Mekanika Rekayasa II

PENAMPANG NON HOMOGEN (KOMPOSIT)

Oleh

Ridho Bayuaji

Program Studi Diploma 3 Teknik Sipil

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2011

Capaian Pertemuan

Kompetensi: Mahasiswa mampu menghitung tegangan lentur pada

penampang tidak homogen serta menggambarkan diagram tegangannya

Materi :1. Penampang tidak homogen: Transformasi

penampang tidak homogen ke penampang homogen.

2. Tegangan pada penampang tidak homogen akibat beban lentur dan diagram tegangannya.

Pendahuluan

Berbagai jenis bahan material (baja, beton, kayu dan material alternatif) memungkinkan untuk digabung untuk memenuhi keperluan struktur teknik sipil dengan pertimbangan tertentu, sering disebut dengan istilah material komposit.

Komposit didefinisikan sebagai dua macam atau lebih material yang digabungkan atau dikombinasikan dalam skala makroskopis ( dapat terlihat langsung oleh mata)sehingga menjadi material baru yang lebih berguna.

Dalam prakteknya balok yang terdiri dari dua bahan, balok kayu biasanya diperkuat dengan ikatan-ikatan logam dan balok beton diperkuat dengan baja tulangan.

Oleh sebab itu perlu diketahui modulus elastisitas masing-masing bahan material tersebut untuk menjamin persyaratan mekanika bahan dari material gabungan.

Langkah-Langkah Perhitungan Penampang Non Homogen

1.Menetapkan bahan yang menjadi bahan tetapan

2.Menghitung angka ekivalen n = E1/E2, E1 > E2 dimana :

E1 = Modulus elastisitas bahan 1 (modulus yang paling besar)

E2 = Modulus elastisitas bahan 2

3. Mengekivalenkan bahan yang lain dengan angka ekivalen, terhadap lebarnya

4. Menghitung luas, garis berat dan momen inersia dari bahan gabungan

5. Untuk perhitungan pada bahan diekivalenkan harus dikalikan n

Catatan : = M.y. n, bahan yang diekivalenkan !!!!I

Modulus Elastis

Material E (N/mm2)Besi/Baja 2,05 x105

Kayu 0,46-1,8x104

Aluminium 6,9 x104

Beton 1,8-3,8x104

Yang dimaksud dengan Modulus Elastisitas (E) adalah perbandingan antara tegangan dan regangan. Modulus ini dapat disebut dengan sebutan Modulus Young.

Satuan = N/mm2 = 10 kg/cm2

2 cm

10 cm

5 cm

Baja, E1 = 2x106 kg/cm2

Kayu, E2 = 1x105 kg/cm2

Baja diekivalenkan ke Kayu

N = E1/E2 = 2x106/1x105 = 20

Maka lebar baja = 20x5 = 100 cm

100 cm

Latihan transformasi penampang non homogen

2 cm

10 cm

5 cm

Baja, E1 = 2x106 kg/cm2

Beton, E2 = 1x105 kg/cm2

Baja diekivalenkan ke kayu

N = E1/E2 = 2x106/1x105 = 20

Maka lebar baja = 20x5 = 100 cm

100 cm

BAJA DIEKIVALENKAN KE KAYU

2 cm

10 cm

5 cm

Baja, E1 = 2x106 kg/cm2

Kayu, E2 = 1x105 kg/cm2

Kayu diekivalenkan ke baja

N = E2/E1= 1x105/2x106 = 0,05

Maka lebar baja = 5x0,05 = 0,25 cm

0,25 cm

KAYU DIEKIVALENKAN KE BAJA

Tugas Kelas

Diketahui :- Bahan 1 adalah baja dengan E1 =

2x106 kg/cm2 - Bahan 2 adalah beton dengan E2 =

2x105 kg/cm2

- Penampang bahan seperti tergambar di samping.

Soal: • Carilah titik berat penampang berikut

dari serat atas (yA)• Gambar dengan sket posisi titik berat

penampang • Hitung Momen Inersia arah sumbu x

(Ix)

Beton

Baja

Baja

2 cm

2 angka NR

P (cm

)

1 cm

5 cmGambar 1. Penampang bahan komposit

baja dan beton sebagai tugas kelas

Contoh Perhitungan Penampang Non Homogen

Diketahui :- Konstruksi komposit kantilever dengan

bentang 2 meter.- Beban lintang, 100 kg (vertikal berlawan

gravitasi) sejarak 2 meter dari perletakan jepit.

- Beban normal, 100 kg (horisontal ke arah kiri dengan asumsi tepat di titik berat penampang).

- Bahan 1 adalah baja dengan E1= 2x106 kg/cm2 dengan dimensi tebal 2cm dan lebar 5 cm

- Bahan 2 adalah kayu dengan E2= 1x105 kg/cm2 dengan dimensi tebal 10 cm dan lebar 5 cm

- Penampang konstruksi komposit seperti tergambar di samping.

Soal: 1. Menghitung tegangan lentur tepat di sebelah kanan (sedikit) perletakan jepit2. Menghitung tegangan geser tepat di sebelah kanan (sedikit) perletakan jepit3. Hitung dan gambar tegangan utama dan tegangan geser ekstrem pada elemen 1 jarak 0,5 m dari

tumpuan, di posisi 2 cm dari sisi bawah penampang

Baja

Kayu

5 cm

100 K

g

100 Kg

200 cm

Baja

2 cm

10 cm

Jepit

Gambar 2. Konstruksi kantilever komposit dan penampang

Penyelesaian• Baja diekivalenkan ke Kayu, maka:

• N = E1/E2 = 20

• Lebar Baja = 100 cm

• Mencari titik berat terhadap sumbu X

• Dimisalkan titik berat (yA) dari serat atas

2

cm1

0 cmKayu

Kayu’ (Baja yang diekivalensikan ke Kayu)

100 cm

Masing-masing luas penampang di kalikan titik berat ke serat atas = Ai.yAi

Luas Kayu‘(A2) = 200 cm2

titik berat kayu‘ (yA1) = 1 cm

Luas Kayu (A2) = 50 cm2

titik berat Kayu (yA2)= 7 cm

Luas Kayu' + Luas Kayu (A Total)=

250 cm2

yA = Ai.yAi/ATotal 2.2 cm

2 cm

10 cmKayu

Kayu ‘

100 cm

2,2 cm

Gambar 3. Penampang yang sudah diekivalenkan

Gambar 3. Letak titik berat penampang terhadap sumbu x-x

Penyelesaian (Lanjutan)• Perhitungan momen Inersia

I kayu' = 66.66667 cm4

titik berat kayu' = 1.2 cm

Luas kayu ' x titik berat kayu’2 = 288 cm4

I kayu = 416.6667 cm4

titik berat kayu 4.8 cm

Luas kayu x titik berat kayu2 = 1152 cm4

Maka momen Inersia Ixx = 1923.333 cm4

• Menggambar Bidang M, N dan D1

00 kg

100 Kg

200 cm

-Bidang M (Momen)

Bidang D (Gaya Lintang)

Bidang N (Gaya Normal)

+

-

20 000 kgcm

100 kg

100 kg

• Menghitung tegangan lentur tepat di sebelah kanan sedikit perletakan jepit

2 cm

10 cm

100 cm

2,2 cm

A

B C

D

E

Penyelesaian (Lanjutan)

L = nMy/Ixx

yA = 2.2

yB = 0.2

yC = 0.2

yD = 0

yE = 9.8

LA = 457.539 kg/cm2 (tarik)

LB = 41.59445 kg/cm2 (tarik)

LC = 2.079723 kg/cm2 (tarik)

LD = 0 kg/cm2

LE = -101.906 kg/cm2 (tekan) 2 cm

10 cm

100 cm

2,2 cm

A

B C

D

E

457,5

41,62,1

- 101,9

• Menghitung tegangan geser tepat di sebelah kanan sedikit perletakan jepit

2 cm

10 cm

100 cm

2,2 cm

A

B C

D

E

Penyelesaian (Lanjutan)

= DS/bID = 100 kgSA = 0 cmSB = 240 cmbB 100 cmSC = 240 cmbC = 5 cmsD = 240.1 cmbD = 5 cmsE = 0 cm

= 0 = 0.024957 kg/cm2C = 2.495667 kg/cm2D = 2.496707 kg/cm2

E = 0

2 cm

10 cm

100 cm

2,2 cm

A

B C

D

E

0,03

2,49671

2,49567

Hitung dan gambar tegangan utama dan tegangan geser ekstrem pada elemen 1 jarak 0,5 m dari tumpuan, di posisi 2 cm dari sisi bawah penampang

100

kg

100 Kg

150 cm

50 cm

A

A

Menghitung M, N, dan D pada titik sejarak 0,5 m dari tumpuan

LA = 150 cm

MA = 15000 kgcm

NA = 100 kg

DA = 100 kgMenghitungan L, N, di dengan jarak dari serat bawah = 2 cm

LA = nMAy/I

n = 1

y = 7.8

LA = -60.8319 kg/cm2

N= -0.4 kg/cm2

= DS/bI

S = 88 cm

b = 5

t = 4.57539 kg/cm2

X = LA+N = -61.2319 kg/cm2

= 0,915 kg/cm22

cm10 cmKayu

Kayu ‘

100 cm

2,2 cm

A-A

2 cm

X =61,23 kg/cm2

XY =0,92 kg/cm2

Menghitung tegangan utama (tegangan normal maksimum dimana tegangan geser = 0)

max, min = -30.6159 +/- 30.62962

max = 0.013672 kg/cm2

min = -61.2456 kg/cm2

• tan (2) = -0.02989

• 21 = -1.712 atau

• 22 = 178.288 1 = -0.856 atau 2 = 89.144

Menghitung tegangan geser ekstrem

max, min = +/- 30.62962

max = 30.62962

min = -30.6296

• tan (2) = 33.4572

• 21 = 88.288 atau

• 22 = 268.288 1 = 44.144 atau 2 = 134.144 x’=1=2=½(+y)

x’= -30.6159

Quiz IDiketahui :- Konstruksi komposit kantilever dengan

bentang 2 meter.- Beban lintang, 100 kg (vertikal sesuai

gravitasi) sejarak 2 meter dari perletakan jepit.

- Beban normal, 100 kg (horisontal ke arah kiri dengan asumsi tepat di titik berat penampang).

- Bahan 1 adalah baja dengan E1= 2x106 kg/cm2 dengan dimensi tebal 2cm dan lebar 5 cm

Soal: 1. (Nilai 35) Hitung tegangan lentur tepat di sebelah kanan (sedikit) perletakan jepit di titik A, B, C, D, E, F,

G), titik B dan C, F dan E adalah titik transisi antara dua material, titik D adalah titik berat penampang2. (Nilai 35) Hitung tegangan geser tepat di sebelah kanan (sedikit) perletakan jepit di titik A, B, C, D, E, F,

G3. (Nilai 30) Hitung tegangan utama dan tegangan geser ekstrem pada elemen 1 jarak 0,5 m dari tumpuan, di

posisi 2 cm dari sisi bawah penampang

Jawaban dikumpulkan per-email paling akhir tanggal 13 Juni jam 24.00 ke alamat email :a3ridho@ gmail.com

- Bahan 2 adalah kayu dengan E2= 1x105 kg/cm2 dengan dimensi tebal (NRP, 2 angka terakhir) cm dan lebar 5 cm

- Bahan 3 adalah Aluminium dengan E3= 5x105 kg/cm2 dengan dimensi tebal 1 cm dan lebar 5 cm

Kesepakatan tanda M, N dan DM M

MM

NN

NN

D

D

D

D

A = 100x2+5x10

= 250 cm2

I = 1923,23 cm4

B

100 kg

100 kgC

1.5 m

N = 100 kg (tekan)

M = 100x150 = 15.000 kgcmD = 100 kgL1 = My/I = 15.000x7,8/1923,3= 60,83 kg/cm2 (-)N1 = N/A = 100/250= 0,4 kg/cm2 (-)1 = DS/bI = 100x(5x20)x8,8/(5x1923,23)= 9,15 kg/cm2 (+)

STATUS TEGANGAN PADA ELEMEN

x = ( n + l ) arah xy= ( n +l ) arah yτxy = τ

• Gambar X dan Y

menunjukkan tanda positif (tarik)

•Gambar XY menunjukkan D (gaya lintang/geser) positif

X

Y

Y

τXY

τXY

X

VII 23

CARA ANALITIS (HITUNGAN) TEGANGAN PADA BIDANG TERTENTU

• TEGANGAN PADA BIDANG TERTENTU– Gambar elemen

– Tegangan normal/aksial

– Tegangan geser

x+y x-y x’ = + cos2 + xysin2 2 2

xx

y

y

yx

yx

xy

xy

x

x’

y’ y

x-y

x’y’ = - sin2 + xycos2 2

Pedoman tanda positip (+) pos (+) : meninggalkan elemen pos (+) : kiri ke bawah, kanan ke atas

x’x’y’

Sudut transformasi Diukur dari sb.x ke sb.x’ berlawanan arah jarum jam

Arah sumbu terhadap bidang Sb.x’ bidang Sb.y’ berimpit bidang

Arah tegangan terhadap bidang x’ arahnya bidang x’y’ arahnya // bidang

Garis bidang

VII 24

CARA ANALITIS (HITUNGAN) TEGANGAN UTAMA/EKSTRIM

• TEGANGAN NORMAL EKSTRIM– Syarat terjadinya tegangan utama/ekstrim

– Besar tegangan normal ekstrim

– Bila terjadi x’maks dan x’min maka x’y’=0

– Bidang dimana terjadi x’maks dan x’min saling tegak lurus (1’ dan 1” berselisih sudut 90)

2xy

tg21 =

x-y

1’ =

1” =

x+y x-y

x’maks = 1 = + √{()2 + (xy)2}

2 2

x+y x-y

x’min = 2 = - √{()2 + (xy)2}

2 2

PEDOMAN KWADRAN tgα = sinα/cosα

Kw II : 180°-α Kw I : α neg = pos/neg pos = pos/pos

Kw III : 180°+α Kw IV : 360°-α pos = neg/neg neg = neg/pos

VII 25

CARA ANALITIS (HITUNGAN) TEGANGAN UTAMA/EKSTRIM

• TEGANGAN GESER EKSTRIM– Syarat terjadinya tegangan utama/ekstrim

– Besar tegangan normal ekstrim

– Bila terjadi x’y’maks dan x’y’min maka x’=1=2=½(x+y)

– Bidang dimana terjadi x’y’maks dan x’y’min saling tegak lurus (2’ dan 2” berselisih sudut 90) x’y’maks = -x’y’min

x-y

tg22 = -

2xy

2’ =

2” =

x-y

x’y’maks = + √{()2 + (xy)2}

2

x-y

x’y’min = - √{()2 + (xy)2}

2

PEDOMAN KWADRAN tgα = sinα/cosα

Kw II : 180°-α Kw I : α neg = pos/neg pos = pos/pos

Kw III : 180°+α Kw IV : 360°-α pos = neg/neg neg = neg/pos

CARA GRAFIS (LINGKARAN MOHR) TEGANGAN UTAMA/EKSTRIM

• LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN LINGKARAN MOHR– Buat salib sumbu x= dan y=– Tentukan pusat lingkaran : C dengan koordinat xC=½(x+y) dan yC=0

– Tentukan titik pada lingkaran : A dengan koordinat xA=x dan yA=xy

– Buat lingkaran dengan pusat di titik C dan melalui titik A (jari-jari lingkaran = CA)

• MENENTUKAN TEGANGAN UTAMA/EKSTRIM– Tegangan normal ekstrim : 1=x’maks = tepi kanan lingkaran, 2=x’min = tepi kiri lingkaran

– Tegangan geser ekrtrim : x’y’maks = tepi atas lingkaran, x’y’min = tepi bawah lingkaran

2=x’min 1=x’maks

x’y’maks

x’y’min

C

A

xC=½(x+y)

xA=x

yA=xy

x

xy

VII 27

CARA GRAFIS (LINGKARAN MOHR) TEGANGAN PADA BIDANG TERTENTU (x’ dan x’y’)

• DIKETAHUI : x, y, xy dan sudut

• LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN TEGANGAN PADA BIDANG TERTENTU (menentukan x’ dan x’y’)

– Buat lingkaran Mohr, tentukan titik A dengan koordinat xA=x dan yA=xy

– Tarik garis sejajar bidang (sb.y’) melalui A yang memotong lingkaran di B, atau (AB//y’)

– Tarik garis vertikal melalui B yang memotong lingkaran di D, maka koordinat D yaitu xD=x’ dan yD=x’y’

x

y

y

xx

xy

xy

x’y’y

x

xy

A(x,xy) D(x’,x’y’)

B

VII 28

CARA GRAFIS (LINGKARAN MOHR) ARAH BIDANG TERTENTU ()

• DIKETAHUI : x, y, xy dan tegangan tertentu yaitu x’ dan x’y’

• LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN ARAH BIDANG TERTENTU (menentukan )– Buat lingkaran Mohr, tentukan titik

A dengan koordinat xA=x dan yA=xy serta titik D dengan koordinat xD=x’ dan yD=x’y’

– Tarik garis vertikal melalui D yang memotong lingkaran di B

– Tarik garis BA, lalu tarik garis p melalui A tegak lurus garis BA

= sudut antara sumbu x dan garis p

x

y

y

xx

xy

xy

y

x

xy

A(x,xy)

D(x’,x’y’)

B

p

x = N1 + L1

= -0,4 – 60,83

= -61,23 kg/cm2

x = -61,23

kg/cm2

=9,15kg/cm2

=9,15 kg/cm2

xy = 9,15 kg/cm2

elemen 1, 20 cm dari sisi bawah penampang

TEGANGAN UTAMA DAN TEGANGAN GESER EXTREM

TEGANGAN UTAMA

TEGANGAN EKSTREM

Catatan : Untuk memasukkan besar tegangan pada rumus di samping

X dan Y positif (+ )

τXY positif ( + )

TEGANGAN UTAMA

max, min = +

2

2

2+ + 2

= -30,6 + 31,9

max = kg/cm2

min = -kg/cm2

Tg 2xy

x –y)

= 2 . 9,15 /(-61,23) = 0,088

21 = -16,6o 1 = - 8,3o

22 = 163,36o2 = 81,68o

8,3o

-62,5

-62,5

1,3

1,3

TEGANGAN GESER MAKSIMUM

max, min =

2

2+ + 2

= + 83,15

max = kg/cm2

min = kg/cm2

= -61,23/( 2 . 9,15) =

21 = -89,8o 1 = -44,9o

22 = 90,2o2 = 45,1o

Tg 2x –y)

xy

’ = x+y

= -30,6 kg/cm2

44,9o

30,6

30,6

3232

N = 100 kg (tekan)

M = 100x150 = 15.000 kgcmD = 100 kgL2 = n My/I = 20x15.000x1,2/1923,3= 187,2 kg/cm2 (+)N2 = nN/A = 20x100/250= -8 kg/cm2 (-)2 = n DS/bI = 20x100x{(100x1)x1,7}/(100x1923,23)= 1,76 kg/cm2 (+)x = N1 + L1

= -8 + 187,2

= 179,2 kg/cm2

xy = 1,76 kg/cm2

x = 179,2

kg/cm2

=9,15kg/cm2

=9,15 kg/cm2

TEGANGAN UTAMA

max, min =

2

2

2+ + 2

max = kg/cm2min = -0,02kg/cm2

Tg 2xy

x –y)

21 = 1,2o 1 = 0,6o

22 = 181,2o2 = 90,6o

179,2

0,6o

-0,02

179,2

-0,02

TEGANGAN GESER MAKSIMUM

max, min =

2

2+ + 2

= + 83,15

max = kg/cm2

min = kg/cm2

21 = 89,68o 1 = 44,84o

22 = 269,68o2 = 134,84o

Tg 2x –y)

xy

’ = x+y

= 89,6 kg/cm2

32 44,9o

30,689,6

89,6

Tugas Mata Kuliah

• Sebutkan dan jelaskan 5 Contoh kegunaan/penerapan Penampang Non Homogen dalam Aplikasi Teknik Sipil.

• Tugas dikumpulkan max 9 september 2009 pukul 24.00 ke email :

• yusufxyz@gmail.com dan yusuf_xy@yahoo.com.au.• Tidak boleh terlambat, jika terlambat nilai maksimal akan

diturunkan • menjadi 60

Menentukan Tegangan Dalam Beton dan Baja pada Penampang Komposit

x

h’h

Tc

Ts

b

sAs

x

h’-x/3

Untuk tegangan beton

Tb = ½.b.x.b

M = Tb (h’-x/3) = ½.b.x.b.(h’-x/3)

b = 2M/(b.x(h’-x/3)

Untuk tegangan bajaTs = s.AM = Ts (h’-x/3) = s.A.(h’-x/3)s = 2M/(A.(h’-x/3)

Syarat SH = 0Tb = Ts