BAB IANALISIS VEKTOR PADA GERAK BENDA

Kompetensi Inti :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar :Menganalisis gerak benda menggunakan vektor.

Materi Pokok :Analisis vektor pada gerak benda.

A. VEKTOR POSISIPosisi benda pada waktu t tertentu untuk gerak satu dimensi dinyatakan dengan x = x(t) dan

y = y(t). Dengan demikian vektor posisi suatu benda dalam bidang r dapat dinyatakan dalam vektor-vektor satuan i dan j sebagai r = xi + yj.

B. VEKTOR PERPINDAHANPerpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi suatu partikel pada waktu tertentu.

Perpindahan termasuk besaran vektor. Misalkan sebuah benda pada saat t1 berada pada vektor posisi r1 dan pada saat t2 berada pada vektor posisi r2, maka vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan dengan

Δr = r2 – r1

dengan r2 = r(t2) adalah posisi akhir dan r1 = r(t1) adalah posisi awal.

Perhatikan contoh berikut :1. Sebuah partikel mula-mula berada pada posisi r1 = 8i + 10j. Beberapa saat kemudian, posisinya

menjadi r2 = – 5i + 20 j. Tentukan vektor perpindahan dan besar perpindahan benda !Jawab :Vektor perpindahanΔr = r2 – r1

= – 13i + 10 j

Besar perpindahan |Δr| = 16,4

2. Persamaan posisi suatu benda dinyatakan dengan r = 10t i + (10t – 5t2) j. Tentukan :a. posisi benda pada saat t = 1 s dan t = 10 sb. vektor perpindahan benda selama 1 – 10 sJawab :a. Posisi benda pada saat t = 1 s r = 10 i + 5 j

Posisi benda pada saat t = 10 s r = 100 i – 400 jb. Vektor perpindahan benda

1

Δr = 90 i – 405 j m

C. VEKTOR KECEPATAN1. Kecepatan Rata-rata

Kita mendefinisikan kecepatan rata-rata sebagai perbandingan antara perpindahan dengan lama waktu melakukan perpindahan tersebut. Jika saat t1 posisi benda adalah r1 dan pada saat t2 posisi benda adalah r2 , maka perpindahan benda adalah Δr = r2 – r1 dan lama waktu benda berpindah adalah Δt = t2 – t1.

Contoh 1 :Pada saat t1 = 2 s posisi sebuah benda adalah r1 = 10i dan pada saat t2 = 6 s posisi benda adalah r2 = 8j. Tentukan kecepatan rata-rata benda selama perpindahan tersebut !Jawab :Perpindahan benda Δr = – 10i +8j mLama perpindahan benda Δt = 4 sKecepatan rata-rata benda v = – 2,5i + 2j m/s

Contoh 2 :Persamaan posisi suatu benda dinyatakan dengan r = 3i + 5t2j. Tentukan kecepatan rata-rata benda antara t = 0 s sampai t = 5 s ! Jawab :Posisi benda pada saat t = 0 s adalah r = 3i mPosisi benda pada saat t = 5 s adalah r = 3i + 125j mPerpindahan benda Δr = 125j mKecepatan rata-rata v = 25j m/s

2. Kecepatan SesaatKecepatan sesaat adalah kecepatan benda pada saat tertentu yang diperoleh dari diferensial posisi terhadap waktu.

Contoh :Sebuah benda bergerak dengan persamaan posisi r = (4t) i + (6t – 5t2) j m. Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 s.Jawab :Persamaan kecepatan benda v = 4i + (6 – 10t) j m/sKecepatan benda pada saat t = 2s adalah v = 4i – 14j m/s

D. VEKTOR PERCEPATAN1. Percepatan Rata-rata

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan kecepatan benda dengan lama kecepatan tersebut berubah. Misalkan pada saat t1 kecepatan sesaat benda adalah v1

dan pada saat t2 kecepatan sesaat benda adalah v2, maka percepatan rata-rata adalah

a=∆ v∆ t

Contoh :Kecepatan sebuah partikel dinyatakan dengan v = 4t2 + 2t – 6 m/s. Tentukan percepatan rata-rata antara t = 0 s dan t = 4s !Jawab :Kecepatan pada t = 0 s adalah v = – 6Kecepatan pada t = 4 s adalah v = 66Percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 4 adalah a = 18 m/s2

2. Percepatan Sesaat

2

Percepatan sesaat adalah percepatan benda pada saat tertentu yang diperoleh dari diferensial kecepatan terhadap waktu.

Contoh :Kecepatan sesaat benda dinyatakan dengan persamaan v = 10t2 i + 3j m/s. Tentukan percepatan sesaat benda tersebut pada saat t = 5 s !Jawab :Persamaan percepatan benda a = 20t iPercepatan pada saat t = 5 s adalah a = 100 i

Sampai pada bagian ini, kita telah dapat menentukan kecepatan sesaat dari diferensial persamaan posisi terhadap waktu dan percepatan sesaat dari diferensial kecepatan sesaat terhadap waktu. Untuk proses sebaliknya kita gunakan prinsip integral untuk menentukan persamaan kecepatan dari percepatan dan menentukan posisi dari kecepatan.

E. MENENTUKAN KECEPATAN DARI PERCEPATANMenentukan kecepatan dari percepatan dengan prinsip integral sebagai berikut

v=v0+∫t0

t

a dt

¿ v0+a(t−t 0)

dengan v0 adalah kecepatan pada saat t0.

Contoh 1 :Pada saat t0 = 2 s sebuah partikel mempunyai kecepatan v0 = 3i + 4j m/s. Tentukan persamaan kecepatan partikel jika percepatannya adalah a = – 10i + 2j m/s2 ! Jawab :v = v0 + a(t – t0)

= (3i + 4j) + (– 10i + 2j)(t – 2)= (23 – 10t) i + (2t) j m/s

Contoh 2 :Sebuah benda memiliki percepatan a = – 4t i + 5t2 j m/s2. Jika pada saat t0 = 4 s kecepatan benda adalah v0 = – 10 j m/s, tentukan persamaan kecepatan benda untuk sembarang waktu !Jawab :

v=v0+∫t0

t

a dt

= – 10 j + ∫4

t

(−4 t i+5 t 2 j ) dt

= – 10 j + |−2 t 2i+53

t3 j|4

t

= – 10 j – 2(t2 – 16) i +

53 (t3

– 64) j

= (32 – 2 t2) i + (53 t3 –

3503 ) j

F. MENENTUKAN POSISI DARI KECEPATAN

Menentukan posisi dari kecepatan dengan prinsip integral sebagai berikut

r=r0+∫t 0

t

v dt

3

¿ r0+v (t−t 0)dengan r0 adalah posisi pada saat t0.Contoh 1 :Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v = (4t +1) i + (6t – 3) j m/s. Jika posisi awal benda berada pada r0 = 3 i + 5 j, tentukan persamaan posisi semut untuk sembarang waktu !Jawab :

r=r0+∫t 0

t

v dt

= (3 i + 5 j) + ∫¿¿= (3 i + 5 j) + (2t2

+ t) i + (3t2 – 3t) j= (2t2 + t + 3) i + (3t2 – 3t + 5) j

G. SOAL LATIHAN1. Ade mula-mula berada pada posisi r1 = 9i – 7j. Ade kemudian berpindah sehingga posisinya

sekarang berada di r2 = i + 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan besar perpindahan Ade !Jawab : Δr = – 8i + 10j, dan |Δr| = 12,81

2. Persamaan posisi seekor lebah dinyatakan dengan r = 9t i + (5t – t2) j. Tentukan :a) Posisi lebah pada saat t = 1 s dan t = 3 s !b) Vektor perpindahan lebah selama waktu tersebut !Jawab :a) Pada t = 1 s posisi lebah r = 9i + 4j dan pada t = 3 s posisi lebah r = 27i + 6jb) Vektor perpindahan lebah Δr = 18i + 2j

3. Persamaan posisi sebuah pesawat dinyatkan dengan r = (11t2 + 3) i + (t2 + 3t) j. Tentukan kecepatan rata-rata pesawat pada waktu t = 3 s sampai t = 5 s!Jawab : v = 88 i + 11 j m/s

4. Persamaan posisi sebuah benda dinyatakan dengan r = t2 + 3t – 5 m. Tentukan kecepatan sesaat benda pada t = 7 s !Jawab : v = 17 m/s

5. Posisi sebuah partikel dinyatakan dengan r = t3 + 7t2 + 3 m. Tentukan percepatan sesaat partikel pada t = 3 !Jawab : a = 32 m/s2

6. Suatu partikel bergerak dengan kecepatan v = (6t – 4t2) i + 8 j. Tentukan :a) Percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 3 s !b) Percepatan sesaat pada t = 3 s !Jawab :a) a = – 6 ib) a = – 18 i

7. Posisi sebuah benda dinyatakan dengan r = t3 – 27t + 4 m. Tentukan :a) Kecepatan sesaat partikel pada t = 2 s !b) Percepatan sesaat partikel pada t = 5 s ! Jawab :a) v = – 15 m/sb) a = 30 m/s2

8. Sebuah partikel mula-mula dalam keadaan diam. Partikel tersebut kemudian bergerak dengan percepatan yang dinyatakan dengan a = (6t – 4) i + 6j m/s2. Tentukan jarak yang telah ditempuh partikel tersebut setelah bergerak selama 6 s !

4

Jawab : r = 180 m

UJI KOMPETENSI BAB 1

1. Sebuah pertikel bergerak dengan persamaan posisi r = 3t2 – t3. Tentukan kecepatan sesaat partikel tersebut pada saat t = 3 s !

2. Sebuah partikel mula-mula berada pada posisi r = 3i + 2j bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan dengan v = (6t) i + (9t2 + 5) j. Tentukan posisi partikel tersebut setelah bergerak selama t = 3 s !

3. Persamaan posisi sebuah benda dinyatakan dengan r = (3t2 + 6t) i + (4t2) j. Tentukan percepatan sesaat benda tersebut pada t = 1 s !

4. Suatu benda mula-mula dalam keadaan diam. Benda tersebut kemudian bergerak dengan percepatan yang dinyatakan dengan a = 6t + 2 m/s2. Tentukan besar perpindahan benda tersebut setelah bergerak selama 2 s !

5. Sebuah benda bergerak dengan percepatan yang dinyatakan dengan a = 2 – 3t m/s2. Setelah bergerak selama 5 detik dari awal pengamatan, kecepatan benda tersebut menjadi 20 m/s. Tentukan kecepatan awal benda tersebut !

5

BAB IIGERAK PARABOLA

Kompetensi Inti :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar :Menganalisis gerak benda menggunakan vektor.

Materi Pokok :Gerak parabola.

A. PERSAMAAN GERAK PARABOLAGerak parabola adalah gerak dengan lintasa berbentuk parabola. Perhatikan gambar berikut !

Gambar 2.1 Lintasan gerak parabola

Pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa suatu benda yang bergerak dengan kecepatan awal v0

membentuk sudut elevasi α akan mengalami gerak parabola. Pada gerak parabola tersebut, titik B merupakan titik tertinggi dan titik C merupakan titik terjauh yang dapat dicapai.

Selama melakukan gerak parabola, benda melakukan dua gerak sekaligus. Yaitu GLB ke arah sumbu X dan GLBB kea rah sumbu Y. Kecepatan awal v0 dapat diuraikan sebagai berikut

v0 x=v0cos αv0 y=v0 sin α

Untuk setiap waktu t , besar kecepatan pada arah sumbu X tetap sedangkan pada arah sumbu Y berubah-ubah. Sehingga dapat dituliskan sebagai

v tx=v0cos αv ty=v0 sin α−¿

Untuk sembarang titik (x,y) dapat ditentukan dengan persamaan berikut

x=v0cos α ∙ t

y=v0 sin α ∙ t−12

g t 2

6

v0

Sedangkan titik terjauh C adalah 2xB.

Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi, tB, dapat dinyatakan dengan

tB=v 0 sin α

g

sehingga tinggi maksimum, titik B, dapat dengan mudah ditentukan dengan persamaan

hmax=( v0 sin α )2

2 g

Sedangkan waktu untuk mencapai titik terjauh, titik C, adalah 2t B.

B. SOAL LATIHAN(1) UN Fisika 2008Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan pada sudut elevasi 60o dan kecepatan 40.ms−1 seperti gambar.

 Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka energi kinetik peluru pada titik tertinggi adalah.....A. 0 joule D. 12 jouleB. 4 joule E. 24 jouleC. 8√2 joule

(2) UN Fisika 1998Seorang anak melempar batu dengan kecepatan awal 12,5 ms – 1 dan sudut 30o terhadap horizontal. Jika percepatan gravitasi 10 ms – 2 , waktu yang diperlukan batu tersebut untuk sampai ke tanah adalah …A. 0,40 s D. 1,60 sB. 0,60 s E. 2,50 sC. 1,25 s

(3) UN Fisika 2001Sebuah benda dilempar dengan kecepatan awal 20√2 ms – 1 dan sudut 45o terhadap horizontal. Pada saat jarak tempuh mendatarnya 20 meter, maka ketinggiannya adalah … (g = 10 ms – 2 )A. 5 m D. 20 mB. 10 m E. 25 mC. 15 m

(4) Sebuah pesawat terbang bergerak mendatar dengan kecepatan 200 m/s melepaskan bom dari ketinggian 500 meter. Jika g = 10 ms - 2, maka jarak jatuhnya bom dari posisi pesawat adalah …A. 500 m D. 1750 mB. 1000 m E. 2000 mC. 1500 m

(5)Sebuah kelereng meluncur dari tepi sebuah meja dengan kecepatan 14 m/s. Jika tinggi meja 1,2 m, dimanakah kelereng menyentuh lantai diukur dari tepi meja ? (Jawab : 4√3)

7

BAB IIIHUKUM GRAVITASI NEWTON & HUKUM KEPLER

Kompetensi Inti :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar :Mengevaluasi keteraturan gerak planet berdasarkan hukum-hukum Newton.

Materi Pokok :Hukum gravitasi Newton & Hukum Kepler.

A. HUKUM GRAVITASI NEWTONGaya gravitasi merupakan gaya tarik menarik yang terjadi antara partikel yang mempunyai

massa di alam semesta. Isaac Newton mengemukakan konsep hukum gavitasi sebagai berikut :

“ Setiap partikel di alam semesta menarik setiap partikel lain, dengan besar gaya yang berbanding lurus dengan hasil kali massa masing-masing partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak

antara partikel-partikel tersebut. ”

Secara matematis hukum gravitasi Newton dapat dituliskan sebagai :

F=Gm1 m2

r2

dengan F = gaya gravitasi (N),G = konstanta gravitasi (6,67 x 10 – 11 Nm2/kg2),m1 dan m2 = massa benda pertama dan kedua (kg),r = jarak antara kedua benda (m)

Gaya grafitasi adalah besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju pusat massa partikel.

Gambar 2.1 Ilustrasi arah vektor gaya gravitasi pada dua buah partikel bermassa.

Untuk gaya grafitasi yang disebabkan oleh beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya ditentukan secara geometris. Misalnya dua buah gaya F1 dan F2 yang membentuk sudut α resultan gayanya dapat ditentukan berdasarkan persamaan :

F=√ F12+F

22+2 F1 F2cos α

8

Gambar 2.2 Resultan dua buah gaya gravitasi pada suatu benda.

B. SOAL LATIHAN

1. Dua buah benda masing-masing massanya 10 kg dan 20 kg terpisahkan pada jarak 2 meter satu dengan yang lain. Tentukan gaya grafitasi antara kedua benda itu !( jawab : 3,34 x 10-19 N )

2. Gaya tarik grafitasi antara du buah benda bermassa adalah 2,001 x 10 -10 N. Bila massa benda adalah 3 kg dan 9kg. Tentukanlah jarak antara kedua benda itu !( jawab : 3 meter )

3. Massa sebesar 5 kg terpisah pada jarak 2 meter dari massa yang lain. Gaya grafitasi antara kedua benda adalah sebesar 2,5 x 10-10. Tentukan massa benda yang lain !( jawab : 3kg )

4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 1kg, 2kg dan 3kg diletakkan pada titik sudut segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. Tentukanlah gaya yang dialami oleh bola bermassa 1 kg dalam susunan ini.( jawab : 4,36 GN )

5. Dua buah bola bermassa masing-masing 4 kg terpisah pada jarak 2√3 meter. Tentukanlah gaya tarik grafitasi yang dialami oleh bola bermassa 5 kg yang terletak pada jarak 2 meter dari kedua massa tersebut !

6. Sebuah bola bermassa 3 kg terletak pada titik pusat sistem sumbu koordinat. Bola lainya yang masing-masing bermassa sebesar 16 kg, 36 kg dan 25 kg terletak pada titik-titik ( 4,0 ), ( 4,5 ) dan ( 0,5 ). Satuan koordinat dalam meter. Tentukanlah gaya yang dialami oleh bola bermassa 3 kg itu!( jawab : 7,43 GN )

7. Dua massa masing-masing dari 2kg dan 8 kg terpisah sejauh 1,2 meter. Tentukanlah gaya grafitasi pada massa 1 kg yang terletak pada suatu titik 0,4 meter dari massa 2 kg dan 0,8 meter dari massa 8 kg.( jawab : 0 )

8. Dua buah bermassa 2 kg dan 12,5 kg terpisah pada jarak 7 meter. Tentukanlah letak bola bermassa 6 kg sehingga gaya tarik grafitasi yang dialaminya sama dengan nol.( jawab : 2 meter dari bola bermassa 2 kg )

9. Dua buah benda bermassa pada saat terpisah sejauh 2 meter saling mengerjakan gaya sebesar 4 g. Bila jarak antaranya di jadikan 4 meter, tentukanlah gaya tarik menarik yang dikerjakan kedua benda itu.

10. Di titik A dan C dari suatu bujur sangkar ABCD ditempatkan massa sebesar 1 kg dan 0,5 kg. Bila gaya tarik menarik antara kedua massa tersebut besarnya 0,5 GN, tentukanlah panjang sisi bujur sangkar tersebut.

( jawab :

12 √2

meter )

9

C. PERCEPATAN GRAVITASIPercepatan gravitasi adalah percepatan yang timbul akibat gaya gravitasi. Pembahasan

percepatan gravitasi tidak terlepas dari hukum II Newton tentang gerak. Secara matematis percepatan gravitasi dapat dituliskan dengan :

g=G Mr2

dengan g = percepatan gravitas (m/s2), G = konstanta gravitasi (Nm2/kg2), M = massa benda, r = jari-jari benda (m).

Apabila suatu benda berada pada ketinggian tertentu dari permukaan bumi maka percepatan gravitasinya dapat kita tentukan sebagai berikut:

gB=G Mr2

=G

M B

(R+h )2

dengan G = konstanta gravitasi (Nm2/kg2),MB = massa bumi (kg), R= jari-jari bumi (m),h = ketinggian benda dari permukaan bumi (m).

Dari gambar di atas dapat ditunjukkan perbandingan percepatan gravitasi di permukaan bumi (titik A) dengan percepatan gravitasi pada ketinggian tertentu (titik B) sebagai berikut :

gB

g A=( R

R+h )2

Persamaan di atas menunjukkan bahwa percepatan gravitasi memiliki nilai yang berbeda-beda tergantung pada tinggi/jarak benda dari permukaan bumi. Semakin tinggi suatu tempat / letak benda dari permukaan bumi, maka percepatan gravitasinya semakin kecil.

Antara planet satu dengan planet yang lain juga akan menghasilkan percepatan gravitasi yang berbeda-beda. Hal ini dipengaruhi oleh jari-jari dan massa planet-planet tersebut. Secara matematis perbandingan percepatan gravitasi antara planet bumi dengan planet yang lain dapat dinyatakan dengan :

gP

gB=

M P

M B×

RB2

RP2

dengan gB = percepatan gravitasi bumi, gP = percepatan gravitasi planet, Mp = massa suatu planet, MB = massa bumi, RB = jari-jari bumi, RP = jari-jari suatu planet. D. SOAL LATIHAN

10

MB

B

h

R

r

A

1. Seseorang dibumi beratnya 800 N, bila orang tersebut berada pada ketinggian 3R dari pusat bumi, dengan R adalah jari-jari bumi, berapakah berat orang tersebut sekarang?

2. Jika sebuah planet memiliki jari-jari 4 kali jari-jari bumi, sedangkan percepatan gravitasinya ¼ kali percepatan gravitasi bumi, maka massa planet tersebut adalah …. kali massa bumi.

3. Perbandingan berat suatu benda di di planet dan di bumi adalah 2:4. Jika massa planet adalah 4 kali massa bumi, maka perbandingan jari-jari planet dan jari-jari bumi adalah …

4. Berat suatu benda di permukaan suatu planet 250 N dan beratnya dipermukaan bumi 100 N. Jika jari-jari planet 2 kali jari-jari bumi, maka massa planet adalah …. kali masa bumi.

5. Bila perbandingan jari-jari suatu planet (Rp) dan jari-jari bumi (RB) adalah 2 : 1, sedangkan massa planet (Mp) dan massa bumi (MB) berbanding 10:1, maka orang yang beratnya di bumi 100 N, berat orang tersebut di planet menjadi …

6. Jika percepatan gravitasi di permukaan bumi adalah 9,8 m/s2, perkirakanlah massa bumi yang dianggap berbentuk bola dengan jari-jari 6370 km ! (Jawab : 6 x 1024 kg)

7. Jari-jari bumi 6370 km, sedangkan jari-jari planet Mars 3440 km. Sebuah benda memiliki berat 400 N di permukaan bumi. Jika massa planet Mars adalah 0,1 kali massa bumi, tentukan berat benda itu jika diukur di permukaan planet Mars ! (Jawab : 137 N)

8. Sebuah benda bermassa 10 kg dibawa ke ketinggian 130 km di atas permukaan bumi. Jika jari-jari bumi 6370 km, berapakah berat benda itu pada ketinggian tersebut ? (Jawab : 94 N)

E. HUKUM KEPLERKepler menemukan bahwa planet bergerak dengan kelajuan tidak konstan dan bergerak lebih

cepat ketika dekat dengan matahari, dibandingkan saat jauh dengan matahari. Dengan menggunakan hubungan matematis yang tepat antara periode planet dan jarak rata-rata dari matahari, ia berhasil menyimpulkan hukum-hukum tentang gerak planet yang kemudian dikenal dengan hukum Kepler.

1. Hukum 1 Kepler“ Semua planet bergerak pada lintasan elips mengitari matahari, dengan matahari berada di salah satu focus elips. ”

2. Hukum 2 Kepler“ Garis lurus antara matahari dengan planet menyapu luasan yang sama untuk waktu yang sama. ”Kelajuan revolusi terbesar terjadi ketika planet berada paling dekat dengan matahari (perihelium) dan kelajuan revolusi terkecil terjadi ketika planet berada paling jauh dengan matahari (aphelium).

Gambar 2.3 Ilustrasi lintasan planet mengelilingi matahari.3. Hukum 3 Kepler

11

4 m

2 m

M3M2

M1

“ Perbandingan kuadrat periode revolusi terhadap pangkat tiga jarak rata-rata antara matahari dengan planet adalah sama untuk semua planet. ”

Secara matematis, hukum III Kepler dinyatakan sebagai

T12

r 13 =

T 22

r23

F. UJI KOMPETENSI1. Tiga bola tembaga bermassa m1=4 kg, m2= 6 kg dan m3= 8 kg. ketiga bola diletakkan pada

titik sudut sebuah segitiga siku siku,, seperti terlihat pada gambar berikut:

Hitunglah resultan gaya gravitasi yang bekerja pada benda m2 !

2. Benda A bermassa 2 kg berada pada jarak 5 m dari benda B yang massanya 4,5 kg, sedangkan benda C yang massanya 3 kg berada diantara benda A dan benda B. Jika gaya gravitasi pada benda C sama dengan nol, berapakah jarak antar benda A dan C ?

3. Dua bola kecil bermassa 4,0 kg dan M kg diletakkan terpisah sejauh 80 cm. Jika gaya gravitasi adalah nol di suatu titik pada garis hubung antara kedua bola dan berada 20 cm dari bola 4,0 kg, hitung nilai M !

4. Dua buah planet P dan Q mengorbit matahari. Apabila perbandingan antara jarak planet P dan planet Q ke matahari adalah 4 : 9 dan periode planet P mengelilingi matahari 24 hari, maka periode planet Q mengelilingi matahari adalah …

5. Dua planet P dan Q mengorbit matahari. Perbandingan antara periode revolusi planet P dan Q mengitari matahari dan 8 : 1. Apabila jarak planet Q ke matahari adalah 1,6 satuan astronomi, tentukan jarak planet P ke matahari !

BAB IV

12

USAHA DAN ENERGI

Kompetensi Inti :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar :Menganalisis konsep energi, usaha, hubungan usaha dan perubahan energi, dan hukum kekekalan energi untuk menyelesaikan permasalahan gerak dalam kejadian sehari-hari.

Materi Pokok :Usaha dan Energi.

A. USAHA“ … semua upaya untuk mencapai tujuan …”

Usaha bisa dikatakan sebagai kegiatan untuk mencapai sebuah tujuan dan selama itu harus ada energi yang dikeluarkan. Konsep FISIKA memberikan penjelasan bahwa USAHA merupakan sesuatu yang dihasilkan oleh gaya dan hal ini berkaitan dengan perpindahan.

Saat sebuah gaya dikerjakan pada sebuah benda maka akan ada kemungkinan benda tetap diam atau benda bergerak. Jika benda diam atau benda bergerak tetapi tidak mengalami perpindahan maka tidak ada usaha yang dihasilkan.

Gambar 4.1 Ilustrasi hubungan usaha dengan gaya dan perpindahan

Sebuah benda dikatakan mengalami perpindahan apabila posisi akhir berbeda dengan posisi awal. Secara matematis usaha merupakan besaran skalar yang dirumuskan dari perkalian titik (dot product)

,

dengan W : Usaha (Joule), F : Gaya (Newton), R : perpindahan (meter)

13

Grafik gaya tehadap perpindahan menunjukkan besarnya usaha dan ditunjukkan oleh luas grafik F-s.

Gambar 4.2 Usaha sebanding dengan luas grafik F – s.

Dengan catatan untuk luas grafik di bawah sumbu x bernilai negatif.

B. ENERGIEnergi merupakan kemampuan untuk melakukan usaha. Pada bagian ini, kita akan mempelajari

energi potensial gravitasi, energi kinetik, dan energi mekanik.

1. Energi Potensial GravitasiEnergi potensial gravitasi merupakan energi yang dimiliki benda karena posisi relatifnya

terhadap permukaaan bumi atau tanah. Jika suatu benda bemassa m berada pada ketinggian h dari tanah, maka energi potensial gravitasi benda tersebut dinyatakan dengan

EP = m. g. h

dengan EP = energi potensial gravitasi (Joule), m = massa benda (kg),

g = percepatan gravitasi bumi (m/s2), dan h = ketinggian benda dari tanah (m)

Jika dihubungkan dengan usaha, maka usaha merupakan perubahan energi potensial gravitasi.

W = ΔEP = EP2 – EP1

= mg (h2 – h1)

2. Energi Kinetik TranslasiEnergi kinetik merupakan energi yang dimiliki benda karena benda tersebut bergerak pada

linstasan lurus. Jika suatu benda bermassa m bergerak dengan kecepatan v, maka energi kinetik benda tersebut dinyatakan dengan

EK=12

m v2

Dengan EK = energi kinetik (Joule), m = massa benda (kg)

v = kecepatan benda (m/s)

Jika dihubungkan dengan usaha, maka usaha merupakan perubahan energi kinetik

W =∆ EK=EK 2−EK 1

¿ 12

m(v2−v1)

14

3. Energi MekanikEnergi mekanik merupakan hasil penjumlahan energi potensial dan energi kinetik.

EM = EP + EK

Pada energi mekanik ini berlaku Hukum Kekekalan Energi Mekanik. Artinya besar energi mekanik di posisi manapun selalu tetap.

EM1 = EM2

EP1 + EK1 = EP2 + EK2

mgh1+12

mv12=mgh2+

12

mv22

C. SOAL LATIHAN(1) UN Fisika 2009 P45 No. 13Sebuah meja massanya 10 kg mula-mula diam di atas lantai licin, didorong selama 3 sekon bergerak lurus dengan percepatan 2 m.s−2. Besarnya usaha yang terjadi adalah....A. 20 joule D. 180 jouleB. 30 joule E. 360 jouleC. 60 joule

(2) UN Fisika 2010 P04 No. 8Perhatikan gambar perpindahan balok, sebagai berikut. 

Anggap g = 10 m.s-2

Jika koefisien gesekan kinetik antara balok dan lantai μk = 0,5, maka nilai perpindahan benda (S) adalah....A. 5,00 m D. 2,50 mB. 4,25 m E. 2,00 mC. 3,00 m

(3) UN Fisika 2011 P12 No. 10Odi mengendarai mobil bermassa 4.000 kg di jalan lurus dengan kecepatan 25 m.s−1. Karena melihat kemacetan dari jauh dia mengerem mobil sehingga kecepatan mobilnya berkurang secara teratur menjadi 15 m.s−1. Usaha oleh gaya pengereman adalah....A. 200 kJ D. 700 kJB. 300 kJ E. 800 kJC. 400 kJ

(4)   UN Fisika 2012 A86 No. 9 Sebuah benda bermassa 2 kg bergerak dengan kecepatan 2 m s−1 . Beberapa saat kemudian benda itu bergerak dengan kecepatan 5 m s−1. Usaha total yang dikerjakan pada benda adalah....A. 4 J D. 21 JB. 9 J E. 25 JC. 15 J

(5) UN Fisika 2013

15

Sebuah bola bermassa 500 gram dilempar vertical ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 10 m/s. Jika g = 10 ms – 2 , maka usaha yang dilakukan gaya berat pada saat mencapai tinggi maksimum adalah …A. 2,5 J D. 50 JB. 5,0 J E. 500 JC. 25 J

(6) UN Fisika 2013Sebuah bola bermassa 1 kg dijatuhkan tanpa kecepatan awal dari atas gedung melewati jendela A di lantai atas ke jendela B di lantai bawah dengan beda tinggi 2,5 m ( g = 10 m.s – 2 ). Berapa besar usaha untuk perpindahan bola dari jendela A ke jendela B tersebut ?A. 5 J D. 25 JB. 15 J E. 50 JC. 20 J

(7) UN Fisika 2013Perhatikan gambar ! Balok bergerak pada lantai dari posisi A dan di posisi B balok berhenti. Besar usaha oleh gaya gesekan lantai pada balok adalah …A. 20.000 J D. 2.000 JB. 10.000 J E. 1.000 JC. 8.000 J

(8) UN Fisika 2013Sebuah mobil bermassa 200 kg dari keadaan diam bergerak dipercepat hingga mencapai kecepatan 10 ms – 1 dan g = 10 ms – 2. Besar usaha yang dilakukan mobil tersebut adalah …A. 100 J D. 10.000 JB. 200 J E. 20.000 J

C. 1.000 J

(9) UN Fisika 2014Sebuah benda berbentuk silinder berongga (I = mR2) bergerak menggelinding tanpa tergelincir mendaki bidang miring kasar dengan kecepatan awal 10 ms – 1 . Bidang miring itu mempunyai sudut elevasi α dengan tan α = 0,75. Jika kecepatan gravitasi 10 ms – 2 dan kecepatan benda itu berkurang menjadi 5 ms-1 maka jarak pada bidang miring yang ditempuh benda tersebut adalah …A. 12,5 m D. 5 mB. 10 m E. 2,5 mC. 7,5 m

(10) UN Fisika 2014Sebuah silinder pejal ( I = ½ mR2 ) dengan massa 3 kg bergerak menggelinding tanpa tergelincir mendekati bidang miring kasar yang mempunyai sudut elevasi α dengan sin α = 0,6. Jika percepatan gravitasi g = 10 m.s – 2 dan kecepatan awal benda itu 10 m.s – 2 maka panjang lintasan miring itu yang ditempuh benda sebelum berhenti adalah A. 9,5 m D. 12,5 mB. 10,5 m E. 13,5 mC. 11,5 m

(11) UN Fisika 2014Sebuah benda berbentuk cincin (I = mR2) bergerak menggelinding tanpa tergelincir mendaki bidang miring kasar yang mempunyai sudut kemiringan α dengan cos α = 0,8. Jika percepatan gravitasi g = 10 m.s2 dan kecepatan awal benda itu 10 m.s – 1 , maka panjang lintasan bidang miring yang ditempuh benda sebelum berhenti adalah …

(12) UN Fisika 2008 P4 No. 11Sebuah benda A dan B bermassa sama. Benda A jatuh dari ketinggian h meter dan benda B dari 2 h meter. Jika A menyentuh tanah dengan kecepatan v m.s−1, maka benda B akan menyentuh tanah dengan energi kinetik sebesar.... A. 2 mv2 D. 1/2 mv2

B. mv2  E. 1/4 mv2

C. 3/4 mv2

(13) UN Fisika 200 P4 No. 13Perhatikan gambar berikut! [g = 10 m.s−2] 

16

Kecepatan bola ketika tiba ditanah adalah.... A. 5√6 m.s−1  D. 2√5 m.s−1 B. 3√6 m.s−1  E. 2√3 m.s−1 C. 2√6 m.s−1 

(14) UN Fisika 2009 P04 No. 12Perhatikan gambar di samping! 

Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian 20 m. Jika percepatan gravitasi bumi 10 m.s−2 , maka kecepatan benda pada saat berada 15 m di atas tanah adalah.... A. 2 m/s D. 15 m/sB. 5 m/s E. 20 m/sC. 10 m/s

(15) UN Fisika 2009 P45 No. 11Sebuah balok ditahan di puncak bidang miring seperti gambar. 

Ketika dilepas, balok meluncur tanpa gesekan sepanjang bidang miring. Kecepatan balok ketika tiba di dasar bidang miring adalah ... A. 6 m.s−1  D. 12 m.s−1 B. 8 m.s−1  E. 16 m.s−1 C. 10 m.s−1 

(16) UN Fisika 2010 P04 No. 11Sebuah balok bermassa m kg dilepaskan dari puncak bidang miring yang licin seperti gambar. Perbandingan energi potensial dan energi kinetik balok ketika berada dititik M adalah....

A. Ep : Ek = 1 : 3 D. Ep : Ek = 2 : 3B. Ep : Ek = 1 : 2 E. Ep : Ek = 3 : 2C. Ep : Ek = 2 : 1

(17) UN Fisika 2010 P37 No. 4Sebuah benda jatuh bebas dari posisi A seperti gambar.

17

Perbandingan energi potensial dan energi kinetik benda ketika sampai di B adalah.....A.3 : 2 D. 2 : 3B. 3 : 1 E. 1 : 3C. 2 : 1

(18) UN Fisika 2011 P12 No. 14Sebuah bola bermassa 0,1 kg dilempar mendatar dengan kecepatan 6 m.s−1 dari atap gedung yang tingginya 5 m. Jika percepatan gravitasi di tempat tersebut 10 m.s−2, maka energi kinetik bola pada ketinggian 2 m adalah....A. 6,8 joule D. 3 jouleB. 4,8 joule E. 2 jouleC. 3,8 joule

(19) UN Fisika SMA 2013Sebuah bola yang massanya 2 kg jatuh bebas dari posisi A yang ketinggiannya 90 meter (g=10 m.s–2 ). Ketika sampai di titik B besar energi kinetik sama dengan 2 kali energi potensial, maka tinggi titik B dari tanah adalah …A. 80 m D. 40 mB. 70 m E. 30 mC. 60 m

(20) UN Fisika SMA 2014Sebuah bola bermassa 1 kg dilepas dan meluncur dari posisi A ke posisi C melalui lintasan lengkung yang licin seperti gambar di bawah ini !

(21) UN Fisika SMA 2014Sebuah balok bermassa 2 kg meluncur dari puncak bidang miring yang licin, seperti tampak pada gambar. Besar energi kinetik balok saat sampai di dasar bidang miring adalah … (g = 10 m.s – 2)A. 10 joule D. 60 jouleB. 20 joule E. 80 jouleC. 40 joule

BAB V

18

Jika g = 10 m.s – 2 , maka energi kinetik bola di titik C adalah …A. 25,0 jouleB. 22,5 jouleC. 20,0 jouleD. 12,5 jouleE. 7,5 joule

MOMENTUM DAN IMPULS

Kompetensi Inti :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar :Mendeskripsikan momentum dan impuls, hukum kekekalan momentum, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Materi Pokok :Momentum dan Impuls.

A. MOMENTUMDi dalam fisika, dikenal dua macam momentum, yaitu momentum linear (p) dan momentum

angular (L). Pada bab ini hanya akan dibahas tentang momentum linear. Momentum suatu benda yang bergerak adalah hasil perkalian antara massa benda dan kecepatannya. Oleh karena itu, setiap benda yang bergerak memiliki momentum. Secara matematis, momentum linear ditulis sebagai berikut:

p = m v

p adalah momentum (besaran vektor), m massa (besaran skalar) dan v kecepatan (besaran vektor). Satuan momentum dalam SI adalah kg.m/s.

B. IMPULSImpuls didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dan lamanya gaya tersebut bekerja. Secara

matematis dapat ditulis: I = F . Δt

Impuls juga dapat dinyatakan sebagai perubahan momentum. Secara matematis dapat ditulis :

I = Δp = mv2 – mv1

C. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUMPada peristiwa semua tumbukan akan berlaku hukum kekekalan momentum, sehingga pada

proses tumbukan berlaku “momentum kedua benda sebelum tumbukan sama dengan momentum

kedua benda setelah tumbukan”, sehingga berlaku persamaan:

m1 v1+m2 v2=m1 v1' +m2 v2

'

p1+ p2=p1' + p2 '

D. JENIS – JENIS TUMUBUKAN

19

Jenis-jenis tumbukan dibedakan berdasarkan nilai koefisien tumbukan (koefisien restitusi) dari dua benda yang bertumbukan. Secara matematis, koefisien restitusi dapat dinyatakan dengan persamaan:

e=−v1

' −v2'

v1−v2

Dengan, e = koefisien restitusi (0 e 1)Peristiwa tumbukan antara dua buah benda dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, yaitu:

1. Tumbukan lenting sempurna.Tumbukan antara dua benda dikatakan lenting sempurna apabila jumlah energi kinetik benda

sebelum dan sesudah tumbukan tetap, sehingga nilai koefisien restitusi sama dengan 1 (e = 1). Sehingga pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekekalan momentum dan hukum kekekalan energi kinetik, persamaan yang digunakan adalah:

m1 v1+m2 v2=m1 v1' +m2 v2

' dan1=−v1

' −v2'

v1−v2

2. Tumbukan lenting sebagianPada tumbukan lenting sebagian, hukum kekekalan energi kinetik tidak berlaku karena terjadi

perubahan energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan. Pada tumbukan lenting sebagian hanya berlaku hukum kekekalan momentum saja dan koefisien restitusi tumbukan lenting sebagian mempunyai nilai di antara nol dan satu, dinyatakan dalam persamaan berikut:

m1 v1+m2 v2=m1 v1' +m2 v2

' dane=−v1

' −v2'

v1−v2

3. Tumbukan tidak lenting sama sekaliTumbukan antara dua buah benda dikatakan tidak lenting sama sekali adalah ketika sesudah

tumbukan kedua benda menjadi satu (bergabung), sehingga benda memiliki kecepatan sama yaitu v’.

v1' =v2

' =v '

Pada tumbukan tidak lenting sama sekali, jumlah energi kinetik benda sesudah tumbukan lebih kecil dibanding jumlah energi kinetik benda setelah tumbukan. Jadi pada tumbukan ini terjadi pengurangan energi kinetik.

Nilai koefisien restitusi pada tumbukan tidak lenting sama sekali adalah nol (e = 0). Sehingga pada tumbukan tidak lenting sama sekali berlaku persamaan berikut:

m1 v1+m2 v2=(m1+m2)v '

SOAL LATIHAN

20

(1) UN Fisika 2008 P16 No. 14Pada permainan bola kasti, bola bermassa 0,5 kg mula-mula bergerak dengan kecepatan 2 m.s−1. Kemudian bola tersebut dipukul dengan gaya F berlawanan dengan gerak bola, sehingga kecepatan bola berubah menjadi 6 m.s−1 . Bila bola bersentuhan dengan pemukul selama 0,01 sekon, maka perubahan momentumnya adalah....A. 8 kg.m.s−1 D. 4 kg.m.s−1

B. 6 kg.m.s−1 E. 2 kg.m.s−1

C. 5 kg.m.s−1

(2) UN Fisika 2009 P04 No. 13Dua bola A dan B mula-mula bergerak seperti pada gambar. 

Kedua bola kemudian bertumbukan, tidak lenting sama sekali. Kecepatan bola A dan B setelah tumbukan adalah....A. 1/2 m.s−1 D. 2 m.s−1

B. 1 m.s−1 E. 2 1/2 m.s−1

C. 1 1/2 m.s−1

(3) UN Fisika 2009 P45 No. 12Dua buah benda bermassa sama bergerak pada satu garis lurus saling mendekati seperti pada gambar! 

Jika v'2 adalah kecepatan benda (2) setelah tumbukan ke kanan dengan laju 5 m.s−1, maka besar kecepatan v'1 (1) setelah tumbukan adalah ...A. 7 m.s−1  D. 15 m.s−1 B. 9 m.s−1  E. 17 m.s−1 C. 13 m.s−1 

(4) UN Fisika 2010 P04 No. 12Sebuah peluru karet berbentuk bola massanya 60 gram ditembakkan horizontal menuju tembok seperti gambar. 

Jika bola dipantulkan dengan laju sama, maka bola menerima impuls sebesar....A. 12 N.sB. 6 N.sC. 5 N.sD. 3 N.sE. 2 N.s

(5) UN Fisika 2010 P37 No. 3Sebutir peluru 20 gram bergerak dengan kecepatan  10 ms−1 arah mendatar menumbuk balok bermassa

21

60 gram yang sedang diam di atas lantai. Jika peluru tertahan di dalam balok, maka kecepatan balok sekarang adalah....A. 1,0 ms−1

B. 1,5 ms−1

C. 2,0 ms−1

D. 2,5 ms−1

E. 3,0 ms−1

(6) UN Fisika 2011 P12 No. 13Dua troli A dan B masing-masing 1,5 kg bergerak saling mendekati dengan vA = 4 m.s−1 dan vB = 5 m.s−1 seperti pada gambar. Jika kedua troli bertumbukan tidak lenting sama sekali, maka kecepatan kedua troli sesudah bertumbukan adalah.... 

A. 4,5 m.s−1 ke kananB. 4,5 m.s−1 ke kiriC. 1,0 m.s−1 ke kiriD. 0,5 m.s−1 ke kiriE. 0,5 m.s−1 ke kanan 

(7) UN Fisika 2013 Bola pingpong bermassa 5 gram jatuh bebas dari ketinggian tertentu (g = 10 m.s – 2). Saat menumbuk lantai dengan kecepatan bola 6 m.s – 1 dan sesaat setelah menumbuk lantai bola terpantul ke atas dengan kecepatan 4 m.s – 1 . Besar impuls yang bekerja pada bola adalah …A. 0,50 Ns D. 0,05 NsB. 0,25 Ns E. 0,01 NsC. 0,10 Ns

(8) Sebuah bola bermassa 0,2 kg dilepaskan dari ketinggian 20 m tanpa kecepatan awal. Bola kemudian mengenai lantai dan terpantul kembali sampai ketinggian 5 m. ( g = 10 ms – 2 ). Impuls yang bekerja pada bola adalah …A. 2 Ns D. 8 NsB. 4 Ns E. 10 NsC. 6 Ns

(9) Bola bekel bermassa 200 gram dijatuhkan dari ketinggian 80 cm tanpa kecepatan awal. Setelah menumbuk lantai bola bekel memantul kembali dengan kecepatan 1 m.s – 1 . Besar impuls pada bola saat mengenai lantai adalah …A. 1,6 NsB. 1,5 NsC. 1,0 NsD. 0,8 NsE. 0,6 NS

(10) Dua buah bola masing-masing bermassa m1 = 2 kg dan m2 = 1 kg menggelinding berlawanan arah dengan kelajuan v1 = 2 ms – 1 dan v2 = 4 ms – 1 . Kedua bola kemudian bertumbukan dan setelah tumbukan keduanya saling menempel. Kecepatan kedua bola setelah tumbukan adalah …A. 2 ms – 1

B. 1,2 ms – 1

C. 1 ms – 1

22

D. 0,5 ms – 1

E. nol

(11) Dua benda A dan B masing-masing bermassa 4 kg dan 5 kg bergerak berlawanan arah dengan kecepatan masing-masing benda vA = 6 ms – 1 dan vB. Keduanya kemudian bertumbukan dan setelah tumbukan kedua benda berbalik arah dengan kecepatan A = 4 ms – 1 dan kecepatan B = 2 ms – 1

, maka kecepatan benda B sebelum tumbukan adalah …A. 6 ms – 1

B. 3 ms – 1

C. 1,6 ms – 1

D. 1,2 ms – 1

E. 0,4 ms – 1

(12) Dua bola A dan B bermassa masing-masing 600 kg dan 400 kg bergerak berlawanan arah saling mendekati. Kedua bola bertumbukan sehingga benda B terpental dalam arah berlawanan dengan arah datangnya dengan kecepatan 5 ms – 1 . Kecepatan bola A setelah tumbukan adalah …

(13) Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian X seperti pada gambar berikut. Jika ketinggian bola pada saat pantulan pertama 50 cm dan pantulan kedua 20 sm, maka besar X adalah …

23

A. 6,6 ms-1

B. 6,0 ms-1

C. 4,4 ms-1

D. 1,4 ms-1

E. 0,66 ms-1

A. 7 mB. 6 mC. 5 mD. 4 mE. 2 m