outline

1

OUTLINE

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan

Konsep-konsep Dasar Probabilitas

Distribusi Probabilitas Diskret

Distribusi Normal

Teori Keputusan

Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas NormalDistribusi Probabilitas Normal Standar

Penerapan Distribusi Probabilitas Normal StandarPendekatan Normal Terhadap Binomial

Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Pendahuluan

Diantara sekian banyak distribusi barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian.Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal. Misalkan antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.

Pengertian Distribusi Probabilitas NormalDistribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika.

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Karakteristik Distribusi Probabilitas NormalKarakteristik Distribusi Probabilitas Normal :

Kurva berbentuk genta atau lonceg dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung sama dengan median dan modus

Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya

Kurva ini menurun di kedua arah yaitu keeeeee kanan untuk nilai positif tak terhingga dan kekiri untuk nilai negatif tak terhingga

Luas daerah yang terletak di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.

Distribusi Probabilitas Normal StandarDistribusi probabilitas normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.Transformasi memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1. Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya artinya:

x

z

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2

Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2

=

Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ.

Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif

Kurva Distribusi Normal Standard

Contoh:Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ?

Penyelesaian :Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12Dit : Z = ?

Jawab

= 0.1

x

z

12

8.171173 z

Pendekatan Normal Terhadap BinominalJumlah suatu distribusi mempunyai n ≥ 30 dan n,p ≥ 5 atau n(1-p)≥ 5 maka penyelasaian probabilitas dapat menggunakan pendekatan distribusi binomial ke distribusi normal dengan terlebih dahulu mencari nilai µ dan σ yaitu :σ = √ n . p . q ket : p= probabilitas suksesµ = n . p q= probabilitas gagalq =1 - p

Kalau x merupakan varibel diskrit sekaligus variabel continue maka perlu diadakan koreksi dengan menambah atau mengurangi nilainya dengan 0.5

ContohAkhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah :a.Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ?b.Standar deviasinya ?c.Standar normalnya ?

Penyelesaian :Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0.9 q = 1 – p = 1 – 0.9 = 0.1Dit : a. µ : ? b. σ : ? c. Z : ?

Contoh (lanjutan)jawab :a. µ = n . p = 752 . 0.9 = 676.8

b. σ = √ n . p . q = √ 752 . 0.9 . 0.1 = √ 67.68 = 8.227

c. Z = (x - µ )/σ = 650 – 676.8/ 8.227 = - 26.8 / 8.227 = - 3.258

11

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris (sumbu vertikal)3. Kurva normal berbentuk asimptotis (takterhingga )4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan

nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Luas daerah dibawah kurva normal standar sudah ada tabelnya yaitu dalam tabel dist normal standar atau tabel Z

simestris

ekorEkor

= Md= Mo

12

Contoh BrainTest dari 600 capeg PDAM

Jambi berdistribusi mendekati normal dengan rata-rata 115 dan simpangan baku 12. bila PDAM hanya menerima BT paling rendah 95, berapa banyak pelamar yang akn ditolak jk berdasarkan kententuan tersebut, tanpa melihat ability lainnya?

13

Jawab µ= 115, σ=12, n= 600, Z= x-µ / σ = 95 – 115 / 12 = -1.67 (lihat Tabel

=0,4525)..... Z= 0,5 – 0,4525 = 0.0475

P (x<95) = P (z < -1.67) = 0.0475 or 4.75% Jadi banyaknya pelamar yang akan ditolak:=4.75% x 600 = 28,5 atau 29 orang.

14

DEFINISI KURVA NORMAL

Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:

N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2,

22

Untuk -<X<

di mana = 3,14159 e = 2,71828

15

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m

Mesokurtic Platykurtic Leptokurtic

Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda, HARGA 100/LEMBAR.

SD BNI 2,58

>Sd MREI 4,08GEMA 3,75

16

KETERANGAN SMAKIN MENGELOMPOK NILAI SD

PADA NILAI TENGAH (MIU) MAKA PARAMETER NILAI TENGA TERSEBUT LEBIH BAIK MENJADI INDIKATOR UNTUK UKURAN POLPULASI.

17


Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama

Mangga “C”

Mangga “B”

Mangga “A”

KLASIFIKASI MUTU

18


Distribusi kurva normal dengan dan berbeda

85 850

PERBEDAAN KEMAMPUAN ANTAR POPULASI

RENDAH

19

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x z

Di mana nilai Z:

Z = X -

20

TRANSFORMASI DARI X KE Z

Contoh Soal:Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600?

Jawab:Diketahui: Nilai = 490,7 dan = 144,7

Maka nilai Z =( X - ) /

Z = ?

21

LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL

-3-3

=xZ=0

+1+1

+2+2

+3+3

-2-2

-1-1

68,26%

99,74%

95,44%

• Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data.

• Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)?

• Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = ?

22

PENERAPAN KURVA NORMAL

Contoh Soal:

PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

Z=-2,0

23

Jawab:


24


Contoh Soal:

PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!

-2 2

0,47720,4772

25


Jawab:

26

OUTLINE




Distribusi Normal

Teori Keputusan




27

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL

Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 r 0 1 2 3 r 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 r

28

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL

Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar

deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:

di mana n dan nilai p mendekati 0,5

Z = X - np npq

DISTRIBUSI PROBABILITASNORMAL

Normal distribution (normal curve) disebut juga“Gaussian Distribution” (sesuai dengan nama orangyang menemukannya yakni Carl Gauss).

Normal curve adalah salah satu distribusi kemungkinanteoritis dengan variabel random sinambung ( Continuousdistribution). Distribusi ini berbeda dengan distribusi Binomialdan Poisson yang bervariabel random discrete.

Dalam variabel discrete nilai x hanya berupa bilangan bulatpositif saja (x = 0, 1, 2, 3 ….. n), sedangkan pada continuousvariabel nilai x bisa menjalani semua harga dalam suatuinterval tertentu, bisa mengambil bilangan pecahandan tak terbatas dalam interval tersebut.

Distribusi bervariabel continue yang lain (di sampingdistribusi normal) adalah :

1. Distribusi nilai t2. Distribusi nilai x23. Distribusi nilai F

Ciri-ciri distribusi / kurva normal :1. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan

berbentuk seperti genta.2. Simetris terhadap mean µ.3. Kedua ekor/ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya

tetapi tidak pernah memotong.4. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya

sama dengan σ.5. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari

- ∞sampai + ∞ sama dengan 1 atau 100%.

Rumus :

Kurva normal standard adalah kurva normal yangsudah diubah menjadi distribusi nilai Z, dimanadistribusi tersebut akan mempunyai µ = 0 dandeviasi standard σ = 1.

Z = x - µ σ

Tabel Luas Kurva Normal

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 7 0,08

0,0 0,000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319

0,1 0,0596

0,2 0,0987

0,3 0,1368

0,4 0,1736

0,5 0,2088

0,6 0,2422

0,7 0,2734

0,8 0,3023

0,9 0,3289

1,0 0,3531

1,1 0,3749

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997

Pendekatan Normal terhadap Binomial

Apabila p sama dengan ½ dan n adalah besar, makadistribusi binomial akan mendekati distribusi normal.Di dalam prakteknya, daerah kurva normal dapatdipergunakan untuk menghitung probabilitas binomial,walaupun n adalah relatif kecil dan p tidak sama dengan ½.

Oleh karena itu, distribusi binomial mempunyai variabeldiscrete, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinu,maka dalam menggunakan distribusi normal untukmemecahkan persoalan binomial perlu diadakan penyesuaiansebagai berikut ; untuk harga variabel x batas bawahdikurangkan 0,5 dan harga variabel x batas atasditambahkan 0,5.

Penyesuaian tersebut dinamakan faktor koreksikontinuitas, yaitu faltor koreksi yang besarnya 0,5 yangdiperlukan untuk mentransformasi dari binomial menujunormal yang merupakan variabel acak kontinu.

Rumus:

Z = x - np √npq

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMALDISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL




Distribusi Normal

Teori Keputusan




Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter dinyatakan

Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda.

(mean) dan (simpangan baku) n(x; , )

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dn

orm

(x)

Kurva normal

39

DEFINISI KURVA NORMAL

Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:

N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2,

22

Untuk -<X<

di mana = 3,14159 e = 2,71828

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva normal berbentuk asimptotis4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan

nilai tengah dan ½ di sisi kiri.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m

Mesokurtic Platykurtic Leptokurtic

Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda


Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama

Mangga “C”

Mangga “B”

Mangga “A”


Distribusi kurva normal dengan dan berbeda

85 850

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x z

Di mana nilai Z:

Z = X -

50 10

Diketahui suatu distribusi normal dengan dan

Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45

dan 62

46

Jawab:

Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah

dan

Jadi:

1 245 62x dan x 45 50

1 100 5z . 62 50

2 101 2z .

45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 20 40 60 80 100

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

4

45 62P( x ) 0 5 1 2P( , z . )

Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1

CONTOH SOAL

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

45 62 0 5 1 2

1 2 0 5

0 8849 0 3085

0 5764

P( x ) P( , z , )

P(z , ) P(z , )

, ,

,

Dengan R > pnorm(-0.5)

[1] 0.3085375

> pnorm(1.2)

[1] 0.8849303Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09

::

-0.5 0.3085

0

::

1.2 0.8849

::

OUTLINE




Distribusi Normal

Teori Keputusan




Distribusi Probabilitas Normal Bab 9

Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0 dan σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z yang terdistribusi normal standar:

MINITAB: Calc -> Probability Distribution -�> Normal

x

z

Distribusi Normal Standar

Distribusi Normal dan Normal Standar„ Distribusi Normal (=Gauss)Parameter: µ = rata-rata,dan = standar deviasi

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR

Variabel random kontinu yang paling mendasar yang harus di perhatikan adalah variabel Z yang mempunyai distribusi normal standar yang mempunyai nilai harapan ( mean ) nol dan varian satu dengan fungsi densitas sebagai berikut :

22 exp[21)2()( zzf

52

OUTLINE




Distribusi Normal

Teori Keputusan




53

MENGGUNAKAN MS EXCEL

Contoh 9-1

• Buka program MS Excel dari Start, pilih MS Excel

• Letakkan kursor pada cell yang ada di sheet MS Excel, dan klik icon fx, atau klik icon insert dan pilih fx function

• Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada function nama, Anda tekan OK.

54


• Anda akan menemui kotak dialog seperti berikut:

Hasil nilai p = 0,76 akan muncul pada formula result atau tanda “=“

NORMDIST

X ………….. (isilah nilai x, misal 600)

Mean ………….. (isilah nilai mean, misal 490)

Standard_dev ………….. (isilah nilai , misal 144,7

Cumulative ………….. (ketik True untuk kumulatif, dan False untuk nilai tunggal)

55


Hasil nilai p = 0,7764 akan muncul pada formula result

atau tanda “=“

Catatan:

Bila menggunakan tabel Z pada lampiran 3, probabilitas adalah luas daerah yang diarsir, yaitu dari Z=0 ke kanan kurva (infiniti positif).

Sedangkan dengan MS Excel, probabilitas adalah luas daerah dari kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud).

58

TERIMA KASIH

outline

Documents