Matriks

-11-

MATRIKS

A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS

1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS

Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ].

Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.

Bentuk umum : A =

elemen matriks pada baris 1, kolom 1

elemen matriks pada baris 1, kolom 2

elemen matriks pada baris 1, kolom 3

.

.

.

elemen matriks pada baris m, kolom n

Contoh 1: Diketahui matriks A =

Tentukan :

a. banyak baris

d. elemen-elemen kolom ke-3

b. banyak kolom

e.

c. elemen-elemen baris ke-2f.

Jawab : a. banyak baris buah

b. banyak kolom buah

c. celemen-elemen baris ke-2 :

d. elemen-elemen kolom ke-3 :

e. = elemen baris ke-3 kolom ke-2 =

f. = elemen baris ke-1 kolom ke-3 =

Contoh 2: Diketahui

Tentukan letak elemen 2 dan 6 !

Jawab : elemen 2 =

elemen 6 =

2. ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

Contoh :

B =

Ordo matriks B adalah B2 x 3

- 4

6Contoh 3: Diketahui

Tentukan ordo matriks P

Jawab : Ordo matriks P = x

3. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Misal :

2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

Misal :

3. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Misal :

4. Matriks Bujur sangkar

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Misal :

5. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

Misal :

6. Matriks Satuan (Identitas)

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

Misal :

7. Matriks Skalar

Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Misal :

8. Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Misal :

9. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Misal :

LATIHAN SOAL

1. Diketahui

Tentukan :

a. elemen-elemen baris ke-2

b. elemen-elemen kolom ke-2

c. elemen-elemen kolom ke-4

d. elemen baris ke-1 kolom ke-3

e. elemen baris ke-3 kolom ke-5

f. ordo P

2. Diketahui

Tentrukan :

a. ordo X

b. elemen-elemen baris ke-2

c.

d.

e.

3. Diketahui

Tentukan letak elemen :

a. 2b. 5

c. 6

d. 3

e. 0

4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?

a.

b.

c.

d.

5. Berikan contoh lain dari matriks :

a. skalar

b. segitiga bawah

c. segitiga atas

d. diagonal4. KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh :

A = B

=

Contoh 1: Mana matriks yang sama ?

Jawab : Matriks yang sama yaitu matriks dan

Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a.

3a = -12

a = -12/3

a = -4

2b = 9

b = 9/2

b = 4,5Contoh 2: Tentukan x dan y dari

Jawab : x =

2y = y =

5. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.

Transpose matriks A dinyatakan dengan atau A.

Contoh :

A =

At = AT = =

Contoh 3: Jika maka tentukan

Jawab : =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan x dan y dari :

a.

b.

c.

d.

2. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

b.

c.

d.

3. Tentukan transposenya dari :

a.

b.

4. Tentukan c jika , dan

B. OPERASI MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

Contoh 1: Jika dan maka tentukan A + B

Jawab : A + B =

Contoh 2: Jika , dan , tentukan :

a. A + B

b. B + Ac. A + (B + C)

d. (A + B) + C

Jawab : a. A + B =

b. B + A =

c. A + (B + C) =

d. (A + B) + C =

Contoh 3: Diketahui , dan .

Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O

b. A + O = O + A = A

Jawab : a. A + (-A) =

(-A) + A =

b. A + O =

O + A =

Sifat-sifat penjumlahan matriks :

1. A + B = B + A (bersifat komutatif)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)

3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

Contoh 4: Jika dan , maka tentukan :

a. A B

b. B A

Jawab : a. A B =

b. B A =

Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1. A B B A (tidak komutatif)

2. A (B C) = (A B) C (asosiatif)

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakanlah !

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

2. Tentukan x jika

3. Tentukan x jika

4. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

b.

3. PERKALIAN MATRIKS

3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh 1: Jika maka tentukan :

a. 2A

b.

Jawab : a. 2A =

b. =

Contoh 2: Jika dan maka tentukan :

a. 2(A + B)

b. 2A + 2B

c. 2(3A)d. 6A

Jawab : a. 2(A + B)=

b. 2A + 2B =

c. 2(3A) =

d. 6A =

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :

1. k(A + B) =

2. (k + l)A =

3. k(lA) =

LATIHAN SOAL

1. Jika dan , maka tentukan :

a. 2A + 2B

b. 3A 2B

c.

d. 4(A B)

2. Tentukan matriks X jika:

a.

b.

c.

d.

3. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

b.

4. Diketahui dan . Jika , maka tentukan nilai c !

3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Ordo hasil perkalian matriks dengan , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino).

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal : dan maka :

AB = =

Contoh 1: Diketahui dan .

Terntukan :

a. AB

b. AC

c. AD

Jawab : a. AB =

b. AC tidak dapat dikalikan, karena

c. AD =

Contoh 2: Diketahui dan .

Tentukan :

a. AB

b. BA

c. (AB)Cd. A(BC)

e. A(B + C)

f. AB + ACg. AI

h. IA

Jawab : a. AB =

b. BA =

c. (AB)C =

d. A(BC) =

e. A(B + C) =

f. AB + AC =

g. AI =

h. IA =

Sifat-sifat perkalian matriks :

1. Umumnya tidak komutatif (AB BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)

3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

4. Identitas : IA = AI = A

5. k(AB) = (kA)B

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan !

a.

b. c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Diketahui . Jika dan maka tentukan :

a.

b.

3. Jika dan maka tentukan :

a.

b.

4. Tentukan a jika

C. INVERS MATRIKS

1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2

Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu maka A dan B dikatakan saling invers. Invers matriks A dinotasikan .

Misal dan maka :

AB = I

EMBED Equation.3 ap + br = 1

dan

cp + dr = 0

aq + bs = 0

dan

cq + ds = 1

Karena = maka

ad bc disebut Determinan (D) atau atau det(A).

Jadi .

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad bc maka matriks A disebut matriks Non Singular.

Contoh 1: Tentukan determinan

Jawab :

Contoh 2: Tentukan invers dari

Jawab :

Contoh 3: Tentukan x jika merupakan matriks singular !

Jawab : ad bc = 0

Contoh 4: Tentukan matriks X jika

Jawab : XA = B X = =

Jika ada persamaan matriks berbentuk :

AX = B maka X

XA = B maka X =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinannya !

a.

b. B =

c.

d.

2. Tentukan inversnya ! (jika ada)

a.

b.

c.

d.

3. Tentukan x jika singular

4. Tentukan matriks X jika :

a.

b.

c.

d.

2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3

2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :

1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5

2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.

det (A) =

= ( .. ) + ( . ) + ( . ) ( )

- ( ) ( )

Contoh 1: Jika maka tentukan

Jawab : =

=

MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT

Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian dengan dan ditulis dengan . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).

Contoh 2: Diketahui . Tentukan :

a.

b.

c.

d.

e. Adj(M)

Jawab : a. =

b. =

c. =

d. =

f. Adj(M) =

=

=

2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3

Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :

Contoh 3: Tentukan invers dari

Jawab :

=.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinan dari :

a.

b.

c.

2. Tentukan x jika

3. Diketahui . Tentukan :

a.

b.

c.

d.

e. Adj(X)

4. Tentukan inversnya dari :

a.

b.

3. PERSAMAAN MATRIKS

1.A.X = B

A-1.A.X = A-1.B

I.X = A-1.B

X = A-1.B

Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B

X.A.A-1 = B.A-1X.I = B.A-1X = B.A-1Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

Contoh :Tentukan matriks X nya

1.

2.

4.PEMAKAIAN INVERS MATRIKS

Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks

x + 7y = 13

2x + 5y = 8

jawab :

jadi x = -1, dan y = 2

LATIHAN

1.Tentukan matriks X nya :

a.

b.

2.Tentukan matriks B nya :

3.Tentukan matriks X nya :

4.Tentukan nilai x + y, jika diketahui :

EMBED Equation.3 5.Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut :

a.2x 3y = -1

x + 2y = 11

b.3x + y = 7

x 3y = -1

Matriks

_1126703866.unknown

_1126717069.unknown

_1127277809.unknown

_1496032235.unknown

_1496032815.unknown

_1496032824.unknown

_1496032888.unknown

_1496032890.unknown

_1496032892.unknown

_1496032894.unknown

_1496032895.unknown

_1496032893.unknown

_1496032891.unknown

_1496032889.unknown

_1496032886.unknown

_1496032887.unknown

_1496032885.unknown

_1496032820.unknown

_1496032822.unknown

_1496032823.unknown

_1496032821.unknown

_1496032818.unknown

_1496032819.unknown

_1496032817.unknown

_1496032469.unknown

_1496032813.unknown

_1496032814.unknown

_1496032520.unknown

_1496032337.unknown

_1496032408.unknown

_1496032336.unknown

_1496032236.unknown

_1496032027.unknown

_1496032031.unknown

_1496032033.unknown

_1496032234.unknown

_1496032032.unknown

_1496032029.unknown

_1496032030.unknown

_1496032028.unknown

_1127279484.unknown

_1229769349.unknown

_1496032026.unknown

_1229769483.unknown

_1229769521.unknown

_1229769568.unknown

_1229769432.unknown

_1127281860.unknown

_1127282306.unknown

_1127282641.unknown

_1127282675.unknown

_1127282725.unknown

_1127282768.unknown

_1127282658.unknown

_1127282561.unknown

_1127282623.unknown

_1127282371.unknown

_1127282215.unknown

_1127282264.unknown

_1127282068.unknown

_1127279673.unknown

_1127281698.unknown

_1127279587.unknown

_1127278226.unknown

_1127278701.unknown

_1127279081.unknown

_1127279142.unknown

_1127278715.unknown

_1127278523.unknown

_1127278590.unknown

_1127278442.unknown

_1127277868.unknown

_1127278141.unknown

_1127278167.unknown

_1127278202.unknown

_1127278072.unknown

_1127277830.unknown

_1126723349.unknown

_1126723709.unknown

_1127244557.unknown

_1127245375.unknown

_1127277748.unknown

_1127244585.unknown

_1126724994.unknown

_1127244464.unknown

_1126724757.unknown

_1126723515.unknown

_1126723627.unknown

_1126723667.unknown

_1126723573.unknown

_1126723407.unknown

_1126723437.unknown

_1126723378.unknown

_1126717644.unknown

_1126723191.unknown

_1126723262.unknown

_1126723292.unknown

_1126723226.unknown

_1126717801.unknown

_1126717889.unknown

_1126717725.unknown

_1126717420.unknown

_1126717493.unknown

_1126717535.unknown

_1126717450.unknown

_1126717311.unknown

_1126717382.unknown

_1126717109.unknown

_1126713318.unknown

_1126715367.unknown

_1126716462.unknown

_1126716748.unknown

_1126716836.unknown

_1126716866.unknown

_1126716806.unknown

_1126716610.unknown

_1126716719.unknown

_1126716578.unknown

_1126716006.unknown

_1126716091.unknown

_1126716210.unknown

_1126716122.unknown

_1126716193.unknown

_1126716064.unknown

_1126715479.unknown

_1126715498.unknown

_1126715417.unknown

_1126714767.unknown

_1126715257.unknown

_1126715334.unknown

_1126715347.unknown

_1126715304.unknown

_1126714915.unknown

_1126715217.unknown

_1126714826.unknown

_1126713925.unknown

_1126714658.unknown

_1126714724.unknown

_1126714310.unknown

_1126713511.unknown

_1126713877.unknown

_1126713432.unknown

_1126711880.unknown

_1126712419.unknown

_1126712893.unknown

_1126713142.unknown

_1126713196.unknown

_1126712912.unknown

_1126712646.unknown

_1126712696.unknown

_1126712614.unknown

_1126712123.unknown

_1126712229.unknown

_1126712327.unknown

_1126712174.unknown

_1126711977.unknown

_1126712073.unknown

_1126711912.unknown

_1126704678.unknown

_1126711323.unknown

_1126711460.unknown

_1126711497.unknown

_1126711376.unknown

_1126704849.unknown

_1126711263.unknown

_1126704785.unknown

_1126704376.unknown

_1126704523.unknown

_1126704609.unknown

_1126704452.unknown

_1126704130.unknown

_1126704186.unknown

_1126703930.unknown

_1126700232.unknown

_1126701568.unknown

_1126702393.unknown

_1126703202.unknown

_1126703713.unknown

_1126703781.unknown

_1126703392.unknown

_1126702518.unknown

_1126703164.unknown

_1126702473.unknown

_1126702040.unknown

_1126702144.unknown

_1126702173.unknown

_1126702111.unknown

_1126701688.unknown

_1126701980.unknown

_1126701627.unknown

_1126700863.unknown

_1126701193.unknown

_1126701448.unknown

_1126701497.unknown

_1126701273.unknown

_1126701035.unknown

_1126701099.unknown

_1126700955.unknown

_1126700659.unknown

_1126700730.unknown

_1126700802.unknown

_1126700686.unknown

_1126700520.unknown

_1126700592.unknown

_1126700334.unknown

_1126697732.unknown

_1126698460.unknown

_1126700018.unknown

_1126700084.unknown

_1126700135.unknown

_1126700049.unknown

_1126698541.unknown

_1126698608.unknown

_1126698513.unknown

_1126698226.unknown

_1126698262.unknown

_1126698291.unknown

_1126698247.unknown

_1126697918.unknown

_1126698098.unknown

_1126697846.unknown

_1126696549.unknown

_1126697210.unknown

_1126697489.unknown

_1126697626.unknown

_1126697355.unknown

_1126696973.unknown

_1126697084.unknown

_1126696938.unknown

_1126696177.unknown

_1126696368.unknown

_1126696463.unknown

_1126696316.unknown

_1126695600.unknown

_1126695617.unknown

_1126695399.unknown