modul mata k ul iah p em rogram an linearmasalah ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain -lain....

Modul Mata Kuliah

“Pemrograman Linear”

MAT 3224

Disusun Oleh:

Rully Charitas Indra Prahmana

Program Studi Pendidikan Matematika

Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Surya

Tangerang

2013

ii

Kata Pengantar

Puji syukur, saya haturkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan

hidayah-Nya, Modul Pemrograman Linier ini, dapat selesai tepat pada waktunya,

walaupun dengan banyak kekurangan disana sini, karena saya hanyalah manusia biasa

yang tidak pernah luput dari kesalahan. Tak lupa Shalawat beriring salam, kita

panjatkan kehadirat Nabi Besar Muhammad SAW, yang telah membawa syiar Islam,

agama yang paling sempurna di muka bumi ini, dengan seluruh jiwa raga-nya.

Modul ini, saya bagi menjadi 8 bagian, mulai dari defenisi Program Linear sampai

beberapa metode yang digunakan dalam penyelesaian masalah, yang berhubungan

dengan Program Linier. Harapannya, target pembelajaran mata kuliah Pemrograman

Linier dapat tercapai. Amin...

Dalam menyelesaikan modul ini, penyusun sadar bahwa semuanya tidak terlepas

dari berbagai pihak yang selama ini selalu mendukung, baik secara material maupun

non material, semangat, dan segalanya. Untuk itu, penyusun ingin mengucapkan terima

kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini.

Akhir kata, disadari bahwa modul ini, masih memiliki banyak kekurangan. Untuk

itu, penyusun berbesar hati menerima segala kritik dan saran, yang dapat dialamatkan

ke [email protected]. Semoga modul ini, dapat memberikan banyak

manfaat bagi kita semua, terutama bagi kemajuan pendidikan matematika ke depannya.

Amin...

Tangerang, Agustus 2013

Penyusun

iii

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii Silabus Perkuliahan iv

Bagian Pertama

Program Linier 1

Bagian Kedua Pemodelan Matematika 3

Bagian Ketiga

Contoh dan Latihan Kasus Pemodelan Matematika 9 Bagian Keempat

Metode Grafik 16 Bagian Kelima

Metode Simpleks 25

Bagian Keenam Alur Penyelesaian Metode Simpleks 30

Bagian Ketujuh Contoh Kasus Metode Simpleks 32

Bagian Kedelapan

Variasi Kasus 38

Daftar Pustaka 48

Revisi-1 Pemrograman Linear | iv

Program Studi : Pendidikan Matematika Nama Mata Kuliah : Pemrograman Linear Kode Mata Kuliah : MAT 3224 Jumlah SKS : 3 Tahun Akademik : 2013/2014 Semester : 5 Mata KuliahPra Syarat : Kalkulus 1, Aljabar Linear, dan Komputer 2 Hari/Waktu : Ruangan : Dosen Pengampu : Rully Charitas Indra Prahmana, M.Pd Email : [email protected]

KOMPETENSI DASAR

1. Mahasiswa mampu menjelaskan berbagai hal tentang pengantar Program Linear. 2. Mahasiswa mampu menjelaskan dan memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk Program Linear (PL). 3. Mahasiswa mampu menjelaskan persoalan Optimasi dalam PL dan menyelesaikan PL dengan Metode Grafik dan Metode Simpleks. 4. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menyelesaikan berbagai permasalahan Dualitas dan Analisis Sensitivitas. 5. Mahasiswa mampu menerapkan konsep PL untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari – hari.

DESKRIPSI MATA KULIAH

Program linier (PL) adalah salah satu bagian dari penerapan ilmu matematika yang dapat digunakan untuk membantu memecahkan persoalan – persoalan dalam bidang ekonomi, industri, managemen dan pertanian. Materi dalam perkuliahan ini, lebih menekankan pada aplikasi program linier dan interpretasi-nya. Adapun isi pokok materi dalam perkuliahan ini meliputi sejarah PL, pembuatan model permasalahan PL, berbagai metoda penyelesaian PL (Tabel, Simpleks, dan Dualitas), serta analisis sensitivitas.

KURIKULUM PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP – SURYA Kode:

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)

Revisi-1 Pemrograman Linear | v

TABEL

Pertemuan

(Sesi) Kompetensi

Dasar Indikator

Metode Perkuliahan

Materi Perkuliahan Penilaian

1 1 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyebutkan:

1. Defenisi Program Linear (PL) 2. Karakteristik PL 3. Berbagai istilah yang digunakan dalam PL

Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab

1. Rencana dan kontrak perkuliahan

2. Pengantar Program Linear

Tugas Portofolio, tes essay

2 2 dan 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:

1. Memformulasikan dan memodelkan permasalahan progam linear

2. Menyelesaikan PL dengan metode grafik


1. Formulasi program linear

2. Metode Grafik


3 2 dan 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:

1. Memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk PL 2. Menyelesaikan PL dengan metode grafik 3. Menginterpretasikan solusi PL

Studi kasus Tanya jawab

Studi kasus permasalahan pemodelan matematika

Tes essay

4 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:

1. Memformulasikan & menyajikan masalah PL dalam matrik 2. Membedakan kegunaan slack dan artificial variable 3. Mengetahui syarat perubahan variabel


1. Formulasi bentuk matriks

2. Slack dan artificial variabel



1. Membuat tabel simpleks awal 2. Menjelaskan istilah dan syarat dalam metode simpleks


Pengantar Metode Simpleks Tugas Portofolio, tes essay


1. Membuat metode simpleks yang direvisi 2. Membuat prosedur komputasi metode simpleks yang

direvisi

Diskusi Studi kasus Tanya jawab

Metode Simpleks lanjut Tugas Portofolio, tes essay

Revisi-1 Pemrograman Linear | vi


1. Memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk PL 2. Menyelesaikan PL dengan metode simpleks 3. Menginterpretasikan solusi PL

Studi kasus Tanya jawab

Studi kasus menyelesaikan permasalahan PL menggunakan Metode Simpleks

Tes essay

8 1, 2, dan 3 Review Materi pertemuan 1-7 Studi kasus 1. Metode grafik 2. Metode simpleks

Tes essay

9 Ujian Tengah Semester (UTS)

10 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu melakukan analisis sensitivitas menggunakan metode grafik


Analisis sensitivitas metode grafik


11 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu melakukan analisis sensitivitas menggunakan metode simpleks


Analisis sensitivitas metode simpleks


12 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu mengubah dan menyelesaikan masalah PL Primal menjadi PL Dual


Dualitas Tugas Portofolio, tes essay

13 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian model transportasi, berikut aplikasi yang ada didalamnya (penerapannya)


Model transportasi Tugas Portofolio, tes essay

14 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan solusi layak optimal berdasarkan solusi layak awal


Solusi layak optimal Tugas Portofolio, tes essay

Revisi-1 Pemrograman Linear | vii

15 5 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan permasalahan aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari


Aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari


16 5 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan permasalahan tingkat lanjut dari penerapan PL dalam kehidupan sehari-hari


Aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari lanjut


17 4 dan 5 Review materi pertemuan 10-16 Studi kasus tes essay

18 Ujian Akhir Semester (UAS)

REFERENSI R1 = Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc R2 = Siringoringo, Hotniar. (2005). Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu R3 = Steven J. Miller. (2007). An Introduction to Linear Programming. Mathematics Department: Brown University

PEDOMAN PENILAIAN

Penilaian meliputi: 1. Nilai Tugas (Quiz dan Kehadiran) = 30% 2. Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) = 30% 3. Nilai Ujian Akhir Semester (UAS) = 40%

Nilai akhir dihitung dengan menggunakan rumus:

Nilai Akhir = (0,3 x Tugas) + (0,3 x UTS) + (0, 4 x UAS)

Revisi-1 Pemrograman Linear | viii

Konversi Nilai

Mengetahui Menyetujui

Ketua Prodi Pendidikan Matematika

(Johannes H. Siregar, Ph.D.)

Penanggung Jawab Mata Kuliah

(Rully Charitas Indra Prahmana, M.Pd)

Mahasiswa

(……………...................)

Nilai Akhir (x) Nilai Keterangan Angka Huruf

90 ≤ x ≤100 4,00 A Lulus 85≤ x < 90 3,67 A- Lulus 80 ≤ x < 85 3,33 B+ Lulus 75 ≤ x < 80 3,00 B Lulus 70 ≤ x < 75 2,67 B- Lulus 65 ≤ x < 70 2,33 C+ Lulus 60 ≤ x < 65 2,00 C Lulus 55 ≤ x < 60 1,67 C- Lulus Bersyarat 50 ≤ x < 55 1,00 D Tidak Lulus 0 ≤ x < 50 0,00 E Tidak Lulus

1

Bagian Pertama

Program Linear

Program linier merupakan suatu metode matematika dalam mengalokasikan

sumber daya yang terbatas, untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan

keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linier banyak diterapkan dalam

masalah ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain. Program linier juga berkaitan

dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang

terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

Program linier memiliki empat ciri khusus yang melekat pada dirinya, yaitu :

1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimalisasi atau

minimalisasi.

2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan.

3. Ada beberapa alternatif penyelesaian.

4. Hubungan matematis bersifat linear.

Karakteristik Pemrograman Linier

Secara teknis, program linier memiliki beberapa sifat atau karakteristik dari

permasalahan program linier yang harus diperhatikan, yang merupakan asumsi dasar,

yaitu sifat linearitas, proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, kepastian, dan non

negative variable. Untuk lebih jelasnya, berikut kita jelaskan dengan lebih terperinci.

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa

cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram

pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh

adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan

pembatas.

Sifat proporsionalitas dipenuhi, jika kontribusi setiap variabel pada fungsi

tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai

variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang

2

dibeli, maka sifat proporsionalitas dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian

dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi,

maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang

diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada

model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala).

Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung

kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas

dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel

keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk

substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi

volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak

terpenuhi.

Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level

fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat certainty (kepastian) menunjukkan bahwa semua parameter model

berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan

suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Sifat non-negative variable (variabel tidak negatif), artinya bahwa semua nilai

jawaban atau variabel tidak negatif.

Keenam asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk

meyakinkan dipenuhinya keenam asumsi ini, dalam pemrograman linier, diperlukan

analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

3

Bagian Kedua

Pemodelan Matematika

Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian pemograman linier adalah mempelajari

sistem yang relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang

dipertimbangkan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk

pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin

(kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara

bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam

formulasi permasalahan. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi

anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan

mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Pembentukan Model Matematika

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan

optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional

riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematika yang

menggambarkan inti permasalahan. Studi kasus yang berbentuk cerita, akan

diterjemahkan ke dalam model matematika. Model matematika merupakan representasi

kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan.

Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian.

Bagian pertama, memodelkan tujuan optimasi. Model matematika yang

merupakan tujuan optimasi, selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan

digunakan, karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan

yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya

dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada

bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

4

Bagian kedua merupakan model matematika yang merepresentasikan sumber

daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau

pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta

(baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada

tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa

keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu

keuntungan yang paling jelas adanya model matematika menggambarkan permasalahan

secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan

lebih mudah dipahami, dan sangat penting membantu mengungkapkan relasi sebab

akibat. Model matematika juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan

dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara

simultan. Disamping itu, model matematika juga membentuk jembatan ke penggunaan

teknik matematika dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis

permasalahannya.

Di sisi lain, model matematika juga memiliki kelemahan, diantaranya tidak semua

karakteristik sistem, dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi

matematika. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematika, kadang-kadang

penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang

dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan atau minimumkan,

z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi (fungsi kendala):

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = atau ≤ atau ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = atau ≤ atau ≥ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = atau ≤ atau ≥ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

5

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Banyak variabel

keputusan (xi), dipengaruhi dari banyak kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk

mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel

keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model

matematikanya. Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel

keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien

fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah

masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari

banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut

kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan

membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting

adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep pemodelannya. Meskipun fungsi

tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimalisasi atau

minimalisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan

pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam

menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan, dan koefisien pada fungsi

pembatas.

Contoh kasus

Pada sub bagian ini, terdapat sebuah kasus dengan karakteristik tertentu dan

sudah diselesaikan sampai tahapan pemodelan matematika-nya. Selanjutnya, akan

diberikan contoh kasus-kasus dengan karakteristik yang berbeda-beda, sehingga dapat

memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni pemodelan matematika. Pahami dan

perhatikan teknik pemodelannya dengan hati-hati.

6

Soal

Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang

dikerjakan adalah merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit

meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang

karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling

banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling

banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit

kursi adalah Rp 500 ribu.

Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematikanya !

Solusi:

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif

keputusan, dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan

pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif

keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang

membatasi adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja

yang harus diproduksi (pangsa pasar).

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas,

divisibilitas, dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian

diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang

dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total pendapatan yang diperoleh

pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya

yang membatasi, dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga

proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan demikian dapat

dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan

jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber

daya (waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang

digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat

additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan

merupakan maksimalisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh

pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan relasi ≤, karena

7

waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak mungkin

melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan relasi ≤ atau ≥

tergantung dari pendefinisian variabelnya.

Kita definisikan:

x1 = banyak meja yang akan diproduksi

x2 = banyak kursi yang akan diproduksi

Model umum Pemrograman Linier, untuk kasus di atas, adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan

z = 1200000 x1 + 500000 x2

Kendala:

2x1 + 0.5 x2 ≤ 32

௫భ௫మ

≥ ¼ atau 4x1≥ x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0

x1 , x2 ≥ 0

Interpretasi:

z = 1200000 x1 + 500000 x2

Persamaan ini memiliki arti, berapa banyak kursi dan meja yang harus di buat

untuk memaksimalkan keuntungan (z), dimana harga satu unit meja adalah Rp.

1,2 jt dan kursi Rp. 500000.

2x1 + 0.5 x2 ≤ 32

Persamaan ini menjelaskan bahwa untuk merakit satu unit meja, dibutuhkan

waktu 2 jam dan untuk merakit satu unit kursi, dibutuhkan waktu 30 menit (0.5

8

jam), dimana dalam sehari, mereka memiliki waktu maksimal pengerjaan adalah

32 jam (8 jam x 4 karyawan).

4x1 – x2 ≥ 0

Persamaan ini diperoleh dari asumsi bahwa pelanggan pada umumnya membeli

paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Dengan kata lain, perbandingan pembuatan

meja dan kursi adalah 1:4.

x1 , x2 ≥ 0

Ini merupakan syarat wajib, yang artinya banyak kursi dan meja yang dihasilkan

perusahaan, minimal 0 unit (tidak memproduksi sama sekali). Sehingga, nilai x1

dan x2 tidak boleh sama dengan nol.

9

Bagian Ketiga

Contoh dan Latihan Kasus Pemodelan Matematika

1. Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan

khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung

dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut:

Bahan Tiap kg bahan memiliki komposisi berikut (dalam

Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg)

Jagung 0.001 0.09 0.02 2000

Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500

Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling

sedikit 30% protein, dan paling banyak 5% serat.

Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematikanya!

Solusi:


keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan

pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan

pakan. Alternatif keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan

digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan

serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.

Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas,

divisibilitas, dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian

diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda

meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya

yang harus dikeluarkan peternak proporsional terhadap banyak jagung dan bungkil

10

kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi

jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap

banyak jagung dan bungkil.

Dengan demikian, dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total

pengeluaran pembelian bahan pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk

jagung dan bungkil kedelai. Banyak-nya masing-masing serat, protein, dan kalsium yang

ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein, dan kalsium yang ada pada

jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan

penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat

additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi

tujuan merupakan minimalisasi, karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh

peternak. Fungsi kendala pertama (batasan banyak pakan yang dibutuhkan per hari)

menggunakan persamaan (=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala

keempat (kebutuhan serat) menggunakan relasi ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan

akan protein) menggunakan relasi ≥.

Kita definisikan:

x1 = banyak jagung yang akan digunakan

x2 = banyak bungkil kedelai yang akan digunakan

Model umum Pemrograman linier kasus di atas adalah:

Fungsi tujuan:

Minimumkan,

z = 2000 x1 + 5500 x2

Kendala:

x1 + x2 = 90

0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9

0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27

11

0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5

x1, x2 ≥ 0

Latihan

Interpretasikan pemodelan matematika di atas!!!

2. Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman

pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku

bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman

pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan

bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak

dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya

menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet.

Formulasikan masalah di atas kedalam bentuk model matematikanya !

Solusi:


keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan

pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan

pengembalian pinjaman. Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi pinjaman

pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi

anggaran untuk kredit bulan depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi

dan pembelian mobil.

Sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, dan kepastian dipenuhi.

Ada dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan

pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan

merupakan maksimalisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh

manajemen bank.

12

Kita definisikan:

x1 = banyak anggaran untuk pinjaman pribadi

x2 = banyak anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.

Model umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan,

z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2

Kendala:

x1 + x2 ≤ 180

x2 ≥ 2x1 atau -2x1 + x2 ≥ 0

x1, x2 ≥ 0

Latihan


3. Suatu pabrik perakitan radio menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2

pada fasilitas perakitan yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja.

Waktu perakitan masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah

sebagai berikut:

Stasiun

kerja

Waktu perakitan per unit (menit)

HiFi-1 HiFi-2

1 6 4

2 5 5

3 4 6

13

Waktu kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing

stasiun kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari

total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.

Formulasikan permasalahan ini kedalam model matematikanya !

Solusi:

Alternatif keputusan adalah: radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2).

Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.

Sumber daya pembatas adalah: jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi

dengan waktu yang dibutuhkan untuk perawatan. Waktu produktif masing-masing

stasiun kerja adalah:

Stasiun 1: 480 menit – 48 menit = 432 menit

Stasiun 2 : 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit

Stasiun 3 : 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit.

Model umum pemrograman linier kasus di atas adalah:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan,

z = x1 + x2

Kendala:

6x1 + 4x2 ≤ 432

5x1 + 5x2 ≤ 412.8

4x1 + 6x2 ≤ 422.4

x1, x2 ≥ 0

Latihan


14

Latihan Kasus

1. Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin

yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per

hari. Produk 1 dijual dengan harga Rp. 2500 dan produk 2, Rp. 3500. Waktu

produksi masing-masing produk ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

Produk Waktu produksi (menit)

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4

1 10 6 8 2

2 5 20 15 3

Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematikanya dan

interpretasikan hasilnya!

2. Empat produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu produksi per unit

produk pada kedua mesin ditunjukkan tabel di bawah ini:

Mesin Waktu per unit (jam)

Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4

1 2 3 4 2

2 3 2 1 2

Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara langsung

pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara

berturut-turut adalah Rp. 10 dan Rp. 5. Waktu yang disediakan untuk

memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah

380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah Rp. 65,

Rp. 70, Rp. 55, dan Rp. 45.

15

Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematikanya dan

interpretasikan hasilnya !

3. Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang

tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang

menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen

sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk

yang dihasilkan (produk 1, 2, dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang

mungkin akan membatasi output diringkaskan pada tabel berikut:

Tipe

mesin

Waktu yang dibutuhkan produk pada

masing-masing mesin (jam) Waktu yang

tersedia (jam per

minggu) Produk 1 Produk 2 Produk 3

Mesin

milling 9 3 5 500

Lathe 5 4 0 350

Grinder 3 0 2 150

Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk produk 1

dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan potensial

untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing

produk secara berturut-turut adalah Rp. 50, Rp. 20, dan Rp. 25.

Formulasikan permasalahan diatas kedalam model matematika dan

interpretasikan hasilnya!

16

Bagian Keempat

Metode Grafik

Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, ada dua pendekatan yang

dapat kita gunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan

dua. Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

dimana variabel keputusan dua atau lebih.

Pada bagian ini, akan dibahas pendekatan penyelesaian permasalahan program

linier dengan menggunakan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun

minimum. Untuk metode simpleks, akan dibahas pada bagian berikutnya.

Target yang ingin di capai pada bagian ini, adalah kita dapat menyelesaikan

permasalahan program linier dengan menggunakan metode grafik dan memahami

permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy.

Sebelum masuk ke formulasi permasalahan, ada baiknya kita membahas sedikit

mengenai permasalahan-permasalahan khusus pada pemograman linier, diantaranya

masalah Infeasibility, yaitu suatu kondisi dimana tidak ada area layak (daerah hasil)

yang memenuhi semua kendala, Redundancy, yaitu menargetkan sesuatu diluar batas

kemampuan produksi, Unboundedness, yaitu suatu kondisi dimana area layak tidak

terbatas, dan Alternatif Optima, yaitu situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi

optimal. Untuk lebih detailnya, akan kita bahas pada bagian terakhir buku ini, berikut

contoh kasusnya.

Formulasi Permasalahan

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana

hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut,

langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang

ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP).

Berikut ini, langkah-langkah yang harus kita lakukan dalam memformulasikan

permasalahan tersebut:

17

1. Pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi

2. Identifikasikan tujuan dan kendalanya

3. Definisikan variabel keputusannya

4. Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi

kendala secara matematis.

Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas

perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang

diperoleh dari satu unit meja adalah Rp. 7,- sedangkan keuntungan yang diperoleh dari

satu unit kursi adalah Rp. 5,-. Namun, untuk meraih keuntungan tersebut, Krisna

Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja

dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam

kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1

unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan

meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedangkan jumlah jam kerja untuk

pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya

diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah

memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya

waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut

diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:

Jam kerja untuk membuat 1 unit produk Total waktu yang tersedia per

minggu

Meja Kursi Pembuatan 4 2 240

Pengecatan 2 1 100

Profit per unit 7 5

18

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam

rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja

dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang

merupakan variabel keputusan adalah meja (x1) dan kursi (x2).

Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah

menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.

1. Fungsi Tujuan

Tujuan perusahaan adalah maksimalisasi keuntungan, sehingga kita dapat

menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut:

Maksimalkan,

z = 7x1 + 5x2

2. Fungsi kendala

Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa

memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai

keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang

merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis

diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan.

Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan x1 (meja) dimana untuk membuat satu

unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan x2 (kursi) dimana untuk

membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa

dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi:

4x1 + 3x2 ≤ 240

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat

diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan x1 (meja) dimana untuk

mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan x2 (kursi)

19

dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam.

Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi:

2x1 + x2 ≤ 100

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi

nilai x1 dan x2 tidak negatif, yang artinya bahwa:

x1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

x2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap

sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimalkan,

z = 7x1 + 5x2

Fungsi kendala:

4x1 + 3x2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan)

2x1 + x2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan)

x1, x2 ≥ 0 (kendala non negatif pertama dan kedua)

Penyelesaian Program Linier Menggunakan Metode Grafik

Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik.

Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga

tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel

keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah

menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara

20

grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti

berikut:

4x1 + 3x2 = 240

Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu. Sebagaimana halnya

yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang

tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut

dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai

variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong

x1, pada saat x2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong x2, pada saat x1 = 0.

Kendala I: 4x1 + 3x2 = 240

Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0

4x1 + 0 = 240

x1 = 240/4

x1 = 60.


0 + 3x2 = 240

x2 = 240/3

x2 = 80

Kendala I memotong sumbu x1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu x2 pada

titik (0, 80).

Kendala II: 2x1 + x2 = 100


21

2x1 + 0 = 100

x1 = 100/2

x1 = 50

Memotong sumbu x2 pada saat x1 =0

0 + x2 = 100

x2 = 100

Kendala II memotong sumbu x1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu x2 pada

titik (0, 100).

Berikut gambar grafik, yang kita rangkum dari kendala I dan II diatas:

Gambar 4. 1

Titik potong kedua kendala, bisa dicari dengan cara metode substitusi atau eliminasi,

yaitu:

2x1 + x2 = 100

22

x2 = 100 – 2x1

4x1 + 3 x2 = 240

4x1 + 3 (100 – 2x1) = 240

4x1 + 300 – 6x1 = 240

- 2x1 = 240 - 300

- 2x1 = - 60

x1 = -60/-2 = 30.

x2 = 100 – 2x1

x2 = 100 - 2 * 30

x2 = 100 - 60

x2 = 40

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis

kendala. Sebagaimana nampak pada gambar diatas, feasible region (area layak) meliputi

daerah sebelah kiri dari titik A (0, 80), B (30, 40), dan C (60, 0).

Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa kita gunakan,

yaitu:

1. Dengan menggunakan garis profit (iso profit line)

2. Dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan

menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan

sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak

(feasible region).

23

Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai z dengan sembarang

nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang

mudah dibagi angka 7 (koefisien x1) dan 5 (koefisien x2) adalah 35. Sehingga fungsi

tujuan menjadi 35 = 7x1 + 5x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5, 0) dan

memotong sumbu x2 pada titik (0, 7).

Gambar 4. 2

Dari gambar 4. 2, dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang

merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk

mengetahui berapa nilai x1 dan x2, serta nilai z pada titik B tersebut, kita mencari titik

potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara

kendala I dan kendala II).

Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai x1 = 30, x2 = 40.

dan z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan

perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi x1 sebanyak

30 unit, x2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Sekarang, kita akan menyelesaikan permasalahan diatas dengan menggunakan

metode yang berbeda, yaitu menggunakan titik sudut (corner point), artinya kita harus

mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari

24

gambar yang pertama diatas, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak,

yaitu titik O (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 * 0) + (5 * 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0, 80) adalah (7 * 0) + (5 * 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30, 40) adalah (7 * 30) + (5 * 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50, 0) adalah (7 * 50) + (5 * 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan

memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan

memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.

Latihan

PT Padat Karya memproduksi dua macam batako: batako semen dan batako

kapur. Biaya pembuatan batako semen diperkirakan Rp. 150,- sedang biaya pembuatan

batako kapur diperkirakan Rp. 100,-. Batako semen dijual seharga Rp. 400,- dan batako

kapur dijual seharga Rp. 250,-.

Untuk pembuatan kedua macam batako tersebut dipergunakan 2 macam mesin,

yaitu mesin pencampur (A) dan mesin pencetak (B). Untuk mencampur batako semen

diperlukan waktu 1 jam, dan untuk mencetak batako semen diperlukan waktu 2 jam.

Batako kapur dicampur selama 1.5 jam dan dicetak selama 1 jam. Selama satu bulan

kapasitas mesin A adalah 320 jam kerja. Sedang kapasitas mesin B adalah 480 jam kerja.

Tentukan keuntungan maksimum perusahaan dan apa yang harus dilakukan perusahaan,

untuk mencapainya dengan menggunakan metode grafik.

Latihan tambahan

Selesaikan semua permasalahan optimalisasi (maksimum maupun minimum),

baik berupa contoh kasus maupun latihan kasus, yang terdapat pada bagian kedua dan

ketiga, dengan menggunakan metode grafik (menggunakan garis profit dan titik sudut).

25

Bagian Kelima

Metode Simpleks

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman

linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode

simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal

dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan

iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap

yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks,

diantaranya:

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung

dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada

sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama

dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.

Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala

menggunakan relasi ≤) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan

relasi ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah

fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih

tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya

pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala

untuk mengkonversikan relasi ≤ menjadi relasi =. Penambahan variabel ini terjadi

pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai

variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala

untuk mengkonversikan relasi ≥ menjadi relasi =. Penambahan ini terjadi pada tahap

26

inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel

basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala

dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan

variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi

optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas

kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien

pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot

(baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang

memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan

kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel

simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada

iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada

setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi

berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari

antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan

bernilai nol.

Bentuk Baku

Sebelum melakukan perhitungan iteratif (perhitungan yang berdasarkan pada

iterasi-iterasi) untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum

pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam

metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama

dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal.

Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada

27

aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai

nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier

sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu:

1. Fungsi kendala dengan relasi ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=)

dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan relasi ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=)

dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum, ditambahkan satu artificial

variabel (variabel buatan).

Perhatikan kasus A berikut:

Fungsi tujuan:

Minimumkan,

z = 2x1 + 5.5x2

Kendala:

x1 + x2 = 90

0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9

0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27

0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5

x1, x2 ≥ 0

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Jika bentuk diatas,

kita ubah kedalam bentuk baku, model matematika-nya, akan berubah menjadi:

28

Fungsi tujuan:

Minimumkan,

z = 2x1 + 5.5x2

Kendala:

x1 + x2 + s1 = 90

0.001 x1 + 0.002 x2 + s2 = 0.9

0.09 x1 + 0.6 x2 – s3 + s4 = 27

0.02 x1 + 0.06 x2 + s5 = 4.5

x1, x2 , s1, s2, s3, s4, s5 ≥ 0

Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1), karena bentuk

umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat

mendapatkan variabel slack (s2 dan s5) karena bentuk umumnya menggunakan relasi ≤,

sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan

(s4) karena bentuk umumnya menggunakan relasi ≥.

Perhatikan pula kasus B berikut ini:

Maksimumkan,

z = 2x1 + 3x2

Kendala:

10 x1 + 5 x2 ≤ 600

6 x1 + 20 x2 ≤ 600

8 x1 + 15 x2 ≤ 600

x1, x2 ≥ 0

29

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku

hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk

relasi ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:

Maksimumkan,

z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

Kendala:

10 x1 + 5 x2 + s1 = 600

6 x1 + 20 x2 + s2 = 600

8 x1 + 15 x2 + s3 = 600

x1, x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0

s1 , s2 , s3 merupakan variabel slack.

30

Bagian Keenam

Alur Penyelesaian Metode Simpleks

Pada bagian ini, kita akan membahas alur penyelesaian permasalahan program

linier dengan menggunakan metode simpleks, dimulai dengan pembentukan tabel

simpleks, sampai penentuan nilai maksimum ataupun minimum-nya, sesuai permintaan

perusahaan.

Pembentukan Tabel Simpleks

Dalam perhitungan iteratif, kita akan bekerja menggunakan tabel dan bentuk

baku yang sudah diperoleh, juga harus dibuat ke dalam bentuk tabel.

Semua variabel, yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama

dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh

karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis

awal. Dalam sub bab ini kita hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang

menggunakan variabel slack dalam bentuk bakunya, sedangkan yang menggunakan

variabel buatan akan dibahas pada sub bab lainnya.

Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah:

VB x1 x2 s1 s2 s3 solusi

z -2 -3 0 0 0 0

s1 10 5 1 0 0 600

s2 6 20 0 1 0 600

s3 8 15 0 0 1 600

Langkah-Langkah Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut:

31

1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi

(nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang

tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan

(nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan

maksimalisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika

tujuan minimalisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif

terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan

variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimalisasi) atau positif

terbesar (untuk tujuan minimalisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara

sembarang.

3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan

nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal

ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut

menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika

baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar.

Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada

perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali

menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi

dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot

baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris

lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi

tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan

maksimalisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0.

Pada tujuan minimalisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah

negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi

optimalnya.

32

Bagian Ketujuh

Contoh Kasus Metode Simpleks

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks:

Maksimumkan,

z = 8x1 + 9x2 + 4x3

Kendala:

x1 + x2 + 2x3 ≤ 2

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3

7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8

x1,x2,x3 ≥ 0

Solusi:

Bentuk bakunya adalah:

Maksimumkan,

z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3

atau

z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0

Kendala:

x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2

2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3

7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8

x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0

33

Tabel awal simpleks:

VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 NK Rasio

z -8 -9 -4 0 0 0 0

s1 1 1 2 1 0 0 2

s2 2 3 4 0 1 0 3

s3 7 6 2 0 0 1 8

Karena nilai negatif terbesar ada pada kolom x2, maka kolom x2 adalah kolom pivot, dan x2

adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom pivot terkecil adalah 1

bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2 adalah variabel keluar.

Elemen pivot adalah 3.


z -8 -9 -4 0 0 0 0

s1 1 1 2 1 0 0 2 2

s2 2 3 4 0 1 0 3 1

s3 7 6 2 0 0 1 8 8/6

Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris

s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).


z

s1

x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

s3

34

Perhitungan nilai barisnya:

Baris z:

-8 -9 -4 0 0 0 0

-9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

-2 0 8 0 3 0 9

Baris s1:

1 1 2 1 0 0 2

1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

Baris s3:

7 6 2 0 0 1 8

6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

3 0 -6 0 -2 1 2

Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah tabel sudah

optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1 masih negatif, maka tabel belum

optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini:


z -2 0 8 0 3 0 9 -

s1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3

x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2

s3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

35

Variabel masuk-nya adalah x1 dan variabel keluar-nya, s3 . Hasil perhitungan iterasi ke-2

adalah sebagai berikut:

Iterasi 2:


z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

s1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

x2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

x1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Tabel sudah optimal, ini terlihat dari nilai pada baris z sudah bernilai positif atau nol,

sehingga perhitungan iterasi dihentikan.

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian tinggi, khususnya jika angka yang

digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan

menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti, jika menggunakan bilangan pecahan.

Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena

ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu

titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana

semua aktivitas atau variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan

terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

Membaca Tabel Optimal

Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal

yang bisa dibaca dari tabel optimal, yaitu sebagai berikut:

1. Solusi optimal variabel keputusan

2. Status sumber daya

3. Harga bayangan (dual atau shadow prices).

36

Menggunakan tabel optimal:

VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 NK

z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

s1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

x2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

x1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Solusi optimal:

x1 = 2/3, x2 = 5/9, x3 = 0, dan Z = 31/3, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar

31/3, maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar

5/9 unit.

Status sumber daya:

Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada

tabel optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1 pada

variabel basis tabel optimal. Periksa keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi

kendala kedua. Periksa keberadaan s3 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala

ketiga.

s1 = 7/9, artinya sumber daya ini, berlebih (abundant)

s2 = s3 = 0, maksudnya kedua sumber daya ini habis terpakai (scarce).

Harga bayangan:

Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. Berikut

ini, hasil dari setiap koefisien:

Koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan demikian harga bayangan

sumber daya pertama adalah 0.

37

Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 5/3, dengan demikian harga bayangan

sumber daya kedua adalah 5/3.

Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 2/3, dengan demikian harga bayangan

sumber daya kedua adalah 2/3.

Latihan

Maksimumkan,

z = 2x1 + 4x2 + x3

Dengan kendala:

x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 9

8x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 3

3x1 + x2 + 5x3 ≤ 5

x1,x2,x3 ≥ 0

38

Bagian Kedelapan

Variasi Kasus

Penyelesaian Linear Programming Secara Grafik Untuk Fungsi Tujuan

Minimalisasi

Permasalahan minimalisasi dapat juga diselesaikan secara grafik. Langkah-

langkah penyelesaian permasalahan-nya sama dengan penyelesaian permasalahan

untuk fungsi tujuan maksimalisasi yaitu formulasi permasalahan, menentukan area

layak, kemudian menentukan solusi optimal.

Dalam menentukan solusi optimal, seperti halnya pada permasalahan

maksimalisasi, dapat menggunakan pendekatan garis profit atau titik sudut. Untuk lebih

memahami penyelesaian permasalahan minimalisasi, kita akan membahas kasus

Valentine Meal berikut ini.

Valentine Meal adalah makanan yang terbuat dari Jagung dan Kacang. Makanan

ini memiliki kandungan sekurang-kurangnya 30% Protein dan Serat maksimal 5%

sebagaimana tampak pada tabel berikut ini:

Kandungan gizi per kilogram

Protein Serat Biaya

Jagung 0.09 0.02 0.3

Kacang 0.6 0.06 0.9

Valentine Meal ingin menentukan biaya terendah dari makanan tersebut. Karena

makanan tersebut terbuat dari Jagung dan Kacang, variabel keputusan untuk model

tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

x1 = banyaknya jagung yang digunakan untuk campuran makanan

x2= banyaknya kacang yang digunakan untuk campuran makanan

39

Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya dari campuran makanan, yang

dirumuskan sebagai berikut,

Minimalkan,

z = 0,3x1 + 0,9x2

Kendala dari model mencerminkan jumlah yang diperlukan dan persyaratan

kandungan gizi yang diperlukan. Karena Valentine Meal memerlukan 800 kg makanan

per hari, kendala tersebut bisa dirumuskan demikian:

x1 + x2 ≥ 800

Kandungan protein dalam jagung (x1) dan kacang (x2) adalah (0,09x1 + 0,6x2).

Kandungan protein ini sekurang-kurangnya 30% dari campuran makanan. Oleh karena

itu persamaannya menjadi demikian

0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3 (x1+ x2)

0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3x1 + 0,3x2

(0,3x1 - 0,09x1) + (0,3x2- 0,6x2) ≤ 0

0,21x1 - 0,3x2 ≤ 0

Dengan cara yang sama, kendala dari kandungan serat bisa dirumuskan

demikian:

0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05 (x1 + x2)

0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05x1 + 0,05x2

(0,05x1 - 0,02x1) + (0,05x2 - 0,06 K) ≥ 0

0,03x1 – 0,01x2 ≥ 0

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap

sebagai berikut:

40

Fungsi tujuan:

Minimalkan,

z = 0,3x1 + 0,9x2

Fungsi kendala:

x1 + x2 ≥ 800 (kendala kebutuhan makanan per hari)

0,21x1 - 0,3x2 ≤ 0 (kendala kandungan protein)

0,03x1 – 0,01x2 ≥ 0 (kendala kandungan serat)


Langkah pertama untuk menyelesaikan kasus Valentine Meal adalah dengan

menggambarkan fungsi kendala sebagaimana tampak pada gambar berikut:

Gambar 8. 1

41

Titik potong ketiga kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi

Titik potong kendala 1 (Protein: 0.21x1 – 0.3x2 ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per hari: 1 Jagung

+ 1 Kacang ≥ 800).

0.21x1 - 0.3x2 = 0

0.21x1 = 0.3x2

x1 = (0.3/ 0.21) x2

x1 + x2 = 800

(0.3 / 0.21) x2 + x2 = 800

2,43 x2 = 800

x2 = 800/2,43

x2 = 329,22 dibulatkan menjadi 329.

x1 + 329,22 = 800

x1 = 470,78 dibulatkan menjadi 471.

Jadi, titik potong kendala 1 (Protein: 0.21x1 – 0.3x2 ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per

hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800) terletak pada titik B (471, 329).

Titik potong kendala 2 (Serat: 0.03x1 – 0.01x2 ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan per

hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800).

0.03x1 – 0.01x2 = 0

0.03x1 = 0.01x2

x1 = (0.01/ 0.03) x2

x1 = 0.33 x2

x1 + x2 = 800

0.33 x2 + x2 = 800

42

1.33 x2 = 800

x2 = 800 / 1.33

x2 = 600

x1 + 600 = 800

x1 = 200

Jadi titik potong kendala 2 (Serat: 0.03x1 – 0.01x2 ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan

per hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800) terletak pada titik B (200, 600).

Tanda ≥ pada kendala Serat dan Kebutuhan per hari ditunjukkan pada area

sebelah kanan dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada gambar 8. 1, feasible region

(area layak) meliputi daerah sebelah kanan dari titik A (200, 600), B (471, 329), atau di

sebelah kanan kendala II dan III serta di sebelah kiri kendala I.

Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu

1. Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

2. Dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan isocost line adalah penyelesaian dengan

menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai

menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible

region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang

nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang

mudah dibagi angka 0.3 (koefisien x1) dan 0.9 (koefisien x2) adalah 270. Sehingga fungsi

tujuan menjadi 270= 0.3x1 + 0.9x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (900, 0)

dan memotong sumbu x2 pada titik (0, 300).

43

Gambar 8. 2

Dari gambar 8. 2, kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik A yang

merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik A ini merupakan titik optimal. Untuk

mengetahui berapa nilai x1 dan x2, serta nilai z pada titik A tersebut, kita mencari titik

potong antara kendala I dan kendala III (karena titik A merupakan perpotongan antara

kendala I dan kendala III).

Dengan menggunakan eliminiasi atau substitusi diperoleh nilai x1 = 471, x2 = 329.

dan z = 437. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan

perusahaan yang akan memberikan biaya minimal adalah x1 sebanyak 471 unit, x2

sebanyak 329 unit dan perusahaan akan mengalokasikan biaya sebesar 437.

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) dari gambar 8. 1,

dapat dilihat bahwa ada 2 titik yang dekat yang membatasi area layak, yaitu titik A yang

merupakan perpotongan kendala I dan III serta titik B yang merupakan perpotongan

kendala II dan III. Untuk penyelesaian dengan menggunakan titk sudut kita mencari nilai

z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil.

44

Titik A nilai x1 = 471 dan x2 = 329. Dengan substitusi angka tersebut ke fungsi

tujuan kita peroleh 0,3x1 + 0,9x2 = (0,3 * 471) + (0,9 * 329) = 437,4 dibulatkan menjadi

437. dan pada titik B nilai x1 = 200 dan x2 = 600.

Dengan mensubstitusikan nilai x1 dan x2 pada fungsi tujuan, kita peroleh: 0,3x1 +

0,9x2 = (0,3 * 200) + (0,9 * 600) = 600. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada

titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

Permasalahan Teknis dalam Program Linier

Dalam penyelesaian permasalahan program linear, yang menggunakan metode

grafik, sering dijumpai permasalahan-permasalahan secara teknis, seperti:

1. Infeasibility

2. Unboundedness

3. Redundancy

4. Alternate optimal solutions

Infeasibility adalah suatu kondisi dimana tidak ada area layak yang memenuhi

semua kendala. Sebagai contoh Apabila kasus Krisna Furniture ditambah kendala dari

bagian pemasaran yang memberi syarat bahwa penjualan Meja minimal 60 buah dan

penjualan Kursi minimal 60 buah, maka akibatnya tidak ada area layak (feasible region).

Kondisi seperti ini disebut infeasibility.

Fungsi tujuan:

Maksimalkan,

z = 7x1 + 5x2

Fungsi kendala:



x1, x2 ≥ 60


45

Gambar 8. 3. infeasibility

Unboundedness adalah suatu kondisi dimana area layak tidak terbatas. Kasus ini

biasanya muncul pada fungsi tujuan maksimalisasi. Misalkan saja Krisna Furniture lebih

dahulu menentukan kendala dari pemasaran dan belum menentukan kendala dari segi

operasi untuk assembling dan finishing. maka objective function menjadi tidak berhingga.

Fungsi tujuan :

Maksimalkan,

z = 7x1 + 5x2

Fungsi kendala :

x1, x2 ≥ 60


Gambar 8. 4. Unboundedness

46

Redundancy constraint merupakan Constraint yang tidak mempengaruhi

feasible region. Misalkan pada kasus Krisna Furniture, bagian marketing mengatakan

bahwa tidak bisa menjual lebih dari 50 buah kursi, maka pernyataan ini disebut

redundant. Karena kenyataannya, bagian produksi maksimal hanya bisa memproduksi

40 kursi.

Gambar 8. 5. Redundancy constraint

Alternatif Optima adalah situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi optimal.

Hal ini akan terjadi apabila garis profit sejajar dengan salah satu kendala. Misalkan kita

rubah profit margin untuk Meja dan Kursi pada kasus Krisna Furniture menjadi 8 dan 6.

Garis profit ini jika kita gambarkan akan sejajar dengan kendala I karena kemiringannya

sama. Solusi optimalnya terletak sepanjang garis AB. Jadi solusi optimalnya bisa terletak

pada alternatif I x1 = 0 dan x2 = 80 atau x1 = 30 dan x2 = 40 atau kombinasi lain

sepanjang garis AB.

Fungsi tujuan:

Maksimalkan,

z = 8x1 + 6x2.

Fungsi kendala :



47


Gambar 8. 6. Alternatif Optima

48

Daftar Pustaka

Levin, Richard I., David S. Rubin, Joel P. Stinson, dan Everette S. Gardner, Jr. (1992).

Quantitative Approaches to Management, eighth edition, New York, McGraw-Hill.

Render, Barry dan Jay Heizer. (1997). Principles of Operations Management, second

edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.

Render, Barry, Ralph M. Stair Jr., dan Michael E. Hanna. (2003). Quantitative Analysis for

Management, eighth edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit

Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.

Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper Saddle

River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.

modul mata k ul iah p em rogram an linearmasalah ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain -lain....

Documents