waktu 90 menit

PILIHAN GANDA

1. ....4444 4444

a. 27 b. 2

10 c. 1034 d. 5

4 e.512

2. Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah….

a. 14 b. 210 c. 420 d. 7 e. 1260

3. Joko tidur dari pukul 9.20 tadi malam dan bangun pagi harinya pukul 4.35. Ia tidur

selama….

a. 4 jam 45 menit c. 5 jam 45 menit e. 19 jam 15 menit

b. 5 jam 15 menit d. 7 jam 15 menit

4. Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya

menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah….

a. 2,5% b. 5% c. 10% d. 15% e. 2%

5. Jika a dan b adalah bilangan bulat genap, dengan a>b, maka banyaknya bilangan

bulat ganjil di antara a dan b adalah….

a. 2

ba b. ba c.

2

2 ba d. 1ba e. Tidak dapat ditentukan

6. Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD, sehingga titik

sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi ABCD tersebut adalah….

a. 64 cm2 b. 32 cm

2 c. 16 cm

2 d. 8 cm

2 e. 4 cm

2


7. Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B

dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah

berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?

a. 2 jam b. 3 jam c. 4 jam d. 5 jam e. 6 jam

8. Pada gambar di bawah ini, ABCD adalah persegi dan ABE adalah segitiga sama sisi.

Besar susut DAE adalah….

a. 15o b. 30

o c. 45

o d. 60

o e. 75

o

9. Faktorisasi prima dari 5220 adalah ….

a. 14532 22 c. 29532 22 e. 532 52

b. 9532 32 d. 75324

10. Harga sepotong kue turun dari Rp 250,00 menjadi Rp 200,00. Dengan uang Rp

4.000,00, berapa potong kue lebih banyak yang dapat dibeli sekarang?

a. 4 b. 8 c. 20 d. 2 e. 6

.

SOAL TIPE 2

ISIAN SINGKAT

11. Dengan menggunakan angka-angka 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 bilangan 8 angka terbesar

yang dapat dibentuk dengan syarat kedua angka 1 dipisahkan oleh satu angka yang

A B

C D

E


lain, kedua angka 2 dipisahkan oleh dua angka, kedua angka 3 dipisahkan oleh tiga

angka, dan kedua angka 4 dipisahkan oleh empat angka adalah….

12. Hasil kali suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan

ganjil yang terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah….

13. Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan

paling besar jika salah satu bilangannya adalah….


Banyaknya bulatan hitam pada gambar ke sepuluh adalah….

15. Banyaknya segitiga pada gambar berikut adalah….

16. Gambar bangun berikut disusun oleh 5 persegi yang kongruen. Kalau keliling

bangun ini 72 cm, maka luas bangun tersebut adalah….


17. Gambar bangun berikut, ABCD adalah persegi dengan sisi 6 satuan. Titik E dan F

membagi diagonal AC menjadi tiga bagian sama panjang. Luas segitiga DEF = ….

18. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak tersebut

akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu menyedot air 0,7 liter

per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas

bak adalah 10.500 cm2, maka tinggi bak tersebut adalah….

19. Hasil operasi terbesar yang dapat diperoleh dari penempatan angka-angka 4, 6, 7,

dan 8 pada kotak-kotak yang tersusun seperti di bawah ini adalah….

20. Pada sebuah peta dengan skala 1 : 100.000, luas tanah sebuah sekolah adalah 50

cm2. Luas tanah sekolah tersebut pada peta dengan dengan skala 1 : 200.000

adalah….

(Sumber: Olimpiade Matematika Tingkat Kota/Kabupaten 2003)

D

A B

C

E

F


UJI PRESTASI 2

Waktu 120 menit

TIPE PERTAMA

PILIHAN GANDA

1. ....49505050 22

A. 10 B. 100 C. 1.000 D. 10.000 E. 100.000

2. Persegi panjang besar berukuran 9 cm 5 cm. Daerah yang diarsir adalah satu-

satunya bangun di dalam persegi panjang yang bukan persegi. Berapakah luas

daerah tersebut?

A. 1,5 cm2 B. 2 cm

2 C. 3 cm

2 D. 3,5 cm

2 E. 4 cm

2

3. Jika b

ba

1, maka b dinyatakan dalam a adalah….

A. 21 ab C. 2

2

1 a

ab

E.

2

2

1 a

ab

B. 2

21

a

ab

D.

2

21

a

ab

4. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk 2

)1( nn, dengan n adalah

bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah….

A. 8 C. 10 E. 15


B. 9 D. 13

5. Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda

dari bilangan yang dihasilkan?

A. 3 C. 5 E. 8

B. 4 D. 6

6. Persegi pada gambar di bawah ini memiliki luas satu satuan luas. Pecahan yang

menyatakan luas dari daerah yang tidak diarsir adalah….

A. 3

1

B. 5

2

C. 5

3

D. 7

3

E. 8

3

7. Pecahan t

sadalah pecahan sejati, jika ts , dan faktor persekutuan terbesarnya

adalah 1. Jika t memiliki nilai mulai dari 2 sampai dengan 9, dan s bilangan postif,

maka banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat adalah….

A. 26 C. 28 E. 36

B. 27 D. 30

8. 3% dari 81 sama dengan 9% dari ….

A. 27 C. 72 E. 243

B. 54 D. 90

9. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang

terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?


A. 51 C. 100 E. 150

B. 56 D. 101

10. Dengan menggunakan uang koin Rp 50,00; Rp 100,00; dan Rp 200,00; ada berapa

carakah kita menyatakan uang sebesar Rp 2.000,00?

A. 20 C. 95 E. 121

B. 65 D. 106

TIPE KEDUA

ISIAN SINGKAT

1. Pada gambar di samping, garis PQ dan garis RS sejajar, demikian juga garis PS dan

QT sejajar. Nilai x sama dengan….

2. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat, dan Sabtu. Pada hari hari lain

Alex selalu jujur. Di lain pihak Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu,

Senin, dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya

berkata:”Kemarin Saya berbohong”. Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut

adalah hari….

3. Semua n sehingga n dan 1

3

n

nkeduanya merupakan bilangan bulat adalah….

4. Misalnya 1132 10

11...

10

1

10

1

10

1N . Dalam bentuk decimal nilai N adalah ….

83o

xo

41o

P Q

S

T

R


5. Diberikan tempat air berbentuk kerucut (lihat gambar). Untuk mengisi air

sampai pada ketinggian t2

1diperlukan air sebanyak 38,5 liter. Dalam liter, volume

air yang diperlukan untuk memenuhi tempat tersebut adalah….

6. 132 jika dibagi dengan 13 akan memberikan sisa sama dengan….

7. Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola

dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh tiga ekor kambing untuk

menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah …. Hari.

8. Rata-rata sembilan bilangan adalah 6. Satu di antara ke sembilan bilangan dibuang.

Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 2

16 . Bilangan yang dibuang

adalah….

9. Jumlah semua angka pada bilangan 20032004 52 adalah….

10. Perhatikan gambar berikut. Panjang CP adalah….


t

t2

1

3

5

P

160

A B

C D


UJI PRESTASI 3

Waktu 120 menit

SOAL TIPE 1

ISIAN SINGKAT

1. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap

titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan bilangan pada muka-

muka yang berdekatan dengannya. Nilai tertinggi bilangan pada titik sudut adalah ....

2. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....

3. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00 sampai dengan

23:59, dimungkinkan terjadi penampakan bilangan Palindrome (bilangan yang

dibaca dari depan dan dari belakang sama nilainya, misalnya 12:21 dan 23:32).

Dalam satu hari satu malam, banyaknya bilangan Palindrome tersebut

menampakkan diri adalah ....

4. Untuk bilangan bulat a dan b, (a, b) artinya bilangan tak negatif yang merupakan

sisa ba jika dibagi oleh 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh (–3,4) adalah ....

5. Bilangan 10-angka terbesar menggunakan empat angka 1, tiga angka 2, dua angka 3,

dan satu angka 4, sehingga dua angka yang sama tidak terletak bersebelahan adalah

....

9 5

7

1 3

11


6. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, mak

hasil tambah dua bilangan itu adalah ....

7. Bentuk sederhana dari 154154 adalah ....

8. Suatu garis memotong sumbu-x di titik )0,(aA dan memotong sumbu-y di titik

)3,0(B . Jika luas segitiga AOB sama dengan 6 satuan luas dengan titik )0,0(O ,

maka keliling segitiga AOB sama dengan ....

9. Persegi Antimagic ukuran 4 4 adalah susunan persegi panjang dari bilangan-

bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian hingga jumlah dari setiap empat baris,

empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan sepuluh bilangan bulat yang

berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan sebagian dari persegi Antimagic ukuran

4 4. Berapakah nilai dari *?

10. 20042004

1....

44

1

33

1

22

1

11

122322

= ....

TIPE KEDUA

URAIAN

1. Enam belas tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Pertama-tama mereka

dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap

kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali.

Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang

*

13

14

7 3 9

5

10 11 6 4

12


menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan

juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebu

2. Pada gambar di bawah, ABCD adalah persegi dengan panjang 4 cm. Titik-titik P dan

Q membagi diagonal AC menjadi 3 bagian sama panjang. Berapakah luas PDQ?

3. Untuk bilangan real x didefinisikan

0,

0,

xjikax

xjikaxx , cari semua x yang

memenuhi 0322 xx .

4. Sebuah semangka yang beratnya 1 kg mengandung 93% air. Sesudah beberapa lama

dibiarkan di bawah sinar matahari, kandungan air semangka itu turun menjadi 90%.

Berapakah berat semangka sekarang?

5. Untuk bilangan real a dan b sembarang, buktikan bahwa 2)(222 baba .

(Sumber: Olimpiade Matematika Provinsi, 2004)

B

A

C

D

P

Q


UJI PRESTASI 4

Waktu 120 menit

TIPE PERTAMA

PILIHAN GANDA

1. 9,0

036,0 = ....

a. 0,002 c. 0,2 e. 20

b. 0,02 d. 2

2. Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang terletak di antara 15

11 dan

18

13.

a. 15

11 c.

18

15 e.

33

24

b. 15

13 d.

13

11

3. Perhatikan 3 barisan enam bilangan berikut.

(1) 8, 16, 32, 64, 128, dan 259

(2) 7, 11, 16, 22, 29, dan 37

(3) 2, 9, 2, 16, 2, dan 25

Manakah dari 3 barisan tersebut yang mungkin menjadi 6 suku berikutnya dari suatu

barisan bilangan yang tiga suku pertamanya adalah 1, 2, dan 4.

a. (1) c. (3) e. semua

b. (2) d. (1) dan (2)


Jika jarak terdekat titik-titik tersebut secara vertikal maupun horisontal adalah 2

satuan, maka luas daerah persegi pada gambar di atas adalah .... satuan luas.


a. 10 c. 20 e. 50

b. 40 d. 30

5. Uang sebesar Rp. 2000,- dapat dinyatakan dengan beberapa koin 50 rupiahan, 100

rupiahan, 200 rupiahan dan/atau 500 rupiahan. Diketahui ternyata bahwa uang

tersebut terdiri dari tepat dua koin 500 rupiahan, dan dua jenis koin lainnya. Dengan

mengikuti aturan tersebut, banyak cara yang mungkin untuk menyatakan uang

sebesar Rp. 2000,- dengan koin-koin tersebut adalah ....

a. 17 c. 100 e. 5

b. 20 d. 6

6. Sekumpulan data yang terdiri dari 5 bilangan asli memiliki rata-rata hitung 8 dan

rentang (selisih terbesar dan terkecil) 12. Bilangan asli terkecil yang tidak mungkin

menjadi anggota dari kumpulan tersebut adalah ....

a. 1 c. 18 e. 15

b. 20 d. 6

7. Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b, karena untuk a = 13 dan b

= –2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254, dan 1986

yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b?

a. 1983 c. 254 & 1986 e. tak ada

b. 254 d. semua

8. Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang Besar dan Kecil

ditimbang, beratnya adalah 2,6 kg. Jika yang Besar dan Sedang ditimbang, beratnya


adalah 3 kg, dan jika yang Sedang dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2 kg. Berat

ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah ....

a. 4 kg c. 3,8 kg e. 5 kg

b. 4,2 kg d. 4,6 kg

9. Salah satu faktor dari 173 – 5

3 adalah ....

a. 5 b. 13 e. 273

b. 17 c. 399

10. Bilangan yang ditunjukkan oleh 32213221

1

adalah ....

a. Bilangan irrasional positif d. Bilangan irrasional negatif

b. Bilangan rasional tidak bulat e. Bilangan bulat positif

c. Bilangan bulat negatif

TIPE KEDUA

ISIAN SINGKAT

1. 10 pasang suami istri mengikuti suatu pesta. Mereka kemudian saling berjabatan

tangan satu sama lain. Namun demikian, setiap pasang suami istri tidak pernah

saling berjabatan tangan. Maka banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah ....

2. Misalkan a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Kelima lingkaran kecil berjari-jari r. Titik-titik pusat empat lingkaran kecil yang

menyinggung lingkaran besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika a sama

dengan 10 cm2, maka b = ....

b

a


3. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi satu satuan panjang. Misalkan P suatu

titik di dalam sehingga ukuran sudut APB adalah 1200. Jumlah luas daerah segitiga

APB dan segitiga CPD adalah ....

4. Untuk bilangan real a dan b didefinisikan suatu operasi * dengan aturan sebagai

berikut: a * b = (a b) + (a + b) dimana simbol dan + berturut-turut artinya adalah

perkalian dan penjumlahan bilangan biasanya. Tentukan nilai a yang memenuhi

ketentuan a * a = 3.

5. H adalah himpunan semua bilangan asli n demikian sehingga bentuk 3

1

n

n

menghasilkan bilangan bulat kurang dari 1, maka banyaknya himpunan bagian tak

kosong dari H adalah ....

6. Dalam satu tahun harga suatu mobil berkurang 10% dari harga tahun sebelumnya.

Paling sedikit berapa tahun sehingga harga mobil itu kurang dari setengah harga

semula?

7. Setiap kotak Piramid di samping akan diisi dengan bilangan. Mula-mula yang harus

diisi adalah kotak-kotak pada alas piramid. Kotak di atasnya diperoleh dari

menjumlahkan bilangan-bilangan yang ada di dalam dua kotak di bawahnya.

Andaikan dasar piramid hendak diisi dengan bilangan-bilangan 7, 12, 5, 4, dan 9,

berapakah nilai terbesar yang mungkin dari bilangan pada kotak teratas.


8. Bentuk sederhana dari )12005(2005

1....

20

1

12

1

6

1

2

1

adalah .....

9. Sebuah balok memiliki sisi-sisi yang luasnya 24 cm2, 32 cm

2, dan 48 cm

2.

Berapakah jumlah panjang semua rusuk balok tersebut?

10. Pompa air merek Tangguh sanggup memompa sebanyak 25 liter setiap menit.

Pompa merek Perkasa sanggup memompa air 400 cc setiap detik, sedangkan merek

Tahan Banting sanggup memompa 1,6 m3 setiap jam. Pompa manakah yang paling

cepat mengisi sebuah tangki air berkapasitas 500 liter?



DAFTAR PUSTAKA

Australian Mathematics Competition for the Wespac Awards, 2003-1999.

Bobrow, Jerry, 1985, Math Review for Standardized Test, Edisi Pertama,

Nebraska: Lincoln Incorporated.

Bolt Brian, 1989, Himpunan Permainan dan Teka-teki Matematika Yang

Mengasyikkan, Gramedia, Jakarta.

Bolster,L., Carey, 1996, Exploring Mathematics, Illionis: Scott Foresman and

Company.

Ee Teck Ee, 2003, Challenging Exercise on Elementary Mathematics, Web

Publication Pte Ltd, Printed in Singapore.

Haese, 1982, Competition Mathematics, Australia.

Hart, William L., 1968, Intermediate Algebra, Massachusetts: Prindle, Weber &

Schmidt Incorporated.

Hendra Yan, 2000, Tes Potensi Akademik, Gematama, Jakarta.

IMO Preliminary Selection Contest, 1988-1997, Hongkong Mathematical

Society IMO (HK) Committee.

Jurgensen, R.C., et al, 1985, Geometry, Boston: Houghton Mifflin Company.

Kumpulan Paket Pembinaan Calon Peserta IMO, 1996/19997, Depdikbud,

Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah, PPPG Matematika, Yogyakarta.

Lipschutz, Seymor, et. al. Alih Bahasa Silaban P. 1989, Teori Himpunan,

Jakarta: Erlangga.

Martono, K., 1986, Matematika SMTA, Bandung: Angkasa

Mullikin, A.M, 1960, Algebra and Its Use, Jilid I, New York: American Book

Company.

Naskah Seleksi Tim Olimpiade Matematika Indonesia.

Olimpiade Matematika diberbagai Negara (Canada, Afrika Selatan, dsb.)

Paket Pembinaan Untuk Siswa Penggemar Matematika, 2002, Depdiknas,

Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan Menengah, PPPG Matematika, Yogyakarta.


Peter, Gilbert, M at al. 1995, Intermediate Algebra, Los Angeles: West

Publishing Company.

Rayner, David. 1989, Complete Mathematics for GSE and Standard Grade,

Oxford: Oxford University Press.

Scottish Group, 1990, Mathematics in Action, Alih Bahasa Kusrin Imam et al.

Jakarta: Erlangga.

Sembiring S., 2002, Olimpiade Matematika untuk SMU, Bandung, Yrama

Widya.

Silaban Nelson Idris, 1987, Logika dengan Matematika Dasar, Jakarta.

Singapore Mathematical Olympiad for Primary Shcools (1990 to 1994), 1994,

Pan Pacific Publication (s) PTe. Ltd., Singapore, Printed by: MCD Pte. Ltd.

Spiegel, R. Murray, 1989, Matematika Dasar, Alih Bahasa Kasir Iskandar,

Jakarta: Erlangga.

Tampomas Husein, 2003, Matematika Plus SMP (KBK), Jakarta: Yudhistita.

Tampomas Husein, 2003, Siap Menghadapi Olimpiade Matematika SD, Jakarta,

Grasindo.

Tampomas Husein, 1999, Seribu Pena Matematika SMU, Jakarta, Erlangga.

Tim BSDM, Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SD, PT.

Sumber Daya MIPA, Jakarta

Tim Psikolog, 2001, Latihan Psikotes dalam Bentuk Logika Matematika,

Bandung, Pustaka Setia.

Widenes, J., 1968, Aljabar Rendah Jilid I dan II, Jakarta: Pradnja Paramita.

paket latihan 1 luas segitiga sama sisi dan luas juring, dan luas tembereng 1. luas segitiga sama...

Documents