BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Lingkaran adalah model bangun datar yang sering kita

jumpai dalam kehidupan sehari-hari, seperti roda, bundaran yang

ada di jalan, piring. Ketiga benda tersebut merupakan bentuk dari

model lingkaran. Segitida dan belah ketupat juga model yang

sering kita jumpai selain lingkaran. Dalam kehidupan sehari-hari

bentuk segitiga sering kita jumpai pada bentuk makanan, misalnya

bentuk segitiga sering dijumpai dipasar berupa potongan tahu yang

persegi dipotong menjadi dua pada diagonalnya. Belah ketupat

juga sering dijumpai pada makanan terutama ketupat. Setiap

bidang pasti mempunyai luas, apakah ketiga model bangun datar

tersebut dapat kita hitung

Archimedes (287-212 SM) merupakan seorang pemikir

hebat. Karya besarnya dalam bidang matematika dapat dijumpai

pada bidang geometri. Perhitungan π denga diameter lingkaran

merupkan sumbangan besar yang dihasilkannya. Nilai π berkisaran

antara 3,1408 dan 3,1428. Salah satu karya terbesar lainnya adalah

π r2 sebagai rumus luas sebuh lingkaran . Dalam geometri ruang

1

Archimedes merumuskan 43

π r3 sebagai rumus sebuah volume

sebuah bola berjari-jari r. selain itu, ia mengungkapkan bahwa

rasio luas bola dengan luas tabung yang mengelilignya dinyatakan

sebagai 2:3 (dengan catatan tinggi dan panjang diameter tabung

tersebut sama dengan diameter bola).

Pythagoras (582 SM – 496 SM,) adalah seorang

matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui

teoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan

sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan

pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Phytagoras yang

terkenal adalah teorema Pythagoras untuk menghitung segitiga

siku-siku.

Berdasar kan uarian di atas, tidak ada salahnya kalau kita

menghitung luas bangun datar dengan rumus luas bangun datar

yang lain. Dengan syarat rumus harus menyesuaikan dan ada satu

ruas yang menjadi patokan. Rumus bangun datar diketahui

merupakan turunan dari rumus luas persegi dan persegi panjang.

2

Pada makalah ini akan di uraikan cara menghitung luas lingkaran

dengan rumus luas segitiga dan rumus luas belah ketupat . yang

menjadi ruas patokan adalah jari-jari pada lingkaran.

B. Rumusan Masalah

Makalah ini berjudul” menghitung luas lingkaran dengan

rumus luas segitiga dan belah ketupat”. Adapun sub-sub masalah

dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut?

1. Dapatkah sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring

dengan ukuran yang sama membentuk satu atau lebih bangun

segitiga dan belah ketupat?

2. Dapatkah kita menghitung luas lingkaran dengan rumus luas

segitiga dan belah ketupat?

3. Samakah hasil perhitungan ketiga rumus tersebut?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah maka tujua dari penalitian

ini adalah:

1. Sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring dengan

ukuran yang sama dapat membentuk satu atau lebih bangun

segitiga dan belah ketupat.

3

2. Kita dapat menghitung luas lingkaran dengan rumus luas

segitiga dan belah ketupat.

3. Hasil perhitungan ketiga rumus tersebut sama.

D. Definisi Operasional

1. Lingkaran

Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya

dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut

mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu.

2. Segitiga

Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus

dan membentuk tiga sudut.

3. Belah Ketupat

Belah ketupat adalah segiempat yang terbentuk dari segitiga

sama kaki dan bayagannya oleh pencerminan terhadap alas

segitiga.

4. Ilustrasi

Ilustrasi adalah reka ulang atau percobaan terhadap suatu

kejadian.

4

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang

berjarak sama dari suatu titik tetap di bidang tersebut. Titik tetap

itu dinamakan pusat lingkaran (Ngapinigsih ddk: 2010). Adapun

jarak dari suatu titik pada lingkaran ke titik pusat dinamakan jari-

jari lingkaran atau sering dilambangkan dengan r. bidang lingkaran

adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Dari uraian diatas

terlihat perbedaan yang nyata antara lingkaran dan bidang

lingkaran.

B. Unsur-unsur Lingkaran

Suatu lingkaran dengan titik pusat O mampunyai unsur-unsur

sebagai berikut.

1. Titik O merupakan titik pusat lingkaran.

2. Jari-jari lingkaran adalah Jarak dari pusat lingkaran (O)

berupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan

5

A C

B

D

G

E F

r

r rO

Gambar 1.a

lingkaran. Pada gambar (1.a) ruas garis AO atau CO

merupakan jari-jari.

3. Tali busur merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang

memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.pada gambar

(1.a) BC, dan DE.

4. Apotema adalah ruas garis yang ditarik dari titik pusat

lingkaran tegak lurus pada sebuah tali busur. Apotema juga bias

disebut sebagai jarak titik pusat lingkaran dengan tali busur

tertentu. Pada gambar (1.a), ruas garis OF merupakan apotema.

5. Busur merupakan bagian dari keliling lingkaran dan

dilambangkan dengan garis lengkung. Busur yang kurang dari

setengah lingkaran dinamakan busur besar. Pada gambar (1.b)

ditunjukan busur besar dan kecil dengan garis tebal.

6

Gambar 1.c

B

A

Juring kecil Juring besar

6. Juring atau sector adalah daerah didalam lingkaran yang

dibatasi oleh 2 jari-jari lingkara dan busur lingkaran di hadapan

sudut pusat yang dibentuk oleh kedua jari-jari tersebut. Juring

denga sudut pusat kurang dari 1800 dinamakan juring kecil

(gambar daerah A), sedangkan juring dengan sudut pusat lebih

dari 1800 dinamakan juring besar(gambar daerah B). Lihat

gambar (1.c).

7. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran

dan tali busurnya. Tembereng yang sudut pusatnya kurang dari

1800 dinamakan tembereng kecil (gambar daerah α ).

Sedangkan dengan sudut pusat lebih dari 1800 dinamakan

tembereng besar (gambar daerah β). Lihat gambar (1.d).

7

Gambar 1.e

C

A

B

O..O..

8. Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-jari

lingkaran (titik sudutnya pada pusat lingkaran). Sedangkan

sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh dua tali busur

yang berpotongan pada titik lingkaran (titik sudut terletak pada

lingkaran). Lihat gambar (1.e).

C. Luas Lingkaran

Dalam menghitung luas dan keliling lingkaran dan bangun

runag yang memiliki unsur lingkaran seperti bola, tabung, dan

kerucut. Kita selalu mengunakan nilai perbandingan yang

disebebut phi atau di tulis π dengan nilai 3,14. Nilai π atau nilai

perbandingan tersebut didapat dari perbandingan keliling lingkaran

dengan diameter. Ilustrasikan kita sebuah hulahop, yang

berdiameter 140 cm dipotong pada satu titiknya. Hulahop tersebut

8

atau

diluruskan dan di ukur panjangnya, ternyata panjangnya 440 cm.

berarti keliling hulahop tersebut 440.

Buat perbandingan antara panjang hulahop dengan

diameternya.

kd=440

140=3.14

Untuk membuktikan hal di atas lakuka percubaan berulang kali

dengan diameter yang berbeda.

Dari percobaan dapat disimpulakan bahwa nilai perbandingan

antara keliling lingkaran dan diameternya merupakan bilangan

yang tetap (π=3.14).

1. Pengertian Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah luas daerah bidang datar yang dibatasi

oleh suatu lingkaran

2. Rumus Luas Lingkaran

Rumus luas lingkaran

Keterangan:

r = jari-jari lingkarn

9

Gambar D.5

Gambar D.4

d= diameter lingkaran (2x r)

π=3,14

D. Menghitung Luas Lingkaran Dengan Rumus Luas Segitiga

Makalah ini memaparkan hasil perhitungan luas lingkaran dengan

rumus segitiga. Ilustrasi,

a. buatlah lingkaran pada selembar kertas.

b. Gunting lingkaran menjadi 16 potong juring (gambar D.4).

c. Susun juring seperti segitiga (gamabar D.5).

10

Berdasarkan hasil ilustrasi pada gambar D.4 dan gambar D.5, maka

kita dapat meng hitung luas lingkaran dengan rumus segitiga.

Rumus segitiga pada umumnya kita kenal

Berdasarkan susunan juring pada gambar D.5 maka dapat

disimpulkan bahwa juring tersebut dapat kita hitung satu persatu

lalu dijumlahkan. Luas daerah lingkaran = LΔ1 + LΔ2 + LΔ3 +

LΔ4 + … + LΔn-1 + LΔn

Setiap segitiga itu dapat dipandang sebagai sebuah segitiga dengan

tinggi r dan alasnya adalah a, sehingga Luas sebuah segitiga adalah

½ ra.

Atau kita tuliskan

LΔ1= ½ r a1

LΔ2 = ½ r a2

LΔ3 = ½ r a3

…………………….

LΔn-1 = ½ r an-1

LΔn = ½ r an_______________________ +Luas daerah keseluruhan adalah (½ r a1 + ½ r a2 + ½ r a3 + … + ½

r an-1 + ½ r an)

11

L ∆=12

× alas ×tinggi

atau

atau

L O = ½ r (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)

Kita tahu bahwa a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an keliling lingkaran

berjari-jari r tersebut, sehingga

a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = 2πr

Karenanya L O = ½ r (2πr) = πr2

Berdasar uraian di atas, ditemukan perhitungan rumus luas segitiga

untuk luas lingkaran sebagai berikut:

Rumus Segitiga = 12

× alas× tinggi

Rumus segitiga dari model lingkaran untuk mencari luas lingkaran

dengan rumus segitiga.

Untuk nilai a digunakan rumus :

Keterangan:

r = jari-jari lingkarn

a = alas segitiga yang tersusun dari potongan juring.

m= banyak segitiga yang dibentuk dari segitiga

n= banyak potongan juring.

12

d= diameter lingkaran (2x r)

π=3,14

E. Menghitung Luas Linngkaran dengan Rumus Belah Ketupat

Selain dapat membentuk segitiga, potongan juring juga

dapat membentuk bagun belah ketupat. Ilustrasikan:

1. Buat lingkaran pada selembar kertas.

2. Potong lingkaran menjadi 16 juring sama besar (gambar D.4)

3. Susun potongan juring membentuk 2 buah belah ketupat

(gambar E.1)

13

Berdasarkan ilustrasi di atas maka dapat ditulis rumus sebagai

berikut:

Rumus belah ketupat = 12

× diagonal1 × diagonal 2

Lingkaran jika dipotong menjadi beberapa juring, bila disusun

dapat membentuk 1 atau lebih bangun belah ketupat. Sehingga luas

ligkaran dapat dihitung dengan rumus luas belah ketupat. Rumus

belah ketupat untuk menghitung luas lingkaran di uraikan sebagai

berikut:

Untuk d1 rumusnya adalah:

14

d1 = diagonal 1

d2 = diagonal 2

d1 = p x r

L=12

× d 1 × d 2

atau

atau

Untuk d2 rumusnya adalah

Keterangan:

p=jumlah juring yang membentuk tinggi diagonal d1

r = jari-jari lingkarn

d= diameter lingkaran (2x r)

d1 = tinggi diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis AC).

d2 = lebar diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis BD).

m= banyak bangun belah ketupat yang dibentuk dari segitiga

n= banyak potongan juring.

π= 3,14

F. Contoh Soal

Beberapa contoh soal dibawah ini menunjukan bahwa hasil

perhitungan luas lingkran dengan rumus lingkaran

15

, L =L = atau

atau

d2 = d2 = atau

Sama dengan hasil perhitungan dengan rumus segitiga:

Untuk nilai a digunakan rumus :

Dan hasil perhitungan dengan rumus belah ketupat:

Untuk d1 rumusnya adalah:

Untuk d2 rumusnya adalah

Soal:

1. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 4 cm. hitunglah berapa luas

lingkaran tersebut. π=3,14.

Jawab.

Diketahui: r = 4 π=3,14.

16

d1 = p x r

L=12

× d 1 × d 2

a. Rumus lingkaran.

L=π r2

L= 3,14 x 4 x 4

= 3,14 x 16

= 50,24 cm2

b. Rumus segitiga 1

L=n( 12 )× r ×a a=m

n× π ×d

Misalkan: lingkran dibagi menjadi 16 juring dan di susun

menjadi satu bagun segitiga.

Diketahui:

r = 4 m= 1 d= 8

π=3,14 n = 16

Jawab :

L=16( 12 )× 4 × a a= 1

16×3.14 ×8

= 16( 12 )× 4 ×1,57 a = 1,57

= 8 x 6,25

= 50,24 cm2

Rumus Segitiga 2

Diketahui:

17

r = 4 d= 8

π=3,14

Jawab:

L=12

× r× a a=π× d

L=12

× 4 × a a=3,14 × 8

¿ 12

× 4 ×25,12 a = 25,12

¿2 x 25,12

¿ 50,24 cm2

c. Rumus Belah Ketupat

L=12

× d 1 × d2 d1= p x r

d 2=2(mn

× π × d)Misalkan, lingkaran di bagi menjadi 16 juring sehingga

dapat disusun menjadi 2 buah belah ketupat.

Diketahui:

r = 4 d= 8 m= 2

π=3,14 p= 4 n= 16

Jawab:

18

L=12

× d 1 × d 2

Mencari nilai d1.

d1= p x r

= 4 x 4

= 16

Mencari nilai d2.

d 2=2(mn

× π × d)¿2( 2

16× 3,14 ×8)

¿2(3,14)

= 6,28

Subtitusikan nilai d1 dan d2 ke rumus:

L=12

× d 1 × d 2

L=12

×16 × 6,28

¿ 12

×100,48

19

¿50,24cm2

BAB III

PEENUTUP

A. Kesimpulan

Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan

semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai

jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu. Jika lingkaran

dipotong dibagi menjadi beberapa juring dan juring-juring tersebut

dapat disusun menjadi bangun datar yang lain seperti segitiga,

belah ketupat, jajargenjang dan persegi panjang. Berdasarkan isi

makalah yang memuat perubahan deri potongan lingkaran yang

terbagi kedalam beberapa juring maka dapat disimpulkan bahwa

luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus dari bangun yang

20

terbentuk. Seperti potongan juring menjadi segitiga atau belah

ketupat maka luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus luas

segitiga dan rumus belah ketupat. Adapun rumus yang digunakan

sebagai berikut:

1. Rumus luas lingkaran

L=π ×r2 atau L=14

π ×d2

2. Rumus luas segitiga untuk menghitung luas lingkran

L ∆=n( 12 )×r × a untuk nilai a=m

n× π ×d

Atau

L ∆=12

× r ×a untuk nilai a=π× d

3. Rumus luas belah ketupat untuk menghitung luas lingkaran

L=12

× d 1 × d 2

Untuk d1 rumusnya adalah: d1 = p x r

Untuk d2 rumusnya adalah :

21

d 2=2(mn

× π × 2r )atau d 2=2(mn

× π × d)B. Saran

Jagan takut untuk mencoba sesuatu yang baru selama itu baik,

selalu berusaha mengembangkan, mengali, dan terus mencari,

sebab matematika merupakan misteri besar yang dapat

diungkapkan dengan berbagai cara, berbagai kalimat

matematika dan berbagai percobaan.

22