FUNGSI PEMAKSA TANGGA SATUAN PADA RANGKAIAN RL-RC

Oleh : Risa Farrid Christianti, S.T.,M.T.

Institut Teknologi Telkom Purwokerto

Pendahuluan

■ Setelah kita mempelajari tanggapan alamiah dari suatu

rangkaian RL atau RC, yaitu tanggapan saat sumber

(tegangan atau arus) ditiadakan secara tiba-tiba, maka pada

pertemuan kali ini kita akan belajar mengenai tanggapan

pemaksa dari rangkaian RL atau RC.

■ Tanggapan pemaksa terjadi ketika sumber (tegangan atau

arus) diterapkan secara tiba-tiba pada rangkaian RL atau RC.

1. Fungsi Pemaksa Tangga Satuan

■ Definisi : fungsi pemaksa tangga satuan adalah sebuah fungsi yang

sama dengan nol bila semua harga argumennya lebih kecil dari nol dan

sama dengan satu bila harga argumennya lebih besar dari nol (positif).

■ Jika (t-t0) adalah argumen, dan u adalah fungsi tangga satuan , maka

u(t-t0) = 0 untuk semua t yang lebih kecil dari t0 dan sama u(t-t0) = 1

untuk semua t yang lebih besar dari t0.

■ Definisi matematis untuk menggambarkan fungsi tangga satuan diatas

adl

0

0

0

10 )(

tt

tt

tt

………………………..(1)

Grafik fungsi tangga satuan u(t-t0) seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 1.

to 0

1

t

u(t-t0)

■ Jika waktu diskontinuitas (perpindahan keadaan) terjadi saat to = 0 ,

maka fungsi tangga satuan menjadi u(t-0) atau yg lebih sederhana lagi

menjadi u(t).

■ Hal ini ditunjukkan oleh definisi matematisnya :

…………….(2)

Grafik fungsi tangga satuan u(t) ditunjukkan pada Gambar 2.

0

0

0

1

)(

t

t

tu

1

0

t

u(t)

Gambar 2. Fungsi tangga satuan u(t)

■ Fungsi tangga satuan itu sendiri tidak berdimensi, jika ingin dinyatakan

sebagai sebuah tegangan, maka perlu mengalikan u(t-t0) dengan suatu

tegangan konstan (V). Jadi v(t) = Vu(t-t0).

Gambar 3. Rangkaian ekivalen dari Vu(t-t0)

■ Jika ada suatu fungsi tangga satuan sebagai berikut : u(t-t0)-u(t-t1),

maka dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut :

……………..(3)

1

10

0

0

1

0

)(

tt

ttt

tt

tu

u(t)

t0 t 1

t

1

■ Contoh 1

1. Berapa nilai dari fungsi tangga satuan berikut ini pada t = 1,5 s.

a.) 2u(t-2) + u(t+1) + u(t-1)

b.) [u(t-1) – u(1-t)] u(t+1)

2. Untuk rangkaian pada gambar dibawah ini, carilah nilai v1 pada t :

a.) -5 s

b.) -1 s

c.) 1 s

■ Jawab:

1. Dengan t = 1,5 s, maka fungsi tangga satuan

a.) 2u(1,5-2) + u(1,5+1) + u(1,5-1)

2.0 + 1 + 1 = 2

b.) [u(1,5-1) – u(1-1,5)] .u(1,5+1)

[1 – 0]. 1 = 1

2. Nilai v1, pada

a.) t = -5 s, hasilnya adl nilai v1 = 50 V

b.) t = -1 s, hasilnya adl nilai v1 = 90 V

c.) t = 1 s , hasilnya adl nilai v1 = 34 V

2. Tanggapan Lengkap Rangkaian RL dan RC

■ Tanggapan lengkap suatu rangkaian RL dan RC adalah penjumlahan

tanggapan alamiah dan tangapan paksaan rangkaian.

■ Perhatikan rangakaian RL sederhana dibawah ini:

Gambar 5

■ Mula-mula kita nyatakan arus ini sebagai jumlah arus alami dan arus

paksaan.

i(t) = in + if

■ Tanggapan alamiah dianalisis ketika rangkaian tanpa sumber (sumber

dihubung singkat atau saat t < 0), maka didapatkan

■ Tanggapan paksaan tergantung pd sifat fungsi pemaksa itu sendiri.

Tanggapan paksaan haruslah positif untuk semua harga waktu yang

positif (t> 0).

■ Sehingga arus paksaan if adalah:

L

Rt

n Aei

R

Vi f

■ Jadi tanggapan total arus adalah :

■ Untuk mencari nilai A, maka dipakai syarat awal, yaitu nilai arus saat

segera setelah t = 0 yaitu i(0) = 0.

■ Sehingga

■ Maka tangapan totalnya menjadi

R

VAeti L

Rt

)(

R

VA0

R

VA

L

Rt

eR

V

R

Vti

)(

■ Grafik tanggapan arus total

Gambar 6. grafik tanggapan arus total

■ Sekarang kita perhatikan rangkaian dibawah ini

Gambar 7.

■ Pada gambar 7 diatas terdapat sumber tegangan dc, sumber

tegangan tangga satuan . Kita tentukan nilai i(t) untuk semua

harga waktu.

■ Kita dapat melihat rangkaian disebelah kiri induktor dengan

rangkaian thevenin, sehingga tahanan thevenin nya adalah

rangkaian pararel R = 2 Ohm dan R = 6 Ohm yaitu Rth = 1,5 Ohm.

■ Rangkaian tersbeut mengandung hanya satu elemen penyimpan

energi, yaitu induktor sehingga respon alamiahnya adalah sebuah

eksponensial negatif.

……….. t > 0

23

5,1 tt

L

Rt

n AeAeAei

■ Respon arus paksaan if haruslah arus yang dihasilkan sebuah

tegangan konstan sebesar 100 Volt, induktor berlaku seperti hubungan

pendek sehingga rangkaian menjadi

Jadi tanggapan arus

paksaannya adl

502

100fi

■ Jadi tanggapan total arusnya adalah

t > 0

■ Untuk menghitung A, kita harus mendapatkan harga awal arus

induktor sebelum t = 0, yaitu rangkaian menjadi

nf iiti )(

tAeti 5,050)(

■ i(t) = 50 : 2 = 25 ampere t < 0

■ Dari harga i(0) = 25 ampere, kita dapat mencari nilai A yaitu

25 = 50 + A

A = -25

■ Maka arus total menjadi :

t > 0

05025 Ae

teti 5,02550)(

Grafik tanggapan lengkap untuk semua waktu t seperti

diperlihatkan pada Gambar dibawah ini.

Tanggapan alamiah bertugas menghubungkan tanggapan

untuk t < 0 dengan tanggapan paksaan yg konstan

Gambar 8. Grafik tanggapan lengkap semua t

■ Tanggapan untuk Rangkaian RC

Perhatikan rangkaian RC pada gambar 9 di bawah ini.

Gambar 9. Rangkaian RC

■ Tanggapan lengkap rangkaian RC adl sebagai penjumlahan tanggapan

alami dan paksaan.

■ Pada t < 0, kontak penghubung berada pada posisi (a) dalam waktu yg

lama sehingga tanggapan alami telah menurun menjadi amplitudo yg

dapat diabaikan, dan sekarang tinggal tanggapan paksaan dari

sumber 120 V.

■ Tegangan vc(t) pada t < 0 diakibatkan oleh sumber 120 V konstan

sehingga tdk ada arus yg mengalir pada kapasitor.

■ Sehingga vc(0) adalah pembagi tegangan pada tahana 50 Ohm

terhadap sumber 120 V.

100120.1050

50)0(

vc

Karena tegangan kapasitor tdk dapat berubah seketika,

maka tegangan ini berlaku juga pada t = 0+ dan t = 0-.

Kontak penghubung sekarang dilemparkan ke b, dan

tanggapan lengkap adalah :

Tanggapan alamiah didapat dengan mengganti sumber 50 v

dg sebuah hubungan pendek untuk menghitung tahanan

ekivalen.

nf vcvcvc

24

60

1

200

1

50

1

1Re

q

2,1.Re

t

Cq

t

AeAevcn

Untuk menghitung tanggapan paksaan bila kontak

Penghubung berada pada posisi b, kita tunggu sampai

tegangan dan arus telah berhenti berubah, jadi perlakukan-

lah kapasitor sebagai rangkaian terbuka.

Maka sekali lagi kita menggunakan pembagi tegangan.

2050

)20050/()200)(50(60

)20050/()200)(50(

vcf

■ Sehingga tanggapan total vc adalah :

■ Untuk mendapatkan nilai A, kita gunakan syarat awal yaitu vc saat

sebelum t = 0. Sehingga :

100 = 20 + A

A = 80.

sehingga tanggapan total vc menjadi :

t > 0

2,120

t

Aevc

2,18020

t

evc

■ Grafik tanggapan total vc seperti pada gambar di bawah ini

SEKIAN