Mata Pelajaran : Matematika (Wajib)Kelas : X (IPA dan IPS)Topik/Bab : TrigonometriMateri : Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-sikuTUGAS :1. Pelajari materi dan contoh-contoh yang ada pada uraian di bawah.2. Kerjakan soal-soal latihan 1, 2, dan 3.3. Pekerjaan ditulis di buku catatan atau buku latihan, kemudian di foto, hasilnya dikirim ke Pak Priyo via WA secara individu (japri).TENTANG MATERIA. DeskripsiDalam materi ini Anda akan mempelajari pengertian sudut dan ukurannya, perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan), perbandingan trigonometri sudut khusus. Namun sebelumnya Anda akan mengingat kembali tentang segitiga (pengertian, rumus-rumus, jenis, Pythagoras) B. PrasyaratPrasyarat untuk mempelajari materi ini Anda harus ingat tentang pengertian, jenis, dan rumus-rumus dalam segitiga. Selain itu Anda juga harus sudah memahami bentuk akar dan pangkat.C. Petunjuk Penggunaan MateriUntuk mempelajari materi ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.1. Untuk mempelajari materi ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.3. Kerjakanlah soal latihan dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal latihan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.D. Tujuan AkhirSetelah mempelajari materi ini diharapkan Anda dapat:1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,2. Menggunakan perbandingan trigonometri.Trigonometri / X 1

UNTUK DIINGATA. Pengertian Segitiga dan Rumus Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang terdiri dari 3 sisi garis lurus dengan 3 titik sudut yang berjumlah . Sejak tahun 300 SM, Euclid menemukan konsep bahwa jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180º. Hal ini memberikan kontribusi yang besar dalam konsep bangun datar, seperti mencari panjang sisi dan ukuran sudut.

B. Rumus SegitigaNama RumusLuas (L)Keliling (K)Tinggi (t)

Alas (a)1. Contoh Soal Mencari Luas dan Keliling Segitiga

Diketahui suatu segitiga dengan panjang sisi alas a=4cm, sisi b=3cm, sisi c=5cm dan t=3cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga tersebut!Jawab:Diketahui : a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm, t = 3 cmDitanya : Keliling dan luas!Penyelesaian:Keliling = a + b + cKeliling = 4 cm + 3 cm + 5 cmKeliling = 12 cmLuas = ½ × a × tLuas = ½ × 4 cm × 3 cmLuas = 6 cm²Jadi, keliling segitiga adalah 12 cm dan luas segitiga 6 cm .²

2. Contoh Soal Mencari Tinggi SegitigaDiketahui suatu segitiga mempunyai luas 18 cm dan sisi alas 4 cm. ²Tentukan tinggi segitiga!Jawab :Trigonometri / X 2

Keterangan:A = alasT = tinggi, tinggi segitiga membentuk sudut 90° terhadap alasnya.b,c= adalah sisi lain segitiga

Diketahui : Luas = 18 cm , ² a = 4 cmDitanya : Tinggi segitiga!Penyelesaian:

Jadi, tinggi segitiga adalah 9 cm.3. Contoh Soal Mencari Alas SegitigaDiketahui suatu segitiga mempunyai luas 16 cm dan tinggi 8 cm. Tentukan ²alas segitiga!Diketahui : Luas = 16 cm , a = 8 cm²Ditanya : Alas segitiga!Penyelesaian:

Jadi, alas segitiga adalah 4 cm.C. Jenis-jenis Segitiga

Jenis-jenis segitiga secara umum dapat diketahui dari panjang sisi dan besar sudutnya,1. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang SisiBerdasarkan Panjang sisinya segitiga dapat dibedakan menjadi 3 yaitu segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sembarang.

1. a. Segitiga Sama Sisi (Equilateral Triangle)Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya mempunyai panjang sama yang menyebabkan ketiga sudutnya mempunyai ukuran 60º.

1. b. Segitiga Sama Kaki (Isosceles Triangle)Trigonometri / X 3

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai 2 sisi sama panjang yang menyebabkan 2 sudutnya memiliki besar yang sama.

1. c. Segitiga Sembarang (scalene triangle)Segitiga sembarang adalah segitiga dengan ketiga panjang sisinya berbeda-beda, sehingga ketiga besar sudutnya juga berbeda-beda.

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Besar SudutnyaBerdasarkan besar sudutnya segitiga dapat dibedakan menjadi 3 yaitu segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul.

2. a. Segitiga Siku-Siku (Right Triangle)Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya membentuk sudut siku-siku (90º). Pada segitiga siku-siku, 2 sisinya akan membentuk sudut 90º. Sisi yang tidak membentuk sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).

2. b. Segitiga Lancip (Acute Triangle)Segitiga lancip adalah segitiga yang masing-masing sudut besarnya kurang dari 90°.

Trigonometri / X 4

2. c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya lebih dari 90°.

D. Rumus Pythagoras Segitiga 1. Pengertian Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah teori matematika yang menyatakan hubungan antara sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku. Dalil atau teorema Pythagoras ditemukan pada abad 6 SM oleh Pythagoras, seorang matematikawan dan filsuf dari Yunani. Dari teorema ini kemudian dibuat rumus Pythagoras pada segitiga.Simon Singh (1998) dalam bukunya mengatakan sebelum lahirnya Pythagoras teorema ini telah ada. Pythagoras merupakan orang pertama yang membuktikan teorema ini secara matematis. Ia dinobatkan sebagai penemu teorema tersebut dan kemudian diberi nama “Teorema Pythagoras”. Pythagoras kemudian dikenal sebagai “Bapak Matematika”.

Berikut 2 pernyataan dari teorema Pythagoras yang kemudian dapat dibuat rumusnya, yaitu:a. Rumus Pythagoras tentang “Segitiga Siku-Siku”Teorema Pythagoras menyatakan:“Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sudut siku-siku, kakinya adalah 2 sisi yang membentuk sudut siku-siku, dan hipotenusa adalah sisi miring yang berhadapan dengan kakinya.”

Secara umum kita hanya menggunakan teorema Pythagoras dari rumus yang dibuat dari teorema tersebut. Berikut rumus Pythagoras:

Trigonometri / X 5

Contoh Soal 1.1 Menghitung Sisi MiringSebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi datar 3 cm dan sisi tegak 4cm. Hitunglah sisi miringnya!Jawab :Diketahui : a = 3 cm, b = 4 cmDitanya : Sisi miring (c)!Penyelesaian:

Jadi, sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm.Contoh Soal 1.2 Menghitung Kaki Segitiga Siku-SikuDiketahui sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi miring 10 cm dan sisi datar 8 cm. Tentukan sisi tegak segitiga siku-siku tersebut!Jawab :Diketahui : c = 10 cm, a = 8 cmDitanya : Sisi tegak segitiga siku-siku!Penyelesaian:

Jadi, sisi tegak segitiga siku-siku adalah 6 cm.b. Rumus Pythagoras tentang “Luas Bujur Sangkar atau Persegi”Teorema Pythagoras menyatakan:“Jumlah luas persegi pada kaki segitiga sama dengan luas persegi pada sisi miring segitiga (hipotenusa)“.

Trigonometri / X 6

cb

a

L3

c

L2 b Sehingga didapat :

2. Angka Triple Pythagoras (Pythagorean triple)Angka Triple Pythagoras adalah 3 angka bilangan asli yang memenuhi teorema Pythagoras, 3 angka ini merupakan panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk.Berikut merupakan angka Triple Pythagoras Primitif yang kurang dari 100.

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)Misalnya (3, 4, 5) berarti sisi a = 3, b = 4, dan c = 5, pasti membentuk segitiga siku-siku.Angka Triple Pythagoras Primitif dapat menghasilkan angka Triple Pythagoras Non-Primitif. Misalkan angka triple pythagoras primitif (3, 4, 5) dapat membentuk angka triple pythagoras non-primitif (6, 8, 10), (12, 16, 20), dan seterusnya.

Bab 4TRIGONOMETRI

A. Ukuran Sudut1. Ukuran Sudut dalam DerajatKonsep tentang besar sudut dalam ukuran derajat adalah sudut sebagai jarak putar.DefinisiSatu derajat (ditulis : ) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran.Definisi ini disingkat: putaranAkibatnya1 putaran 2. Ukuran Sudut dalam RadianTrigonometri / X 7

a

L1

Konsep tentang besar sudut dalam ukuran radian adalah sudut sebagai nilai perbandingan antara panjang busur lingkaran dan jari-jari lingkaran.

Misalkan panjang busur jari-jari lingkaran atau , maka nilai perbandingan .Dalam hal ini dikatakan besar sudut sama dengan 1 radian.

DefinisiSatu radian (ditulis : ) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.3. Hubungan antara Ukuran Sudut Derajat dan RadianPerhatikan gambar berikut:

- Besar dalam ukuran derajat adalah , sebab adalah sudut setengah putaran.- Besar dalam ukuran radian adalah: , (sebab panjang busur AB = setengah keliling lingkaran)rad.Sehingga radian=3,14159...radian

Trigonometri / X 8

A

B

A

r

A

B

O

Nilai perbandingan merupakan sudut yang dinyatakan dalam ukuran radian

Or

r

B

A

rO

Hipotenusa/ sisi miring

Maka didapatradian 1 radian Dengan menggunakan pendekatan , didapat:radian radian, dan

1 radian Contoh 1a. Ubahlah ke dalam ukuran radian.b. Ubahlah radian ke dalam ukuran derajat.Jawab:a. radian radianb. radian

Latihan 11. Ubahlah ke dalam ukuran radian.a. d. g.b. e. h.c. f. i.2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat.a. d. g.

b. e. h.c. f. i.

B. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku

Perbandingan trigonometri adalah perbandingan atau rasio antar sisi-sisi pada segitiga siku-siku, misalnya antara sisi di depan sudut dan hipotenusa, antara Trigonometri / X 9

C

BA Sisi di dekat sudut c

ba Sisi di depan sudut

sisi di dekat sudut dan hipotenusa, antara sisi di depan sudut dan sisi di dekat sudut , dan sebagainya.1. Sinus, Kosinus, Tangen, Kotangen, Sekan, dan Kosekan

Definisi(1) Pada segitiga siku-siku, sinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang hipotenusa.Sinus sudut disingkat

Dari gambar di atasSinus sudut disingkat Dari gambar di atas

(2) Pada segitiga siku-siku, kosinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi di dekat sudut dan panjang hipotenusa.Kosinus sudut disingkat Dari gambar di atasKosinus sudut disingkat Dari gambar di atas

(3) Pada segitiga siku-siku, tangen suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang sisi di dekat sudut.Tangen sudut disingkat

Trigonometri / X 10

A B

C

c

b a

Dari gambar di atasTangen sudut disingkat Dari gambar di atas

(4) Pada segitiga siku-siku, kotangen suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi di dekat sudut dan panjang sisi di depan sudut.Tangen sudut disingkat Dari gambar di atasTangen sudut disingkat Dari gambar di atas

(5) Pada segitiga siku-siku, sekan suatu sudut adalah perbandingan antara panjang hipotenusa dan panjang sisi di dekat sudut.Sekan sudut disingkat Dari gambar di atasSekan sudut disingkat Dari gambar di atas

(6) Pada segitiga siku-siku, kosekan suatu sudut adalah perbandingan antara panjang hipotenusa dan panjang sisi di depan sudut.Kosekan sudut disingkat Dari gambar di atas

Trigonometri / X 11

Hipotenusa/ sisi miring

Kosekan sudut disingkat Dari gambar di atas

Contoh 2Segitiga ABC siku-siku di C mempunyai panjang sisi dan . Jika , carilah keenam perbandingan trigonometri untuk sudut .Jawab:Nilai c dihitung terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Nilai perbandingan trigonometri adalah:

Trigonometri / X 12

C

CA

B

c

b=1

A Bc

ba

Sisi di depan sudut

Sisi di dekat sudut

Contoh 3Jika diketahui , tentukan perbandingan trigonometri yang lain.Jawab:Diketahui . Dibuat sketsa gambar yang mewakili informasi ini.

Dari gambar didapat

Latihan 21. Tentukan keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut pada gambar berikut.a. c.

b. d.

2. Jika salah satu sudut pada segitiga siku-siku, hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainnya jika.a. d.b. e.c. f.Trigonometri / X 13

3

2

17

8

6

8

x

2

5

3

4

3. Pada segitiga siku-siku, diketahui panjang hipotenusa 15 cm dan . Tentukan panjang sisi lainnya.2. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut KhususSudut-sudut khusus (sudut-sudut istimewa) yang dimaksud adalah , , , , dan .a. Sudut Perhatikan segitiga berikut

siku-siku di C dan .Karena maka , sehingga merupakan segitiga siku-siku samakaki .

Didapat perbandingan trigonometri:

b. Sudut dan Perhatikan segitiga berikut

samasisi sehingga setiap sudutnya . Titik C pada pertengahan BD, maka merupakan segitiga siku-siku ( ). Besar , sehingga panjang dan .Dalam berlaku teorema Pythagoras:

Trigonometri / X 14

C

a

B

A

B

C

c

b

a

A

D

c

b

Perbandingan trigonometri untuk sudut dan adalah: dan

c. Sudut dan Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut dan digunakan lingkaran satuan pada sistem koordinat Kartesius.

Titik P(x,y) terletak pada lingkaran satuan. Garis OP membentuk sudut dengan sumbu X. Panjang satuanPanjang satuan danPanjang satuan = jari-jari lingkaran. adalah segitiga siku-siku. Perbandingan trigonometri untuk sudut adalah sebagai berikut; ; Jika , maka garis OP berimpit dengan sumbu X dengan , akibatnya:

Jika , maka garis OP berimpit dengan sumbu X dengan , akibatnya:Trigonometri / X 15

1x QO

1P(x,y)

x

y

y

, tak didefinisikan.Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa biasanya disajikan dalam bentuk table sebagai berikut.

Contoh 4Perhatikan gambar di bawah ini

Jika dan . Tentukan panjang a dan b.Jawab:

Menentukan panjang b atau

Latihan 31. Hitunglah nilai daria.Trigonometri / X 16

b

ca

C

BA

A

b.2. Apakah ?3. Sebuah tangga panjangnya 8 m disandarkan pada dinding sebuah bangunan. Besar sudut yang dibentuk oleh tangga dan permukaan tanah adalah .Tentukan tinggi dinding dari permukaan tanah.4. Hitunglah nilai daria.b.c.d.e.

Catatan: danf.g.

5. Hitunglah panjang sisi AB dan AC pada jika ; ; dan panjang sisi6. Seorang ahli taman berdiri dengan jarak 20 m dari sebuah pohon dan melihat pucuk puhon dengan sudut terhadap tanah datar. Tentukan tinggi pohon jika tinggi badan ahli taman tersebut diukur dari tanah sampai mata adalah 150 cm.

Ttd. Guru Mapel MatematikaY. Priyo Istiarto

Trigonometri / X 17