modul matematika ipa · pdf filesiap ujian nasional 2013/2014 modul matematika ipa milik amc:...

SIAP UJIAN NASIONAL

2013/2014

MODUL MATEMATIKA IPA

Milik AMC:Tidak untuk dijual

I Komang Witarsa, S.Pd.

Materi Disusun Per IndikatorSesuai SKL UN 2014

DAFTAR ISI

1. Pangkat, Akar dan Logaritma................................................................................................. 1

2. Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat ......................................................... 18

3. Sistem Persamaan Linear ..................................................................................................... 42

4. Trigonometri I ...................................................................................................................... 53

5. Trigonometri II ....................................................................................................................64

6. Logika Matematika .............................................................................................................. 85

7. Dimensi Tiga ...................................................................................................................... 101

8. Statistika ............................................................................................................................ 132

9. Peluang .............................................................................................................................. 148

10. Lingkaran ........................................................................................................................... 162

11. Suku Banyak ...................................................................................................................... 170

12. Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi ................................................................................. 184

13. Limit Fungsi ....................................................................................................................... 197

14. Turunan Fungsi (Derivatif) ............................................................................................... 214

15. Integral (Anti Turunan) ...................................................................................................... 230

16. Program Linear .................................................................................................................. 276

17. Matriks ............................................................................................................................... 288

18. Vektor ................................................................................................................................ 300

19. Transformasi ..................................................................................................................... 325

20. Barisan Dan Deret ............................................................................................................. 336

21. Fungsi Eksponen dan Logaritma....................... ......... ..... ..................................................354

1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional

1) Pangkat negatif dan nol

Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:

a) a–n = na

1atau an =

na−1

b) a0 = 1

2) Sifat–Sifat Pangkat

Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) ap × aq = ap+q

b) ap : aq = ap–q

c) ( )qpa = apq

d) ( )nba× = an×bn

e) ( )n

n

b

an

ba =

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13

Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 2

1.

Nilai 21)( −a x 3

4

−c

b = …..

A. 2

1 D.

16

1

B. 4

1 E.

32

1

C. 8

1 Jawab : C

21)( −a x 3

4

−c

b = a – 2⋅b4⋅c3 =

2

34

a

cb ⋅

= ( )2

3

214

4

2 ⋅

= 16

16 81⋅

= 81 ………..(C)

2. UN 2012/C37

Diketahui ,2,2

1 == ba dan c = 1

.Nilai dari 12

32 ..−

−

cab

cba adalah ….

A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 E. 96 Jawab: B

12

32 ..−

−

cab

cba =

122

3

−⋅⋅⋅⋅

bbaa

cc

= ba

c

⋅3

4

= ( ) 2

13

21

4

⋅=

2

1

81 ⋅

= 41

1= 4 …….. (B)

MODUL AMC SIAP UN 2014

Komang Witarsa, S.Pd.

SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma

2

SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2012/B25

Nilai dari 22

132

bca

cba−

−, untuk a = 2, b = 3

dan c = 5 adalah ...

A. 12581

B. 125144

C. 125432

D. 1251296

E. 1252596

Jawab : B

22

132

bca

cba−

− =

2

1322

cc

bbaa

⋅⋅⋅⋅ −

= 3

24

c

ba ⋅

= 3

24

5

32 ⋅

= 125

916⋅

= 125

144 ...................................(B)

4. UN 2012/E52 Jika di ketahui x = 3

1 , y = 51 dan z = 2

maka nilai dari adalah…..

A. 32 B. 60 C. 100 D. 320 E. 640 Jawab : B

= 1243

24

−−

−

⋅⋅⋅⋅

yyxx

zz

=

= 51

31

22

× =

151

4

= 4 × 15 = 60 ……………(B)

5. UN 2011 PAKET 12 Bentuk sederhana dari

417

643

84

7−−−

−−

zyx

zyx = …

a. 3

1010

12y

zx d.

4

23

12x

zy

b. 34

2

12 yx

z e.

23

10

12 zy

x

c. 2

510

12z

yx Jawab : e

417

643

84

7−−−

−−

zyx

zyx =

6441

73

127

7

zzyy

xx

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−

= 23

10

12 zy

x ……………….(e)

6. UN 2011 PAKET 46 Bentuk sederhana dari

632

27

6

24−−−

−−

cba

cba = …

a. 53

54

ba

c d.

5

74

a

bc

b. 55

4

ca

b e.

ba

c3

74

c. ca

b3

4 Jawab : d

632

27

6

24−−−

−−

cba

cba =

72

632

6

46

aa

ccbb

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−

−

= 5

74

a

bc ……………………(d)

423

24

−−

−−

zyx

yzx 423

24

−−

−−

zyx

yzx

xy

z2



3

SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2010 PAKET A

Bentuk sederhana dari 1

575

35

3

27−

−−

−−

ba

ba adalah …

a. (3 ab)2 b. 3 (ab)2 c. 9 (ab)2

d. 2)(

3

ab

e. 2)(

9

ab

Jawab : e

1

575

35

3

27−

−−

−−

ba

ba =

575

353

3

3

ba

ba−

−

= 3557

53 33−−

−

⋅⋅⋅⋅

bbaa

= 22

23

ba

= 2)(

9

ba ………………(e)

8. UN 2010 PAKET B Bentuk sederhana dari

254

423

)5(

)5(−−−

−

ba

ba adalah …

a. 56 a4 b–18 b. 56 a4 b2 c. 52 a4 b2 d. 56 ab–1 e. 56 a9 b–1 Jawab : a

254

423

)5(

)5(−−−

−

ba

ba =

1082

8124

5

5

ba

ba−

−

= 54+2 a12 – 8 b – 8 – 10

= 56 a4 b– 18 ……………….(a)

9. EBTANAS 2002

Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5 . Nilai dari a2 – b2 = … a. –3 b. –1

c. 2 5

d. 4 5

e. 8 5

Jawab : e

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a – b =2 + 5 – (2 – 5 )= 2 – 2 + 5 + 5 = 2 5

a + b = 2 + 5 + 2 – 5 = 2 + 2 + 5 – 5 = 4

jadi : a2 – b2 = (a – b)(a + b)

= 2 5 × 4

= 8 5 ……………………………….(e)



4

B. Bentuk Akar 1) Definisi bentuk Akar

Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) n aa n =1

b) n maa nm

=

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c

b) a c – b c = (a – b) c

c) ba × = ba×

d) ba + = ab)ba( 2++

e) ba − = ab)ba( 2−+

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:

a) b

ba

b

b

ba

ba =×=

b) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−

−−−

++=×=

2

)(

c) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−−

−−

++=×= )(

SOAL PEMBAHASAN 1. UN 2013

Bentuk sederhana dari √��√�√��√� = …

A. –6 – √35 B. –6 + √35 C. 6 – √35 D. 12 – 2√35 E. 12 + 2√35 Jawab : B

75

75

+−

= )75(

)75(

)75(

75

−−×

+−

= 75

35275

−−+

= 2

35212

−−

= –6 + √35………………………(B)



5


Bentuk sederhana dari ��√��√ ekuivalen

dengan …

A. – �� √3 + 1�

B. – � �√3 + 1�

C. – �� √3 − 1�

D. – � �√3 − 2�

E. – �� √3 − 2�

Jawab : A

324

31

−−

= )324(

)324(

324

31

++×

−−

= 1216

3264

−−−

= 4

322 −−

= – �� √3 + 1�……………………(A)

3. UN 2013

Bentuk sederhana dari ��√��√� adalah …

A. –12 – 5√5 B. –12 + 5√5 C. 12 – 3√5 D. 12 + 3√5 E. 12 + 5√5 Jawab : B

52

521

+−

= )52(

)52(

52

521

−−×

+−

= 54

55102

−−+

= 1

5512

−−

= –12 + 5√5……………………(B)

4. UN 2013

Bentuk sederhana dari ��√��√ = …

A. �� 5 + 13√3�

B. �� 23 + 13√3�

C. �� 5 + 13√3�

D. �� 23 + 5√3�

E. �� 23 + 13√3�

Jawab : E

337

32

−+

= )337(

)337(

337

32

++×

−+

= 2749

313914

−++

= 22

31323+

= )31323(22

1 + …………………(E)



6


Bentuk sederhana dari ��√�√ adalah …

A. �� 3 + 5√3�

B. �� 9 + 5√3�

C. �� 9 + √3�

D. �� 9 + √3�

E. �� 3 + √3�

Jawab : B

33

32

−+

= )33(

)33(

33

32

++×

−+

= 39

3536

−++

= 6

359 +

= )359(6

1 + …………………(B)

6. UN 2013

Bentuk sederhana dari �√��√�√�√� adalah

… A. 5 + 2√6 B. 5 + 3√6 C. 10 + 2√6 D. 10 + 4√6 E. 10 + 6√6 Jawab : D

23

2232

−+

= )23(

)23(

)23(

2232

++×

−+

= 23

6446

−++

= 1

6410+

= 10 + 4√6…………………(D)

7. UN 2013

Bentuk sederhana dari √�√�√�√� = …

A. ��√��

B. ��√��

C. ��√��

D. ��√��

E. ��√��

Jawab : C

5334

53

−+

= )5334(

)5334(

5334

53

++×

−+

= 4548

1571512

−++

= 3

15727+…………………(C)



7


Bentuk sederhana dari √�√��√�√� = …

A. ��√��

D. ��√��

B. ��√��

E. ��√��

C. ��√��

Jawab : A

5332

53

−+

= )5332(

)5332(

5332

53

++×

−+

= 4512

155156

−++

= 33

15521

−+

= 33

15521−−…………………(A)

9. UN 2012/A13


532

−+

adalah…..

A. )10417(3

1 −

B. )10415(3

2 −−

C. )10415(3

2 −

D. )10417(3

1 −−

E. )10417(3

1 +−

Jawab : E

52

532

−+

= 52

52

52

532

++×

−+

= 52

10310532

−++⋅+

= 3

10417

−+

= )10417(3

1 +− ………………...(E)

10. UN 2012/C37

Bentuk 327

733

−+

dapat disederhanakan

menjadi bentuk …

A. –25 – 5 21

B. –25 + 5 21

C. –5 + 5 21

D. –5 + 21

E. –5 – 21

Jawab : E

327

733

−+

= 327

327

327

337

++×

−+

= 347

213212367

⋅−++⋅+

= 127

215187

−++

= 5

21525

−+

= )215( +−

= 215 −− ………………...(E)



8

SOAL PEMBAHASAN 11. UN 2012/D49


322

−−

adalah….

A.–4 – 3 6

B. –4 – 6

C. –4 + 6

D. 4 – 6

E. 4 + 6 Jawab : E

32

322

−−

= 32

32

32

322

++×

−−

= 32

626322

−−+⋅−

= 1

662

−−−

= )64( −−−

= 64 + ………………………….(E)

12. UN 2012/B25


25

+−

A. )10411(131 +−−

B. )1041(131 +−−

C. )10411(131 −

D. )10411(131 +−

E. )10411(131 +−

Jawab: E

235

25

+−

= 235

235

235

25

−−×

+−

= 295

10103235

⋅−−−⋅+

= 185

10465

−−+

= 13

10411

−−

= )10411(131 +− .....................(E)

13. UN 2011 PAKET 12


325

−+

= …

a. 22

15520+ d.

22

15520

−+

b. 22

15523− e.

22

15523

−+

c. 22

15520

−−

Jawab : e

335

325

−+

= ( )( )

( )( )335

335

335

325

++×

−+

= 275

181521535

−+++

= 22

15523

−+

………………..(e)



9

SOAL PEMBAHASAN 14. UN 2011 PAKET 46


233

−+

= …

a. )6313(23

1 +−

b. )6313(23

1 −−

c. )611(23

1 −−−

d. )6311(23

1 +

e. )6313(23

1 +

Jawab : a

263

233

−+

= ( )( )

( )( )263

263

263

233

++×

−+

= 723

3663663

−+++

= 69

6939

−+

= )23(3

)6313(3

−+

= )6313(23

1 +− …………….(a)

15. UN 2010 PAKET A Bentuk sederhana dari

)53(

)32)(32(4

+−+

= …

a. –(3 – 5 )

b. –4

1(3 – 5 )

c. 4

1 (3 – 5 )

d. (3 – 5 )

e. (3 + 5 )

Jawab : d

)53(

)32)(32(4

+−+

= )53(

)34(4

+−

= )53(

)53(

)53(

4

−−×

+

= 59

)53(4

−−

= 4

)53(4 −

= (3 – 5 ) ……….……(d)


62

)53)(53(6

+−+

=…

a. 24 + 12 6

b. –24 + 12 6

c. 24 – 12 6

d. –24 – 6

e. –24 – 12 6

Jawab : b

62

)53)(53(6

+−+

= 62

)59(6

+−

= )62(

)62(

62

)4(6

−−×

+

= 64

)62(24

−−

= 2

)62(24

−−

= – 12( 2 – 6 )

= –24 + 12 6 …………(b)



10

SOAL PEMBAHASAN 17. UN 2008 PAKET A/B

Hasil dari 32712 −+ adalah …

a. 6 d. 6 3

b. 4 3 e. 12 3

c. 5 3 Jawab : b

32712 −+ = 33934 −⋅+⋅

= 2 3 + 3 3 – 3

= (2 + 3 – 1) 3

= 4 3 …………………….(b)

18. UN 2007 PAKET A Bentuk sederhana dari

( )24332758 +−+ adalah …

a. 2 2 + 14 3

b. –2 2 – 4 3

c. –2 2 + 4 3

d. –2 2 + 4 3

e. 2 2 – 4 3

Jawab : b

( )24332758 +−+

⇔ ( )38121632524 ⋅+⋅−⋅+⋅

⇔ ( )392432524 +−⋅+⋅

⇔ 2 2 + 5 3 – 4 2 – 9 3

⇔ (2 – 4) 2 + (5 – 9) 3

⇔ –2 2 – 4 3 …………………………….(b)


( )( )323423 +− = …

a. – 6 – 6

b. 6 – 6

c. – 6 + 6

d. 24 – 6

e. 18 + 6

Jawab : a

( )( )323423 +−

⇔ )32(34)32(23 +−+

⇔ )3(46463)2(3 −−+

⇔ 6)43(126 −+−

⇔ – 6 – 6 ……………………………….. (a)

20. UN 2006


24

− adalah …

a. 18 – 24 7

b. 18 – 6 7

c. 12 + 4 7

d. 18 + 6 7

e. 36 + 12 7

Jawab : e

73

24

− =

)73(

)73(

73

24

++×

−

= 79

)73(24

−+

= 2

)73(24 +

= 12(3 + 7 )

= 36 + 12 7 …………………….(e)



11

SOAL PEMBAHASAN 21. EBTANAS 2002

Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36.

Nilai dari 3

21

31

⋅⋅ −−cba = …

a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18

Jawab : c

321

31

⋅⋅ −−cba =

3

36169 21

31

⋅⋅ −−

= ( ) ( ) 23

21

31

2242 2323

⋅⋅⋅−−

= 23

23

23

24

23

32 22

2323⋅⋅⋅−⋅− ⋅⋅⋅

= 3331 2323 ⋅⋅⋅ −−

= 3331 23 +−+− ⋅ = 32 = 9 …………………..(c)



12

C. Logaritma a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif

(a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: glog a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :

(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx

(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a

b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:

(1) glog (a × b) = glog a + glog b

(2) glog ( )ba = glog a – glog b

(3) glog an = n × glog a

(4) glog a = glog

alogp

p

(5) glog a = glog

1a

(6) glog a × alog b = glog b

(7) mg alogn

= nm glog a

(8) ag alogg=

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013

Diketahui 2log 3 = a dan 2log 5 = b. Nilai dari 9log 150 dalam a dan b adalah …

A. 1 + b

B. ��

C. ��

D. ��

��

E. ��

�

Jawab : D

9log 150 = 9log

150log2

2

= 22

22

3log

)532log( ⋅⋅

= 3log2

5log3log2log2

2222

⋅++

= 3log2

5log23log2log2

222

⋅⋅++

=a

ba

2

21 ++ ……………..……..(D)



13


Diketahui 2log 3 = p dan 3log 5 = q. Hasil

dari 5log 12 = …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : D

5log 12 = 5log

12log3

3

= 5log

)23log(3

23 ⋅

= 5log

2log23log3

33 ⋅+

= p

p

q

p ×⋅+ 1

21

…… penyebut pecahan p

= pq

p 2+…….……..(D)

3. UN 2013 Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = q. Bentuk 3log 10 dinyatakan dalam p dan q adalah …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : B

3log 10 = 3log

10log5

5

= 3log

)25log(5

5 ⋅

= 3log

2log5log5

55 +

= p

p

q

p ×+ 1

1

…… penyebut pecahan p

= pq

p 1+………………….……..(B)



14


Diketahui 5log 3 = a dan 3log 2 = b.

Nilai 6log 10 adalah …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : C

6log 10 = 6log

10log3

3

= )23log(

)25log(3

3

⋅⋅

= 2log3log

2log5log33

33

++

= a

a

b

ba ×

+

+

1

1

…… penyebut pecahan a

= )1(

1

ba

ab

++

…………………….(C)

5. UN 2013 Diketahui 3log 5 = a dan 2log 3 = b. 6log 10 adalah …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : D

6log 10 = 6log

10log3

3

= )23log(

)25log(3

3

⋅⋅

= 2log3log

2log5log33

33

++

= b

b

b

ba

×+

+

11

1

…… penyebut pecahan b

= 1

1

++

b

ab……………...(D)

6. UN 2013 Bentuk sederhana dari

ab

ba

log

loglog2

2222 − adalah …

A. 2log �� B. 2log (ab) C. 2log (a – b) D. 2log (a + b) E. 2log (a + b)2 Jawab : A

ab

ba

log

loglog2

2222 −

⇔ ab

ba

log

)log()log(2

2222 −

⇔ ab

baba

log

)loglog)(loglog(2

2222 −+

⇔ ab

b

aab

log

)log)(log(

2

22

= 2log �� ….…..(A)



15


Nilai dari 18log

3log6log2

2222 −= …

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

E. -2

Jawab : B

18log

3log6log2

2222 −

⇔ 18log

)3log()6log(2

2222 −

⇔ 18log

)3log6log)(3log6log(2

2222 −+

⇔ 18log

)2log)(18log(2

22

= 2log 2

= 1 …………….…..(B)

8. UN 2013

Bentuk sederhana dari ba

ba

loglog

loglog 22

+−

adalah … A. -1 B. 1 C. log

��

D. log a – b E. log (a – b)

Jawab : C

ba

ba

loglog

loglog 22

+−

⇔ ba

ba

loglog

)(log)(log 22

+−

⇔ )log(log

)log)(loglog(log

ba

baba

+−+

⇔ log a – log b = log �� …………….…..(C)

9. UN 2012/C37

Diketahui a=3log5 dan ,4log3 b= Nilai

....15log4 =

A. ab

a+1 D.

a

ab

−1

B. b

a

++

1

1 E.

b

ab

−1

C. a

b

−+

1

1 Jawab : A

4log15 = 4log

15log3

3

= 4log

)53log(3

3 ⋅

= 4log

5log3log3

33 +

= a

a

ba ×

+ 11…….penyebut pecahan a

= ab

a 1+ ……..........................….(A)



16


Diketahui 2log 3 = x dan 2log 10 = y. Nilai 6log 120 = ...

A. 1

2

+++

x

yx

B. 2

1

+++yx

x

C. 2+xy

x

D. x

xy 2+

E. 1

2

+x

xy

Jawab : A

6log 120 = 6log

120log2

2

= )32log(

)3210log(2

22

⋅⋅⋅

= 3log2log

3log2log10log22

2222

+++

= 3log2log

3log2log210log22

222

++⋅+

= x

xy

+++

1

2 ……………………(A)

11. UN 2012/E52

Diketahui p=6log3 , q=2log3 .

Nilai ...288log24 =

A. qp

qp

2

32

++

B. qp

qp

2

23

++

C. qp

qp

32

2

++

D. qp

qp

23

2

++

E. qp

pq

32

2

++

Jawab : A

24log 288 = 24log

288log3

3

= )62log(

)62log(23

233

⋅⋅

= 6log2log

6log2log323

2333

++

= 6log2log2

6log22log333

33

+⋅⋅+⋅

= pq

pq

++

2

23 ……………………(A)

12. UN 2010 PAKET A

Nilai dari ( ) ( )2323

3

2log18log

6log

− = …

a. 81

b. 21

c. 1

d. 2

e. 8

Jawab : a

( ) ( )2323

3

2log18log

6log

−

⇔ ( )( )2log18log2log18log

6log3333

3 21

+−

⇔ )218log(log

6log3

2183

321

⋅×

⇔ 2323

321

6log3log

6log

×

⇔ 6log22

6log3

321

×× =

421

= 81 ………………..(a)



17

SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2010 PAKET B

Nilai dari 18log2log

4log3log9log33

3227

−⋅+

= …

a. 3

14−

b. 6

14−

c. 6

10−

d. 6

14

e. 3

14

Jawab : b

18log2log

4log3log9log33

3227

−⋅+

⇔ 1823

23223

log

2log3log3log21

3⋅+

⇔ 2313

32

21

332

log

2log3log2

3log ⋅+

⇔ 23

32

3log

4−

+ =

3

3

23

14

×−

…penyebut pecahan 3

= 614− …………………..…(b)

14. UN 2008 PAKET A/B Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …

a. ba

a

+

b. 1

1

++

b

a

c. )1(

1

++

ba

a

d. 1

1

++

a

b

e. )1(

1

++

ab

b

Jawab : c

6log 14 = 6log

14log2

2

= 3log2log

7log2log22

22

++

= a

a

ba ×

+

+

1

1 1

………..penyebut pecahan a

= )1(

1

++

ba

a…………………..……..(c)

15. UN 2007 PAKET B Jika diketahui 3log 5 = m dan 7log 5 = n, maka 35log 15 = …

a. n

m

++

1

1

b. m

n

++

1

1

c. m

nm

++

1

)1(

d. ( )

)1(

1

nm

mn

++

e. 1

1

++

m

mn

Jawab : c

35log 15 = 35log

15log5

5

= 7log5log

3log5log55

55

++

= mn

mn

n

m ×+

+1

1

1

1…….penyebut pecahan mn

= mmn

nmn

++

= ( )

)1(

1

++

nm

mn……………………… (c)



18


Nilai dari qrp

pqr 1log

1log

1log

35⋅⋅ = …

a. 15 b. 5 c. –3

d. 151

e. 5

Jawab : a

qrp

pqr 1log

1log

1log

35⋅⋅

⇔ 135 logloglog −−− ⋅⋅ qrp pqr

⇔ (–5)(–3)(–1) rlog p ⋅ plog q ⋅ qlog r

⇔ –15 rlog r = –15 ……………………..(a)

17. UN 2004 Diketahui 2log5 = x dan 2log3 = y.

Nilai 43

300log2 = …

a. 23

43

23 ++ yx

b. 223

23 ++ yx

c. 2x + y + 2

d. 23

432 ++ yx

e. 22 23 ++ yx

Jawab : a

43

300log2 = 43 2log (25 × 4 × 3)

= 43 2log (52 × 22 × 3)

= 43 (2log 52 + 2log 22 + 2log 3)

= 43 (2 2log 5 + 2 2log 2 + 2log 3)

= 43 (2x + 2 + y)

= yx 43

23

23 ++ …………………(a)


2. Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat

A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2) Akar–akar persamaan kuadrat (semua nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat bernilai

benar) dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a

Dbx

22,1±−= , D = b2 – 4ac ( D = determinan)

3) Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat

Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : abxx −=+ 21

b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a

Dxx =− 21 , x1 > x2

c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =⋅

d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar

persamaan kuadrat

a. 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

b. 32

31 xx + = ))((3)( 2121

321 xxxxxx +⋅−+

Catatan:

Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka

1. x1 + x2 = – b

2. Dxx =− 21

3. x1 · x2 = c

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/E25

Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2. Jika

221

221 xxxx + = 32, maka nilai p = ...

A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8 Jawab : C

x2 + 4px + 4 = 0 ............ a = 1, b = 4p, c = 4

221

221 xxxx + = x1x2(x1+x2)

=

−×a

b

a

c

= 21

44 p⋅

32 = 16p

p = 16

32 = 2 …………………..(C)


SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat

20

SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/C37

Akar–akar persamaan kuadrat 042 =−+ axx

adalah p dan q. Jika ,82 22 aqpqp =+− maka nilai a = … A. –8 B. –4 C. 4 D. 6 E. 8 Jawab : C

p2 – 2pq + q2 = 8a... kedua ruas di tambah 4pq p2 + 2pq + q2 = 8a + 4pq

(p + q)2 = 8a + 4pq a2 = 8a + 4(–4)

a2 – 8a + 16 = 0 (a – 4)2 = 0

a = 4 …………….……….(C)

3. UN 2012/D49 Persamaan kuadrat x2 + (m – 1)x – 5 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2. Jika

21x + 2

2x – 2x1 x2 = 8m,maka nilai m = …. A. – 3 atau – 7 B. 3 atau 7 C. 3 atau – 7 D. 6 atau 14 E. – 6 atau – 14 Jawab : B

21x + 2

2x – 2x1 x2 = 8m ... kedua ruas di tambah 4x1 x2

21x + 2

2x + 2x1 x2 = 8m + 4x1 x2

(x1 + x2)2 = 8m + 4x1 x2

(m – 1)2 = 8m + 4(–5) m2 – 2m + 1 = 8m – 20

m2 – 10m + 21 = 0 (m – 3)(m – 7) = 0

m = {3, 7} ...................(B)

4. UN 2010 PAKET A/ UN 2011 PAKET 12 Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m = … a. –12 b. –6 c. 6 d. 8 e. 12 Jawab : a

� α ⋅ β = a

c

2β ⋅ β = 2

16…….. ………….. α = 2β

2β2 = 8 β2 = 4 β = 2 , ………..………… β positif

Cara I Diketahui α = 2β = 2(2) = 4

α + β = a

b−

4 + 2 = 2

m−

6 = 2

m−

m = – 12 ……………………….(a) Cara II Substitusi nilai β = 2 ke persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 2(2)2 + m(2) + 16 = 0

8 + 2m + 16 = 0 2m = –24 m = – 12



21

SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2009 PAKET A/B, UN 2010 PAKET B,

UN 2013 Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8

Jawab : c

(i) α ⋅ β = a

c

2β⋅β = 1

2…….. ………….. α = 2β

2β2 = 2 β2 = 1 β = ±1= {–1, 1}

maka α = 2β = 2(±1) = {–2, 2}

(ii) α + β = a

b−

±2 ± 1 = 1

)1( −− a

± 3 = – a + 1 a = 1 ± 3 = { –2, 4}

karena a > 0, maka a = 4 …....……….(c) 6. UAN 2003

Jika akar–akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + 1 = 0 adalah α dan β, maka nilai

22

11

βα+ sama dengan …

a. 19 b. 21 c. 23 d. 24 e. 25 Jawab : a

• α + β = a

b− =

3

5−

• α β = a

c =

3

1

22

11

βα+ =

22

22

βαβα +

= 2

2

)(

2)(

αβαββα −+

= 9

9

)(

)(2)(2

31

312

35

×−−

= 1

625−= 19 …………………..(a)



22

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan

kuadrat baru dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan cara

sebagai berikut:

1. Menggunakan rumus, yaitu:

x2 – (α + β)x + α β = 0

catatan :

Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :

a. ab

21 xx −=+

b. ac

21 xx =⋅

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

0)()( 121 =++ −− cba ββ , dengan β–1 invers dari β

catatan:

Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12

akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α + 2) dan (β + 2). adalah … a. 3x2 – 24x + 38 = 0 b. 3x2 + 24x + 38 = 0 c. 3x2 – 24x – 38 = 0 d. 3x2 – 24x + 24 = 0 e. 3x2 – 24x + 24 = 0

Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 = α + 2 , x2 = β + 2

Karena x1 dan x2 simetri dan berbentuk penjumlahan, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah dicari dengan metode invers. Metode invers a. Invers dari x = α + 2 adalah α = x – 2

b. Persamaan kuadrat baru

Substitusikan nilai α ke persamaan kuadrat awal: 3α 2 – 12α + 2 = 0 ⇔ 3(x – 2)2 – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3(x2 – 4x + 4) – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 12 – 12x + 24 + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 24x + 38 = 0 ………………..(a)



23


Persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 akar–akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah … a. x2 – 11x – 8 = 0 b. x2 – 11x – 26 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. x2 + 9x – 8 = 0 e. x2 – 9x – 26 = 0 Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 3x1 + 1, β = 3x2 + 1

Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 3x1 dan 3x2, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) x1 + x2 = – b = – (–3) = 3

(ii) x1· x2 = c = –2

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 3x1 + 1 + 3x2 + 1 = 3(x1 + x2) + 2 = 3(3) + 2 = 11 (ii) α·β = (3x1 + 1) (3x2 + 1) = 9x1· x2 + 3x1 + 3x2 + 1 = 9x1· x2 + 3(x1 + x2) + 1 = 9(–2) + 3(3) + 1 = –8

c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0

x2 – 11x – 8 = 0 ………………………(a)

3. UN 2010 PAKET A/B Jika p dan q adalah akar–akar persamaan x2 – 5x – 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2p + 1) dan (2q + 1) adalah … a. x2 + 10x + 11 = 0 b. x2 – 10x + 7 = 0 c. x2 – 10x + 11 = 0 d. x2 – 12x + 7 = 0 e. x2 – 12x – 7 = 0 Jawab : d

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2p + 1, β = 2q + 1

Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 2p dan 2q, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) p + q = – b = – (–5) = 5

(ii) p·q = c = –1

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 2p + 1 + 2q + 1 = 2(p + q) + 2 = 2(5) + 2 = 12 (ii) α·β = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 4pq + 2(p + q) + 1 = 4(–1) + 2(5) + 1 = 7

c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0 x2 – 12x + 7 = 0 ……………………….(d)



24

SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2009 PAKET A/B

akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan

kuadrat baru yang akar–akarnya βα

dan αβ

adalah … a. 4x2 + 17x + 4 = 0 b. 4x2 – 17x + 4 = 0 c. 4x2 + 17x – 4 = 0 d. 9x2 + 22x – 9 = 0 e. 9x2 – 22x – 9 = 0

Jawab : b .

Karena persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 2 = 0 dapat difaktorkan maka akan lebih mudah jika di cari akar–akarnya terlebih dahulu, kemudian persamaan kuadrat baru dicari dengan menggunakan metode rumus

2x2 + 3x – 2 = 0

Menggunakan rumus Akar–akar persamaan kuadrat baru

x1 = βα

= 21

2− = –4

x2 = αβ

= 2

21

− = –

41

Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru

(i) x1 + x2 = –4 – 41

= )(4

17−

(ii) x1· x2 = –4 (– 41 )

= 1

Persamaan kuadrat baru : x2 – (x1 + x2)x + x1· x2= 0

x2 – 4

17 x + 1 = 0 …… kedua ruas dikali 4

4x2 – 17x + 4 = 0………………………(b)

– 4

4

2×(– 2)

–1 3 +

(2x + 4)(2x – 1) = 0

⇔ (x + 2)(2x – 1) = 0

x = {–2, } Jadi, α = –2, β =



25


Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan x2 – x + 2 = 0, persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 – 2 dan 2x2 – 2 adalah … a. x2 + 8x + 1 = 0 b. x2 + 8x + 2 = 0 c. x2 + 2x + 8 = 0 d. x2 – 8x – 2 = 0 e. x2 – 2x + 8 = 0 Jawab : c

Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2x1 – 2, β = 2x2 – 2

Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 2x1 dan 2x2, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) x1 + x2 = – b = – (–1) = 1

(ii) x1· x2 = c = 2

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 2x1 – 2 + 2x2 – 2 = 2(x1 + x2) – 4 = 2(1) – 4 = –2 (ii) α·β = (2x1 – 2) (2x2 – 2) = 4x1· x2 – 4x1 – 4x2 + 4 = 4 x1· x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 4(2) – 4(1) + 4 = 8

c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0

x2 – (–2)x + 8 = 0 x2 + 2x + 8 = 0………………………….(c)



26


Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah … a. 2x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + 9x + 8 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 e. x2 + 9x – 8 = 0 Jawab : b

Karena persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 dapat difaktorkan maka akan lebih mudah jika di cari akar–akarnya terlebih dahulu kemudian persamaan kuadrat baru dicari dengan menggunakan metode rumus

2x2 + 3x – 5 = 0

Menggunakan rumus Akar–akar persamaan kuadrat baru:

α = 2x1 – 3 = 2(–25 ) – 3 = –5 – 3 = –8

β = 2x2 – 3 = 2(1) – 3 = – 1 Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru

(i) α + β = –8 + (–1) = –9

(ii) α· β = –8 (–1) = 8 Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + (α · β) = 0 x2 – (– 9)x + 8 = 0 x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b)

– 10

5

2×(– 5)

–2 3 +

(2x + 5)(2x – 2) = 0

⇔ (2x + 5)(x – 1) = 0

x = {– , 1}

Jadi, x1 = – , x2 = 1



27


Diketahui akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan

kuadrat baru yang akar–akarnya βα

dan αβ

adalah … a. x2 – 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 – 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x – 1 = 0 e. x2 – 8x – 1 = 0

Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru

x1 = βα

, x2 = αβ

Karena x1 dan x2 tidak simetri, maka persamaan kuadrat baru hanya bisa dicari dengan 1 cara. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal

(i) α + β = a

b−=

2

)4(−− = 2

(ii) α·β = a

c =

2

1

b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru

(i) x1 + x2 = βα

+ αβ

= αβ

βα 22 +

= αβ

αββα 2)( 2 −+

= 2

2)(22

21

212

×−

= 8 – 2 = 6

(ii) x1· x2 = βα

⋅αβ

= 1

c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (x1 + x2)x + x1· x2= 0 x2 – 6x + 1 = 0 …………………………(a)

8. UN 2004 Persamaan kuadrat yang akar–akarnya – 2 dan

21 adalah …

a. 2x2 – 3x – 2 = 0 b. 2x2 + 3x – 2 = 0 c. 2x2 – 3x + 2 = 0 d. 2x2 + 3x + 2 = 0 e. 2x2 – 5x + 2 = 0

Jawab : b

Cukup diselesaikan dengan menggunakan rumus • Persamaan kuadrat:

x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0 ⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 · ½ ) = 0 ⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0

⇔ x2 – ( 23− )x – 1 = 0 ………… kedua ruas

dikali 2 menjadi: ⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……………………….(b)



28

C. Pertidaksamaan Kuadrat 1) Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0 Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan

a >

Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

• Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

• x1, x2 adalah akar–akar

persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

b ≥

Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}

c <

Hp = {x | x1 < x < x2}

• Daerah HP (tebal) ada tengah

• x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

d ≤ Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}

Karakteristik persamaan dan grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a, b, c, dan D

Persamaan

kuadrat

Grafik fungsi kuadrat

a > 0; Kurva membuka ke atas a < 0; Kurva membuka ke bawah b > 0

Puncak di kiri sumbu Y

b < 0 Puncak di kanan

sumbu Y

b > 0 Puncak di kiri

sumbu Y

b < 0 Puncak di kanan

sumbu Y

D = 0

Memiliki dua akar kembar

c > 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y positif

c < 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y negatif

D > 0

Memiliki dua akar real berbeda

c < 0; ordinat titik potong pada sumbu Y negatif

c > 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y positif

D < 0 Memiliki akar–akar imajiner

Definit positif; (Nilai fungsi selalu positif)

Definit negatif (Nilai fungsi selalu negatif)

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

Y

X

Y

X

X

Y

X

Y

X

Y Y

X X

Y

X

Y

Y

X

Y

X

X

Y

X

Y



29


Diketahui persamaan kuadrat x2 + (a – 3)x + 9 = 0. Nilai a yang menyebabkan persamaan tersebut mempunyai akar–akar kembar adalah … A. a = 6 atau a = –6 B. a = 3 atau a = –3 C. a = 6 atau a = 3 D. a = 9 atau a = –3 E. a = 12 atau a = –3 Jawab : D

Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (a – 3)2 – 4(1)(9) = 0 (a – 3)2 = 36 ... ke–2 ruas di akar

a – 3 = ± 6 a = 3 ± 6 = {– 3, 9}............. (D)

2. UN 2013 Salah satu nilai a yang menyebabkan persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 1 = 0 mempunyai akar kembar adalah … A. –3 B. –5 C. –6 D. –9 E. –12 Jawab : B

Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (a + 3)2 – 4(1)(1) = 0 (a + 3)2 = 4 ... ke–2 ruas di akar

a + 3 = ± 2 a = –3 ± 2 = {– 5, –1}............. (B)

3. UN 2013 Agar persamaan kuadrat x2 + (p –2)x + 4 = 0 mempunyai akar–akar kembar, maka nilai p yang memenuhi adalah … A. p = –6 atau p = 4 B. p = –2 atau p = 6 C. p = –3 atau p = 4 D. p = –3 atau p = –4 E. p = 1 atau p = –12 Jawab : B

Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (p – 2)2 – 4(1)(4) = 0 (p – 2)2 = 16 ... ke–2 ruas di akar

p – 2 = ± 4 p = 2 ± 4 = {– 2, 6}............. (B)

4. UN 2013 Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 memiliki akar–akar kembar. Salah satu nilai m yang memenuhi adalah … A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Jawab : D

Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (m – 2)2 – 4(1)(9) = 0 (m – 2)2 = 36 ... ke–2 ruas di akar

m – 2 = ± 6 m = 2 ± 6 = {– 4, 8}............. (D)



30


Salah satu nilai p yang menyebabkan persamaan kuadrat 2x2 + (p + 1)x + 8 = 0 memiliki akar kembar adalah … A. –8 B. –7 C. 6 D. 7 E. 9 Jawab : D

Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (p + 1)2 – 4(2)(8) = 0

(p + 1)2 = 4(16) ...ke–2 ruas di akar p + 1 = ± 8

p = –1 ± 8 = {– 9, 7}............. (D)

6. UN 2013 Diketahui persamaan kuadrat mx2 – (2m – 3)x + (m – 1) = 0. Nilai m yang menyebabkan akar–akar persamaan kuadrat tersebut real dan berbeda adalah …

A. m > ��, m ≠ 0

B. m < ��, m ≠ 0

C. m > ��, m ≠ 0

D. m < �, m ≠ 0

E. m > �, m ≠ 0

Jawab : B

Kedua akar real dan berbeda → D > 0 D = b2 – 4ac = (2m – 3)2 – 4(m) (m – 1) > 0 4m2 – 12m + 9 – 4m2 + 4m > 0

– 8m + 9 > 0 – 8m > –9

m < ��

.............. (B)

(tanda pertidaksamaan di balik)

7. UN 2013 Batas–batas nilai m yang menyebabkan persamaan kuadrat mx2 + (2m – 1)x + m – 2 = 0 mempunyai akar–akar real adalah …

A. m ≥ – � dan m ≠ 0

B. m ≥ – � dan m ≠ 0

C. m ≥ – � dan m ≠ 0

D. m > �

E. m > �

Jawab : C

Kedua akar real → D ≥ 0 D = b2 – 4ac = (2m – 1)2 – 4(m)( (m – 2) ≥ 0 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 8m ≥ 0

4m + 1 ≥ 0 4m ≥ –1

m ≥ – � …….(C)



31


Agar persamaan kuadrat 4x2 – (p – 3)x + 1 = 0 mempunyai dua akar tidak nyata, maka nilai p yang memenuhi adalah … A. –1 < p < 7 B. –7 < p < 1 C. 1 < p < 7 D. p < – 1 atau p > 7 E. p < 1 atau p > 7 Jawab : A

Kedua akar tidak nyata → D < 0 D = b2 – 4ac = (p – 3)2 – 4(4)(1) < 0 ((p – 3) + 4)((p – 3) – 4) < 0

(p + 1)(p – 7) < 0

karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai p = {–1, 7} ……………(A) catatan: ingat bentuk : x2 – y2 = (x + y)(x – y)

9. UN 2013 Fungsi f(x) = 2x2 – ax + 2 akan menjadi definit positif bila nilai a berada pada interval … A. a > –4 B. a > 4 C. –4 < a < 4 D. 4 < a < 6 E. –6 < a < 4 Jawab : C

Fungsi definit positif → D < 0 D = b2 – 4ac = (– a)2 – 4(2)(2) < 0 (a + 4)(a – 4) < 0

karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai p = {–4, 4} ……………(C) catatan: ingat bentuk : x2 – y2 = (x + y)(x – y)

10. UN 2013 Agar fungsi f(x) = mx2 + 2mx + (m + 2) definit positif, maka nilai m yang memenuhi adalah … A. –3 < m < 0 B. –1 < m < 0 C. m < –3 D. m < –1 E. m > 0 Jawab : E

Fungsi definit positif → D < 0, m > 0 D = b2 – 4ac = (2m)2 – 4(m)(m+2) < 0 4m2 – 4m2 – 8m < 0

– 8m < 0 m > 0 .................(E)

11. UN 2013 Grafik fungsi kuadrat f(x) = px2 + (2p + 3)x + p + 6 selalu bernilai positif, maka nilai p adalah … A. p < 0

B. p >

C. p > 3

D. p > 4

E. 0 < p <

Jawab : B

Fungsi Selalu bernilai positif atau definit positif → D < 0, p > 0 D = b2 – 4ac = (2p + 3)2 – 4(p)(p+6) < 0 4p2 + 12p + 9 – 4p2 – 24p < 0

– 12p + 9 < 0 – 12p < –9

p >

sehingga nilai p yang memenuhi syarat p > 0 dan

p > adalah : p >

………………….(B)



32


Grafik fungsi f(x) = mx2 + (2m – 3)x + m + 3 berada di atas sumbu X. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m > 0

B. m > �

C. m < 0

D. 0 < m < �

E. – � < m < 0

Jawab : B

Grafik berada di atas sumbu X atau definit positif → D < 0, m > 0 D = b2 – 4ac = (2m – 3)2 – 4(m)(m + 3) < 0 4m2 – 12m + 9 – 4m2 – 12m < 0

– 24m + 9 < 0 – 24m < –9

m > �

sehingga nilai m yang memenuhi syarat m > 0

dan m > � adalah : m >

� …………….(B)

13. UN 2013 Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 – 2mx + (m – 3) definit negative adalah …

A. m < – �

B. m < –1

C. m > �

D. m > 1

E. 1 < m < �

Jawab : A

definit negatif → D < 0, ( m + 1) < 0 → m < –1 D = b2 – 4ac = (–2m)2 – 4(m + 1)(m – 3) < 0 4m2 – 4(m2 –2m – 3) < 0 4m2 – 4m2 + 8m + 12 < 0

8m + 12 < 0 8m < –12

m < – �

sehingga nilai m yang memenuhi syarat m < –1

dan m < – � adalah : m < –

� ………….(A)

14. UN 2013 Agar fungsi f(x) = (m + 3)x2 + 2mx + (m + 1) definit positif, batas–batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m > –3

B. m > –

C. m < 3

D. m < –

E. –3 < m < –

Jawab : E

definit positif → D < 0, ( m + 3) > 0 → m > –3 D = b2 – 4ac = (2m)2 – 4(m + 3)(m + 1) < 0 4m2 – 4(m2 + 4m + 3) < 0 4m2 – 4m2 + 8m + 12 < 0

8m + 12 < 0 8m < –12

m < – �

sehingga nilai m yang memenuhi syarat m > –3

dan m < – � adalah :

–3 < m < – � ……………………….….(E)



33


Nilai a yang memenuhi fungsi kuadrat f(x) = (a – 1)x2 + 2ax + (a + 4) definit positif adalah …

A. a <

B. a < 1

C. a > 1

D. a >

E. 1 < a <

Jawab : D

definit positif → D < 0, (a – 1) > 0 → a > 1 D = b2 – 4ac = (2a)2 – 4(a – 1)(a + 4) < 0 4a2 – 4(a2 + 3a – 4) < 0 4a2 – 4a2 – 12a + 16 < 0

–12a < –16

a >

(karena a negatif maka tanda di balik)

sehingga nilai a yang memenuhi syarat a > 1 dan

a > adalah : a >

……………….….(D)

16. UN 2013 Interval nilai p yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (p – 2)x2 + 2px + p + 3 definit positif adalah … A. p < 2 B. p < 6 C. p > 2 D. p > 6 E. 2 < p < 6 Jawab : D

definit positif → D < 0, (p – 2) > 0 → p > 2 D = b2 – 4ac = (2p)2 – 4(p – 2)(p + 3) < 0 4p2 – 4(p2 + p – 6) < 0 4a2 – 4p2 – 4p + 24 < 0

–4p < –24 p > 6

(karena p negatif maka tanda di balik)

sehingga nilai p yang memenuhi syarat p > 2 dan p > 6 adalah : p > 6 ……………….….(D)

17. UN 2012/C37 Persamaan kuadrat

042)2(2 =−+−+ mxmx mempunyai akar–akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ – 10 atau m ≥ –2 C. m < 2 atau m > 10 D. 2 < m < 10 E. –10 < m ≤ –2 Jawab : A

Persamaan kuadrat

042)2(2 =−+−+ mxmx

memiliki akar–akar real, sehingga D ≥ 0 D = b2 – 4ac

= (m – 2)2 – 4(1)(2m – 4) = m2 – 4m + 4 – 8m + 16 = m2 – 12m + 20 sehingga: m2 – 10m + 20 ≥ 0 (m – 2)(m – 10) ≥ 0

karena tanda pertidaksamaan adalah ≥, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai m = {2, 10} yaitu ………………………………………(A)



34

SOAL PEMBAHASAN 18. UN 2012/E25

Persamaan kuadrat x2 – (2 + 2m)x + (3m + 3) = 0 mempunyai akar–akar tidak real. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah ... A. m ≤ – 1 atau m ≥ 2 B. m < – 1 atau m > 2 C. m < – 2 atau m > 2 D. –1 < m < 2 E. –2 < m < 1 Jawab : D

Persamaan kuadrat x2 – (2 + 2m)x + (3m + 3) = 0 memiliki akar–akar tidak real, sehingga D < 0 D = b2 – 4ac

= (2 + 2m)2 – 4(1)(3m + 3) = 4m2 + 8m + 4 – 12m – 12 = 4m2 – 4m – 8 sehingga: 4m2 – 4m – 8 < 0

⇔ m2 – m – 2 < 0 ⇔ (m + 1)(m – 2) < 0

karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai a = {–1, 2} ……………(D)

19. UN 2012/E52

Persamaan kuadrat 2x2 – 2 x + p= 0 mempunyai dua akar real berbeda.batas–batas nilai p yang memenuhiadalah….

A. p ≤ 2 atau p ≥ 8 B. p < 2 atau p > 8

C. p < – 8 atau p > –2 D. 2 ≤ p ≤ –2 E. –8 ≤ p ≤ –2 Jawab : B

Persamaan kuadrat

2x2 – 2 x + p = 0 memiliki akar–akar real berbeda, sehingga D > 0 D = b2 – 4ac

= (2(p – 4))2 – 4(2)(p) = 4(p2 – 8p + 16) – 8p sehingga: 4(p2 – 8p + 16) – 8p > 0

⇔ p2 – 8p + 16 – 2p > 0 ⇔ p2 – 10p + 16 > 0 ⇔ (p – 2)(p – 8) > 0

karena tanda pertidaksamaan adalah >, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai p = {2, 8} yaitu ………………………………………(B)

20. UN 2011 PAKET 12 Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4, memotong sumbu X di dua titik. Batas–batas nilai p yang memenuhi adalah …

a. p < – 2 atau p > 52−

b. p < 52 atau p > 2

c. p < 2 atau p > 10

d. 52 < p < 2

e. 2 < p < 10 Jawab : b

Grafik memotong sumbu X di dua titik, D > 0 D = (p +2)2 – 4(p)(–p + 4)

= p2 + 4p + 4 + 4p2 – 16p = 5p2 – 12p + 4 > 0

karena tanda pertidaksamaan adalah >, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan

kata ATAU dengan batas nilai p = {2, 52 }

yaitu ………………………………………(b)

( )4−p ( )4−p

20

–10

5×4

–2 –12 +

(5p – 10)(5p – 2) = 0

⇔ (p – 2)(5p – 2) = 0

p = {2, }



35

SOAL PEMBAHASAN 21. UN 2011 PAKET 46

Grafik fungsi kuadrat

f(x) = ax2 + 2 2 x + (a – 1), a ≠ 0 memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas–batas nilai a yang memenuhi adalah … a. a < – 1 atau a > 2 b. a < – 2 atau a > 1 c. –1 < a < 2 d. –2 < a < 1 e. –2 < a < –1 Jawab : (d)

Grafik memotong sumbu X di dua titik, D > 0 D = (2 2 )2 – 4(a)(a – 1) > 0

⇔ 8 – 4a2 – 4a > 0

⇔ {– 4a2 – 4a + 8 > 0} )(41−×

⇔ a2 + a – 2 < 0 ⇔ (a + 2)(a – 1) < 0 a = {–2, 1}

karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai a = {–2, 1} ……………(d)

22. UAN 2003 Persamaan kuadrat (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…

a. 8

9

b. 9

8

c. 2

5

d. 5

2

e. 5

1

Jawab : d

Akar–akarnya nyata dan sama, maka x1 = x2 dan D = 0

(i) D = b2 – 4ac 0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1) 0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2) 0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8 0 = –8k + 9

8k = 9 ⇒ k = 89

(ii) x1 + x2 = a

b− =

2

12

+−

k

k =

( )2

12

8989

+−

= 825

88

818 −

= 258

810 ×

= 52 ……….(d)

Dik

alik

an

nega

tive

tand

a be

rbal

ik



36

D. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):


Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, – 6) adalah … a. y = 2x2 + 8x – 6 b. y = –2x2 + 8x – 6 c. y = 2x2 – 8x + 6 d. y = –2x2 – 8x – 6 e. y = –x2 + 4x – 6

Jawab : b

Karena grafik memotong sumbu X di A(1, 0),

B(3, 0), dan memotong sumbu Y di C(0, – 6),

maka gunakan rumus:

y = a(x – x1)(x – x2)

(i) tentukan nilai a

y = a(x – x1)(x – x2)

– 6 = a(0 – 1)(0 – 3)

– 6 = 3a

a = –2

(ii) substitusikan nilai a ke rumus

y = a(x – x1)(x – x2)

y = –2 (x – 1)(x – 3)

= –2 (x2 – 4x + 3)

= –2x2 + 8x – 6…………………(b)

X

(xe, ye)

(x, y)

0 y = a(x – xe)

2 + ye

Y

X (x1, 0)

(x, y)

0 y = a(x – x1) (x – x2)

(x2, 0)

Y



37


Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah … a. y = –2x2 + 4x + 3 b. y = –2x2 + 4x + 2 c. y = –x2 + 2x + 3 d. y = –2x2 + 4x – 6 e. y = –x2 + 2x – 5

Jawab : c

Karena grafik memiliki titik ekstrim (1, 4) dan melalui itik (0, 3), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye

(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)

2 + ye 3 = a(0 – 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)

2 + ye y = –1 (x – 1)2 + 4

= – (x2 – 2x + 1) + 4 = – x2 + 2x – 1 + 4 = – x2 + 2x + 3 ………………….(c)

3. UN 2007 PAKET B Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

a. y = 2x2 + 4 b. y = x2 + 3x + 4 c. y = 2x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 + 2x + 4 e. y = x2 + 5x + 4 Jawab : c

Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 2) dan

melalui itik (0, 4), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye


2 + ye 4 = a(0 + 1)2 + 2 4 – 2 = a a = 2


2 + ye y = 2 (x + 1)2 + 2

= 2(x2 + 2x + 1) + 2 = 2x2 + 4x + 2 + 2 = 2x2 + 4x + 4 ………………….(c)

4. UN 2006

Grafik fungsi pada gambar di atas mempunyai persamaan … a. y = 2x2 – 12x + 8 b. y = –2x2 + 12x – 10 c. y = 2x2 – 12x + 10 d. y = x2 – 6x + 5 e. y = –x2 + 6x – 5 Jawab : b

Karena grafik memiliki titik ekstrim (3, 8) dan melalui itik (5, 0), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye


2 + ye 0 = a(5 – 3)2 + 8 0 – 8 = 4a a = –2


2 + ye y = –2(x – 3)2 + 8

= –2(x2 – 6x + 9) + 8 = –2x2 + 12x – 18 + 8 = –2x2 + 12x – 10 ………………(b)

X

(0,4)

0

Y

2

–1

X 0

Y (3, 8)

(5, 0)



38


Persamaan grafik parabola pada gambar adalah … a. y2 – 4y + x + 5 = 0 b. y2 – 4y + x + 3 = 0 c. x2 + 2x + y + 1 = 0 d. x2 + 2x – y + 1 = 0 e. x2 + 2x + y – 1 = 0 Jawab : e

Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 2) dan melalui itik (0, 1), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye


2 + ye 1 = a(0 + 1)2 + 2 1 – 2 = a a = –1


2 + ye y = –1(x + 1)2 + 2

= – (x2 + 2x + 1) + 2 = –x2 – 2x – 1 + 2 = –x2 – 2x + 1

⇔ x2 + 2x + y – 1 = 0 ……………………..(e)

6. EBTANAS 2003 Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu Y di titik … a. (0, 3) b. (0, 2½ ) c. (0, 2) d. (0, 1½ ) e. (0, 1) Jawab : a

Karena grafik memiliki titik balik (–1, 4) dan melalui itik (–2, 3), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye


2 + ye 3 = a(– 2 + 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1

(ii) titik potong grafik dengan sumbu Y grafik memotong sumbu Y, saat x = 0, maka y = a(x – xe)

2 + ye y = –1(0 + 1)2 + 4 = –1 + 4 = 3 Jadi, grafik memotong sb Y (0, 3) .…….(a)

7. EBTANAS 2002 Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah … a. f(x) = ½ x2 + 2x + 3 b. f(x) = – ½ x2 + 2x + 3 c. f(x) = – ½ x2 – 2x – 3 d. f(x) = –2x2 + 2x + 3 e. f(x) = –2x2 + 8x – 3 Jawab : b

Grafik memiliki nilai maksimum 5 untuk x = 2, artinya grafik memiliki titik ekstrim (2, 5) dan nilai f(4) = 3, artinya grafik melalui itik (4, 3), maka gunakan rumus:

y = a(x – xe)2 + ye


2 + ye 3 = a(4 – 2)2 + 5 3 – 5 = 4a 4a = –2

a = 21−


2 + ye

y = 21− (x – 2)2 + 5

= 21− (x2 – 4x + 4) + 5

= 21− x2 + 2x – 2 + 5

= 21− x2 + 2x + 3 ………………….(b)

X 0

Y

(–1, 2)

(0, 1)



39


Pak Bahar mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang, dengan lebar 10 m kurangnya dari setengah panjangnya. Apabila luasnya 400 m2, maka lebarnya adalah … meter a. 60 b. 50 c. 40 d. 20 e. 10

Jawab : e

L = p × l 400 = p(½p – 10) 400 = ½p2 – 10p 800 = p2 – 20p 0 = p2 – 20p – 800 0 = (p + 20)(p – 40) p = {–20, 40} Karena ukuran panjang tidak mungkin negatif maka p = 40 l = ½p – 10 = ½ (40) – 10 = 10 ……………………………….(e)

9. UAN 2004 Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (2x2 – 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya minimum diperoleh bila per hari diproduksi sebanyak … unit a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : b

y = 2x2 – 8x + 15

xe = a

b

2− =

)2(2

8

−−

= 2 ……………………(b)

p

L = 400 m2 l = ½p – 10



40

E. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

TEOREMA

Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c.

Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:

yh = yg

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + bx – mx+ c – n = 0

ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru

Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

D = (b – m)2 – 4a(c – n)

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.

A(x1, y1) g

X 0

Y

B(x2, y2)

X0

Y

A(x1, y1)

h h

g

X 0

Y

h

g

g memotong h di dua titik g menyinggung h g tidak memotong dan tidak menyingggung h



41

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2009, 2010 PAKET A/B

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah … a. –4 b. –3 c. 0 d. 3 e. 4 Jawab : d

Tentukan Persamaan kuadrat baru f(x) = y

x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx – 3x = 0 x2 + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar f(x) menyinggung y maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol D = 0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0 = b – 3 b = 3 ……………………….…………….(d)

2. PRA UN 2010 soalmatematik.com P–1

Parabola y = (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 menyinggung sumbu X, nilai a yang memenuhi adalah … . a. – 5 atau 3 b. 5 atau – 3

c. 1 atau –5

3

d. – 1 atau 5

3

e. 1 atau – 3

5

Jawab : d

Tentukan Persamaan kuadrat baru Parabola y = (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 bersinggungan dengan sumbu X (y = 0), maka:

y1 = y2 (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 = 0

Agar y1 dan y2 bersinggungan maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol

D = 0 D = (3a + 5)2 – 4(a + 1)( a + 7) 0 = 9a2 + 30a + 25 – 4(a2 + 8a + 7) 0 = 5a2 – 2a – 3 0 = (5a + 3)(a – 1)

a = {1, 53− }…………………………….(d)

3. PRA UN 2010 soalmatematik.com P–2 Agar garis y = –2x + 3 menyinggung parabola y = x2 + (m – 1)x + 7, maka nilai m yang memenuhi adalah … . a. –5 atau −3 b. −5 atau 3 c. −3 atau 5 d. – 1 atau 17 e. 1 atau 17

Jawab : b

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 dan y2 bersinggungan, sehingga :

y1 = y2 x2 + (m – 1)x + 7 = –2x + 3 x2 + (m – 1)x + 2x + 7 – 3 = 0 x2 + (m + 1)x + 4 = 0

Agar y1 dan y2 bersinggungan maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol

D = 0 D = (m + 1)2 – 4(1)(4) 0 = (m + 1)2 – 16

(m + 1)2 = 16 m + 1 = ± 4

m = –1 ± 4 = {–5, 3} ......................(b)


3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

3. Metode determinan:

D = 22

11

ba

ba= a1b2 – a2b2;

Dx = 22

11

bc

bc; Dy =

22

11

ca

ca;

x = D

Dx ; y = D

Dy


Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga Rp48.000,00, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga Rp37.000,00. Jika Ani membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar … A. Rp24.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp17.000,00 D. Rp14.000,00 E. Rp13.000,00 Jawab : D

Misal : x = buku gambar

y = buku tulis

diket : 2x + 8y = 48.000…… (1) 3x + 5y = 37.000…….(2)

dit : x + 2y = …. ? dari (2) dan (1) 3x + 5y = 37.000 2x + 8y = 48.000 ⇔ x + 4y = 24.000 _ 2x + y = 13.000 …….(3) dari (1) dan (3) 2x + 8y = 48.000 2x + y = 13.000 _ 7y = 35.000 y = 5.000 dari (2) 3x + 5y = 37.000 …. ke-2 ruas di tambah y 3x + 5y + y = 37.000 + 5.000 3x + 6y = 42.000….. ke-2 ruas di bagi 3 x + 2y = 14.000 ………………………..(D)


SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear

43


Harga 1 pensil dan 4 buku adalah Rp9.200,00. Sedangkan harga 2 pensil dan 3 buku yang sama adalah Rp8.400,00. Toni membeli 2 pensil dan 1 buku, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp6.800,00 B. Rp5.600,00 C. Rp4.800,00 D. Rp4.400,00 E. Rp3.200,00 Jawab : D

Misal : x = pensil

y = buku diket: x + 4y = 9.200 ………………..(1) 2x + 3y = 8.400 ………………..(2) dit : 2x + y = ….? dari (1) dan (2) x + 4y = 9.200 ⇔ 2x + 8y = 18.400 2x + 3y = 8.400 _

5y = 10.000 y = 2.000 2y = 4.000

dari (2) 2x + 3y = 8.400 … ke-2 ruas di kurangi 2y 2x + 3y – 2y = 8.400 – 4.000 2x + y = 4.400 …………………(D)

3. UN 2013 Utami membeli 2 buku tulis dan 1 pulpen dengan harga Rp4.000,00. Nisa membeli 4 buku tulisdan 3 pulpen yang sama dengan harga Rp9.000,00. Fauzi membeli 1 buku tulis dan 2 pulpen, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp2.000,00 B. Rp2.500,00 C. Rp3.000,00 D. Rp3.500,00 E. Rp4.000,00 Jawab : D

Misal x = buku tulis

y = pulpen diket : 2x + y = 4.000………….…(1)

4x + 3y = 9.000 ……………(2) dit : x + 2y = ….

dari (2) dan (1) 4x + 3y = 9.000 2x + y = 4.000 _ 2x + 2y = 5.000 ………….………..(3) x + y = 2.500 ………….………...(4)

dari (1) dan (4) 2x + y = 4.000 x + y = 2.500 _ x = 1.500 y = 2.500 – 1.500 = 1.000

∴x + 2y = 1.500 + 2(1.000) = 3.500 ……………………………(D)


44


Harga 2 buah dompet dan 3 buah tas adalah Rp140.000,00, sedangkan harga 3 buah dompet dan 2 buah tas adalah Rp110.000,00. Siti membeli dompet dan tas masing-masing 1 buah, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp35.000,00 B. Rp40.000,00 C. Rp50.000,00 D. Rp55.000,00 E. Rp75.000,00 Jawab : C

Misal x = dompet

y = tas

diket : 2x + 3y = 140.000 ………….…(1) 3x + 2y = 110.000 ………….…(2)

dit : x + y = …

dari (1) dan (2)

2x + 3y = 140.000 3x + 2y = 110.000 + 5x + 5y = 250.000 ….. ke-2 ruas di bagi 5 x + y = 50.000 ………………………..(C)

5. UN 2013 Harga 3 buah tas dan 2 buah dompet adalah Rp100.000,00, sedangkan harga 1 buah tas dan 3 buah dompet yang sama adalah Rp62.500,00. Gladis membeli tas dan dompet masing-masing 1 buah, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp27.500,00 B. Rp32.500,00 C. Rp35.000,00 D. Rp37.500,00 E. Rp42.500,00 Jawab : D

Misal x = tas

y = dompet

Diket : 3x + 2y = 100.000 ………………..(1) x + 3y = 62.500 ………………..(2)

Dit : x + y = …. ? Dari (1) dan (2) 3x + 2y = 100.000 ⇔ 6x + 4y = 200.000

x + 3y = 62.500 + 7x + 7y = 262.500 Ke-2 ruas di bagi 7 diperoleh : x + y = 37.500 …………….(D)

6. UN 2013 Intan membeli 2 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp36.000,00. Nia membeli 1 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp27.000,00. Putri membeli 2 kg mangga dan 3 kg jeruk, maka Putri harus membayar … A. Rp45.000,00 B. Rp50.000,00 C. Rp52.000,00 D. Rp54.000,00 E. Rp72.000,00 Jawab :

Misal x = mangga

y = jeruk

Diket : 2x + y = 36.000 ………………….(1) x + y = 27.000 ………………….(2)

Dit : 2x + 3y = ….. ? Dari (1) dan (2) 2x + y = 36.000 x + y = 27.000 _ x = 9.000 y = 27.000 – 9.000 = 18.000 ∴ 2x + 3y = 2(9.000) + 3(18.000)

= 18.000 + 54.000 = 72.000 ………………………..(E)


45


Amir, Budi, dan Citra membeli buku dan pulpen yang sama di sebuah toko. Amir membeli 3 buku dan 4 pulpen seharga Rp30.500,00. Budi membeli 5 buku dan 2 pulpen seharga Rp27.500,00. Citra membeli 4 buku dan 1 pulpen, maka untuk itu ia harus membayar seharga … A. Rp14.500,00 B. Rp18.000,00 C. Rp19.000,00 D. Rp19.500,00 E. Rp23.500,00 Jawab : C

Misal x = buku

y = pulpen Diket : 3x + 4y = 30.500 …………………(1)

5x + 2y = 27.500 …………………(2) Dit : 4x + y = ….? Dari (1) dan (2) 3x + 4y = 30.500 5x + 2y = 27.500 ⇔ 10x + 4y = 55.000 _

7x = 24.500 x = 3.500 3x = 10.500

Dari (2) 5x + 2y = 27.500 …. Ke-2 ruas di tambah 3x 5x + 3x + 2y = 27.500 + 10.500 8x + 2y = 38.000……ke-2 ruas di bagi 2 4x + y = 19.000 ………………………(C)

8. UN 2013 Lima tahun yang akan datang, jumlah umur kakak dan adik adalah 6 kali selisihnya. Sekarang, umur kakak 6 tahun lebih dari umur adik. Umur kakak sekarang adalah … A. 21 tahun B. 16 tahun C. 15 tahun D. 10 tahun E. 6 tahun Jawab : B

diket : (k + 5) + (a + 5) = 6(k – a)

k = a + 6 dit : k = …? Jawab : (k + 5) + (a + 5) = 6(k – a) ⇔ k + a + 10 = 6(k – a)… ingat k = a + 6 ⇔ (a + 6) + a + 10 = 6(a + 6 – a) ⇔ 2a + 16 = 6(6) ⇔ 2a = 36 – 16 = 20

a = 10 Jadi, k = a + 6 = 10 + 6 = 16 ………………….(B)

9. UN 2010 PAKET A Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun a. 4 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Jawab : c

1) A – 3 = 2(B – 3) A – 3 = 2B –6 A – 2B = –6 + 3 = –3 2) 4(A + 2) = (B + 2) + 36 4A + 8 = B + 38 4A – B = 38 – 8 = 30 dari 1) dan 2) diperoleh: 4A – B = 30 | × 2 | 8A – 2B = 60 A – 2B = –3 | × 1 | A – 2B = –3 _ 7A = 63 A = 9 …………..(c)


46


Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar … a. RP 3.500.000,00 b. RP 4.000.000,00 c. RP 4.500.000,00 d. RP 5.000.000,00 e. RP 5.500.000,00 Jawab : c

Misal jumlah sepeda jenis I = x dan jenis II = y, maka: 5x + 4y = 5.500.000 ……………...A 3x + 2y = 3.000.000 _ ……………B

2x + 2y = 2.500.000 _ x = 500.000 Belanjaan C : 6x + 2y dihitung dari belanjaan B

3x + 2y = 3.000.000 … Kedua ruas ditambah 3x

3x + 3x + 2y = 3.000.000 + 3x

6x + 2y = 3.000.000 + 3(500.000)

= 3.000.000 + 1.500.000

= 4.500.000 …………………………..(c) 11. UN 2009 PAKET A/B

Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Surya adalah … a. RP 24.000,00 d. RP 76.000,00 b. RP 42.000,00 e. RP 80.000,00 c. RP 67.000,00 Jawab : d

Misal jumlah apel = x dan jumlah jeruk = y, maka: 3x + 5y = 90.000 ………………Ade 2x + 3y = 57.000 _ …………….Irma

x + 2y = 33.000 _ x + y = 24.000 ……………… Surya uang kembalian yang diterima Surya: 100.000 – 24.000 = 76.000 …………………..(d)

12. EBTANAS 2002 Jika suatu sistem persamaan linear

=+=−

232

6

byax

byax mempunyai penyelesaian

x = 2 dan y = 1, maka a2 + b2 = … a. 2 b. 4 c. 5 d. 8 e. 11

Jawab : d

(i) Substitusikan nilai x dan y ke pers. Semula

=+=−

2)1(3)2(2

6)1()2(

ba

ba

⇔

=+=−

)2...(..........234

)1...(..........62

ba

ba

(ii) gunakan metode eliminasi berulang

+=−

−=−−

=+=−

105442

234

62

bba

ba

ba

………….(1) ………….(2) ……….…(3) …….(1) dan (3)

b = – 2 (iii) Substitusikan nilai b = – 2 ke pers. (1)

2a – b = 6 2a – (– 2) = 6 2a + 2 = 6 2a = 4

a = 2 ∴ a2 + b2 = (2)2 + (– 2)2

= 4 + 4 = 8 ……………………(d)


47

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Bentuk umum :

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.

3. Metode determinan:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –

(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

; Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

;

x = D

Dx ; y = D

Dy; z =

D

Dz


Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. A. 86 tahun B. 74 tahun C. 68 tahun D. 64 tahun E. 58 tahun Jawab : C

P = A + 28 ⇔ A = P – 28

B = P – 6 + A + B = 2P – 34 ……………….(1)

A + B + P = 119 …………………………...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh : (A + B) + P = 119 2P – 34 + P = 119

3P = 153

P = 3

153 = 51

Jadi, A + B = 2P – 34 = 2(51) – 34 = 68 .............................(C)


48


Umur deksa 4 tahun lebih tua dari umur Elisa.Umur Elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda.Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah Umur Deksa dan Firda adalah…. A. 52 tahun B. 45 tahun C. 42 tahun D. 39 tahun E. 35 tahun Jawab : D

D = 4 + E E = 3 + F ⇔ F = E – 3 +

D + F = 1 + 2E …………(1) D + E + F = 58 ……………….…..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh : (D + F) + E = 58 1 + 2E + E = 58

3E = 57

E = 3

57 = 19

Jadi, D + F = 1 + 2E = 1 + 2(19) = 39 .....................(D)

3. UN 2012/B25 Bimo membeli 3 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan ia membayar Rp20.000,00. Santi membeli 1 bungkus kecap manis, 2 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus kecap ikan ia harus membayar sebesar Rp12.500,00. Dan Darmin membeli 2 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan ia harus membayar sebesar Rp16.000,00. Jika Tamara membeli 1 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus kecap ikan maka ia harus membayar ... A. Rp11.500,00 B. Rp12.000,00 C. Rp12.500,00 D. Rp13.000,00 E. Rp14.000,00 Jawab : -

Misal : 1 bungkus kecap manis = a

1 bungkus kecap asin = b 1 bungkus kecap ikan = c

i. 3a + b + 2c = 20.000 ii. a + 2b + c = 12.500 iii. 2a + b + 2c = 16.000 dari persamaan ii dan iii diperoleh : a + 2b + c = 12.500 2a + b + 2c = 16.000 + 3a + 3b + 3c = 28.500

a + b + c = 3

500.28 = 9.500

(tidak ada jawaban)

4. UN 2011 PAKET 12 Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah … a. 90 kg b. 80 kg c. 75 kg d. 70 kg e. 60 kg Jawab : a

Posisi hasil panen miliki Pak Ahmad, Pak Yadi, dan pak Badrun adalah seperti di bawah ini

A>Y>B • Y = A – 15 …………………………(1) • Y = B + 15 …………………………(2) • A + B + Y = 225……………………(3)

Dari (1) dan (2) Y = A – 15 Y = B + 15 + 2Y = A + B ………………………………(4) Dari (3) dan (4) A + B + Y = 225 2Y + Y = 225 3Y = 225 Y = 75 Dari (1) diperoleh : A = Y + 15 = 75 + 15 = 90 …………………………….(a)


49


Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah … a. Rp5.000,00 b. Rp7.500,00 c. Rp10.000,00 d. Rp12.000,00 e. Rp15.000,00 Jawab : c

2m + 2j + a = 70.000 ………………………..(1) 1m + 2j + 2a = 90.000 ……………………….(2) 2m + 2j + 3a = 130.000……………………….(3) dari (3) dan (2) 2m + 2j + 3a = 130.000 1m + 2j + 2a = 90.000 _ m + a = 40.000 ⇔ 3m + 3a =120.000 ……………………..(4) dari (1) dan (2) 2m + 2j + a = 70.000 1m + 2j + 2a = 90.000 + 3m + 4j + 3a = 160.000 ……………………..(5) 4j + 120.000 = 160.000 j + 30.000 = 40.000

j = 10.000 …………………….(C)

6. UN 2007 PAKET A Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar? a. Rp 6.000,00 b. Rp 7.000,00 c. Rp 8.000,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00 Jawab : c

Misal jumlah buku tulis = x, jumlah pena = y dan jumlah pensil = z, sehingga: 3x + y + 2z = 11.000 ………………………… 1) 2x + 3y + z = 14.000 ………………………….2) x + 2y + 3z = 11.000 ………………………….3) 2x + y + z = ……? Dari pers. 1), 2) dan 3) diperoleh 3x + y + 2z = 11.000 2x + 3y + z = 14.000 x + 2y + 3z = 11.000 + 6x + 6y + 6z = 36.000 x + y + z = 6.000 …………………………4) dari 1) dan 4) diperoleh: 3x + y + 2z = 11.000 x + y + z = 6.000 _ 2x + z = 5.000 ...........................................5) dari 2) dan 5) diperoleh 2x + 3y + z = 14.000 2x + z = 5.000 _

3y = 9.000 y = 3.000 ..........................................6)

dari persamaan 5) dan 6) diproleh 2x + z = 5.000 y = 3.000 + 2x + y + z = 8.000


50


Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah … a. Rp 700,00 b. Rp 800,00 c. Rp 850,00 d. Rp 900,00 e. Rp 1.200,00

Jawab : d

Misal jumlah pisang = x, jumlah apel = y dan jumlah mangga = z, sehingga: 2x + 2y + z = 1.400 ……….. 1) x + y + 2z = 1.300 ………...2) x + 3y + z = 1.500 ..……….3) x + y + z = ……? Dari 1) dan 2) 2x + 2y + z = 1.400 x + y + 2z = 1.300 _

x + y – z = 100 _ 3z = 1.200

z = 400 Dengan menggunakan persamaan 2 bisa dihitung

x + y + z

x + y + 2z = 1.300 …………. kedua ruas di kurangi z x + y + 2z – z = 1.300 – z x + y + z = 1.300 – 400 = 900 ……………….(d)

8. UN 2006 Jika {(xo, yo, zo)}memenuhi sistem

persamaan

−=+−=−+

=−−

4

32

5323

zyx

zyx

zyx, maka nilai zo

adalah … a. –3 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5 Jawab : a

Gunakan metode eliminasi (i) 2) dan 3) eliminasi (hilangkan) y

+−=−−=+−

=−+

12

4

32

zx

zyx

zyx

………….(2) ………….(3)

……….…(4)

(ii) 1) dan 3) eliminasi (hilangkan) y

2

1

4

5323

××

−=+−=−−

zyx

zyx

⇔ −=−

−=+−=−−

135

8222

5323

zx

zyx

zyx

………….(1) ………….(3)

……….…(5)

(iii) 4) dan 5) eliminasi x,

−=−

−−=+

=−−=−

279144

135

12

zzx

zx

zx

………….(4) ………….(5)

……….…(6) …..(5) dan (6)

z = – 3 ……………….(a)


51


Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan

41 dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan

pertamanya adalah … a. 15 b. 20 c. 30 d. 35 e. 40 Jawab : e

Misal ketiga bilangan tersebut adalah x, y, z, maka x + y + z = 75 ………………….…………….1) x = y + z + 5 ⇔ x – y – z = 5…………….…..2)

y = 41 (x + z) ⇔ 4y = x + z …………………..3)

Dari 1) dan 2) diperoleh

x + y + z = 75 x – y – z = 5 + 2x = 80 x = 40………………………(e)

10. UN 2005 Diketahui sistem persamaan linear

=−

−=−

=+

211

312

211

zx

zy

yx

. Nilai x + y + z = …

a. 3 b. 2 c. 1

d. 21

e. 31

Jawab : e

Gunakan permisalan

Misal ax

=1, b

y=1

, cz

=1 maka persamaan

awal menjadi:

=−−=−

=+

)3...............2

)2...........32

)1.............2

ca

cb

ba

gunakan metode eliminasi (i) 1) dan 3) eliminasi (hilangkan) a

−=+

=−=+

0

2

2

cb

ca

ba

b = – c ……………………..4) (ii) substitusi 4) ke 2)

2b – c = – 3 2(– c) – c = – 3

3c = 3 ⇒ c = 1 = z

1 ⇒ z = 1

(iii) substitusi c = 1 ke 4) b = – c

= – 1 = y

1 ⇒ y = – 1

(iv) substitusi b = – 1 ke 1) a + b = 2 a – 1 = 2

a = 3 = x

1 ⇒ x =

31

∴ Nilai x + y + z = 31 – 1 + 1 =

31 ..……(e)


52

SOAL PENYELESAIAN 11. UAN 2004

Penyelesaian dari sistem persamaan

=−−=−+

=++

1446

19524

8273

zy

zyx

zyx

adalah …

a. x = 5, y = 3, dan z = 1 b. x = 4, y = –5, dan z = 1 c. x = –3, y = 4, dan z = 1 d. x = –5, y = 3, dan z = 2 e. x = –5, y = 3, dan z = 1

Jawab : e

Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x, y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap jawaban yang di sediakan. (i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti

kebenarannya, Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang

paling sederhana 6y – 4z = 14 ⇔ 3y – 2z = 7

a. y = 3 dan z = 1 3y – 2z = 7 3(3) – 2(1) = 7

7 = 7 …..(OK)

Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama, maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e

(ii) Gunakan pers. 1 untuk memeriksa kebenaran

jawaban a a. x = 5, y = 3 dan z = 1

3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah

karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah yang benar adalah ……………………….(e)

4. TRIGONOMETRI I

A. Trigonometri Dasar

� sin α = ry

� cos α = rx

� tan α = xy

B. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º) Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku–siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2)

αº sin cos tan

gambar 1 gambar 2

30 ½ ½ 3 331

45 ½ 2 ½ 2 1

60 ½ 3 ½ 3

C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi

Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3 1. Sudut berelasi (90º – α)

a) sin(90º – α) = cos α b) cos(90º – α) = sin α c) tan(90º – α) = cot α

2. Sudut berelasi (180º – α)

a) sin(180º – α) = sin α b) cos(180º – α) = – cos α c) tan(180º – α) = – tan α

3. Sudut berelasi (270º – α)

a) sin(270º – α) = – cos α b) cos(270º – α) = – sin α c) tan(270º – α) = cot α

4. Sudut berelasi (– α)

a) sin(– α) = – sin α b) cos(– α) = cos α c) tan(– α) = – tan α

gambar 3

SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I

54

D. Rumus–Rumus dalam Segitiga

1. Aturan sinus : rC

cB

bA

a 2sinsinsin ===

Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

3. Luas segitiga

a) L = ½ a · b sin C : ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi”

b) L = )CBsin(

CsinBsina

+⋅⋅

2

2 : ∆ dengan kondisi “sudut sisi sudut”

c) L = )cs)(bs)(as(s −−− , s = ½(a + b + c) : ∆ dengan kondisi “sisi sisi sisi”

4. Luas segi n beraturan : L = o

×n

rn360

sin221


Diketahui segi–8 beraturan dengan panjang

jari–jari lingkaran luar r cm. Panjang sisi

segi–8 tersebut adalah …

A. ��2 − √2 cm

B. ��2 + √2 cm

C. 2��2 − √2 cm

D. 2��1 + √2 cm

E. 2��2 + √2 cm

Jawab : A

Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos α

= 2r2 – 2r2 ⋅ 221

= 2⋅r2 – r2⋅ 2

= r2(2 – 2 )

s = )22(2 −r

= r 22 − .............................................(A)

β

α

b

c

β b

a. 2 sudut dan satu sisi b. 2 sisi dan satu sudut di depan sisi sisi

c

b

cα

b

a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi

a

r r 45°

s

α = =45°


55


Diketahui jari–jari lingkaran luar segi–12

beraturan adalah r cm. Panjang sisi segi–12

beraturan tersebut adalah …

A. ��2 − √3 cm

B. 2��2 − √2 cm

C. ��1 + √3 cm

D. ��2 + √3 cm

E. 2��1 + √3 cm

Jawab : A

Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = 2r2 – 2r2 cos α

= 2⋅r2 – 2⋅r2 ⋅ 321

= 2⋅r2 – r2⋅ 3

= r2(2 – 3 )

s = )32(2 −r

= r 32 − .............................................(A)

3. UN 2013 Dalam sebuah lingkaran yang berjari–jari 6

cm dibuat segi–12 beraturan. Panjang sisi

segi–12 beraturan tersebut adalah …

A. 6�2 − √3 cm

B. 6�2 − √2 cm

C. 6�3 − √2 cm

D. 6�3 + √3 cm

E. 6�3 + √2 cm

Jawab : A


= 2⋅62 – 2⋅62 ⋅ 321

= 2⋅62 – 62⋅ 3

= 62(2 – 3 )

s = )32(62 −

= 6 32 − .............................................(A)

4. UN 2013 Diketahui segi–12 beraturan dengan sisi s cm

dan jari–jari lingkaran luarnya r cm. Keliling

segi–12 tersebut adalah …

A. ��2 − √3 cm

B. 6��2 − √3 cm

C. 12��2 − √3 cm

D. 6��2 + √3 cm

E. 12��2 + √3 cm

Jawab : C


= 2⋅r2 – 2⋅r2 ⋅ 321

= 2⋅r2 – r2⋅ 3

= r2(2 – 3 )

s = )32(2 −r

= r 32 −

k = 12s = 12 r 32 − .................................(C)

r = 6r = 6 30°

s

α = = 30°

r r 30°

s

α = = 30°

r r 30°

s

α = = 30°


56


Diketahui segi–8 beraturan dengan panjang

jari–jari lingkaran luar r cm. Keliling segi–8

tersebut adalah …

A. ��2 − √2 cm

B. 4��2 − √2 cm

C. 8��2 − √2 cm

D. 4��2 + √2 cm

E. 8��2 + √2 cm

Jawab : C

Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos α

= 2r2 – 2r2 ⋅ 221

= 2⋅r2 – r2⋅ 2

= r2(2 – 2 )

s = )22(2 −r

= r 22 −

k = 8s = 8 r 22 − ....................................(C)

6. UN 2013 Luas segi–12 beraturan dengan panjang jari–

jari lingkaran luarnya r adalah …

A. 2��

B. 2��√3

C. 3��

D. 3��√3

E. 6��

Jawab : C

L = αsin221 rn×

= 12 × o30sin221 r

= 2126 ×r

= 3�� ………………………………..(C)

7. UN 2013 Diketahui jari–jari lingkaran luar suatu segi–8

beraturan adalah r. Luas segi–8 yang dapat

dibuat adalah …

A. ��√2

B. ��√2

C. ��√2

D. ��√2

E. 2��√2

Jawab : E

L = αsin221 rn×

= 8 × o45sin221 r

= 24 212 ×r

= 2��√2 …………………………..(E)

r r 45°

s

α = =45°

r r 30°

s

α = = 30°

r r 45°

s

α = =45°


57


Diketahui segi enam beraturan. Jika jari–jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, Maka luas segienam beraturan tersebut adalah … A. 150 satuan luas B. 150 2 satuan luas

C. 150 3 satuan luas D. 300 satuan luas

E. 300 2 satuan luas Jawab : C

Luas segi–6

L = o

×n

rn360

sin221

= o

××6

360sin106 2

21

= o60sin300×

= 330021×

= 150 3 ………………………………..(C)

9. UN 2012/D49 Panjang jari–jari lingkaran luar segi delapan beraturan adalah 6 cm. Keliling segi delapan tersebut adalah ….

A. 6 22 − cm

B. 12 22 − cm

C. 36 22 − cm

D. 48 22 − cm

E. 72 22 − cm Jawab : D

Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos 45° = 62 + 62 – 2⋅62 ⋅ 2

21

= 2⋅62 – 62⋅ 2

= 62(2 – 2 )

s = )22(62 −

= 6 22 − sehingga keliling segi–8 adalah

k = 8 × s = 8 × 6 32 −

= 48 32 − …………………….(D)

10. UN 2012/B25 Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segi enam tersebut adalah ...

A. 432 3 cm2 B. 432cm2

C. 216 3 cm2

D. 216 2 cm2 E. 216 cm2 Jawab : C

panjang sisi segi–6 s = 6

72 = 12

besar sudut segi–6 α = 6

360o = 60°

karena besar α = 60° sehingga jari–jari lingkaran luarnya = s = 12 cm Dengan demikian, luas segi–6 adalah

L = o60sin221 rn×

= 6 × 21 × 122 × 3

21

= 3 × 144 × 321 = 216 3 ..........................(C)

r = 6r = 6 45°

s

α= =45°

r = 12r = 12 60°

s =12


58


Luas segi–12 beraturan adalah 192 cm2. keliling segi–12 beraturan tersebut adaah….

A. 96 32 + cm

B. 96 32 − cm

C. 8 32 + cm

D. 8 32 − cm

E. 3128− cm Jawab : B

L = o

×n

rn360

sin221

192 = o

×12

360sin12 2

21 r

192 = 6 ⋅ r2 ⋅ 21

r2 = 3

192 = 64

r = 8 Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos 30° = 82 + 82 – 2⋅82 ⋅ 3

21

= 2⋅82 – 82⋅ 3

= 82(2 – 3 )

s = )32(82 −

= 8 32 − sehingga segi–12 adalah

k = 12× s = 12× 8 32 −

= 96 32 − …………………….(B)

12. UN 2011 PAKET 12 Dalam suatu lingkaran yang berjari–jari 8 cm, dibuat segi–8 beraturan. Panjang sisi segi–8 tersebut adalah …

a. 364128− cm

b. 264128− cm

c. 216128− cm

d. 216128+ cm

e. 316128+ cm Jawab : b

Dengan mengguanakan aturan kosinus dapat di cari panjang sisi s s2 = 82 + 82 – 2·8·8 cos 45°

= 64 + 64 – 2·64· 221

= 128 – 64 2

s = 264128− ………………………..(b)

r = 8 r = 8α

s

α = = 45°

r = 8 r = 8 30°

s


59


Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar!

Panjang BC adalah …

a. 4 2 cm

b. 6 2 cm

c. 7 3 cm

d. 5 6 cm

e. 7 6 cm Jawab : d

Untuk memperoleh panjang BC langkahnya adalah: (i) menentukan panjang AC

dengan menggunakan aturan sinus

C

AD

D

AC

sinsin=

⇔ oo 45sin

10

30sin=AC

⇔ AC = 2

10

2121

⋅

⋅ = 2

2

10= 5 2

(ii) menentukan panjang BC dengan menggunakan aturan cosinus

BC2 = AC2 + AB2 – 2 AC·AB cos A

= 2)25( + 2)210( – 2· 21025 ⋅ cos 60°

= 50 + 200 – 200·21 = 150 = 25 · 6

BC = 625⋅ = 5 6 ………………………..(d)

14. UN 2010 PAKET A/B Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari–jari lingkaran luar 8 cm adalah … a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2 Jawab : a

L = 12 × L∆

= 12 × 21 × r2 ×

12

360sin

o

= 6 × 82 × sin 30° = 6 × 64 ×

21

= 192 ………………………………..(a)

15. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut SPQ = 90°, dan besar sudut SQR = 150°. Luas PQRS adalah … a. 46 cm2 b. 56 cm2 c. 100 cm2 d. 164 cm2 e. 184 cm2

Jawab : b

(i) Tentukan panjang sisi QS

QS = 22 125 + = 14425+ = 169= 13 (ii) Tentukan luas ∆PQS dan ∆QRS

• luas ∆PQS = L1

L1 = 21 ⋅ 12 ⋅ 5 = 30

• luas ∆QRS = L2

L2 = 21 ⋅ QS ⋅ QR sin 150°

= 21 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30)

= 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30

= 13 ⋅ 4 ⋅ 21

= 26

Jadi: Luas PQRS = L1 + L2 = 30 + 26 = 56 ………..…(b)

10 cm

60°

30°

10 cm

45°D C

B

A

P

Q

R

S

P

Q

R

S

150°L1

L25

12 8

INGAT sin 30° =

sin 45° =


60


Diketahui ∆ PQR dengan PQ = 4642 m, ∠PQR = 105º, dan ∠RPQ = 30º. Panjang QR = … m

a. 464 3 b. 464 c. 332 2

d. 232 2 e. 232

Jawab : b

Gunakan aturan

sinus karena

kondisi

segitiganya

“sudut sisi sudut”

∠R = 180° – ( 30° + 105°) = 45°

oo 45sin30sin

PQQR =

⇔ 2

2464

21

21

=QR

QR = 464 …………………………..…….(b)

17. UN 2007 PAKET A Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40° dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil A. 30 2

B. 30 5

C. 30 7

D. 30 10

E. 30 30

Jawab : c

Berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat

dicari dengan menggunakan aturan kosinus.

AC2 = 602 + 902 – 2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60

= 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 21

= 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 900

BC = 7900⋅ = 30 7 ……………..(c)


61


Dua buah mobil A dan B, berangkat dari tempat yang sama. Arah mobil A dengan mobil B membentuk sudut 60°. Jika kecepatan mobil A = 40 km/jam, mobil B = 50 km/jam, dan setelah 2 jam kedua mobil berhenti, maka jarak kedua mobil tersebut adalah … km a. 10 21

b. 15 21

c. 20 21

d. 10 61

e. 20 61

Jawab : c

Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sudut sisi”

Jarak AC dan BC setelah 2 jam adalah AC = 40 km/jam × 2 jam = 80 km BC = 50 km/jam × 2 jam = 100 km Sehingga jarak AB setelah 2 jam adalah: AB2 = 802 + 1002 – 2 ⋅ 80 ⋅ 100 cos 60°

= 6.400 + 10.000 – 2 ⋅ 8.000 ⋅ 21

= 16.400 – 8.000 = 8.400 = 21 ⋅ 4 00

AB = 21400⋅

= 20 21 ………………………..…….(c) 19. UN 2005

Diketahui segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin ∠BAC = …

a. 7

5

b. 67

2

c. 49

24

d. 7

2

e. 67

1

Jawab : b

Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sisi sisi”

BC2 = AC2 + AB2 – 2 ⋅ AC ⋅ AB cos A 52 = 62 + 72 – 2 ⋅ 6 ⋅ 7 cos A 25 = 36 +49 – 84 cos A 25 = 85 – 84 cos A

84 cos A = 85 – 25 = 60

cos A = 84

60=

734

534

⋅⋅⋅⋅

= 7

5:

r

x, maka

y = 22 57 −

= 24 = 62

Jadi: sin A = 7

62

= 67

2 …………………………(b)


62


Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm, panjang garis tinggi BD adalah … A. 7 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 11 cm E. 12 cm

Jawab : e

Gunakan bantuan luasan segitiga

i) Luas ∆ dengan panjang tiga sisi diketahui

L = ))()(( csbsass −−− , s = ½(a+b+c)

= )1521)(1421)(1321(21 −−−

= 67821 ⋅⋅⋅

= 3274273 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 222 473 ⋅⋅ = 3 · 7 · 4

ii) L ABC = L ABC

½ AC·BD = 3·7·4

½ ·14·BD = 3·7·4

7 BD = 3·7·4

BD = 12 …………………… (e) 21. UN 2004

Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm, dan sudut A = 60°. Panjang sisi BC = …

a. 192

b. 193

c. 194

d. 2 29

e. 3 29

Jawab : a

Gunakan aturan

kosinus karena

kondisi segitiganya

‘sisi sudut sisi”

BC2 = AC2 + AB2 – 2 ⋅ AC ⋅ AB cos 60°

= 102 + 62 – 2 ⋅ 10 ⋅ 6 cos 60°

= 100 + 36 – 120 ⋅ 21

= 136 – 60 = 76 = 4 ⋅ 19

BC = 194⋅

= 192 …………………………….....(a)

A B

C

a = 13b = 14

c = 15

D


63


Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi

AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 54 ,

maka cos C = …

a. 53

b. 741

c. 43

d. 731

e. 721

Jawab : b

cos B = 54 =

r

x, maka

y = 22 45 − = 3

jadi: sin B = 5

3

Gunakan aturan sinus

B

b

C

c

sinsin=

Csin

5=

53

4

4sin C = 3

sin C = 4

3 :

r

y, maka x = 22 34 − = 7

jadi: cos C = 4

7 = 7

41 ……………….(b)

23. UAN 2003 Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang

sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21cm adalah …

a. 51 21

b. 61 21

c. 51 5

d. 61 5

e. 31 5

Jawab : e

� Sudut terkecil dari suatu segitiga adalah sudut

yang ada di depan sisi terpendek: � Dengan bantuan aturan kosinus dapat dicari

nilai dari sinusnya 2)21( = 52 + 62 – 2·5·6 cos A

21 = 25 + 36 – 60 cos A

cos A = 6040 =

32 =

rx ⇒ y = 5

sin A = 35 = 5

31 ………………….. (e)

24. EBTANAS 2002 Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠CAB = 60°. CD adalah tinggi segitiga ABC. Panjang CD = … cm

a. 32 3

b. 3 c. 2

d. 23 3

e. 2 3

Jawab : e

Panjang CD dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan luasan segitiga.

L ABC = L ABC

21 AB ⋅ CD = 2

1 AB ⋅ AC sin A

CD = 4 sin 60° CD = 4 ⋅ 2

1 3

= 2 3 ………………..…………(e)

5. TRIGONOMETRI II

A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B

2) cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B

3) tan (A ± B) = BtanAtan1

BtanAtan

⋅±

m

SOAL PENYELESAIAN • UN 2012/D49

Diketahui nilai sin α cos β = 5

1 dan sin

(α – β ) = 5

3 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan

0° ≤ β ≤ 90°. Nilai sin (α + β ) = ….

A. – 5

3 D.

5

1

B. – 5

2 E.

5

3

C. – 5

1 Jawab : C

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

5

3 =

5

1 – cos α sin β

cos α sin β = 5

1 –

5

3 = –

5

2

sehingga diperoleh : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 5

1 + (–

5

2)

= – 5

1 ………………….(C)

• UN 2012/C37

Diketahui 3

πβα =− dan sin α sin β =

dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = … A. 1

B. 4

3

C. 2

1

D. 4

1

E. 0 Jawab : E

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

cos 3

π = cos α cos β +

4

1

2

1 = cos α cos β +

4

1

cos α cos β = 2

1 –

4

1 =

4

1

sehingga diperoleh : cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= 4

1 –

4

1

= 0 ......................................(E)

• UN 2012/B25

Jika A + B = 3π dan cos A cos B =

85 , maka

cos(A – B) = ...

A. 41

B. 21

C. 43

D. 1

E. 45

Jawab : C

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos 3

π =

85 – sin A sin B

2

1 =

8

5 – sin A sin B

sin A sin B = 2

1

8

5 − = 8

45 − =

8

1

sehingga diperoleh : cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

= 8

5 +

8

1 =

8

6 =

4

3 ................ (C)

4

1

SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II

65

SOAL PENYELESAIAN • UN 2012/E52

Diketahui sin α = 5

3 dan cos β =

13

12 (α dan

β sudut lancip). Nilai sin(α + β)=….

A. 65

56 D.

65

20

B. 65

48 E.

65

16

C. 65

36 Jawab : A

sin α = 5

3 :

r

y ⇒ x = 4 sehingga cos α =

5

4

cos β = 13

12 :

r

x ⇒ y = 5 sehingga sin β =

13

5

maka diperoleh : sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 5

3 ×13

12 +

5

4 ×13

5

= 65

2036+=

65

56 ………………..(A)

• UN 2011 PAKET 12

Diketahui (A + B) = dan sinA sinB = .

Nilai dari cos (A – B) = … a. –1

b. –21

c. 21

d. 43

e. 1 Jawab : e

(i) cos (A + B) = cosA cosB – sinA sinB

⇔ cos = cosA cosB –

⇔ cosA cosB = cos + 41 =

21 +

41 =

43

(ii) cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB

= 43 +

41 = 1 ………………..(e)

• UN 2010 PAKET B Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan

p – q = 30°. Jika cos p sin q = 61 , maka nilai

dari sin p cos q = …

A. 61 D.

64

B. 62 E.

65

C. 63 Jawab : d

sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q

sin 30° = sin p cos q – 61

21 = sin p cos q –

61

sin p cos q = 61

21 +

= 613+

= 64 ……………………….(d)

• UN 2009 PAKET A/B

Diketahui tan α = 43 dan tan β = 12

5 ; α dan β

sudut lancip . Maka nilai cos (α + β) = …

A. 6564 D.

6533

B. 6563 E.

6530

C. 6536 Jawab : d

i) tan α = 43 :

xy

⇒ r = 22 43 + = 5

sin α = ry =

53 ; cos α = r

x = 54

ii) tan β = 125 :

xy

⇒ r = 22 125 + = 13

sin β = ry =

135 ; cos β = r

x = 1312

iii) cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= 54 ×

1312 –

53 ×

135

= 65

1548− = 6533 …………….(d)

3

π41

3

π41

3

π


66

SOAL PENYELESAIAN • UN 2009 PAKET A/B

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 54

dan sin B = 1312 , maka sin C = …

a. 6520

b. 6536

c. 6556

d. 6560

e. 6563

Jawab : e

i) cos A = 54 : r

x ⇒ y = 22 45 − = 3

• sin A = ry =

53

ii) sin B = 1312 :

ry ⇒ r = 22 1213 − = 5

• cos B = rx =

135

iii) Besar sudut dalam segititiga 180°, maka: A + B + C = 180° C = {180° – (A + B)} sin C = sin {180° – (A + B)} = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

= 53 ×

135 +

54 ×

1312

= 65

4815+ = 6563 …………….(e)

• UN 2008 PAKET A/B

Diketahui sin A = 54 dan sin B =

257 , dengan A

sudut lancip dan B sudut tumpul. Nilai cos (A – B) = …

a. 125117−

b. 125100−

c. 12575−

d. 12544−

e. 12521−

Jawab : d

i) sin A = 54 :

ry ⇒ y = 22 45 − = 3

• cos A = rx =

53

ii) sin B = 25

7 : ry ⇒ r = 22 1213 − = 5

• cos B = rx =

135

iii) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

= )( 2524

53 −⋅ +

257

54 ⋅

= 12528

12572 +−

= 12544− ……………….……(d)

• UN 2004 Nilai sin 45º cos 15º + cos 45º sin 15º sama dengan …

A. 21 D. 2

1 6

B. 21 2 E.

31 3

C. 21 3 Jawab : c

sin 45º cos 15º + cos 45º sin 15º

⇔ sin(45 + 15) = sin 60º

= 21 3 ……………………….(c)


67

B. Perkalian Sinus dan Kosinus 1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)

sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}

2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}

4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)

sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}


Nilai dari oo

o

5040

10

coscos

cosadalah …

a. 3 b. 2 c. 1

d. 21

e. 41

Jawab : b

oo

o

5040

10

coscos

cos

⇔ )}4050cos()5040{cos(

10cos

21 oooo

o

−++

⇔ 10cos90cos

10cos2

+

o

⇔ 10cos0

10cos2

+

o

= 2 ……………………………..(b)


68

C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen 1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)

3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)

4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

5) tan A + tan B = BA

BA

coscos

)sin( +

6) tan A – tan B = BA

BA

coscos

)sin( −


Nilai dari oo

oo

5sin115sin

5cos115cos

++

= …

A. −√3

B. –1

C. − �√3

D. �√3

E. √3

Jawab : D

Misal :

• A = ½ (115 + 5)° = 60° • B = ½ (115 – 5)° = 55°

• oo

oo

5sin115sin

5cos115cos

++

= BA

BA

cossin2

coscos2

= A

A

sin

cos

= o

o

60sin

60cos

= 32

121

= �√3 .................(D)

2. UN 2013

Nilai dari oo

oo

35cos125cos

35sin125sin

−+

= …

A. –1

B. − �√2

C. �√2

D. 1

E. 2

Jawab : A

Misal :

• A = ½ (125 + 35)° = 80° • B = ½ (125 – 35)° = 45°

• oo

oo

35cos125cos

35sin125sin

−+

= BA

BA

sinsin2

cossin2

−

= B

B

sin

cos−

= o

o

45sin

45cos−

= 2

2

2121

= – 1 .................(A)


69


Nilai oo

oo

45sin195sin

45cos195cos

−−

= …

A. √3

B. �√3

C. �√3

D. − �√3

E. −√3

Jawab : A

Misal :

• A = ½ (195 + 45)° = 120° • B = ½ (195 – 45)° = 75°

• oo

oo

45sin195sin

45cos195cos

−−

= BA

BA

sincos2

sinsin2−

= A

A

cos

sin−

= o

o

120cos

120sin−

= 21

21 3

−− = √3 .................(A)

4. UN 2013

Nilai dari oo

oo

15cos105cos

15sin105sin

−−

= …

A. √3

B. �√3

C. − �√3

D. −1

E. −√3

Jawab : C

Misal :

• A = ½ (105 + 15)° = 60° • B = ½ (105 – 15)° = 45°

• oo

oo

15cos105cos

15sin105sin

−−

= BA

BA

sinsin2

sincos2

−

= A

A

sin

cos−

= o

o

60sin

60cos−

= 32

121

− = − �√3 .................(C)

5. UN 2013

Nilai dari oo

oo

102cos168cos

12sin78sin

−−

= …

A. –1

B. − �√2

C. 0

D. �√2

E. 1

Jawab : A

Misal :

• A = ½ (78 + 12)° = 45° • B = ½ (78 – 12)° = 33° • C = ½ (168 + 102)° = 135° • D = ½ (168 – 102)° = 33°

• oo

oo

102cos168cos

12sin78sin

−−

= DC

BA

sinsin2

sincos2

−

= oo

oo

33sin135sin

33sin45cos−

= 2

2

2121

− = –1 .................(A)


70


Nilai dari oo

oo

15cos75cos

15sin105sin

−−

adalah …

A. −√3

B. –1

C. �

D. �√3

E. √3

Jawab : B

Misal :

• A = ½ (105 + 15)° = 60° • B = ½ (105 – 15)° = 45° • C = ½ (75 + 15)° = 45° • D = ½ (75 – 15)° = 30°

• oo

oo

15cos75cos

15sin105sin

−−

= DC

BA

sinsin2

sincos2

−

= oo

oo

30sin45sin

45sin60cos−

= 2121

− = –1 .................(B)

7. UN 2012/C37

Nilai dari sin 75°– sin 165° adalah …

A. 24

1 D. 2

2

1

B. 34

1 E. 6

2

1

C. 64

1 Jawab : D

Misal : • A = ½ (75 + 165)° = 120° • B = ½ (75 – 165)° = –45°

sin 75°– sin 165° = 2cos A · sin B

= 2 cos 120° sin (–45)°

= )2()(221

21 −×−×

= 22

1 ………………………(D)

8. UN 2011 PAKET 12

Nilai oo

oo

100sin140sin

100cos140cos

−−

= …

a. – 3

b. – 321

c. –

d. 331

e. Jawab : e

Misal : • A = ½ (140 + 100)° = 120° • B = ½ (140 – 100)° = 20°

Jadi:

oo

oo

100sin140sin

100cos140cos

−−

= BA

BA

sincos2

sinsin2−

= o

o

120cos

120sin−

= 21

21 3

−−

= ……………………..(e)

331

3

3


71


Nilai = …

a. – 331

b. – 221

c. –1

d. 21

e. 1 Jawab : c

Misal : • A = ½ (75 + 15)° = 45° • B = ½ (75 – 15)° = 30° • C = ½ (105 + 15)° = 60° • D = ½ (105 – 15)° = 45°

Jadi:

= DC

BA

sinsin2

cossin2

−

= oo

oo

45sin60sin

30cos45sin−

= 3

3

2121

−

= –1 ………………………(c) 10. UN 2010 PAKET A

Hasil dari oo

oo

102cos138cos

63sin27sin

++ = …

a. – 2

b. – 21 2

c. 1

d. 21 2

e. 2

Jawab : a

Misal : • A = ½ (63 +27)° = 45° • B = ½ (63 – 27)° = 18° • C = ½ (138 + 102)° = 120° • D = ½ (138 – 102)° = 18°

Jadi:

oo

oo

102cos138cos

63sin27sin

++ =

oo

oo

102cos138cos

27sin63sin

++

= DC

BA

coscos2

cossin2

= oo

oo

18cos120cos

18cos45sin

=

21

21 2

− = – 2 …………..(a)

11. UN 2010 PAKET A

Diketahui tan α – tan β = 31 dan

cos α cos β = 6548 , (α , β lancip).

Nilai sin (α – β) = …

A. 6563 D.

4816

B. 6533 E.

6516

C. 6526 Jawab : e

tan α – tan β = βα

βαcoscos

)sin( −

31 =

6548

)sin( βα −

sin (α – β) = 6548

31 ×

= 6516 ………………..……………..(e)

oo

oo

15cos105cos

15sin75sin

−

+

oo

oo

15cos105cos

15sin75sin

−

+


72


Hasil dari oo

oo

)45sin()45sin(

)45cos()45cos(

αααα

−++++− =

… a. – 2 b. 1

c. 21 2

d. 1 e. 2

Jawab : d

Misal : (45 – α)° = A; (45 + α) = B • A + B = (45 – α)° + (45 + α) = 90°

½(A + B) = 45°

• A – B = (45 – α)° – (45 + α) = –2α° ½(A – B) = – α°

Jadi:

oo

oo

)45sin()45sin(

)45cos()45cos(

αααα

−++++− =

oo

oo

)45sin()45sin(

)45cos()45cos(

αααα

++−++−

= )cos(45sin2

)cos(45cos2oo

oo

αα

−− = 1 ……(d)

13. UN 2008 PAKET A/B Nilai dari cos 195º + cos 105º adalah …

a. 621

b. 321

c. 221

d. 0

e. 621−

Jawab : e

cos 195º + cos 105º

⇔ 2cos½ (195º + 105º) · cos ½(195º – 105º)

⇔ 2cos½ (300º) · sin ½(90º)

⇔ 2cos 150º · sin 45º

⇔ 2cos (180 – 30) · 221

⇔ – 2cos 30 · 221

⇔ – 2 · 321 · 22

1 = 621− ………………(e)

14. UN 2007 PAKET A

Nilai dari oo

oo

15cos105cos

15sin75sin

++

= ….

a. – 3

b. – 2

c. 31 3

d. 2

e. 3

Jawab : e

oo

oo

15105

1575

coscos

sinsin

++

⇔ )90(cos)120(cos2

)60(cos)90(sin2

21

21

21

21

oo

oo

⋅

⋅

⇔ oo

oo

45cos60cos

30cos45sin

⋅⋅

⇔ 21

21 3

= 3 ………………..……………(e)

15. UN 2007 PAKET B Nilai dari cos 25º + cos 95º + cos 145º = …. a. –1

b. – 21

c. 0

d. 21

e. 1

Jawab : c

cos 25º + cos 95º + cos 145º ⇔ (cos 95º + cos 25º ) + cos 145º ⇔ 2cos½ (120º) · cos ½( 70º) + cos 145º ⇔ 2cos60º · cos 35º + cos 145º

⇔ 2 · 21 · cos 35º + cos 145º

⇔ cos 35º + cos 145º ⇔ cos 145º + cos 35º ⇔ 2cos½ (180º) · cos ½( 110º) ⇔ 2cos90º · cos ½( 110º) ⇔ 2 · 0 · cos 55 = 0…………………………..(c)


73


Nilai dari sin 75º + cos 75º = …

a. 41 6

b. 21 2

c. 21 3

d. 1

e. 21 6

Jawab : e

sin 75º + cos 75º

⇔ sin (30º + 45º) + cos (30º + 45º)

⇔ {sin 30º cos 45º + cos 30º sin 45º } +

{cos 30º cos 45º – sin 30º sin 45º}

⇔ { 21 ⋅ 22

1 + 321 ⋅ 22

1 } + { 321 ⋅ 22

1 – 21 ⋅ 22

1 }

⇔ 241 + 64

1 + 641 – 24

1 = 621 ……..(e)

17. UAN 2003

Nilai oo

oo

171sin69sin

21sin81sin

−+

= … .

a. 3

b. 21 3

c. 31 3

d. – 21 3

e. – 3

Jawab : a

oo

oo

171sin69sin

21sin81sin

−+

⇔ )102(sin)240(cos2

)60(cos)102(sin2

21

21

21

21

oo

oo

−⋅

⋅

⇔ oo

oo

51sin120cos

30cos51sin

⋅−⋅

⇔ o

o

)60180cos(

30cos

−−

⇔ )60cos(

30coso

o

−−

⇔ 21

21 3

= 3 ……….……………(a)


74

D. Sudut Rangkap 1) sin 2A = 2sinA·cosA

2) cos 2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A – 1

= 1 – 2sin2A

3) tan 2A = Atan1

Atan22−

4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A


Diketahui

sin�� − 60°� + sin�� + 60°� = �. Hasil

dari sin 2x = …

A. −2��1 − ��

B. ��1 − ��

C. 2��1 − ��

D. 2�� − 2�

E. −2�� + 2�

Jawab : C

Misal : x – 60° = A; x + 60° = B • A + B = (x – 60°) + (x + 60°) = 2x

½(A + B) = x

• A – B = (x – 60°) – (x + 60°) = –120° ½(A – B) = –60°

• sin�� − 60°� + sin�� + 60°� = � ⇔ sin A + sin B = p ⇔ 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B) = p ⇔ 2sin x · cos (– 60) = p ⇔ 2sin x · ½ = p

⇔ sin x = p = 1

p =

r

y⇒ x = 21 p−

• Cos x = r

x= 21 p−

• Sin 2x = 2sin x cos x

= 2p 21 p− ……………………(C)

2. UN 2013

Diketahui 5

3cos =x untuk 0° < x < 90°. Nilai

dari sin 3x + sin x = …

A. ��

B. ��

C. ��

D. ��

E. ��

Jawab : E

• 5

3cos =x =

r

x ⇒ y = 22 xr −

= 22 35 −

= 16= 4

• r

yx =sin =

5

4

• sin 3x + sin x = (3sin x – 4sin3x) + sin x = 4sin x – 4sin3x

= 3

5

44

5

44

×−×

= 3

4

2

22

5

4

55

54 −⋅⋅

= 125

256400−

= 125

144…………………..(E)


75


Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = 31 .

Nilai tan A = …

a. 331

b. 221

c. 631

d. 552

e. 632

Jawab : b

cos 2A = 1 – 2sin2 A

31 = 1 – 2sin2 A

(2sin2 A = 1 – 31 =

32 ) × 2

1

sin2 A = 31

sin A = 3

1=

r

y ⇒ x = ( ) 22

13 −

= 2

maka tan A = x

y =

2

1

= 221 ……………..…….(b)


76

E. Persamaan Trigonometri 1. sin xº = sin p

x1 = p + 360k x2 = (180 – p) + 360k

2. cos xº = cos p x1 = p + 360k x2 = – p + 360k

3. tan xº = tan p x1 = p + 180k x2 = (180 + p) + 180k

4. Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat


Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 60°, 180°} B. {30°, 180°, 300°} C. {30°, 90°, 150°} D. {60°, 180°, 300°} E. {60°, 120°, 270°} Jawab : D

cos 2x + cos x = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) + cos x = 0 ⇔ 2cos2 x + cos x – 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x + 2)(2cos x – 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x + 1) (2cos x – 1) = 0

i) cos x + 1 = 0 cos x = –1

x = {180°}

ii) 2cos x – 1 = 0 cos x = ½

x = {60°, 300°}

Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} …………(D)

2. UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x – 3cos x + 2 = 0 untuk 0° < x < 360° adalah … A. {60°, 120°} B. {150°, 210°} C. {30°, 330°} D. {120°, 240°} E. {60°, 300°} Jawab : E

cos 2x – 3cos x + 2 = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) – 3cos x + 2 = 0 ⇔ 2cos2 x – 3cos x + 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x – 2)(2cos x – 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x – 1) (2cos x – 1) = 0

i) cos x – 1 = 0 cos x = 1

x = {0°} …………. Bukan HP

karena di luar interval

ii) 2cos x – 1 = 0 cos x = ½

x = {60°, 300°}

Jadi, HP = {60°, 300°} …………(E)


77


Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x + 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° … A. {60°, 120°, 270°}

B. {120°, 240°, 270°}

C. {90°, 240°, 270°}

D. {120°, 180°, 240°}

E. {120°, 150°, 270°}

Jawab : D

cos 2x + 3cos x + 2 = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) + 3cos x + 2 = 0 ⇔ 2cos2 x + 3cos x + 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x + 2)(2cos x + 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x + 1) (2cos x + 1) = 0

i) cos x + 1 = 0 cos x = –1

x = {180°}

ii) 2cos x + 1 = 0 cos x = – ½

x = {120°, 240°}

Jadi, HP = {120°, 180°, 240°} …………(D) 4. UN 2013

Nilai x memenuhi persamaan cos 2x – sin x = 0 untuk 0° < x < 360° adalah … A. {30°, 150°}

B. {30°, 270°}

C. {30°, 150°, 180°}

D. {60°, 120°, 300°}

E. {30°, 150°, 270°}

Jawab : E

cos 2x – sin x = 0 (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0 – 2 sin2 x – sin x + 1= 0 2sin2 x + sin x – 1 = 0

½ (2sin x – 1)(2sin x + 2) = 0…. Ingat cara memfaktorkan

(2sin x – 1)(sin x + 1) = 0

i) 2sin x – 1 = 0 sin x = ½

x = {30°, 150°}

ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1

x = {270°}

Jadi, HP = {30°, 150°, 270°} ………..….(E)

5. UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x° – sin x° – 1 = 0 untuk 0 < x < 360 adalah … A. {180°, 210°, 330°} B. {30°, 150°, 180°} C. {150°, 180°, 330°} D. {60°, 120°, 180°} E. {120°, 240°, 300°} Jawab : A

cos 2x – sin x – 1= 0 (1 – 2 sin2 x) – sin x – 1= 0 – 2 sin2 x – sin x = 0 2sin2 x + sin x = 0

sin x (2 sin x + 1) = 0.............…. Ingat cara memfaktorkan

i) sin x = 0 x = {180°}

ii) 2sin x + 1 = 0

sin x = –½ x = {210°, 330°}

Jadi, HP = {180°, 210°, 330°} ………..….(A)


78


Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {120°, 240°} D. {210°, 330°} E. {240°, 300°} Jawab : D

cos 2x + 3 sin x + 1 = 0 (1 – 2 sin2 x) + 3sin x + 1= 0 – 2 sin2 x + 3sin x + 2 = 0 2sin2 x – 3sin x – 2 = 0

½ (2sin x + 1)(2sin x – 4) = 0…. Ingat cara memfaktorkan

(2sin x + 1)(sin x – 2) = 0

i) 2sin x + 1 = 0 sin x = –½

x = {210°, 330°}

ii) sin x – 2 = 0 sin x = 2 ............ TM

Jadi, HP = {210°, 330°} ………..….(D)

7. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari persamaan 4 sin x =1 + 2 cos 2x, 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 150°} B. {30°, 210°} C. {150°, 210°} D. {210°, 330°} E. {240°, 300°} Jawab : A

4 sin x =1 + 2 cos 2x ⇔ 2 cos 2x – 4 sin x + 1 = 0 ⇔ 2 (1 – 2 sin2 x) – 4 sin x + 1 = 0 ⇔ – 4 sin2 x – 4 sin x + 3 = 0 ⇔ 4 sin2 x + 4 sin x – 3 = 0 ⇔ ½ (4 sin x + 6) ½ (4 sin x – 2) = 0 ⇔ (2 sin x + 3) (2 sin x – 1) = 0

i) 2sin x + 3 = 0

sin x = 23− .............TM

ii) 2sin x – 1= 0

sin x = ½ Jadi, HP = {30°, 150°} ………..….(A)

8. UN 2012/A13 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah….

A. {0, πππ 2,2

3, }

B. {0, πππ 2,2

4, }

C. {0, ππππ 2,,3

2, }

D. {0, ππ 2, }

E. {0,2

3,

ππ }

Jawab : A

cos 2x – 2sin x = 1 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 0 sin2 x + sin x = 1

sin x (sin x + 1) = 0

i) sin x = 0 x = {0, π, 2π}

ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1

x = { π2

3}

Jadi, HP = {0, πππ 2,2

3, } ………..…….(A)


79


Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2cos x = –1; 0 ≤ x ≤ 2π adalah …

A. {0, 2

1 π, 2

3 π, 2π}

B. {0, 2

1 π, 3

2 π, 2π}

C. {0, 2

1 π, π, π2

3}

D. {0, 2

1 π, 3

2 π}

E. {0, 2

1 π, π}

Jawab : A

cos 2x – 2cos x = –1

2cos2 x – 1 – 2cos x = –1 2cos2 x – 2cos x = 0

cos2 x – cos x = 0 cos x (cos x – 1) = 0

i) cos x = 0

x =

ππ

2

3,

2

ii) cos x – 1 = 0 cos x = 1

x = {0, 2π}

Jadi, HP =

πππ 2,

2

3,

2

1,0 ……………(A)

10. UN 2012/D49 Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah …. A.{120°,150°} B. {150°,165°} C. {30°,150°} D. {30°,165°} E. {15°,105°} Jawab : –

cos 4x + 3 sin 2x = – 1

1 – 2sin2 2x + 3 sin 2x = –1 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0

21 (2sin 2x – 4) (2 sin 2x + 1) = 0

(sin 2x – 2) (2 sin 2x + 1) = 0 i) sin 2x – 2 = 0 sin 2x = 2 ..... tidak mungkin krn nilai maks

fungsi sinus = 1 ii) 2 sin 2x + 1 = 0

sin 2x = 21− = sin 210°

a) 2x = 210° x = 105°

b) 2x = 180° – 210° + k⋅360° x = –15 + k⋅180° untuk k = 1 ⇒ 180° – 15° = 165°

Hp = {105°, 165°}

11. UN 2011 PAKET 12 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah … a. {45°, 120°} b. {45°, 135°} c. {60°, 135°} d. {60°, 120°} e. {60°, 180°}

Jawab : e

cos 2x + cos x = 0

⇔ 2 cos2 x – 1 + cos x = 0

⇔ 2 cos2 x + cos x – 1 = 0

⇔ (2 cos x – 1)(cos x + 1) = 0

(i) 2 cos x – 1 = 0

cos x = 21 → x = 60°

(ii) cos x + 1 = 0 cos x = –1 → x = 180°

Jadi, x = {60°, 180°} …………………………(e)


80


Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 3 cos x + 2 = 0, 0° ≤ x ≤ 360° adalah … a. {60°, 300°} b. {0°, 60°, 300°} c. {0°, 60°, 180°, 360°} d. {0°, 60°, 300°, 360°} e. {0°, 60°, 120°, 360°}

Jawab : d

cos 2x – 3 cos x + 2 = 0

⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0

⇔ 2 cos2 x – 3cos x + 1 = 0

⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0

(i) 2 cos x – 1 = 0

cos x = 21 → x = {60°, 300°}

(ii) cos x – 1 = 0 cos x = 1 → x = {0°, 360°}

Jadi, x = {0°, 60°, 300°, 360°} ………………(d)

13. UN 2010 PAKET A Himpunan penyelesaian persamaan: sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0 ≤ x < 2π adalah … a. { }π,0

b. { }ππ ,2

c. { }ππ ,23

d. { }2

32 , ππ

e. { }2

3,0 π

Jawab : d

sin 2x + 2cos x = 0 ⇔ 2 sin x cos x + 2cos x = 0 ⇔ 2 cos x (sin x + 1) = 0

i) 2 cos x = 0 cos x = 0

x = 90°, 270° = 2π , 2

3π

ii) sin x + 1 = 0 sin x = – 1

x = 270° = 23π

Jadi Hp = {2π , 2

3π } ………………(d)

14. UN 2010 PAKET B

Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x – sin x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah …

a. { }632 ,, πππ

b. { }23

65

6 ,, πππ

c. { }67

62 ,, πππ

d. { }611

34

67 ,, πππ

e. { }πππ 2,, 611

34

Jawab : b

cos 2x – sin x = 0 ⇔ 1 – 2 sin2 x – sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0

i) 2 sin x – 1 = 0

sin x = 21

x = 30°, 150° = 6π ,

65π

ii) sin x + 1 = 0 sin x = – 1

x = 270° = 23π

Jadi Hp = {6π ,

65π , 2

3π } ………………(b)


81


Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, untuk 0 < x < 360 adalah … a. {0, 90} b. {90, 270} c. {30, 130} d. {210, 330} e. {180, 360}

Jawab : d

cos 2xº + 7 sin xº + 3 = 0 ⇔ (1 – 2sin2 xº) + 7 sin xº + 3 = 0 ⇔ – 2sin2 xº + 7sin xº + 4 = 0 ⇔ 2sin2 xº – 7sin xº – 4 = 0 ⇔ (2sin xº +1)(sin xº – 4) = 0

(i) sin xº – 4 = 0 sin xº = 4 ……………tidak mungkin xº = {}

(ii) 2sin xº +1 = 0 …………rumus E.1 2sin xº = – 1

sin xº = – 21 …. di kwadran III dan IV

sin xº = sin (– 30º) • xº = (180 + 30)º = 210º … kwadran III • xº = (360 – 30)º = 330° … kwadran IV

Jadi, HP = {210º, 330º} ………………….(d) 16. UN 2009 PAKET A/B

Himpunan penyelesaian persamaan: sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0° < x < 360° adalah … a. {15°, 45°, 75°, 135°} b. {135°, 195°, 225°, 255°} c. {15°, 45°, 195°, 225°} d. {15°, 75°, 195°, 255°} e. {15°, 45°, 75°, 135°, 195°,225°, 255°,315°}

Jawab : e

sin 4x – cos 2x = 0 ⇔ sin 2(2x) – cos 2x = 0 ⇔ 2sin 2x · cos 2x – cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2sin 2x – 1) = 0

(a) cos 2x = 0 cos 2x = cos 90° Lihat rumus .E.2 (i) 2x° = 90° + k · 360°

x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°) = 45º untuk k = 1 ⇒ xº = 45° + (1 · 180°) = 225º (ii) 2x° = –90° + k · 360°

x° = –45° + k · 180° untuk k = 1 ⇒ xº = –45° + (1 · 180°) = 135º untuk k = 2 ⇒ xº = –45° + (2 · 180°) = 315º

(b) 2sin 2x – 1 = 0

sin 2x = 21

sin 2x = sin 30º Lihat rumus E.1 (i) 2xº = 30° + k · 360°

x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°) = 15° untuk k = 1 ⇒ xº = 15° + (1 · 180°) =195°

(ii) 2x° = 180° – 30 ° + k · 360° x° = 90° – 15° + k · 180° x° = 75° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 75° + (0 · 180°) = 75° untuk k = 1 ⇒ xº = 75° + (1 · 180°) =225°

Dari langkah (a) dan (b) diperoleh: HP = {15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°, 315°} …………………………………………….(e)


82


Nilai x yang memenuhi persamaan

2 cos xº + 2sin xº = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah … a. 15 atau 135 b. 45 atau 315 c. 75 atau 375 d. 105 atau 345 e. 165 atau 285

Jawab : d

Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 2cos xº + 2sin xº = 2

⇔ {2cos xº + 2sin xº = 2 }× 241

⇔ 221 cos xº + 22

1 sin xº = 21

⇔ sin xº · 221 + cos xº · 22

1 = 21

⇔ sin xº · cos 45° + cos xº · sin 45° = sin 30° ⇔ sin (xº + 45°) = sin 30° Lihat rumus E.1 (i) xº + 45º = 30° + k · 360°

x° = –15° + k · 360° untuk k = 1 ⇒ xº = –15° + (1 · 360°) = 345°

(ii) x° + 45° = 180° – 30 ° + k · 360° x° = 105° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 105° + (0 · 360°) = 105°

Jadi, HP = {105°, 345°} ………….…………(d)

18. UN 2006 Diketahui persamaan

2cos2x + 3 sin 2x = 1 + 3 , untuk

0 < x < 2π . Nilai x yang memenuhi adalah …

a. 6π dan

2π

b. 3π dan

125π

c. 12π dan

125π

d. 12π dan

4π

e. 6π dan

4π

Jawab : d

Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut

2cos2x + 3 sin 2x = 1 + 3

⇔ 1 + cos 2x + 3 sin 2x = 1 + 3

⇔ {cos 2x + 3 sin 2x = 3 }× 21

⇔ 21 cos 2x + 2

1 3 sin 2x = 21 3

⇔ cos 2x · 21 + sin 2x · 32

1 = 321

⇔ sin 2x · 321 + cos 2x · 2

1 = 321

⇔ sin 2x · cos 30° + cos 2x · sin 30° = sin 60° ⇔ sin (2x + 30°) = sin 60°

Lihat rumus A.1) (i) 2xº + 30º = 60° + k · 360°

2xº = 30° + k · 360° x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°)

= 15° = πo

o

18015 = 12

π

(ii) 2x° + 30° = 180° – 60 ° + k · 360° 2x° = 90° + k · 360° x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°)

= 45° = πo

o

18045 = 4

π

Jadi, HP = {12π , 4

π } ………….…………(d)


83


Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah … a. {30, 90} b. {30, 150} c. {0, 30, 90} d. {30, 90, 150} e. {30, 90, 150, 180}

Jawab : d

cos 2xº + 3sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360

untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah menjadi fungsi sinus.

cos 2xº + 3sin xº = 2 ⇔ (1 – 2 sin2xº) + 3sin xº = 2 ⇔ 2 sin2xº – 3sin xº + 1 = 0 ⇔ (2 sin xº – 1) (sin xº – 1) = 0

Lihat rumus E.1 (i) 2 sin xº – 1 = 0

2 sin xº = 1

sin xº = 21

xº = 30º xº = (180º – 30º)= 150º

(ii) sin xº – 1 = 0 sin xº = 1

xº = 90º

Jadi, HP = {30º, 90º, 150º} ………………(d)

20. UN 2004 Nilai x yang memenuhi

3 cos x + sin x = 2 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah …

a. π121 dan π12

11

b. π121 dan π12

23

c. π125 dan π12

7

d. π125 dan π12

19

e. π125 dan π12

23

Jawab : e

Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 3 cos x + sin x = 2 ,

↔ ( 3 cos x + sin x = 2 ) × 21

↔ 321 cos x +

21 sin x = 22

1

↔ cos 30º cos x + sin 30º sin x = cos 45º ↔ cos (x – 30º) = cos 45º Lihat rumus E.2

(i) x – 30º = 45º + k·360º, x = 75º + k·360º,

untuk k = 0 ⇒ x = 75º = π18075 = π12

5

(ii) x – 30º = – 45º + k·360º x = –15 + k·360º untuk k = 1 ⇒ x = 345º = π180

345 = π1223

Jadi, HP = { π125 , π

1223 } ………..…….(e)


84


Untuk 0 ≤ x ≤ 360, himpunan penyelesaian

dari sin xº – 3 cos xº – 3 = 0 adalah … a. {120,180} b. {90,210 c. {30, 270} d. {0,300} e. {0,300,360}

Jawab : a

Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut

sin xº – 3 cos xº – 3 = 0

⇔ {sin xº –3 cos xº = 3 } × 21

⇔ 21 sin xº – 32

1 cos xº = 321

⇔ sin xº · 21 – cos xº · 32

1 = 321

⇔ sin xº · cos 60º – cos xº · sin 60º = sin 60º ⇔ sin (xº – 60º) = sin 60º Lihat rumus A.1) (i) xº – 60º = 60° + k · 360°

x° = 120° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 120° + (0 · 360°) = 120°

(ii) x° – 60° = 180° – 60° + k · 360° x° = 180° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 180° + (0 · 360°) = 180°

Jadi, HP = {120°, 180°} ………….……..………(a)

22. EBTANAS 2002 Jika a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º untuk setiap x, maka a3 + b = … a. –1 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : d

a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º

⇔ bcos xº + a sin xº = sin30º⋅cos xº +cos30º⋅sin xº

= 21 cos xº + 32

1 sin xº

dari kesamaan dua ruas di atas diperoleh:

b = 21 dan a = 32

1 , maka:

a 3 + b = 21

21 33 +×

= 21

23 + = 2 …………………….…..(d)

6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p ~ p B S S B

B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p ∧∧∧∧ q : p dan q

2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨∨∨∨ q : p atau q

3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒⇒⇒⇒ q : Jika p maka q

4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔⇔⇔⇔ q : p jika dan hanya jika q

C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q P ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S S B B

Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal

1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Invers Konvers Kontraposisi

p ⇒ q ~ p ⇒ ~ q q ⇒ p ~ q ⇒ ~ p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen (Setara) 1) implikasi ≡ kontraposisi : p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2) konvers ≡ invers : q ⇒ p ≡ ~ p ⇒ ~ q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi

SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika

86

F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca

“untuk semua nilai x” • Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x”

dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x” • Ingkaran dari pernyataan berkuantor

1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan “Jika persediaan barang banyak, maka harga barang turun” adalah … A. Persediaan barang banyak atau harga barang

naik B. Persediaan barang banyak dan harga barang

naik C. Persediaan barang tidak banyak atau harga

barang naik D. Persediaan barang tidak banyak atau harga

barang turun E. Persediaan barang tidak banyak dan harga

barang turun Jawab : D

Misal : p = persediaan barang banyak

q = harga barang turun sehingga : p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q …………………..………(D)

≡ Persediaan barang tidak banyak atau harga barang turun

2. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas maka tingkat polusi udara dapat diturunkan.” adalah … A. Kendaraan bermotor menggunakan bahan

bakar gas dan tingkat polusi udara tidak dapat diturunkan

B. Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas atau tingkat polusi udara dapat diturunkan

C. Jika tingkat polusi udara dapat diturunkan maka Kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas

D. Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas dan tingkat polusi udara dapat diturunkan

E. Jika tingkat polusi udara tidak dapat diturunkan maka Kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas

Jawab : B

Misal : p = kendaraan bermotor menggunakan

bahan bakar gas

q = tingkat polusi udara dapat diturunkan

sehingga : p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q ……………..……………(B)

≡ Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas atau tingkat polusi udara dapat diturunkan


87


Pernyataan “Jika hari hujan, maka upacara bendera dibatalkan” equivalen dengan pernyataan … A. Hari tidak hujan atau upacara bendera tidak

dibatalkan B. Jika hari tidak hujan maka upacara bendera

dibatalkan C. Jika upacara bendera dibatalkan, maka hari

hujan D. Hari hujan atau upacara bendera tidak

dibatalkan E. Hari tidak hujan atau upacara bendera

dibatalkan Jawab : E

Misal : p = hari hujan

q = upacara bendera dibatalkan

sehingga: p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q …………………………(E)

≡ Hari tidak hujan atau upacara bendera dibatalkan

4. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Ani tidak mengikuti pelajaran matematika atau Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.” adalah … A. Jika Ani mengikuti pelajaran matematika

maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

B. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

C. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

D. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

E. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

Jawab : A

Misal : p = Ani tidak mengikuti pelajaran

matematika

q = Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

sehingga: ~ p ∨ q ≡ p ⇒ q ………………..…………(A)

≡ Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika


88


Pernyataan setara dengan “Jika Budin sarapan pagi, maka ia tidak mengantuk di kelas” adalah … A. Jika Budin sarapan pagi maka ia mengantuk

di kelas B. Jika Budin mengantuk di kelas maka ia

sarapan pagi C. Jika Budin mengantuk di kelas maka ia tidak

sarapan pagi D. Jika Budin tidak sarapan pagi maka ia

mengantuk di kelas E. Jika Budin tidak sarapan pagi maka ia tidak

mengantuk di kelas Jawab : C

Misal : p = Budin sarapan pagi

q = Budin tidak mengantuk di kelas sehingga p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~p …………………..(C)

≡ Jika Budin mengantuk di kelas maka ia tidak sarapan pagi

6. UN 2013 Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah maka ia senang” setara dengan pernyataan … A. Jika Bagus tidak senang maka ia tidak

mendapat hadiah B. Bagus mendapat hadiah tetapi ia tidak

senang C. Bagus mendapat hadiah dan ia senang D. Bagus tidak mendapat hadiah atau ia tidak

senang E. Bagus tidak senang dan ia tidak mendapat

hadiah Jawab : A

Misal : p = Bagus mendapat hadiah

q = Bagus senang sehingga p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~p ………….……………..(A)

≡ Jika Bagus tidak senang maka ia tidak mendapat hadiah

7. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika setiap orang menanam pohon maka udara bersih” adalah … A. Jika beberapa orang tidak menanam pohon

maka udara tidak bersih B. Jika udara bersih maka semua orang

menanam pohon C. Jika udara tidak bersih maka setiap orang

tidak menanam pohon D. Jika udara tidak bersih maka beberapa orang

tidak menanam pohon E. Jika semua orang tidak menanam pohon

maka udara tidak bersih Jawab : D

Misal : ∀p = setiap orang menanam pohon

q = udara bersih sehingga ∀p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ∃(~p) …………………..(D)

≡ Jika udara tidak bersih maka beberapa orang tidak menanam pohon


89


Pernyataan yang setara dengan “Jika setiap siswa berlaku jujur dalam UN maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN.” adalah … A. Jika ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN

maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN

B. Jika nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN maka setiap siswa berlaku jujur dalam UN

C. Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN

D. Setiap siswa berlaku jujur dalam UN dan nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN

E. Ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN atau nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN

Jawab : C

Misal : ∀p = setiap siswa berlaku jujur dalam

UN

q = nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN

sehingga: ∀p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ∃(~p) …………………..(C)

≡ Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN

9. UN 2012/A13 Negasi dari dari pernyataan : “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan.”,adalah… A. Semua siswa SMA Mematuhi disiplin

sekolah dan Roy bukan siswa teladan B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin

sekolah dan Roy siswa teladan C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah

dan Roy bukan siswa teladan D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah

dan Roy siswa teladan E. Jika Siswa SMA disiplin maka Roy siswa

teladan Jawab : A

misal : p : siswa SMA mematuhi disiplin sekolah q : Roy siswa teladan sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(A)

≡ Semua siswa SMA Mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan

10. UN 2012/D25 Ingkaran pernyataan: “Jika semua mahasiswa berdemontrasi maka lalu lintas macet” adalah…. A. Mahasiswa berdemontrasi atau lalu lintas

macet. B. Mahasiswa berdemontrasi dan lalulintas

macet. C. Semua mahasiswi berdemontrasi dan

lalulintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemontrasi E. Lalulintas tidak macet Jawab : C

misal : p : mahasiswa berdemontrasi q : lalu lintas macet sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(C)

≡ Semua mahasiswi berdemontrasi dan lalulintas tidak macet


90


Ingkarkan pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat” adalah…. A. Jika ada anggota keluarga yang tidak pergi

maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat

B. Jika ada pintu rumah yang tidak di kunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi

C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi

D. Semua anggota keluarga pergi dan pintu rumah tidak dikunci rapat

E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi

Jawab : D

misal : p : anggota keluarga pergi q : pintu rumah dikunci rapat sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ ∀q) ≡ ∀p ∧ ∃(~q) ...........................(C)

≡ Semua anggota keluarga pergi dan pintu rumah tidak dikunci rapat

12. UN 2004 Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung” adalah … a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa

payung b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa

payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak

membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa payung e. Hari ini hujan atau saya membawa payung

Jawab : e

Misal : ~p : tidak hujan ~q : saya tidak membawa payung sehingga negasi pernyataan tersebut jika disajikan dalam kalimat matematika adalah:

)~(~~ qp∧ ≡ p ∨ q ………..…………..(e)

≡ Hari ini hujan atau saya membawa payung


91

G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme (MP) (MT)

p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 P : premis 2 ~ q : premis 2 q ⇒ r : premis 2 ∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ r : kesimpulan

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika panen melimpah, maka

penghasilan petani meningkat Premis 2 : Jika penghasilan petani meningkat,

maka mereka makmur Premis 3 : Petani tidak makmur Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Penghasilan petani tidak meningkat B. Penghasilan petani menurun C. Panen tidak melimpah D. Petani tidak panen E. Petani gagal panen Jawab : C

P1 : Jika panen melimpah, maka penghasilan

petani meningkat P2 : Jika penghasilan petani meningkat, maka

mereka makmur P3 : Petani tidak makmur

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Panen tidak melimpah ……………………(C)

2. UN 2013 Diberikan premis-premis berikut: Premis 1 : Jika hari Senin bertanggal genap

maka upacara bendera diadakan Premis 2 : Jika upacara bendera diadakan maka

guru matematika bertindak sebagai Pembina upacara

Premis 3 : Guru matematika bukan bertindak sebagai Pembina upacara

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Hari Senin bertanggal genap B. Hari Senin tidak bertanggal genap C. Upacara bendera tetap diadakan D. Upacara bendera tidak diadakan E. Upacara bendera berlangsung khidmat Jawab : B

P1 : Jika hari Senin bertanggal genap maka

upacara bendera diadakan P2 : Jika upacara bendera diadakan maka guru

matematika bertindak sebagai Pembina upacara

P3 : Guru matematika bukan bertindak sebagai Pembina upacara

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari Senin tidak bertanggal genap ………..(B)


92


Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika kesadaran akan kebersihan

meningkat maka sampah yang berserakan berkurang

Premis 2 : Jika sampah yang berserakan berkurang maka saluran air lancar

Premis 3 : Jika saluran air lancar maka masyarakat bahagia

Kesimpulan dari premis- premis tersebut adalah … A. Kesadaran akan kebersihan meningkat tetapi

masyarakat tidak bahagia B. Masyarakat bahagia dan kesadaran akan

kebersihan meningkat C. Jika masyarakat bahagia maka kesadaran

akan kebersihan meningkat D. Jika kesadaran akan kebersihan meningkat

maka masyarakat bahagia E. Jika sampah yang berserakan berkurang

maka masyarakat bahagia Jawab : D

P1 : Jika kesadaran akan kebersihan meningkat

maka sampah yang berserakan berkurang P2 : Jika sampah yang berserakan berkurang

maka saluran air lancar P3 : Jika saluran air lancar maka masyarakat

bahagia

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika kesadaran akan kebersihan meningkat maka masyarakat bahagia ……………………….(D)

4. UN 2013 Diberikan premis-premis berikut: Premis 1 : Jika siswa rajin belajar maka siswa

akan mendapat nilai baik Premis 2 : Jika siswa mendapat nilai baik maka

siswa tidak mengikuti kegiatan remedial

Premis 3 : Siswa rajin belajar Kesimpulan dari ketiga premis tersebut adalah … A. Siswa mengikuti kegiatan remedial B. Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial C. Siswa mendapat nilai yang baik D. Siswa tidak mendapat nilai yang baik E. Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial dan

nilainya tidak baik Jawab : B

P1 : Jika siswa rajin belajar maka siswa akan

mendapat nilai baik P2 : Jika siswa mendapat nilai baik maka siswa

tidak mengikuti kegiatan remedial P3 : Siswa rajin belajar

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ….(B)


93


Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik maka harga

sembako naik Premis 2 : Jika harga sembako naik maka tarif

tol naik Premis 3 : Tarif tol tidak naik Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … A. Jika harga BBM naik maka tarif tol naik B. Jika harga sembako naik maka tarif tol naik C. Harga BBM naik D. Harga BBM tidak naik E. Harga sembako tidak naik Jawab : D

P1 : Jika harga BBM naik maka harga sembako

naik P2 : Jika harga sembako naik maka tarif tol naik P3 : Tarif tol tidak naik

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Harga BBM tidak naik ………………….(D)

6. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Budi ulang tahun maka semua

kawannya datang Premis 2 : Jika semua kawannya datang maka

ia mendapatkan kado Premis 3 : Budi tidak mendapatkan kado Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Budi ulang tahun B. Semua kawannya datang C. Budi tidak ulang tahun D. Semua kawan tidak datang E. Ia mendapat kado Jawab : C

P1 : Jika Budi ulang tahun maka semua

kawannya datang P2 : Jika semua kawannya datang maka ia

mendapatkan kado P3 : Budi tidak mendapatkan kado

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Budi tidak ulang tahun …………………..(C)

7. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika mobil listrik di produksi massal

maka mobil listrik menjadi angkutan umum

Premis 2 : Jika mobil listrik menjadi angkutan umum maka harga BBM turun

Premis 3 : Harga BBM tidak turun Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Mobil listrik di produksi massal B. Mobil listrik tidak di produksi massal C. Mobil listrik menjadi angkutan umum D. Mobil listrik tidak menjadi angkutan umum E. Mobil listrik menjadi angkutan umum tetapi

tidak di produksi missal Jawab : B

P1 : Jika mobil listrik di produksi massal maka

mobil listrik menjadi angkutan umum P2 : Jika mobil listrik menjadi angkutan umum

maka harga BBM turun P3 : Harga BBM tidak turun

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Mobil listrik tidak di produksi massal ……..(B)


94


Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hujan turun maka jalan menjadi

licin Premis 2 : Jika jalan menjadi licin maka

pengendara sepeda motor menepi Premis 3 : Hujan turun Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Hujan turun B. Jalan menjadi licin C. Hujan tidak turun D. Pengendara sepeda motor tidak menepi E. Pengendara sepeda motor menepi Jawab : E

P1 : Jika hujan turun maka jalan menjadi licin P2 : Jika jalan menjadi licin maka pengendara

sepeda motor menepi P3 : Hujan turun

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah :

Pengendara sepeda motor menepi ……..…(E)

9. UN 2012/C37 Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona

tidak ke luar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah… A. Hari ini hujan deras. B. Hari ini hujan tidak deras. C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak

keluar rumah. D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar

rumah. E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar

rumah. Jawab : B

P1 : Jika hari ini hujan deras, kmaka Bona tidak

keluar rumah.

P2 : Bona keluar rumah.

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari ini hujan tidak deras …………………..(B)

10. UN 2012/A13 Diketahui premis-premis sebagai berikut : Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya

diajak kebandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka

saya pergi ke Lembang.” Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….. A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka

Cecep lulus ujian. B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep

lulus ujian C. Jika Cecep Lulus Ujian maka saya pergi ke

Lembang. D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke

Lembang E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep

tidak lulus ujian Jawab : C

PI : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak

kebandung.”

PII : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Cecep Lulus Ujian maka saya pergi ke Lembang ...................................................(C)


95


Diketahui premis-premis berikut: Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak

pergi. Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya

nonton sepak bola. Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah ... A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton

sepak bola B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak

bola C. Hari ini hujan dan saya nonton sepak bola D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari

tidak hujan E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi

saya nonton sepak bola Jawab : B

PI : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi.

PII : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola..............................................................(B)

12. UN 2012/D25 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Tio kehujanan,maka Tio sakit. Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam Kesimpulan dari ke dua premis tersebut adalah…. A. Jika tio sakit maka ia kehujanan. B. Jika tio kehujanan maka ia demam C. Tio kehujanan dan ia sakit D. Tio kehujanan dan ia demam E. Tio demam karena karma kehujanan Jawab : B

P1 : Jika Tio kehujanan,maka Tio sakit.

P2 : Jika Tio sakit, maka ia demam

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika tio kehujanan maka ia demam…..........(B)

13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung (2) Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … a. Hari tidak hujan b. Hari hujan c. Ibu memakai payung d. Hari hujan dan Ibu memakai payung e. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung Jawab : a

(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

(2) Ibu tidak memakai payung

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari tidak hujan …………………..........(A)


96


Diketahui premis-premis (1) Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian (2) Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat

diterima di PTN Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah … a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat

diterima di PTN b. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat

diterima di PTN c. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi tidak dapat

diterima di PTN d. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian e. Jika Adi tidak lulus ujian maka dapat

diterima di PTN Jawab : a

(1) Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian

(2) Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN……………………………………...(A)

15. UN 2010 PAKET A Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid

pandai 2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Jika Andi murid rajin, maka ia tidak lulus

ujian b. Andi murid rajin dan ia tidak lulus ujian c. Andi bukan murid rajin atau ia lulus ujian d. Jika Andi bukan murid rajin, maka ia tidak

lulus ujian e. Jika Andi murid rajin, maka ia lulus ujian Jawab : b

1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid

pandai

2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya Kesimpulan yang sah adalah : Jika Andi murid rajin maka ia lulus ujian

ingkarannya adalah: Andi murid rajin dan ia tidak lulus ujian …..(B)

16. UN 2010 PAKET B Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa

meraih juara 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya

boleh ikut bertanding Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah … a. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut

bertanding b. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut

bertanding c. Saya giat belajar maka saya bisa meraih

juara d. Saya giat belajar dan saya boleh ikut

bertanding e. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar

Jawab : a

1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih

juara

2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya

Kesimpulan yang sah adalah : Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding

ingkarannya adalah: Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding ………………………..(a)


97


Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua

bahan pokok naik Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka

semua orang tidak senang Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Harga BBM tidak naik b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada

orang orang tidak senang c. Harga bahan pokok naik atau ada orang

tidak senang d. Jika semua orang tidak senang, maka harga

BBM naik e. Harga BBM naik dan ada orang yang

senang

Jawab : e

P1. Jika harga BBM naik, maka semua bahan

pokok naik

P2. Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya

Kesimpulan yang sah adalah : Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang

ingkarannya adalah: Harga BBM naik dan ada orang yang senang …………………………………………..…(e)

18. UN 2008 PAKET A/B Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak suka bermain air.” Adalah … a. Tidak ada anak-anak yang suka bermain air. b. Semua anak-anak tidak suka bermain air. c. Ada anak-anak yang tidak suka bermain air d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka

bermain air. e. Ada anak-anak suka bermain air.

Jawab : c

Jawaban sudah jelas

19. UN 2008 PAKET A/B Diketahui premis-premis: 1) Jika Marni rajin belajar atau patuh pada

orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.

2) Ibu tidak membelikan sepatu baru Kesimpulan yang sah adalah … a. Marni rajin belajar atau Marni patuh pada

orang tua. b. Marni rajin belajar dan Marni patuh pada

orang tua. c. Marni tidak rajin belajar atau Marni patuh

pada orang tua. d. Marni tidak rajin belajar dan Marni patuh

pada orang tua. e. Marni tidak rajin belajar dan Marni tidak

patuh pada orang tua.

Jawab : e

1) Jika Marni rajin belajar atau patuh pada

orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.

2) Ibu tidak membelikan sepatu baru Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya

Kesimpulan yang sah adalah :

Ingkaran dari Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua

yaitu :

Marni tidak rajin belajar dan Marni tidak patuh pada orang tua


98


Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik

kelas. Premis 2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan

dibelikan baju. Kesimpulan yang sah adalah … a. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan

dibelikan baju. b. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan

dibelikan baju. c. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan

baju. d. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan

dibelikan baju. e. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan

dibelikan baju. Jawab : d

P1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas.

P2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama

Kesimpulan yang sah adalah : Jika Dodi rajin belajar maka ia akan dibelikan baju

Kesimpulan di atas ekuivalen dengan Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju ……………………………………(D)

21. UN 2007 PAKET B Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah

di perguruan tinggi negeri. Premis 2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi

negeri, maka Anik jadi sarjana. Premis 3 : Anik bukan sarjana

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … a. Anik lulus ujian b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri c. Anik tidak lulus ujian d. Anik lulus ujian dan kuliah di perguruan

tinggi negeri e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah Jawab : c

P1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah di

perguruan tinggi negeri.

P2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Anik jadi sarjana.

P3 : Anik bukan sarjana

Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama

Kesimpulan yang sah adalah : Anik tidak lulus ujian ……………………(C)

22. UN 2006 Perhatikan argumentasi berikut!

I. p → q ~ q ∨ r_ ∴r → p

IV. ~q → p ~r → ~q_ ∴ p → r

II. p → q ~q ∨ r_ ∴~ p → ~ r

IV. ~q → ~r ~r → ~q_ ∴ r → p

III. p → q ~q ∨ r_ ∴~ r → ~ p

Argumentasi yang sah adalah … a. I d. IV b. II e. V c. III Jawab : c

I. p → q

~ q ∨ r_ ≡ q → r ∴r → p …… tidak sah seharusnya p → r ≡ ~r → ~p

II. p → q ~ q ∨ r_ ≡ q → r

∴~ p → ~ r ……tidak sah III. p → q

~ q ∨ r_ ≡ q → r ∴~ r → ~ p …….sah ……………(c)


99


Diketahui argumentasi: i : p ∨ q

~ p__ ∴~ q

iii : p ⇒ q ~q ∨ r___ ∴~ r ⇒~ p

ii : ~ p ∨ q ~ q___ ∴~ p

iv : ~ q ⇒ ~ p ~ r ⇒ ~ q_ ∴ p ⇒ r

Argumentasi yang sah adalah … a. i dan ii b. ii dan iii c. iii dan iv d. i, ii, dan iii e. ii, iii, dan iv Jawab : e

Cek pernyataan satu persatu i : p ∨ q ≡ ~p ⇒ q

~ p__ modus ponen ∴~ q …….tidak sah, seharusnya q

ii : ~ p ∨ q ≡ p ⇒ q ~ q___ modus tolen

∴~ p ………sah

iii : p ⇒ q ~q ∨ r ≡ q ⇒ r silogisme

∴~ r ⇒~ p ≡ p ⇒ r ………sah

iv : ~ q ⇒ ~ p ≡ p ⇒ q ~ r ⇒ ~ q_≡ q ⇒ r silogisme

∴ p ⇒ r ……. sah Jadi, jawaban yang benar adalah ……………(e)

24. UN 2005 Invers dari pernyataan p ⇒ (p ∧ q) adalah … a. (~ p∧ ~ q) ⇒ ~ P b. (~ p∨ ~ q) ⇒ ~ P c. ~ P ⇒ (~ p ∧ ~ q) d. ~ P ⇒ (~ p ∧ q) e. ~ P ⇒ (~ p ∨ ~ q) Jawab : e

Invers adalah implikasi yang dinegasi, maka: p ⇒ (p ∧ q) inversnya adalah : ~p ⇒ ~(p ∧ q) ≡ ~p ⇒ (~p ∨ ~q) ………….(e)

25. UN 2004 Diketahui beberapa premis berikut: Premis 1 : ~ p ⇒ ~ q Premis 2 : p ⇒ r Premis 3 : q a. ~ p benar b. p salah c. ~ r benar d. r salah e. r benar Jawab : e

(1) dan (3) …… modus ponen ~p ⇒ ~q ≡ q ⇒ p ……………….(1)

q ………………..(3) ∴p ……………..(4)

(2) dan (4) ……..modus ponen

p ⇒ r ……………….(2) p___ ………………..(4) ∴r ……………………………………(e)

26. UAN 2003 Kesimpulan dari 3 premis berikut adalah… P1 : p ⇒ q ……………….(1) P2 : q ⇒ r………………..(2) P3 : ~ r___ ………………(3) ∴……….

a. ~ q ⇒ p b. q ⇒ p c. ~ (q ⇒ p) d. ~p e ~q

Jawab : d

(1) dan (2) …… silogisme

p ⇒ q ……………….(1) q ⇒ r………………..(2) ∴p ⇒ r ……………..(4)

(4) dan (3) ……..modus tolen

p ⇒ r ……………….(4) ~r___ ……………….(3) ∴~p ………………………………………(d)


100


Diketahui tiga premis sebagai berikut P1 : p ⇒ q ………………….(1) P2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P3 : ~ r___ …………………..(3) ∴………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah..... a. q ∨ r b. q c. p ∧ ~ q d. p ∨ q e. p ∨ ~ r Jawab : c dari data yang telah diperoleh kemudian cek jawabannya satu persatu a) q ∨ r

B ∨ S = B ………….rumus C.2)

b) q = B

c) p ∧ ~ q B/S ∧ S = S ………… rumus C.1)

Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c)

Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “kesimpulan suatu pernyataan akan bernilai benar jika semua premisnya adalah benar” sehingga P1, P2, dan P3 harus benar (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling

sederhana yaitu P3 P3 : ~r = B

(ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P2, P2 juga harus benar. Dari langkah (i) diperoleh hasil ~r = B P2 : (~r ⇒ q) = B

B ⇒ … = B supaya P2 benar, maka q = B

(ingat rumus C. 3)

(iii) terakhir ke P1, P1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B P3 : (p ⇒ q) = B

… ⇒ B = B supaya p3 benar, maka P = B atau S

(ingat rumus C. 3)

Uraian di atas jika diringkas adalah sbb: P1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii)

B/S ⇒ B = B

P2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii) B ⇒ B = B

P3 : ( ~ r )___ = B …………….(i)

Maka diproleh data ~r = B, q = B, dan p = B/S

28. EBTANAS 2002

Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah … P ⇒ q q ⇒ r ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r Jawab : e

Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme

P ⇒ q q ⇒ r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r ……………………(e)

7. DIMENSI TIGA A. JARAK

1) Garis Tegak Lurus Bidang Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu.

2) Jarak Titik dan Garis

Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’, dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g.

3) Jarak titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang.

4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.

5) Jarak Garis dan Bidang yang

Sejajar Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

6) Jarak Antar titik sudut pada kubus

CATATAN PENTING Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari.

diagonal sisi AC = 2a

diagonal ruang CE = 3a

ruas garis EO = 62

a

a b

a c

a cb +

Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini

A B

C

D

AD =BC

ABCA×

SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga

102


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah … A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm Jawab : C

AE = a = 6

EG = 2a = 26

AG = 3a = 36 Sehingga diperoleh : ER × AG = AE × EG

⇔ ER × 36 = 6 × 26

⇔ ER × 3 = 26

⇔ ER = 3

3

3

26 × = 3

66= ……….(C)

2. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk

4 cm. Jarak titik A ke diagonal FH adalah …

A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm Jawab : B

Berdasarkan gambar di ketahui jika jarak titik A ke diagonal FH adalah AO AE = a = 4

AO = 62

a= 6

2

4= ………………..(B)

A B

C

E

H G

D

F

4cm

O

A B

C

E

H GG

AD

E

F

R

6cm

R


103


Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki

panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke

diagonal BE = …

A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm Jawab : A

Berdasarkan gambar di ketahui jika jarak titik A ke diagonal FH adalah AO AE = a = 6

GO = 62

a= 6

2

6= ………………(A)

4. UN 2013 Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang AFH adalah…

A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm

Jawab : E

OR = a = 4

AC = 2a = 24

AO = OC = 62

a= 6

2

4= 62

Sehingga

PC = AO

ORAC×=

62

424 ×

= 3

8= 3

3

8……………(E)

A B

C

E F

H G

OO

A C

D

P

R R

4cm

P

A B

C

E

H G

D

F

6cm

O


104


Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok

berikut adalah …

A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm

Jawab : E

Dengan tripel pytagoras (6, 8, 10) di ketahui sisi-sisi ∆ ABE masing-masing AE = 6, AB = 8 sehingga BE = 10 Maka diperoleh: AO × BE = AE × AB ⇔ AO × 10 = 6 × 8

⇔ AO = 10

86×=

5

24………………….(E)

6. UN 2013 Diketahui limas segiempat T.ABCD seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah … A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm

Jawab : B

Berdasarkan gambar di atas diperoleh: AB = a = 4

AC = 2a = 24

AO = ½ AC = 22 dan TC = 8 = 162 Dengan AO dan TC diperoleh

OT = 2162 − = 142 Sehingga : AP × TC = AC × OT

⇔ AO × 8 = 24 × 142

⇔ AO = 28 ………………………….(B)

O C

T

A C

P

O

P

8 cm A B

C D

E F

G H

4 cm

6 cm O

8 cm A B

C D

E F

G H

4 cm

6 cm


105


Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = …

A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

E. cm

Jawab : D

Berdasarkan gambar di atas diperoleh: AB = a = 4

AC = 2a = 24

AO = ½ AC = 22 dan AT = 6 = 92 Dengan AO dan AT diperoleh

OT = 292 − = 72 Sehingga : CP × AT = AC × OT

⇔ CP × 6 = 24 × 72 = 148

⇔ CP = 6

148= 14

3

4……………….(D)

8. UN 2012/A13

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah….

A. 33

2 cm

B. 33

4 cm

C. 33

11 cm

D. 33

8 cm

E. 33

13 cm

Jawab : D

OR = a = 4

FH = 2a = 24

OF = OH = 62

a= 6

2

4= 62

Sehingga

PH = OF

ORFH ×=

62

424 ×

= 3

8= 3

3

8……………(D)

T

A

CD

4 cm

6 cm

P

B

O

T

A C

P

O

A B

C

E F

H G

RO

F H

D

P

O R

4cm

P


106


Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah …

A. 8 5 cm

B. 6 5 cm

C. 6 3 cm

D. 6 2 cm E. 6 cm Jawab : D

HB = 3a = 312

CP = ½ a = ½ × 12 = 6 = 61

BC = a = 12 = 6 × 2 = 6 4

Diperoleh panjang BP = PH = 65 PR dapat dicari dengan mengunakan teorema pytagoras karena ∆ HPB sama kaki

PR2 = BP2 – BR2 = (6 5 )2 – (6 3 )2 = 62⋅5 - 62⋅3

= 62⋅2

PR = 262 ⋅ = 6 2 …………….(D)

10. UN 2012/B25 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap bidang BDG adalah ...

A. 2 2 cm

B. 2 3 cm

C. 3 2 cm

D. 4 2 cm

E. 4 3 cm Jawab : D

OR = a = 6

OE = OG = 62

a= 6

2

6= 63

GE = 2a = 26 Sehingga

PE = OG

ORGE×=

63

626 ×

= 3

12= 4 3 ….………(D)

A B

C

E F

H GO

G E

D

P

O R

6 cm

P

R

A B

C

EF

H G

R

B

H

D

P

R

12 cm

P


107


Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm.Jarak tititk E ke bidang BGD adalah..

A. 3

13 cm

B. 3

23 cm

C. 3

43 cm

D. 3

83 cm

E. 3

163 cm

Jawab : D

OR = a = 8

OE = OG = 62

a= 6

2

8= 64

GE = 2a = 28 Sehingga

PE = OG

ORGE×=

64

828 ×

= 3

16=

3

163 …….…(D)

12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. M titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

a. 4 6 cm

b. 4 5 cm

c. 4 3 cm

d. 4 2 cm e. 4 cm Jawab : d

AM 2 = MG2 = AE2 + EM2 = 82 + 42 = 80 = 16 × 5

AQ = ½ AG = ½ × 8 3 = 4 3 AQ2 = 16 × 3 MQ dapat dicari dengan mengunakan teorema pytagoras karena ∆ AMG sama kaki MQ2 = AM2 – AQ2

= 16 × 5 – 16 × 3 = 16 × 2

MQ = 216× = 4 2 ……………………(d)

A B

C

E F

H GO

G E

D

P

O R

8 cm

P

R

A B

CD

EF

H GM

Q

G

A

M

Q


108


Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah …

a. 661 a cm

b. 331 a cm

c. 631 a cm

d. 232 a cm

e. 332 a cm

Jawab: e

Berdasarkan gambar, jarak titik C ke bidang AFH adalah ruas garis CP Dengan menggunakan bantuan luas segitiga diperoleh: ⇔ AQ×CP = AC×QR

{2

6a × CP = 2a × a}6

2

a

CP = 3

2a = 3

32 a ………………(e)

14. UN 2010 PAKET A Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PQ adalah … a. 22cm

b. 21cm

c. 2 5cm

d. 19cm

e. 3 2 cm

Jawab : c

BQ = BP = 62

a = 6

2

4 = 2 6

PQ = 2OH = 22421 ×× = 4

Jarak titik B dengan garis PG adalah ruas garis BR

BR = 22 QRBQ −

= 22 2)62( −

= 424−

= 2 5…………………………..…….(c)

A B

C

EF

H G

P

QQ

A C

D

P

R R

a

A B

CD

EF

H G

P

QB

P QR


109


Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah … a. 6 3cm

b. 6 2 cm

c. 3 6 cm

d. 3 3cm

e. 3 2 cm

Jawab : e

CE = AE = AC = 2a = 26 Jarak titik A ke garis CF adalah ruas garis AP

AP = 22 PEAE −

= 22 )23()26( −

= 2989 ×−×

= 63 ……………………………...(c)

16. UN 2009 PAKET A/B Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA

sehingga KA = 31 KD. Jarak titik K ke

bidang BDHF adalah … cm

a. 241 a

b. 243 a

c. 332 a

d. 343 a

e. 345 a

Jawab : d

Jika KA =

31 KD, maka AD = KD

32

{ }23

32 ×= aKD

KD = a23

KL = 2KD = 223 a

Berdasarkan gambar , Jarak titik K ke bidang BDHF adalah ruas garis KP, panjangnya adalah

KP = KL21 = 22

321 a⋅

= 343 a …………….…………(d)

A B

CD

E F

H G

P

A

C EP


110


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm

a. 5 6

b. 5 2

c. 10 2

d. 310

e. 5 3

Jawab : a

Berdasarkan gambar , Jarak titik F ke garis AC adalah ruas garis FO, yang panjangnya :

FO = 62

a

= 6210 = 5 6 …………………..(a)

18. UN 2007 PAKET A Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah … cm

a. 3 3

b. 3 2

c. 2 3 d. 3

e. 2 2

Jawab : c

Berdasarkan gambar , Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah ruas garis PQ, yang panjangnya :

AO = DF3

1

= 3631 ⋅ = 2 3 …………………..(c)


111


Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jika titik K adalah titik potong EG dan FH, maka jarak K ke garis BG adalah ……

A. 3 6 D. 6

B. 3 2 E. 23 2

C. 23 6 Jawab : c

KM = BG

KGBK ×

= 26

2363 ×=

23 6 ……………(C)

20. UN 2006 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik G ke garis BD adalah …

A. 4 3 cm D. 4 10 cm

B. 4 6 cm E. 8 3 cm

C. 8 2 cm Jawab : B

Berdasarkan gambar , Jarak titik G ke garis AC adalah ruas garis GO, yang panjangnya :

GO = 62

a = 62

8 = 4 6 ………..(B)

21. UN 2005 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm.M pada pertengahan EG, jarak E ke garis AM adalah … cm

a. 4 2

b. 4 3

c. 6 2

d. 6 3

e. 6 6

Jawab : b

KM = AM

EMAE×

= 66

1226 ×

= 3

12

= 4 3 ……..............…..……(C)


112


Diketahui limas segi empat beraturan

T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

a. 5 b. 6 c. 7

d. 3 2

e. 2 3

Jawab : a

AC = 2)26( = 12

OC = AC21 = 6

OT = 22 OCCT −

= 22 610 −

= 36100− = 64 = 8

cos α = CT

OC=

10

6=

5

3

Berdasarkan gambar, jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah ruas OP yang panjangnya dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus sbb: OP2 = CP2 + OC2 – 2CP ⋅ OC cos α

= 52 + 62 – 2 ⋅5⋅ 6⋅ 5

3

= 25 + 36 – 36 = 25

OP = 25 = 5……………………(a)


113


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm

a. 14

b. 9 2

c. 8 2

d. 7 2

e. 3 6

Jawab : c

PR = ( )223122 +

= 2343 222 ⋅+⋅

= )24(3 22 + = 243 2 +

= 183 = 29 Posisi benda dengan bayangannnya adalah selalu tegak lurus, maka proyeksi CP terhadap bidang BDP adalah PQ. Panjang ruas garis PQ dapat dicari dengan menggunakan bantuan kosinus sudut α ∆ PQR dan ∆ PCR sbb: Cos α ∆ PQR = cos α ∆ PCR

PC

PQ =

PR

PC

12

PQ =

29

12

12

PQ =

23

4

PQ23 = 12 × 4

PQ2 = 4 × 4

PQ = 2

16

= 2

216

= 8 2 ……………...…(c)


114


Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik A ke garis CE adalah … cm

A. 232 D. 3

34

B. 234 E. 6

34

C. 332 Jawab : E

AP = EC

ACEA×

= 34

244× =

3

24

= 634 ………….…(E)

25. EBTANAS 2002 Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah a. jarak titik F ke bidang BEG sama dengan …

a. 3

6a

b. 33a

c. 26a

d. 23a

e. 32a

Jawab : b

PF = BO

FOBF ×

= 6

2

2

2a

aa× =

3

a

= 33

a….............……(b)


115

B. SUDUT

1) Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang.

2) B. Sudut Antara Dua

Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang α dan β

3) Jarak Antar titik sudut pada kubus

CATATAN PENTING Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga.

diagonal sisi AC = 2a

diagonal ruang CE = 3a

ruas garis EO = 62

a

a b

a c

a cb +

Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini

A B

C

D

AD =BC

ABCA×


116


Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : E

AB = QR = a = 12

AC = 2a = 212

AR = ½ AC = 26

AQ = 62

a= 6

2

12= 66

Sehingga

cos α = AQ

AR=

66

26=

3

1= 3

3

1………….(E)

2. UN 2013 Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Nilai cosinus sudut antara bidang ABCD dan bidang DBG adalah … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : B

AB = CG = a

AC = 2a

OC = ½ AC = 221 a

OG = 621 a

Sehingga

cos α = OG

OC=

6

2

2121

a

a=

3

1= 3

3

1……….(B)

A B

C

E F

H G

D

O

a cm

α

A B

C

EF

H G

Q

D

R

12 cm

α


117


Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Sudut α adalah sudut antara garis CG dan bidang BDG. Nilai cos α adalah … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : D

AB = CG = a = 6

OG = 621 a = 6

2

6= 63

Sehingga

cos α = OG

CG=

63

6=

6

2= 6

6

2= 6

3

1 …….(D)

4. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sudut α adalah sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF. Nilai tan α = … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : D

AB = OP = a

EG = 2a

PG = ½ EG = 221 a

Sehingga

tan α = OP

PG=

a

a 221

= 22

1 ………….….(D)

A B

C

E F

H G

D

O

a cm

P

α

A B

C

E F

H G

D

O

6 cm

α

A B

CD

EF

GH

6 cm


118


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. sudut α adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH. Nilai dari tan α = … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : D

AB = BF = a

HF = 2a

OF = ½ HF = 221 a

Sehingga

tan α = OF

BF=

221 a

a=

2

2 = 2 ……….….(D)

6. UN 2013 Nilai cosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : D

Berdasarkan gambar di ketahui jika: AB = a = 4

EG = AC = 2a = 24

CG = 8 = 162

OC = ½ AC = 22 , Perhatikan ∆ EOG Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh EG2 = EO2 + OG2 – 2EO·OG cosα

( 24 )2 = ( 26 )2 + ( 26 )2 – 2· 26 · 26 cos α 16·2 = 36·2 + 36·2 – 2· 36·2 cos α | ÷ 8 4 = 9 + 9 – 18 cos α 18 cos α = 18 – 4 = 14

cos α = 18

14=

9

7………………………..(D)

A B

C D

EF

G H

4 cm

4 cm

8 cm

O

α

A B

C

E F

H G

D

a cm

α

O

A B

CD

EF

G H

4 cm

4 cm

8 cm

OG = OE = 1622 +

= 182 = 26


119


Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD seperti pada gambar. Sudut α adalah sudut antara bidang TAD dengan bidang TBC. Nilai cos α = … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : C

QC = ½ BC = 1

TQ = 22 QCTC − = 22 15 − = 24 = 62

Dengan menggunakan aturan kosinus didapat: PQ2 = QT2 + PT2 – 2QT·PT cosα

22 = ( 62 )2 + ( 62 )2 – 2· 62 · 62 cos α 4 = 4·6 + 4·6 – 2· 4·6 cos α | ÷ 4 1 = 6 + 6 – 12 cos α 12 cos α = 12 – 1 = 11

cos α = 12

11……………………………..(C)

8. UN 2013 Nilai cosinus sudut antara bidang ABC dan ABD dari gambar bidang-4 beraturan berikut adalah … A.

B.

C.

D.

E.

Jawab : C

Dari CD = 6 = 43 dan PC = 3 = 13 diperoleh

PD = AP = 143 − = 33 Dengan menggunakan aturan kosinus didapat: AD2 = AP2 + PD2 – 2AP·PD cosα

62 = ( 33 )2 + ( 33 )2 – 2· 33 · 33 cos α 36 = 9·3 + 9·3 – 2· 9·3 cos α | ÷ 9 4 = 3 + 3 – 6 cos α 6 cos α = 6 – 4 = 2

cos α = 6

2=

3

1……………………………..(C)

A

B

C

D

6 cm

α

P

3 cm

3 cm

6 cm

A B

C

T

D

2 cm

5 cm

2 cm Q

P

α

A B

C

T

D

2 cm

5 cm

2 cm

A

B

C

D

6 cm


120


Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ...

A. 221

B. 321

C. 331

D. 232

E. 343

Jawab : C

AE = a = 4 = 2 4

ER = ½ EG = ½ × 4 2 = 2 2

Diperoleh panjang AR = 26

Sehingga sin α = AR

ER =

62

22=

3

1

= 331 .............(C)

10. UN 2012/C37 Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan

rusuk tegak 3 2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah …

A. 33

1

B. 2

C. 3

D. 2 2

E. 2 3 Jawab : C

TO = ½ TR = 22

1a = 2

2

3

PO2 = PT2 – TO2 = ( )2

22

2

323

−

= 9⋅2 - 249 ⋅ =

4

2989 ⋅−⋅=

4

69 ⋅

PO = 4

69 ⋅ = 6

2

3

Maka tan α = TO

PO=

2

6

2323

= 3 ……………..(C)

P

T

RS

3 cm

3 2 cm

α

Q

O

αT O

P

A B

C

E F

H G

RE

A

Dα

O

4cm

P α

R


121

SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/D49

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan

rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai tagen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah ….

A. 24

1

B. 22

1

C. 23

2

D. 2

E. 2 2 Jawab : B

DO = ½ BD = 22

1a = 2

2

2= 2

TO2 = DT2 – DO2 = ( ) ( )2223 −

= 3 - 2 = 1 TO = 1

Maka tan α = DO

TO=

2

1

= 22

1…………………..(B)

12. UN 2012/E52 Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm.Nilai kosinus sudut antara garis TC dengan ABC adalah….

A. 6

13

B. 3

12

C. 3

13

D. 2

12

E. 2

13

Jawab : C

dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: TD2 = CD2 + CT2 – 2CD⋅CT cos α

( )233 = ( )233 + 62 – 2 ⋅ 33 ⋅ 6 cos α

0 = 36 - 36 ⋅ 3 cos α

36 ⋅ 3 cos α = 36 ………… kedua ruas dibagi 36

3 cos α = 1

cos α = 3

1=

3

13 = ……………….(C)

T

B

DA

2 cm

3 cm

α

C

O

αO D

T

T

A

B

C

D

6cm

6cm

α TB = 6 = 3 4

BD = 3 = 3 1

Maka TD = 3 3 = CD


122


Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah …

a. 241

b. 21

c. 331

d. 221

e. 321

Jawab : a

Berdasarkan gambar diketahui: AT = CT = 12 cm ABCD adalah persegi, maka

AC = 6 2 cm Sudut antara bidang alas dengan TA adalah α Dengan mengguanakan aturan kosinus diperoleh: CT2 = AT2 + AC2 – 2 AT·AC cos α

122 = 122 + (6 2 )2 – 2 ·12·6 2 cos α

0 = 72 – 144 2 cos α

cos α = 2144

72 =

22

1 ×

2

2

= 241 ……………..(a)

14. UN 2010 PAKET A Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika θ adalah sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan θ adalah …

a. 21

b. 552

c. 1

d. 332

e. 2

Jawab : b

BT = 22 TGBC +

= 2212 )( aa +

= 2412

44 aa + = 2

45 a = 52

1 a

tan θ = '

'

BT

TT =

521 a

a

= 5

2 = 5

52 …………(b)

A B

CD

EF

H G

P

T

T’a

T’

T

B

θ

T

A

CD

6 cm

12 cm

α

B


123


Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus sudut antara CH dan bidang BDHF adalah

… a. 21

b. 331

c. 221

d. 321

e. 3

Jawab : b

sin θ = HB

BC

= 3a

a

= 331 …………………………(b)

16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …

a. 321

b. 3

c. 631

d. 632

e. 23

Jawab : c

CQ = 25

PQ = 22 CPCQ + = ( ) 22 525 +

= 22 525 +⋅

= )12(52 +

= 35 Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis PQ dan bidang alas adalah α. Sehingga:

cos α = PQ

CQ=

35

25

= 631 ……………………(c)

A B

C

EF

H G

P

a

θD


124

SOAL PENYELESAIAN

17. UN 2008 PAKET A/B Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika θ adalah sudut antara garis CG dengan bidang BDG, maka tan θ = …

a. 221 d. 3

b. 321 e. 6

21

c. 2 Jawab : a

Berdasarkan gambar di atas, maka tangens sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah :

tan θ = CG

OC =

a

a 221

= 221 ……………..………(a)

18. UN 2007 PAKET A Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut! Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah

a. 90º b. 75º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : a

TF =22 BFTB −

= ( ) 22 13 +

= 2

Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: EF2 = ET2 + FT2 – 2 ⋅ ET ⋅ FT cos α

22 = ( )22 + ( )22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2 cos α

4 = 2 + 2 – 4 cos α 4 cos α = 0 cos α = 0 α = 90º …………………………..(a)


125


Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut! Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah


TF =22 BFTB −

= ( ) 22 13 +

= 2

Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: EF2 = ET2 + FT2 – 2 ⋅ ET ⋅ FT cos α

22 = ( )22 + ( )22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2 cos α

4 = 2 + 2 – 4 cos α 4 cos α = 0 cos α = 0 α = 90º …………………………..(a)

20. UN 2007 PAKET B Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, besar sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah …


Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah α. Sehingga:

sin α = BE

EO=

2

221

a

a= 2

1

α = 30º …………..(a)


126


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik p pada pertengahan CG. Jika α sudut antara bidang BDG dengan bidang BDP, maka nilai cos α = …

a.

61 2

b. 61 6

c. 21 2

d. 32 2

e. 32 6

Jawab : d

OP = 22 PCOC + = ( ) 22 222 +

= 22 222 +⋅

= )12(22 +

= 32 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: PG2 = OG2 + OP2 – 2 ⋅ OG ⋅ OP cos α

22 = ( )262 + ( )232 – 2 ⋅ 62 ⋅ 32 cos α

22 = 22 ⋅ 6 + 22 ⋅ 3 – 22 ⋅ 232 ⋅ cos α 1 = 6 + 3 – 29 cos α

26 cos α = 8

cos α = 26

8

= 26

28

⋅ =

32 2 ………………….(d)

22. UN 2005

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan

tinggi 3 cm dan panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara TAD dan alas adalah…

A. 30º D. 90º B. 45º E. 120º C. 60º Jawab : A

tan α = OP

OT =

3

3 = 3

31

α = 30º ………………(A)


127


Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah … a. 15º b. 30º c. 45º d. 60º e. 75º

Jawab : c

AC = 2a

cos α = AT

AO =

a

a 221

= 221

α = 45º ……………..…(c)

24. EBTANAS 2002 Panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a. β adalah sudut antara sisi FG dan bidang BGE, maka tan β = …

A. 3 D.

21 2

B. 2 E. 41 3

C. 21 3 Jawab : d

Berdasarkan gambar di atas, misal sudut antara sisi FG dan bidang BGE adalah β, maka:

tan β = FG

OF =

a

a 221

= 21 2 ……….……(d)


128


Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah …

a. 52

b. 53

c. 54

d. 53 5

e. 54 5

Jawab : c

AC = 2a = 212

AK = KL = LM = MC = AC41 = 2

4

12= 23

KM = AL = LC = AC21 = 2

2

12= 26

TL = 22 ALAT − = ( )22 2612 −

= 2626 222 ⋅−⋅

= 26

KT = 22 KLTL + = ( ) ( )22 2326 +

= 2383 22 ⋅+⋅

= 103 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: KM 2 = KT2 + MT2 – 2 ⋅ KT ⋅ MT cos α

( )226 = ( )2103 + ( )2103 – 2 ⋅ 103 ⋅ 103 cos α

223 22 ⋅⋅ = 5232 2 ⋅⋅⋅ – 2 ⋅ 5232 ⋅⋅ cos α 2 = 5 – 5 cos α 5 cos α = 3

cos α = 5

3=

r

x, maka 22 35 −=y = 4

jadi: sin α = r

y=

5

4……………………..(c)


129

C. VOLUM BANGUN RUANG


Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC =

2 7 cm, dan CF = 8 cm. Volum prisma tersebut adalah …

a. 96 3 cm3

b. 96 2 cm3 c. 96 cm3

d. 48 3 cm3

e. 48 2 cm3 Jawab : d

• Tentukan luas alas ABC

Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB⋅BC cos B

(2 7 )2 = 42 + 62 – 2⋅4⋅6 cos B 28 = 16 + 36 – 48 cos B

48 cos B = 52 – 28 = 24

cos B = 48

24 =

2

1 =

r

x

y = 22 12 − = 3

sin B = r

y=

2

3

LABC = BBCAB sin21 ×

= 23

21 64 ×××

= 36

• Volum = luas ABC × tinggi

= 36 × 8

= 48 3 ………………………(d)

A C

E

D F

B4 cm 6 cm

2 7 cm

8 cm


130


Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm,

BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas T.ABC tersebut adalah …

a. 3035 cm3

b. 3034 cm3

c. 3032 cm3

d. 1532 cm3

e. 1531 cm3

Jawab: b


s = ½(4 + 7 + 5) = 8

L = )58)(78)(48(8 −−−

= 3148 ⋅⋅⋅

= 31442 ⋅⋅⋅⋅ = 64

• Volum = 31 L · t

= 31· 64 · 5

= 3034 ………………………..(b)

3. UN 2010 PAKET A

Diketahui prisma tegak ABC. DEF. Jika

panjang BC = 5cm, AB = 5cm, AC = 53 cm dan AD = 8cm. Volume prisma ini adalah … a. 12 cm3

b. 12 3 cm3

c. 15 3 cm3

d. 24 3 cm3

e. 50 3 cm3

Jawab : e


Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB⋅BC cos B

(5 3 )2 = 52 + 52 – 2⋅5⋅5 cos B 75 = 50 – 50 cos B

50cos B = –25

cos B = 21− :

r

x

y = 22 )1(2 −− = 3

sin B = r

y=

2

3

LABC = BBCAB sin21 ×

= 23

21 55 ×××

= 3425

• Volume = luas ABC × tinggi

= 83425 ×

= 50 3 ………………………(e)

A C

E

D F

B

A

B

C

T

7 cm5 cm

4 cm

5 cm


131


Diketahui prisma tegak ABC. DEF. panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7cm, dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah … a. 100 cm3

b. 100 3 cm3 c. 175 cm3 d. 200 cm3

e. 200 15 cm3

Jawab : b


s = ½ keliling ABC

= ½ (5 + 7 + 8)

= 10

LABC = ))()(( csbsass −−−

= )810)(710)(510(10 −−−

= 23510 ×××

= 31010 ××

= 10 3

• Volume = luas ABC × tinggi

= 10 3 × 10

= 100 3 ……………………(b)


Diberikan prisma tegak ABC. DEF. dengan

panjang rusuk AB = 6cm, BC = 37 cm, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …

a. 55 2 cm3

b. 60 2 cm3

c. 75 3 cm3

d. 90 3 cm3

e. 120 3 cm3

Jawab : d

• Tentukan luas alas ABC Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: BC2 = AB2 + AC2 – 2 ⋅ AB ⋅ AC cos A

( 73 )2 = 62 + 32 – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 cos A 9 ⋅ 7 = 9 + 36 – 36 cos A

36 cos A = 45 – 63 = – 18

cos A = 3618− = – 2

1 : r

x

y = 22 )1(2 −− = 3

sehingga sin A = 2

3= 2

1 3

L ABC = 21 AC ⋅ AB ⋅ sin A

= 21 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 2

1 3

= 329

• (ii) Volume Prisma = luas alas × tinggi

= 329 × 20

= 90 3 ………….…(d)

A C

E

D F

B

A C

E

D F

B

8. STATISTIKA A. Ukuran Pemusatan Data

1) Rata-rata

a. Data tunggal: n

x...xxxX n321 ++++

=

b. Data terkelompok: Cara konvensional Cara sandi

∑

∑ ⋅=

i

ii

f

xfX c

f

ufsXX

i

ii

∑

∑ ⋅+=

Keterangan: f i = frekuensi kelas ke-i xi = Nilai tengah data kelas ke-i

sX = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi

terbesar

ui = …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk sX c = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2005 Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah …

Berat (kg)

fi

35 – 39 4 40 – 44 11 45 – 49 12 50 – 54 7 55 – 59 4 60 – 64 2

a. 46,20 b. 47 c. 47,25 d. 47,50 e. 49,50

Jawab : c

Untuk menyelesaikannya, terlebih dahulu dibuat tabel distribusi frekuensinya

data xi fi ui fi·ui 35 – 39 4 -2 -8 40 – 44 11 -1 -11 45 – 49 47 12 0 0 50 – 54 7 1 7 55 – 59 4 2 8 60 – 64 2 3 6

Σ 40 2 c = 49,5 – 44,5 = 5

cf

ufsXX

i

ii

⋅+=

∑∑

= 47 + 540

2

= 47 + 104

10

×

= 47 + 0,25 = 47,25 …..……………………………..…(c)

SIAP UN IPA 2014 Statistika

2) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)

...

...

321

332211

++++⋅+⋅+⋅

=nnn

xnxnxnX g

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

...,, 111 xxx : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

SOAL PENYELESAIAN 1. EBTANAS 2002

Siswa suatu kelas terdiri dari tiga kelompok penyumbang korban bencana banjir. Kelompok I, II, dan III masing-masing terdiri dari 10, 12, dan 18 siswa. Jika rata-rata sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00, rata-rata sumbangan kelompok II adalah Rp 11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah … a. Rp 7.500,00 b. Rp 8.000,00 c. Rp 8.500,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00

Jawab : b

Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua atau lebih kelompok data

321

332211

nnn

xnxnxnX g

++⋅+⋅+⋅

=

9.400 = 181210

18000.1112000.1010

++×+×+× a

9.400 = 40

18000.132000.100 a++

9.400 = 40

18000.232 a+

232.000 + 18a = 9.400 × 40 232.000 + 18a = 376.000

18a = 376.000 – 232.000 18a = 144.000

a = 18

000.144 = 8.000 ……………(b)

2. UAN 2003 Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah … a. 1 : 6 b. 1 : 3 c. 2 : 3 d. 3 : 2 e. 3 : 4 Jawab : b

Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua kelompok data

21

2211

nn

xnxnX g

+⋅+⋅=

58 = ba

ba

+⋅+⋅ 5664

58(a + b) = 64a + 56b 58a + 58b = 64a + 56b 58b – 56b = 64a – 58a

{2b = 6a}× b6

1

b

a

b

b

6

6

6

2 =

b

a=3

1

Jadi, a: b = 1 : 3 …………………………….(b)


3) Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.

a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = )1n(

21X +

b. Data terkelompok: Me = Q2

Q2 = cLQ

k

f

fNQ

∑+−

2

21

2

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval


Perhatikan tabel berikut! Data Frekuensi

10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 7 50 – 59 3

Median dari data pada tabel adalah …

a. 34,5 + 10121016 ×−

b. 34,5 + 9121016 ×−

c. 29,5 + 9121016 ×−

d. 29,5 + 10121016 ×−

e. 38,5 + 10121016 ×−

Jawab: c

Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)

Nilai f i fk 10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 12 22 40 – 49 7 29 50 – 59 3 32

i) menentukan letak kuartil Median

XQ2 = N21 = 322

1 × = 16

Data ke-30 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-11 s.d data ke-22 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ2 = 30 – 0,5 = 29,5

N21 = XQ2 = 16,

∑ kf = 10

fQ2 = 12, c = 39,5 – 30,5 = 9

ii) Me = cLQ

k

f

fNQ

∑+−

2

21

2

Q2 = 29,5 + 912

1016

−………………….(c)

⇐ Kelas Me



Perhatikan tabel berikut! Median dari data yang disajikan berikut adalah … Nilai Frekuensi

20 – 24 2 25 – 29 8 30 – 34 10 35 – 39 16 40 – 44 12 45 – 49 8 50 – 54 4

a. 32 b. 37,625 c. 38,25 d. 43,25 e. 44,50 Jawab : b

Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai f i fk

20 – 24 2 2 25 – 29 8 10 30 – 34 10 20 35 – 39 16 36 40 – 44 12 48 45 – 49 8 56 50 – 54 4 60

Σ 60 i) menentukan letak kuartil Median

XQ2 = N21 = 602

1 × = 30


N21 = XQ2 = 30,

∑ kf = 20

fQ2 = 16, c = 39,5 – 34,5 = 5

ii) Me = cLQ

k

f

fNQ

∑+−

2

21

2

Q2 = 34,5 + 516

2030

−

= 34,5 + 82

552

×××

= 34,5 + 8

13

= 37,625 ………………(b)

(jangan repot-repot menghitung nilai 81 berapa,

cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih………………..(b)

⇐ Kelas Me


4) Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

� Data terkelompok: Mo = cL21

1

ddd

mo

+

+

Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya


Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Kelas Frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 7 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 9 70 – 79 6 80 – 89 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah ...

A. 7405,49 − D. 7

405,49 +

B. 7365,49 − E. 7

485,49 +

C. 7365,49 + Jawab : D

kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12 • Dari kelas ke-4 diperoleh data

Lmo = 50 – 0,5 = 49,5 c = 59,5 – 49,5 = 10 d1 = 12 – 8 = 4 d2 = 12 – 9 = 3

Mo = cL21

1

ddd

mo

+

+

= 49,5 + 1043

4

+

= 49,5 + 740 ……………………….(D)

2. UN 2011 PAKET 12 Modus dari data pada table berikut adalah ...

Ukuran Frekuensi 1 – 5 3 6 – 10 17 11 – 15 18 16 – 20 22 21 – 25 25 26 – 30 21 31 – 35 4

A. 20,5 + 543 ⋅ D. 20,5 – 5

43 ⋅

B. 20,5 + 5253 ⋅ E. 20,5 – 5

73 ⋅

C. 20,5 + 573 ⋅ Jawab: C


Lmo = 21 – 0,5 = 20,5 c = 25,5 – 20,5 = 5 d1 = 25 – 22 = 3 d2 = 25 – 21 = 4

Mo = cL21

1

ddd

mo

+

+

= 20,5 + 543

3

+

= 20,5 + 573 ⋅ …………………….(C)



Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA :

Nilai Frekuensi 50 – 54 2 55 – 59 4 60 – 64 8 65 – 69 16 70 – 74 10 75 – 79 2

Modus dari data pada tabel adalah …

A. 64,5 + 686 ⋅ D. 64,5 –

6886 +⋅

B. 64,5 + 685 ⋅ E. 64,5 –

6885 +⋅

C. 64,5 + 68

85 +⋅ Jawab: B


Lmo = 65 – 0,5 = 64,5 c = 69,5 – 64,5 = 5 d1 = 16 – 8 = 8 d2 = 16 – 10 = 6

Mo = cL21

1

ddd

mo

+

+

= 64,5 + 568

8

+ ………………………..(c)

4. UN 2010 PAKET A Perhatikan tabel berikut!

Berat Badan (kg)

Frekuensi

40 – 45 5 46 – 51 7 52 – 57 9 58 – 63 12 64 – 69 7

Modus dari data pada tabel tersebut adalah …

A. 57,5 + 827 D. 57,5 –

818

B. 57,5 + 8

18 E. 57,5 – 827

C. 57,5 – 8

15 Jawab: B


Lmo = 58 – 0,5 = 57,5 c = 63,5 – 57,5 = 6 d1 = 12 – 9 = 3 d2 = 12 – 7 = 5

Mo = cL21

1

ddd

mo

+

+

= 57,5 + 653

3

+

= 57,5 + 8

18 ……………………….(b)

5. UN 2004

Modus dari data pada gambar adalah … a. 13,05 b. 13,50 c. 13,75 d. 14,05 e. 14,25

Jawab : e

kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14 • Dari kelas ke-3 diperoleh data

Lmo = 10,5 c = 15,5 – 10,5 = 5 d1 = 14 – 8 = 6 d2 = 14 – 12 = 2

Mo = ( )cLdd

dmo

21

1++

= 10,5 + 526

6

+

= 10,5 + 8

30

= 10,5 + 4

15

= 10,5 + 3,75 = 14,25 …………………..(e)



Modus dari data pada histogram di atas adalah … a. 25,0 b. 25,5 c. 26,0 d. 26,5 e. 27,0

Jawab : d

kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 10 • Dari kelas ke-3 diperoleh data

Lmo = 23,5 c = 28,5 – 23,5 = 5 d1 = 10 – 4 = 6 d2 = 10 – 6 = 4

Mo = ( )cLdd

dmo

21

1

++

= 23,5 + 546

6

+

= 23,5 + 10

30

= 23,5 + 3

= 26,5………… ……………………..(d)

13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 Nilai

f

34

10

6


B. Ukuran Letak 1) Kuartil

Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan

statistika 5 serangkai:

a. Data tunggal:

(i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan

b. Data terkelompok

Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil c = panjang kelas interval


Kuartil bawah data pada table berikut ini

adalah … Berat Badan (Kg) Frekuensi

30 – 34 4 35 – 39 10 40 – 44 14 45 – 49 7 50 – 54 5

A. 31,5 B. 36,5 C. 37,5 D. 42,5 E. 45,9 Jawab : C

ii) Q1 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

1

41

1

Q1 = 34,5 + 510

410

−

=34,5 + 3 = 37,5 ………………….(C)

Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)

Nilai f i fk 30 – 34 4 4 35 – 39 10 14 40 – 44 14 28 45 – 49 7 35 50 – 54 5 40

i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = N

41 = 40

41 × = 10


N41 = XQ1 = 10,

∑ kf = 4

fQ1 = 10, c = 39,5 – 34,5 = 5

⇐ Kelas Q1



Tabel berikut memuat data tinggi badan sejumlah siswa

Tinggi Badan Frekuensi 150 – 154 4 155 – 159 5 160 – 164 10 165 – 169 5 170 – 174 6

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah … A. 157,3 B. 157,5 C. 158,0 D. 167,3 E. 168,0 Jawab : C

ii) Q1 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

1

41

1

Q1 = 154,5 + 55

45,7

−

= 154,5 + 3,5 = 158 …………….(C)


Nilai f i fk 150 – 154 4 4 155 – 159 5 9 160 – 164 10 19 165 – 169 5 24 170 – 174 6 30

i) menentukan letak kuartil bawah

XQ1 = N41 = 304

1 × = 7,5

Data ke-7,5 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-9 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 155 – 0,5 = 154,5

N41 = XQ1 = 7,5,

∑ kf = 4

fQ1 = 5, c = 159,5 – 154,5 = 5

3. UN 2013 Tabel berikut adalah hasil pengukuran tinggi badan sekelompok siswa.

Tinggi Badan f 150 – 154 4 155 – 159 10 160 – 164 6 165 – 169 8 170 – 174 4 175 – 179 8

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah … A. 155,5 cm B. 156,5 cm C. 157,5 cm D. 158,5 cm E. 159,5 cm Jawab : C

ii) Q1 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

1

41

1

Q1 = 154,5 + 510

410

−

= 154,5 + 3 = 157,5 …………….(C)


Nilai f i fk 150 – 154 4 4 155 – 159 10 14 160 – 164 6 20 165 – 169 8 28 170 – 174 4 32 175 – 179 8 40


XQ1 = N41 = 404

1 × = 10


N41 = XQ1 = 10,

∑ kf = 4

fQ1 = 10, c = 159,5 – 154,5 = 5

⇐ Kelas Q1

⇐ Kelas Q1



Kuartil bawah data pada table berikut ini adalah …

Nilai Frekuensi 31 – 40 3 41 – 50 5 51 – 60 10 61 – 70 11 71 – 80 8 81 – 90 3

A. 48,5 B. 51,5 C. 52,5 D. 54,5 E. 58,5 Jawab : C

ii) Q1 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

1

41

1

Q1 = 50,5 + 1010

810

−

= 50,5 + 2 = 52,5 …………..….(C)


Nilai f i fk 31 – 40 3 3 41 – 50 5 8 51 – 60 10 18 61 – 70 11 29 71 – 80 8 37 81 – 90 3 40


XQ1 = N41 = 404

1 × = 10


N41 = XQ1 = 10,

∑ kf = 8

fQ1 = 10, c = 60,5 – 50,5 = 10

5. UN 2013 Kuartil bawah pada data pada tabel berikut ini adalah …

Upah harian (Rp)

Banyak karyawan

50 – 54 3 55 – 59 5 60 – 64 10 65 – 69 16 70 – 74 14 75 – 79 8 80 – 84 4

A. 59,5 B. 60,7 C. 62,5 D. 63,0 E. 64,5

Jawab : D

ii) Q1 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

1

41

1

Q1 = 59,5 + 510

815

−

= 59,5 + 3,5 = 63,0 …………..….(D)


Nilai f i fk 50 – 54 3 3 55 – 59 5 8 60 – 64 10 18 65 – 69 16 34 70 – 74 14 48 75 – 79 8 56 80 – 84 4 60

i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = N4

1 = 6041 × = 15


N41 = XQ1 = 15,

∑ kf = 8

fQ1 = 10, c = 59,5 – 64,5 = 5

⇐ Kelas Q1

⇐ Kelas Q1



Data pada tabel berikut merupakan hasil ulangan harian matematika di suatu kelas. Kuartil atas dari data tersebut adalah …

Nilai Frekuensi 41 – 50 2 51 – 60 3 61 – 70 11 71 – 80 7 81 – 90 4 91 – 100 5

A. 70,5 B. 73,0 C. 80,5 D. 83,0 E. 85,5 Jawab : D

ii) Q3 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

3

43

3

Q3 = 80,5 + 104

2324

−

= 80,5 + 2,5 = 83,0 …………..….(D)

Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)

Nilai f i fk 41 – 50 2 2 51 – 60 3 5 61 – 70 11 16 71 – 80 7 23 81 – 90 4 27 91 – 100 5 32

i) menentukan letak kuartil atas

XQ3 = N43 = 32

43 × = 24


N43 = XQ3 = 24,

∑ kf = 23

fQ3 = 4, c = 90,5 – 80,5 = 10

7. UN 2013 Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah …

Nilai F 40 – 47 2 48 – 55 3 56 – 63 5 64 – 71 9 72 – 79 7 80 – 87 3 88 – 95 1

A. 71,5 B. 72,0 C. 73,5 D. 75,5 E. 76,5

ii) Q3 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

3

43

3

Q3 = 71,5 + 87

195,22

−

= 71,5 + 4 = 75,5 …………..….(D)


Nilai f i fk 40 – 47 2 2 48 – 55 3 5 56 – 63 5 10 64 – 71 9 19 72 – 79 7 26 80 – 87 3 29 88 – 95 1 30


XQ3 = N43 = 30

43 × = 22,5


N43 = XQ3 = 22,5,

∑ kf = 19

fQ3 = 7, c = 79,5 – 71,5 = 8

⇐ Kelas Q3

⇐ Kelas Q3



Tabel berikut menyajikan data berat badan sekelompok siswa

Berat Badan (kg) Frekuensi 45 – 49 3 50 – 54 6 55 – 59 10 60 – 64 12 65 – 69 15 70 – 74 6 75 – 79 4

Kuartil atas data dalam tabel tersebut adalah

…

A. 66�

�

B. 67�

�

C. 67�

�

D. 68�

�

E. 68�

�


Nilai f i fk 45 – 49 3 3 50 – 54 6 9 55 – 59 10 19 60 – 64 12 31 65 – 69 15 46 70 – 74 6 52 75 – 79 4 56


XQ3 = N43 = 56

43 × = 42


N43 = XQ3 = 42

∑ kf = 31

fQ3 = 15, c = 69,5 – 64,5 = 5

ii) Q3 = cLQ

k

f

fN

Q

+ ∑−

3

43

3

Q3 = 64,5 + 515

3142

−

= 6421 +

3

11= 64

21 +

3

23

= 64 + 3 + 63 +

64 = 68

�

�……..….(D)

⇐ Kelas Q3



Perhatikan table berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek

40 – 49 7 50 – 59 6 60 – 69 10 70 – 79 8 80 – 89 9 Jumlah 40

a. 54,50 b. 60,50 c. 78,25 d. 78,50 e. 78,75

Jawab : c


40 – 49 7 7 50 – 59 6 13 60 – 69 10 23 70 – 79 8 31 80 – 89 9 40

Σ 40 i) menentukan letak kuartil atas

XQ3 = N×4

3 = 40

4

3 × = 30


ni

4 = XQ3 = 30

∑ kf = 23

fQ3 = 8 c = 79,5 – 69,5 = 10

ii) Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q3 = 69,5 + 108

2330

−

= 69,5 + 8

70 = 69,5 +

4

35

= 69,5 + 438

= 69,5 + 8,75

= 78,25 ………………………………..(c)

⇐ Kelas Q3



Perhatikan tabel berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah …

Nilai Frek 151 – 155 4

156 – 160 7 161 – 165 12 166 – 170 10 171 – 175 7

a. 167 b. 167,5 c. 168 d. 168,5 e. 169

Jawab : e


151 – 155 4 4 156 – 160 7 11 161 – 165 12 23 166 – 170 10 33 171 – 175 7 40

Σ 40 i) menentukan letak kuartil atas

XQ3 = N×4

3 = 40

4

3 × = 30


ni

4 = XQ3 = 30

∑ kf = 23

fQ3 = 10 c = 170,5 – 165,5 = 5

ii) Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q3 = 165,5 + 510

2330

−

= 165,5 + 52

57

××

= 165,5 +3,5 = 169 ……………………(e)

⇐ Kelas Q3



Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Kuartil bawah data tersebut adalah… a. 76 b. 74,5 c. 73,5 d. 72,5 e. 71,5

Jawab : c

Tabel frekuensi kumulatif

f i fk 3 3 5 8 10 18 9 27 8 35 5 40 40

(i) menentukan letak kuartil bawah

XQ1 = N×4

1 = 40

4

1 × = 10

Data ke-10 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data sbb:

LQ1 = 21 (75 + 70) = 72,5

ni

4 = XQ1 = 10

∑ kf = 8 ………………..lihat tabel di atas

fQ1 = 10 c = 75 – 70 = 5 Jadi:

Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q1 = 72,5 + 510

810

−

= 72,5 +10

10

= 72,5 + 1 = 73,5………………………………..…(c)

⇐ Kelas Q1



Perhatikan tabel berikut! Nilai Frekuensi

30 – 39 1 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 21 70 – 79 43 80 – 89 32 90 – 99 9

Kuartil bawah dari data yang tersaji pada tabel distribusi di atas adalah … a. 66,9 b. 66,6 c. 66,2 d. 66,1 e. 66,0

Jawab: b

Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk

30 – 39 1 1 40 – 49 3 4 50 – 59 11 15 60 – 69 21 36 70 – 79 43 79 80 – 89 32 111 90 – 99 9 120


XQ1 = N×4

1 = 1204

1 × = 30


ni

4 = XQ1 = 30

∑ kf = 15

fQ1 = 43 c = 69,5 – 59,5 = 10

ii) Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q1 = 59,5 + 1021

1530

−

= 59,5 + 7

50

= 59,5 + 7,1 = 66,6…………….. ……………………(b)

⇐ Kelas Q1

9. PELUANG

A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... × an.


Dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan genap yang terbentuk adalah … A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 E. 6 Jawab : C

S = {1, 2, 3, 4} ⇒ n(s) = 4

Nilai tempat III II I 2 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(C)

Keterangan I. tempat satuan ada 2 pilihan bilangan genap {2, 4} II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat ratusan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan

2. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda dan lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 E. 75 Jawab : C

S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5

Nilai tempat I II III 4 4 3 : 4×4×3 = 48…….....(C)

Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 4 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan

3. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 7, 9 adalah … A. 100 B. 92 C. 80 D. 78 E.68 Jawab : A

S = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(s) = 6

Nilai tempat I II III 5 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(A)

Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 5 pilihan II. tempat puluhan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan

SIAP UN IPA 2014 Peluang

149


Dari angka 2, 3, 6, dan 8 dibuat bilangan kurang dari 500 yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyak bilangan yang dapat di bentuk adalah … A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 Jawab : E

S = {2, 3, 6, 8} ⇒ n(s) = 4

Nilai tempat I II III 2 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(E)

Keterangan I. tempat ratusan x < 5 ada 2 pilihan II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan

5. UN 2013 Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah … A. 36 B. 20 C. 19 D. 18 E. 17 Jawab : A

S = {3, 5, 6, 7, 9} ⇒ n(s) = 5

Nilai tempat I II III 3 4 3 : 3×4×3 = 36…….....(A)

Keterangan I. tempat ratusan 4 ≤ x < 8 ada 3 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan

6. UN 2013 Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan terdiri dari tiga angka berlainan. Banyak bilangan antara 300 dan 700 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut adalah … A. 144 B. 120 C. 100 D. 80 E. 24 Jawab : C

S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} ⇒ n(s) = 6

Nilai tempat I II III 5 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(C)


7. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara 100 dan 400 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 adalah … A. 36 B. 48 C. 52 D. 60 E. 68 Jawab : A

S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5

Nilai tempat I II III 3 4 3 : 3×4×3 = 36 ..….....(A)



150


Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah … A. 24 B. 48 C. 72 D. 108 E. 120 Jawab : B

• 4 siswa duduk di tengah dan 2 siswi selalu

di pinggir = 4! × 2! = 4 × 3 × 2 × 2 = 48 …………………………(B)

9. UN 2013 Terdapat 2 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan duduk berdampingan pada kursi berjajar. Jika siswa laki-laki duduk di ujung, banyak cara mereka duduk berdampingan adalah … A. 240 B. 120 C. 42 D. 21 E. 10 Jawab : A

• 5 wanita duduk di tengah dan 2 pria selalu

di ujung = 5! × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 2 = 240 …………………………(A)

10. UN 2012/C37 Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Jawab : E

S = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⇒ n(s) = 6

Nilai tempat I II III IV 6 5 4 3 : 6×5×4×3 = 360…….(E)

Keterangan I. tempat ribuan ada 6 pilihan bilangan II. tempat ratusan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan IV. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan

11. UN 2010 PAKET B Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang-seling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok adalah … a. 12 b. 84 c. 144 d. 288 e. 576 Jawab : c

Cara duduk selang-seling pemuda dan pemudi adalah: 4! × 3! = 144 cara

Kursi berjajar mulai dari kursi ke-1 s.d ke-7 k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 L P L P L P L 4 3 3 2 2 1 1

Banyaknya cara duduk pemuda × pemudi (4×3×2×1) (3×2×1) = 144


151


Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu menempati tempat juara I, maka banyak foto berbeda yang mungkin tercetak adalah … a. 6 b. 12 c. 20 d. 24 e. 40 Jawab : b

Tempat juara

I II III 1 4 3 : 1×4×3 = 12 ……….(b)

Keterangan I. hanya ada 1 orang ……………………1 pilihan II. 5 orang – 1 ……. ……………….….. 4 pilihan III. 4 orang – 1 ……. ……………….…..3 pilihan

13. EBTANAS 2002 Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah … a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120

Jawab : d

Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya adalah: (i) ratusan : 3………………………ada 1 pilihan

puluhan : 2 ………………….…..ada 1 pilihan satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..…….ada 4 pilihan

1 1 4 : 1 × 1 × 4 = 4 (ii) ratusan : 3……………………...ada 1 pilihan

puluhan : x1 > 2, x1 ≠ 3……….…ada 3 pilihan satuan : x2 ≠ {3, x1}, ………….ada 5 pilihan

1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x1 > 3………………….ada 3 pilihan

puluhan : x2 ≠ x1……….………...ada 6 pilihan satuan : x3 ≠ { x1, x2}, ………….ada 5 pilihan

3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 4 + 15 + 90 = 109 ……………………………..(d)


152

2. Permutasi Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu:

a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; )!kn(

!nPrn −

=

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; !n!n!n

!n,,P nnnn

111321= ,n1 + n2 + n3 + … ≤ n

c) Permutasi siklis (lingkaran); )!n(Psiklisn 1−=


Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyak kemungkinan mereka duduk adalah … A. 35 B. 60 C. 120 D. 180 E. 210 Jawab : E

• Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi secara

berdampingan : 73P = 7 × 6 × 5

= 210 ……………….(E)

2. UN 2013 Lima anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyaknya kemungkinan mereka duduk adalah … A. 60 B. 45 C. 25 D. 20 E. 10 Jawab : A

• Lima anak akan duduk pada tiga kursi secara

berdampingan : 53P = 5 × 4 × 3

= 60 ……………….(A)

3. UN 2013 Enam anak A, B, C, D, E, dan F akan berfoto berjajar dalam satu baris. Banyaknya cara berfoto jika B, C, dan D harus selalu berdampingan adalah … A. 144 B. 360 C. 720 D. 1.080 E. 2.160 Jawab : A

Jumlah kelompok ada 4, yaitu • 3 kelompok masing-masing terdiri atas 1 orang • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 4 kelompok × 3 anggota 4

4P × 33P = (4 × 3 × 2) × (3 × 2) = 144 ……………………………(A)


153


Dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. Banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 Jawab : A

Jumlah kelompok ada 2, yaitu • 1 kelompok terdiri atas 2 anggota • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 2 kelompok × 2 anggota × 3 anggota

22P × 2

2P × 33P = 2 × 2 × (3 × 2)

= 24…….. ………………(A)

5. UN 2013 Dari 5 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Banyak cara pemilihan tersebut adalah … A. 10 B. 15 C. 45 D. 60 E. 68 Jawab : D

Memilih 3 pengurus dari 5 calon

53P = 5 × 4 × 3 = 60 ………………………(D)

6. UN 2013 Pada musyawarah karang taruna akan dipilih pengurus organisasi yang baru, terdiri dari ketua, sekretaris, bendahara, dan koordinator olah raga. Dari hasil seleksi lolos 6 orang calon pengurus. Banyak susunan pengurus yang dapat di bentuk adalah … A. 360 B. 240 C. 120 D. 45 E. 15 Jawab : A

Memilih 4 pengurus dari 6 calon

64P = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………………(A)

7. UN 2012/E52 Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah….

A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata

Jawab : A

Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi berulang karena dari kata ”WIYATA” ada unsur yang sama yaitu: huruf A ada 2 S = {W, I, Y, A, T, A} ⇒ n(S) = 6

Sehingga P = !2

!6= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………….(A)


154


Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu, dan 5 orang anaknya akan makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu duduknya selalu berdampingan, maka banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar tersebut adalah.... A. 120 B. 240 C. 720 D. 1.020 E. 5.040 Jawab : B

Kasus ini merupakan permutasi siklis karena mereka duduk di meja bundar. P = (7 – 2)! ⋅ 2! ................... ada 2 orang yang harus

duduk berdampingan = 5! × 2! = (5×4×3×2×1)(2×1) = 240 …………………………………………(B)

9. UN 2010 PAKET A Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara memilih pengurus OSIS adalah … a. 720 cara b. 70 cara c. 30 cara d. 10 cara e. 9 cara

Jawab : a

Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi karena pemilihan memperhatikan jabatan

310P = )!310(

!10

−

= !7

!10

= 10 × 9 × 8

= 720 …………………………….(a)


155

3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah !r)!rn(

!nC rn ⋅−

=


Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut adalah … a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 Jawab : b

Karena soal no. 1 s.d no. 4 harus dikerjakan maka siswa tinggal memilih 4 soal lagi dari 6 soal yang belum di tentukan, sehingga banyaknya cara memilih adalah:

4C6 = !4!2

!6

× =

!42

!456

×××

= 3 × 5 = 15 ………….(b)

2. UN 2011 PAKET 46 Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah … a. 60 b. 20 c. 15 d. 10 e. 8 Jawab : d

Peristiwa pencampuran 2 buah warna adalah termasuk masalah kombinasi karena walaupun urutan pencampuran 2 warna tersebut di tukar, hasilnya adalah tetap sama. Sehingga banyaknya warna khas yang terbentuk adalah :

2C5 = !3!2

!5

× =

!32

!345

×××

= 5 × 2 = 10 ………….(d)

3. UN 2010 PAKET A Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru adalah … a. 10 cara b. 24 cara c. 50 cara d. 55 cara e. 140 cara Jawab : c

Mengambil bola adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi • Mengambil 3 bola dan paling sedikit 2 bola biru

kemungkinannya adalah:

1. 2 B dan 1 P : 5C2 × 4C1 = !3!2

!5

⋅× 4 = 10 × 4

2. 3 B : 5C3 = !3!2

!5

⋅ = 10____ +

= 50 ……(c)

4. UN 2010 PAKET B Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah … a. 10 b. 21 c. 30 d. 35 e. 70 Jawab : d

Menarik garis adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Membuat segitiga adalah menarik garis dari 3 buah titik yang tidak segaris, sehingga jumlah segitiga yang terbentuk adalah:

7C3 = !4!3

!7

⋅=

!423

!4567

×××××

= 35 …………………(d)


156


Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara a. 70 b. 80 c. 120 d. 160 e. 220 Jawab : c

Karena dalam pemilihan tidak menyebutkan peringkat, maka kasus ini dapat diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 10.

103C =

)!310(!3

!10

−⋅ =

!7!3

!78910

⋅⋅⋅⋅

= 23

8910

⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 4 = 120 ……………(c)

6. UAN 2003 Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah … a. 14 b. 21 c. 45 d. 66 e. 2.520 Jawab : b

Mengerjakan soal ujian tidak perlu memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Jumlah soal yang harus dikerjakan 8 dari 10 nomor yang ada, tapi 3 soal harus dikerjakan sehingga untuk mencapai 8 soal harus memilih lagi 5 soal dari 7 soal yang tersisa. Banyaknya cara memilih adalah:

75C =

!5)!57(

!7

⋅− =

!52

!567

⋅⋅⋅

= 7 · 3 = 21 …………………(b)

7. EBTANAS 2002 Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap 2 titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah … a. 210 b. 105 c. 90 d. 75 e. 65 Jawab : b

Pada saat membuat garis lurus, orang tidak akan memperhatikan urutannya, yang penting dua titik dihubungkan maka akan terbentuk sebuah garis lurus Maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 2 dari 15.

152C =

)!215(!2

!15

−⋅ =

!132

!131415

⋅⋅⋅

= 15 · 7 = 105 ……………...(b)


157

B. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1

b) P(A) = )S(n

)A(n, n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel

c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B)

g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = )B(P

)BA(P ∩

CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam table berikut

Jumlah ke-2 mata dadu 2 3 4 5 6 7 12 11 10 9 8

Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah…

A. 9

1

B. 6

1

C. 18

5

D. 3

2

E. 9

5

Jawab : C

S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 misal kejadian A = muncul mata dadu berjumlah 5 ⇒ n(A) = 4 B = muncul mata dadu berjumlah 7 ⇒ n(B) = 6 (lihat catatan untuk melihat jumlah n(A) atau n(B)) P(A ∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

)(

)(

sn

Bn

sn

An + = 36

6

36

4 +

= 36

10 =

18

5…………(C)

2. UN 2012/B25 Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah ... A.

61

B. 31

C. 21

D. 32

E. 65

Jawab : E

S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36

A = kejadian muncul kedua mata kembar = {(1,1), (2,2), ... (6,6)}

n(A) = 6 sehingga Ac = kejadian muncul kedua mata dadu yang

muncul tidak ada yang sama n(Ac) = 36 – 6 = 30

P(Ac) = )(

)(

Sn

An c

= 36

30=

6

5....................................(E)


158


Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian di ambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah….

A. 35

3 D.

35

12

B. 35

4 E.

35

22

C. 35

7 Jawab : E

S = ruang sample pengambilan 3 kelereng dari 7

(3M + 4P) kelereng

n(S) = 7C3 = !4!3

!7

⋅=

!423

!4567

×××××

= 35

A = kejadian pengambilan 3 kelereng dengan paling sedikit 2 kelereng putih

n(A) = {2P , 1M} + 3P = 4C2 × 3C1 + 4C3

= !2!2

!4

⋅× 3 + 4 =

!22

!234

⋅×× × 3 + 4 = 18 + 4 = 22

Jadi , P(A) = )(

)(

Sn

An=

35

22…………………….(E)

4. UN 2011 PAKET 12 Dari dalam kantong berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah …

a. 15320 d.

15356

b. 15328 e.

15390

c. 15345 Jawab : c

n(s) = mengambil 2 kelereng dari 18 kelereng

= 2C18 = !16!2

!18

× =

!162

!161718

×××

= 9 × 17 = 153

n(A) = mengambil 2 kelereng dari 10 kelereng putih

= 2C10 = !8!2

!10

× =

!82

!8910

×××

= 5 × 9 = 45

Jadi:

P(A) = )(

)(

Sn

An =

15345 ………………………….(c)

5. UN 2011 PAKET 46 Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu warna merah dan satu warna biru adalah …

a. 819 d.

95

b. 8120 e.

54

c. 94 Jawab : d

n(s) = mengambil 2 kelereng dari 9 kelereng

= 2C9 = !7!2

!9

× =

!72

!789

×××

= 9 × 4

n(A) = mengambil 1 merah dan 1 biru = 1C4× 1C5 = 4 × 5

Jadi:

P(A) = )(

)(

Sn

An =

4954

×× =

95 ……………………….(d)

6. UN 2010 PAKET A

Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B adalah …

A. 401 D.

52

B. 203 E.

4031

C. 83 Jawab : B

n(SA) = isi kotak A : 2M + 3P = 5 n(M) = kejadian terambil 1 M dari 2M = 2 n(SB) = isi kotak B : 5M + 3P = 8 n(P) = kejadian terambil 1 P dari 3P = 3 Peluang terambil satu bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B. Soal ini menggunakan kata hubung dan sehingga peluangnya adalah: P(M ∩ P) = P(M) × P(P)

= 8

3

5

2 ×

= 20

3……………….……….(B)


159


Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah …

a. 54

b. 107

c. 63

d. 62

e. 101

Jawab : b

n(s) = Isi kotak : 4M + 3P + 3H = 10 n(A) = kejadian terambil 1 M dari 4 M = 4 n(B) = kejadian terambil 1 H dari 3 H = 3 Soal ini menggunakan kata hubung atau sehingga Peluang terambil bola merah atau hitam adalah: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

= 10

3

10

4 +

= 10

7 …………………………………(b)

8. UN 2009 PAKET A/B Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujair, 12 ikan mas, dan 27 ikan tawes. Peluang Pak Amir mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing adalah …

a. 151

b. 51

c. 207

d. 209

e. 54

Jawab: b

n(s) = isi kolam : 21 Mujair + 12 Mas + 27 Tawes

= 60 n(A) = kejadian terambil 1 mas dari 12 mas = 12 Peluang mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing:

P(A) = )(

)(

Sn

An

= 60

12

= 5

1……………………………………..(b)

9. UN 2008 PAKET A/B Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 8 bola kuning, dan 3 bola biru. Jika dari kotak diambil satu bola secara acak, peluang terambil bola kuning atau biru adalah … a. 1

b. 154

c. 157

d. 158

e. 1511

Jawab : e

• n(S) = 15 (4m + 8k + 3b) • A = kejadian terambilnya 1 bola kuning

n(A) = 8 • B = kejadian terambilnya 1 bola biru

n(B) = 3 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

)(

)(

Sn

Bn

Sn

An +

= 15

3

15

8 + = 15

11 …………………(e)


160


Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika diambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah …

a. 6415

b. 5615

c. 145

d. 158

e. 43

Jawab : b

Kasus pada soal ini adalah kejadian tidak saling bebas, karena setelah melakukan pengambilan obyeknya tidak dikembalikan lagi. • n(S1) = jumlah obyek mula-mula = 8 (5p + 3b)

n(A) = jumlah baju putih mula-mula = 5

• n(S2) = sisa obyek setelah pengambilan pertama = 7 (4p + 3b) …………..sisa baju putih 4

…………..baju biru tetap 3 n(B/A) = sisa baju biru setelah pengambilan

pertama = 3

• P(A∩B) = P(A) × P(B/A)

= )(

)(

1Sn

An ×

)(

)/(

2Sn

ABn=

7

3

8

5 ×

= 56

15………..(b)

11. UN 2007 PAKET B Dua buah dadu dilempar undi satu kali. Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 atau 9 adalah …

a. 181

b. 365

c. 92

d. 41

e. 31

Jawab : c

• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) n(S) = 62 = 36

• A = muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4

• B = muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(B) = 4

pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

Sn

An +

)(

)(

Sn

Bn

= 36

4

36

4 + = 9

1

9

1 + = 9

2 ………..(c)

12. UN 2006

Seorang peneliti memprediksikan dampak kenaikan harga BBM terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,15. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah … a. 0,78 d. 0,65 b. 0,75 e. 0,12 c. 0,68 Jawab : a

P(A) = 0,92 P(Bc) = 0,15 ⇒ P(B) = 1 – 0,15 = 0,85 Soal menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B)

= 0,92 × 0,85 = 0,78 ………………………………(a)


161


Dari setumpuk kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Peluang munculnya kartu raja (king) atau kartu wajik adalah …

A. 524 D.

5217

B. 5213 E.

5218

C. 5216 Jawab : C

n(S) = 52, dengan komposisi sbb n(A) = raja = 4 (wajik, love, keriting, daun) n(B) = wajik = 13 n(A∩B) = raja wajik = 1 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= )(

)(

)(

)(

)(

)(

Sn

BAn

Sn

Bn

Sn

An ∩−+

= 52

1

52

13

52

4 −+ = 52

16 ……………(c)

14. UAN 2003 Berdasarkan survey yang dilakukan pada wilayah yang berpenduduk 100 orang diperoleh data sebagai berikut: 20% penduduk tidak memiliki telepon 50% penduduk tidak memiliki komputer 10% penduduk memiliki komputer, tetapi tidak memiliki telepon.

Jika dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, peluang ia memiliki telepon, tetapi tidak punya komputer adalah … A. 0,2 D. 0,6 B. 0,4 E. 0,8 C. 0,5 Jawab : b

• A = penduduk yang memiliki telepon = 100% - 20% = 80%

• Bc = penduduk yang tidak memiliki computer = 50%

soal menggunakan kata tetapi/dan, sehingga peluangnya adalah P(A∩Bc) • P(A∩Bc) = P(A) × P(Bc)

= 100

50

100

80 ×

= 1001010

100104

××××

= 0,4 ……………………………….(b)

15. EBTANAS 2002 Dua dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah …

A. 121 D.

31

B. 91 E.

21

C. 61 Jawab : c

• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) n(S) = 62 = 36

• A = muncul mata dadu berjumlah 7

= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} n(A) = 6

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

36

6 =

6

1 ……………..………(c)

16. EBTANAS 2002 Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah …

A. 81 D.

21

B. 31 E.

43

C. 83 Jawab : d

• S = 3 orang anak, jenis kelamin ada 2 (pria P, dan wanita W)

n(S) = 23 = 8 • A = lahir paling sedikit 2 pria (P)

= {PPW, WPP, PWP, PPP} n(A) = 4

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

8

4

= 2

1 ………………….……(d)

10. LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran

1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2

2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r = C)B()A( 2212

21 −+

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

2211

ba

cbyaxr

+

++=


Persamaan lingkaran berdiameter 10 dan berpusat di titik (–5, 5) adalah … A. x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0 B. x2 + y2 – 10x + 10y + 25 = 0 C. x2 + y2 – 5x + 5y + 25 = 0 D. x2 + y2 + 5x – 10y + 25 = 0 E. x2 + y2 – 10x + 10y – 25 = 0 Jawab : A

Diameter D = 10 → jari–jari r = ½ (10) = 5 Pusat (a, b) = (–5, 5) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x + 5)2 + (y – 5)2 = 52

⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 10y + 25 – 25 = 0

⇔ x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0…………..(A)

2. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, –3) dan berdiamater 8 cm adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y = 0 B. x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 E. x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0 Jawab : E

Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = 42

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 16 = 0

⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0…………..(E)

SIAP UN IPA 2014 Lingkaran

163


Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah … A. x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 B. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 D. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0 Jawab : A

Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (2, 3) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0…………..(A)

4. UN 2013 Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 2)

dan berdiameter 2√13 adalah … A. x2 + y2 + 10x + 4y + 34 = 0 B. x2 + y2 + 4x + 10y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 10x – 10y + 16 = 0 D. x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0 E. x2 + y2 – 10x – 4y + 34 = 0 Jawab : D

Diameter D = 2√13 → jari–jari r = ½ (2√13) = √13 Pusat (a, b) = (5, 2) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 5)2 + (y – 2)2 = (√13)2

⇔ x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 – 13 = 0

⇔ x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0…………..(D)

5. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik

(4, –3) dan berdiameter 4√17 adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y – 57 = 0 B. x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 6y – 43 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y – 15 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 6y – 11 = 0 Jawab : B

Diameter D = 4√17 →

jari–jari r = ½ (4√17) = 2√17 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = (2√17)2

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 4(17) = 0

⇔ x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0…………..(B)


(2, –1) dan berdiameter 4√10 adalah … A. x2 + y2 – 4x – 2y – 35 = 0 B. x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 2y – 33 = 0 D. x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 2y – 33 = 0 Jawab : B

Diameter D = 4√10 → jari–jari r = ½ (4√10) =

2√10 Pusat (a, b) = (2, –1) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2√10)2

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 – 4(10) = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0…………..(B)


164


Persamaan lingkaran yang berpusat di titik

(4, 0) dan berdiameter 6√2 adalah … A. x2 + y2 – 8x – 2 = 0 B. x2 + y2 + 8x – 2 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 D. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 34 = 0 Jawab : A

Diameter D = 6√2 → jari–jari r = ½ (6√2) = 3√2 Pusat (a, b) = (4, 0) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 4)2 + (y – 0)2 = (3√2)2

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 9(2) = 0

⇔ x2 + y2 – 8x – 2 = 0…………..(A)


(–1, 3) dan berdiameter √40 adalah … A. x2 + y2 – 6x – 2y = 0 B. x2 + y2 + 2x + 6y = 0 C. x2 + y2 – 2x – 2y = 0 D. x2 + y2 + 2x – 6y = 0 E. x2 + y2 – 2x – 6y = 0 Jawab : D

Diameter D = √40 = 2√10

jari–jari r = ½ (2√10) = √10 Pusat (a, b) = (–1, 3) • Persamaan lingkarannya adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = (√10)2

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 10 = 0

⇔ x2 + y2 + 2x – 6y = 0………………...(D) 9. UN 2006

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, – 10) dan menyinggung garis

3x – y 3 – 3 = 0 adalah …

a. x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 b. x2 + y2 – x + 10y + 76 = 0 c. x2 + y2 – 2x + 20y + 126 = 0 d. x2 + y2 – x + 10y + 126 = 0 e. x2 + y2 – 2x – 20y + 76 = 0

Jawab : a

• Jarak garis singgung g: 3x – y3 – 3 = 0

ke pusat lingkaran (1, – 10) sama dengan panjang jari–jarinya: lihat rumus A.3)

22

11

ba

cbyaxr

+

++=

= ( )22 33

3)10(313

+

−−⋅+⋅ =

32

310 = 5

• Pusat lingkaran = (1, – 10) = (–½A, –½B,) Maka A = –2, B = 20 dan

C = a2 + b2 – r2 C = 12 + (– 10)2 – 52 = 76

• Persaman lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 ……………(a)

10. EBTANAS 2002 Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. –1 e. –2

Jawab : a

pusat lingkaran : rumus A.2)

(– ½ A, –½B) = (a, b)

= (– ½ ( –2), –½ ⋅ 4) = (1, –2)

Jadi: 2a + b = 2(1) + (–2) = 0 ……………….(a)


165

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran

a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2 x x1 + y y1 = r2

b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–langkahnya: 1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka

akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui

� Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m

y – b = m(x – a) ± r 1m2 +


Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Jawab : A

Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memiliki:

Pusat (–1, 3) dan jari–jari r = 9 = 3

Dipotong garis y = 3, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah:

x = a – r = –1 – 3 = –4 dan

x = a + r = –1 + 3 = 2

jadi garis singgungnya adalah

x = 2 dan x = –4………………………..(A)

2. UN 2011 PAKET 12 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah … a. 3x – 4y – 41 = 0 b. 4x + 3y – 55 = 0 c. 4x – 5y – 53 = 0 d. 4x + 3y – 31 = 0 e. 4x – 3y – 40 = 0 Jawab : d

• periksa posisi titik (7, 1) terhadap lingkaran

l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

72 + (1)2 – 6(7) + 4(1) – 12 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (7, 1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan

rumus B.1.c)

• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, 1)

xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

7x + y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y + 1) – 12 = 0

7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0

4x + 3y – 31= 0 ………………………..(d)


166


Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah … a. x – y – 12 = 0 b. x – y – 4 = 0 c. x – y – 3 = 0 d. x + y – 3 = 0 e. x + y + 3 = 0 Jawab : c

• periksa posisi titik (2, –1) terhadap lingkaran

l : x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0

22 + (–1)2 – 6(2) + 4(–1) + 11 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (2, –1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan

rumus B.1.c)

• Menentukan persamaan garis singgung

Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0

di titik P(2, –1)

xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

2x – y + ½(–6)(x + 2) + ½(4)(y – 1) + 11 = 0

2x – y – 3x – 6 + 2y – 2 + 11 = 0

–x + y + 3 = 0

x – y – 3 = 0 ….………………………..(c) 4. UN 2010 PAKET A

Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x + 5 = 0 adalah … a. y = 2x – 11 ± 20 b. y = 2x – 8 ± 20 c. y = 2x – 6 ± 15 d. y = 2x – 8 ± 15 e. y = 2x – 6 ± 25 Jawab : a

• Gradien m

Garis h : y – 2x + 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5, maka mh = 2 garis singgung g // h, maka mg = mh = 2

• pusat P(a, b) = P(3, – 5)

• jari–jari r = 80

maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)

y – b = m(x – a) ± r 12 +m

y + 5 = 2(x – 3) ± 80 ⋅ 122 +

y = 2x – 6 – 5 ± 400

y = 2x – 11 ± 20……………….(a)


167


Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan garis y – 7x + 5 = 0 adalah … a. y – 7x – 13 = 0 b. y + 7x + 3 = 0 c. –y – 7x + 3 = 0 d. –y + 7x + 3 = 0 e. y – 7x + 3 = 0

Jawab : e

• Gradien m Garis h : y – 7x + 5 = 0 ⇔ y = 7x – 5, maka mh = 7 garis singgung g // h, maka mg = mh = 7

• pusat P(a, b) = P(4, 5)

• jari–jari r = 8


y – b = m(x – a) ± r 12 +m

y – 5 = 7(x – 4) ± 8 ⋅ 172 +

y = 7x – 28 + 5 ± 400

y = 7x – 23 ± 20

y – 7x + 23 ± 20 = 0 …………….(e) 6. UN 2009 PAKET A/B

Lingkaran (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah … a. y = 8 – x b. y = 0 dan y = 8 c. x = 0 dan x = 8 d. y = x + 8 dan y = x – 8 e. y = x – 8 dan y = 8 – x

Jawab : c

Lingkaran l: (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memiliki:

Pusat (4, 4) dan jari–jari r = 16= 4

Dipotong garis y = 4, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah: x = a – r = 4 – 4 = 0 dan x = a + r = 4 + 4 = 8

jadi garis singgungnya adalah

x = 0 dan x = 8………………………..(c)

7. UN 2008 PAKET A/B Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran x2 + y2 = 13 adalah … a. 2x – 3y = 13 b. 2x + 3y = –13 c. 2x + 3y = 13 d. 3x – 2y = –13 e. 3x + 2y = 13

Jawab : c

Persamaan garis singgung lingkaran

• periksa posisi titik (2, 3) terhadap lingkaran

l : x2 + y2 = 13

x2 + y2 = 22 + 32 = 13,

maka titik ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan

rumus B.1.a)

• Menentukan persamaan garis singgung

Pada lingkaran l: x2 + y2 = 13 di titik (2, 3)

xx1 + yy1 = r2

2x + 3y = 13……….……………. (c)


168


Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5) adalah… a. 4x – 3y = 43 b. 4x + 3y = 23 c. 3x – 4y = 41 d. 10x + 3y = 55 e. 4x – 5y = 53

Jawab : a

• periksa posisi titik (7, –5) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 72 + (–5)2 – 6(7) + 4(–5) – 12 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)

• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5)

xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 7x – 5y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y –5 ) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y – 43 = 0

4x – 3y = 43 ……………………..(a)

9. UN 2007 PAKET B Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y –2 = 0 yang bergradien 10 adalah…

a. y = 10x – 10 ± 2 101

b. y = 10x – 11 ± 2 101

c. y = –10x + 11 ± 2 101

d. y = –10x ± 2 101

e. y = 10x ± 2 101

Jawab : b

• gradien m = 10

• pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–2), – ½(2)) = (1, –1)

• jari–jari r = Cba −+ 22

= )2()1(1 22 −−−+ = 2


y – b = m(x – a) ± r 12 +m

y – (–1) = 10(x – 1) ± 2 1102 +

y + 1 = 10x – 10 ± 2 101

y = 10x – 11 ± 2 101……………….(b)

10. UN 2005 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah… a. 3x – 4y + 27 = 0 b. 3x + 4y – 27 = 0 c. 3x + 4y –7 = 0 d. 3x + 4y – 17 = 0 e. 3x + 4y –7 = 0

Jawab : b

• periksa posisi titik (5, 3) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 52 + 32 – 4(5) + 2(3) – 20 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)

• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5,3)

xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 5x + 3y + ½(– 4)(x + 5) + ½(2)(y + 3) – 20 = 0 5x + 3y – 2x –10 + y + 3 – 20 = 0 3x + 4y – 2x – 27 = 0 ……………………..(b)


169


Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah … a. 2x – y + 3 = 0 b. 2x – y + 5 = 0 c. 2x – y + 7 = 0 d. 2x – y + 13 = 0 e. 2x – y + 25 = 0

Jawab : b

• Gradien m Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½ x + 3,

maka mh = – ½ garis singgung g ⊥ h, maka

mg ⋅ mh = – 1

{mg ⋅ (– ½) = – 1}× (–2) mg = 2

• pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4)

• jari–jari r = Cba −+ 22

= 1542 22 −+ = 5


y – b = m(x – a) ± r 12 +m

y – 4 = 2(x – 2) ± 5 ⋅ 122 +

y – 4 = 2x – 4 ± 5

2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b) 12. UAN 2003

Salah satu garis singgung yang bersudut 120º terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah …

a. y = – 3x + 34 +12

b. y = – 3x – 34 +8

c. y = – 3x + 34 – 4

d. y = – 3x – 34 – 8

e. y = – 3x + 34 + 22

Jawab : a

• Gradien garis singgung m m = tan 120º = tan (180 – 60) º

= tan (–60)º = 3− • Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka

(i) Diameter lingkaran D

D = 22 ))2(6()17( −−+−

= 100 = 10 jari–jari r = ½D = ½(10) = 5

(ii) Pusat lingkaran P(a, b)

Pusat = 21 (7 + 1, 6 + (–2))

= 21 (8, 4) = (4, 2)

• Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh:

Pusat P(4, 2) , gradien m = 3− dan jari–jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)

y – b = m(x – a) ± r 1m2 +

y – 2 = 3− (x – 4) 1)3(5 2 +±

y – 2 = 3x− + 34 ± 5 ⋅ 2

y = 3x− + 34 + 2 ± 10, jadi:

(i) y = 3x− + 34 – 8 atau

(ii) y = 3x− + 34 + 12 …………….(a)

11. SUKU BANYAK A. Teorema Sisa

1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F(ab )

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor

(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0 C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn.

1) x1 + x2 + …+ xn = ab−

2) x1 · x2 · …· xn = ad (bila berderajat genap)

3) x1 · x2 · …· xn = ad− (bila berderajat ganjil)

4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = ac


Suku banyak �� = 2�� + �� + 10� +3 habis dibagi �� + 1�. Salah satu faktor linear lainnya adalah …

A. � − 3 B. � + 1 C. 2� + 1 D. 2� + 3 E. 3� + 2 Jawab : C

f(x) habis dibagi �� + 1� sehingga f(–1) = 0 h(x) = 2x2 + (9 – 2)x + (–9 + 12)

= 2x2 + 7x + 3 ………………ingat cara memfaktorkan

= 2

1(2x + 6)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1)

Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x + 1) ……. (C)

2 p – 2 – p + 12 p – 9 = 0

– 1 2 p 10 3

–2 – p + 2 p – 12 +

p = 9 Hasil h(x)

SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak

171


Salah satu faktor linear suku banyak �� = 2�� + �� − 17� + 10 adalah �� + 2�. Salah satu faktor linear yang lainnya adalah …

A. � + 5 B. � − 5 C. � − 2 D. 2� + 1 E. 2� − 3 Jawab : B

f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2) = 0 h(x) = 2x2 + (–7 – 4)x + (–2)( –7) – 9

= 2x2 – 11x + 5 ……………….…ingat cara memfaktorkan

= 2

1(2x – 10)(2x – 1) = (x – 5)(2x – 1)

Jadi, faktor yang lain (x – 5) dan (2x – 1) ……. (B) 3. UN 2013

Salah satu faktor linear suku banyak �� = 2�� + �� − 11� + 6 adalah �� + 2�. Faktor linear yang lain adalah …

A. 2� + 1 B. 2� + 3 C. � − 3 D. � − 2 E. � − 1 Jawab : C

f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2) = 0 h(x) = 2x2 + (–3 – 4)x + (–2)( –3) – 3


= 2

1(2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1)

Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (C)

2 p – 4 –2p – 9 4p + 28 = 0

– 2 2 p –17 10

–4 –2p + 8 4p + 18 +

p = –7 Hasil h(x)

2 a – 4 –2a – 3 4a + 12 = 0

– 2 2 a –11 6

–4 –2a + 8 4a + 6 +

a = –3 Hasil h(x)


172


Suku banyak �� = 2�� − �� − 28� +15 habis dibagi �� − 5�. Salah satu faktor linear lainnya adalah …

A. � − 3 B. � + 2 C. 2� − 1 D. 2� + 1 E. 3� − 1 Jawab : C

f(x) habis dibagi �� − 5� sehingga f(5) = 0 h(x) = 2x2 + (–5 + 10)x + (–5)( 5) + 22

= 2x2 + 5x – 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan

= 2

1(2x + 6)(2x – 1) = (x + 3)(2x – 1)

Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x – 1) ……. (C) 5. UN 2013

Bila �2� − 1� adalah faktor dari �� =4�� + �� − � + 3, salah satu faktor linear yang adalah …

A. � + 1 B. � − 1 C. � + 3 D. −2� + 1 E. � − 3 Jawab : E

f(x) habis dibagi �2� − 1� sehingga f( ½ ) = 0 h(x) = 4x2 + (–12 + 2)x + ½ (– 12)

= 4x2 – 10x – 6 ……………….…ingat cara memfaktorkan

= ¼ (4x – 12)(4x + 2) = (x – 3)(4x + 2) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (4x + 2) ……. (E)

2 –p +10 –5p + 22 –25p + 125 = 0

5 2 – p –28 15

10 – 5p + 50 –25p + 110 +

p = 5 Hasil h(x)

4 p + 2 ½ p ¼ p + 3 = 0

½ 4 p –1 3

2 ½ p + 1 ¼ p +

p = –12 Hasil h(x)


173


Salah satu faktor dari suku banyak �� = 2�� − 5�� + �� + 3 adalah �� + 1�. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A. � − 1 B. � − 2 C. � + 2 D. 2� − 1 E. 2� + 1

Jawab : D

f(x) habis dibagi �� + 1� sehingga f(–1 ) = 0 h(x) = 2x2 – 7x + (– 4 + 7)


= ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (D)

7. UN 2013 Diketahui salah satu faktor linear dari suku banyak �� = 2�� − 3�� + �� − 15�� +6 adalah �2� − 1�. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah …

A. � − 5

B. � − 2

C. � + 1

D. � + 2

E. � + 3 Jawab : D

f(x) habis dibagi �2� − 1� sehingga f( ½ ) = 0 h(x) = 2x2 – 2x + (4 – 16)

= 2x2 – 2x – 12 ……………….…ingat cara memfaktorkan

= ½ (2x + 4) (2x – 6) = ( x + 2) (2x – 6) Jadi, faktor yang lain (x + 2) dan (2x – 6) ……..(D)

2 –7 p + 7 – p – 4 = 0

–1 2 –5 p 3

–2 7 –p – 7 +

p = –4 Hasil h(x)

2 –2 p – 16 ½ p – 2 = 0

½ 2 –3 p – 15 6

1 – 1 ½ p – 8 +

p = 4 Hasil h(x)


174


Diketahui �� + 2� adalah salah satu faktor suku banyak �� = 2�� − 3�� − 11� +�. Salah satu faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A. �2� + 1� B. �2� − 3� C. �2� + 3� D. �� + 3� E. �� − 3� Jawab : E

f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2 ) = 0 h(x) = 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara

memfaktorkan = ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1)

Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (E)

9. UN 2012/C37 Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah … A. x3 – 2x2 + x + 4 B. x3 – 2x2 – x + 4 C. x3 – 2x2 – x – 4 D. x3 – 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 – 4 Jawab : D

i) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2)

f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (5x – 2) = (x + 2)(x – 3)H(x) + (5x – 2)

f(3) = 5(3) – 2 = 13

ii) f(x) jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4) f(x) = (x2 – 2x – 3)H(x) + (3x + 4)

= (x + 1)(x – 3)H(x) + (3x + 4) f(3) = 3(3) + 4 = 13

cek poin: jawaban akan benar jika f(3) = 13 D. f(x) = x3 – 2x2 + 4

f(3) = 33 – 2⋅32 + 4 = 13 ................benar

2 –7 3 p – 6 = 0

–2 2 –3 –11 p

–4 14 –6 +

p = 6 Hasil h(x)


175


Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4), jika di bagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…. A. x3 – x2 – 2x – 1 B. x3 + x2 – 2x – 1 C. x3 + x2 + 2x – 1 D. x3 + x2 – 2x – 1 E. x3 + x2 + 2x + 1 Jawab : B

i) f(x) jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4)

f(x) = (x2 + 2x – 3)H(x) + (3x – 4 ) = (x + 3)(x – 1) H(x) + (3x – 4 )

f(1) = 3(1) – 4 = –1

ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). f(x) = (x2 – x – 2)H(x) + (2x + 3)

= (x + 1)(x – 2) H(x) + (2x + 3) f(–1) = 2(–1) + 3 = 1

cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = –1 dan f(–1) = 1

B. f(x) = x3 + x2 – 2x – 1

F(1) = 13 + 12 – 2(1) – 1 = –1 ................benar f(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 2(–1) – 1 = 1 .....benar

11. UN 2012/B25 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1), jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). Suku banyak tersebut adalah ... A. x3 – x2 – 2x – 3 B. x3 – x2 – 2x + 3 C. x3 – x2 + 2x + 3 D. x3 – 2x2 – x + 2 E. x3 – 2x2 + x – 2 Jawab : B

i) f(x) jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1)

f(x) = (x2 + x – 2)H(x) + (2x – 1) = (x + 2)(x – 1) H(x) + (2x – 1)

f(1) = 2(1) – 1 = 1

ii) f(x) jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). f(x) = (x2 + x – 3)H(x) + (2x + 3) pembagi tidak dapat difaktorkan

cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = 1 B. f(x) = x3 – x2 – 2x + 3

f(1) = 13 –12 – 2(1) + 3 = 1 .........benar 12. UN 2012/E52

Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x2 – 3x + 2 bersisa 4x – 6 dan jika dibagi x2 – x – 6 bersisa 8x – 10.Suku banyak tersebut adalah….

A. x3 – 2x2 + 3x – 4 B. x3 – 3x2 + 2x – 4

C. x3 + 2x2 – 3x – 7 D. 2x3 + 2x2 – 8x + 7 E. 2x3 + 4x2 – 10x + 9 Jawab : A

i) f(x) jika dibagi (x2 – 3x + 2) bersisa (4x – 6)

f(x) = (x2 – 3x + 2)H(x) + (4x – 6) = (x – 1)(x – 2)H(x) + (4x – 6)

f(1) = 4(1) – 6 = –2

ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (8x – 10). f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (8x – 10)

= (x + 2)(x – 3) H(x) + (8x – 10) f(3) = 8(3) – 10 = 14

cek poin: jawaban akan benar jika

f(1) = –2 dan f(3) = 14 A. f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 4

f(1) = 13 –2(1)2 + 3(1) – 4 = –2 .........benar f(3) = 33 –2(3)2 + 3(3) – 4 = 14 .........benar


176


Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa – 1, maka nilai (2a + b) = … a. 13 b. 10 c. 8 d. 7 e. 6 Jawab : c

Gunakan teorema sisa (i) P(x) dibagi (x – 1) sisa 11 → P(1) = 11

P(1) = 2(1) 4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b 11 = 2 – 3 + 5 + a + b a + b = 11 – 4 = 7 ………………………….(1)

(ii) P(x) dibagi (x + 1) sisa –1 → P(–1) = –1 P(–1) = 2(–1) 4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b –1 = 2 – 3 – 5 – a + b –a + b = –1 + 6 = 5 ………………….…….(2)

Dari (1) dan (2) a + b = 7 –a + b = 5 _

2a = 2 a = 1 …. Substitusi ke (1)

• a + b = 7 ………. Kedua ruas di tambah a

⇔ 2a + b = 7 + a = 7 + 1 = 8 ………….(c) 14. UN 2011 PAKET 46

Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah … a. –8 b. –2 c. 2 d. 3 e. 8 Jawab : b

Gunakan teorema sisa (i) f(x) dibagi (x + 1) sisa 4 → f(–1) = 4

f(–1) = a(–1)3 + 2(–1)2 + b(–1) + 5 4 = – a – b + 2 + 5

a + b = 7 – 4 = 3 ……………………………(1)

(ii) f(x) dibagi (2x – 1) sisa 4 → f(½ ) = 4 f(½ ) = a(½ )3 + 2(½ )2 + b(½ ) + 5

4 = 81 a + 2

1 b + ½ + 5

{81 a + 2

1 b = 4 – 5½ = – 23 }× 8

a + 4b = –12 …………………………….…(2)

Dari (1) dan (2) a + b = 3 a + 4b = –12 _

–3b = 15 b= –5 …. Substitusi ke (1) • a + b = 3 ………. Kedua ruas di tambah b ⇔ a + 2b = 3 + b = 3 + (–5) = –2 ……...(b)


177


Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor–faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = … a. 8 b. 6 c. 3 d. 2 e. –4 Jawab : d

Gunakan teorema factor

(x – 2) dan (x – 1) factor dari P(x), maka P(2) = P(1) = 0

Dari (2) diperoleh : Sisa = 3a + 6 = 0 → a = –2 Hasil bagi = x + (a + 3) = x + (–2 + 3) = x + 1 Jadi, factor –faktor dari P(x) adalah: P(x) = (x +1) (x – 1) (x – 2) = 0 Diperoleh akar–akar P(x) : x = {–1, 1, 2} Jadi, x1 = 2, x2 = 1, x3 = –1, sehingga: x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–1) = 2 …………………..(d)

16. UN 2011 PAKET 46 Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar–akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = …. a. –7 b. –5 c. –4 d. 4 e. 7 Jawab : d


(x + 2) dan (x – 3) factor dari P(x), maka P(–2) = P(3) = 0

Dari (2) diperoleh : Sisa = p + 4 = 0 → p = –4

Gunakan rumus jumlah akar-akar suku banyak

x1 + x2 + x3 = a

b−=

1

)4(−−= 4…………………(D)

1 a –13 b

2 2a + 4 4a – 18

1 a+2 2a – 9 4a + b – 18 = 0 …(1)

1 a + 3

1 a + 3 3a + 6 = 0……………….(2)

k1 = 2

Dikali k1 = 2 dan Dikali k2 = 1

K2 = 1

+

+

1 p –3 q

–2 –2p + 4 4p – 2

1 p–2 –2p + 1 4p + q – 2 = 0 …(1)

3 3p + 3

1 p + 1 p + 4 = 0……………….(2)

k1= –2

Dikali k1 = 2 dan Dikali k2 = 1

K2 = 3

+

+


178


Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = … a. 10 b. 4 c. –6 d. –11 e. –13

Jawab: c


• (x – 2) faktor dari f(x), maka f(2) = 0 • f(x) dibagi (x + 3) sisa –50, maka f(–3) = –50

f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2

f(2) = 2⋅23 + a⋅22 + b⋅2 – 2 = 0 4a + 2b + 16 – 2 = 0 4a + 2b + 14 = 0

4a + 2b = –14 2a + b = – 7…………(1)

f(–3) = 2(–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 2 = –50

–54 – 2 + 9a – 3b = –50 –56 + 9a – 3b = –50 9a – 3b = 6 3a – b = 2 ……(2)

dari (1) dan (2) 2a + b = – 7 3a – b = 2___ +

5a = –5 a = –1

dengan menggunakan pers(1) dapat dicari a + b 2a + b = – 7 ……. Kedua ruas dikurangi a

2a – a + b = – 7 – a a + b = –7 – (–1) = –6……………….(c)


179


Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. 6 e. 9

Jawab: e

Gunakan teorema faktor

• f(x) dibagi (x + 1) sisa 6, maka f(–1) = 6 • f(x) dibagi (x – 2) sisa 24, maka f(2) = 24

f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 2 f(–1) = 2⋅(–1)3 + a⋅(–1)2 + b⋅(–1) + 2 = 6

–2 + a – b + 2 = 6 a – b = 6 …(1)

f(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 2 = 24

16 + 2 + 4a + 2b = 24 4a + 2b = 6

2a + b = 3 ……..(2)

dari (1) dan (2) a – b = 6

2a + b = 3___ + 3a = 9 a = 3

dengan menggunakan pers(1) dapat dicari 2a – b a – b = 6 ……. Kedua ruas ditambah a

a + a – b = 6 + a

2a – b = 6 + 3 = 9……………….(e)

19. UN 2009 PAKET A/B Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … a. 6x + 2 b. x + 7 c. 7x + 1 d. –7x + 15 e. 15x – 7

Jawab : c

x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)

Gunakan teorema sisa

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa

f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1)

f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2)

q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3)

q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4)

f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) f(1)·g(1) = 4(2) = a + b ……. (1), (3), (5) f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ _ …(2), (4), (5)

28 = 4a a = 7

karena a = 7, maka sudah bisa dilihat jika jawaban yang benar : 7x + 1 ………………...(c)


180


Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah … a. (x + 1) b. (x – 1) c. (x – 2) d. (x – 4) e. (x – 8) Jawab : d

Untuk menyelesaikannya gunakan cek point Lihat rumus B (x – b) adalah faktor dari P(x) bila P(b) = 0 P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 Lihat pilihan d. (x – 4) ⇒ b = 4

Jawaban akan benar jika P(4) = 0 P(4) = (4)3 – 11(4)2 + 30(4) – 8 = 0....... BENAR

21. UN 2007 PAKET A Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah … a. –2x + 8 b. –2x + 12 c. –x + 4 d. –5x + 5 e. –5x +15 Jawab : a

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 – x – 3 = (2x – 3)(x + 1)


f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 10...……………………(1)

f(x) = (2x – 3) ⋅ H(x) + 5……………………...(2)

f(x) = (2x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

−−×−=

+==

+−==−

52

25

23

23

}5{

5)(

10)1(

a

baf

baf

a = – 2 substitusi a = – 2 ke f(–1)

10 = –a + b 10 = –(–2) + b b = 8

Jadi, sisa = –2x + 8………………….……….(a)

Cara Cepat

f(x) : (x + 1) sisa 10 ⇒ –1 10

f(x) : (2x – 3) sisa 5 ⇒ 23 5

f(x) : (2x2 – x – 3) sisa –4y = 5x + (–1.5 – 3.10)

y = 4

35

4

5 +− y

= 4

38

4

5 +− y


181


Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah …

a. 53

54 5x +

b. 52

54 2x +

c. 4x + 12 d. 4x + 4 e. 4x – 4 Jawab : a

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4…..……………………(1) f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6………………………(2) f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

−−×−=−

+==

+−==−

52

25

21

21

}2{

6)(

24)2(

a

baf

baf

a = 54

substitusi a = 54 ke f(–2)

4 = –2a + b

4 = –2(54 ) + b

4 = –58 + b

b = 4 + 531 =

535

Jadi, sisa = 54 x +

535 …………………….(a)

23. UN 2006 Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3, maka x1 – x2 – x3 = … a. –13 b. –7 c. –5 d. 5 e. 7 Jawab : e

Gunakan rumus B Salah satu akar dari persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0, adalah 3, maka f(3) = 0 perhatikan bahan berikut:

berdasarkan bagan di atas diperoleh: (i) f(3) = 3a + 90

0 = 3a + 90 0 = a + 30

a = – 30

(ii) hasil bagi H(x) = x2 + 2x + a + 6 = x2 + 2x – 30 + 6 = x2 + 2x – 24

= (x – 4)(x + 6) sehingga diperoleh: x3 – x2 – 30x + 72 = (x – 4)(x – 3)(x + 6), maka akar–akarnya adalah x = {4, 3, –6}

Jadi: x1 – x2 – x3 = 4 – 3 – (–6) = 7 …………..(e)


182


Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah … a. –6x + 5 b. –6x – 5 c. 6x + 5 d. 6x – 5 e. 6x – 6 Jawan : a

Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – x – 2, maka a = 1, b = –1 , c = – 2

berdasarkan bagan di atas diperoleh :

sisa = – 6x + 5 ……………………………..(a)

25. UN 2004 Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah … a. 2x + 3 b. 2x – 3 c. –3x – 2 d. 3x – 2 e. 3x + 2 Jawab : e

Gunakan metode bagan Pembagi : (x – 3)(x + 1) = x2 – 2x – 3 , maka

a = 1, b = –2 , c = – 3

berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = 3x + 2 ……………………………..(e)

26. UAN 2003 Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … a. 5x – 10

b. 25

45 x +

c. 5x + 10 d. –5x + 30

e. 27

45 x +−

Jawab : b

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2) f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ _

5 = 4a

a = 45

substitusi a = 45 ke f(–2)

0 = – 2a + b

0 = –2(45 ) + b

b = 25

Jadi, sisa = 45 x + 2

5 …………………….(b)


183


Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3 adalah … a. 2x + 6 b. 2x – 6 c. –2x + 6 d. x + 3 e. x – 3 Jawab : a

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) (2x2 + 5x – 3) = (2x – 1)(x + 3)


f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 7………………………(1)

f(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + 0………………...(2) (x + 3)(x – 1) merupakan faktor dari f(x)

sehingga sisa = 0

f(x) = (2x – 1)(x + 3) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

f( 21 ) = 7 = 2

1 a + b

f(–3) = 0 = –3a + b_ _

{ 7 = 321 a = 2

7 a}×72

a = 2

substitusi a = 2 ke f(–3) 0 = – 3a + b 0 = –3(2) + b b = 6

Jadi, sisa = 2x + 6 ………………………….(a) 28. EBTANAS 2002

Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = … a. –1 b. –2 c. 2 d. 9 e. 12 Jawab : e

Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – 4 , maka a = 1, b =0 , c = – 4

berdasarkan bagan di atas diperoleh :

Dari kesamaan di atas dapat diketahui jika: 8 – b = 1 ⇒ b = 8 – 1 = 7

3 + 4a = 23 ⇒ a = 420 = 5

jadi: a + b = 5 + 7 = 12 ………………………(e)

12. FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI

A. Domain Fungsi (DF)

1. F(x) = )x(f , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0

2. F(x) = )x(g)x(f

, DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0

B. Komposisi Fungsi

1. (f o g)(x) = f(g(x))

2. (go f)(x) = g(f(x))

3. (f o go h)(x) = f(g(h(x)))


Diketahui �� = �� − � + 3 dan

�� = 3� − 2. Fungsi komposisi �� adalah … A. 3�� − 4� + 3 B. 3�� − 3� + 7 C. 3�� + 5� + 3 D. 6�� − 12� + 9 E. 9�� − 15� + 9 Jawab : E

�� = �� − � + 3 dan �� = 3� − 2

�� = �� = ��3� − 2� =�3� − 2�� − �3� − 2� + 3 =9�� − 12� + 4 − 3� + 2 + 3 =9�� − 15� + 9 …………(E)

2. UN 2013

Diketahui �� = �� − 5� + 2 dan

�� = 2� − 3. Fungsi komposisi

�� = … A. 4�� + 22� + 26

B. 4�� − 22� + 26

C. 4�� − 2� + 26

D. 2�� − 10� + 1

E. 2�� + 10� − 7

Jawab : B

�� = �� − 5� + 2 dan �� = 2� − 3

�� = �� = ��2� − 3� =�2� − 3�� − 5�2� − 3� + 2 =4�� − 12� + 9 − 10� + 15 + 2 =4�� − 22� + 26 ………(B)

3. UN 2013

Diketahui �� = �� − 4� + 6 dan

�� = 2� + 3. Fungsi komposisi

�� = … A. 2�� − 8� + 5 B. 2�� − 8� + 7 C. 4�� + 4� + 3 D. 4�� + 4� + 15 E. 4�� + 4� + 27 Jawab : C

�� = �� − 4� + 6 dan �� = 2� + 3

�� = �� = ��2� + 3� =�2� + 3�� − 4�2� + 3� + 6 =4�� + 12� + 9 − 8� − 12 + 6 =4x� + 4x + 3 ……………(C)

SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi

185


Diketahui �� = � + 3 dan

�� = �� − 5� + 1. Fungsi komposisi

��= … A. �� + � − 5

B. �� + � + 10

C. �� + � + 13

D. �� − 5� + 13

E. �� − 5� + 4

Jawab : A

�� = � + 3 dan �� = �� − 5� + 1

�� = �� = �� + 3� =�� + 3�� − 5�� + 3� + 1 =�� + 6� + 9 − 5� − 15 + 1

=x� + x-5 ……..…………(A)

5. UN 2013

Diketahui �� = � − 4 dan


��= … A. �� − 3� + 3

B. �� − 3� + 11

C. �� − 11� + 15

D. �� − 11� + 27

E. �� − 11� + 35

Jawab : E

�� = � − 4 dan �� = �� − 3� + 7

�� = �� = �� − 4� =�� − 4�� − 3�� − 4� + 7 =�� − 8� + 16 − 3� + 12 + 7

=x�-11x + 35 ……………(E)

6. UN 2013

Diketahui fungsi �� = 2� + 7 dan


��= …

A. �� + 4� + 2

B. 2�� − 4� + 8

C. 2�� − 12� + 9

D. 4�� + 16� + 8

E. 8�� + 22� + 50

Jawab : D

�� = 2� + 7 dan �� = �� − 6� + 1

�� = �� = ��2� + 7� =�2� + 7�� − 6�2� + 7� + 1 =4�� + 28� + 49 − 12� − 42 + 1 =4x� + 16x + 8 ……………(D)


186


Diketahui fungsi �� = 2� − 1 dan

�� = 3�� − � + 5. Fungsi komposisi

��= … A. 6�� − 4� − 11

B. 6�� − 4� + 9

C. 12�� − 14� + 9

D. 12�� − 10� + 9

E. 12�� − 10� + 3

Jawab : C

�� = 2� − 1 dan �� = 3�� − � + 5

�� = �� = ��2� − 1� =3�2� − 1�� − �2� − 1� + 5 = 3�4�� − 4� + 1� − 2� + 1 + 5 =12�� − 12� + 3 − 2� + 6

=12x�-14x + 9 ……………(C)

8. UN 2012/A13 Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1, dan g(x) = 2x2 – 3. Komposisi fungsi (gοf)(x) = … A. 9x2 – 3x + 1 B. 9x2 – 6x + 3 C. 9x2 – 6x + 6 D. 18x2 – 12x – 2 E. 18x2 – 12x – 1 Jawab : E

f(x) = 3x – 1 g(x) = 2x2 – 3.

(gοf)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x – 1 …………….(E)

9. UN 2012/D49 Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Komposisi fungsi (gof)(x) = .. A. 2x2 + 4x – 9 B. 2x2 + 4x – 3 C. 2x2 + 6x – 18 D. 2x2 + 8x E. 2x2 – 8x Jawab : -

f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 + 2x – 3.

(gοf)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 + 2(2x – 3) – 3 = 4x2 – 12x + 9 + 4x – 6 – 3 = 4x2 – 8x

10. UN 2012/B25 Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x2 + x – 1. komposisi fungsi (fοg)(x) = ... A. x2 + 3x + 3 B. x2 + 3x + 2 C. x2 – 3x + 1 D. x2 + 3x – 1 E. x2 + 3x + 1 Jawab : E

g(x) = x + 1 f(x) = x2 + x – 1.

(fοg)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) – 1 = x2 + 2x + 1 + x + 1 – 1 = x2 + 3x + 1 ..........................(E)


187


Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 – 4x. Komposisi (fοg)(x) =….. A. 2x2 + 8x + 2 D. 2x2 – 8x –2 B. 2x2 – 8x + 2 E. 2x2 – 8x –1 C. 2x2 – 8 + 1 Jawab : C

f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 – 4x. (fοg)(x) = f(g(x))

= f(x2 – 4x) = 2(x2 – 4x) + 1 = 2x2 – 8x + 1 .........................(C)

12. UN 2011 PAKET 12

Diketahui f(x) = 2x + 5 dan

g(x) = 4,4

1 −≠+−

xx

x, maka (fοg)(x) = …

A. 4,4

27 −≠++

xx

x D. 4,

4

187 −≠++

xx

x

B. 4,4

32 −≠++

xx

x E. 4,

4

227 −≠++

xx

x

C. 4,4

22 −≠++

xx

x Jawab : d

(fοg)(x) = f(g(x) ………………….rumus B.1

= f(4

1

+−

x

x)

= 2(4

1

+−

x

x) + 5

= 4

22

+−

x

x + 5

= 4

22)4(5

+−++

x

xx

= 4

22025

+−++

x

xx

= 4,4

187 −≠++

xx

x………………..(d)

13. UN 2011 PAKET 46

Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan

g(x) = 1,1

2 −≠+

xx

x. Rumus (gοf)(x) adalah …

a. 6,6

6 −≠+

xx

x d. 2,

63

56 −≠++

xx

x

b. 1,1

55 −≠++

xx

x e. 2,

63

55 −≠++

xx

x

c. 2,63

106 −≠++

xx

x Jawab : c

(gοf)(x) = g(f(x) ………………….rumus B.1 = g(3x + 5)

= 1)53(

)53(2

+++

x

x

= 2,63

106 −≠++

xx

x………………….(c)

14. UN 2010 PAKET A Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan

g(x) = 2

3,

46

24 ≠−

−x

x

x . Nilai komposisi fungsi

(g ο f)(2) adalah …

a. 41 d. 1

b. 42 e. 8

c. 0 Jawab : d

(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1

= g{3(2) – 5}

= g(1)

= )1(46

2)1(4

−− =

2

2 = 1 …………(d)


188


Diketahui fungsi f(x) = 3,3

1 ≠−+

xx

x , dan

g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g ο f)(2) = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8 Jawab : d

(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1

= g )(3212

−+

= g(–3)

= (–3)2 + (–3) + 1

= 9 – 3 + 1

= 7 ……………………………(d)

16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R didefinisikan

dengan g(x) = 2,2

1 ≠−−

xx

x.

Hasil dari fungsi (fo g)(x) adalah …

a. 8,8

132 −≠++

xx

x

b. 2,2

132 −≠++

xx

x

c. 2,2

132 ≠+−−−

xx

x

d. 2,2

138 ≠+−

−x

x

x

e. 2,2

78 ≠+−+

xx

x

Jawab : d

(fοg)(x) = f(g(x))

= ( )x

xf −−

21

= ( ) 53 21 −−

−x

x

= x

x

x

x

−−−

−−

2

)2(5

2

33

= x

xx

−+−−

2

51033

= 2,2

138 ≠+−

−x

x

x …………………..(d)

17. UN 2007 PAKET A Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (fog)(x) = –4, nilai x = … A. –6 D. 3 atau –3

B. –3 E. 6 atau –6

C. 3 Jawab : c

(fοg)(x) = f(g(x)) = f(2x – 6) = (2x – 6)2 – 4

–4 = 4x2 – 24x + 36 – 4 0 = x2 – 6x + 9 0 = (x – 3)(x – 3) x = 3 ………………………………….(c)

18. UN 2007 PAKET B

Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 + 4x – 3. Jika (gof)(x) = 2, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –3 atau 3 b. –2 atau 2 c. –1 atau 2 d. 1 atau –2 e. 2 atau –3

Jawab : a

(gοf)(x) = g(f(x))

= g(x – 2)

2 = (x – 2)2 + 4(x – 2) – 3

2 = x2 – 4x + 4 + 4x – 8 – 3

0 = x2 – 9

0 = (x + 3) (x – 3)

x = {–3, 3} …………………………(a)


189


Jika g(x) = x + 3 dan (fo g)(x) = x2 – 4, maka f(x – 2) = … a. x2 – 6x + 5 b. x2 + 6x + 5 c. x2 – 10x + 21 d. x2 – 10x – 21 e. x2 + 10x + 21

Jawab : c

f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1

f(x + 3) = x2 – 4 ………. misal : x + 3 = y f(y) = (y – 3)2 – 4 x = y – 3 = y2 – 6y + 5 f(x – 2) = (x – 2)2 – 6(x – 2) + 5

= x2 – 4x + 4 – 6x + 12 + 5 = x2 – 10x + 21 ……………………..(c)

20. UN 2005 Diketahui g(x) = 2x + 5 dan

(f ο g) = 4x2 + 20x + 23. Rumus fungsi f(x) adalah … a. x2 – 2 b. 2x2 – 1

c. 21 x2 – 2

d. 21 x2 + 2

e. 21 x2 – 1

Jawab : c

f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1 f(2x + 5) = 4x2 + 20x + 23

misal : 2x + 5 = y

x = 21 (y – 5), maka pers. menjadi

f(y) = 4{21 (y – 5)}2 + 20(2

1 (y – 5)) + 23

= 4{ 41 (y2 – 10y + 25)} + 10(y – 5) + 23

= y2 – 10y + 25 + 10y – 50 + 23 = y2 – 2

f(x) = x2 – 2 ………………………….(a)

21. UN 2004 Suatu pemetaan f : R → R, g : R → R dengan

(q ο f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) = … a. x2 + 2x + 1 b. x2 + 2x + 2 c. 2x2 + x + 2 d. 2x2 + 4x + 2 e. 2x2 + 4x + 1

Jawab : a

g(f(x)) = (gοf)(x) …………….rumus B.1

2f(x) + 3 = 2x2 + 4x + 5

2f(x) = 2x2 + 4x + 2

f(x) = x2 + 2x + 1 …………………….(a)

22. UAN 2003 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = … a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150

Jawab : b

g(f(x)) = f(g(x)) g(2x + p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

3p – p = 6x – 6x + 240 – 120 2p = 120 p = 60 ………………………(b)


190


Jika f(x) = 1x + dan (fo g)(x) = 2 1x − , maka fungsi g adalah g(x) = … a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x – 3 e. 5x – 4

Jawab : c

(fοg)(x) = f(g(x))

2 1−x = 1)( +xg ….. kuadratkan kedua ruas

4(x – 1) = g(x) + 1

4x – 4 – 1 = g(x)

4x – 5 = g(x) …………………………….(c)


191

C. Invers Fungsi 1. (f o g)– 1 (x) = (g– 1

o f– 1)(x)

2. f(x) = dcx

bax

++

, maka f– 1(x) = acx

bdx

−+−

3. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax 4. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013

Diketahui 5

2)(

+=

x

xxg ; 5−≠x . Invers fungsi

�� adalah �!�� = …

A. 2

5

−x

x; 2≠x D.

2

5

−−x

x; 2−≠x

B. x

x

−2

5; 2≠x E.

2

5

−− x

x; 2−≠x

C. 2

5

+x

x; 2−≠x Jawab : D

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

5

2)(

+=

x

xxg =

5

02

++

x

x diperoleh :

�!�� = 2

05

−+−

x

x

= 2

5

−−x

x; 2−≠x …………..(D)

2. UN 2013

Diketahui 1

3)(

−+=

x

xxg ; 1≠x . Invers fungsi �

adalah �!�� = …

A. 1

3

−+

x

x; 1≠x D.

3

1

++

x

x; 3−≠x

B. 1

3

++

x

x; 1−≠x E.

3

1

−−

x

x; 3≠x

C. 3

1

−+

x

x; 3≠x Jawab : A

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

1

3)(

−+=

x

xxg diperoleh

�!�� = 1

3

−+

x

x; 1≠x …………………(A)

3. UN 2013

Diketahui 32

1)(

−+=

x

xxg ;

2

3≠x . Invers fungsi

� adalah �!�� = …

A. 12

13

−−

x

x;

2

1≠x

D. 12

13

+−

x

x;

2

1−≠x

B. 12

13

−+

x

x;

2

1≠x

E. 12

13

++−

x

x;

2

1−≠x

C. 12

13

−−−

x

x;

2

1≠x

Jawab : B

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

32

1)(

−+=

x

xxg diperoleh

�!�� = 12

13

−+

x

x;

2

1≠x …………………(B)


192


Diketahui 12

1)(

+−=

x

xxg ;

2

1−≠x . Invers fungsi

�� adalah �!�� = …

A. 1

12

−+

x

x; 1≠x D.

1

21

+−x

x; 1−≠x

B. x

x

21

1

−+

; 2

1≠x

E. 1

12

+−

x

x; 1−≠x

C. x

x

−−

1

2; 1≠x Jawab : B

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

12

1)(

+−=

x

xxg diperoleh

�!�� = 12

1

−−−

x

x × 1

1

−−

= x

x

21

1

−+

; 2

1≠x …………………(B)

5. UN 2013

Diketahui 72

4)(

+−=

x

xxg ;

2

7−≠x . Invers

fungsi �� adalah �!�� = …

A. 12

47

+−

x

x;

2

1−≠x

D. 72

4

−+

x

x;

2

7≠x

B. x

x

47

2

−−

; 4

7≠x

E. x

x

21

47

−+

; 2

1≠x

C. 4

72

+−

x

x; 4−≠x Jawab : E

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

72

4)(

+−=

x

xxg diperoleh

�!�� = 12

47

−−−

x

x × 1

1

−−

= x

x

21

47

−+

; 2

1≠x …………………(E)

6. UN 2013

Diketahui fungsi 14

23)(

−+=

x

xxg ;

4

1≠x . Invers

fungsi �� adalah �!�� = …

A. 34

2

−+

x

x;

4

3≠x

D. 12

43

+−

x

x;

2

1−≠x

B. 23

14

+−

x

x;

3

2−≠x

E. 2

34

+−

x

x; 2−≠x

C. 12

43

−+

x

x;

2

1≠x

Jawab : A

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

14

23)(

−+=

x

xxg diperoleh

�!�� = 34

2

−+

x

x;

4

3≠x ………………..(A)


193


Diketahui 13

25)(

−+=

x

xxf ;

3

1≠x . Invers fungsi

�� adalah �!�� = …

A. 13

52

+−x

x;

3

1−≠x

D. 13

2

+−

x

x;

3

1−≠x

B. 25

13

+−

x

x;

3

1−≠x

E. 53

2

+−

x

x;

3

5−≠x

C. 53

2

−+

x

x;

3

5≠x

Jawab : C

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

13

25)(

−+=

x

xxf diperoleh

�!�� = 53

2

−+

x

x;

3

5≠x ………………..(C)

8. UN 2013

Diketahui 25

43)(

−+=

x

xxf ;

5

2≠x . Bila �!��

adalah Invers dari ��, �!�� = …

A. 24

53

−+

x

x;

2

1≠x

D. 42

35

+−

x

x; 2−≠x

B. 25

43

+−

x

x;

5

2≠x

E. 42

35

−+

x

x; 2≠x

C. 35

42

−+

x

x;

5

3≠x

Jawab : C

Ingat: bahwa untuk

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

25

43)(

−+=

x

xxf diperoleh

�!�� = 35

42

−+

x

x;

5

3≠x ………………..(C)

9. UN 2011 PAKET 12 Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …

• Tentukan rumus persamaan grafik Grafik melalui titik (8, -3), maka:

-3 = a log 8 ⇒ a– 3 = 8 (a–1) 3 = 23 a–1 = 2

a1 = 2

a = 21

Jadi, persamaan grafiknya adalah

y = f(x) = xlog21

Maka f’(x) = x

21 ………………………….(d)

Ingat rumus C.3

0

(1,0) 8

– 3

y = alog x Y

X

a. y = 3x

b. y =

c. y =

d. y =

e. y = 2x Jawab : d


194


Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …

• Tentukan rumus persamaan grafik

Grafik melalui titik (3, 1), maka:

1 = a log 3 ⇒ a1 = 3

a = 3

Jadi, persamaan grafinya adalah

y = f(x) = 3 log x

Maka f’(x) = 3x ………………………….(a)

Ingat rumus C.3

11. UN 2010 PAKET A/B Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini!

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah…. A. y = 2log x D. y = –2 log x

B. y = xlog21

E. y = –21

log x

C. y = 2 log x Jawab : b

y = f(x) = 2– x = (2–1) x = ( )x21 , maka

f – 1(x) = xlog21

……………………(b)

Ingat rumus C.4

0 1

1

3

y = alog x

Y

X

0

y = 2– x Y

X

a. y = 3x

b. y =

c. y =

d. y = e. y = 3– x Jawab : a


195


Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut!

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah … A. 2logx D. 2logx

B. xlog21

E. xlog21−

C. 2 log x Jawab : b

• Tentukan rumus persamaan grafik

Grafik melalui titik (– 1 , 2) sehingga: y = ax 2 = a–1

2 = a1

a = 21

jadi: y = f(x) = ( )x21

f – 1 (x) = xlog21

……………………(b)

Ingat rumus C.4

13. UN 2010 PAKET A Jika f – 1(x) adalah invers dari fungsi

f(x) = 3,3

42 ≠−−

xx

x . Maka nilai f – 1(4) = …

a. 0 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 Jawab : b

INGAT:

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

f(x) = 3

42

−−

x

x

f – 1(x) = 2

43

−−

x

x

f – 1(4) = 24

4)4(3

−− =

2

8 = 4 ……………..(b)

14. UN 2010 PAKET A

Dikatahui f(x) = 2,2

51 −≠+

−x

x

x dan f – 1(x) adalah

invers dari f(x). Nilai f – 1 ( –3 ) = …

a. 34

b. 2

c. 25

d. 3

e. 27

Jawab : e

INGAT:

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

f(x) = 2

51

+−

x

x = 2

15

++−

x

x

f – 1(x) = 5

12

++−

x

x

f – 1(–3) = 53

1)3(2

+−+−−

= 2

7 ………………………(e)

1

2

4

–2 –1 0 1 2 3

¼

y = ax Y

X


196


Fungsi f : R → R didefinisikan dengan

f(x) = 2

1,

12

23 ≠−+

xx

x .

Invers dari f(x) adalah f – 1 (x) = …

A. 2

3,

32

2 −≠+

−x

x

x D. 2

3,

32

2 ≠−

+x

x

x

B. 2

3,

32

2 ≠+

−x

x

x E. 2

3,

32

2 −≠+

+x

x

x

C. 2

3,

23

2 ≠−+

xx

x Jawab : d

INGAT:

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

f(x) = 12

23

−+

x

x

f – 1 (x) = 32

2

−+

x

x ………………… ………(d)

16. UAN 2003 Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai

f(x) = 34

4x31x2 x, −

+− ≠ .

Invers dari fungsi f adalah f-1(x) = …

a. 32

2x31x4 x, −

+− ≠

b. 32

2x31x4 x, ≠−

+

c. 32

x321x4 x, ≠−

+

d. 32

2x31x4 x, ≠−

−

e. 32

2x31x4 x, −

++ ≠

Jawab : c

INGAT:

f(x) = dcx

bax

++


bdx

−+−

f(x) = 43

12

+−

x

x

f– 1(x) = 1

1

23

14

−−×

−−−

x

x

= 3

2,

23

14 ≠+−+

xx

x …………………(c)

13. LIMIT FUNGSI A. Limit fungsi aljabar

Jika 0

0

)(

)( =ag

af, maka

)(

)(lim

xg

xfax→

diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan

2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar

3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan

� )a('g

)a('f

)x(g

)x(flim

ax=

→

Cara Cepat

1) .limedxc

bxax +−→

= .1

2 c

d

b ⋅×

−

2) .limfex

dcxbax −

+−→

= .2

1

be

c

⋅×

−


Nilai ....93

5lim

0=

+−→ x

xx

A. –30 B. –27 C. 15 D. 30 E. 36 Jawab : A

Cara biasa:

x

xx +−→ 93

5lim

0

⇔ x

x

x

xx ++

++×+−→ 93

93

93

5lim

0

⇔ )9(9

)93(5lim

0 x

xxx +−

++→

⇔ x

xxx −

++→

)93(5lim

0

⇔ )93(5lim0

xx

++−→

= )093(5 ++−

= –5(3 + 3) = –30 ………………..(A)

Cara cepat

x

xx +−→ 93

5lim

0=

1

32

1

5 ××

−

= –30

SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi

198


Nilai 1

lim→x

= ….

A. 8 B. 4 C. 0 D. – 4 E. – 8 Jawab : B

Cara biasa:

1lim

→x

⇔ 1

lim→x 32

32

32

1

++++×

+−−

x

x

x

x

⇔ )3(4

)32)(1(lim

1 +−++−

→ x

xxx

⇔ )1(

)32)(1(lim

1 x

xxx −

++−→

⇔ )32(lim1

++→

xx

= 312 ++

= 2 + 2 = 4 ………………………..(B)

Cara cepat

32

1lim

1 +−−

→ x

xx

= 1

22

1

1 ××

−−

= 4

3. UN 2012/B25

Nilai 3

12lim

3 −+−

→ x

x

x = ...

A. 41−

B. 21−

C. 1 D. 2 E. 4 Jawab : A

Cara Biasa

3

12lim

3 −+−

→ x

x

x

⇔ )12(

)12(

)3(

)12(lim

3 ++++×

−+−

→ x

x

x

xx

⇔

⇔

⇔ )12(

1lim

3 ++−

→ xx=

132

1

++−

= 4

1−...............................(A)

Cara cepat

3

12lim

3 −+−

→ x

x

x=

22

1

1

1

××

−

= 4

1−

32

1

+−−x

x

32

1

+−−x

x

)12)(3(

)1(4lim

3 ++−+−

→ xx

xx

)12)(3(

)3(lim

3 ++−−−

→ xx

xx


199


Nilai = …

a. 0 b. 4 c. 8 d. 12 e. 16 Jawab : b

Cara Biasa

)2(

)2(

)2(

)4(lim

4 ++×

−−

→ x

x

x

x

x

⇔ )4(

)2)(4(lim

4 −+−

→ x

xx

x

⇔ 2lim4

+→

xx

= 24 +

= 2 + 2 = 4 ………(b)

Cara cepat

= 1

22

1

1 ××

= 4 5. UN 2011 PAKET 46

Nilai = …

a. 22 b. 2

c. 2 d. 0

e. 2− Jawab : a

Cara Biasa

)2(

)2(

)2(

)4(lim

4 ++×

−−

→ x

x

x

x

x

)2(

)2(

)2(

)2(lim

2

2 ++×

−−

→ x

x

x

x

x

⇔)2(

)2)(2(lim

2

2

2 −+−

→ x

xx

x

⇔ 2lim2

+→

xx

= 22 +

= 22 ……………….…..(a) Cara cepat : Gunakan dalil l’Hospital

=

→ 1

2lim

2

x

x= 22

2

)4(lim

4 −−

→ x

x

x

2

)4(lim

4 −−

→ x

x

x

2

2lim

2

2 −−

→ x

x

x

2

2lim

2

2 −−

→ x

x

x


200


Nilai dari = ….

a. 3 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Jawab : c

Cara Biasa

)99(

)99(

)99(

3lim

0 xx

xx

xx

xx −++

−++×−−+→

⇔ )9(9

)99(3lim

0 xx

xxx

x −−+−++

→

⇔ x

xxxx 2

)99(3lim

0

−++→

⇔ )99(23 + = )6(2

3

= 9 ………………..………..(c) Cara cepat

=

= 1

32

2

3 ××

= 9

7. UN 2010 PAKET B

Nilai dari

−−

−→ 4

8

2

2lim

20 xxx= ….

a. 41

b. 21

c. 2 d. 4

e. ∞ Jawab : b

−−

−→ 4

8

2

2lim

20 xxx…… samakan penyebut

⇔ 4

8

)2)(2(

)2(2lim

20 −−

+−+

→ xxx

x

x

⇔ )2)(2(

842lim

0 +−−+

→ xx

x

x

⇔ )2)(2(

42lim

0 +−−

→ xx

x

x……………....faktorkan

⇔ )2)(2(

)2(2lim

0 +−−

→ xx

x

x =

22

2

+

= 21 ………….……….(b)

−−+→ xx

xx 99

3lim

0

−−+→ xx

xx 99

3lim

0 1

092

)1(1

3 +××

−−


201


Nilai 2145

2lim

2 −++

−→ x

xx

adalah …

a. 4 b. 2 c. 1,2 d. 0,8 e. 0,4 Jawab : d

Cara Biasa

2145

2145

2145

2lim

2 ++++×

−++

−→ x

x

x

xx

⇔4)145(

)2145)(2(lim

2 −++++

−→ x

xxx

⇔105

)2145)(2(lim

2 ++++

−→ x

xxx

……...faktorkan

⇔)2(5

)2145)(2(lim

2 ++++

−→ x

xx

x

⇔5

)2145(lim

2

++−→

xx

⇔5

214)2(5 ++−=

5

24 + = = 0,8…….(d)

Cara Cepat

= 1

22

5

1 ××

=

5

4 = 0,8


Nilai dari 82

65lim

2

2

2 −++−

→ xx

xx

x= …

a. 2 b. 1

c. 31

d. 21

e. 61−

Jawab : e

Cara I. faktorkan

82

65lim

2

2

2 −++−

→ xx

xx

x =

)4)(2(

)3)(2(lim

2 +−−−

→ xx

xx

x

= 4

3lim

2 +−

→ x

x

x

= 42

32

+−

= 61− …………(e)

Cara II. Gunakan dalil l’Hospital

82

65lim

2

2

2 −++−

→ xx

xxx

= 22

52lim

2 +−

→ x

xx

…….turunkan

= 2)2(2

5)2(2

+−

= 61−

10. UN 2007 PAKET A

Nilai 1

45lim

3

2

1 −+−

→ x

xxx

= …

a. 3

b. 2 21

c. 2 d. 1 e. –1 Jawab : e

Gunakan dalil l’Hospital

1x

4x5xlim

3

2

1x −+−

→ =

21 3

52lim

x

x

x

−→

…….turunkan

= 2)1(3

5)1(2 −

= 3

3− = – 1 …………….(e)

5

4

2145

2lim

2 −++

−→ x

xx


202


Nilai 74

9lim

2

2

3 +−

−→ x

xx

= …

a. 8 b. 4

c. 49

d. 1 e. 0 Jawab : a

Cara Biasa

)74(

)74(

74

9lim

2

2

2

2

3 ++

++×+−

−→ x

x

x

xx

⇔ )7(16

)74(9lim

2

22

3 +−++−

→ x

xxx

⇔ 2

22

3 9

)74(9lim

x

xxx −

++−→

⇔ )74(lim 2

3++

→x

x = 734 2 ++

= 164+

= 4 + 4 = 8 ………….(a)

Cara Cepat

74

9lim

2

2

3 +−

−→ x

xx

= 1

42

2

2lim

3

××

−−

→ x

xx

= 8

12. UN 2006

Nilai = …

a. 4 b. 2 c. 1 d. 0 e. –1 Jawab : c

Cara Biasa

)2424(

)2424(2424

0lim

xx

xxx

xx

x −++−++−−+

→×

⇔ )2424(

)24(24lim

0 xxx

xxx −++

−−+→

⇔

⇔ xxx 2424

4lim

0 −++→

⇔ )0(24)0(24

4

−++=

44

4

+

= 22

4

+ = 1 …………..(c)

Cara Cepat

x

xxx

2424lim

0

−−+→

⇔

⋅+××

−−

0242

1

1

)2(2 = 1

x

x24x24lim

0x

−−+→

)2424(

4lim

0 xxx

xx −++→


203


Nilai

−−

−→ 9x

6

3x

1lim

23x= …

a. 61−

b. 61

c. 31

d. 21

e. 1 Jawab : b

Cara I. faktorkan

−−

−→ 9x

6

3x

1lim

23x …...samakan penyebut

⇔

+−−

+−+

→ )3)(3(

6

)3)(3(

3lim

3 xxxx

x

x

⇔ )3)(3(

3lim

3 +−−

→ xx

x

x

⇔ 3

1lim

3 +→ xx =

33

1

+ =

6

1 ………………… (b)

Cara II. Gunakan dalil l’Hospital

−−

−→ 9x

6

3x

1lim

23x ….samakan penyebut

⇔

−−

−+

→ 9

6

9

3lim

223 xx

x

x

⇔ 9

3lim

23 −−

→ x

x

x =

xx 2

1lim

3→…………….. turunkan

= )3(2

1 =

6

1 ……………..(b)

14. UAN 2003

Nilai dari 53

4lim

2

2

2 +−

−→ x

xx

= …

a. –12 b. –6 c. 0 d. 6 e. 12 Jawab: d

Cara Biasa

lim2x→

⇔ lim2x→ )5(9

53)4(2

22

+−++−

x

xx

⇔ lim2x→ )4(

)53)(4(2

22

x

xx

−++−

⇔ lim2x→

53 2 ++ x = 6 ………… (d)

Cara Cepat

= 1

32

2

2 ××

−−

x

x= 6

53

53

53

42

2

2

2

++

++×+−

−

x

x

x

x

53

4lim

2

2

2 +−

−→ x

xx


204

B. Limit fungsi trigonometri

1. b

a

bx

ax

bx

ax

xx==

→→ sinlim

sinlim

00

2. b

a

bx

ax

bx

ax

xx==

→→ tanlim

tanlim

00

Catatan

Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. sin2 x + cos2 x = 1

b. 1 – cos A =

c. xsin

1= csc x

d. xcos

1 = secan x

e. cos A – cos B = – 2 sin 21 (A + B) ⋅ sin 2

1 (A – B)

f. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}


Nilai dari xx

xx 2tan

2sin4lim

2

0→= …

A. -8 D. 4 B. -4 E. 8 C. 0 Jawab : E

xx

xx 2tan

2sin4lim

2

0→ =

xx

xxx 2tan

2sin2sin4lim

0

⋅→

= 21

224

⋅⋅⋅

= 8………….(E)

2. UN 2013

Nilai dari )3sin(

)62tan(lim

3 −−

→ x

xxx

= …

A. 0

B. �

�

C. 2 D. 3 E. 6 Jawab : E

)3sin(

)62tan(lim

3 −−

→ x

xxx

=)3sin(

)3(2tanlim

3 −−

→ x

xxx

= )3(

)3(2lim

3 −−⋅

→ x

xxx

= 3 · 2 = 6 ……………………….(E)

3. UN 2013

Nilai xx

xx 2tan2

4cos1lim

2

0

−→

A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 E. 14 Jawab : B

xx

xx 2sin

2cos1lim

2

0

−→

= xx

xx 2tan2

4sinlim

2

0→

= xx

xxx 22

44lim

0 ⋅⋅

→

= 4 ………………………(B)

)(sin2212 A


205


Nilai xx

xx 2sin

2cos1lim

2

0

−→

A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 E. -4 Jawab : A

xx

xx 2sin

2cos1lim

2

0

−→

= xx

xx 2sin

2sinlim

2

0→

= xx

xxx 2

22lim

0 ⋅⋅

→

= 2 ………………………(A)

5. UN 2013

Nilai dari 4

)2tan()12(lim

22 −−+

→ x

xxx

A. 5 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1,25 Jawab : E

4

)2tan()12(lim

22 −−+

→ x

xxx

= )2)(2(

)2)(12(lim

2 −+−+

→ xx

xxx

= 2

12lim

2 ++

→ x

xx

= 22

1)2(2

++

= 1,25 ……………(E)

6. UN 2013

Nilai dari 12

)1(sinlim

2

2

1 +−−

→ xx

xx

= …

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

E. ∞ Jawab : B

12

)1(sinlim

2

2

1 +−−

→ xx

xx

= )1)(1(

)1)(1(lim

1 −−−−

→ xx

xxx

= 1…………………(B)

7. UN 2013

Nilai dari )2(sin

)2tan()4(lim

2

2

2 ++−

→ x

xxx

A. -4 B. -3 C. 0 D. 4

E. ∞ Jawab : C

)2(sin

)2tan()4(lim

2

2

2 ++−

→ x

xxx

⇔)2)(2(

)2)(2)(2(lim

2 +++−+

→ xx

xxxx

= 2 – 2 = 0……..(C)


206


Nilai xx

x

x tan2

1sin2

lim

2

0→= …

A. -2 D. �

�

B. -1 E. 1

C. −�

� Jawab : D

xx

x

x tan2

1sin2

lim

2

0→ =

xx

xx

x ⋅

⋅⋅

→2

1

2

12

lim0

= �

� ……………(D)

9. UN 2012/C37

Nilai ....2tan

2cos1lim

0=−

→ xx

xx

A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 Jawab : D

xx

xx 2tan

2cos1lim

0

−→

=

= 21

112

⋅⋅⋅

= 1 …………………..(D)

10. UN 2012/D49

Nilai = ….

A. 4 B. 2 C. – 1 D. – 2 E. – 4 Jawab : E

⇔ xx

xx 2tan

)4cos1(lim

0

−−→

⇔ xx

xxx 2tan

2sin2sin2lim

0

⋅−→

= 21

222

⋅⋅⋅−

= –4 …….......(E)

11. UN 2012/B25

Nilai x

xxx 2cos1

tanlim

0 −→ = ...

A. 21−

B. 0

C. 21

D. 1 E. 2 Jawab : C

x

xxx 2cos1

tanlim

0 −→=

= 112

11

⋅⋅⋅

= 21 .............................(C)

12. UN 2011 PAKET 12

Nilai

−→ xx

x

x 2sin2

2cos1lim

0= …

a. 81 d.

21

b. 61 e. 1

c. 41 Jawab : d

−→ xx

x

x 2sin2

2cos1lim

0 …………… identitas a.

⇔ xx

x

x 2sin2

sin2lim

2

0→

⇔ xx

xx

x 2sin2

sinsin2lim

0

⋅→

= 22

112

⋅⋅⋅

=2

1………(d)

xx

xxx 2tan

sinsin2lim

0

⋅→

xx

xx 2tan

14coslim

0

−→

xx

xx 2tan

14coslim

0

−→

xx

xxx sinsin2

tanlim

0 ⋅→


207


Nilai

−−

→ x

x

x 4cos1

2cos1lim

0= …

a. 21− d.

161

b. 41− e.

41

c. 0 Jawab : e

−−

→ x

x

x 4cos1

2cos1lim

0

⇔ x

x

x 2sin2

sin2lim

2

2

0→

⇔ 2

0 2sin

sinlim

→ x

x

x=

2

2

1

=

4

1………..…(e)

14. UN 2010 PAKET A

Nilai dari

→ x

xx

x 5

3sin4coslim

0= ….

a. 35 d. 5

1

b. 1 e. 0

c. 53 Jawab : c

→ x

xxx 5

3sin4coslim

0

⇔x

xxxx

x 5

)}34sin()34{sin(lim 2

1

0

−−+→

⇔x

xxx 10

sin7sinlim

0

−→

⇔ = 101

107 − =

106 =

53 …………….…….(c)

15. UN 2010 PAKET B

Nilai dari

+→ x

xx

x 6

5sinsinlim

0= ….

A. 2 D. 31

B. 1 E. –1

C. 21 Jawab : B

+→ x

xx

x 6

5sinsinlim

0

⇔ 65

61 + =

66 = 1 ……………………(b)


Nilai dari )62cos(22

96lim

2

3 +−++

−→ x

xxx

adalah ..

a. 3 b. 1

c. 21

d.

e. 41

Jawab : e

)62cos(22

96lim

2

3 +−++

−→ x

xxx

⇔ ))62cos(1(2

)3(lim

2

3 +−+

−→ x

xx

⇔ )3(sin2

)3(

2

1lim

2

2

3 ++×

−→ x

xx

⇔ 2

1

2

1lim

3×

−→x = 4

1 ………………….(e) 31


208


Nilai x6cos1

x3sinx2lim

0x −→= …

a. –1

b. –31

c. 0

d. 31

e. 1 Jawab : d

x6cos1

x3sinx2lim

0x −→

⇔ x

xx

x 3sin2

3sin2lim

20→

⇔ xx

xxx 332

32lim

0 ⋅⋅⋅

→=

3

1…..…………..(d)

18. UN 2007 PAKET B

Nilai 2x3x

)2xsin(lim 22x +−

−→

= …

A. –21 D.

�

�

B. –31 E. 1

C. 0 Jawab : e

2x3x

)2xsin(lim 22x +−

−→

⇔ )2)(1(

)2sin(lim

2 −−−

→ xx

x

x

⇔ 1

1lim

2 −→ xx =

12

1

− = 1 …………….(e)

19. UN 2006

Nilai

2x

6

6

x

sinxcoslim

3−

−π

π

→ π= …

a. –21 3

b. –31 3

c. 3

d. –2 3

e. –3 3

Jawab : c


2x

6

6

x

sinxcoslim

3−

−π

π

→ π …………..…..turunkan

⇔

210

0sinlim

3 −−−

→

x

x π

⇔ xx

sin2lim3π→

= 3sin2 π

= 32 21⋅ = 3 …….…(c)

20. UN 2005

Nilai )3x2x(x2

x12sinlim 20x −+→

= …

a. –4 b. –3 c. –2 d. 2 e. 6 Jawab : c

)3x2x(x2

x12sinlim 20x −+→

⇔ x

x

xxx 2

12sin

32

1lim

20×

−+→

⇔ 2

12

32

1lim

20×

−+→ xxx

⇔ 6300

1 ×−+

= 631 ×− = – 2 …………….(c)


209


Nilai 20x x

x4cos1lim

−→

= …

a. –8 b. –4 c. 2 d. 4 e. 8 Jawab : e

20x x

x4cos1lim

−→

⇔ 2

2

0

2sin2lim

x

x

x→

⇔ x

x

x

x

x

2sin2sin2lim

0⋅

→

⇔ 2 · 2 · 2 = 8 ………………….…………(e)

22. UAN 2003

Nilai dari xx

x

x sincos

2coslim

4−→π

= …

a. – 2

b. –21 2

c. 21 2

d. 2

e. 2 2

Jawab: d


lim4

x π→ xsinxcos

x2cos

−………..turunkan

⇔ lim4

x π→ xx

x

cossin

2sin2

−−−

⇔

44

2

cossin

sin2ππ

π

+=

22

12

21

21 +

⋅

= 2

2= 2 …………..… (d)

23. EBTANAS 2002

π−

−

π→ 41

xcos1

xsin1

x xlim

41

= …

a. –2 2

b. – 2 c. 0

d. 2

e. 2 2

Jawab : a


ππ41cos

1sin

1

41

lim−

−

→ xxx

x

⇔ ππ 4

1

seccsclim

41 −

−→ x

xx

x……………… turunkan

⇔ 1

tanseccotcsclim

41

xxxx

x

⋅−⋅−→ π

⇔ ππππ 41

41

41

41 tanseccotcsc ⋅−⋅−

⇔ 1212 ⋅−⋅− = –2 2 ………………(a)

24. EBTANAS 2002

Nilai dari x2tanx

x5cosxcoslim

0x

−→

= …

a. –4 b. –2 c. 4 d. 6 e. 8

Jawab : d

x2tanx

x5cosxcoslim

0x

−→

⇔ xx

xx

x 2tan

)4(sin)6(sin2lim 2

121

0

−⋅−→

⇔ xx

xxx 2tan

2sin3sin2lim

0

⋅→

⇔ xx

xxx 2

232lim

0 ⋅⋅⋅

→ = 6…………………..(d)


210

C. Limit Mendekati Tak Berhingga

1. ...dxcx

...bxaxlim

1mm

1nn

x ++++

−

−

∞→= p , dimana:

a. p = c

a, jika m = n

b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m

2. ( )dcxbaxlimx

+±+∞→

= q, dimana:

a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c

3. a

qbrqxaxcbxax

x 2lim 22 −=

++−++

∞→ rumus ini dapat dikembangkan lagi menjadi

bentuk:

i) a

pdbdpxcbxax

x 2

2)lim 2 −=

+−++

∞→,………..dengan p2 = a

ii)a

qbcrqxaxcbx

x 2

2lim 2 −=

++−+

∞→, …….…… dengan b2 = a

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Nilai dari

x

xxxxx 2

334345lim

22 +−++−∞→

A. 0

B. �

�√3

C. √3

D. 2√3

E. ∞

Jawab : C

Karena derajat pembilang = derajat penyebut, maka gunakan rumus C.1.a

x

xxxxx 2

334345lim

22 +−++−∞→

⇔ 2

33 += √3 …………………………(C)

2. UN 2013 Nilai dari

)3164684(lim 22 −+−+−∞→

xxxxx

= …

A. –6 B. –4 C. 4 D. 6 E. 10 Jawab : A

Gunakan rumus C.3

)3164684(lim 22 −+−+−∞→

xxxxx

= a

qb

2

−

⇔ 42

168−−=

22

24

⋅−

= – 6 ……………….(A)


211


Nilai dari )12434(lim 2 +−++∞→

xxxx

= …

A. −"

�

B. 0

C. �

�

D. "

�

E. ∞

Jawab : D

Gunakan rumus C.3.i)

)12434(lim 2 +−++∞→

xxxx

= a

pdb

2

2−

⇔ 42

)1)(2(23 −−=

22

43

⋅+

= 4

7 ……………….(D)

4. UN 2013

Nilai dari )3516925(lim 2 +−−−∞→

xxxx

= …

A. −�#

�$

B. −#

�$

C. ��

�$

D. �#

�$

E. ∞

Jawab : C


)3516925(lim 2 +−−−∞→

xxxx

= a

pdb

2

2−

⇔ 252

)3)(5(29 −−−=

52

309

⋅+−

= 10

21 …………(C)

5. UN 2013

Nilai dari )42384(lim 2 −−+−∞→

xxxx

= …

A. –8 B. –6 C. 2 D. 6 E. 8 Jawab : B


)42384(lim 2 −−+−∞→

xxxx

= a

pdb

2

2−

⇔ 42

)4)(2(28 −−−−=

22

168

⋅−−

= – 6 ………(B)

6. UN 2013

Nilai ))13(169(lim 2 +−−−∞→

xxxx

= …

A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawab : A


))13(169(lim 2 +−−−∞→

xxxx

= a

pdb

2

2−

⇔ 92

)1)(3(26 −−−−=

32

66

⋅−−

= – 2 ………(A)


212


Nilai dari )564)12((lim 2 −−−−∞→

xxxx

= …

A. 4

B. 2

C. 1

D. �

�

E. �

�

Jawab : D

Gunakan rumus C.3.ii)

)564)12((lim 2 −−−−∞→

xxxx

= a

qbc

2

2 −

⇔ 42

)6()1)(2(2 −−−=

22

64

⋅+−

= 2

1…………(D)


Nilai x

xx

x 4

)9345lim

+−+∞→

= …

a. 0

b. 21

c. 1 d. 2 e. 4 Jawab : a

Soal ini bisa langsung dijawab tanpa perlu dihitung terlebih dahulu. Gunakan rumus C.2) Karena derajat pembilang < derajat penyebut, maka:

x

xx

x 4

)9345lim

+−+∞→

= 0 ……….(a)

9. UN 2005

Nilai ( )12)54(lim +−+∞→

xxxx

= …

A. 0 D. 49

B. 41 E. ∞

C. 21 Jawab : D


( )12)54(lim +−+∞→

xxxx

= a

pdb

2

2−

⇔ 42

)1)(2(25 −−=

22

45

⋅+

= 4

9 …………(D)

10. UAN 2003

Nilai

+−−+

∞→6x3x4)1x2(lim

2

x =

…

a. 43

b. 1

c. 47

d. 2

e. 25

Jawab : c


+−−+

∞→6x3x4)1x2(lim

2

x=

a

qbc

2

2 −

⇔ 42

)3()1)(2(2 −−=

22

34

⋅+

= 4

7………(C)


213


Nilai )x5xx(lim2

x−−

∞→= …

a. 0 b. 0,5 c. 2 d. 2,5 e. 5 Jawab : d


)x5xx(lim2

x−−

∞→=

a

qbc

2

2 −

⇔ 12

)5()0)(1(2 −−=

2

50 += 2,5………(D)

14. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:

1. y = u + v, ⇒ y’ = u’+ v’

2. y = c·u, ⇒ y’= c· u’

3. y = u·v, ⇒ y’= v· u’ + u· v’

4. y = v

u, ⇒ y’= (v· u’ – u· v’) : v2

5. y = un, ⇒ y’= n·un – 1 · u’

6. y = sin u, ⇒ y’= cos u· u’

7. y = cos u, ⇒ y’= – sin u·u’

8. y = tan u, ⇒ y’= sec2 u·u’

9. y = cotan u, ⇒ y’ = – cosec2 u·u’

10. y = sec u, ⇒ y’ = sec u· tan u·u’

11. y = cosec, u ⇒ y’ = –cosec u· cotan u·u’

Keterangan: y' : turunan pertama dari y u’ : turunan pertama dari u v’ : turunan pertama dari v Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u ⋅⋅⋅⋅ cos u = sin 2u


Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = … a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125 Jawab : a

f(x) = 3x3 + 4x + 8

f’(x) = 9x2 + 4

f’(3) = 9(3)2 + 4

= 81 + 4

= 85 ……………………………………..(a)


Turunan pertama dari y = x4sin41 adalah

y’ = … a. –cos 4x

b. x4cos161−

c. x4cos21

d. cos 4x

e. x4cos161

Jawab : d

y = x4sin41

y’ = 44cos41 ⋅⋅ x

= cos 4x ………………………………….(d)

SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)

215


Turunan pertama dari f(x) = 3 2 x3sin adalah f’(x) = …

a. x3cos 3

1

32

−

b. x3cos2 3

1−

c. x3sinx3cos 3

1

32

−

d. –2 cot 3x · 3 2 x3sin

e. 2 cot 3x · 3 2 x3sin

Jawab : e

f(x) = 3 2 x3sin

= 32

)3(sin x …………………..………: un

f’(x) = 32 ⋅ 3

1

)3(sin−

x ⋅ (cos 3x) ⋅ 3

= 2 31

)3(sin−

x cos 3x

= 32

32

31

)3(sin

)3(sin

)3(sin

3cos2

x

x

x

x ××

= 32

)3(sin3sin

3cos2 x

x

x ××

= 3 2)3(sin3cot2 xx ⋅ ………..…………..(e)

4. UN 2007 PAKET B Turunan dari y = sin3(2x – 4) adalah y’(x) = … a. 3 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4) b. 3 sin2 (2x – 4) c. 3 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4) d. 6 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4) e. 6 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4)

Jawab : e

y = sin3(2x – 4)

= {sin (2x – 4)}3 ………: un

y’ = 3 ⋅ sin2(2x – 4) ⋅ cos (2x – 4) ⋅ 2

= 6 sin2(2x – 4) cos (2x – 4)

= 6 cos (2x – 4) sin2(2x – 4)……..………..(e)

5. UN 2006 Turunan pertama fungsi f(x) = sin2(8x – 2π) adalah f’(x) = … a. 2 sin (8x – 2π) b. 8 sin (8x – 2π) c. 2 sin (16x – 4π) d. 8 sin (16x – 4π) e. 16 sin (16x – 4π)

Jawab : d

f(x) = sin2(8x – 2π)

= {sin (8x – 2π)} 2 ………: un

f’(x) = 2 ⋅ sin (8x – 2π) ⋅ cos (8x – 2π) ⋅ 8

= 8 ⋅ 2 sin (8x – 2π) cos(8x – 2π)

= 8 sin 2(8x – 2π)

= 8 sin (16x – 4π)………………………(d)

6. UN 2005 Turunan pertama f(x) = cos3x adalah …

a. f'(x) = – 23 cos x sin 2x

b. f'(x) = 23 cos x sin 2x

c. f'(x) = –3 sin x cos x d. f'(x) = 3 sin x cos x e. f'(x) = –3 cos2x

Jawab : b

f(x) = cos3x

= (cos x)3 ……………………: un

f’(x) = 3(cos x)2 ⋅ (– sin x)

= –3cos x ⋅ cos x ⋅ sin x

= –3 ⋅ 21 ⋅ cos x ⋅ 2 cos x ⋅ sin x

= 23− cos x sin 2x ……………………….(b)


216


Turunan pertama fungsi f(x) = cos2(3x + 6) adalah f’(x) = … a. –6 sin(6x + 12) b. –3 sin(6x + 12) c. –sin(6x + 12) d. –3 cos(6x + 12) e. –6 cos(6x + 12)

Jawab : b

f(x) = cos2(3x + 6) = {cos (3x + 6)}2 ……………………: un

f’(x) = 2 ⋅ cos (3x + 6) ⋅ ( – sin (3x + 6)) ⋅ 3 = –3 ⋅ 2 cos (3x + 6) sin (3x + 6) = –3 sin 2(3x + 6)

= –3 sin (6x + 12)………………………(b)

8. UAN 2003 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5)cos x adalah f’(x) = … a. 3x sin x + (3x2 – 5) cos x b. 3x cos x + (3x2 – 5) sin x c. –6x sin x – (3x2 – 5) cos x d. 6x cos x + (3x2 – 5) sin x e. 6x cos x – (3x2 – 5) sin x

Jawab :e

f(x) = (3x2 – 5)cos x…………………..: u⋅v

f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’

= cos x (6x) + (3x2 – 5)(–sin x)

= 6x cos x – (3x2 – 5)sin x …………….(e)

9. UAN 2003

Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x – 3) adalah f’(x) = … a. 2cos(4x – 6) b. 2 sin(4x – 6) c. –2cos(4x – 6) d. –2 sin(4x – 6) e. 4 sin(2x – 3)

Jawab : b

f(x) = sin2(2x – 3)

= {sin (2x – 3)}2 ………: un

f’(x) = 2 ⋅ sin (2x – 3) ⋅ cos (2x – 3) ⋅ 2

= 2 ⋅ 2 sin (2x – 3) cos(2x – 3)

= 2 sin 2(2x – 3)

= 2 sin (4x – 6)…………………………(b)

10. EBTANAS 2002

Turunan pertama fungsi y = x1

x

−,

adalah y’ = …

a. y

x

b. 2

2

y

x

c. 2

2

x

y

d. –2

2

y

x

e. –2

2

x

y

Jawab : c

Gunakan rumus A.4)

y = x1

x

− ……………..:

v

u

y’ = 2)1(

)1()1)(1(

x

xx

−−−−

= 2)1(

1

x

xx

−+−

= 2

2

2)1(

1

x

x

x×

−

= 22

2 1

)1( xx

x ×−

= 2

21

1 xx

x ×

−

= 2

2 1

xy × =

2

2

x

y …………… (c)


217


Jika f(x) = 12

32

2

++−

xx

xx, maka f’(2) = …

a. –92

b. 91

c. 61

d. 277

e. 47

Jawab : d

Gunakan rumus A.4)

f(x) = 1x2x

x3x2

2

++−

……………..: v

u

f’(x) = 22

22

)12(

)22)(3()32)(12(

+++−−−++

xx

xxxxxx

f’(2) = 22

22

)1222(

)222)(232()322)(1222(

+⋅++⋅⋅−−−⋅+⋅+

= 2)144(

)24)(64()34)(144(

+++−−−++

= 99

)6)(2(9

⋅−−

= 933

21

⋅⋅ =

27

7………(d)

12. EBTANAS 2002

Diketahui f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).

nilai f’( 2π ) = …

a. –20 b. –16 c. –12 d. –8 e. –4

Jawab : b

Sin 2π = 1 dan Cos 2

π = 0

f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 ..………….: u ⋅ v f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’

= (1 + cos x)4 ⋅ 2(1 + sin x) ⋅ cos x + (1 + sin x)2 ⋅ 4(1 + cos x) ⋅ (– sin x)

f’( 2π ) = (1 + cos 2

π )4 ⋅ 2(1 + sin 2π ) ⋅ cos 2

π +

(1 + sin 2π )2 ⋅ 4(1 + cos 2

π ) ⋅ (– sin 2π )

f’( 2π ) = (1 + 0)4 ⋅ 2(1 + 1) ⋅ 0 +

(1 + 1)2 ⋅ 4(1 + 0) ⋅ (– 1) = 0 + 4 ⋅ 4 ⋅ (–1) = –16 ……………….(b)


218

B. Aplikasi turunan suatu fungsi Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah: y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0 SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut. Volume kotak terbesar yang dibuat adalah … A. 256 cm3

B. 392 cm3

C. 432 cm3

D. 512 cm3

E. 588 cm3

Jawab : C

Volume kotak v v(x) = p × l × t

= (18 – 2x) (18 – 2x) x = (324 – 72x + 4x2)x = 4x3 – 72x2 + 324x

• Volume maksimum pada saat v’(x) = 0 dan v”(x) < 0 i) v'(x) = 12x2 – 144x + 324 = 0 | ÷ 12

x2 – 12x + 27 = 0 (x – 3)(x – 9) = 0 x = {3, 9},

pilih x = 3, karena x = 9 tidak mungkin

v(3) = 4(3)3 – 72(3)2 + 324(3) = 108 – 648 + 972

= 432 …………………………………(C)

2. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dibuat adalah … A. 2.000 cm3

B. 3.000 cm3

C. 4.000 cm3

D. 5.000 cm3

E. 6.000 cm3

Jawab : A

Volume kotak v v(x) = p × l × t

= (30 – 2x) (30 – 2x) x = (900 – 120x + 4x2)x = 4x3 – 120x2 + 900x

• Volume maksimum pada saat v’(x) = 0 dan v”(x) < 0 i) v'(x) = 12x2 – 240x + 900 = 0 | ÷ 12

x2 – 20x + 75 = 0 (x – 5)(x – 15) = 0 x = {5, 15}

pilih x = 5, karena x = 15 tidak mungkin

v(3) = 4(5)3 – 120(5)2 + 900(5) = 500 – 3.000 + 4.500

= 2.000………………………………(A)

18 c

m

x x

30 c

m

x x


219


Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m + n = – 40. Nilai minimum dari p = m2 + n2 adalah … A. 405 B. 395 C. 320 D. 260 E. 200 Jawab : C

• 2m + n = – 40

n = – 40 – 2m = –(2m + 40)

• p = m2 + n2 = m2 + {–(2m + 40)}2 = m2 + (4m2 + 160m + 1600) = 5m2 + 160m + 1600

Karena p berbentuk fungsi kuadrat, maka p minimum diperoleh saat :

m = a

b

2

−=

)5(2

160−= –16

• p(m) = 5m2 + 160m + 1600 p(–16) = 5(–16)2 + 160(–16) + 1600

= 1280 – 2560 + 1600 = 320………………………..(C)

4. UN 2013 Diketahui dua bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan q – 2p = 50. Nilai minimum dari p2 + q2 adalah … A. 100 B. 250 C. 500 D. 1.250 E. 5.000 Jawab : C

• q – 2p = 50

q = 50 + 2p

• n = p2 + q2 = p2 + (2p + 50)2 = p2 + (4p2 + 200p + 2500) = 5p2 + 200p + 2500

Karena n berbentuk fungsi kuadrat, maka n minimum diperoleh saat :

p = a

b

2

−=

)5(2

200−= –20

• n(p) = 5p2 + 200p + 2500 n(–20) = 5(–20)2 + 200(–20) + 2500

= 2000 – 4000 + 2500 = 500………………………..(C)


220


Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2x + 24)m dan lebar (8 – x)m. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah … A. 4 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m E. 13 m Jawab : C

• Lebar : l = 8 – x …………………….(1) • Keliling : k = 2x + 24……………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

k = k 2(p + l) = 2x + 24

2(p + 8 – x ) = 2x + 24 p + 8 – x = x + 12 p = x + x + 12 – 8 = 2x + 4 • Luas : L = p × l

= (2x + 4)(8 – x) = –2x2 + 12x + 32

Karena L berbentuk fungsi kuadrat, maka L maksimum diperoleh saat :

x = a

b

2

−=

)2(2

12

−−

= 3

sehingga p = 2x + 4 = 2(3) + 4 = 10 ……..(C)

6. UN 2013 Diketahui persegi panjang PQRS seperti pada gambar dengan panjang 5 cm dan lebar 3 cm. Agar luas ABCD mencapai nilai minimum, luas daerah yang diarsir adalah … A. 5 cm2

B. 6 cm2

C. 7 cm2

D. 8 cm2

E. 10 cm2

Jawab : D

Misal Panjang DP = AQ = BR = CS = x

Sehingga:

• SD = BQ = 3 – x

• CR = PA = 5 – x

luas daerah arsir :

L(x) = 2DCS + 2DPA

= x(3 – x) + x(5 – x)

= –x2 + 3x + (–x2 + 5x)

= –2x2 + 8x

Karena L(x) berbentuk fungsi kuadrat, maka L(x) minimum diperoleh saat :

x = a

b

2

−=

)2(2

8

−−

= 2

sehingga

L(2) = –2(2)2 + 8(2) = –8 + 16 = 8 …………(D)

P QA

B

R C S

D


221


Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm3. Agar luas permukaan kotak maksimum, maka nilai x adalah … A. 3 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 9 cm

E. 12 cm

Jawab : C

• Volum kotak tanpa tutup

v = luas alas × t

108 = x2y ⇒ y = 2

108

x

• Luas permukaan kotak tanpa tutup

L = alas + samping = x2 + 4xy

= x2 + 4x

2

108

x= x2 +

x

432= x2 + 432x – 1

L maks. diperoleh saat L’ = 0

L = x2 + 432x – 1

L’ = 2x – 2

432

x= 0

2x3 – 432 = 0

x3 – 216 = 0

x3 = 216 = 63

x = 6 ……………….(C)

8. UN 2012/C37 Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah … A. Rp16.000,00 B. Rp32.000,00 C. Rp48.000,00 D. Rp52.000,00 E. Rp64.000,00 Jawab : B

Fungsi berikut dalam satuan ribuan • biaya per unit : 4x2 – 8x + 24 sehingga biaya

total b(x) = (4x2 – 8x + 24)x = 4x3 – 8x2 + 24x

• pendapatan total p(x) = 40x • Keuntungan total

u(x) = p(x) – b(x) = 40x – (4x3 – 8x2 + 24x) = – 4x3 + 8x2 + 16x

• u(x) maksimal saat u’(x) = 0 u(x) = – 4x3 + 8x2 + 16x u’(x) = –12x2 + 16x + 16

0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)

x = {3

2− , 2}

pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)}ribu

= 32.000 ..........................................(B)

x

y

x


222


Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x2 – 10x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp.50.000,00 tiap unit,maka keuntungan maksimum yang di peroleh perusahaan tersebut adalah…. A. Rp10.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp30.000,00 D. Rp40.000,00 E. Rp50.000,00 Jawab : D

Fungsi berikut dalam satuan ribuan • biaya per unit : 5x2 – 10x + 30 sehingga biaya

total b(x) = (5x2 – 10x + 30)x = 5x3 – 10x2 + 30x

• pendapatan total p(x) = 50x • Keuntungan total

u(x) = p(x) – b(x) = 50x – (5x3 – 10x2 + 30x) = – 5x3 + 10x2 + 20x

• u(x) maksimal saat u’(x) = 0 u(x) = – 5x3 + 10x2 + 20x u’(x) = –15x2 + 20x + 20

0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)

x = {3

2− , 2}

pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)}ribu

= 40.000 ...................................(D) 10. UN 2012/B25

Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik pada garis itu dibuat garis–garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah ... satuan luas

A. 41

B. 21

C. 1 D. 2 E. 3 Jawab : D

Cara Biasa • Persamaan garis : x + 2y = 4 ⇒ x = 4 – 2y • Luas segi empat

L = x ⋅ y = (4 – 2y)y = 4y – 2y2

L mencapai maksimum saat L’ = 0 L = 4y – 2y2 ⇒ L’ = 4 – 4y

0 = 1 – y y = 1

Jadi, L = 4(1) – 2(1)2 = 2..............................(D) Cara Cepat • Persamaan garis : x + 2y = 4

i) saat x = 0 ⇒ 0 + 2y = 4 y = 2

ii) saat y = 0 ⇒ x + 2(0) = 4 x = 4

Lmaks = ½x ⋅ ½y = ½(4) ⋅ ½(2) = 2 ⋅ 1 = 2

X

Y

(x,y)

0

X + 2y = 4


223

SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2011 PAKET 12/46

Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah … a. Rp149.000,00 b. Rp249.000,00 c. Rp391.000,00 d. Rp609.000,00 e. Rp757.000,00 Jawab : c

• Missal (i) fungsi biaya

f(x) = 9000 + 1000x + 10x2 (ii) fungsi pendapatan

p(x) = 5000x (iii) fungsi laba

q(x) = p(x) – f(x) = 5000x – (9000 + 1000x + 10x2) = –10x2 + 4000x – 9000

Laba mencapai maksimum saat q’(x) = 0 q’(x) = –20x + 4000 = 0

⇔ 20x = 4000 ⇔ x = 200

laba maksimum diperoleh saat x = 200 q(200) = –10(200)2 + 4000(200) – 9000

= – 400.000 + 800.000 – 9.000 = 391.000 …………………………..(c)

12. UN 2010 PAKET A

Diketahui h adalah garis singgung kurva y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah … a. (–3, 0) b. (–2, 0) c. (–1, 0)

d. (–21 , 0)

e. (–31 , 0)

Jawab: e

• Gradien garis singgung m = f’(a) f(x) = x3 – 4x2 + 2x – 3 f’(x) = 3x2 – 8x + 2 f’(1) = 3(1)2 – 8(1) + 2 m = –3

• Gari singgung memotong sumbu X saat y = 0 y – y1 = m (x – x1) 0 – (–4) = –3(x – 1) 4 = –3x + 3

3x = 3 – 4 = –1

x = –31

Jadi, titik potongnya di (–31 , 0) …………(e)


224


Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut–turut adalah … a. 10 dm, 7 dm, 1 dm b. 8 dm, 5 dm, 1 dm c. 7 dm, 4 dm, 2 dm d. 7 dm, 4 dm, 1 dm e. 6 dm, 3 dm, 1 dm

Jawab: e

• Volume kotak

V = p × l × t

= (8 – 2x)(5 – 2x)x

= (4x2 – 26x + 40)x

= 4x3 – 26x2 + 40x

V’ = 12x2 – 52x + 40

Volume kotak akan mencapai maksimum saat V’ = 0, maka:

12x2 – 52x + 40 = 0

3x2 – 13x + 10 = 0

(3x – 10)(x – 1) = 0

x = {1, 3

10 } dipilih x = 1, karena jika x = 3

10

maka p atau l akan negative

jadi p = 8 – 2(1) = 6

l = 5 – 2(1) = 3

t = x = 1 ………………….(e)

14. UN 2010 PAKET B Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 8) b. (0, 4) c. (0, –3) d. (0, –12) e. (0, –21)

Jawab: c

• Gradien garis singgung m = f’(a)

f(x) = (x2 + 2)2

f’(x) = 2(x2 + 2) (2x)

= 4x3 + 8x

f’(1) = 4(1)2 + 8(1)

m = 12 • Gari singgung memotong sumbu Y saat x = 0

y – y1 = m (x – x1)

y – 9 = 12(0 – 1)

y = –12 + 9

= –3

Jadi, titik potongnya di (0, –3) …………(c)

x

x

x

x

x

x

x

xp = 8 – 2x

l = 5 – 2x


225


Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi

s(t) = tttt 56 23234

41 +−− . Kecepatan

maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t = … a. 6 detik b. 4 detik c. 3 detik d. 2 detik e. 1 detik

Jawab: b

Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, sehingga v(t) = s’(t)

= 5122293 +−− ttt

v’(t) = 3t2 – 9t – 12

v(t) akan mencapai maksimum saat v’(t) = 0, maka: 3t2 – 9t – 12 = 0 t2 – 3t – 4 = 0 (t + 1)(t – 4) = 0 t = {–1, 4}

karena t tidak mungkin negatif , maka t yang memenuhi adalah 4 …………………….(b)

16. UN 2009 PAKET A/B Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28m2. Volum akan maksimum, jika jari–jari alas sama dengan …

a. ππ 731

b. ππ 732

c. ππ 734

d. ππ 2132

e. ππ 2134

Jawab : d

• Luas permukaan tabung tanpa tutup S = luas alas + luas keliling 28 = π r2 + 2π r ⋅ t

2π r ⋅ t = 28 – π r2

t = r

r

ππ

2

28 2−

• Volum tabung V = luas alas × t

= π r2 × r

r

ππ

2

28 2−

= 21 r (28 – πr2)

= 14r – 21 πr3

V’ = 14 – 23 πr2

Volum tabung akan maksimum jika V’ = 0, maka:

14 – 23 πr2 = 0 ……kedua ruas dikali

32

328 – πr2 = 0

πr2 = 328

r2 = ππ

π 33

328 ×

= 2)3(

214

ππ×

r = 2)3(

214

ππ× = π

π21

3

2 ……..(d)


226


Garis l menyinggung kurva y = 3x di titik yang berabsis 4. titik potong garis l dengan sumbu X adalah … a. (– 12, 0) b. (– 4, 0) c. (4, 0) d. (–6, 0) e. (12, 0)

Jawab : d

• Titik singgung pada kurva (a, b) Absis x = 4, maka y = f(x)

y = f(x) = 3 x

y = f(4) = 3 4 = 3 ⋅ 2 = 6 jadi, titik singgungnya di (4,6)

• Gradien garis singgung m = f’(a)

f(x) = 3 x

= 3 21

x ……………………..: un

f’(x) = 21

23 −

x = x2

3

m = f’(4) = 42

3 =

4

3

• Gari singgung memotong sumbu X saat y = 0 y – y1 = m (x – x1)

0 – 6 = 43 (x – 2) …. Kedua ruas dikali

34

–8 = x – 2 x = –8 + 2 = –6 Jadi, titik potongnya di (–6, 0)……………(d)

18. UN 2008 PAKET A/B Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t – 5t2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … meter a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770

Jawab d

Tinggi h maksimum akan dicapai pada saat h’(t) = 0, maka: h(t) = 120t – 5t2

h’(t) = 120 – 10t 0 = 120 – 10t 0 = 12 – t t = 12 jadi, h maksimum adalah : h(t) = 120t – 5t2 h(12) = 120(12) – 5(12)2

= 1440 – 720 = 720 …………………………………(d)


227


Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum, jika koordinat T adalah …

a. ( )6

5,3

b. ( )23

25 ,

c. ( )59,2

d. ( )1021

23 ,

e. ( )5

12,1

Jawab : b

untuk kasus seperti ini, luas L akan mencapai maksimum pada saat:

a = x = 521 ⋅ = 2

5

b = y = 321 ⋅ = 2

3

jadi, koordinat titik T( )23

25 , ………………(b)

20. UN 2006 Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar karton dengan volum 16 dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari–jari lingkaran alasnya adalah …

a. 3 4π dm

b. 3

2

πdm

c. 3

4

πdm

d. 23 π dm

e. 43 π dm

Jawab : b

• Volume tabung V V = luas alas × tinggi 16 = π r2 ⋅ t

t = 2

16

rπ

• Luas permukaan tabung S S = 2 luas alas + luas keliling = 2π r2 + (2π r ⋅ t)

= 2π r2 + 2π r ⋅ 2

16

rπ

= 2π r2 + r

32

s’= 4π r – 2

32

r

luas permukaan tabung akan minimum jika S’ = 0, maka:

4π r – 2

32

r= 0 …. Kedua ruas dikali r2

4 πr3 – 32 = 0

4πr3 = 32

r3 = π8

r = 3

3 8

π=

3

2

π………………..(b)


228


Diketahui kurva dengan persamaan y = x3 + 2ax2 + b. garis y = –9x – 2 menyinggung kurva di titik dengan absis 1. nilai a = … a. –3

b. –31

c. 31

d. 3 e. 8

Jawab : a

• y = f(x) = x3 + 2ax2 + b f’(x) = 3x2 + 4ax, ……absis x = 1, maka

m = f’(1) = 3(1)2 + 4a(1) = 3 + 4a

• y = –9x – 2 merupakan garis singgung kurva dengan titik singgung di absis x = 1, maka:

m = f’(1) –9 = 3 + 4a 4a = – 12 a = –3 …………………………………(a)

22. EBTANAS 2002 Garis singgung yang menyinggung lengkungan y = x3 – 2x + 1 di titik (1, 0), akan memotong garis x = 3 di titik … a. (3,3) b. (3,2) c. (3,1) d. (3, –1) e. (3, –2)

Jawab : b

• Titik singgung (1, 0) …….…………….(a,b) • m = f’(a) ………………………..…gradien

f(x) = x3 – 2x + 1 f’(x) = 3x2 – 2 f’(1) = 3(1)2 – 2

= 3 – 2 = 1………. ……………….. m • y – b = m (x – a) ………………persamaan

y – 0 = 1(x – 1) y = x – 1

• titik potong garis di x = 3 y = f(x) = x – 1 = f(3) = 3 – 1 = 2 jadi, titik potongnya di (3,2) …………… (b)

23. EBTANAS 2002 Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = x3 – 3x + 4 berturut–turut adalah … a. (–1,6) b. (1,2) c. (1,0) d. (–1,0) e. (2,6)

Jawab : a

• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 – 3x + 4 f’(x) = 3x2 – 3

0 = 3x2 – 3 0 = x2 – 1 0 = (x + 1)(x – 1) x = {– 1, 1}

• Nilai fungsi pada saat stasioner x = {– 1, 1}

f(x) = x3 – 3x + 4 f(–1) = (–1)3 – 3(–1) + 4

= –1 + 3 + 4 = 6 ………maksimum …………...titik (–1,6) ………..………….(a)

f(1) = (1)3 – 3(1) + 4 = 1 – 3 + 4 = 2 ………minimum

…………...titik (1,2)


229


Nilai maksimum dari fungsi

f(x) = 9x2xx 2233

31 ++− pada interval

0 ≤ x ≤ 3 adalah …

a. 932

b. 965

c. 10

d. 10 21

e. 1032

Jawab : e

• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0

f(x) = 9x2xx 2233

31 ++−

f’(x) = x2 – 3x + 2 0 = x2 – 3x + 2 0 = (x – 1)(x – 2)

x = {1, 2} • Nilai fungsi pada saat stasioner x ={1, 2}dan

di ujung interval x = {0, 3}

f(x) = 9x2xx 2233

31 ++−

f(0) = 31 (0) 3 – 2

3 (0) 2 + 2(0) + 9 = 9

f(1) = 31 (1)3 – 2

3 (1) 2 + 2(1) + 9 = 1032

f(2) = 31 (2) 3 – 2

3 (2) 2 + 2(2) + 9 = 932

f(3) =31 (3) 3 – 2

3 (3) 2 + 2(3) + 9 = –721

Jadi, nilai maksimumnya = 1032 ………….(e)

25. EBTANAS 2002

Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut–turut adalah … a. (–2,4) dan (0,3) b. (0,3) dan (–2,4) c. (–2,6) dan (0,5) d. (0,4) dan (–2,8) e. (–2,8) dan (0,4)

Jawab : e

• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 + 3x2 + 4 f’(x) = 3x2 + 6x

0 = 3x(x + 2) x = {0, – 2}

• Nilai fungsi pada saat stasioner x = {0, – 2}

f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(0) = (0)3 + 3(0)2 + 4 = 4 ………minimum ………………….titik (0,4) f(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 4

= –8 + 12 + 4 = 8 ………maksimum ……………….titik (–2,8) …………………………………………….(e)

15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)

PRINSIP PENGINTEGRALAN 1. pangkat naik 1 derajat 2. koefisien ÷ pangkat naik

A. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Sederhana

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c

3. ∫ xn dx = 11

1 ++

nn

x + c

4. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

2) Teknik Penyelesain Bentuk Integran

Jika bentuk integran : ∫ u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel x Teknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah:

a. Metode substitusi

jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du

b. Metode Parsial dengan TANZALIN

Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du


Hasil dari ��3� − 2�√3� − 4�� = … A. 3�3� − 4��√3� − 4� + C

B. � �3� − 4��√3� − 4� + C

C. 3�3� − 2�√3� − 4� + C

D. � �3� − 2�√3� − 4� + C

E. − � �3� − 4��√3� − 4� + C

Jawab : D

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 2) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 4x) • misal u = 3x2 – 4x maka

dx

du= 6x – 4 = 2(3x – 2)

��3� − 2�√3� − 4��

⇔ ��3� − 2��3� − 4�� ⇔ 2

112

23

)43()23(2

)23(xx

x

x −×⋅−

−+ C

⇔ xxxx 43)43( 2231 −− + C…………………..(D)

SIAP UN IPA 2014 Integral

231


Hasil dari ��3� + 1�√3� + 2� − 4�� = …

A. �3� + 2� − 4�� + C

B. � �3� + 2� − 4�� + C

C. � �3� + 2� − 4�� + C

D. �3� + 2� − 4�� + C

E. � �3� + 2� − 4�� + C

Jawab : B

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x + 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 2x – 4) • misal u = 3x2 + 2x – 4 maka

dx

du= 6x + 2 = 2(3x + 1)

��3� + 1�√3� + 2� − 4��

⇔ dxxxx 21

)423)(13( 2 −++∫

⇔ 2112

23

)423()13(2

)13( −+×⋅+

+xx

x

x+ C

⇔ 423)423( 2231 −+−+ xxxx + C……..…..(B)

3. UN 2013 Hasil dari

��2� − 1�√� − � + 5�� = …

A. �� − � + 5�√� − � + 5 + C

B. � �� − � + 5�√� − � + 5 + C

C. �� − � + 5�√� − � + 5 + C

D. � �� − � + 5�√� − � + 5 + C

E. 2�� − � + 5�√� − � + 5 + C

Jawab : B

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (2x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – x + 5) • misal u = x2 – x + 5 maka

dx

du= 2x – 1

��2� − 1�√� − � + 5��

⇔ dxxxx 21

)5)(12( 2 +−−∫

⇔ 2112

23

)5()12(

)12( +−×⋅−

−xx

x

x+ C

⇔ 5)5( 2232 +−+− xxxx + C…....…..…..(B)

4. UN 2013

Hasil dari �2��4� + 3�� = …

A. � � �4� + 3�√4� + 3 + C

B. � �4� + 3�√4� + 3 + C

C. � �4� + 3�√4� + 3 + C

D. � �4� + 3�√4� + 3 + C

E. � �4� + 3�√4� + 3 + C

Jawab : C

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x lebih rendah 1 tingkat dari (4x2 + 3) • misal u = 4x2 + 3 maka

dx

du= 8x

�2��4� + 3��

⇔ dxxx 2112 )34(2∫ +

⇔ 2122

25

)34(8

2 +×⋅

xx

x+ C

⇔ 34)34( 222101 ++ xx + C…....…..…..(C)


232


Hasil dari ∫+

dxx

x

1

22

= …

A. 13

1 2 +x + C

B. 12

1 2 +x + C

C. 12 2 +x + C

D. 13 2 +x + C

E. 16 2 +x + C Jawab : C

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x lebih rendah 1 tingkat dari (x2 + 1) • misal u = x2 + 1 maka

dx

du= 2x

∫+

dxx

x

1

22

⇔ dxxx 21

)1(2 2 −

∫ +

⇔ 21

)1(2

2 2

21

+×⋅

xx

x+ C

⇔ 12 2 +x + C …....…..…..(C)

6. UN 2013

Hasil dari ∫−

−dx

xx

x

2

)1(2

= …

A. xx 22

1 2 − + C

B. xx 22 − + C

C. xx 22 2 − + C

D. xxx 22 2 − + C

E. xxx 24 2 − + C Jawab : B

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 2x) • misal u = x2 – 2x maka

dx

du= 2x – 2 = 2(x – 1)

∫−

−dx

xx

x

2

)1(2

⇔ dxxxx 21

)2)(1( 2 −−−∫

⇔ 21

)2()1(2

)1( 2

21

xxx

x −×⋅−

−+ C

⇔ xx 22 − + C …................…..…..(B)

7. UN 2013

Hasil dari ∫+−

−dx

xx

x

562

)32(2

= …

A. 5622

1 2 +− xx + C

B. 562 2 +− xx + C

C. 5623

2 2 +− xx + C

D. 5622 2 +− xx + C

E. 562

12 +− xx

+ C

Jawab : B

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (2x – 3) lebih rendah 1 tingkat dari (2x2 – 6x + 5) • misal u = 2x2 – 6x + 5 maka

dx

du= 4x – 6 = 2(2x – 3)

∫+−

−dx

xx

x

562

)32(2

⇔ dxxxx 21

)562)(32( 2 −+−−∫

⇔ 21

)562()32(2

)32( 2

21

+−×⋅−

−xx

x

x+ C

⇔ 562 2 +− xx + C …................…..…..(B)


233


Hasil dari ∫+−

−dx

xx

x

54

842

= …

A. 544 2 +− xx + C

B. 542 2 +− xx + C

C. 542

3 2 +− xx + C

D. 542

3 2 +−− xx + C

E. 544 2 +−− xx + C Jawab : A

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (4x – 8) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 4x + 5) • misal u = x2 – 4x + 5 maka

dx

du= 2x – 4

∫+−

−dx

xx

x

54

842

⇔ dxxxx 21

)54)(42(2 2 −+−−∫

⇔ 21

)54()42(

)42(2 2

21

+−×⋅−

−xx

x

x+ C

⇔ 544 2 +− xx + C …................…..…..(A)

9. UN 2012/A13

Hasil dari ∫ +−−

72 )723(

13

xx

xdx =…..

A. Cxx

++− 72 )723(3

1

B. Cxx

++− 62 )723(4

1

C. Cxx

++− 62 )723(6

1

D. Cxx

++−

−62 )723(12

1

E. Cxx

++−

−72 )723(12

1

Jawab : D

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 2x + 7)

• misal u = 3x2 – 2x + 7 maka

dx

du= 6x – 2 = 2(3x – 1)

∫ +−−

723

132 xx

xdx

⇔ ∫ (3x – 1) (3x2 – 2x + 7)– 7 dx........ (–7 + 1 = –6)

⇔ 62 )723()6()13(2

)13( −+−×−⋅−

−xx

x

x + C

⇔ 12

)723( 62

−+− −xx

+ C

⇔ Cxx

++−

−62 )723(12

1 …………………..(D)

10. UN 2012/B25

Hasil dari ∫−

dxx

x

7 53

2

)52(

2 = ...

A. 7 3373 )52( −x + C

B. 6 7376 )52( −x + C

C. 7 6376 )52( −x + C

D. 7 2367 )52( −x + C

E. 2 7367 )52( −x + C

Jawab : E

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x2 lebih rendah 1 tingkat dari (2x3 – 5)

• misal u = 2x3 – 5 maka

dx

du= 6x2 = 3(2x2)

∫−

dxx

x

7 53

2

)52(

2

⇔ ∫−

−⋅ dxxx 7

532 )52(2 ..................

=+−7

21

7

5

⇔ 7

23

722

2

)52()2(3

2 −×⋅

xx

x+ C

⇔ 2 7367 )52( −x + C ………………………….(E)


234


Hasil dari ∫ + 133 2xx dx = …

A. 13)13(3

2 22 ++− xx + C

B. 13)13(2

1 22 ++− xx + C

C. 13)13(3

1 22 ++ xx + C

D. 13)13(2

1 22 ++ xx + C

E. 13)13(3

2 22 ++ xx + C

Jawab : C

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 3x lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 1)

• misal u = 3x2 + 1 maka

dx

du= 6x = 2(3x)

∫ + 133 2xx dx

⇔ ∫ + 2

12 )13(3 xx dx ..................

==+2

3

2

111

2

1

⇔ 2

11

2

23

)13()3(2

3 +×⋅

xx

x + C

⇔ 13)13(3

1 22 ++ xx + C …………………….(C)

12. UN 2012/E52

∫(4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx

A. 10

1 (4x2 + 6x – 9)10 + C

B. 15

1(2x – 3 )10 + C

C. 20

1 (2x – 3)10 + C

D. 20

1(4 x2 + 6x – 9)10 + C

E. 30

1(4 x2 + 6x – 9)10 + C

Jawab : D


dx

du= 8x + 6 = 2(4x + 3)

⇔ ∫(4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx

⇔ 102 )964(10)34(2

)34( −+×⋅+

+xx

x

x + C

⇔ 20

1(4 x2 + 6x – 9)10 + C .......................…….(D)

13. UN 2011 PAKET 12

Hasil ∫−+

+dx

xx

x

193

32

2 = …

a. cxx +−+ 1932 2

b. cxx +−+ 193 231

c. cxx +−+ 193 232

d. cxx +−+ 193 221

e. cxx +−+ 193 223

Jawab : c


dx

du= 6x + 9 = 3(2x + 3)

∫−+

+dx

xx

x

193

32

2

⇔ ∫−

−++ dxxxx 21

)193)(32( 2 ……

=+−2

11

2

1

⇔ 21

)193()32(3

)32( 2

21

−+×⋅+

+xx

x

x+ C

⇔ cxx +−+ 193 232 ………………………..(c)


235


Hasil dxxx∫ + 536 2 = …

a. cxx +++ 56)56( 2232

b. cxx +++ 53)53( 2232

c. cxx +++ 5)5( 2232

d. cxx +++ 5)5( 2223

e. cxx +++ 53)53( 2223

Jawab : b

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 6x lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 5) • misal u = 3x2 + 5 maka

dx

du= 6x

dxxx∫ + 536 2

⇔ dxxx∫ + 21

)53(6 2 ..................

==+2

3

2

111

2

1

⇔ 2112

23

)53(6

6 +×⋅

xx

x+ C

⇔ cxx +++ 53)53( 2232 ……………………(b)


Hasil dxx

x∫

+ 42

33

2

= …

a. 424 3 +x + C

b. 422 3 +x + C

c. 42 3 +x + C

d. 42 321 +x + C

e. 42 341 +x + C

Jawab : c

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 3x2 lebih rendah 1 tingkat dari (2x3 + 4) • misal u = 2x3 + 4 maka

dx

du= 6x2 = 2(3x2)

dxx

x∫

+ 42

33

2

⇔ dxxx∫−

+ 21

)42(3 32 ……...............

=+−2

11

2

1

⇔ cxx

x ++×⋅

21

)42()3(2

3 3

212

2

⇔ cx ++ 42 3 ………………………………(c)

16. UN 2006 Hasil dari ∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …

a. cxx ++−− −4281 )16(

b. cxx ++−− −4241 )16(

c. cxx ++−− −4221 )16(

d. cxx ++−− −2241 )16(

e. cxx ++−− −2221 )16(

Jawab : d

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (x – 3) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 6x + 1) • misal u = x2 – 6x + 1 maka

dx

du= 2x – 6 = 2(x – 3)

∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx …....…. (–3 + 1 = –2)

⇔ cxxx

x ++−−−

− −22 )16()2)(3(2

)3(

⇔ cxx ++−− −22 )16(4

1……………..(d)


236


Hasil dx1xx∫ + = …

a. c1x)1x(1x)1x( 232

52 +++−++

b. c1x)2xx3( 2152 ++−+

c. c1x)4xx3( 2152 ++++

d. c1x)2xx3( 2152 ++−−

e. c1x)2xx( 252 ++−+

Jawab : b

Selesaikan dengan metode parsial karena x dx dan (x + 1) tidak memiliki hubungan

dx1xx∫ + = dxxx∫ + 21

)1(

U dv

x ( )21

1+x

1 211

)1(3

2 +x

0 212

)1(5

2

3

2 +× x

Turunkan sampai nol integralkan

Jadi:

dxxx∫ +1

⇔ cxxxxx +++−++ 1)1(1)1( 2154

32

⇔ cxxxx +++−+ 1})1(2)1(5{ 1522

⇔ cxxxxx ++++−+ 1)}12(255{ 15222

⇔ cxxxxx ++−−−+ 1)24255( 15222

⇔ cxxx ++−+ 1)23( 2152 …………….……(b)


237

B. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Sederhana

1. ∫ sin ax dx = – a1 cos ax + c

2. ∫ cos ax dx = a1 sin ax + c

3. ∫ sec2 ax dx = a1 tan ax + c

Catatan

Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 2sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B)

b. –2sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B)

c. Sin2A + cos2A = 1

d. sin2A = }2cos1{21 A−

e. cos2A = }2cos1{21 A+

f. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A


Hasil dari ∫cos4 2x sin 2x dx = …

a. cx +− 2sin5101

b. cx +− 2cos5101

c. cx +− 2cos551

d. cx +2cos551

e. cx +2sin5101

Jawab : b

Karena sin 2x dx dan cos 2x memiliki hubungan, yaitu

)2(cos

2sin

xd

xdx=

dxx

dxx

2sin2

2sin

−= – 2

1 , maka :

∫cos4 2x sin 2x dx

⇔ – 21 ∫(cos 2x) 4 )2(cos xd

⇔ – 21 · 5

51 )2(cos x + c

⇔ cx +− 2cos5101 …………………………….(b)

2. UN 2011 PAKET 46 Hasil ∫sin3 3x cos 3x dx = …

a. cx +3sin441

b. cx +3sin443

c. cx +3sin4 4

d. cx +3sin431

e. cx +3sin4121

Jawab : e

Karena cos 3x dx dan sin 3x memiliki hubungan, yaitu

)3(sin

3cos

xd

xdx=

xdx

xdx

3cos3

3cos=

31 , maka :

∫sin3 3x cos 3x dx

⇔ 31 ∫sin3 3x d(sin 3x)

⇔ 31 · 4

41 )3(sin x + c

⇔ cx +3sin4121 ……………………………….(e)


238


Hasil ∫ (sin2 x – cos2 x) dx adalah …

a. 21 cos 2x + C

b. –2 cos 2x + C c. – 2 sin 2x + C

d. 21 sin 2x + C

e. –21 sin 2x + C

Jawab : c

∫ (sin2 x – cos2 x) dx ………identitas 1.c. dan 1.d.

⇔ ∫ { 21 (1 – cos 2x) – 2

1 (1 + cos 2x)}dx

⇔ ∫ 21 (1 – cos 2x – 1 – cos 2x) dx

⇔ ∫ 21 ( –2 cos 2x ) dx

⇔ ∫ – cos 2x dx ……………………rumus A.5

⇔ – 21 sin 2x + C ………………………………...(e)

4. UN 2010 PAKET B Hasil dari ∫(3 – 6 sin2 x) dx = …

a. 23 sin2 2x + C

b. 23 cos2 2x + C

c. 43 sin 2x + C

d. 3 sin x cos x + C

e. 23 sin 2x cos 2x + C

Jawab : d

∫(3 – 6 sin2 x) dx ………………….identitas 1.c

⇔ ∫(3 – 6 ⋅ 21 (1 – cos 2x) dx

⇔ ∫(3 – 3 + 3 cos 2x) dx

⇔ ∫ 3 cos 2x dx ……………………..rumus A.5

⇔ 3 × 21 sin 2x + C

⇔ 23 sin 2x + C ……………………identitas 1.e

⇔ 23 (2sin x cos x) + C

⇔ 3 sin x cos x + C ………………………….…(d)

5. UN 2009 PAKET A/B Hasil ∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx = … a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C b. xx 2cos8cos4

1 −− + C

c. xx 2cos8cos41 + + C

d. xx 2cos8cos21 −− + C

e. xx 2cos8cos21 + + C

Jawab : b

∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx ……………….identitas 1.a

⇔ 2∫2sin 5x ⋅ cos 3x dx

⇔ 2∫{sin (5x + 3x) + sin (5x – 3x)}dx

⇔ 2∫(sin 8x + sin 2x)dx……………….rumus A.4

⇔ 2{ )8cos(81 x− + )2cos(2

1 x− } + c

⇔ x8cos41− – cos 2x + c ……………….……(b)

6. UN 2008 PAKET A/B Hasil dari ∫sin2 x cos x dx = …

a. 31 cos3 x + C d.

31 sin3 x + C

b. 31− cos3 x + C e. 3 sin3 x + C

c. 31− sin3 x + C Jawab : d

Karena cos x dx dan sin2 x memiliki hubungan, yaitu:

)(sin

cos

xd

xdx=

xdx

xdx

cos

cos= 1, maka

∫sin2 x cos x dx = ∫(sin x)2 d(sin x)

= 31 (sin x)3 + C ……….. rumus A.3

= 31 sin3 x + C …………………..(d)


239


Hasil dari ∫(x2 – 3x + 1) sin x dx = … a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c b. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c c. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c d. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c e. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c

Jawab : a

Selesaikan dengan metode parsial karena sin x dx dan (x2 – 3x + 1) tidak memiliki hubungan

∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = U dv

x2 – 3x + 1 sin x

2x – 3 – cos x

2 – sin x

0 cos x Turunkan sampai nol integralkan

Jadi: ∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + (2x – 3) sin x + 2cos x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + 2cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1 + 2)cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x + 1)cos x + (2x – 3) sin x + c …….(a)

8. UN 2005

Hasil dari dxxcos)1x( 2∫ + = …

a. x2 sin x + 2x cos x + c b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c c. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c

Jawab : b

Selesaikan dengan metode parsial karena cos x dx dan (x2 + 1) tidak memiliki hubungan

U dv

x2 + 1 cos x

2x Sin x

2 – cos x

0 – sin x Turunkan sampai nol integralkan

Jadi: dxxx∫ + cos)1( 2

⇔ (x2 + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c ⇔ (x2 + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c ………….…….(b)

9. UN 2004

Hasil dari dxx2sinx2∫ = …

a. –21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

b. –21 x2 cos 2x +

21 x sin 2x –

41 cos 2x + c

c. –21 x2 cos 2x +

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

d. 21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x –

41 cos 2x + c

e. 21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

Jawab : c

Selesaikan dengan metode parsial karena sin 2x dx dan x2 tidak memiliki hubungan

U dv

x2 Sin 2x

2x cos 2x

2 x2sin2

1

2

1 ×−

0 x2cos41

21 ⋅


Jadi: dxx2sinx2∫

⇔ xxxxx 2cos2sin2cos41

212

21 ++− ..…….(c)

21−


240

C. Penggunaan Integral Tak Tentu Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

y = ∫ dxdxdy , dengan

dxdy adalah turunan pertama y

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2004 Gradien garis singgung suatu kurva adalah

m = dxdy

= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).

Persamaan kurva tersebut adalah … a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2 c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2 e. y = x2 + 3x – 1

Jawab : b

• dxdy

= 2x – 3

dy = (2x – 3)dx y = ∫ (2x – 3)dx

= cxx +− 3222

= cxx +− 32

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (3, 2), maka f(3) = 2

f(x) = cxx +− 32 f(3) = (3)2 – 3(3) + c 2 = 9 – 9 + c c = 2

Jadi, y = f(x) = 232 +− xx …………………(b)

2. UAN 2003 Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknya y = f(x) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 0)

b. (0, 31 )

c. (0, 32 )

d. (0, 1) e. (0, 2) Jawab : c

• f’(x) = x2 + 1 f(x) = ∫ (x2 + 1)dx

= cxx ++331

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2

f(x) = cxx ++331

f(1) = c++ )1()1( 331

2 = 311

c = 32

Jadi, y = f(x) = 323

31 ++ xx

• Titik potong kurva dengan sumbu Y Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0

y = 323

31 ++ xx

y = 323

31 )0()0( ++ =

32

jadi, titik potongnya di (0, 32 )…………….(c)


241

D. Integral Tentu Fungsi Aljabar

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi

oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L = ∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Hasil dari

� 3�� + 1�� − 6�� = …

A. –58 B. –56 C. –28 D. –16 E. –14 Jawab : A

� 3�� + 1�� − 6��

⇔ � 3�� − 5� − 6��

⇔ � �3� − 15� − 18��

⇔ �33�3 −152 �2 − 18��0

2

⇔ 23 − 152 �2�2 − 18�2�− 0

⇔ 8 – 30 – 36 = –58…………………………………(A)

2. UN 2012/A13

Nilai dari ∫ =+−2

1

2 ....)54( dxxx

A. 6

33

B. 6

44

C. 6

55

D. 6

65

E. 6

77

Jawab : D

∫ +−2

1

2 )54( dxxx = 2

1

23 52

1

3

4

+− xxx

maka

F(2) = )2(5)2(2

1)2(

3

4 23 +− = 63

32 + = 3

50=

6

100

F(1) = )1(5)1(2

1)1(

3

4 23 +− = 2

9

3

4 + = 6

35

= 6

65

………………………………………………….(D)


242


Nilai dari ∫ −+3

1

2 )342( dxxx = ...

A. 2731

B. 2721

C. 3731

D. 3721

E. 5131

Jawab : A

∫ −+3

1

2 )342( dxxx = 3

1

23 323

2

−+ xxx

maka

F(3) = )3(3)3(2)3(3

2 23 −+ = 27

F(1) = )1(3)1(2)1(3

2 23 −+ = 3

1−

= 2731 …………….(A)

4. UN 2012/D49

Nilai ∫ +−4

1

2 )22( xx dx = ….

A.12 B.14 C.16 D.18 E.20 Jawab : A

∫ +−4

1

2 )22( xx = 4

1

23 23

1

+− xxx

maka

F(4) = )4(24)4(3

1 23 +− = 83

64 −

F(1) = )1(21)1(3

1 23 +− = 13

1 +

= 21 – 9 = 12 ..... …………….(A)

5. UN 2012/E52

Nilai ∫ +−2

0

2 )733( xx dx =….

A. 6 B. 10 C. 13 D. 16 E. 22

Jawab : D

∫ +−2

0

2 )733( xx = 2

0

23 72

3

+− xxx

maka

F(2) = )2(7)2(2

3)2( 23 +− = 16

F(0) = )0(7)0(2

3)0( 23 +− = 0

= 16 .............……….(D)

6. UN 2011 PAKET 12

Hasil ∫ −+−4

2

2 )86( dxxx = …

a. 338

b. 326

c. 320

d. 3

16

e. 34

Jawab : e

∫ −+−4

2

2 )86( dxxx

⇔ 4

2

2263

31 8xxx −+− =

4

2

2331 83 xxx −+−

maka

F(4) = )4(8)4(3)4( 2331 −+− =

364− + 16

F(2) = )2(8)2(3)2( 2331 −+− =

38− – 4

= 356− + 20

= 3

6056+−

= 34 …………….…(e)


243


Hasil ∫ +3

1612 )( dxx = …

a. 931

b. 9 c. 8

d. 3

10

e. 3 Jawab : b

∫ +3

1612 )( dxx

⇔ 3

1613

31 xx +

maka

F(3) = )3()3(613

31 + = 9 +

63 =

657

F(1) = )1()1(613

31 + =

31 +

61 =

63

= 654

= 9 ……………..(b)

8. UN 2010 PAKET A

Hasil dari dxx

x∫

−2

12

2 1 = …

a. 59

b. 69

c. 611

d. 6

17

e. 6

19

Jawab : c

dxx

x∫

−2

12

2 1 = ( )dxxx∫

−−2

1

22

= 2

1

11

1331 )( −

−− xx

= 2

1

1331

xx +

= ( ) ( )113

31

213

31 12 +⋅−+⋅

= 131

21

38 −−+

= 66

62

63

616 −−+ =

611 ……………(c)

9. UN 2010 PAKET B

Hasil dari ∫ −+2

0

)6)(1(3 dxxx = …

a. –58 b. –56 c. –28 d. –16 e. –14

Jawab : a

∫ −+2

0

)6)(1(3 dxxx = ∫ −−2

0

2 )65(3 dxxx

= ∫ −−2

0

2 )18153( dxxx

= 2

0

22

15333 18xxx −−

= 0)21822( 22

153 −⋅−⋅−

= 8 – 30 – 36 = –58 ……………………….(a)


244


Nilai a yang memenuhi persamaan

∫ +1

22 )1(12a

dxxx = 14 adalah …

a. –2 b. –1 c. 0

d. 21

e. 1

Jawab : c

Selesaikan dahulu ∫ 12x (x2 + 1)2 dx dengan metode substitusi

∫ 12x (x2 + 1)2 dx ⇔ ∫ (x2 + 1)2 12x dx

⇔ ∫ (x2 + 1)2 duxd

dxx

)1(

122+

⇔ ∫ u2 duxx

212 = ∫ 6 u2 du = 3

36 u = 2(x2 + 1)3

maka :

∫ +1

22 )1(12a

dxxx = 14

⇔ 132 )1(2a

x + = 14

⇔ 132 )1(a

x + = 7

⇔ 3232 )1()11( +−+ a = 7

⇔ 32 )1(8 +− a = 7

⇔ 32 )1( +a = 1

⇔ a2 + 1 = 1 ⇔ a = 0 …………………(c)


Hasil dari ∫−

+0

1

532 )2( dxxx = …

a. 385

b. 375

c. 1863

d. 1858

e. 1831

Jawab : e

Selesaikan dahulu ∫ x2(x3 + 2)5 dx dengan metode

substitusi

∫ x2(x3 + 2)5 dx

⇔ 632

2

)2(63

+×⋅

xx

x =

18

)2( 63 +x

maka :

∫−

+0

1

532 )2( dxxx = 0

1

63181 )2(

−+x

= 181 (03 + 2)6 –

181 ((–1)3 + 2)6

= 181 {26 – 1} =

1831 …………..(e)


245


Diketahui ∫ +p

132 dx)x(x3 = 78.

Nilai (–2p) = … a. 8 b. 4 c. 0 d. –4 e. –8 Jawab : e

∫ +p

dxxx1

32)(3 = 78

⇔ ∫ +p

dxxx1

2 )23( = 78

⇔ p

xx1

23 + = 78

⇔ }11{}{ 2323 +−+ pp = 78

⇔ 223 −+ pp = 78

⇔ 223 −+ pp = 78

⇔ 8023 −+ pp = 0

f(x) = 8023 −+ pp untuk selanjutnya gunakan cek poin a. –2p = 8 ⇒ p = – 4 . . . e. –2p = –8 ⇒ p = 4 nilai–nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).

a. f(– 4) = 8023 −+ pp = –64 + 16 – 80 ≠ 0 . . .

e. f(4) = 8023 −+ pp = 64 + 16 – 80 = 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(e)

13. UN 2007 PAKET B

Diketahui ∫ −+p

1

2 dt)2t6t3( = 14.

Nilai (–4p) = … a. –6 b. –8 c. –16 d. –24 e. –32 Jawab : b

∫ −+p

dttt1

2 )263( = 14

⇔ p

ttt1

23 23 −+ = 14

⇔ }12131{23 2323 ⋅−⋅+−−+ ppp = 14

⇔ 223 23 −−+ ppp = 14

⇔ 1623 23 −−+ ppp = 0

f(x) = 1623 23 −−+ ppp untuk selanjutnya gunakan cek poin

a. –4p = –6 ⇒ p = 23

b. –4p = –8 ⇒ p = 2 c. –4p = –16 ⇒ p = 4 nilai–nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).

a. f( 23 ) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0

b. f(2) = 1623 23 −−+ ppp = 8 + 12 – 4–16 = 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b)


246


Hasil dari ∫ −−

1

1

2 dx)6x(x = …

a. –4

b. 21−

c. 0

d. 21

e. 214

Jawab : a

∫ −−

1

1

2 dx)6x(x

⇔ ∫−

−1

1

23 )6( dxxx

⇔ 1

1

3441 2

−− xx

⇔ })1(2)1({)1(2)1( 344134

41 −−−−−

⇔ 22 41

41 −−− = – 4 …………………….(a)

15. EBTANAS 2002

∫ +a

22

dx)1x

4( =

a

1. Nilai a2 = …

a. –5 b. –3 c. 1 d. 3 e. 5 Jawab : e

∫ +a

dxx2

2)1

4( =

a

1

⇔ ∫ +−a

dxx2

2 )14( = a

1

⇔ a

xx2

14 +− − = a

1

⇔ a

xx 2

4 +− =

a

1

⇔ }22

4{}

4{ +−−+−

aa

= a

1

⇔ }0{42

−−a

a =

a

1

⇔ a2 – 4 = 1 ⇔ a2 = 5 ……………………….(e)


247

E. Integral Tentu Fungsi Trigonometri SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Nilai dari � �� 2��!

� = …

A. − �

B. −

C. 0

D. 1

E. 2

Jawab : C

� �� 2��!� = �−

"#�2��!

= − "#�2π− �−

"#�2�0�� = −

�1� − $− �1�%

= − +

= 0 ………………………….(C)

2. UN 2013

Nilai dari � �� 5� + �� &�� =

…

A. − �'

B. − '

C. 0

D. '

E. �'

Jawab : E

� �� 5� + �� &�� = �−

' "#�5� − "#��&�

• ( )!�* = − ' cos 5 )

!�* − cos !�

= − ' )

* −

= −

�−' � = − �

� = − �'

• (�0� = − ' "#�5�0� − "#�0

= − ' �1� − 1 = −

' −'' = − �

'

∴ ( )!�* − (�0�= − �' − )− �

'* = �' ………………( E)

3. UN 2013

Nilai dari � �� 5� − �� &�� =

…

A. − �'

B. − '

C. −

D. 1

E. �'

Jawab : A

� �� 5� − �� &�� = �−

' "#�5� + "#��&�

• ( )!* = − ' cos 5 )

!* + cos ! = 0 + 0 = 0

• (�0� = − ' "#�5�0� + "#�0

= − ' �1� + 1 =−

' +'' =

�'

∴( )!* − (�0�= 0 – �' = –

�' …………………….(A)


248


Nilai � "#��&/� = …

A. !� +

�

B. !� +

C. !� −

�

D. !� +

√

E. !� −

√

Jawab : A

� "#��&/� = �

�1 + "#�2��&/�

= �12� +12×

12 �� 2��0

14

• ( )!�* = )!�* +

� �� 2 )

!�*

= !� +

� �1� =

!� +

�

• (�0� = �0� + � �� 2�0� = 0 + 0 = 0

∴( )!�* − (�0�= !� +

� − 0 =

!� +

� ……………...(A)

5. UN 2013

Nilai � "#��&�� = …

A. π

B. �!

C. !

D. �!�

E. !�

Jawab : E

� "#��&�� = �

�1 + "#�2��&��

= �12� +12×

12 �� 2��0

12

• ( )!* = )!* +

� �� 2 )

!* =

!� + 0=

!�

• (�0� = �0� + � �� 2�0� = 0 + 0 = 0

∴( )!�* − (�0�= !� − 0 =

!� ………………….(E)

6. UN 2013

Nilai dari � �� 2"#�2��2&�� = …

A. 2

B. 1

C. 1

D.

E. �

Jawab : E

� �� 2"#�2��2&�� = � �� 2�� 2�

&�� = �13 �� 32�0

12

• ( )!* = � �� !�� =

� �1�� =

�

• (�0� = � �� 0�� = 0

∴( )!* − (�0�= � – 0 =

� …………………….(E)


249


Nilai dari � �2�� "#��&�� = …

A. �

B. √�

C. 1

D. 1 + √3

E. √3 − 1

Jawab : A

� �2�� "#��&�� = � 2��

&��

= �23 �� 3��012

• ( )!* = � �� !�� =

� �1�� =

�

• (�0� = � �� 0�� = 0

∴( )!* − (�0�= � – 0 =

�……………………..(A)

8. UN 2013

Nilai dari � �� &�� = …

A. − �

B. −

C. 0

D. �

E. �

Jawab : E

� �� &�� = � ��

&��

= � �1 − "#�� &��

= � �� −&�� "#��

&��

= � �� −&�� cos ��3−��"#��4

&��

= �−"#�� + 13 "#�3��0

12

• ( )!* = −"#� ! + � )"#�

!*

� = 0 + 0 = 0

• (�0� = −"#�0 + � �"#�0�� = –1 +

� = −

�

∴( )!* − (�0�= 0 − �− �� – 0 =

� ……………(E)

9. UN 2012/B25

Nilai dari ∫ +π

31

0

)cos32(sin dxxx = ...

A. 3243 +

B. 3343 +

C. )321(41 +

D. )321(42 +

E. )321(43 +

Jawab : E

∫ +π

31

0

)cos32(sin dxxx = π

3

1

0

sin32cos2

1

+− xx

maka

F( π31 ) = )sin(3)(2cos

2

131

31 ππ +−

= 32

13)

2

1(

2

1 ⋅+−⋅− = 32

3

4

1 +

F(0) = )0sin(3)0(2cos2

1 +− = 2

1−

= 32

3

4

3 +

= )321(43 + ...........(E)


250


Nilai dari ( )∫ −π

21

0

cos32sin2 xx dx =

…. A. – 5 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 Jawab : B

( )∫ −π

21

0

cos32sin2 xx dx = [ ] π21

022 sin32cos xx −−

F( π21 ) = – cos 2( π2

1 ) – 3 sin ( π21 ) = –(–1) – 3(1) = –2

F(0) = – cos 2(0) – 3 sin (0) = –(1) – 3(0) = –1 _ = –1

…………………………………………(B)

11. UN 2012/D49

Nilai dari ( )∫ −π

21

0

cos2sin3 xx dx =

…. A. – 2 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 Jawab : E

( )∫ −π

21

0

cos2sin3 xx dx = [ ] π21

023 sin2cos xx −−

F( π21 ) = – 2

3 cos 2( π21 ) – sin ( π2

1 ) = –23 (–1) – 1 =

21

F(0) = – 23 cos 2(0) – sin (0) = –2

3 (1) – 0 = –23

= 2 ……………………….……………………………(E)

12. UN 2012/E52

Nilai ∫ −2

0

)2sin(

π

πx dx =…

A. –2 D. 2 B. –1 E. 4 C. 0 Jawab : C

∫ −2

0

)2sin(

π

πx = [ ] 202

1 )2cos(π

π−− x

= ))02cos(()2cos(21

221 πππ −⋅−−−⋅−

= – 21 ⋅(1) +

21

= 0 …………………………………..(C) 13. UN 2011 PAKET 12

Hasil ∫ +π

0

)cos3(sin dxxx = …

A. 3

10 D. 32

B. 38 E.

31

C. 34 Jawab : D

∫ +π

0

)cos3(sin dxxx

⇔ π

031 sin3cos xx +−

Maka:

F(π) = ππ sin3cos31 +− = 0)1(

31 +−−

F(0) = 0sin0cos31 +− = 0)1(

31 +−

= 32 …………….…………(D)

14. UN 2011 PAKET 46

Hasil ∫ −2

0

)2cossin2(

π

dxxx = …

a. 25−

b. 23

c. 1 d. 2

e. 25

Jawab : d

∫ −2

0

)2cossin2(

π

dxxx

⇔ 2

021 2sincos2

πxx −−

Maka:

F(2π ) = )(2sincos2

221

2ππ −− = )0()0(2

21−− = 0

F(0) = 0sin0cos221−− = )0()1(2

21−− = – 2

= 2 ………………..………(d)


251


Nilai dari ∫ +6

0

)3cos3(sin

π

dxxx =

…

a. 32

b. 31

c. 0

d. –31

e. –32

Jawab : a

∫ +6

0

)3cos3(sin

π

dxxx

⇔ o

xx30

031

31 3sin3cos +−

⇔ )0sin0cos(90sin90cos 31

31

31

31 oooo +−−+−

⇔ )01(1031

31

31

31 ⋅+⋅−−⋅+⋅−

⇔ 31

31 + =

32 ……………………………………(a)

16. UN 2010 PAKET B

Hasil dari ∫ −π

ππ

32

21

)3cos( dxx = …

a. –1

b. –31

c. 0

d. 31

e. 1 Jawab : b

∫ −π

ππ

32

21

)3cos( dxx

⇔ π

ππ 3

2

21)3sin(

31 −x

⇔ )3sin()3sin(21

31

32

31 ππππ −⋅−−⋅

⇔ ππ21

31

31 sinsin −

⇔ 1031

31 ⋅−⋅ = –

31 ……………………….(b)

17. UN 2004

Nilai dari

∫ π−π−π

π

2

3

dx)x3sin()x3cos( =

a. –61

b. –121

c. 0

d. 121

e. 61

Jawab : e

∫ −−2

3

)3sin()3cos(

π

π

ππ dxxx

⇔ ∫ −−2

3

)3sin()3cos(221

π

π

ππ dxxx

⇔ ∫ −2

3

)3(2sin21

π

π

π dxx

⇔ ∫ −2

3

)26sin(21

π

π

π dxx

⇔ 2

361

21 )26cos()(

π

ππ−− x

⇔ )}22cos({)}23cos({121

121 ππππ −−−−−

⇔ 0coscos121

121 +− π

⇔ )1()1( 121

121 +−− = 12

2 = 61 …………………(e)


252


∫π

0dxxcosx = …

a. –2 b. –1 c. 0 d. 1 e. 2

Jawab : a

Selesaikan dengan metode parsial karena “x bukan turunan dari cos x”

∫π

0

cos dxxx

U dv

x cos x

1 sin x

0 – cos x


Jadi: ∫π

0

cos dxxx

⇔ π0

cossin xxx +

⇔ }0cos0sin0{}cossin{ +⋅−+ πππ

⇔ }10{}10{ +−−⋅π = – 2………………….….(a)

19. UAN 2003

∫

π4

0dxxsinx5sin = …

a. –21

b. –61

c. 121

d. 81

e. 125

Jawab : c

∫

π4

0dxxsinx5sin

⇔ ∫ −−4

021 )4cos6(cos

π

dxxx

⇔ 404

161

21 )4sin6sin(

πxx −−

⇔ }0sin0sin{4sin6sin 81

121

481

4121 +−−⋅+⋅− ππ

⇔ }0{0)1(81

121 −⋅+−⋅− =

121 ……………….(c)

20. EBTANAS 2002

∫ ++π

ππ6

033

dx)xcos()xsin( = …

a. –41

b. –81

c. 81

d. 41

e. 83

Jawab c

∫ ++6

033 )cos()sin(

π

ππ dxxx

⇔ ∫ +6

03

221 )2sin(

π

π dxx

⇔ 603

221

21 )2cos(

ππ+⋅− x

⇔ { })02cos()cos( 32

32

62

41 πππ +⋅−+−

⇔ { })cos(cos 32

41 ππ −−

⇔ { })(1 21

41 −−−−

⇔ )( 21

41 −×− =

81 …………………………..(c)


253


∫ ππ1

0

22 dxxcosxsin = …

a. 0

b. 81

c. 41

d. 81 π

e. 41 π

Jawab : b

xx ππ 22 cossin = 2)cos(sin xx ππ ⋅ = 221 )}cossin2({ xx ππ ⋅

= 241 )2(sin xπ

= )}4cos1({ 21

41 xπ−

= )4cos1(81 xπ−

sehingga :

∫ ππ1

0

22 dxxcosxsin

⇔ ∫ −1

081 )4cos1( dxxπ

⇔ 1

041

81 )4sin( xx π−

⇔ }0sin0{)1(4sin)1(321

321

81 −−− π

⇔ 0081 −− =

81 ……………………………….(b)

22. EBTANAS 2002

∫π

π2

dxxsinx = …

a. π + 1 b. π – 1 c. – 1 d. π e. π + 1 Jawab : b

Selesaikan dengan metode parsial karena ”x bukan turunan dari sin x”

∫π

π2

dxxsinx

U dv

x Sin x

1 – cos x

0 – sin x


Jadi: ∫π

π2

dxxsinx

⇔ ππ2

sincos xxx +−

⇔ }sincos{}sincos{ 222ππππππ +−−+−

⇔ }10{}0)1({ 2 +⋅−−+−− ππ = π – 1……………….(b)


254

F. Penggunan Integral Tentu

a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L = ∫b

a

dxxf )( ,

untuk f(x) ≥ 0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –∫b

a

dxxf )( , atau

L = ∫b

a

dxxf )( untuk f(x) ≤ 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({ ,

dengan f(x) ≥ g(x)

CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus:

L = 26a

DD, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))


Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � �� − 5��

B. 5 = � �'� � + 5��

C. 5 = � �'� � − 5��

D. 5 = � −�'� � − 5��

E. 5 = � −�� − 5��

Jawab : D

• Titik potong 2 kurva (batas integral)

y1 = x + 3 ……………….… grafik atas y2 = x2 – 4x + 3 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = –x2 + 5x = –x(x – 5) = 0 x = {0, 5}

Jadi, bb = 0 dan ba = 5 • Luas L

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ +−5

0

2 )5( dxxx

= ∫ −−5

0

2 )5( dxxx …………………….(D)

y = x2 – 4x + 3 y = x + 3 Y

X 0


255


Luas daerah yang diarsir pada gambar

berikut dapat dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � {�4� −� �� − �}��

B. 5 = � {�4 −� �� − �}��

C. 5 = � {� − �4� −� ��}��

D. 5 = � {� + �4� −� ��}��

E. 5 = � {�� − 4�� +� �}��

Jawab : A


y1 = 4x – x2 ………….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = 4x – 2x2 = 2x(2 – x) = 0 x = {0, 2}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −−2

0

22 })4{( dxxxx ……………….(A)

3. UN 2013 Luas daerah yang diarsir seperti tampak pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …

A5 = � ��−� + 2� + 3� − �� + 1��8 ��

B. 5 = � �� + 1� − �−� + 2� + 3��8 ��

C. 5 = � ��−� + 2� + 3� − �� + 1�� 8 ��

D. 5 = � �� + 1� − �−� + 2� + 3�� 8 ��

E. 5 = � ��−� + 2� + 3� + �� + 1��8 ��

Jawab : A


y1 = – x2 + 2x + 3……….… grafik atas y2 = x + 1 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = – x2 + x + 2 = –(x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2}

Jadi, bb = –1 dan ba = 2 • Luas L

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫−

+−++−2

1

2 )}1()32{( dxxxx …….(A)

X

Yy = x2

2

y = 4x - x2

2

X

Y

0

y = – x2 + 2x + 3

y = x + 1


256


Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat

dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � �� − 5��

B. 5 = � �'� � + 5��

C. 5 = � �'� � − 5��

D. 5 = � −�'� � − 5��

E. 5 = � −�� − 5��

Jawab : D


y1 = x + 3 ……………….… grafik atas y2 = x2 – 4x + 3 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = –x2 + 5x = –x(x – 5) = 0 x = {0, 5}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ +−5

0

2 )5( dxxx

= ∫ −−5

0

2 )5( dxxx …………………….(D)

5. UN 2013 Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � �� − � + 6��8 ��

B. 5 = � �−� + � + 6��8 ��

C. 5 = � �� − � − 6��8 ��

D. 5 = � �� − � + 6��

E. 5 = � �� − � − 6��

Jawab : B


y1 = x + 6………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = – x2 + x + 6 = –(x + 2)(x – 3) = 0 x = {–2, 3}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫−

++−3

2

2 )6( dxxx ……………….(B)

y = x2 – 4x + 3 y = x + 3 Y

X 0

0 6

6

y = x + 6

y = x2 Y

X


257


Luas daerah yang diarsir pada gambar dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � 3√� − �4� ��

B. 5 = � 3� − √�4� ��

C. 5 = � 3√� − �4 � ��

D. 5 = � 3� − √�4 � ��

E. 5 = � �� − ��

Jawab : C


y1 = x ………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = x – x2 = 0 x = {0, 1}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −1

0

2 )( dxxx …………….…….(C)

7. UN 2013 Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …

A. 5 = � �� + 2 + ��8 ��

B. 5 = � �� − 2 − ��8 ��

C. 5 = � �� + 2 − ��8 ��

D. 5 = � �−� + 2 + ��

E. 5 = � �−� + 2 + �� 8 ��

Jawab : C


y1 = x + 2 ………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = – x2 + x + 2 = –(x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫−

++−2

1

2 )2( dxxx …………….…….(C)

y = x2

Y

X

0

y =

X

Y

y = x2

y = x + 2

0


258


Integral yang menyatakan Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …

A. −� 3√� − �4� ��

B. −� 3� − √�4� ��

C. −� 3√� + �4 � ��

D. � 3√� − �4 � ��

E. � 3√� − �4� ��

Jawab : D


y1 = x ………..….… grafik atas y2 = x _ ………… grafik bawah

y1 – y2 = x – x = 0 x = {0, 1}


L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −1

0

)( dxxx …………….…….(D)

9. UN 2012/A13 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah…

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

Jawab : C

Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat

y1 = x2 – 4x + 3 y2 = – x + 3 _

y1 – y2 = x2 – 3x D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(0) = 9 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

99

= 2

33⋅

= 2

9…………………………(C)

y = x

X

Y

0

y =


259


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1 adalah ...

A. 6

41 sat. luas D.

3

8 sat. luas

B. 3

19 sat. luas E.

6

11 sat. luas

C. 2

9 sat. luas Jawab : C


y1 = x2 – 4x + 3 y2 = x – 1 _

y1 – y2 = x2 – 5x + 4 D = b2 – 4ac = 52 – 4(1)(4) = 9 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

99

= 2

33⋅=

2

9………………(C)

11. UN 2012/D49 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x + 4, dan y = 1 – x adalah….

A. 3

2 sat. luas D.

3

8 sat. luas

B. 3

4 sat. luas E.

3

15 sat. luas

C. 4

7 sat. luas Jawab : B


y1 = x2 + 3x + 4 y2 = – x + 1 _

y1 – y2 = x2 + 4x + 3 D = b2 – 4ac = 42 – 4(1)(3) = 4 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

44

= 3

22 ⋅=

3

4………………(B)

12. UN 2011 PAKET 12

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = –x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah …

a. 38 satuan luas

b. 3

10 satuan luas

c. 3

14 satuan luas

d. 3

16 satuan luas

e. 326 satuan luas

Jawab : b

• Batas integral y1 = y2

4 – x2 = –x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2} Perpotongan dua kurva di x = –1 dan x = 2 Karena x = –1 di luar interval 0 ≤ x ≤ 2, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 2

• Luas daerah

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −−2

0

2 )2( dxxx

= 2

0

2213

31 2xxx −−

= 31 (2)3 –

21 (2)2 – 2(2) – 0

= |38 – 6 |

= |3188− |

= 3

10 ……..…………………………..(b)


260


Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …

a. 32 satuan luas

b. 34 satuan luas

c. 36 satuan luas

d. 38 satuan luas

e. 3

10 satuan luas

Jawab : e


x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0

x = {–1, 2} luas daerah yang dicari ada di kuadran I, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 2

• Luas daerah

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −−2

0

2 )2( dxxx

= 2

0

2213

31 2xxx −−

= 31 (2)3 –

21 (2)2 – 2(2) – 0

= |38 – 6 | = |

3188− |

= 3

10 ……..………………………..(e)

14. UN 2010 PAKET A Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … a. 5 satuan luas b. 7 satuan luas c. 9 satuan luas

d. 1031 satuan luas

e. 1032 satuan luas

Jawab : c


x2 – x – 2 = x + 1 x2 – x – 2 – x – 1 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0

x = {–1, 3} Perpotongan dua kurva di x = –1 dan x = 3 Karena x = –1 di luar interval 0 ≤ x ≤ 3, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 3

• Luas daerah

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫ −−3

0

2 )32( dxxx

= 3

0

2331 3xxx −−

= 31 (3)3 – 32 – 3(3) – 0

= 9 …………………………………..(c)


261


Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …

a. 241 satuan luas

b. 221 satuan luas

c. 341 satuan luas

d. 321 satuan luas

e. 441 satuan luas

Jawab : b


x3 = x x3 – x = 0 x2(x – 1) = 0 x = {0, 1} Perpotongan dua kurva di x = 0 dan x = 1 Karena luas yang ditanyakan antara x = 0 dan x = 2, maka batas integralnya adalah: 0 ≤ x ≤ 1 dan 1 ≤ x ≤ 2

• Luas daerah

L = ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

= ∫∫ −+−2

1

31

0

3 )()( dxxxdxxx

= 2

1

2214

41

1

0

2214

41 xxxx −+−

= |41 – 2

1 – 0| + |41 (2)4 – 2

1 (2)2 – (41 – 2

1 )|

= |– 41 | + |4 – 2 + 4

1 |

= 2 21 …………………………………..(b)


262


Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan …

a. dxxx∫ +−−4

2

2 )86( +

∫ +−−−4

3

2 ))86()2(( xxx

b. dxxx∫ +−−4

2

2 )86(

c. ( )dxxxx∫ +−−−4

3

231 )86()3(

d. dxxx∫ +−−4

3

2 )86( +

( )dxxxx∫ +−−−5

4

2 )86()3(

e. dxx∫ −4

2

)2( + ( )dxxxx∫ +−−−5

4

2 )86()2(

Jawab : e

L1 dibatasi oleh sumbu X dan garis y = x – 2,

maka:

L1 = ∫ −4

2

)2( dxx

L2 dibatasi oleh garis y = x – 2 dan

y = x2 – 6x + 8 maka:

L2 = ∫ +−−−5

4

2 )}86()2{( dxxxx

Dengan demikian luas daerah yang di arsir adalah

L = L1 + L2

= dxx∫ −4

2

)2( + ( )dxxxx∫ +−−−5

4

2 )86()2( .….(e)

17. UN 2008 PAKET A/B Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = 1+x , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah … a. 6 satuan luas

b. 632 satuan luas

c. 1731 satuan luas

d. 18 satuan luas

e. 1832 satuan luas

Jawab : c

y = 1+x = 21

)1( +x

∫ y dx = ∫ 21

)1( +x dx

= 23

)1(1

23

+x = 211

)1(3

2 +x = 1)1(32 ++ xx

L = ∫ba

bb

dxy

= 8

032 1)1( ++ xx

= { }10)10(18)18(32 ++−++

= 32 (9 ⋅ 3 – 1)=

32 (26) =

352 = 17

31 …...(c)


263


Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … a. 0 satuan luas b. 1 satuan luas

c. 4 21 satuan luas

d. 6 satuan luas e. 16 satuan luas

Jawab : c


x1 = y2 x2 = y + 2 _

x1 – x2 = y2 – y – 2 • D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)( –2) = 9 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

99

= 6

39 ⋅

= 2

9= 4 2

1 ……………………(c)

19. UN 2006

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan … a. 30 satuan luas b. 26 satuan luas

c. 364 satuan luas

d. 350 satuan luas

e. 3

14 satuan luas

Jawab : b


x2 – 2x = 6x – x2 x2 + x2 – 2x – 6x = 0

2x2 – 8x = 0 2x(x – 4) = 0

x = {0, 4} Perpotongan dua kurva di x = 0 dan x = 4 Karena luas yang ditanyakan pada interval 0 ≤ x ≤ 5, maka batas integralnya adalah: 0 ≤ x ≤ 4 dan 4 ≤ x ≤ 5

• Luas daerah ∫ (y1 – y2) dx = ∫ (2x2 – 8x) dx

= 32 x3 – 4x2 =

32 x2 (x – 6)

L1 = ∫ −4

0

2 )82( dxxx = 4

0

232 )6( −xx

= 0)64(4232 −−⋅ =

364

L2 = ∫ −5

4

2 )82( dxxx = 5

4

232 )6( −xx

= )64(4)65(5 2322

32 −⋅−−⋅

= 364

350 +− =

314

L = L1 + L2

L = 364 +

314 =

378 = 26……………………..(b)


264


Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah … a. 57,5 satuan luas b. 51,5 satuan luas c. 49,5 satuan luas d. 25,5 satuan luas e. 22,5 satuan luas Jawab : E

(i) Batas Integral y1 = y2 x2 = 12 – x

x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 ⇒ x = {– 4 , 3}

karena luas daerah yang ditanyakan ada di kuadran I, maka batas integralnya 0 ≤ x ≤ 3

(ii) luas daerah

L = dxxx∫ −+3

0

2 )12(

= 3

0

2213

31 12xxx −+

= }0{)3(12)3()3( 2213

31 −−+

= 9 + 4,5 – 36 = |– 22,5| = 22,5 ……….(e)

21. UAN 2003 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah …

a. 232 satuan luas

b. 252 satuan luas

c. 231 satuan luas

d. 332 satuan luas

e. 431 satuan luas

Jawab : a


y1 = x2 – 9x + 15 y2 = –x2 + 7x – 15 _

y1 – y2 = 2x2 – 16x + 30 • D = b2 – 4ac = (-16)2 – 4(2)(30) = 16 Maka :

L = 26a

DD =

2)2(6

1616

= 46

416

⋅⋅

= 3

8= 2

32 ……………………(a)

22. EBTANAS 2002 Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … a. 36 satuan luas

b. 4131 satuan luas

c. 4132 satuan luas

d. 46 satuan luas

e. 4632 satuan luas

Jawab : a


y1 = –x2 + 8 y2 = 2x _

y1 – y2 = –x2 – 2x + 8 • D = b2 – 4ac = (2)2 – 4(–1)(8) = 36 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

3636

−

= 6

636⋅

= 36……………………(a)


265

b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

V = ∫b

a

dxxf 2))((π atau V = ∫b

a

dxy 2π V = ∫d

c

dyyg 2))((π atau V = ∫d

c

dyx2π

V = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({( 22π atau V = ∫ −b

a

dxyy )( 22

21π V = ∫ −

d

c

dyygyf )}()({ 22π atau V =

∫ −d

c

dyxx )( 22

21π


266

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013, UN 2012/B25, UN 2011 PAKET 12 Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = � dan 9 = 2� jika di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …

A. �� π satuan volume

B. ��' π satuan volume

C. � ' π satuan volume

D. �� 'π satuan volume

E. �� π satuan volume

Jawab : D

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2

y2 = 2x _ y1 – y1 = x2 – 2x = x(x – 2) = 0

x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2

y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = 2x ⇒ 22y = 4x2

21y – 2

2y = x4 – 4x2

• Volume benda putar mengelilingi sumbu X

V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫ −2

0

24 )4( dxxx

= π [ ] 2

03

345

51 xx −

F(2) = 3345

51 )2()2( − = 5

32 – 332 = 15

16096− = 1564−

F(0) = 0

= 1564−

Jadi, V = �� 'π…………………………………(D)


267


Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = 2� dan 9 = 4� bila di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …

A. '� � π satuan volume

B. �� π satuan volume

C. '� ' π satuan volume

D. �' ' π satuan volume

E. �� ' π satuan volume

Jawab : C

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = 2x2

y2 = 4x _ y1 – y1 = 2x2 – 4x = 2x(x – 2) = 0


y1 = 2x2 ⇒ 21y = 4x4

y2 = 4x ⇒ 22y = 16x2

21y – 2

2y = 4x4 – 16x2


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫ −2

0

24 )164( dxxx

= π [ ] 2

03

3165

54 xx −

F(2) = 33

16554 )2()2( − = 5

128 – 3128 = 15

640384− = 15256−

F(0) = 0

= 15256−

Jadi, V = '� ' π…………………………………(C)

3. UN 2013 Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = � dan 9 = 3� yang di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …

A. �' π satuan volume


C. �' π satuan volume

D. :�� π satuan volume

E. �' π satuan volume

Jawab : C


y2 = 3x _ y1 – y1 = x2 – 3x = x(x – 3) = 0


y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = 3x ⇒ 22y = 9x2

21y – 2

2y = x4 – 9x2


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫ −3

0

24 )9( dxxx

= π [ ] 3

03

395

51 xx −

F(3) = 3551 )3(3)3( − = 5

243 – 5581× = 5

405243− = 5162−

F(0) = 0

= 5162−

Jadi, V = �' π…………………………………(C)


268


Daerah yang dibatasi kurva 9 = � dan garis � + 9 − 2 = 0 di putar mengelilingi sumbu–X. Volume benda putar yang terjadi adalah …

A. 15 �π satuan volume

B. 15 'π satuan volume

C. 14 'π satuan volume

D. 14 �π satuan volume

E. 10 �'π satuan volume

Jawab : C


y2 = –x + 2 _ y1 – y1 = x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0

x = {–2 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –2 dan ba = 1

y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = –x + 2 ⇒ 22y = x2 – 4x + 4

21y – 2

2y = x4 –x2 + 4x – 4


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫−

−+−1

2

24 )44( dxxxx

= π [ ] 1

22

243

315

51 4

−−+− xxxx

F(1) = )1(4)1(2)1()1( 23315

51 −+− = 23

151 −−

F(–2) = )2(4)2(2)2()2( 23315

51 −−−+−−− = 16

38

532 ++−

= 183533 −− = 216

53 − =

5214−

Jadi, V = 5214 π…………………………………(C)

5. UN 2013 Suatu daerah yang dibatasi kurva 9 = � dan 9 = −� + 2 di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah …

A. ��π satuan volume


C. �� π satuan volume

D. �� π satuan volume

E. �� π satuan volume

Jawab : B


y2 = –x2 + 2 _ y1 – y1 = 2x2 – 2 = 2(x2 – 1) = 2(x + 1)(x – 1) = 0


y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = –x2 + 2 ⇒ 22y = x4 – 4x2 + 4

21y – 2

2y = 4x2 – 4


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫−

−1

1

2 )44( dxx

= π [ ] 1

13

34 4

−− xx

F(1) = )1(4)1( 334 − = 43

4 −

F(–1) = )1(4)1( 334 −−− = 43

4 +−

= 838 − = 3

2438 − = 3

16−

Jadi, V = �� π…………………………………(B)


269


Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = 4 − � dan garis 9 = � + 2 jika di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah … A. 12π satuan volume

B. ;' π satuan volume

C. 18π satuan volume

D. :' π satuan volume

E. ��' π satuan volume

Jawab : E

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x + 2

y2 = 4 – x2 _ y1 – y1 = x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0


y1 = x + 2 ⇒ 21y = x2 + 4x + 4

y2 = 4 – x2 ⇒ 22y = x4 – 8x2 + 16

21y – 2

2y = –x4 + 9x2 + 4x – 12


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫−

−++−1

2

24 )1249( dxxxx

= π [ ] 1

22

243

395

51 12

−−++− xxxx

F(1) = )1(12)1(2)1(3)1( 23551 −++− = 75

1 −−

F(–2) = )2(12)2(2)2(3)2( 23551 −−−+−+−− = 8

532 +

= 15533 −− = 5

108−

Jadi, V = ��' π…………………………………(E)

7. UN 2013 Daerah yang dibatasi kurva 9 =� + 1 dan 9 = � + 3 di putar 360° mengelilingi sumbu–X. Volume yang terjadi adalah …

A. 36 �'π satuan volume

B. 36 'π satuan volume

C. 32 �'π satuan volume

D. 23 'π satuan volume

E. 23 'π satuan volume

Jawab : D

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2 + 1

y2 = x + 3 _ y1 – y1 = x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2) = 0


y1 = x2 + 1 ⇒ 21y = x4 + 2x2 + 1

y2 = x + 3 ⇒ 22y = x2 + 6x + 9

21y – 2

2y = x4 + x2 – 6x – 8


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫−

−−+2

1

24 )86( dxxxx

= π [ ] 2

12

263

315

51 8

−−−+ xxxx

F(2) = )2(8)2(3)2()2( 23315

51 −−+ = 28

38

532 −+

F(–1) = )1(8)1(3)1()1( 23315

51 −−−−−+− = 53

151 +−−

= 333533 −+ = 306

53 − =

5223−

Jadi, V = 23 'π…………………………………(D)


270


Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 4x – 3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah

A. π15

1113 satuan volume

B. π15

413 satuan volume

C. π15

1112 satuan volume

D. π15

712 satuan volume

E. π15

412 satuan volume

Jawab : E


y2 = 4x – 3 _ y1 – y1 = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0


y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = 4x – 3 ⇒ 22y = 16x2 – 24x + 9

21y – 2

2y = x4 – 16x2 + 24x – 9


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫ −+−3

1

24 )92416( dxxxx

= π [ ] 3

123

3165

51 912 xxxx −+−

F(3) = )3(9)3(12)3()3( 233

16551 −+− = 5

243 – 63

F(1) = )1(9)1(12)1()1( 233

16551 −+− = 3

1651 − + 3

= 5

242 + 316 – 66 = 15

99080726 −+ = 15184− =

15412−

Jadi, V = π15

412 …………………………….(E)

9. UN 2012/D49 Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang di batasi oleh kurva y = –x2 dan y = –2x di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ….

A. π15

113 satuan volume

B. π15

44 satuan volume

C. π15

116 satuan volume

D. π15

66 satuan volume

E. π15

117 satuan volume

Jawab : B

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = –x2

y2 = –2x _ y1 – y1 = –x2 + 2x = –x(x – 2) = 0


y1 = –x2 ⇒ 21y = x4

y2 = –2x ⇒ 22y = 4x2

21y – 2

2y = x4 – 4x2


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22 = π ∫ −

2

0

24 )4( dxxx

= π [ ] 2

03

345

51 xx − = 3

345

51 )2()2( −

= 332

532 − = 15

16096−

= 1564− =

1544−

Jadi, V =1544 π ....................................................(B)


271


Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah …

a. 51 π satuan volum

b. 52 π satuan volum

c. 53 π satuan volum

d. 54 π satuan volum

e. π satuan volum

Jawab : a

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2

2 – x = 2x – x2 x2 – 2x – x + 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = {1 , 2} Jadi, batas integralnya bb = 1 dan ba = 2

• 21y = (2 – x)2 = x2 – 4x + 4

22y = (2x – x2)2 = x4 – 4x3 + 4x2

21y – 2

2y = x4 – 4x3 + 3x2 + 4x – 4


V = π ∫ −ba

bb

dxyy )( 21

22

= π ∫ −++−2

1

234 )4434( dxxxxx

= π 2

1

234551 42 xxxxx −++−

= π| −⋅−⋅++−⋅ 2422222 234551 )4211(

51 −++− |

= π| 2851

532 +−− | = | 5

30531 − |π =

51 π……….(a)

11. UN 2010 PAKET B

Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah …




d. 3

10 π satuan volum

e. 2π satuan volum

Jawab : a

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2

x2 = x ……. Kuadratkan kedua ruas x4 = x x4 – x = 0 x3(x – 1) = 0 ⇒ x = {0 , 1}

Jadi, batas integralnya 0 ≤ x ≤ 1

• 22y – 2

1y = (x2)2 – ( x )2 = x4 – x

∫( 22y – 2

1y )dx = 51 x5 – 2

1 x2


V = π ∫ −1

0

21

22 )( dxyy = π

1

0

2215

51 xx −

= π 021

51 −−

= π105

102 − =

103 π ………(a)


272


Perhatikan gambar di bawah ini: Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume

a. π15123

b. π1583

c. π1577

d. π1543

e. π1535

Jawab : c

Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka:

(i) Batas Integral dari gambar diketahui jika batas integralnya adalah x = {– 1, 0}

(ii) Volume benda putar mengelilingi sumbu X

V = dxyyb

a∫ − )( 2

221π

= dxxx∫−

−−0

1

222 })()4{(π

= dxxx∫−

−0

1

42 )16(π

= 0

1

5513

316

−− xxπ

= π)})1()1((0{ 5513

316 −−−−

= π}{ 51

316 −

= π15380− = π15

77 …………..……..(c)

13. UN 2008 PAKET A/B Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

a. 432 π satuan volume

b. 631 π satuan volume

c. 832 π satuan volume

d. 1032 π satuan volume

e. 1231 π satuan volume

Jawab : c

Volume benda putar mengelilingi sumbu X

V = π ∫ba

bb

dxy2

= π ∫ −3

1

2)4( dxx

= π ∫ +−3

1

2 )168( dxxx

= π3

1

2331 164 xxx +−

= π )164(3163433123

31 +−−⋅+⋅−⋅

= π|9 – 36 + 48 – 31 – 12|

= π|9 – 31 | = 8

32 π …………………..(c)


273


Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah … a. 2π satuan volum.

b. 2 21 π satuan volum.

c. 3π satuan volum.

d. 431 π satuan volum.

e. 5π satuan volum.

Jawab : a

Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:

(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y

Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0 y = x2 + 1 y = 0 + 1 = 1

karena kurva dibatasi oleh garis y = 3, maka batas integralnya 1 ≤ y ≤ 3

(ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y

y = x2 + 1 ⇒ x2 = y – 1

V = dyxb

a∫

2π = dyy∫ −3

1

)1(π

= 3

1

221 yy −π

= π)}1)1((3)3({ 2212

21 −−−

= π}13{ 21

29 +−− = 2π………………(a)

15. UN 2005 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….




d. 554 π satuan volum

e. 954 π satuan volum

Jawab : c


(i) Batas Integral y1 = y2

x2 = x8 x4 = 8x x4 – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena

y = x2, maka y = {0, 4}

Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y

y = x2 x2 = y (y2 = 8x)2 ⇒ x2 =

64

4y= 4

34

1y

V = dyxxb

a∫ − )( 2

221π

= dyyy∫ −4

0

43

}4

1{π =

4

0

53

221

54

1yy

⋅−π

= π)}0()4(54

1)4({ 5

32

21 −

⋅−

= π}8{ 516− = π}38{

51−

= 454 π………………..…..(c)


274


Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan kurva

y = x4− diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …

a. ∫ −π2

0

22)y4( dy satuan volume

b. ∫ −π2

0

2y4 dy satuan volume

c. ∫ −π2

0

2)y4( dy satuan volume

d. ∫ −π2

0

22)y4(2 dy satuan volume

e. ∫ −π2

0

2)y4(2 dy satuan volume

Jawab : a


(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y

Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0

y = x4−

y = 04 − = 2 karena kurva dibatasi oleh sumbu X, maka batas integralnya 0 ≤ y ≤ 2

(ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y

y = x4− y2 = 4 – x x = 4 – y2

V = dyxb

a∫

2π

= dyy∫ −2

0

22)4(π ……………………(a)


275


Gambar berikut merupakan kurva dengan persamaan

y = x 23030 x− . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan …

a. 6π satuan volum b. 8π satuan volum c. 9π satuan volum d. 10π satuan volum e. 12π satuan volum

Jawab : b

Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral

Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0

y = x 2x3030−

0 = x 2x3030− 0 = x2(30 – 30x2) 0 = 30x2(1 – x2) 0 = 30x2(1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1} maka batas integralnya yaitu – 1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1

(ii) Volume benda putar mengelilingi sumbu X Perhatikan gambar! karena V1 = V2, maka V = 2V1

y2 = 2

23030

− xx = x2(30 – 30x2)

= 30x2 – 30x4

V = 2( dxyb

a∫

2π )

= dxxx∫−

−0

1

42 )3030(2π

= 0

1

53 6102−

− xxπ

= π2})1(6)1(10(0{ 53 −−−−

= π2)610( +−− = 8π………………...(b)

16. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:

y – y1 = m(x – x1)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

)xx(xx

yyyy 1

12

121 −

−−

=−

c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di

(0, a) adalah:

ax + by = ab

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Gambarkan garis ax + by = c

2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c,

kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c 3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut

dengan batas garis ax + by = c 4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik

tersebut dengan batas garis ax + by = c

0 x1

y1 (x1, y1)

X

Y

0 x2

y2

(x1, y1)

X

Y

(x2, y2)

x1

y1

0 b

a

(b, 0)X

Y

(0, a)

O

ax + by = c

Y

X

a

b

(0, a)

(b, 0)

(x, y)

titik uji

SIAP UN IPA 2014 Program Linear

277

C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum I. Metode Uji Titik Pojok 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)

2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum

3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan dengan tanda pertidaksamaan keduanya kembar, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:

1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X

• Jika tujuannya maksimum pilih titik potong yang terkecil (0, a) dan (q, 0)

• jika tujuannya minimum pilih titik potong yang terbesar (0, p), (b, 0)

2. Titik potong antara kedua garis (x, y)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y)(0,a)

(q,0)

Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan

(x, y)

0

a

X

Y

b g

HPp

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan

(x, y)


278

II. Metode garis selidik Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, ⇒ mz =

sr−

Garis g: ax + by = ab, ⇒ mg = ba−

Garis h: px + qy = pq, ⇒ mh = qp−

• Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini

mh ≤ mg ≤ mz

X Z Y (1)

mh ≤ mz ≤ mg

X Z Y (2)

mz ≤ mh ≤ mg

X Z Y (3)

KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dan garis g 3. mh di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y

• Fungsi tujuan maksimum

Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini

mh ≤ mg ≤ mz

X Z Y (1)

mh ≤ mz ≤ mg

X Z Y (2)

mz ≤ mh ≤ mg

X Z Y (3)

KESIMPULAN: Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h 3. mh di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X

0

a

X

Y

b g

HPp

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HPp

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HPp

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y)(0,a)

(q,0)0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y)(0,a)

(q,0)0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y)(0,a)

(q,0)


279

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013, UN 2009

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah … A. Rp176.000,00 B. Rp200.000,00 C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp340.000,00 Jawab : C

Misal x = jumlah mobil kecil , y = jumlah mobil besar

i) Fungsi obyektif = penghasilan maksimum f(x,y) = 1.000x + 2.000y

ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• luas parkir : 4x + 20y ≤ 1.760 ⇔ x + 5y ≤ 440

• daya tampung : x + y ≤ 200

Gradient garis

1.000x + 2.000y = Z ⇒ mz= 21−

x + 5y ≤ 440 ⇒ m1 = 51−

x + y ≤ 200 ⇒ m2 = –1 mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –1 ≤ 2

1− ≤

51− ,

maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:

x + 5y = 440 x + y = 200 _ 4y = 240 y = 60 ⇒ x = 200 – 60 = 140 Jadi, titik potongnya (140, 60)

f(x, y) = 1.000x + 2.000y = 1.000(x + 2y) f(140,60) = 1.000{140 + 2(60)}

= 1.000(260) = 260.000 ………….(C) 2. UN 2012/A13

Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah… A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 D. Rp24.000,00 E. Rp36.000,00 Jawab : B

Misal x = jumlah kapsul, y = jumlah tablet

i) Fungsi obyektif = biaya minimum f(x,y) = 1.000x + 800y


• Jumlah kalsium: 5x + 2y ≥ 60

• Jumlah zat besi: 2x + 2y ≥ 30 ⇔ x + y ≥15

Gradient garis

1.000x + 800y = Z ⇒ mz= 800000.1− = 4

5−

5x + 2y ≥ 60 ⇒ m1 = 25−

x + y ≥ 15 ⇒ m2 = –1

mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = 25− ≤ 4

5− ≤ –1,

maka nilai minimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 5x + 2y = 60 x + y = 15 ⇔ 2x + 2y = 30 _

3x = 30 x = 10

y = 15 – 10 = 5 Jadi, titik potongnya (10, 5)

f(x, y) = 1.000x + 800y = 100(10x + 8y) f(10,5) = 100{10(10) + 8(5)}

= 100(140) = 14.000 ………….(B)


280


Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00, jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang di terima pedagang adalah …. A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E Rp8.400,000,00 Jawab : A

Misal x = jumlah sepeda gunung, y = jumlah sepeda balap

i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = 500.000x + 600.000y


• Jumlah sepeda : x + y ≤ 25

• Jumlah modal :

1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 84

Gradient garis

500.000x + 600.000y = Z ⇒ mz= 65−

x + y ≤ 25 ⇒ m1 = –1

3x + 4y ≤ 84 ⇒ m2 = 43−

mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = –1 ≤ 65−

≤

43− ,


3x + 4y = 84 x + y = 25 ⇔ 3x + 3y = 75 _ y = 9 x = 25 – 9 = 16 Jadi, titik potongnya (16, 9)

f(x, y) = 5x + 6y dalam ratusan ribu f(16,9) = 5(16) + 6(9)

= 80 + 54 = 134 ………….(A) 4. UN 2012/E52

Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue.Kue jenis I memerlukan40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula.Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. Jika kue di jual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II di jual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang di peroleh ibu adalah…. A. Rp30.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.200,00 E. Rp72.000,00 Jawab : -

Misal x = jumlah kue I, y = jumlah kue II i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum

f(x,y) = 4.000x + 1.600y


• tepung: 40x + 20y ≤ 6.000 ⇔ 2x + y ≤ 300

• gula : 30x + 10y ≤ 4.000 ⇔ 3x + y ≤ 400

Gradient garis

4.000x + 1.600y = Z ⇒ mz= 600.1000.4− = 2

5−

2x + y ≤ 300 ⇒ m1 = –2

3x + y ≤ 400 ⇒ m2 = –3

mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –3 ≤ 25−

≤ –2, maka

nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 3x + y = 400 2x + y = 300 _ x = 100 y = 300 – 2x = 300 – 2(100) = 100 Jadi, titik potongnya (100, 100)

f(x, y) = 4.000x + 1.600y f(100,100) = 4.000(100) + 1.600(100)

= 400.000 + 160.000 = 560.000


281


Penjahit ”Indah Pantes” akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita di perlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan polos 2 m. Penjahit hanya memeliki persediaan bahan bergaris dan bahan polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00, maka pendapatan maksimum yang di dapat adalah ... A. Rp2.700.000,00 B. Rp2.900.000,00 C. Rp3.700.000,00 D. Rp3.900.000,00 E. Rp4.100.000,00 Jawab : B

Misal x = jumlah pakaian pria, y = jumlah pakaian wanita

i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = 150.000x + 100.000y


• Bahan bergaris : 2x + y ≤ 36

• Bahan polos : x + 2y ≤ 30

Gradient garis

150.000x + 100.000y = Z ⇒ mz= 23−

2x + y ≤ 36 ⇒ m1 = –2

x + 2y ≤ 30 ⇒ m2 = 21−

mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = –2 ≤ 23−

≤

21− ,


2x + y = 36 x + 2y = 30 ⇔ 2x + 4y = 60 _ 3y = 24 y = 8 x = 30 – 2y = 30 – 2(8) = 30 – 16 = 14 Jadi, titik potongnya (14, 6)

f(x, y) = 15x + 10y dalam puluhan ribu f(14,8) = 15(14) + 10(8)

= 210 + 80 = 290 ………….(B) 6. UN 2011 PAKET 12

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah … a. Rp12.000,00 b. Rp14.000,00 c. Rp16.000,00 d. Rp18.000,00 e. Rp20.000,00 Jawab : e

Misal x = jumlah tablet I, y = jumlah tablet II

i) Fungsi obyektif = pengeluaran minimum f(x,y) = 4.000x + 8.000y


• Jumlah vit. A: 5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 5

• Jumlah vit. B: 3x + y ≥ 5

Gradient garis

4.000x + 8.000y = Z ⇒ mz= 000.8000.4− = 2

1−

x + 2y ≥ 5 ⇒ m1 = 21−

3x + y ≥ 5 ⇒ m2 = –3 mz di kanan: m2 ≤ m1 ≤ mz = –3 ≤

21− ≤

21− , maka

nilai minimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X x + 2y = 5 memotong sumbu X ⇒ y = 0 x + 0 = 5

Jadi, titik potongnya (5, 0)

f(x, y) = 4.000x + 8.000y f(5,0) = 4.000(5) + 0

= 20.000 ……………………….(E)


282


Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak… a. 100 rumah tipe A saja b. 125 rumah tipe A saja c. 100 rumah tipe B saja d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawab : a

Misal x = jumlah tipe A, y = jumlah tipe B

i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = (10x + 6y) dalam puluhan juta


• Luas tanah : 100x + 75y ≤ 10.000

⇔ 4x + 3y ≤ 400

• Jumlah rumah : x + y ≤ 125

Gradient garis

10x + 6y = Z ⇒ mz= 610− = 3

5−

4x + 3y ≤ 400 ⇒ m1 = 34−

x + y ≤ 125 ⇒ m2 = –1

mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 35− ≤

34− ≤ –1, maka

nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 4x + 3y = 400 memotong sumbu X ⇒ y = 0 4x + 0 = 400 x = 100 ∴Supaya pendapatan maksimum, maka harus dibangun 100 rumah tipe A saja ……………..(a)

8. UN 2010 PAKET A Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat? a. 6 jenis I b. 12 jenis II c. 6 jenis I dan jenis II d. 3 jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II

Jawab : e

Misal x = jumlah barang I, y = jumlah barang II

i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = (25x + 40y) dalam puluhan ribu


• Unsur A: x + 3y ≤ 18

• Unsur B: 2x + 2y ≤ 24 ⇔ x + y ≤ 12

Gradient garis

25x + 40y = Z ⇒ mz= 4025− = 8

5−

x + 3y ≤ 18 ⇒ m1 = 31−

x + y ≤ 12 ⇒ m2 = –1

mz di tengah: mz ≤ m1 ≤ m2 = –1≤ 85− ≤

31− , maka

nilai maksimum ada di titik potong dua garis yaitu: x + 3y = 18 x + y = 12 ⇔ 3x + 3y = 36 _ 2x = 18 x = 9 y = 12 – x = 12 – 9 = 3 Jadi, titik potongnya (9, 3)

Jadi, agar penjualannya mencapai maksimum, barang yang harus dibuat adalah : 9 jenis I dan 3 jenis II ……………………..(e)


283


Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah … a. Rp 575.000.000,00 b. Rp 675.000.000,00 c. Rp 700.000.000,00 d. Rp 750.000.000,00 e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c


i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = (7x + 4y) dalam juta


• Luas tanah : 100x + 75y ≤ 10.000

⇔ 4x + 3y ≤ 400


Gradient garis

7x + 4y = Z ⇒ mz= 47−

4x + 3y ≤ 400 ⇒ m1 = 34−

x + y ≤ 125 ⇒ m2 = –1

mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 47− ≤

34− ≤ –1, maka

nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 4x + 3y = 400 memotong sumbu X ⇒ y = 0 4x + 0 = 400 x = 100


f(x, y) = (7x + 4y) dalam juta f(100,0) = 7(100) + 0

= 700 ……………………….(C)

10. UN 2008 PAKET A/B Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan tiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah … a. Rp 600.000.000,00 b. Rp 640.000.000,00 c. Rp 680.000.000,00 d. Rp 720.000.000,00 e. Rp 800.000.000,00 Jawab : b


i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = (4x + 3y) dalam juta


• Luas tanah : 150x + 100y ≤ 24.000

⇔ 3x + 2y ≤ 480


Gradient garis

4x + 3y = Z ⇒ mz = 34−

3x + 2y ≤ 480 ⇒ m1 = 23−

x + y ≤ 200 ⇒ m2 = –1 mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 3

4− ≤23− ≤ –1, maka

nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 3x + 2y = 480 memotong sumbu X ⇒ y = 0 3x + 0 = 480 x = 160


f(x, y) = (4x + 3y) dalam juta f(160,0) = 4(160) + 0

= 640 ……………………….(B)


284


Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah … a. Rp 7.200.000,00 b. Rp 9.600.000,00 c. Rp 10.080.000,00 d. Rp 10.560.000,00 e. Rp 12.000.000,00

Jawab : d

titik B, perpotongan garis

3x + 4y = 720 | × 1 ⇔ 3x + 4y = 720 x + 3y = 480 | × 3 ⇔ 3x + 9y = 1.440 _

–5y = –720 y = 144

x + 3y = 480 ⇔ x + 3(144) = 480 x = 480 – 432 = 48

Jadi, titik B ……..………………….(48, 144) f(48, 144) = 40.000(48) + 60.000(144)

= 1.920.000 + 8.640.000 = 10.560.000 ………….…………(d)

Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bahan Barang I (x) Barang II (y) Stok

A 1 3 480 B 3 4 720 C 2 1 360

Harga 40.000 60.000 • System pertidaksamaannya adalah:

x + 3y ≤ 480 …………...…………bahan A 3x + 4y ≤ 720………......................bahan B 2x + y ≤ 360 ……………………...bahan C x ≥ 0, y ≥ 0 ………….jumlah barang tidak

mungkin negative, • fungsi obyektifnya adalah :

f(x, y) = 40.000x + 60.000y

• Daerah Himpunan penyelesaian

Z = 40.000x + 60.000y ⇒ m = 000.60

000.40− = 120

80−

Dengan menggunakan bantuan garis selidik dengan

m = 120

80− (lihat gambar) diketahui jika koordinat

terluar yang dilalui garis selidik ada pada titik B, sehingga nilai maksimum fungsi obyektif ada pada titik B.

Garis selidik dengan m =

Garis selidik terluar

80

120


285


Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00. keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah … a. Rp 120.000,00 b. Rp 108.000,00 c. Rp 96.000,00 d. Rp 84.000,00 e. Rp 72.000,00

Jawab : b

Misal x = jumlah tas, y = jumlah sepatu i) Fungsi obyektif = laba maksimum

f(x,y) = 18.000x + 12.000y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• Unsur P : x + 2y ≤ 8

• Unsur K : 2x + 2y ≤ 12 ⇔ x + y ≤ 6

Gradient garis

18.000x + 12.000y = Z ⇒ mz= 000.12000.18− = 2

3−

x + 2y ≤ 8 ⇒ m1 = 21−

x + y ≤ 6 ⇒ m2 = –1

mz di kiri : mz ≤ m2 ≤ m1 = 23− ≤ –1

≤

21− , nilai

maksimum ada di titik potong garis m2 dengan sumbu X x + y = 6 memotong sumbu X ⇒ y = 0 x + 0 = 6

x = 6 Jadi, titik potongnya (6, 0)

f(x, y) = 18.000x + 12.000y f(6,0) = 18.000(6) + 0

= 108.000 ……………………….(B)

13. UN 2006 Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp2.500,00/buah dan kado jenis B Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah … a. Rp 40.000,00 b. Rp 45.000,00 c. Rp 50.000,00 d. Rp 55.000,00 e. Rp 60.000,00

Jawab : b

Misal x = jumlah kado A, y = jumlah kado B i) Fungsi obyektif = upah maksimum

f(x,y) = 2.500x + 2.000y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• Kertas : 2x + 2y ≤ 40 ⇔ x + y ≤ 20

• Pita : 2x + y ≤ 30

Gradient garis

2.500x + 2.000y = Z ⇒ mz = 000.2500.2− = 4

5−

x + y ≤ 20 ⇒ m1 = –1

2x + y ≤ 30 ⇒ m2 = –2

mz di tengah: m2 ≤ mz ≤ m1 = –2 ≤ 45−

≤ –1, maka

nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 2x + y = 30 x + y = 20 ⇔ 2x + 2y = 40 _ y = 10 x = 20 – y = 20 – 10 = 10 Jadi, titik potongnya (10, 10)

f(x, y) = 2.500x + 2.000y f(10,10) = 2.500(10) + 2.000(10)

= 25.000 + 20.000 = 45.000 ………….(B)


286


Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas ekonomi Rp 300.000,00, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah … a. Rp 15.000.000,00 b. Rp 18.000.000,00 c. Rp 20.000.000,00 d. Rp 22.000.000,00 e. Rp 30.000.000,00

Jawab : c

Misal x = jumlah penumpang kelas utama, y = jumlah penumpang kelas ekonomi

i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum

f(x,y) = 500.000x + 300.000y


• Tempat duduk : x + y ≤ 60

• Kapasitas bagasi : 50x + 20y ≤ 1.500

⇔ 5x + 2y ≤ 150

Gradient garis

500.000x + 300.000y = Z ⇒ mz = 35−

x + y ≤ 60 ⇒ m1 = –1

5x + 2y ≤ 150 ⇒ m2 = 25−

mz di tengah: m2 ≤ mz ≤ m1 = 25− ≤ 3

5− ≤ –1,


5x + 2y = 150 x + y = 60 ⇔ 2x + 2y = 120 _ 3x = 30

x = 10 x = 60 – y = 60 – 10 = 50 Jadi, titik potongnya (10, 50)

f(x, y) = 500.000x + 300.000y f(10,50) = 500.000(10) + 300.000(50)

= 5.000.000 + 15.000.000 = 20.000.000 ……………..….(C)

15. UN 2004 Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah … a. 10 potong b. 11 potong c. 12 potong d. 14 potong e. 16 potong

Jawab : c

Misal x = jumlah pakaian I, y = jumlah pakaian II i) Fungsi obyektif = jumlah maksimum

f(x,y) = x + y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• Bahan polos : x + 2y ≤ 20

• Bahan corak : 1,5x + 0,5y ≤ 10 ⇔3x + y ≤ 20

Gradient garis

x + y = Z ⇒ mz= –1

x + 2y ≤ 20 ⇒ m1 = 21−

3x + y ≤ 20 ⇒ m2 = –3 mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –3 ≤ –1

≤

21− , maka

nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: x + 2y = 20 3x + y = 20 ⇔ 6x + 2y = 40 _ 5x = 20 x = 4 y = 20 – 3x = 20 – 3(4) = 20 – 12 = 8 Jadi, titik potongnya (4, 8)

f(x, y) = x + y f(4,8) = 4 + 8 = 12 ………………….(C)


287


Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan

≥≥≤+≤+

0,0

4842

6024

yx

yx

yx adalah …

a. 120 b. 118 c. 116 d. 114 e. 112

Jawab : a

Gradient garis

6x + 8y = Z ⇒ mz= 86− =

43−

4x + 2y ≤ 60 ⇔ 2x + y ≤ 30 ⇒ m1 = –2

2x + 4y ≤ 48 ⇒ m2 = 42− =

21−

mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –2 ≤ 43− ≤

21− ,


2x + 4y = 48 2x + y = 30 _ 3y = 18 y = 6 2x = 30 – y = 30 – 6 = 24 x = 12 Jadi, titik potongnya (12, 6)

f(x, y) = 6x + 8y f(12,6) = 6(12) + 8(6)

= 72 + 48 = 120………………….(A) 17. EBTANAS 2002

Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah … a. 30% b. 32% c. 34% d. 36% e. 40% Jawab : c

Misal x = jumlah kue I, y = jumlah kue II i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum

f(x,y) = 40%×200x + 30%×300y = 80x + 90y


• Jumlah modal: 200x + 300y ≤ 100.000

⇔ 2x + 3y ≤ 1000

• Jumlah kue : x + y ≤ 400

Gradient garis

80x + 90y = Z ⇒ mz= 98−

2x + 3y ≤ 1000 ⇒ m1 = 32−

x + y ≤ 400 ⇒ m2 = –1 mz di tengah: m2 ≤ m1 ≤ mz = –1 ≤

98− ≤

32− , nilai

maksimum ada di titik potong dua garis yaitu: yaitu:

2x + 3y = 1000 x + y = 400 ⇔ 2x + 2y = 800 _ y = 200 x = 400 – y = 400 – 200 = 200 Jadi, titik potongnya (200, 200)

f(x, y) = 80x + 90y f(200,200) = 80(200) + 90(200)

= 34.000 Prosentase = %

000.100100000.34 × = 34% …………….(C)

17. MATRIKS A. Transpose Matriks

Jika A =

dc

ba, maka transpose matriks A adalah AT =

db

ca

B. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak

Jika A =

dc

ba, dan B =

nm

lk, maka A + B =

dc

ba+

nm

lk =

++++

ndmc

lbka

Jika A =

dc

ba, maka nA = n

dc

ba =

dncn

bnan


Diketahui matriks A =�−2 �6 3� ,

B = �−5 14� −2 , dan C = �� −11 5 �.

Jika A – B = C, maka � + � + � =… A. 15 B. 21 C. 22 D. 27 E. 29 Jawab : B

A – B = C

⇔ �−2 �6 3� – �−5 14� −2 = �� −11 5 �

⇔ �−2 + 5 � − 146 − � 3 + 2 = �� −11 5 �

⇔ � 3 � − 146 − � 5 = �� −11 5 �

Dari data di atas di peroleh:

• z = 3

• 6 – y = 1

y = 6 – 1 = 5

• x – 14 = – 1

x = – 1 + 14 = 13

∴ x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21…………….(B)

2. UN 2013

Diketahui matriks A =�2 −4� −7� ,

B = � � 1−3 0�, dan C = � 4 �−2 −7�.

Jika A = B + C, maka nilai � + � + � =… A. –2 B. –3 C. –8 D. –10 E. –12 Jawab : C

A = B + C

⇔ �2 −4� −7� = � � 1−3 0� + � 4 �−2 −7�

=� � + 4 1 + �−3 + (−2) 0 + (−7)

= �� + 4 1 + �−5 −7 �


• c = –5

• a + 4 = 2

a = 4 – 2 = 2

• 1 + b = – 4

b = – 4 – 1 = –5

∴ a + b + c = 2 – 5 – 3 = –8…………….(C)

SIAP UN IPA 2014 Matriks

289


Diketahui matriks A =�� + 2 1 − 3�−1 −6 � ,

B = �2� � − 3−1 2 �, dan C = � 5 6−2 −4�.

Jika A + B = C, nilai � + � = …

A. –6 B. –3 C. –2 D. 1 E. 2 Jawab : B

A + B = C

�� + 2 1 − 3�−1 −6 � + �2� � − 3−1 2 � = � 5 6−2 −4�

⇔ �3� + 2 −2 − 2�−2 −4 � = � 5 6−2 −4�


• 3a + 2 = 5 3a = 5 – 2 = 3 a = 1

• –2 – 2b = 6 2b = –2 – 6 = –8 b = –4

∴ a + b = 1 – 4 = –3…………..……….(B)

4. UN 2013 Diketahui persamaan matriks

�� 42 � + 2 �� + 5 23 9 − � = �13 88 20�.

Nilai dari x + y = … A. 4 B. 2 C. 0 D. –1 E. –3 Jawab : D

�� 42 � + 2 �� + 5 23 9 − � = �13 88 20�

⇔ �� 42 � + �2� + 10 46 18 − 2� = �13 88 20�

⇔ �3� + 10 88 18 − � = �13 88 20�


• 3x + 10 = 13 3x = 13 – 10 = 3 x = 1

• 18 – y = 20 y = 18 – 20 = –2

∴ x + y = 1 + (–2) = –1…………..……….(D)

5. UN 2013 Diketahui persaman matriks

�4 � − 23 2 �+ �−6 8� −6 = �−2 20−8 −4�.

Nilai dari x + y = … A. 3 B. 11 C. 14 D. 19 E. 25 Jawab : A

�4 � − 23 2 �+ �−6 8� −6 = �−2 20−8 −4�

⇔ �4 − 6 � + 63 + � 2 − 4 = �−2 20−8 −4�


• x + 6 = 20 x = 20 – 6 = 14

• 3 + y = –8 y = –8 – 3 = –11

∴ x + y = 14 – 11 = 3…………..……….(A)


290


Diketahui matriks A =

−15

3 y,

B =

− 63

5x, dan C =

−−9

13

y.

Jika A + B – C =

−− 4

58

x

x,

maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E

A + B – C =

−15

3 y+

− 63

5x–

−−9

13

y

=

−+−−−++++

96135

1533

y

yx

−− 4

58

x

x=

−−++42

66

y

yx

dari kesamaan di atas diperoleh: • 6 + x = 8 ⇒ x = 2 • 5x = y + 6

5(2) = y + 6 y = 4

jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 ……………………….(E)

7. UN 2010 PAKET A


−−935

316

484

c

b

a

dan B =

−−95

316

4812

b

a

Jika A = B, maka a + b + c = … a. –7 b. –5 c. –1 d. 5 e. 7 Jawab : e

A = B

−−935

316

484

c

b

a

=

−−95

316

4812

b

a

Dari kesamaan di atas diketahui: • 4a = 12 a = 3 • –3b = –3a

b = a = 3 • 3c = b = 3

c = 1 ∴ a + b + c = 3 + 3 + 1 = 7 ……………….(e)

8. UN 2007 PAKET A Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT adalah transpose matriks B), dengan

A =

c3b2

4a dan B =

++−7ba

1a2b3c2.

Nilai a + b + c = … a. 6 b. 10 c. 13 d. 15 e. 16 Jawab d

A = 2BT

c3b2

4a = 2

++−

712

32

ba

abc

dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 2a = 4

a = 2

(ii) 2b = 4a + 2 2b = 4(2) + 2 2b = 10 b = 5

(iii) 3c = 2b + 14 3c = 2(5) + 14 3c = 24 c = 8

Jadi, a + b + c = 2 + 5 + 8 = 15 …………………(d)


291



−+

yxy

xyx,

B =

−−

3y2

x121

, dan AT = B dengan AT

menyatakan transpose dari A. Nilai x + 2y adalah … a. –2 d. 1 b. –1 e. 2 c. 0 Jawab : c

AT = B

−+

yxx

yyx =

−−

3y2

x121

dari kesamaan di atas diperoleh: x = – 2y , maka:

x + 2y = – 2y + 2y = 0 ……………………………………(c)


292

C. Perkalian Dua Buah Matriks � Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah

baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

� Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

Jika A =

dc

ba, dan B =

pon

mlk, maka

A × B =

dc

ba×

pon

mlk =

++++++

dpcmdocldnck

bpamboalbnak

D. Matriks Identitas (I)

� I =

10

01

� Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A


Diketahui matriks A =�1 23 4� ,

B = � � 3−2 ��, dan C = �−2 −3−2 −3�, dan

A⋅B = C. Nilai � + � = … A. –6 B. –5 C. –1 D. 1 E. 5 Jawab : C

A⋅B = C

⇔ �1 23 4� � � 3−2 �� = �−2 −3−2 −3�

⇔ � � − 4 3 + 2�3� − 8 9 + 4�� = �−2 −3−2 −3�


• a – 4 = –2 a = –2 + 4 = 2

• 3 + 2b = –3 2b = –3 – 3 = –6

b = –3 ∴ a + b = 2 – 3 = –1…………………….(C)

2. UN 2013

Diketahui matriks A =�2 �� 4� ,

B = �� 02 ��, dan C = �12 311 4�.

Jika A⋅B = C, nilai � + � = … A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 E. 16 Jawab : B

A⋅B = C

⇔ �2 �� 4� �� 02 �� = �12 311 4�

⇔ �2� + 2� 0 + �� + 8 0 + 4�� = �12 311 4�


• 2a + 2a = 12 4a = 12 a = 3

• 4b = 4 b = 1

∴ a + b = 3 + 1 = 4…………….(B)


293


Diketahui matriks A =�1 �2 −1� ,

B = � 3 �−1 1�, dan C = �1 47 ��.

Jika A⋅B = C. Nilai � + � + � = … A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 Jawab : C

A⋅B = C

�1 �2 −1� � 3 �−1 1� = �1 47 ��

⇔ �3 − � � + �6 + 1 2� − 1� = �1 47 ��


• 3 – a = 1 a = 3 – 1 = 2

• a + b = 4 2 + b = 4 b = 4 – 2 = 2

• 2b – 1 = c 2(2) – 1 = c 4 – 1 = c

c = 3 ∴ a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7…………….(C)

4. UN 2010 PAKET B

Diketahui matriks–matriks A =

−01

2c,

B =

−+ 65

4

b

a, C =

−20

31, dan

D =

− 32

4 b.

Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = … a. –6 b. –2 c. 0 d. 1 e. 8 Jawab : c

• CD =

−20

31

− 32

4 b

=

+−++−−+−

)3(2)(0)2(2)4(0

)3(3)(1)2(3)4(1

b

b

=

−−−64

910 b

• 2A – B = CD

2

−01

2c–

−+ 65

4

b

a =

−−−64

910 b

+−−−−−

6052

442

b

ac =

−−−64

910 b

Dari kesamaan di atas diketahui:

i) –2c – 4 = –10 c + 2 = 5

c = 3

ii) 2 – b – 5 = –4 b = 2 – 5 + 4 = 1

iii) 4 – a = 9 – b 4 – a = 9 – 1 a = 4 – 8 = –4

∴ a + b + c = –4 + 1 + 3 = 0 …………..(c)


294


Diketahui 3 matriks, A =

b

a

1

2,

B =

+12

14

b, C =

−−

2

2

ba

b

Jika A×Bt – C =

45

20 dengan Bt adalah

transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah … a. –1 dan 2 b. 1 dan –2 c. –1 dan –2 d. 2 dan –1 e. –2 dan 1 Jawab : a

• B =

+12

14

b ⇒ Bt =

+11

24

b

• A×Bt =

b

a

1

2

+11

24

b

=

++++++bbb

baa224

22224

• A×Bt – C =

++++++bbb

baa224

22224–

−−

2

2

ba

b

45

20 =

−−−++−−−++

ab

a

4

.224

dari kesamaan di atas diketahui: (i) 4a + 4 = 0

4a = – 4 a = –1

(ii) 4 + b + a = 5 b –1 = 5 – 4

b = 1 + 1 = 2

Jadi, a = –1 , dan b = 2 ……………………..(a)


Diketahui matriks P =

−110

412,

Q =

− 43

2yx, dan R =

−−

4466

2096.

Jika PQT = R (QT transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = … a. 3 b. 4 c. 7 d. 13 e. 17

Jawab : e

• Q =

− 43

2yx ⇒ QT =

−42

3

y

x

• PQT =

−110

412

−42

3

y

x

=

−−−−−−−+

y

yx

220

412

• PQT = R

−−−−−−−+

y

yx

220

812 =

−−

4466

2096

Dari kesamaan di atas diketahui:

i) –22y = 66

y = –3

ii) 12x + 8y = 96 12x + 8(–3) = 96 12x = 96 + 24 2x = 16 + 4 = 20

∴2x + y = 20 – 3 = 17………………….(e)


295



−−01

32,

B =

−21

24, dan C =

−−

11

01.

Hasil dari A+(B×C) = …

a.

−−

20

58 d.

− 20

06

b.

−−

10

98 e.

− 22

11

c.

− 20

02

Jawab : a

A+(B×C) =

−−01

32 +

−21

24×

−−

11

01

=

−−01

32 +

−+−−+

2021

2024

=

−−01

32 +

−−

21

26

=

−++−−+−+

)2(011

)2(362

=

−−

20

58 ………………………(a)

8. UN 2004 Diketahui persamaan matriks

+

−=

−−

11

2

32

1

21

34

52

31 b

b

a

Nilai a dan b adalah … a. a = 1, b = 2 b. a = 2, b =1 c. a = 5, b = –2 d. a = –2 , b = 5 e. a = 4, b = –1

Jawab : b

−−

21

34

52

31 =

+

−11

2

32

1 b

b

a

+−−+−−10658

6334 =

++412

1

b

ba

43

31 =

++412

1

b

ba

Dari kesamaan di atas diketahui: i) 2b + 1 = 3 2b = 2 b = 1 ii) a + b = 3 a + 1 = 3 a = 2 Jadi, a = 2, b = 1……………….(b)


296

E. Determinan dan Invers Matriks berordo 2×2 Determinan Matriks

Jika A =

dc

ba, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =

dc

ba= ad – bc

Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar

1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)

2. det(AB) = det(A) × det(B)

3. det(AT) = det(A)

4. det (A–1) = )det(

1

A

Invers Matriks � Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah

invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

Bila matriks A =

dc

ba, maka invers A adalah:

−−

−==−

ac

bd

bcad

1)A(Adj

)A(Det

1A 1 , ad – bc ≠ 0

� Sifat–sifat invers dan determinan matriks

1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1

2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1

F. Matriks Singular matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama

dengan nol


Diketahui matriks P =

31

52 dan

Q =

11

45. Jika P–1 adalah invers matriks

P dan Q–1 adalah invers matriks Q, maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah … a. 209 b. 10 c. 1 d. –1 e. –209

Jawab : c

Lihat materi F dan G

det (Q–1 P–1 ) = det(Q–1 ) det(P–1 )

= )det(

1

)det(

1

PQ×

= )5)(1()3(2

1

)4)(1()1(5

1

−×

−

= 1 × 1

= 1 ……………………………..(c)


297



−−

21x

10x6

dan

B =

35

2x. Jika AT = B–1 dengan

AT = transpose matrik A, maka nilai 2x = … a. –8 b. –4

c. 41

d. 4 e. 8

Jawab : e

AT = B–1

−

−

210

16

x

x =

−−

− xx 5

23

103

1

dari kesamaan di atas diperoleh:

–1 = 103

2

−−

x

1 = 103

2

−x

2 = 3x – 10 3x = 2 + 10 3x = 12

x = 4 , maka 2x = 8………………………(e)


298

G. Persamaan Matriks Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

1) A × X = B ⇔ X = A–1 × B

2) X × A = B ⇔ X = B × A–1


Diketahui persamaan

=

−+

923

821

2

1

41

32

zyx

x.

Nilai x + y – z = … a. –5 b. –3 c. 1 d. 5 e. 9 Jawab : c

Tanda (– –) artinya diabaikan saja

=

−+

923

821

2

1

41

32

zyx

x

AX = B ⇒ X = A– 1 B

A– 1 =

−−

×− 21

34

38

1 =

−−

×21

34

5

1

X =

×

−−−−−

×923

821

215

1

=

+−+−−−−−

×18846215

1

=

−−−−×

10255

1

=

−−−−25

=

−+ 2

1

zyx

x

Maka diperoleh: x + y = 5 dan z – 2 = 2 ⇒ z = 4 Jadi: x + y – z = 5 – 4 = 1 ……………………(c)

2. UN 2011 PAKET 12


50

23 dan

B =

−−−017

13. Jika AT = transpose

matriks A dan AX = B + AT, maka determinan matriks X = … a. –5 b. –1 c. 1 d. 5 e. 8 Jawab : b

• C = B + AT

=

−−−017

13+

52

03=

−−515

10

• det(C) = 0(5) – (–15)(–1) = – 15 • det(A) = 3(5) – 0(2) = 15 • A X = C

X = A–1C

det(X) = )det(

1

A det(C)

= )det(

)det(

A

C=

15

15− = –1 …………..(b)


299


Diketahui persamaan matriks

=

+−

−−

10

0112

49

25

yxx.

Nilai x – y = …

a. 25

b. 2

15

c. 2

19

d. 222

e. 223

Jawab : e

karena hasil kalinya matriks identitas, maka :

=

+−

−−

10

0112

49

25

yxx

A ⋅ B = I ⇔ B = A– 1

A– 1 =

−−

+− 59

24

1820

1

=

−−

− 59

24

2

1=

−−

25

29

12

Sehingga:

=

+−

yxx

12

−−

25

29

12

x + y = 25−

y = 25− – x =

25− –

29 =

214− = – 7

• Jadi, x – y = 29 – (–7)

= 29 +7

= 223 …………………………(e)

4. UN 2011 PAKET 46


53

21 dan

B =

−41

23. Jika At adalah transpose dari

matriks A dan AX = B + At, maka determinan matriks X = … a. 46 b. 33 c. 27 d. –33 e. –46 Jawab : b

• C = B + At

=

−41

23+

52

31=

93

14

• det(C) = 4(9) – (3)(1) = 33 • det(A) = 1(5) – 3(2) = –1 • A X = C

X = A–1C

det(X) = )det(

1

A det(C)

= )det(

)det(

A

C=

1

33

− = –33 …………..(b)

5. UAN 2003 Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi

persamaan :

−=

− 5

2

31

62

y

x adalah

… a. 1 b. 3 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : a

−=

− 5

2

31

62

y

x

y

x=

−

−

−

5

2

31

62 1

=

−

−−−

−− 5

2

21

63

66

1

=

−−+−

− 102

306

12

1 =

−− 12

24

12

1 =

−1

2

maka x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (– 2 + 1 )2 = 1 …………….……(a)

Diperoleh :

x = dan x + y =

18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah

AB = b – a

2. Sudut antara dua vektor adalah θ

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =

3

2

1

a

a

a

= a1i + a2j + a3k;

|a| = 23

22

21 aaa ++

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a ± b =

3

2

1

a

a

a

±

3

2

1

b

b

b

=

±±±

33

22

11

ba

ba

ba

; ka = k

3

2

1

a

a

a

=

3

2

1

ka

ka

ka


Diketahui vektor–vektor

�� = 2� + 3� − 4�, �� = 4� − 6� + 5�, dan �� = 2� − 4� + 6�.

Vektor 2�� − 3�� + �� = …

A. � − 7� − 15�

B. � + 20� − 17�

C. � − 7� − 17�

D. −6� + 20� − 17�

E. −6� − 7� − 15�

Jawab : D

2�� − 3�� + �� =

−+

−−

− 6

4

2

5

6

4

3

4

3

2

2

=

−+

−−

− 6

4

2

15

18

12

8

6

4

=

+−−−++−

6158

4186

2124

=

−

−

17

20

6

……………………..(D)

SIAP UN IPA 2014 Vektor

301


Diketahui vektor �� = 2� − �, �� = 2� − �,

dan �� = 3� + � + 2�. Hasil �� + 2�� − �� =

…

A. – � + 2� − 4�

B. 5� − 3� C. � − 2� + 2�

D. � − 3� + 4�

E. � − 2� + 4� Jawab : –

�� + 2�� − �� =

−

−+

−2

1

3

1

0

2

2

0

1

2

=

−

−+

−2

1

3

2

0

4

0

1

2

=

−−−+−

−+

220

101

342

=

−−

4

2

3

= kji 423 −−

3. UN 2013 Diketahui vektor �� = 3� − 2� + �, �� = 2� − 3�, dan �� = � − 2�.

Vektor yang mewakili 2�� − 3�� + �� A. 12� − 5� + 12�

B. −3� + 9�

C. −7� − 9�

D. −3� − 3� + 9�

E. 3� − � + 9�

Jawab : B

2�� − 3�� + �� =

−+

−−

−2

1

0

3

0

2

3

1

2

3

2

=

−+

−−

−2

1

0

9

0

6

2

4

6

=

−++−−

+−

292

104

066

=

−9

3

0

…………(B)

4. UN 2013 Diketahui !�� = 2� − �, "� = 5� + 4� − 3�,

dan #�� = 9� − 7� . Vektor 2!�� − 3"� + #�� adalah …

A. $% (−� + 7� + �)

B. $% (−� − 7� + �)

C. − $% (� − 7� + �)

D. −2(� + 7� − �) E. −2(� − 7� − �) Jawab : B

2!�� − 3"� + #�� =

−+

−−

−7

0

9

3

4

5

3

0

1

2

2

=

−+

−−

−7

0

9

9

12

15

0

2

4

=

−++−−

+−

790

0122

9154

=

−−

2

14

2

=

−−

1

7

1

2

1……………(B)


302


Diketahui vektor–vektor �� = 2� + 3� + �, �� = 3� − 2�, dan �� = 2� − 5�.

Vektor �� + 2�� − 3�� adalah …

A. 5� + 5� − 6�

B. 8� − 5� − 6�

C. 8� − 3� + 12�

D. 8� − � + 12�

E. 8� − � + 10�

Jawab : –

�� + 2�� − 3�� =

−−

−+

5

0

2

3

2

0

3

2

1

3

2

=

−−

−+

15

0

6

4

0

6

1

3

2

=

+−−+−+

1541

003

662

=

12

3

2

= kji 1232 −+

6. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� + 3� − �, �� = 3� + � − 2�, dan �� = 4� − 2� + 3�.

Hasil dari 2�� + 3�� − �� adalah …

A. 9� + 7� + 3� B. 6� + 7� − 11� C. 8� + 7� − 5� D. 9� + 11� − 11� E. −6� − 7� + 11� Jawab : D

2�� + 3�� − �� =

−−

−+

− 3

2

4

2

1

3

3

1

3

2

2

=

−−

−+

− 3

2

4

6

3

9

2

6

4

=

−−−++−+

362

236

494

=

−11

11

9

……....(D)

7. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� − 3� + 2�, �� = −3� + 2� + �, dan �� = � − 3� + 2�.

Hasil dari �� − 3�� + 2�� adalah …

A. 2� + � − 3�

B. −2� + 5� − �

C. 2� + 5� − �

D. −4� + 11� − 5�

E. −6� + 5� − �

Jawab : B

�� − 3�� + 2�� =

−+

−−

−

2

3

2

2

2

3

1

3

1

2

3

=

−+

−−

−

4

6

4

6

9

3

1

2

3

=

+−−++−−

461

692

433

=

−

−

1

5

2

………..(B)


303


Diketahui vektor �� = � + 2� − 3�, �� = 3� + 5�, dan �� = −2� − 4� + �, dan

vektor !�� = 2�� + �� − ��. Vektor !�� = …

A. 5� + 6� + �

B. 3� − 2� − 2�

C. 2� − 2� D. 7� + 8� − 2�

E. 7� − 8� − 2�

Jawab : D

2�� + �� − �� =

−−

−

+

− 1

4

2

5

0

3

3

2

1

2

=

−−

−

+

− 1

4

2

5

0

3

6

4

2

=

−+−++++

156

404

232

=

− 2

8

7

…………(D)

9. UN 2004

Diketahui a = i + 2j + 3k,

b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka

2a + b – c = …

a. 2i – 4j + 2k

b. 2i + 4j – 2k

c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k

e. –2i + 4j + 2k Jawab : e

2a + b – c =

−−

−−−

+

3

2

1

1

2

3

3

2

1

2

=

−−

−−−

+

3

2

1

1

2

3

6

4

2

=

−−+−−−

316

224

132

=

−

2

4

2

………….(e)


304

C. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat (ke kanan positif)

(1) (2) (3) P membagi AB di dalam P membagi AB di luar P membagi AB di luar

n

m

PB

AP = n

m

PB

AP

−=

n

m

PB

AP −=

p = nm

anbm

++

p = nm

anbm

−−

p = nm

anbm

+−+−


Diketahui segitiga ABC dengan

koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan

C(4, 2, 5). Titik P membagi AB

sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang

vektor PC adalah …

a. 10

b. 13

c. 15 d. 3 2

e. 9 2

Jawab : d

Gambar perbandingan AP : AB = 2 : 3 sbb:

Berdasarkan gambar diketahui jika: AP : PB = 2 : 1 Bila AP : PB = m : n, maka:

p =

= 21

)105(2)432(1

++−

= 3

)2010()432( +−

= 3

)6312( − = (4 –1 2)

PC = c – p = (4 2 5) – (4 –1 2) = (0 3 3)

| PC | = 22 330 ++

= 232 ⋅ = 3 2 …………………(d)

A

B

P

P

A

B

B

A

P

m

n

m

n m

n


305

D. Dot Product

Apabila diketahui a =

3

2

1

a

a

a

dan b =

3

2

1

b

b

b

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos θ

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 + 2 a · b

4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 – 2 a · b

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0


Diketahui vektor �� = & 2−31 ' dan

�� = & 1−23 '. Nilai sinus sudut antara

vektor �� dan �� adalah …

A. ()

B. $$$*

C. (√,$*

D. ($$√3

E. ,√($*

Jawab : C

�� = & 2−31 ', �� = & 1−23 '

�� · �� =

−•

−3

2

1

1

3

2

= 2(1) + (–3)(–2) + 1(3) = 11

|��| = 222 1)3(2 +−+ = 14

/��/ = 222 3)2(1 +−+ = 14

• cos θ = |||| ba

ba •=

1414

11

×=

14

11:

r

x

• y = 22 1114 − = 75 = 35

• sin θ = r

y=

14

35……………………….(C)


306


Diketahui vektor �� = & 34−5' dan

�� = & 1−22 '. Nilai sinus sudut antara

vektor �� dan �� adalah …

A. − $%√3

B. − $%√2

C. − $,√3

D. $%√2

E. $%√3

Jawab : D

�� = & 34−5', �� = & 1−22 '

�� · �� =

−•

− 2

2

1

5

4

3

= 3(1) + 4(–2) – 5(2) = –15

|��| = 222 )5(43 −++ = 50 = 25

/��/ = 222 2)2(1 +−+ = 9 = 3

• cos θ = |||| ba

ba •=

325

15

×−

= 215

15−=

2

1−:

r

x

• y = 22 )1()2( −− = 12 − = 1

• sin θ = r

y=

2

1= 2

2

1…………….(D)

3. UN 2013

Diketahui 0� = &−330 ' dan 1� = & 13−2'.

Apabila α adalah sudut yang dibentuk

antara vektor 0� dan 1�, maka tan α = …

A. $2√6

B. $)√7

C. 2)√7

D. √6

E. √7

Jawab : D

0� = &−330 ', 1� = & 13−2'

0� · 1� =

−•

−

2

3

1

0

3

3

= –3(1) + 3(3) + 0(–2) = 6

|0��| = 222 03)3( ++− = 18= 23

|1��| = 222 )2(31 −++ = 14 = 72×

• cos α = |||| qp

qp •=

7223

6

××

= 723

6

×=

7

1:

r

x

• y = 22 1)7( − = 6

• tan α = x

y=

1

6= 6 ………………..….(D)


307


Diketahui vektor–vektor !�� = &101' dan

"� = & 1−10 '. Nilai sinus sudut antara

vektor !�� dan vektor "� adalah …

A. − $%

B. 0

C. $%

D. $%√2

E. $%√3

Jawab : E

!�� = &101', "� = & 1−10 '

!�� · "� =

−•

0

1

1

1

0

1

= 1(1) + 0(–1) + 1(0) = 1

| !�� | = 222 101 ++ = 2

| "� | = 222 0)1(1 +−+ = 2

• cos α = |||| vu

vu •=

22

1

×=

2

1:

r

x

• y = 22 12 − = 3

• sin α = r

y=

2

3= 3

2

1………………..….(E)

5. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� + � + 3� dan

�� = −� + 2� + 2�. Sudut θ adalah

sudut antara vektor ��dan ��. Nilai sin

θ = …

A. $$3√7

B. $)√7

C. $)√14

D. √,()

E. %)√14

Jawab : D

�� = &213', �� = &−122 '

�� · �� =

−•

2

2

1

3

1

2

= 2(–1) + 1(2) + 3(2) = 6

|��| = 222 312 ++ = 14

/��/ = 222 22)1( ++− = 9 = 3

• cos θ = |||| ba

ba •=

314

6

×=

14

2:

r

x

• y = 22 2)14( − = 414− = 10

• sin θ = 14

10=

7

5=

7

35……………….(D)


308


Diketahui vektor 0� = � + � − 4� ,

1� = −2� − �dan . Nilai sinus sudut

antara vektor 0� dan 1� = …

A. − ,$3√10

B. − $$3√10

C. $$3√10

D. $,√10

E. ,$3√10

Jawab : D

0� = & 11−4', 1� = &−2−10 '

0� · 1� = 1(–2) + 1(–) – 4(0) = –3

|0��| = 222 )4(11 −++ = 18= 23

|1��| = 222 0)1()2( +−+− = 5

• cos α = |||| qp

qp •=

523

3

×−

= 10

1−:

r

x

• y = 22 )1()10( −− = 9 = 3

• sin α = r

y=

10

3=

,$3√10……………..….(D)

7. UN 2012/A13

Diketahui vektor ;

6

3

4

;

1

2

−=

−= b

p

arr

dan

−=3

1

2

cr

. Jika ar

tegak lurus br

,

maka hasil dari )2( barr − · )3( c

r

adalah… A. 171 B. 63 C. –63 D. –111 E. –171 Jawab : E

Karena ar

tegak lurus br

, maka ar�br

= 0

• ar�br

= (p 2 –1)�(4 –3 6) = 4p – 6 – 6 = 4p – 12 = 0

4p = 12 p = 3

sehingga ar

= (p 2 –1) = (3 2 –1)

• barr

2− = (3 2 –1) – 2(4 –3 6) = (3 2 –1) – (8 –6 12) = (–5 8 –13)

• cr

3 = 3(2 –1 3) = (6 –3 9)

• )2( barr − � )3( c

r = (–5 8 –13)� (6 –3 9) = –30–24–107 = –171 ……………………….(E)

8. UN 2012/B25

Diketahui vektor kxjia −+= 2 ,

kjib +−= 23 , dan kjic 22 ++= .

Jika a tegak lurus c ,

maka (a +b )· (a – c ) adalah ... A. –4 B. –2 C. 0 D. 2 E. 4 Jawab : C

Karena ar

tegak lurus c , maka ar� c = 0

• ar� c = (1 2 –x)�(2 1 2)

= 2 + 2 – 2x = 4 – 2x = 0 –2x = –4 –x = –2

sehingga ar

= (1 2 –x) = (1 2 –2)

• a +b = (1 2 –2) + (3 –2 1) = (4 0 –1)

• a – c = (1 2 –2) – (2 1 2) = (–1 1 –4)

• ( a +b )�( a – c ) = (4 0 –1)� (–1 1 –4) = –4 + 0 + 4 , = 0 ……………………….(C)


309


Diketahui vektor kjxia 3+−= ,

,2 kjib −+= dan kjic 23 ++= .

Jika a tegak lurus b maka 2a ·

)( cb − adalah…. A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A

Karena ar

tegak lurus b , maka ar�b= 0

• ar�b = (1 –x 3)�(2 1 –1)

= 2 – x – 3 = –1 – x = 0 –x = 1

sehingga ar

= (1 –x 3) = (1 1 3)

• 2a = 2(1 1 3) = (2 2 6)

• b – c = (2 1 –1) – (1 3 2) = (1 –2 –3)

• 2a � )( cb − = (2 2 6)� (1 –2 –3) = 2 – 4 –18 , = –20 ……………………….(A)

10. UN 2012/A13

Diketahui vektor kjiarrrr

224 ++=

dan jibrrr

33 += . Besar sudut antara

vektor ar

dan br

adalah…. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120° Jawab : A

ar

= (4 2 2), b = (3 3 0)

• ar�b = (4 2 2)� (3 3 0)

= 4(3) + 2(3) + 2(0) = 18

• |ar

| = 222 224 ++ = 24 = 62 = 232 ⋅

• |b | = 222 033 ++ = 23

• cos α = |||| ba

ba ⋅ =

23232

18

⋅⋅

= 3232

18

⋅⋅=

3

3

32

3 ×

cos α = 321

α = 30° ..................................(A)

11. UN 2012/C37

Diketahui vektor

−=3

3

2

ar

dan

−−=

4

2

3

br

. Sudut antar vektor ar

dan

br

adalah … A. 135° B. 120° C. 90° D. 60° E. 45° Jawab : C

ar

= (2 –3 3), b = (3 –2 –4)

• ar�b = (2 –3 3)� (3 –2 –4)

= 2(3) – 3(–2) + 3(– 4) = 0

karena ar�b = 0, sehingga a

r tegak lurus b maka

diperoleh :

α = 90° ........................................................(C)


310


Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1),

C (2, 0, –3). Sudut antara vektor AB

dengan AC adalah…. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120°

Jawab : D

A(1, 0, –2), B(2, 1, –1), dan C(2, 0, –3)

Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka

• u= b – ar

= (2 1 –1) – (1 0 –2) = (1 1 1) • v = c – a

r = (2 0 –3) – (1 0 –2) = (1 0 –1)

• u� v = (1 1 1)� (1 0 –1) = 1 + 0 – 1= 0

karena u� v = 0, sehingga u tegak lurus v maka diperoleh : α = 90° ........................................(D)

13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … A. π D. 6

π

B. 2π

E. 0

C. 3π

Jawab : B

• AB = b – a = (2 – 5 , –1 – 1, –1 – 3)

u = (–3, –2, –4) • BC = c – b = (4 – 2 , 2 –(– 1), –4 –(–1))

v = (2, 3, –3) • u ⋅ v = (–3 –2 –4) ⋅ (2 3 –3)

= –3(2) + (–2)(3) + (–4)( –3) = 0 karena u ⋅ v = 0, maka

∠ABC = 90° = 2π ………………………..(b)

14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2).

Jika u mewakili ABdan v mewakili

AC, maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120 Jawab : b

• u = b – a = (6 – 2 , 1 – 1, 2 – 2) = (4, 0, 0)

|u| = 24 = 4

• v = c – a = (6 – 2 , 5 – 1, 2 – 2) = (4, 4, 0)

|v| = 22 44 + = 4 2 • u ⋅ v = (4 0 0) ⋅ (4 4 0)

= 4(4) + 0(4) + 0(0) = 16

• |u| ⋅|v| = 4 ⋅ 4 2 = 16 2 maka sudut antara vector u dan v adalah:

cos θ = |||| vu

vu

⋅⋅

= 216

16= 2

2

1

θ = 45° …………………………….(b)

A(5, 1, 3) B(2, –1, –1)

C(4, 2, –4) a = (5 1 3) b = (2 –1 –1) c = (4 2 –4) v

u

A(2, 1, 2) B(6, 1, 2)

C(6, 5, 2) a = (2, 1, 2) b = (6, 1, 2) c = (6, 5, 2) v

u


311


Diketahui segitiga PQR dengan P(1, 5, 1), Q(3, 4, 1), dan R(2, 2, 1). Besar sudut PQR adalah …

a. 135° b. 90° c. 60° d. 45° e. 30°

Jawab : b

45�� = 1� − 0� = &341' − &151' = & 2−10 '

56�� = 7� − 1� = &221' − &341' = &−1−20 '

45�� ∙ 56�� = 2(-1) + (-1)(-2) + 0(0)= -2 + 2 + 0 = 0

Karena 45�� ∙ 56�� = 0, maka Besar sudut PQR 90° …..(c) 16. UN 2010 PAKET A

Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …

a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c

a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k, maka

• a · b = 4(1) + (–2)(1) + 2(2) = 6

• |a| · |b| = 222 2)2(4 +−+ × 222 211 ++

= 624× = 664 ×× = 12

• a · b = |a| |b| cos θ

6 = 12 cos θ

cos θ = 126 =

21

θ = 60º …………………….…….(c)

17. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan

AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u

dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90°

Jawab : e

Berdasarkan gambar di atas, dapat diketahui jika: vektor v sejajar vektor v’, dan vektor v’ tegak lurus vektor u, sehingga vektor u dan v saling tegak lurus = 90° …………………(e)

P(1, 5, 1) Q(3, 4, 1)

R(2, 2, 1)


312


Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6

Jawab : a

Karena vektor a tegak lurus b, maka: a · b = 0

(x –4 8) · (2x 2x –3) = 0 2x2 – 8x – 24 = 0

x2 – 4x – 12 = 0 (x + 2)(x – 6) = 0

x = {–2, 6} ………(a)

19. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5,2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah … a. 45° b. 60° c. 90° d. 120° e. 135°

Jawab : c

9:�� = �� − �� = �31� − �52� = �−2−1�

:;�� = �� − � = �15� − �31� = �−24 �

9:�� ∙ :;�� = (-2)(-2) + (-1)(4) = 4 – 4 = 0

Karena 9:�� ∙ :;�� = 0, maka Besar sudut BAC 90° …..(c) 20. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1, – 1), B(2, 3, 1), dan C(–1, 2, –4). Besar sudut BAC adalah …

A. 120° B. 90° C. 60° D. 45° E. 30°

Jawab : b

9:�� = �� − �� = & 31−1' − &231' = & 1−2−2'

:;�� = �� − � = &−12−4' − & 31−1' = &−41−3'

9:�� ∙ :;�� = 1(-4) + (-2)(1) + (-2)(-3)= – 4 – 2 + 6 = 0

Karena 9:�� ∙ :;�� = 0, maka Besar sudut BAC 90° …..(b)

A(3, 1) B(5, 2)

C(1, 5)

A(3, 1, – 1) B(2, 3, 1)

C(–1, 2, –4)


313


Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k

Jawab : b

Karena vektor a tegak lurus b, maka: a · b = 0 (6x 2x –8) · (–4 8 10) = 0

–24x + 16x – 80 = 0 –8x – 80 = 0 x + 10 = 0

x = –10 sehingga a = 6xi + 2xj – 8k = –60i – 20j – 8k a – c = (–60 –20 –8) – (–2 3 –5)

= (–58 –23 –3) = –58i – 23j – 3k ………………(b)

22. UAN 2003

Diberikan vektor a =

−

22

2

p dengan p

∈ Real dan vektor b =

2

1

1

. Jika a

dan b membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a. 74

12

b. 725

c. 745

d. 7145

e. 772

Jawab : d

a ⋅ b = (– 2 p 22 ) ⋅ (1 1 2 )

= – 2 ⋅ 1 + p ⋅ 1 + 222 ⋅ = p + 2

|a| = ( )222 22)2( ++− p = 122 +p

|b| = ( )222 211 ++ = 4 = 2

Karena a dan b membentuk sudut 60º maka: a ⋅ b = |a| |b| cos 60º

p + 2 = ))(2(12 212

+p

{p + 2 = 122 +p }2

p2 + 4p + 4 = p2 + 12 4p = 12 – 4 = 8 p = 2

a + b = (– 2 p 22 ) + (1 1 2 )

= (– 2 2 22 ) + (1 1 2 )

= (–1 3 3 2 )

|a + b| = 222 )23(3)1( ++−

= 1891 ++ = 28= 72

| a | = 122 +p = 1222 + = 4

kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah a ⋅ (a + b) = | a | | a + b| cos θ

(– 2 2 22 ) ⋅ (–1 3 3 2 ) = 4 ⋅ 72 cos θ

2 + 6 + 12 = 8 7 cos θ

cos θ = 78

20

= 72

75

⋅

= 7145 …….(d)


314


Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

Jawab : b

|3a + 2b|2 = |3a|2 + |2b|2 + 2|3a||2b| cos θ

= (3⋅2)2 + (2⋅3)2 + 2(3⋅2)(2⋅3)cos 120°

= 36 +36 + 2 ⋅ 36 ⋅ )( 21−

= 36 + 36 – 36

= 36

|3a + 2b| = 36 = 6 ……………………….(b)

24. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan

| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d.

21

e. 0

Jawab : c

|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ _

|a + b|2 – |a – b|2 = 4|a||b| cos θ 2

222 4)1(1

+−+ – ( )214 = 4|a||b| cos θ

18 – 14 = 4|a||b| cos θ 4 = 4|a||b| cos θ 1 = |a||b| cos θ 1 = a · b ………..….(c)


315

E. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| = |a|ba ⋅

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p = a|a|

ba2

⋅⋅


Diketahui vektor !�� = & 7−41 ' dan "� =&−2−10 '. Proyeksi vektor orthogonal !�� pada

"� adalah …

A. − %(&

420' D. %(&

420'

B. − $(&

420' E. &420'

C. $(&

420' Jawab : E

!�� = & 7−41 ' dan "� = &−2−10 '

Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–2)2 + (–1)2 + (0)2 = 5

• !�� · "� = 7(–2) + (–4)(–1) + 1(0)= –10

• w�� = vv

vu2||

•

=

−−

−

0

1

2

5

10 = &420' ………………..(E)

2. UN 2013

Diketahui vektor !�� = &022' dan "� = &−202 '.

Proyeksi vektor orthogonal !�� pada "� adalah …

A. – � + �

B. – � + $% �

C. – � − �

D. −2� + �

E. 2� − �

Jawab : A

!�� = &022' dan "� = &−202 '

Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–2)2 + (0)2 + (2)2 = 8

• !�� · "� = 0(–2) + 2(0) + 2(2)= 4

• w�� = vv

vu2||

•

=

−

2

0

2

8

4 =

−

1

0

1

= – � + � ……….(A)


316


Diketahui vektor !�� = &−443 ' dan "� =

&−3−60 '. Proyeksi vektor orthogonal !�� pada

"� adalah …

A. *( � − =

( � B. − *

( � − =( �

C. *( � + =

( � D.

*( � − =

( � + *( �

E. − *( � − =

( � + *(�

Jawab : C

!�� = &−443 ' dan "� = &−3−60 '

Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–3)2 + (–6)2 + (0)2 = 45

• !�� · "� = –4(–3) + 4(–6) + 3(0)= –12

• w�� = vv

vu2||

•=

−−

−

0

6

3

45

12

=

−−

−

0

6

3

15

4=

0

2

1

5

4

= *( � + =

( � ……………..….(C)

4. UN 2013 Diketahui �� = 2� + 2� + 9� dan �� = 2� − 2� + �. Proyeksi vektor

orthogonal �� pada�� adalah …

A. 3� − 3� + �

B. 3� − 5� − 2�

C. 4� − 4� + 2�

D. 2� − 2� + �

E. 5� + 5� + 5�

Jawab : D

�� = 2� + 2� + 9� dan �� = 2� − 2� + �

Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | �� |2 • | �� |2 = (2)2 + (–2)2 + (1)2 = 9

• �� · �� = 2(2) + 2(–2) + 9(1)= 9

• �� = bb

ba2||

• =

9

9 (2� − 2� + �) = 2� − 2� + � …………(D)

5. UN 2013 Diketahui vektor �� = −� − � + 2� dan �� = � − � − 2�. Proyeksi vektor orthogonal �� pada�� adalah …

A. − $, � − $

, � + %, �

B. − $, � + $

, � + %, �

C. − %, � + %

, � − *,�

D. − %, � − %

, � + *, �

E. − %, � + %

, � + *,�

Jawab : E

�� = −� − � + 2� dan �� = � − � − 2�

Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | �� |2 • | �� |2 = (1)2 + (–1)2 + (–2)2 = 6

• �� · �� = – 1(1) – 1(–1) + 2(–2)= –4

• �� = bb

ba2||

•=

6

4− (� − � − 2�) =

3

2− (� − � − 2�) = − %

, � + %, � + *

, � …..……(E)


317


Diketahui vektor �� = 3� − 2� + 4� dan �� = −� + � + 2�. Proyeksi vektor

orthogonal �� pada�� adalah …

A. $2 (−� + � + 2�)

B. $, (−� + � + 2�)

C. $% (−� + � + 2�)

D. – � + � + 2�

E. −2� + 2� + 4�

Jawab : C

a�� = 3i-2j + 4k dan �� = −� + � + 2�

Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | �� |2 • | �� |2 = (–1)2 + (1)2 + (2)2 = 6

• �� · �� = 3(–1) – 2(1) + 4(2)= 3

• �� = bb

ba2||

•=

6

3 (−� + � + 2�) =

2

1 (−� + � + 2�)………….(C)

7. UN 2013 Diketahui vektor �� = � − 2� + � dan �� = 3� + � − 2�. Vektor �� mewakili vektor

hasil proyeksi orthogonal vektor �� pada

vektor ��, maka vektor �� = …

A. − $2 (� − 2� + �)

B. − $2 (3� − 2� + 2�)

C. − $$* (� − 2� + �)

D. − $$* (3� + � + 2�)

E. $2 (� − 2� + �)

Jawab : A

�� = � − 2� + � dan �� = 3� + � − 2�

Proyeksi �� pada a�� , maka pembaginya | �� |2 • | �� |2 = (1)2 + (–2)2 + (1)2 = 6

• �� · �� = 1(3) – 2(1) + 1(–2) = –1

• �� = aa

ba2||

•=

6

1− (� − 2� + �)…...……(A)

8. UN 2013 Diketahui vektor 0� = 11� + 4� + 3� dan 1� = 2� + 5� + 11�. Proyeksi vektor

orthogonal 0� terhadap 1� adalah …

A. 2� − 5� − 11�

B. – � − (% � − $$

% �

C. � + (% � + $$

% �

D. – � + (% � + $$

% �

E. – � − 5� − 11�

Jawab : C

0� = 11� + 4� + 3� dan 1� = 2� + 5� + 11�

Proyeksi p�� pada q�� , maka pembaginya | 1� |2 • | 1� |2 = (2)2 + (5)2 + (11)2 = 150

• 0� · 1� = 11(2) + 4(5) + 3(11)= 75

• r� = qq

qp2||

•=

150

75 (2� + 5� + 11�) =

2

1 (2� + 5� + 11�) = � + (

% � + $$% � ..……(C)


318


Diketahui kjiarrrr ++= 65 dan

kjib 22 −−=r

. Proyeksi orthogonal vektor

ar

pada br

adalah….

A. kji 22 ++

B. kji 22 −+

C. kji 22 +−

D. kji 22 ++−

E. kji −+ 22 Jawab : D

kjiarrrr ++= 65 dan kjib 22 −−=

r

• |b |2 = 12 + (–2)2 + (–2)2 = 9

• ar�b = 5(1) + 6(–2) + 1(–2) = 5 – 12 – 2 = –9

Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | �� |2 c = b

b

ba2||

⋅

= 9

9−( kji 22 −− ) = kji 22 ++− .............(D)

10. UN 2012/B25

Diketahui vektor kjia 429 +−= dan

kjib ++= 22 . Proyeksi orthogonal vektor

a pada b adalah ...

A. kji 244 −−

B. kji 422 ++

C. kji 244 ++

D. kji 488 ++

E. kji 8418 +− Jawab : C

kjia 429 +−= dan kjib ++= 22

• |b |2 = (2)2 + (2)2 + (1)2 = 9

• ar�b = 9(2) + (– 2)(2) + 4(1)

= 18 – 4 + 4 = 18


b

ba2||

⋅=

9

18( kji ++ 22 )

= kji 244 ++ ....................(C)

11. UN 2012/E52 Proyeksi orthogonal vektor

a = 4i + j + 3k pada b= 2i + j + 3k adalah….

A. 1413 (2 i + j +3k )

B. 1415 (2i + j +3k )

C. 78 (2i + j +3k )

D. 79 (2i + j +3k )

E. 4i +2 j +6k Jawab : D

a = 4i + j + 3k dan b= 2i + j + 3k

• |b |2 = 22 + 12 + 32 = 14

• ar�b = 4(2) + 1(1) + 3(3) = 8 + 1 + 9 = 18


b

ba2||

⋅=

14

18(2 i + j + 3k )

= 7

9 (2i + j +3k )..................(D)

12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b

• a ⋅ b = 4(2) + (–2)(–6) + 2(4) = 28

• |b| = 222 4)6(2 +−+ = 56 = 228⋅

Misal c = Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b, maka:

c = bb

ba2||

⋅ = )462(

228

28kji +−

⋅

= i – 3j + 2k ………………………(b)


319


Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e

• a ⋅ b = 2(2) + (–4)(–2) + (–6)(4) = –12

• |b| = 222 4)2(2 +−+ = 24 = 212⋅

Misal c = Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b, maka:

c = bb

ba2||

⋅ = )422(

212

12kji +−

⋅−

= –i + j – 2k ………………………(e)

14. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),

dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …

a. 3i –56 j +

512 k

b. 3 5 i –5

6 j + 5

12 k

c. 59 (5i – 2j + 4k)

d. 4527 (5i – 2j + 4k)

e. 559 (5i – 2j + 4k)

Jawab : d

A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7) maka

• AB= u = b – a = (7 8 –1) – (–4 2 3) = (7 – (–4) 8 – 2 –1–3) = (11 6 – 4)

• AC= v = c – a = (1 0 7) – (–4 2 3) = (1 – (–4) 0 – 2 7–3) = (5 –2 4)

|v| = 222 4)2(5 +−+ = 45

• u · v = 11(5) + 6(–2) + (–4)(4) = 27 • p proyeksi u pada v

p = v|v|

vu2

⋅⋅

= )425(45

27 − …………(d)

15. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).

Proyeksi vektor ABpada AC adalah …

a. 41 (3i + j – 2k)

b. 143 (3i + j – 2k)

c. 71− (3i + j – 2k)

d. 143− (3i + j – 2k)

e. 73− (3i + j – 2k)

Jawab : c

A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3) maka

• AB= u = b – a = (–1 4 –2) – (2 –1 –1) = (–1–2 4 –(–1) –2–(–1)) = (–3 5 –1)

• AC= v = c – a = = (5 0 –3) – (2 –1 –1) = (5–2 0 –(–1) –3–(–1)) = (3 1 –2)

|v| = 222 )2(13 −++ = 14

• u · v = –3(3) + 5(1) + (–1)(–2) = –2 • p proyeksi u pada v

p = v|v|

vu2

⋅⋅ =

142− (3 1 –2)

= 71− (3 1 –2)…………(c)


320


Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan

C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k

c. 31 i +

32 j + k

d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k

Jawab : a

vektor u = AB dan vektor v = BC , maka • u = b – a = (–1 1 –1) – (2 7 8)

= (–3 –6 –9)

• v = c – b = (0 3 2) – (–1 1 –1) = (1 2 3)

• | v | = 222 321 ++ = 14

• u ⋅ v = (–3 –6 –9) ⋅ (1 2 3)

= –3 – 12 – 27 = –42

• p proyeksi vektor u pada v, maka:

p = vv

vu2||

⋅

= )321(1442−

= –3(1 2 3) = (–3 –6 –9) = –3i – 6j – 9k ……………………….(a)

17. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –

2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)

Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka • u = b – a = (1 –1 0) – (–2 3 1)

= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)

• v = c – a = (4 –3 –2) – (2 –1 –3) = (4–2 –3–(–1) –2–(–3)) = (2 –2 1)

| v | = 222 1)2(2 +−+ = 9

• u ⋅ v = (–3 2 –8) ⋅ (2 –2 1)

= –6 – 4 – 8 = –18


p = v|v|

vu2

⋅⋅⋅⋅

= 9

18− (2 –2 1)

= –2(2 –2 1) = (–4 4 –2) = –4i + 4j – 2k ……………………….(c)


321


Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).

Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b

A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)


= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)

• v = c – a = (–1 1 0) – (–2 3 1) = (–1–(–2) 1–3 0 –1) = (1 –2 –1)

| v | = 222 )1()2(1 −+−+ = 6

• u ⋅ v = (3 –4 –1) ⋅ (1 –2 –1)

= 3 + 8 + 1 = 12


p = v|v|

vu2

⋅⋅⋅⋅

= 6

12 (1 –2 –1)

= 2(1 –2 –1) = (2 –4 –2) = 2i – 4j – 2k ……………………….(b)

19. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7

Jawab : e

misal panjang proyeksi vektor a pada b adalah |r |, maka:

| r | = bba ⋅

5 = 222 6)2(3

)623()13(

+−+

−⋅−− x

5 = 49

629 x++−

5 = 7

67 x+−

–7 + 6x = 35 6x = 42 x = 7 ………………………………(e)


322


Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan

C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).

Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka

u = b – a = (–1 1 –11) – (2 –1 –3) = (–3 2 –8)

v = c – a = (4 –3 –2) – (2 –1 –3) = (2 –2 1)

| v | = 222 1)2(2 +−+ = 9

u ⋅ v = (–3 2 –8) ⋅ (2 –2 1)

= –6 – 4 – 8 = –18

misal proyeksi vektor u pada v adalah w, maka:

w = v|v|

vu2

⋅⋅⋅⋅

= 9

18−(2 –2 1)

= –2(2 –2 1) = (–4 4 –2) = –4i + 4j – 2k ……………………….(c)

21. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).

Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b

A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)


= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)

• v = c – a = (–1 1 0) – (–2 3 1) = (–1–(–2) 1–3 0 –1) = (1 –2 –1)

| v | = 222 )1()2(1 −+−+ = 6

• u ⋅ v = (3 –4 –1) ⋅ (1 –2 –1)

= 3 + 8 + 1 = 12


p = v|v|

vu2

⋅⋅⋅⋅

= 6

12 (1 –2 –1)

= 2(1 –2 –1) = (2 –4 –2) = 2i – 4j – 2k ……………………….(b)


323


Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a. 65

b. 23

c. 2

13

d. 643

e. 653

Jawab : c

Misal | r | adalah panjang proyeksi q pada p, maka:

| r | = ||ppq ⋅

2 = 222 )6(76

)676()41(

−++

−⋅x

2 = 364936

2476

++−+x

2 = 121

176 −x

2 = 11

176 −x

6x – 17 = 22 6x = 39

x = 6

39 =

2

13 …….…………(c)

23. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari

vektor v =

−4

3

2

terhadap vektor

u =

−

−

1

2

1

, maka w = …

A.

−3

1

1

D.

−2

4

2

B.

−−

2

1

0

E.

−

−

2

4

2

C.

2

1

0

Jawab : d

w adalah proyeksi v terhadap u, maka

w = |||| u

uu

uv ×⋅

w =

−

−

−++−

−

−⋅

−

1

2

1

)1(2)1(

1

2

1

4

3

2

2222

= ( )

−

−

++

−+−+−

1

2

1

141

)4()6(22

=

−

−−

1

2

1

6

12

=

−

−−

1

2

1

2 =

−2

4

2

…………………(d)


324


Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

a. –34 (2 1 1)

b. –(2 1 1)

c. 34 (2 1 1)

d. (34 1 1)

e. (2 1 1)

Jawab : c

• Misal proyeksi vektor v pada u adalah p, maka:

p = |||| v

vv

uv ×⋅

p = 222222 224

)224(

224

)224()331(

++×

++

⋅

= 24

)112(2

24

664 ×++

= )112(24

216×

= )112(34 …………………………..(c)

19. TRANSFORMASI

A. Translasi (Pergeseran) ; T =

b

a

+

=

b

a

y

x

'y

'x atau

−

=

b

a

'y

'x

y

x

B. Refleksi (Pencerminan)

1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:

=

y

xM

'y

'x atau

=

−'y

'xM

y

x 1

2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:

Msb x Msb y My = x My = – x

−10

01

−10

01

01

10

−−01

10

absis tetap ordinat negasi

ordinat tetap absis negasi

dibalik dibalik dinegasi

3. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k

a. A(x,y) → =nyM A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)

ordinat di negasi + 2n

b. A(x,y) → =kxM A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y)

absis di negasi + 2k C. Rotasi (Perputaran)

R[O, θ] R[O, 90°] R[O, –90°]

−=

y

x

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

'

−=

y

x

y

x

01

10

'

'

−=

y

x

y

x

01

10

'

'

ordinat negasi balik absis negasi balik

0

Y

X(x, y)

(x, – y) 0

Y

X

(x, y)(–x, y)

0

Y

X

(x, y)

(y, x)y = x

0

Y

X

(x, y)

(–y, –x)

y = –x

0

Y

X (x, y)

(–y, x)

90°0

Y

X (x, y)

(y, –x)

–90°

SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri

326

D. D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O

=

y

xk

y

x

'

' ⇒

=

'

'1

y

x

ky

x

E. Komposisi Transformasi

P(x, y) → →

sr

qp

dc

ba

P’(x’, y’) ; maka

=

y

x

dc

ba

sr

qp

'y

'x

F. Luas Hasil Transformasi 1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.

2. Luas bangun hasil transformasi

dc

baadalah: L’ =

dc

baL ×

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Koordinat bayangan titik A(–1, 3) jika dicerminkan terhadap garis x = 4 dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah … A. (9, –3) B. (–9, 3) C. (9, 3) D. (–9, –3) E. (–3, –9) Jawab : B

T1 : Mx = 4, T2 : Msb Y

A(–1, 3) → =4xM A’(1 + 2(4), 3) = A’(9, 3) absis di negasi + 2k

A’(9, 3) → YsbM A”(–9, 3)……………..(B)

Absis negasi

2. UN 2013 Koordinat bayangan titik P(1, 4) oleh pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 1 adalah … A. (–1, –2) B. (–1, 7) C. (5, –2) D. (5, 7) E. (–5, –2) Jawab : C

T1 : Mx = 3, T2 : My = 1

P(1, 4) → =3xM P’(–1 + 2(3), 4) = P’(5, 4) absis di negasi + 2k

P’(5, 4) → =1yM P”(5, –4 + 2(1) ) = P’(5, –2)

ordinat di negasi + 2n ………………………..(C)

3. UN 2013 Peta titik A(5, –2) karena pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat di O adalah … A. (–2,– 5) B. (–2, 5) C. (2, 5) D. (5, 2) E. (5, 4) Jawab : B

T1 : Msb X, T2 : R[O, 90°]

A(5, –2) → sbXM A’(5, 2) Ordinat negasi

A’(5, 2) → ]90,[ oOR A”(–2, 5)…….……..(B) Ordinat negasi balik


327


Bayangan titik S(2, 4) oleh rotasi yang berpusat di O(0, 0) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah … A. S”(2, –4) B. S”(–2, 4) C. S”(2, 4) D. S”(–4, –2) E. S”(–4, –2) Jawab : B

T1 : R[O, –90°], T2 : T2 : My = x

S(2, 4) → − ]90,[ oOR S’(4, –2) Absis negasi balik

S’(4, –2) → =xyM S”( –2, 4) ………………...(B)

dibalik

5. UN 2013 Diketahui titik A(3, –2) dipetakan oleh

translasi G = � 1−2�, kemudian dilanjutkan

oleh rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A adalah … A. (4, 4) B. (–4, 4) C. (4, –4) D. (0, –3) E. (–3, 0) Jawab : A

T1 : G = � 1−2�, T2 : R[O, 90°]

A(3, –2) →

−=

2

1T

A’(3 + 1, –2 + (–2)) = A’(4, –4)

A’(4, –4) → ]90,[ oOR A”(4, 4)…….……..(A) Ordinat negasi balik

6. UN 2013 Titik P(–3, 1) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90°, dilanjutkan dengan

translasi G = �34�. Peta titik P adalah …

A. P”(2, 1) B. P”(0, 3) C. P”(2, 7) D. P”(4, 7) E. P”(4, 1) Jawab : A

T1 : R[O, 90°], T2 : G = �34�

P(–3, 1) → ]90,[ oOR P’(–1, –3) Ordinat negasi balik

P’( –1, –3) →

=

4

3T

P”( –1 + 3, –3 + 4) = P”(2, 1) ……………….(A)

7. UN 2013 Koordinat A(8, –12) dipetakan oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, dilanjutkan rotasi dengan pusat O sebesar 180°. Koordinat titik hasil peta adalah … A. (–4, –6) B. (–4, 6) C. (4, –6) D. (–8, 12) E. (–16, 24) Jawab : E

T1 : D[O, 2], T2 : R[O, 180°]

A(8, –12) → = ]2,[OD A’(8(2),–12(2)) = A’(16, –24)

A’(16, –24) → ]180,[ oOR A”( –16, 24)….……..(E) di negasi


328


Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis y = –x dan T adalah transformasi

yang dinyatakan oleh matriks �2 30 −1�.

Koordinat bayangan titik A(2, –8) jika ditransformasikan oleh M dilanjutkan oleh T adalah … A. (–10, 2) B. (–2, –10) C. (10, 2) D. (–10, –2) E. (2, 10) Jawab : C

T1 = M: My = – x, T2 = T : �2 30 −1� A(2, –8) → =xyM

A’(8, –2) Balik negasi

A’(8, –2) →

−10

32

A’’ =

−

− 2

8

10

32

=

+−

20

616

=

2

10…………….(C)

9. UN 2012/A13 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2

dilanjutkan dengan translasi

−4

3

adalah… A. x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 B. x2 + y2 + 2x – 8y + 13 = 0 C. x2 + y2 – 2x + 8y + 13 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 2y + 13 = 0 Jawab : A

Misal titik (x,y) ada pada l, maka:

T1 = (x, y) xnegasiabsis

xM

2

2

+

=(–x + 4, y)

T2 = (–x + 4, y)

−=

4

3T

(–x + 4 – 3 , y + 4)

= (–x +1 , y + 4) = (x’, y’)

jadi: x’ = –x + 1 ⇒ x =1 – x’ y’ = y + 4 ⇒ y = y’ – 4

diperoleh: l : x2 + y2 = 4 l’ : (1 – x’)2 + (y’ – 4)2 = 4

x2 + y2 – 2x – 8y + 1 + 16 – 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 …………………(A)

10. UN 2012/C37 Bayangan garis x – 2y = 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi

21

53 dilanjutkan dengan pencerminan

terhadap sumbu X adalah … A. 11x + 4y = 5 B. 4x + 2y = 5 C. 4x + 11y = 5 D. 3x + 5y = 5 E. 3x + 11y = 5 Jawab : C

T1 =

21

53

T1 :

y

x=

−−

⋅−⋅ '

'

31

52

5123

1

y

x=

+−−

yx

yx

3'

'5'2

g : x – 2y = 5

g' : (2x’ – 5y’) – 2(–x’+3y’) = 5

4x – 11y = 5

T2 = Msbx = ordinat negasi

g' : 4x – 11y = 5 ⇒ g” : 4x – 11(–y) = 5

4x + 11y = 5 ………….(C)


329


Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika dirotasi dengan pusat O( 0, 0 ) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O( 0, 0 ) dan faktor skala 3 adalah…. A. x = 3y2 – 3y B. x = y2 + 3y C. x = 3y2 + 3y D. y = 3y2 – 3y E. y = x2 + 3y Jawab : A

T1 = R[O, 90°] : ordinat negasi, balik g: y = 3x – 9x2 ⇒ g’ : – x = 3y – 9y2

T2 = D[O, 3] :

=

'

'1

y

x

ky

x=

'

'

3

1

y

x

g’ : – x = 3y – 9y2

g” : – 31 x” = 3�

31 y” – 9( )2

31 "y

– 31 x = y – y2

x = 3y2 – 3y …………………………(A) 12. UN 2012/E52

Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X di lanjutkan dengan dilantasi pusat O dan faktor skala 3 adalah…. A. x2 + 9x – 3y + 27 = 0 B. x2 + 9x + 3y + 27 = 0 C. 3x2 + 9x – 3y + 27 = 0 D. 3x2 + 9x + 3y + 27 = 0 E. 3x2 + 9x + 3y + 27 = 0 Jawab : B

T1 = MsbX = ordinat negasi g : y = x2 + 3x + 3 ⇒ g’ : – y = x2 + 3x + 3

T2 = D[O, 3] :

=

'

'1

y

x

ky

x=

'

'

3

1

y

x

g'’ : – 31 y” = (

31 x”) 2 + 3(

31 x”) + 3

y31− = 2

91 x + x + 3

–3y = x2 + 9x + 27 x2 + 9x + 3y + 27 = 0 ..................................(B)

13. UN 2011 PAKET 12 Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = –x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah … a. y + 2x – 3 = 0 b. y – 2x – 3 = 0 c. 2y + x – 3 = 0 d. 2y – x – 3 = 0 e. 2y + x + 3 = 0 Jawab : b

T1 : My = –x = balik negasi g : y = 2x – 3 ⇒ g’ : –x = –2y – 3 T2 : My = x = balik g’ : –x = –2y – 3 ⇒ g’ : –y = –2x – 3

y – 2x – 3 = 0 …………(B)

14. UN 2010 PAKET A Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan

dengan matriks

− 4

3, dilanjutkan dilatasi

dengan pusat di O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah … a. 3x + 2y = 14 b. 3x + 2y = 7 c. 3x + y = 14 d. 3x + y = 7 e. x + 3y = 14

Jawab : a

T1 =

− 4

3, T2 = D[O, 2]

y

x →

−43

−+

4

3

y

x →2

−+

82

62

y

x=

'

'

y

x

Dari proses di atas diperoleh: • 2x + 6 = x’

x = ½(x’ – 6) • 2y – 8 = y’

y = ½(y’ + 8) maka untuk g : 3x + 2y = 6 bayangannya: g’ : 3(½(x’ – 6)) + 2(½(y’ + 8)) = 6 3(x’ – 6)) + 2(y’ + 8)) = 12

3x’ + 2y’ – 18 + 16 = 12 3x + 2y = 12 + 2 = 14 …………………..(a)


330


Transformasi

−+21

1aa yang dilanjutkan

dengan transformasi

−− 31

12 terhadap

titik A(2, 3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –17). Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35). Koordinat titik C adalah … a. (2, 15) b. (2, –15) c. (–2, 15) d. (15, –2) e. (15, 2)

Jawab : a

T1 =

−+21

1aa dan T2 =

−− 31

12

(i) titik A(2, 3) oleh transformasi T2 ο T1

menghasilkan bayangan A’(22, – 1)

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

−− 31

12

−+21

1aa

y

x

−1

22 =

−− 31

12

−+21

1aa

3

2

−1

22 =

−− 31

12

−++

62

332 aa

−1

22 =

−− 31

12

−+

4

35a

−1

22 =

+−−−+

1235

4610

a

a =

+−+

95

210

a

a

dari kesamaan di atas diperoleh: 10a + 2 = 22

10a = 20 a = 2

dengan demikian T1 =

−+21

1aa=

− 21

32

(ii) titik C(x, y) oleh transformasi T2 ο T1

menghasilkan bayangan C’(70, 35)

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

−− 31

12

− 21

32

y

x

35

70 =

− 35

45

y

x

y

x =

1

35

45−

−

35

70

y

x =

−+ 55

43

2015

1

35

70

y

x =

−55

43

35

1

35

70

y

x =

−55

43

1

2=

15

2

……………………………….(a)


331


Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang

ditransformasikan oleh matriks

−01

10

dilanjutkan oleh matriks

−10

01 adalah

… a. y = x2 + x + 3 b. y = –x2 + x + 3 c. x = y2 – y + 3 d. x = y2 + y + 3 e. x = –y2 + y + 3

Jawab : c

T1 =

−01

10, T2 =

−10

01, maka :

T2○T1 =

'

'

y

x=

−10

01

−01

10

y

x

'

'

y

x =

−10

01

−x

y

'

'

y

x=

x

y

maka : g : y = x2 – x + 3 g’ : x’ = (y’) 2 – y’ + 3 x = y2 – y + 3 …………………….…….(c)

17. UN 2009 PAKET A/B Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 2. bayangan garis g oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan

rotasi terhadap O sebesar 2π radian adalah

… a. 3x + y + 2 = 0 b. 3y – x – 2 = 0 c. 3x – y – 2 = 0 d. 3y – x + 2 = 0 e. –3x + y – 2 = 0

Jawab : d

Prinsip Transformasi

Missal titik (x,y) ada pada g, maka:

(x,y) negasibeltetapdep

sbXM

..

(x, –y)negasidepanbalik

OR ],[ 2π

(y, x)

jadi: x’ = y dan y’ = x g : y = 3x + 2 g’ : x’ = 3y’ + 2 ⇔ 3y – x + 2 = 0 …………..(d)

18. UN 2008 PAKET A/B Lingkaran (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16

ditransformasikan oleh matriks

−01

10

dan dilanjutkan oleh matriks

10

01.

Persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah … a. x2 + y2 – 4x – 2y – 11 = 0 b. x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0 c. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0 d. x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0 e. x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0

Jawab : e

T1 =

−01

10 dan T2 =

10

01

Pusat lingkaran di (a, b) = (–1, 2)

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

10

01

−01

10

y

x

'

'

y

x=

−01

10

−2

1 =

−−

1

2

dengan demikian bayangannya berpusat di (a, b) = (–2, –1) dan r2 = 16.

x2 + y2 – 2ax – 2by + ( 222 rba −+ ) = 0

x2 + y2 – 2(–2)x –2(–1)y + ( 16)1(2 22 −−+− )= 0

x2 + y2 + 4x + 2y + (4 + 1 – 16) = 0

x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0 ………….(e)


332


Persamaan bayangan garis y = 5x – 3 karena rotasi dengan pusat O(0,0) bersudut –90° adalah … a. 5x – y + 3 = 0 b. x – 5y – 3 = 0 c. x + 5y – 3 = 0 d. x + 5y + 3 = 0 e. 5x + y – 3 = 0

Jawab : d



(x, y) negasibelakangbalik

OR ],[2π−

(y, –x)

jadi: x’ = y dan y’ = –x g : y = 5x – 3 g’ : x’ = 5(–y’) – 3 ⇔ x + 5y + 3 = 0 ……….(d)

20. UN 2007 PAKET B Bayangan garis 3x – y + 2 = 0 apabila direfleksikan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan rotasi sebesar 90º dengan pusat O(0,0) adalah … a. 3x + y + 2 = 0 b. –x + 3y + 2 = 0 c. 3x + y – 2 = 0 d. x – 3y + 2 = 0 e. –3x + y + 2 = 0

Jawab : c



(x,y) dibalik

yxM =(y, x)

negasidepanbalik

OR ],[2π

(–x, y)

jadi: x’ = –x dan y’ = y g : 3x – y + 2 = 0 g’ : 3(–x’) – y’ + 2 = 0

⇔ –3x – y + 2 = 0 ⇔ 3x + y – 2 = 0 …………..(c)

21. UN 2007 PAKET A Bayangan kurva y = x2 – 1, oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y, adalah …

a. y = 21 x2 – 1

b. y = 21 x2 + 1

c. y = –21 x2 + 2

d. y = –21 x2 – 2

e. y = 21 x2 – 2

Jawab : e



(x,y) (2x, 2y) (–2x, 2y)

jadi: x’ = –2x ⇒ x = –21 x’ dan

y’ = 2y ⇒ y = 21 y’

g : y = x2 – 1

g’ : 21 y’ = (–

21 x’) 2 – 1

⇔ 21 y =

41 x2 – 1

⇔ y = 21 x2 – 2 …………………………..(e)

22. UN 2006 Persamaan peta parabola (x + 1)2 = 2(y – 2) oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan rotasi terhadap pusat O

dan sudut putar 2π radian adalah …

a. (x – 1)2 = 2(y + 2) b. (x – 1)2 = ½(y – 2) c. (y – 1)2 = 2(x – 2) d. (y + 1)2 = 2(x – 2) e. (y + 1)2 = ½(x – 2) Jawab : d



(x,y) negasibeltetapdep

sbXM

..(x, –y)

negasidepanbalik

OR ],[2π

(y, x)

jadi: x’ = y dan y’ = x g : (x + 1)2 = 2(y – 2) g’ : (y’ + 1)2 = 2(x’ – 2)

⇔ (y + 1)2 = 2(x – 2)………………..…..(d)

2

]2,[

kalikan

OD

negasideptetapbel

sbYM

..


333


Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan berjari–jari 4 diputar dengan R[O, 90º], kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. persamaan bayangan lingkaran adalah … a. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0

b. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0

c. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0

d. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0

e. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

Jawab : e


(3, –2)negasidepanbalik

OR ]90,[ o

(2, 3)negasibeltetapdep

sbXM

..(2, –3)

• Persamaan lingkaran hasil transformasi

Lingkaran dengan pusat di (2, –3) dan jari–jari r = 4.

x2 + y2 – 2ax – 2by + ( 222 rba −+ ) = 0

x2 + y2 – 2(2)x –2(–3)y + ( 222 4)3(2 −−+ )= 0

x2 + y2 – 4x + 6y + (4 + 9 – 16) = 0

x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 ……………..……….(e)

24. UN 2004 Persamaan bayangan garis 3x + 5y – 7 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan

matriks

−−21

11dilanjutkan dengan

12

23adalah …

a. 2x + 3y + 7 = 0

b. 2x + 3y – 7 = 0

c. 3x + 2y – 7 = 0

d. 5x – 2y – 7 = 0

e. 5x + 2y – 7 = 0

Jawab : d

T1 =

−−21

11 dan T2 =

12

23

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

12

23

−−21

11

y

x

'

'

y

x=

01

11

y

x

y

x=

1

01

11 −

'

'

y

x

y

x=

−−

− 11

10

10

1

'

'

y

x

y

x=

−11

10

'

'

y

x =

− ''

'

yx

y

Maka: g : 3x + 5y – 7 = 0 g’ : 3y’ + 5(x’ – y’) – 7 = 0

3y’ + 5x’ – 5y’ – 7 = 0 5x’ – 2y’ – 7 = 0 5x – 2y – 7 = 0 ……………………..(d)

25. UN 2004 T1 adalah transformasi rotasi dengan pusat O dan sudut putar 90º. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = –x. Bila koordinat peta titik A oleh transformasi T1o T2 adalah A’(8, –6), maka koordinat titik A adalah … a. (–6, –8) b. (–6, 8) c. (6, 8) d. (8, 6) e. (10, 8)

Jawab : d


Untuk mendapatkan titik A, gunakan metode invers

Invers dari My = –x : My = x = T1

Invers dari R[0,90°] : R[0,–90°] = T2

(8,–6)

balik

xyM =(–6, 8)

negasibelbalik

OR

.

]90,[ o− (8,6)

Jadi, koordina titik A(8,6) ……………………(d)


334


Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan

matriks

−2

3dan dilanjutkan dengan

− 1

1 bayangannya adalah …

a. 3x + 2y + 5 = 0 b. 3x + 2y – 5 = 0 c. 2x – 3y + 5 = 0 d. 2x + 3y – 5 = 0 e. 2x + 3y + 5 = 0

Jawab : d

T1 = T =

−2

3 dan T2 = T =

−1

1, maka

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

+

−+

− y

x

2

3

1

1

'

'

y

x =

+

−y

x

1

2

y

x=

'

'

y

x –

−1

2 =

−+1'

2'

y

x

Maka: g : 2x + 3y = 6 g’ : 2(x’ + 2) + 3(y’ – 1) = 6

2x’ + 4 + 3y’ – 3 – 6 = 0 2x’ + 3y’ – 5 = 0 2x + 3y – 5 = 0 …………..………(d)

27. EBTANAS 2002

Koordinat bayangan titik (–2, 3) karena rotasi sebesar 60º dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = –x adalah …

a. ( )31,323

23 +−

b. ( )31,323

23 −−−

c. ( )31,323−−−

d. ( )31,323

23 −−

e. ( )31,323

23 −+

Jawab : a

T1 = R[O, 60º] =

−oo

oo

60cos60sin

60sin60cos

=

−

21

21

21

21

3

3

T2 = My = – x =

−−01

10

T2 ο T1 =

'

'

y

x =

−−01

10

−

21

21

21

21

3

3

−3

2

'

'

y

x=

−−−

3

3

21

21

21

21

−3

2

'

'

y

x=

+

−

31

3

23

23

……………..(a)

28. EBTANAS 2002

Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … a. y = x + 1 b. y = x – 1 c. y = ½x – 1 d. y = ½x + 1 e. y = ½x – ½

Jawab : c

T = My = x = x, y dibalik

y = 2x + 2 → =xyMx = 2y + 2

2y = x – 2

y = 21 x – 1 ……………(c)


335


Diketahui segitiga ABC panjang sisi–sisinya 4, 5, dan 6 satuan terletak pada bidang α. T adalah transformasi pada bidang α yang bersesuaian dengan matriks

43

41. Luas bayangan segitiga ABC oleh

transformasi T adalah … satuan luas.

a. 7165

b. 74

15

c. 10 7

d. 15 7

e. 30 7

Jawab : e

(i) luas segitiga

s = )654(21 ++ = 2

15 = 217

L = ))()(( csbsass −−−

= )67)(57)(47( 21

21

21

215 −−−

= 23

25

27

215 ⋅⋅⋅ =

415

27

215 ⋅⋅

= 2

2

4715 ⋅ = 74

15

(ii) determinan matriks transformasi

det(A) = 43

41 = 4 – 12 = –8

(iii) luas bayangan

L’ = L × |det(A)| = 7415 × |–8|

= 30 7 ……………...(e)

20. BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut

Barisan Ciri utama Rumus suku ke–

n

Suku tengah Sisipan k bilangan

Aritmetika Beda b = Un – Un – 1 Un = a + (n – 1)b

Ut = 21 (a + U2k – 1) ,

k letak suku tengah,

banyaknya suku 2k–1

bbaru = 1k

xy

+−

Geometri Rasio r = 1−n

n

U

U Un = arn–1 Ut = nUa ⋅ ,

dengan t = ½(n + 1)

rbaru = 1kxy+

Catatan :

1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan

2. U1 = a = suku pertama suatu barisan

3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b


Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke–10 barisan tersebut adalah… A. 1.920 B. 3.072 C. 4.052 D. 4.608 E. 6.144 Jawab : E

U7 = ar6 = 384, maka U10 = U7 · r3

= 384·23 = 384·8 = 6.144.................................................(E)

2. UN 2012/D49 Barisan geometri dengan suku ke–5 adalah

3

1 dan rasio =

3

1, maka suku ke–9 barisan

geometri tersebut adalah …. A. 27 B. 9

C. 27

1

D. 81

1

E. 243

1

Jawab : E

U5 = ar4 = 3

1, maka

U9 = U5 · r4

= 3

1·

4

3

1

= 243

1………………………………….(E)

SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret

337


Suku ke–4 dan ke–9 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 110 dan 150. Suku ke–30 barisan aritmetika tersebut adalah … a. 308 b. 318 c. 326 d. 344 e. 354 Jawab : b

Cara I ………. Tentukan nilai a dan b U9 = a + 8b = 150 U4 = a + 3b = 110 _

5b = 40 b = 8 maka a = 110 – 3b

= 110 – 3(8) = 86 U30 = a + 29b = 86 + 29(8)

= 86 + 232 = 318 …………...(b)

Cara II……. Tidak usah di cari nilai a U30 = U9 + 21b = 150 + 21(8)

= 150 + 168 = 318 4. UN 2011 PAKET 46

Suku ke–6 dan ke–12 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 35 dan 65. Suku ke–52 barisan aritmetika tersebut adalah … a. 245 b. 255 c. 265 d. 285 e. 355 Jawab : c

Cara I ………. Tentukan nilai a dan b U12 = a + 11b = 65 U6 = a + 5b = 35 _

6b = 30 b = 5 maka a = 35 – 5b

= 35 – 5(5) = 10 U52 = a + 51b = 10 + 51(5)

= 10 + 255 = 265 …………...(c)

Cara II……. Tidak usah di cari nilai a U52 = U12 + 40b = 65 + 40(5)

= 65 + 200 = 265 5. UN 2010 PAKET A/B

Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 = … a. 10 b. 19 c. 28,5 d. 55 e. 82,5

Jawab :d

Gunakan rumus umum suku ke–n U2 + U15 + U40 = 165 (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165 a + 18b = 55 U19 = 55 ………..(d)

6. UN 2010 PAKET A/B Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah … a. 4 b. 2

c. 21

d. –21

e. –2

Jawab : b

• a , a + 3, a + 6 : Barisan aritmetika

• a , a + 3 – 1, a + 6 : Barisan Geometri a , a + 2, a + 6

• a + a + 2 + a + 6 = 14 : Deret Geometri 3a + 8 = 14

3a = 6 a = 2

• Rasio : r = 1

2

U

U = a

a 2+

= 2

22 + = 2 …………(b)


338


Barisan bilangan aritmetika terdiri dari 21 suku. Suku tengah barisan tersebut adalah 52, sedangkan U3 + U5 + U15 = 106. suku ke–7 barisan tersebut adalah … a. 27 b. 30 c. 32 d. 35 e. 41 Jawab : c

• U3 + U5 + U15 = a + 2b + a + 4b + a + 14b

106 = 3a + 20b……………….(1) 106 = 2a + (a + 20b) 106 = 2a + U21 U21 = 106 – 2a …………….(2)

• Substitusikan pers. (2) ke rumus Ut

Ut = 21 (a + U21)

52 = 21 (a + 106 – 2a)

104 = 106 – a a = 106 – 104 = 2

• Substitusikan a = 2 pers. (1) 106 = 3a + 20b 106 = 3(2) + 20b 20b = 106 – 6 = 100 b = 5

Jadi, U7 = a + 6b = 2 + 6(5) = 32 ………………….(c)


Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah dua, dan suku kedua dikurangi dua, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya menjadi empat kali suku pertama. Maka suku pertama deret aritmetika tersebut adalah … a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 14 Jawab : b

1) x, y, z…………..…: barisan aritmetika z + 2 = 4x

z = 4x – 2 • beda b

y – x = z – y y – x = (4x – 2) – y y + y = 4x + x – 2

–5x + 2y = – 2 ……………………..(1) 2) x, (y – 2), (z + 2) ……….: barisan geometri

• Rasio r

2

22

−+=−

y

z

x

y

2

2242

−+−=−

y

x

x

y

2

42

−=−

y

x

x

y

4x2 = (y – 2)2 2x = y – 2 2x – y = – 2 ………………………(2)

• Dari pers. (1) dan (2) –5x + 2y = – 2 | × 1 ⇔ –5x + 2y = – 2 2x – y = – 2 | × 2 ⇔ 4x – 2y = – 4 +

–x = –6 x = 6

Jadi, U1 = 6 ……………………………(b)


339

B. Masalah Berkaitan dengan Barisan Aritmetika dan Geometri SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2007 PAKET A Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah … bakteri a. 640 b. 3.200 c. 6.400 d. 12.800 e. 32.000 Jawab : c

• r = 2 •

515U = U3 = 400

U3 = ar2 400 = a·22 400 = a·4

a = 4400 = 100

• 535U = U7 = ar6

= 100×26 = 100×64 = 6.400 ……………………..(c)

2. UN 2004 Populasi suatu jenis serangga setiap tahun menjadi dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat ini mencapai 5000 ekor, maka 10 tahun yang akan datang populasinya sama dengan … a. 2.557.500 ekor b. 2.560.000 ekor c. 5.090.000 ekor d. 5.115.000 ekor e. 5.120.000 ekor Jawab : b

• r = 2

• a = 5.000

U10 = ar9 = 5.000 × 29

= 5.000 × 512

= 2.560.000 …………………………(b)


340

C. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb

Deret Jumlah n suku pertama

Aritmetika

Sn = 21 n(a + Un) ……………jika a dan Un

diketahui

= 21 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui

Geometri

Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

………………… jika r > 1

= r

ra n

−−

1

)1(…………………jika r < 1

Catatan:

1. Antara suku ke–n dan deret terdapat hubungan yaitu :

• Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S1

2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:

• r1

aS

−=∞

SOAL-SOAL DERET ARITMETIKA SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku ke–3 = 4 dan suku ke–7 = 16. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah … A. 115 B. 125 C. 130 D. 135 E. 140 Jawab : A

u7 = a + 6b = 16 u3 = a + 2b = 4_

4b = 12 b = 3

• u1 = u3 – 2b = 4 – 2(3) = –2 • u10 = u7 + 3b = 16 + 3(3) = 25

• un = 21 n(a + un)

u10 = 21 × 10(–2 + 25)

= 5 (23) = 115………………..(A) 2. UN 2013

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke–3 adalah 11 dan suku ke–8 adalah 31. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 800 B. 820 C. 840 D. 860 E. 870 Jawab : B

u8 = a + 7b = 31 u3 = a + 2b = 11 _

5b = 20 b = 4

• u1 = u3 – 2b = 11 – 2(4) = 3 • u20 = u8 + 12b = 31 + 12(4) = 79

• un = 21 n(a + un)

u20 = 21 × 20(3 + 79)

= 10 (82) = 820………………..(B)


341


Diketahui suku ke–3 dan ke–7 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 12 dan 32. Jumlah 8 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 312 B. 172 C. 156 D. 146 E. 117 Jawab : C

u7 = a + 6b = 32 u3 = a + 2b = 12 _

4b = 20 b = 5

• u1 = u3 – 2b = 12 – 2(5) = 2 • u8 = u7 + b = 32 + 5 = 37

• un = 21 n(a + un)

u8 = 21 × 8(2 + 37)

= 4 (39) = 156………………..(C) 4. UN 2013

Suku ke–4 dan suku ke–12 dari barisan aritmetika berturut–turut 36 dan 100. Jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 164 B. 172 C. 1.640 D. 1.760 E. 1.840 Jawab : D

u12 = a + 11b = 100 u4 = a + 3b = 36 _

8b = 64 b = 8

• u1 = u4 – 3b = 36 – 3(8) =1 2 • u20 = u12 + 8b = 100 + 8(8) = 164

• un = 21 n(a + un)

u20 = 21 × 20(12 + 164)

= 10 (176) =1.760………………..(D) 5. UN 2013

Diketahui suku ke–3 dan suku ke–8 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 2 dan –13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. –580 B. –490 C. –440 D. –410 E. –380 Jawab : D

u8 = a + 7b = –13 u3 = a + 2b = 2_

5b = –15 b = –3

• u1 = u3 – 2b = 2 – 2(–3) = 8 • u20 = u8 + 12b = –13 + 12(–3) = –49

• un = 21 n(a + un)

u20 = 21 × 20(8 – 49)

= 10 (–41) = –410………………..(D) 6. UN 2013

Diketahui suku ke–4 dan suku ke–9 suatu deret aritmetika berturut–turut adalah 15 dan 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. 960 B. 690 C. 460 D. 390 E. 360 Jawab : B

u9 = a + 8b = 30 u4 = a + 3b = 15_

5b = 15 b = 3

• u1 = u4 – 3b = 15 – 3(3) = 6 • u20 = u9 + 11b = 30 + 11(3) = 63

• un = 21 n(a + un)

u20 = 21 × 20(6 + 63)

= 10 (69) = 690………………..(B)


342


Diketahui suku ke–3 dan suku ke–6 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 8 dan 17. Jumlah 21 suku pertama deret tersebut adalah … A. 630 B. 651 C. 665 D. 670 E. 672 Jawab : E

u6 = a + 5b = 17 u3 = a + 2b = 8 _

3b = 9 b = 3

• u1 = u3 – 2b = 8 – 2(3) = 2 • u21 = u6 + 15b = 17 + 15(3) = 62

• un = 21 n(a + un)

u21 = 21 × 21(2 + 62)

= 21 (32) = 672………………..(E) 8. UN 2013

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke–3 dan ke–6 berturut–turut adalah 30 dan 51. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 625 B. 755 C. 975 D. 1.050 E. 1.150 Jawab : C

u6 = a + 5b = 51 u3 = a + 2b = 30_

3b = 21 b = 7

• u1 = u3 – 2b = 30 – 2(7) = 16 • u15 = u6 + 9b = 51 + 9(7) = 114

• un = 21 n(a + un)

u15 = 21 × 15(16 + 114)

= 15 (65) = 975………………..(C)

9. UN 2012/A13 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke–20 dari deret aritmetika tersebut adalah… A. 44 D. 38 B. 42 E. 36 C. 40 Jawab : A

Cara Biasa Sn = n2 + 5n

S2 = 22 + 5(2) = 14 U1 = S1 = 12 + 5(1) = 6 _

S2 – S1 = U2 = 8

b = U2 – U1 = 8 – 6 = 2 U20 = a + 19b

= 6 + 19(2) = 44 ………………………(A) Cara Cepat : Sn = n2 + 5n ⇒ Un = 2n + (5 – 1)

= 2n + 4 U20 = 2(20) + 4

= 44 10. UN 2012/C37

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn= 2n2 + 4n, Suku ke–9 dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 30 D. 42 B. 34 E. 46 C. 38 Jawab : C

Cara Biasa Sn = 2n2 + 4n

S2 = 2(2)2 + 4(2) = 16 U1 = S1 = 2(1)2 + 4(1) = 6 _

S2 – S1 = U2 = 10

b = U2 – U1 = 10 – 6 = 4 U9 = a + 8b

= 6 + 8(4) = 38 ………………………(C) Cara Cepat :

Sn = 2n2 + 4n ⇒ Un = 2�2n + (4 – 2) = 4n + 2 U9 = 4(9) + 2

= 38


343


Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 3n. Suku ke–20 deret tersebut adalah…. A. 38 D. 50 B. 42 E. 54 C. 46 Jawab : B

Cara Biasa Sn = n2 + 3n

S2 = 22 + 3(2) = 10 U1 = S1 = 12 + 3(1) = 4 _

S2 – S1 = U2 = 6

b = U2 – U1 = 6 – 4 = 2 U20 = a + 19b

= 4 + 19(2) = 42 ………………………(B) Cara Cepat : Sn = n2 + 3n ⇒ Un = 2n + (3 – 1)

= 2n + 2 U20 = 2(20) + 2 = 42

12. UN 2012/E52 Jumlah n suku pertama deret aritmatika

dinyatakan dengan Sn = 2

5n2 +

2

3n. Suku

ke–10 dari deret aritmatika tersebut adalah…. A. 49

B. 472

1

C. 35

D. 332

1

E. 29

Jawab : A

Cara Biasa

Sn = 2

5n2 +

2

3n

S2 = 2

5�22 +

2

3�2 = 13

U1 = S1 = 2

5�12 +

2

3�1 = 4

S2 – S1 = U2 = 9

b = U2 – U1 = 9 – 4 = 5 U10 = a + 9b

= 4 + 9(5) = 49 ………………………(A) Cara Cepat :

Sn = 2

5n2 +

2

3n ⇒ Un =

2

5· 2n +(

2

3–

2

5)

= 5n – 1 U10 = 5(10) – 1 = 49

13. UN 2008 PAKET A/B Suku keenam dan kedua belas suatu deret aritmetika berturut–turut adalah 43 dan 85. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 1.290 b. 2.210 c. 2.200 d. 2.300 e. 2.325

Jawab : d

• U12 = a + 11b = 85 • U6 = a + 5b = 43 _

6b = 42 b = 7

a + 5b = 43 a + 5(7) = 43 a = 43 – 35 = 8

• Sn = 21 n(2a + (n – 1)b)

S25 = 21 × 25(2 × 8 + (25 – 1) × 7)

= 21 × 25(16 + 24 × 7)

= 25(8 + 12 × 7) = 25 × 92 = 2.300 ……………………(d)


344


Diketahui suatu barisan aritmetika, Un menyatakan suku ke–n. Jika U7 = 16 dan U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … a. 336 b. 672 c. 756 d. 1.344 e. 1.512

Jawab : b

• U3 + U9 = a + 2b + a + 8b 24 = 2a + 10b 12 = a + 5b ⇔ a + 5b = 12 U7 = a + 6b = 16_ _

–b = –4 b = 4

• a + 5b = 12 a + 5(4) = 12

a = 12 – 20 = –8

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S21 = 21 ·21 (2(–8) + 20·4)

= 21(–8 + 10·4) = 21(–8 + 40) = 21(32) = 672 ………………………..(b)

15. UN 2007 PAKET A Suku ke–5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke–8 dengan suku ke–12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret itu adalah … a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84

Jawab : c

• U8 + U12 = a + 7b + a + 11b 52 = 2a + 18b 26 = a + 9b ⇔ a + 9b = 26 U5 = a + 4b = 11 _

5b = 15 b = 3

• a + 4b = 11 a + 4(3) = 11

a = 11 – 12 = –1

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S8 = 21 ·8 (2(–1) + 7·3)

= 4 (–2 + 21) = 4(19) = 76 ………………………...(c)

16. UAN 2003

Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + log 6 + log 18 + log 54 + … adalah … a. 5 log(4·310) b. 5 log(2·39) c. log(4·310) d. log(4·345) e. log(45·345)

Jawab : e

• a = log 2

• b = log 6 – log 2 = )log(26 = log 3

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S10 = 21 · 10(2·log 2 + 9 log 3)

= 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e)


345

SOAL-SOAL DERET GEOMETRI SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Suku ke–3 dan suku ke–7 suatu deret geometri berturut–turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah… A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 Jawab : C

U3 = ar2 = 16 U7 = ar6 = 256 Sehingga:

• 3

7

U

U=

2

6

ar

ar=

16

256

r4 = 16 r = 2

• ar2 = a· 22 = 16 a = 4

• S7 = 1

)1(

−−

r

ra n

= 12

)12(4 7

−−

= 4(128 – 1) = 508 ...............................(C)

2. UN 2008 PAKET A/B Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku positif berturut–turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 72 b. 93 c. 96 d. 151 e. 160

Jawab : b

• U6 = ar5 = 96 • U2 = ar = 6

• 2

6

U

U=

ar

ar5

= 6

96

r4 = 16 r = 2

• ar = 6 a × 2 = 6 a = 3

• Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

S5 = 12

)12(3 5

−−

= 3(32 – 1) = 93 …………….………(b)


346

D. Masalah Berkaitan dengan Deret Aritmetika dan Geometri SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2013 Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian

2 m dan memantul kembali menjadi *( tinggi

sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti adalah … A. 8 m B. 16 m C. 18 m D. 24 m E. 32 m Jawab : C

Cara biasa

• h = 2, r = 54 = n

m

• a = 54 h =

54 ×2 = 5

8

• Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)

= h + r

a

−1

2 = 2 +

5458

1

2

−

⋅

= 2 + 515

16

= 2 + 16

= 18 …………..(C) Cara Cepat

• Stot = hmn

mn ×−+

= 245

45 ×−+

= 9(2) = 18

2. UN 2013 Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 5 m dan memantul kembali

dengan tinggi ,* dari ketinggian semula.

Panjang lintasan bola tersebut sampai bola berhenti adalah … A. 25 m B. 30 m C. 35 m D. 45 m E. 65 m Jawab : C

Cara biasa

• h = 5, r = ,* = n

m

• a = ,*h =

,* ×5 = 4

15


= h + r

a

−1

2 = 5 +

434

15

1

2

−

⋅

= 5 + 41430

= 5 + 30

= 35 …………..(C) Cara Cepat

• Stot = hmn

mn ×−+

= 534

34 ×−+

= 7(5) = 35


347


Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari

ketinggian 4 m dan memantul kembali ,*

dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah … A. 12 m B. 16 m C. 24 m D. 28 m E. 32 m Jawab : D

Cara biasa

• h = 5, r = ,* = n

m

• a = ,*h =

,* ×4 = 3


= h + r

a

−1

2 = 4 +

431

32

−⋅

= 4 + 41

32 ⋅= 4 + 6(4)

= 28 …………(D) Cara Cepat

• Stot = hmn

mn ×−+

= 434

34 ×−+

= 7(4) = 28

4. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 512 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.048 cm Jawab : B

Geometri • n = 8, u1 = 4, u9 = 512

• 1

8

u

u=

a

ar 7

= 4

512

r7 = 128 = 27 r = 2

• S8 = 1

)1(

−−

r

ra n

= 12

)12(4 8

−−

= 4(256 – 1) = 1.020 ..............................(B)

5. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 9 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 1.024 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.044 cm Jawab : E

Geometri • n = 9, u1 = 4, u9 = 1.024

• 1

9

u

u=

a

ar8

= 4

1024

r8 = 256 = 28 r = 2

• S9 = 1

)1(

−−

r

ra n

= 12

)12(4 9

−−

= 4(512 – 1) = 2.044 ..............................(E)


348


Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah … A. 6.200 unit B. 6.400 unit C. 12.400 unit D. 12.600 unit E. 12.800 unit Jawab : D

Geometri • u1 = 200, u4 = 1.600

• 1

4

u

u=

a

ar3

= 200

600.1

r3 = 8 = 23 r = 2

• S6 = 1

)1(

−−

r

ra n

= 12

)12(200 6

−−

= 200(64 – 1) = 12.600.............................(D)

7. UN 2012/A13 Tempat duduk pertunjukan film di atur mulai dari depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah….. A. 1.200 tempat duduk B. 800 tempat duduk C. 720 tempat duduk D. 600 tempat duduk E. 300 tempat duduk Jawab : C

• baris terdepan 20 ⇒ U1 = 20 • banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari

baris di depannya ⇒ b = 4 • gedung pertunjukan terdapat 15 baris ⇒ S15

Sn = ))1(2(2

bnan −+ , maka:

S15 = )414202(2

15 ⋅+⋅

= 15(20 + 28) = 15(48) = 720 ........................................................(C)

8. UN 2012/B25

Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke–16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke–16 adalah ... A. 45.760 B. 45.000 C. 16.960 D. 16.000 E. 9.760 Jawab : A

• Tahun pertama 1.960 ⇒ U1 = 1.960

• Tiap tahun produksi turun 120 ⇒ b = 120 • Total produksi sampai tahun ke–16 ⇒ S16

Sn = ))1(2(2

bnan −+ , maka:

S16 = )1201519602(2

16 ⋅+⋅

= 16(1960 + 900) = 16(2860) = 45.760 ...................................................(A)


349


Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke–12 adalah … A. Rp1.740.000,00 B. Rp1.750.000,00 C. Rp1.840.000,00 D. Rp1.950.000,00 E. Rp2.000.000,00 Jawab : A

• Bulan pertama 46.000 ⇒ U1 = 46.000 • pertambahan keuntungan setiap bulan 18.000

⇒ b = 18.000 • Jumlah keuntungan sampai bulan

ke–12 ⇒ S12

Sn = ))1(2(2

bnan −+ , maka:

S12 = )1800011460002(2

12 ⋅+⋅

= 6(92000 + 198000) = 6(290000) = 1.740.000 ...............................................(A)

10. UN 2012/D49 Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00. setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp.200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah …. A. Rp.25.800.000,00. B. Rp.25.200.000,00. C. Rp.25.000.000,00. D. Rp.18.800.000,00 E. Rp.18.000.000,00 Jawab : C

• Gaji awal 1.600.000 ⇒ U1 = 1.600.000 • Kenaikan gaji berkala sebesar 200.000

⇒ b = 200.000 • kontrak selama 10 tahun ⇒ S10

Sn = ))1(2(2

bnan −+ , maka:

S12 = )200000916000002(2

10 ⋅+⋅

= 10(1.600.000 + 900.000) = 10(2.500.0000) = 25.000.0000...........................................(C)

11. UN 2011 PAKET 12 Seorang penjual daging pada bulan Januari menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah … a. 1.050 kg d. 1.650 kg b. 1.200 kg e. 1.750 kg c. 1.350 kg Jawab: d

Dari soal diketahui a = 120, dan b = 10 Maka :

S10 = )92(2

10ba +

= 5(2 · 120 + 9 · 10) = 5(240 + 90) = 1.650 ………………………………..(d)

12. UN 2011 PAKET 46 Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 4.000 buah pada awal produksi. Pada bulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila kemajuan tetap, maka jumlah produksi dalam 1 tahun ada … a. 45.500 buah b. 48.000 buah c. 50.500 buah d. 51.300 buah e. 55.500 buah Jawab : d

Dari soal diketahui a = 4000, dan b = 50 Maka :

S12 = )92(2

12ba +

= 6(2 · 4.000 + 11 · 50) = 6(8.000 + 550) = 6(8.550) = 51.300 ……………………………….(d)


350


Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya

mencapai 85 dari lintasan sebelumnya.

Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah … cm A. 120 D. 250 B. 144 E. 260 C. 240 Jawab : c

• a = 90

• r = 85

S∞ = r

a

−1 =

851

90

−

= 83

90

= 3890×

= 30 × 8 = 240 ………….(c) 14. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah … a. 112 tahun b. 115 tahun c. 125 tahun d. 130 tahun e. 160 tahun Jawab : b

• n = 5 • a = 33 • U5 = 13

• Sn = 21 n(a + Un)

S5 = 21 × 5(a + U5) =

21 × 5(33 + 13)

= 21 × 5 × 46

= 115 ………………(b)

15. UN 2007 PAKET B Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut hingga bola berhenti adalah … meter a. 17 b. 14 c. 8 d. 6 e. 4 Jawab : b

• h = 2

• r = 43

• a = 43 h = 4

3 ×2 = 23


= h + r

a

−1

2 = 2 +

4323

1

2

−⋅

= 2 + 41

3 = 2 + 12

= 14 …………..(b)

16. UN 2006 Seseorang mempunyai sejumlah uang yang akan diambil tiap bulan yang besarnya mengikuti aturan barisan aritmetika. Pada bulan pertama diambil Rp1.000.000,00, bulan kedua Rp925.000,00, bulan ketiga Rp850.000,00, demikian seterusnya. Jumlah seluruh uang yang telah diambil selama 12 bulan pertama adalah … a. Rp6.750.000,00 b. Rp7.050.000,00 c. Rp7.175.000,00 d. Rp7.225.000,00 e. Rp7.300.000,00

Jawab : b

• a = 1.000.000 • b = 925.000 – 1.000.000 = –75.000

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S12 = 21 · 12{2(1.000.000) + 11(–75.000)}

= 6(2.000.000 – 825.000) = 6(1.175.000) = 7.050.000 ………………………..(b)


351


Nila ∑ +=

8

1n)3n2( = …

a. 24 b. 28 c. 48 d. 96 e. 192 Jawab : d

∑ +=

8

1n)3n2( = ∑

=

8

1

2n

n + ∑=

8

1

3n

= )8...321(2 +++ + 3·8

= 2· 21 · 8·(1+8) + 24

= 72 + 24 = 96 ……………………(d)

18. UN 2005 Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmetika berturut–turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah … a. 117 b. 120 c. 137 d. 147 e. 160

Jawab : d

• U5 = a + 4b = 24 • U3 = a + 2b = 18_ _

2b = 6 b = 3

• a + 2b = 18 a + 2(3) = 18

a = 18 – 6 = 12

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S7 = 21 · 7 (2·12 + 6·3)

= 7(12 + 3·3) = 7(12 + 9) = 7(21) = 147 …………………………..(d)

19. UN 2005 Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian menurut deret geometri. Jika yang terpendek 10 cm dan yang terpanjang 160 cm, panjang tali semula adalah … cm a. 310 b. 320 c. 630 d. 640 e. 650 Jawab : a

• n = 5 • a = 10 • U5 = 160 = a·r4

160 = 10·r4 r4 = 16 r = 2

• Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

S5 = 12

)12(10 5

−−

= 10(32 – 1 ) = 10(31) = 310 ……………………..…(a)

20. UN 2004 Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2, hasil kali suku ke–3 dan ke–6 adalah … a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384

Jawab : c

• S5 = 93 • r = 2

• Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

S5 = 12

)12( 5

−−a

93 = a(32 – 1) 93 = 31a

a = 3193 = 3

• U3· U6 = ar2· ar5 =3·22

·3·25 =3·4·3·32 = 1.152 …………………………….(c)


352


Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 3n2 – 5n. Suku kesepuluh deret tersebut adalah … a. 250 b. 245 c. 75 d. 60 e. 52 Jawab : e

• Sn = 3n2 – 5n = n(3n – 5)

• U10 = S10 – S9

= {10(3×10 – 5)} – {9(3×9 – 5)}

= 10×25 – 9×22

= 250 – 198

= 52 ………………………………..(e)

22. EBTANAS 2002 Jika x6 = 162 adalah suku keenam suatu deret geometri, log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3, maka jumlah empat suku pertama deret tersebut sama dengan …

a. 8032

b. 80 c. 27

d. 2632

e. 26 Jawab : d

log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3 log (x2· x3 · x4 · x5) =2(2 log 2 + 3 log 3) log (ar· ar2 · ar3 · ar4) =2(log 22 + log 33)

log a4r10 = 2(log 22·33) 2 log a2r5 = 2(log 22·33) log a2r5 = log 22

·33 a2r5 = 22

·33 …………………….(1)

• x6 = 162 ar5 = 162 = 2·81 = 2·34 …………….(2)

dari (1) dan (2)

5

52

ar

ra =

4

32

32

32

⋅⋅

a = 32

• substitusikan a = 32 ke pers. (2)

ar5 = 2·34

{32 ·r5 = 2·34}× 2

3

r5 = 35 r = 3

• deret 4 suku pertama

S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = a + ar + ar2 + ar3

= 32 +

32 ·3 +

32 ·32 +

32 ·33

= 32 + 2 + 6 + 18 = 26

32 …………(d)


353


Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak, makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah uang yang diterima oleh si bungsu adalah … a. Rp15.000,00 b. Rp17.500,00 c. Rp20.000,00 d. Rp22.500,00 e. Rp25.000,00

Jawab : b

• S4 = 100.000 • b = –5.000

• Sn = n· 21 (2a + (n – 1)b)

S4 = 4· 21 {2a + 3(–5.000)}

100.000 = 2(2a – 15.000) 50.000 = 2a – 15.000

2a = 50.000 + 15.000 2a = 65.000 a = 32.500 ……………... sulung

• Bungsu = U4 = a + 3b = 32500 + 3(–5.000) = 32.500 – 15.000 = 17.500 ………………..(b)

21. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA A. Persamaan Eksponen

Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, maka berlaku

1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p

2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)

3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0

4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)} g(x), maka

a) f(x) = g(x)

b) h(x) = 1

c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0

d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

5. Jika { } { } 0CaBaA )x(f2)x(f =++ , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.


Persamaan grafik pada gambar berikut adalah …

A. 1

2

1+

=x

y

B. x

y

=2

1

C. � = 2H D. y = 2log x

E. xy log2

1

= Jawab : A

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (–1, 1), (–3, 4), maka f(–1) = 1, dan f(–3) = 4 Jawaban yang benar adalah (A)

y = f(x) = 1

2

1+

x

= (2– 1 )x + 1 = 2–x – 1

i) f(–1) = 21 – 1 = 20 = 1 ⇒ f(–1) = 1 ii) f(–3) = 23 – 1 = 22 = 4 ⇒ f(–3) = 4

2. UN 2013 Persamaan grafik fungsi seperti pada gambar adalah …

A. x

y

−=2

1

B. x

y

=2

1

C. x

y

=4

1

D. x

y

−=4

1

E. xy 2= Jawab : C

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (

21− , 2), (–1, 4), maka

f(

21− ) = 2, dan f(–1) = 4

Jawaban yang benar adalah (C)

y = f(x) = x

4

1= (2– 2 )x = 2–2x

i) f(21− ) =

)(221

2−−

= 21 = 2⇒f(21− ) = 2

ii) f(–1) = )1(22 −− = 22 = 4 ⇒ f(–1) = 4

1

2

3

4

-3 -2 -1

y = f(x) Y

X

1

2

3

4

-1 0 1

Y

X

2

1−

y = f(x)

SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma

355


Persamaan grafik pada gambar berikut adalah … A. I(�) = 2HJ$

B. I(�) = 2H + 1

C. I(�) = 2HJ$ + 1

D. f(x) = 2log(x + 1)

E. f(x) = 1 + 2log x

Jawab : C

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (2, 5), maka f(0) = 2, dan f(2) = 5 Jawaban yang benar adalah (C) y = I(�) = 2H + 1 i) f(0) = 120 + = 1 + 1 = 2⇒f(0) = 2

ii) f(2) = 122 + = 4 + 1 = 5 ⇒ f(2) = 5

4. UN 2013 Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut adalah …

A. 1

2

1

2−

=x

y

B. 1

2

1

2−−

=x

y

C. 22 −= xy

D. 22 += xy

E. 122 −= xy

Jawab : A

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 1), (4, 2), maka f(2) = 1, dan f(4) = 2 Jawaban yang benar adalah (A)

y = f(x) = 1

21

2−x

i) f(2) = 1)2(

21

2−

= 20 = 1 ⇒f(0) = 2

ii) f(4) = 1)4(

21

2−

= 21 = 2 ⇒ f(4) = 2

5. UN 2013 Persamaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar adalah …

A. 22 −= xy

B. 22 −= xy

C. 12 −= xy

D. )1log(2 −= xy

E. )1log(2 += xy

Jawab : B

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 2), (3, 6), maka f(2) = 2, dan f(3) = 6 Jawaban yang benar adalah (B) y = f(x) = 2x – 2

i) f(2) = 22 – 2= 4 – 2 = 2 ⇒f(2) = 2

ii) f(3) = 23 – 2= 8 – 2 = 6 ⇒ f(3) = 6

1

2

5

0 2

Y

X

1

2

0 1 2 3 4

Y

X

-1 0

2

6

1 2 3

X

Y

y = f(x)


356

2 4

0 1 X

Y y= f(x)


Persamaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar berikut adalah …

A. 322 −= xy

B. 322 += xy

C. 332 −= xy

D. 332 += xy

E. 22 −= xy

Jawab : A

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 2), (3, 8), maka f(2) = 2, dan f(3) = 8 Jawaban yang benar adalah (A) y = f(x) = 22x – 3

i) f(2) = 22(2) – 3 = 21 = 2 ⇒f(2) = 2

ii) f(3) = 22(3) – 3 = 23 = 8 ⇒ f(3) = 8

7. UN 2013 Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …

A. xy 22 ⋅=

B. xy 32 ⋅−=

C. xy 32 ⋅=

D. xy 23⋅=

E. xy 2)3( ⋅−=

Jawab : C

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (1, 6), (2, 18), maka f(1) = 6, dan f(2) = 18 Jawaban yang benar adalah (C) y = f(x) = 2·3x

i) f(1) = 2·31 = 2·3 = 6 ⇒f(1) = 6

ii) f(2) = 2·32 = 2·9 = 18 ⇒ f(2) = 18

8. UN 2013

Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut adalah … A. I(�) = 2H + 1 B. I(�) = 2� + 1 C. I(�) = 3H − 1 D. I(�) = 3H + 1 E. I(�) = 3HJ$ Jawab : D

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (1, 4), maka f(0) = 2, dan f(1) = 4 Jawaban yang benar adalah (D) y = f(x) = 3x + 1

i) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒f(0) = 2

ii) f(1) = 31 + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ f(1) = 4

12

8

0 2 32

3X

Y

2

6

18

0 1 2

Y

X


357


Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik berikut adalah ... A. f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 2x+1 E. f(x) = 3x C. f(x) = 2x + 1 Jawab : C

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0,2), (1, 3), maka f(0) = 2, dan f(1) = 3 Jawaban yang benar adalah (C)

f(x) = 2x + 1 i) f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ f(1) = 3

10. UN 2012/C37 Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah … A. f(x) = 2x – 1 D. f(x) = 2log (x – 1) B. f(x) = 2x – 1 E. f(x) = 2x – 2 C. f(x) = 2log x Jawab : B

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (1,1), (2, 3), maka f(1) = 1, dan f(2) = 3 Jawaban yang benar adalah (B)

f(x) = 2x – 1 i) f(1) = 21 – 1 = 2 – 1 = 1 ⇒ f(1) = 1 ii) f(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 ⇒ f(2) = 3

11. UN 2012/D49 Perhatikan gambar grafik fungsi ekspon berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …. A. f(x) = 3x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 3x + 1 E. f(x) = 3x – 1 C. f(x) = 3x – 1 Jawab : B

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (1, 4), (2,10), maka f(0) = 2, dan f(1) = 4 Jawaban yang benar adalah (B)

f(x) = 3x + 1 i) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 31 + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ f(1) = 4

–1 2

1−

1

2

3

–1 1 2 3

(2,3)

(1,1)

X

Y

1

23

–2 –1 0 1 2 3

(1,3)(0,2

X

Y

2

4

10

–2 –1 0 1 2 3

Y

X


358


Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah…. A.f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 2x + 1 E. f(x) = 3x – 2 C. f(x) = 32x – 2 Jawab : E

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 1), (3, 3) maka f(2) = 1, dan f(3) = 3 Jawaban yang benar adalah (E)

f(x) = 3x – 2 i) f(2) = 3 2 – 2 = 30 = 1 ⇒ f(2) = 1 ii) f(3) = 3 3 – 2 = 31 = 3 ⇒ f(3) = 3

13. UN 2009 PAKET A/B Akar–akar persamaan 2x + 23 – x = 9 adalah α dan β. Nilai α + β = … a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9

Jawab : a

2x + 23 – x = 9 ⇔ {2x + 23 ⋅ 2– x = 9}× 2x ⇔ 22x + 23 = 9 ⋅ 2x ⇔(2x)2 – 9(2x) + 8 = 0 ⇔(2x – 1) (2x – 8) = 0

(i) 2x – 1= 0 2x = 1 2x = 20 x = 0 = α

(ii) 2x – 8 = 0 2x = 8 2x = 23 x = 3 = β

Jadi, α + β = 0 + 3 = 3 …………………(a)

14. UN 2008 PAKET A/B Akar–akar persamaan 4x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 adalah x1 dan x2. nilai x1 ⋅ x2 = … a. 3 b. 6 c. 8 d. 12 e. 32

Jawab : b

4x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 ⇔ (2x)2 – 12(2 x) + 32 = 0 ⇔ (2x – 4)(2x – 8) = 0

(i) 2x – 4= 0 2x = 4 2x = 22 x = 2 = x1

(ii) 2x – 8 = 0 2x = 8 2x = 23 x = 3 = x2

Jadi, x1 · x2 = 2 · 3 = 6 …………………(b)

15. UN 2007 PAKET A Diketahui x1 dan x2 akar–akar persamaan

9x – 3

10 ·3x + 1 = 0. Nilai x1 + x2 = …

a. 2

b. 23

c. 1

d. 0

e. – 2

Jawab : d

9x – 3

10 ·3x + 1 = 0

⇔ {32x – 3

10 ·3x + 1 = 0}× 3

⇔ 3(3x)2 – 10(3x) + 3 = 0 ⇔ {3(3x) – 1}(3x – 3) = 0

(i) 3(3x) – 1= 0

3x = 31

3x = 3–1

x = –1

(ii) 3x – 3= 0 3x = 31

x = 1

Jadi, x1 + x2 = –1 + 1 = 0 ……………………(d)

1

2

3

–2 –1 0 1 2 3

X

Y


359


Akar–akar persamaan 32 + x + 31 – x = 12, adalah x1 dan x2. Nilai 2x1 + 2x2 = … a. –4

b. –2

c. –1

d. 94

e. 32

Jawab : b

32 + x + 31 – x = 12 ⇔ {32 · 3x + 3 · 3– x – 12 = 0} × 3x ⇔ 9 · (3x) 2 + 3 · 1 – 12(3x) = 0 ⇔ 3(3x) 2 – 4(3x) + 1 = 0 ⇔ {3(3x) – 1}(3x – 1) = 0

(i) 3(3x) – 1= 0

3x = 31

3x = 3–1

x = –1

(ii) 3x – 1= 0 3x = 1

3x = 30 x = 0

Jadi, 2x1 + 2x2 = 2(–1) + 2(0) = –2 ………….(b)

17. UN 2005 Himpunan penyelesaian persamaan 2·9x – 3x + 1 + 1 = 0 adalah …

a. { 21 , 1}

b. {– 21 , –1}

c. {– 21 , 1}

d. {0, 3log 21 }

e. {0, 3log21

} Jawab : d

2·9x – 3x + 1 + 1 = 0 ⇔ 2·32x – 3x · 3 + 1 = 0 ⇔ 2(3x) 2 – 3(3x) + 1 = 0 ⇔ {2(3x) – 1}(3x – 1) = 0

(i) 2(3x) – 1= 0

3x = 21

x = 3log 21

(ii) 3x – 1= 0 3x = 1

x = 3log 1 = 0

Jadi, HP = {0, 3log 21 } ………………………(d)

18. UAN 2003 Penyelesaian persamaan

1x3x4x

32

18

2

−+− = adalah p dan q, dengan

p > q. nilai p + 6q = … a. –17

b. –1

c. 3

d. 6

e. 19

Jawab : b

1x

3x4x

32

18

2

−+− =

⇔)1(5

)34(3

2

12

2

−+− =

xxx

⇔ )1(5)34(22

223 −−+− = xxx

⇔ { )34(

223 +− xx = – 5(x – 1)} × 2

⇔ 3(x2 – 4x + 3) = – 10(x – 1) ⇔ 3x2 – 12x + 9 = – 10x + 10 ⇔ 3x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ (x – 1)(3x + 1) = 0

(i) x – 1 = 0 x = 1 = p

(ii) 3x + 1 = 0

x = 31− = q

Jadi, p + 6q = 1 + 6(31− )

= 1 – 2 = –1 …………………(b)


360


Nilai x yang memenuhi 1x23 + = 9x – 2 adalah … a. 2

b. 2½

c. 3

d. 4

e. 4½

Jawab : e

1x23 + = 9x – 2

⇔ )12(

21

3+x

= 32(x – 2)

⇔ { )12(21 +x = 2(x – 2)} × 2

⇔ 2x + 1 = 4(x – 2) ⇔ 2x + 1 = 4x – 8 ⇔ 4x – 2x = 1 + 8 ⇔ 2x = 9

⇔ x = 214 …………………………..(e)


361

B. Pertidaksamaan Eksponen � Untuk a > 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)

� Jika 0 < a < 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)


Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0, x ∈ R adalah… A. x > –1 atau x > 2 B. x < –1 atau x < 2 C. x < 1 atau x > 2 D. x < –1 atau x > 2 E. x > –1 atau x < –2 Jawab : D

32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0

⇔ 3(3x)2 – 28⋅3x + 9 > 0 ⇔

31 {(3 ⋅3x – 1) (3⋅3x – 27)} > 0

⇔ (3⋅3x – 1)(3x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 3⋅3x – 1 = 0

3x = 31 = 3– 1

x = – 1

ii) 3x – 9 = 0 3x = 9= 32 x = 2

Jadi, pembentuk nol x = {–1, 2}

karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(D)

2. UN 2012/C37 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 92x – 10⋅9x + 9 > 0, x ∈ R adalah … F. x < 1 atau x > 9 G. x < 0 atau x > 1 H. x < –1 atau x > 2 I. x < 1 atau x > 2 J. x < –1 atau x > 1 Jawab : B

92x – 10⋅9x + 9 > 0

⇔ (9x)2 – 10⋅9x + 9 > 0 ⇔ (9x – 1) (9x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 9x – 1 = 0

9x = 1= 90 x = 0

ii) 9x – 9 = 0 9x = 9 = 91 x = 1

Jadi, pembentuk nol x = {0, 1}

karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……….(B)

3. UN 2012/D49 Nilai x memenuhi pertidaksamaan 52x – 6⋅5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah…. A. 1 < x < 2 B. 5 < x < 25 C. x < – 1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < 5 atau x > 25 Jawab : D

52x – 6⋅5x + 1 + 125 > 0

⇔ (5x)2 – 6⋅5⋅5x + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 30⋅5x + 125 > 0 ⇔ (5x – 5)(5x – 25) > 0 Pembentuk nol: i) 5x – 5 = 0

5x = 5 = 51 x = 1

ii) 5x – 25 = 0 5x = 25 = 52 x = 2

Jadi, pembentuk nol x = {1, 2}

karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……….(D)

Tanda Pertidaksamaan berubah

Tanda Pertidaksamaan tetap


362


Penyelesaiyan pertidak samaan 22x+1 – 5⋅2x+1 + 8 ≥ 0 adalah….

A. x ≤ 0 atau x ≥ 2 B. x ≤ 1 atau x ≥ 4 C. x ≤ 2 atau x ≥ 4 D. 0 ≤ x ≤ 2 E. 1 ≤ x ≤ 4 Jawab : A

22x+1 – 5⋅2x+1 + 8 ≥ 0 ⇔ 2(2x)2 – 5⋅2⋅2x + 8 ≥ 0 ⇔ (2x)2 – 5⋅2x + 4 ≥ 0 ⇔ (2x – 1) (2x – 4)} ≥ 0 Pembentuk nol: i) 2x – 1 = 0

2x = 1= 20 x = 0

ii) 2x – 4 = 0 2x = 4= 22 x = 2

Jadi, pembentuk nol x = {0, 2} karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(A)

5. UN 2008 PAKET A/B Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

( ) 231331

29 −+− ≤ xxx

adalah …

A. { }215| ≤≤− xx

B. { }5| 21 ≤≤− xx

C. { }215| ≥−≤ xatauxx

D. { }5| 21 ≥−≤ xatauxx

E. { }5| 21 ≥≤ xatauxx

Jawab : c

( ) 231331

29 −+− ≤ xxx

⇔ ( ) ( ) 2321312

33−+−− ≤

xxx

⇔ )23(2)13( 233 −+−− ≤ xxx

⇔ – (3x – 1) ≤ 2(x2 + 3x – 2) ⇔ –3x + 1 ≤ 2x2 + 6x – 4 ⇔ –2x2 – 3x – 6x + 1 + 4 ≤ 0 ⇔ {–2x2 – 9x + 5 ≤ 0} × (–1) ⇔ 2x2 + 9x – 5 ≥ 0 ……pertidaksamaan berubah ⇔ (x + 5)(2x – 1) ≥ 0

pembentuk nol x = {–5, 21 }

karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(c)

6. UN 2006 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

xxx 4323

25)5(−< adalah …

a. 1 < x < 3 atau x > 4

b. 0 < x < 1 atau x > 2

c. 0 < x < 3 atau x > 4

d. x < 0 atau 1 < x < 3

e. 0 < x < 1 atau x > 3

Jawab : d

xxx 4323

25)5(−

<

⇔ )(2

4323

21

5)5(xxx −

<

⇔ xxx

2323

21 2

55−

<

⇔ { 321 x < xx 2

322 − } × 2

⇔ x3 < 4x2 – 3x ⇔ x3 – 4x2 + 3x < 0 ⇔ x(x2 – 4x + 3) < 0 ⇔ x(x – 1)(x – 3) < 0 pembentuk nol (i) x = 0 (ii) x – 1= 0

x = 1

(iii) x – 3 = 0 x = 3

Jadi x = {0, 1, 3} Karena pembentuk nol ada 3, untuk menentukan daerah HP dibuat dulu grafiknya sbb:

berdasarkan garfik di atas, maka: HP = { x < 0 atau 1 < x < 3} …………………(d)


363

C. Persamaan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0

1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p

2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)



1log)3log( 2

122

1

−=−− xx adalah … a. x = –1 atau x = 3 b. x = 1 atau x = –3 c. x = 1 atau x = 3 d. x = 1 saja e. x = 3 saja Jawab : a

1log)3log( 2

122

1

−=−− xx

⇔ 122

2

1

2log)3

log( −=−x

x

⇔ 2log)3

log( 22

2 −=−−x

x

⇔ 232

=−x

x

⇔ x2 – 3 = 2x ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

x = {–1, 3} ……………………………..(a) 2. UN 2011 PAKET 46


2)22log()22(log 222 =−−− xx adalah … a. x = 6 atau x = 2½ b. x = 6 atau x = 3 c. x = 3 atau x = 4 d. x = 3 atau x = 1¼ e. x = 4 atau x = 6 Jawab : a

2)22log()22(log 222 =−−− xx

⇔ 02)22log())22log(( 222 =−−−− xx bentuk di atas adalah bentuk persamaan kuadrat (2log(x –2) + 1) (2log(x –2) – 2) = 0 i) 2log(x –2) + 1 = 0

2log(x –2) = – 1 x – 2 = 2 – 1 x – 2 = ½

x = ½ + 2 = 2 ½

ii) 2log(x –2) – 2 = 0 2log(x –2) = 2

x – 2 = 2 2 x – 2 = 4

x = 4 + 2 = 6 jadi x = {2 ½, 6} ……………………………..(a)


Untuk x yang memenuhi 816log 4

122 =

−x

, maka 32x = … a. 19 b. 32 c. 52 d. 144 e. 208

Jawab : d

816log 4

122 =

−x

⇔

−4

124

2 2log

x

= 8

⇔ 122 2log −x = 8

⇔ (2x – 1) 2log 2 = 8 ⇔ 2x – 1 = 8 2x = 9 …. Kedua ruas dikali 16

32x = 144………………….(d)


364


Akar–akar persamaan logaritma 3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 adalah x1 dan x2. nilai x1 + x2 = …. a. 2 b. 3 c. 6 d. 9 e. 12 Jawab : E

3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 ⇔ (3log x)2 – 3 (3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0

(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1

x = 31 = 3

(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2

x = 32 = 9

Jadi x1 + x2 = 3 + 9 = 12 ………………………(e)

5. UN 2006 Akar–akar persamaan 4log(2x2 – 3x + 7) = 2 adalah x1 dan x2. Nilai 4x1· x2 = … a. –6

b. –18

c. 10

d. 18

e. 46

Jawab : B

4log(2x2 – 3x + 7) = 2

⇔ )732log( 222+− xx = 2log 22

⇔ 21 )732log( 22 +− xx = 2log 4

⇔ )732log( 22 +− xx = 2log 42

⇔ 2x2 – 3x + 7 = 16

⇔ 2x2 – 3x + 7 – 16 = 0

⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0

Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x1· x2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.

4x1· x2 =

a

c4 =

−2

94

= 2(– 9) = –18 ………………(b)

6. UN 2004 Himpunan penyelesaian dari persamaan

8x xlog2 2=+ adalah …

a. {31 , 1}

b. { 41 , 2}

c. {81 , 1}

d. {81 , 2}

e. {2} Jawab : D

Karena bentuk 8x xlog2 2=+ tidak bisa di ubah

ke dalam bentuk baku persamaan eksponen bilangan pokok logaritma adalah 2, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma dengan bilangan pokok 2

8x xlog2 2=+

⇔ xx log22 2log + = 2log 8

⇔ xx log22 2log + = 2log 23

⇔ (2 + 2log x)(2log x) = 3 ⇔ ( 2log x)2 + 2( 2log x) – 3 = 0 ⇔ ( 2log x + 3)( 2log x – 1) = 0 (i) 2log x + 3 = 0

2log x = –3

x = 2–3 = 81

(ii) 2log x – 1= 0 2log x = 1

x = 21 = 2

Jadi, HP = {81 , 2}…………………………(d)


365


Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan (3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0, maka x1· x2 = … A. 2 D. 24

B. 3 E. 27

C. 8 Jawab : E

(3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0 ⇔ (3log x)2 – 3(3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0

(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1

x = 31 = 3

(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2

x = 32 = 9

Jadi x1 · x2 = 3 · 9 = 27 ….……………………(e)

8. EBTANAS 2002

Jika 6x – 1 = ( ) 1x32 +

, maka x = …

a. 2log3

b. 3log2

c. 3log21

d. 3log6

e. 2log31

Jawab : B

Karena bentuk 6x – 1 = ( ) 1x32 +

tidak bisa di ubah

ke dalam bentuk baku persamaan eksponen, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma

6x – 1 = ( ) 1x32 +

⇔ log 6x – 1 = log( ) 1x32 +

⇔ (x – 1)log 6 = (x + 1)log( )32

⇔ x log 6 – log 6 = x log( )32 + log( )

32

⇔ x log 6 – x log( )32 = log 6 + log( )

32

⇔ x {log 6 – log( )32 } = log 6 + log( )

32

⇔ x

32

6log = ( )

326log ×

⇔ x log 9 = log 4

⇔ x = 9log

4log = 9log 4

= 23 2log2

= 3log2 ……………(b)


366

D. Pertidaksamaan Logaritma � Untuk a > 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)

� Jika 0 < a < 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)


Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

5log)2log()2log( 222 ≤−++ xx adalah … A. {�|� ≥ −2} B. {�|� ≥ 2} C. {�|� ≥ 3} D. {�|2 < � ≤ 3} E. {�| − 2 < � < 2} Jawab : D

5log)2log()2log( 222 ≤−++ xx ⇔ 2log (x + 2)(x – 2) ≤ 2log 5 • Pertidaksamaan

(x + 2)(x – 2) ≤ 5 ⇔ x2 – 4 ≤ 5 ⇔ x2 – 4 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 9 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) ≤ 0

x = {–3, 3} …………..pembentuk nol HP = {–3 ≤ x ≤ 3}

• Numerus i) x + 2 > 0

x > – 2 ii) x – 2 > 0

x > 2

2. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

1)1log()3log( 55 ≤++− xx adalah … A. {�| − 2 ≤ � ≤ 4, �∈6} B. {�|3 < � ≤ 4, �∈6} C. {�| − 1 ≤ � ≤ 4, �∈6} D. {�|� ≤ −2�Q�!� ≥ 4, �∈6} E. {�|� ≤ −3�Q�!� ≥ 4, �∈6} Jawab : B

1)1log()3log( 55 ≤++− xx ⇔ 5log (x – 3) + 5log (x + 1) ≤ 5log 5 ⇔ 5log (x – 3)(x + 1) ≤ 5log 5 • Pertidaksamaan

(x – 3)(x + 1) ≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 3 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 8 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 4) ≤ 0


• Numerus i) x – 3 > 0

x > 3 ii) x + 1 > 0

x > –1

Tanda Pertidaksamaan berubah

Tanda Pertidaksamaan tetap

– 3 3 – 2 2

– 3 3 – 2 2

Numerus i) Numerus ii)

Pertidaksamaan

DHP yang memenuhi ke-3 syarat 2 < x ≤ 3……………..………(D)

– 2 4 – 1 3

– 2 4 – 1 3


Pertidaksamaan



367



2)3log(log 22 <−+ xx adalah … A. {�| − 1 < � < 4, �∈6} B. {�|0 < � < 3, �∈6} C. {�| − 1 < � < 3, �∈6} D. {�|3 < � < 4, �∈6} E. {�|1 < � < 4, �∈6} Jawab : D

2)3log(log 22 <−+ xx ⇔ 2log x + 2log (x – 3) < 2log 22 ⇔ 2log x(x – 3) < 2log 4 • Pertidaksamaan

x(x – 3) < 4 ⇔ x2 – 3x – 4 < 0 ⇔ (x + 1)(x – 4) < 0

x = {–1, 4} …………..pembentuk nol HP = {–1 < x < 4}

• Numerus i) x > 0 ii) x – 3 > 0

x > 3

4. UN 2013 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

1)1log(log 22 <−+ xx adalah … A. −1 < � < 2 B. 0 < � < 1 C. 1 < � < 2 D. 1 ≤ � < 2 E. 0 < � < 2 Jawab : C

1)1log(log 22 <−+ xx ⇔ 2log x + 2log (x – 1) < 2log 2 ⇔ 2log x(x – 1) < 2log 2 • Pertidaksamaan

x(x – 1) < 2 ⇔ x2 – x – 2 < 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) < 0


• Numerus i) x > 0 ii) x – 1 > 0

x > 1

– 1 2 0 1

– 1 2 0 1


Pertidaksamaan

DHP yang memenuhi ke-3 syarat 1 < x < 2……………..………(C)

– 1 4 0 3

– 1 4 0 3


Pertidaksamaan

DHP yang memenuhi ke-3 syarat 3 < x < 4……………..………(D)


368


Himpunan penyelesaian dari

2

1)1log()4log( 3636 <++− xx adalah …

A. {�|4 < � < 5} B. {�| − 1 < � < 4} C. {�|� < −1�Q�!� > 4} D. {�| − 1 < � < 5�Q�! − 2 < � < 4} E. {�| − 2 < � < −1�Q�!4 < � < 5} Jawab : A

2

1)1log()4log( 3636 <++− xx

⇔ 21

36log)1log()4log( 363636 <++− xx ⇔ 36log (x – 4) (x + 1) < 36log 6 • Pertidaksamaan

(x – 4)(x + 1) < 6 ⇔ x2 – 3x – 4 – 6 < 0 ⇔ x2 – 3x – 10 < 0 ⇔ (x + 2)(x – 5) < 0



x > –1 ii) x – 4 > 0

x > 4

6. UN 2013

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2

1)1log()3log( 2525 ≤++− xx adalah …

A. −2 < � < 4 B. −3 < � < 4 C. � < −1�Q�!� > 3 D. 3< � ≤ 4 E. 1 < � < 2�Q�!3 < � < 4 Jawab : D

2

1)1log()3log( 2525 ≤++− xx

⇔ 21

25log)1log()3log( 252525 ≤++− xx ⇔ 25log (x – 3) (x + 1) ≤ 25log 5 • Pertidaksamaan

(x – 3)(x + 1) ≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 3 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 8 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 4) ≤ 0



x > –1 ii) x – 3 > 0

x > 3

– 2 5 – 1 4

– 2 5 – 1 4


Pertidaksamaan

DHP yang memenuhi ke-3 syarat 4 < x < 5……………..………(A)

– 2 4 – 1 3

– 2 4 – 1 3


Pertidaksamaan



369



4)3log()3log( 22 ≥++− xx adalah … A. � ≥ 5 B. � ≥ 3 C. −3 < � < 3 D. −3 < � ≤ 5 E. 3 ≤ � < 5 Jawab : A

4)3log()3log( 22 ≥++− xx

⇔ 2log (x – 3) + 2log (x + 3) ≥ 2log 24

⇔ 25log (x – 3) (x + 3) ≥ 2log 16

• Pertidaksamaan (x – 3)(x + 3) ≥ 16

⇔ x2 – 9 – 16 ≥ 0 ⇔ x2 – 25 ≥ 0 ⇔ (x + 5)(x – 5) ≥ 0

x = {–5, 5} …………..pembentuk nol HP = {x ≤ –5 atau x ≥ 5}


x > –3 ii) x – 3 > 0

x > 3

8. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2)2log(2

1

−≥−x adalah … A. {�|� ≤ 6} B. {�|� ≥ 6} C. {�|2 ≤ � ≤ 6} D. {�|2 < � ≤ 6} E. {�| − 1 ≤ � < 1} Jawab : D

2)2log(2

1

−≥−x

⇔

22

1

2

1

2

1log)2log(

−

≥−x

⇔ ( ) 212

1

2

1

2log)2log(−−≥−x

⇔ 4log)2log( 2

1

2

1

≥−x

• Pertidaksamaan Karena bilangan pokok pecahan maka pertidaksamaan dibalik

x – 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 + 4 ⇔ x ≤ 6

• Numerus

i) x – 2 > 0 x > 2

– 5 5 –3 3

Numerus i) Numerus ii) Pertidaksamaan

DHP yang memenuhi ke-3 syarat x ≥ 5 ……………..………(A)

– 5 5 –3 3

2 6

Pertidaksamaan Numerus i)

DHP yang memenuhi ke-2 syarat 2 < x ≤ 6 ……………..………(D)

2 6


370



0)8xlog( 221

>− adalah … A. {x | –3 < x < 3

B. {x | – 22 < x < 22 } C. {x | x < –3 atau x < 3

D. {x | x < – 22 atau x < 22 }

E. {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3}

Jawab : E DHP yang memenuhi ke-2 syarat adalah

HP = {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3} ………………………………………..….(E)

0)8xlog( 221

>−

⇔ 1log)8log( 21

21

2 >−x

• pertidaksamaan Karena bilangan pokok pecahan , maka tanda pertidaksamaan berubah

x2 – 8 < 1 ⇔ x2 – 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0

x = {– 3, 3}…………. pembentuk nol HP = {–3 < x < 3}

• numerus x2 – 8 > 0

(x + 22 )(x – 22 ) > 0

x = {– 22 , 22 }………. pembentuk nol

HP = {x < – 22 atau x > 22 }

10. EBTANAS 2002

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan xlog9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3}

b. {x | 0 < x < 3}

c. {x | 1 < x < 3}

d. {x | x > 3}

e. {x | 1 < x ≤ 3} Jawab : D

xlog9 < xlog x2

(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1

(ii) pertidaksamaan 9 < x2

⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0

Pembentuk nol x = {–3, 3}

berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3}………………………..(d)

– 3 3 Pertidaksamaan

Numerus

22− 22

– 3 3 22− 22

modul matematika ipa · pdf filesiap ujian nasional 2013/2014 modul matematika ipa milik amc:...

Documents