1.1 Definisi Trigonometry

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Trigonometri adalah bagian dari matematika yang mempelajari relasi antara sudut dan sisi sisi pada suatu segitiga dan juga fungsi –fungsi dasar dari relasi-relasi tersebut. Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.

Trigonometri juga dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi -sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (90°.) artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku. Satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

1.2 Sejarah Awal Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

1 Kelompok Empat

1.3 Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales.

1.4 Hubungan fungsi trigonometri

Penjumlahan

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga2 Kelompok Empat

Rumus setengah sudut

Secara umum :

sin a = 2 sin ½ a cos ½a cos na = cos2 ½ a - 1

= 2 cos2 ½ a - 1 = 1 - 2 sin2 ½ a

tg na = 2 tg ½ a 1 - tg2 ½ a BENTUK PENJUMLAHAN KE PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b . cos a - b 2 2sin a - sin b = 2 cos a + b . sin a - b 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b . cos a - b 2 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b . sin a - b 2 2

BENTUK PERKALIAN KE PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

1.5 Perbandingan Trigonometri

3 Kelompok Empat

a. SinusSinus dalam matematika adalah perbandingan

sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah :

Catatan : Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Nilai Sinus Sudut Istimewa :

Hukum Sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan :

4 Kelompok Empat

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

Dapat ditunjukkan bahwa:

di mana;

s merupakan semi-perimeter

Turunan

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.

Dapat diamati bahwa:

Kemudian:

5 Kelompok Empat

dan

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

b. Cosinus

Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi

kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

Catatan : Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Nilai Cosinus Sudut Istimewa

6 Kelompok Empat

Hukum CosinusHukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Aturan kosinus menyatakan bahwa :

dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

7 Kelompok Empat

Hukum Cosinus Pertama

Hukum Cosinus Kedua

c. Tangen

Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).

Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di kanan), berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah

Catatan: Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

8 Kelompok Empat

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

Nilai Tangen Sudut Istimewa

d. SekanSekan (lambang: sec) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah

Hubungan sekan dengan kosinus:

9 Kelompok Empat

e.KosekanKosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas

maka nilai kosekan adalah

Hubungan kosekan dengan sinus:

f. Kotangen

Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah

Hubungan kotangen dengan tangen:

1.6 Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.

10 Kelompok Empat

Fungsi trigonometrik diringkas di tabel di bawah ini. Sudut θ adalah sudut yang diapit oleh sisi miring dan sisi samping -- sudut A pada gambar di samping, a adalah sisi depan, b adalah sisi samping, dan c adalah sisi miring:

Fungsi Singkatan Deskripsi

Identitas (memggunakan radian)

Sinus sin

Kosinus cos

Tangen tan (atau tg)

Kotangen

cot (atau ctg atau ctn)

Sekan sec

Kosekan csc (atau cosec)

Bentuk dasar fungsi trigonometri memiliki kurva seperti berikut

 

Bentuk Pengembangan

11 Kelompok Empat

 

1.7 Limit Fungsi Trigonometri

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x(x <<< kecil sekali ; setara )

 l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1x 0     x                    x 0    x

 l i m          x       = 1            l i m          x       = 1x 0   sin  x                 x 0     tg x

PERLUASAN

 l i m    sin   ax = a/b       l i m     tg ax = a/bx → 0     bx                 x → 0     bx

 l i m          ax       = a/b       l i m        ax     = a/bx → 0   sin bx                 x → 0  tg bx

 l i m    sin   ax = a/b       l i m     tg ax = a/bx → 0   sin bx                 x → 0 tg bx

 l i m    sin   ax = a/b       l i m     tg ax = a/bx → 0   tg bx               x → 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)ctg x = tg (90° - x)sin ax = 2 sin ½ax cos ½axcos ax = 1- 2 sin² ½axcos²x = 1 - sin²x

12 Kelompok Empat

HAL-HAL KHUSUS

 l i m     ax m + bx m-1 + ....   =x → ¥  pxn + qxn-1 + ...

¥    untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0    untuk m < n

                                                                                     l i m    Öax2 + bx + c  -    Ödx2 + ex + fx → ¥   

¥    untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= adan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

 l i m     f(x)   = l i m     f(x)   x → ¥  g(x)     x → a   g(x)       

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1.  l i m   x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0     x → 3  

2.  l i m     3x - 2     =   ¥     (*) Uraikan     x → ¥  2x + 1       ¥     

                 x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3                 x(2 - 1/x)    2 + 1/x   2 - 0    2                      atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m     x 2 - x - 1     =   ¥     (*) Uraikan     x → ¥   10x + 9         ¥     

                 x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥                  x(10 - 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

                 atau langsung gunakan hal khusus

4.  l i m     x 2 - 3x + 2     =   0     (*) Uraikan     x → 2   x2 - 5x + 6       0    

                 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1

13 Kelompok Empat

                 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

5.  l i m     x 3 - 3x 2 + 3x - 1     =   0     (*) Uraikan     x → 1       x2 - 5x + 6           0    

                           (x - 1) 3         = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0                  (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

                                                6.  l i m    Ö2 + x - Ö2x   =   0     (*) Hilangkan tanda akar dengan     x → 2       x - 2            0         mengalikan bentuk sekawan

                           (x - 1) 3         = (x - 1) 2 = (1 - 1) 2 = 0 = 0                  (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

                                                     7.  l i m   (3x - Ö9x2 + 4x)  = ¥ - ¥  (*) Hilangkan tanda akar    x → ¥                                                                                                 l i m   (3x - Ö9x2 + 4x )  = é 3x - Ö9x 2 + 4x  ù =  (*) Hilangkan tanda

    x →  ¥    ë 3x - Ö9x2 + 4x  û             akar

     l i m   (9x2 - (9x2 + 4x)  = l i m                     -4x                             =    x → ¥    3x + Ö(9x2 + 4x)      x →  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

     l i m                    -4                       = -4 = -2    x →  ¥    3 + 3Ö(1 + 0)             6     3 

                 atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m   sin 2x = 0 (*)   x → 0  tg 3x     0

              sin 2x = 3x    2 = 1 . 1 . 2 = 2              2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 - cos 2x = 0   x → 0      sin 2x      0

14 Kelompok Empat

               1 - (1 - 2 sin² 2x) =           2 sin² x     =   sin x = tg x = 0               2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 - cos x = 0   x → 0       3x²      0

               2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1            3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

           atau langsung gunakan hal khusus Differensial

4. l i m   sin x - sin a = 0  (*)    x → 0       x - a        0

               2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =                            x - a                         ½ (x - a )

            cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

           atau langsung gunakan hal khusus Differensial

1.8 Grafik fungsi trigonometri dan periode

 

Berikut ini adalah 3 gambar grafik trigonometri yang mendasar, yaitu grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen. Untuk grafik fungsi trigonometri yang lainnya, bisa digambar di software grafik yang pembaca miliki.

 

Cosinus

 

Gambar grafik kosinus ini, ketika , maka nilai . Menggambar grafik trigonometri sinus dan kosinus ini sangat mudah untuk diingat. Ingat saja lengkungannya dan periodiknya. Grafik kosinus

15 Kelompok Empat

dimulai dari 1, kemudian ketika , grafiknya memotong sumbu x. ketika , grafiknya bernilai , dan seterusnya sampai .

Grafiknya dicerminkan terhadap sumbu y. perhatikan gambar! Ingat. suatu fungsi yang gambar grafiknya dicerminkan terhadapa sumbu y, maka fungsi itu adalah fungsi genap. Jadi, nilai . Sehingga kita bisa mudah mengingat kenapa cos(-150) itu sama dengan cos(150).

Penggambaran grafik ini sangat membantu untuk mempermudah menentukan nilai trigonometrinya. Kita sudah tidak perlu menghafal kuadran-kuadran, nilai positif dan negatif.

Dengan melihat grafik dari fungsinya saja kita dengan mudah bisa menentukan nilai trigonometrinya.

Sinus

 

Gambar grafik sinus dimulai dari 0. Kemudian ketika nilai x sama dengan , maka grafik tersebut mencapai ketinggian 1. Dan ketika nilai x sama dengan , maka grafiknya bernialai 0. Bisa dilihat pada gambar tersebut.

Fungsi sinus adalah fungsi ganjil. Perhatikan saja grafiknya. Gambar grafiknya dicerminkan terhadap titik . Ingat definisi fungsi ganjil, yaitu

. Sinus adalah fungsi ganjil. Ini bisa dimanfaatkan untuk menentukan nilai dari sin(-60). Misalnya. Sin(-60) sama dengan –sin(60).

 

Tangen

16 Kelompok Empat

 

Gambar grafik dari tangent cukup aneh bagi kita yang baru pertama melihatnya. Perlu diingat bahwa tangent itu sama dengan sinus per cosines. Jadi, titik-titik pada grafik tangent itu sama dengan titik-titik pada grafik sinus dibagi dengan titik-titik pada grafik cosines. Perhatikan saja untuk , titik pada saat pada grafik sinus adalah 0, dan padagrafik cosines adalah 1. Sehingga, pada grafik tangent akan sama dengan

Inilah yang bisa kalian pahami, mengapa tangent 90 itu tidak didefinisikan.

Tentunya karena pembagian dengan nol.

 

Periodik dari ketiga fungsi trigonometri

Periodik adalah perulangan. Definisi periodic adalah , maka fungsi itu dikatakan periodic dengan periode c. Fungsi sinus, cosines dan tangent adalah fungsi yang periodic. Karena ada c, sehingga

. Yaitu ketika c itu sama dengan . Perhatikan saja bahwa nilai dari

 

Sinus dan Cosinus

Fungsi sinus dan fungsi cosines adalah fungsi yang periodik dengan periode . Ini sangat membantu untuk menentukan suatu nilai trigonometri yang sangat besar. Misalnya, berapakah nilai dari . Maka kita tentunya bisa memanfaatkan peridik dari fungsi tersebut. 

17 Kelompok Empat

Tangen

Berbeda dengan sinus dan kosinus. Fungsi tangent juga merupakan fungsi yang periodic, tetapi besar periodenya berbeda dengan fungsi sinus dan fungsi cosines. Periode dari tangent adalah

1.9 Persamaan Trigonometri 

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi trigonometri. Contoh

Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menggunakan identitas trigonometri dan teknik aljabar untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.

contoh.

(  membagi kedua ruas dengan 2)

  (ingat identitas :

karena , maka solusinya adalah . dimana k adalah bilangan bulat.

Contoh 2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan , pada interval .

Jawab.

. ( ).

,  (ingat )

18 Kelompok Empat

atau

untuk , penyelesaiannya  .

untuk , penyelesaiannya

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah

contoh 3.Tentukan penyelesaian dari , untuk

Jawab.

atau

Jadi penyelesaian dari persamaan di atas adalah

1.10 Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan metode grafik fungsi dan garis bilangan.

19 Kelompok Empat

 

20 Kelompok Empat