modul b-3 (modul 8a)pengenalan analisa struktur metode matriks
TRANSCRIPT
MODUL MATERI KULIAH B-3PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS
Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur
Metode Matriks (ASMM)
3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus
kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa
struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,
matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :
{ P } = [ K ] { U }
dimana :
{ P } = matriks gaya
[ K ] = matriks kekakuan
{ U } = matriks perpindahan
Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu
dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah :
perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.
Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan
kinematis struktur.
Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang
ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak
diketahui “.
3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks
kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif
METODE KEKAKUAN LANGSUNGmatriks kekakuan
U1, P1 U2, P2
{ P } = [ K ] { U }
U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan
P1 K11 K12 K13 K14 U1
P2 K21 K22 K23 K24 U2
P3 K31 K32 K33 K34 U3
P4 K41 K42 K43 K44 U4
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U1
P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U2
P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U3
P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U4
Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)
Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)
Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)
Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)
11 2
=
U1’ = 1 P1’ = K11
P2’ = K21
P3’ = K31
P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11
P2’ = K21
P3’ = K31
P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11
P2’ = K21
P3’ = K31
P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11
P2’ = K21
P3’ = K31
P4’ = K41
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
Matriks Kekakuan
Gambar (a) (b) (c) (d)
K =
K =
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
L, EA
K11 = K21 =
U1, P1 U2, P2
U3, P3 U4, P4
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
6 x 6
U1’,P1’ U2’,P2’
U1’= 1
K12 = - U2’= 1
K22 =
11 2
K =
Kinematis tidak tentu orde 1
Kinematis tertentu
Struktur primer
(Restrained structure)
Sistem sekunder
Kondisi awal : M2 = 0
M2 = M2q + M2
2 = 0
= 0
M12 = M12q +
= +
M12 = M21q +
= +
3.3 Elemen Balok 2 Dimensi
Tujuan Pembelajaran Khusus
q
[ K1 ] =
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2
dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Elemen 1
0 0 0 1
0
0
0
1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 23
0 00
12
0 1 1 2
0
K1 =
= +
0 0=
2 x 2 0 0
Elemen 2
0 1 0 2
0
1
0
2
Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
K2 =
[ K2 ] =
q
0 0
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
Us =
Us =Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
U11
U12
U13
U14
000
U21
U22
U23
U24
0
0
q
0 0
0
0
0
0
PR2 =PR1 =
0
0
0
0
0
0
0
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
P1 =
+
0
0
0 0
P1 = =
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 =
+
P2 = =
q 0
- -+
-
+ +
q
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
[ K1 ] = 0 0
0
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
1 231
20 1 1 2
K1 =
[ K2 ] =
K2 =
= +
0
=
q
0 0
0 0
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
U11
U12
0
U21
U22
q
0 0
0
0PR2 =PR1 =
Us =
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
0 0
0
q 0
P1 = +
P1 = =
P2 = +
P2 = =0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja
Hasil perhitungan hanya momen saja
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
Free Body Diagram :
- -+
-
+ +
q
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,
dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk
kekakuan balok yang tidak sama.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, 2EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
[ K1 ] = 0 0
0
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
1 231
20 1 1 2
K1 =
[ K2 ] =
K2 =
= +
0
=
q
0 0
0 0
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
U11
U12
0
U21
U22
q
0 0
0
0
Us =
Us =
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
PR2 =PR1 =
0 0
0
q 0
P1 = +
P1 = =
P2 = +
P2 = =0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja
Hasil perhitungan hanya momen saja
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
Free Body Diagram :
- -+
-
+ +
q = 1 t/m P = 2 t
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L = 4 m, EI L = 2 m, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
1 2 3
0
1 3
0
0
2
1 2
[ K1 ] = 0 0
0
Menentukan matriks tujuan DOF : 3 2 rotasi
1 dilatasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
0 1 2 3
0
1
2
3
Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T
1 2 3
0 2
1 20 11 3
0
K2 =
K1 =
= +
0 0
=
q =1 t/m
= EI
3 -1,5 1
-1,5 1,5 -1,5
1 -1,5 2
P = 2 t
3 x 3
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
[ K2 ] =
0 0
U11
U12
0
0
Ps =
= EI
3 -1,5 1
-1,5 1,5 -1,5
1 -1,5 2
[ Ks ]
1 2 1
2 6,67 4
1 4 3
=
1 2 1
2 6,67 4
1 4 3
=
-2,67
-10,67
-6,67
-2,67
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ]-1 =
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
1,33
-2
0
1,33
-2
0
Rotasi di joint 2
Translasi di joint 3
Rotasi di joint 3
U21
U22
U23
U24
0
- 2,67
-10,67
- 6,67
1,33
-1,33
PR2 =PR1 =
0 0
q =1 t/mP = 2 t
2
0
0
2
0
0 1,33
-1,33
P1 = +
P1 = Hasil perhitungan hanya momen saja
0
- 4
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
0
- 2,67
-10,67
- 6,67
2
4
0
0
q =1 t/m P = 2 t
++
0
0
2
0
-
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 =
+
P2 =
Free Body Diagram :
0 4 4
1 3 2
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
1 2 2
-+
3
Bidang M :
4
