model volatilitas arch(1) untuk returns dengan error...

23

LAMPIRAN

24

Lampiran 1. Skema MCMC untuk model ARCH(1) non-central Student-t

1. Inisialisasi a0, b0, 0, dan z0.

2. Pembangkitan .

Distribusi posterior bersyarat untuk diberikan oleh

.

Dalam kasus ini, bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi normal yaitu

.

dengan dan

3. Pembangkitan .


),,,,|(,|)( 1 tttttIGt RRbazgzfzp ,

25

dengan 2

1

,

,,...,2,)(2

)(

,1,2

)1(

2

1

2

1

2

2

1

TtbRa

bRaR

ta

aRb

t

ttt

.,...,2,exp

,1,)1(

exp

),,,,|(

21

21

21

21

2

1

1

1

1

TtzbRa

R

taz

Rb

RRbazg

tt

t

ttt

Dalam hal ini, posterior zt tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter zt

dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH dengan proposalnya yaitu

),(~*

tt IGz dan rasio penerimaannya yaitu:

),,,,|(

),,,,|(,

1

1

**

ttt

ttttt

RRbazg

RRbazgzzr

.

4. Pembangkitan

Distribusi posterior bersyarat untuk v diberikan oleh

.

Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk :

Nilai dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, dengan proposal untuk yaitu

dan probabilitas penerimaannya yaitu .

Dicari modus posterior dari , artinya bahwa . Dalam kasus ini

dan ditentukan dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku

distribusi di sekitar modus. Lebih lanjut diperoleh bahwa derivatif pertama dan kedua

dari berturut-turut yaitu:

26

Kemudian dan . Namun, bisa bernilai positif, karena

itu diambil dengan .

27

Lampiran 2. Skema MCMC untuk model ARCH(1) Skewed Student-t

1. Inisialisasi a0, b0, 0, dan z0.

2. Membangkitkan nilai acak RZ,,,,| kba .

Distribusi posterior bersyarat untuk a diberikan oleh

Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk a:

Nilai a dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, dengan proposal untuk a yaitu


Dicari modus posterior dari , artinya bahwa . Diperoleh bahwa

derivatif pertama dan kedua dari berturut-turut yaitu

28

Kemudian dan . Namun bisa bernilai positif, karena


3. Membangkitkan nilai acak RZ,,,,| kab

Distribusi posterior bersyarat untuk a diberikan oleh

Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk b:

29

Nilai b dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, dengan proposal untuk b yaitu


Dicari modus posterior dari , artinya bahwa . Diperoleh bahwa

derivatif pertama dan kedua dari berturut-turut yaitu

Kemudian dan . Namun bisa bernilai positif, karena


30

4. Membangkitkan nilai acak RZ,,,,| bak

Distribusi posterior bersyarat untuk k diberikan oleh

Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk k:

dengan dan . Dalam kasus ini, bisa dibangkitkan secara

langsung dari distribusi normal yaitu dimana:

dan

5. Membangkitkan nilai-nilai acak R,,,,| kbazt


dengan , , t=1,...,T

Nilai dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, dengan proposalnya yaitu

dan rasio penerimaannya yaitu .

31

6. Membangkitkan nilai acak RZ,,,,| bak

Distribusi posterior bersyarat untuk v diberikan oleh

Diambil logaritma distribusi posterior bersyarat untuk :

Nilai dibangkitkan menggunakan metode IC-MH, dengan proposal untuk yaitu


7. Kembali ke langkah 2

32

Lampiran 3. Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH(1) noncentral Student-t

3.1 Kode Utama

function hasil=archnct_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH(1)

% R_t = sigma_t * zt^0.5 * (miu+xhi_t), xhi_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% -------------------------------------------------------------------------

% Algoritma: MCMC

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan: Rt = Returns = 100*[(log(S_t)-log(S_{t-1}))- 1/T*sum((log(S_t)-

log(S_{t-1}))],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha_b beta_b miu_c var_c alpha_nu

beta_nu], untuk prior

% a ~ exp(lambda), b ~ beta(alpha_b,beta_b),

% c ~ Normal(miu_c,var_c),

% dan nu ~ Gamma(alpha_nu, beta_nu)

% -------------------------------------------------------------------------

% Keluaran: hasil.draws = draws

% ----- I: Inisialisasi

T = length(Rt);

R2 = Rt.^2;

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

%prior untuk c

muc=HP(4); varc=HP(5);

% prior untuk nu

alpnu = HP(6); betnu = HP(7);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1; nu = 20;

zt = 1./gamrnd(nu/2,2/nu,T,1);

% banyaknya replikasi

Nits = 15000;

BI = 5000;

N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan sampel

av = zeros(N,1);

bv = zeros(N,1);

cv = zeros(N,1);

nuv = zeros(N,1);

zv = zeros(T,1);

vol = zeros(T,1);

% ----- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan nilai acak mu

Vc = 1/(T+1/varc);

Mc = Vc*(Rt(1)*sqrt((1-b)/(a*zt(1)))...

+sum(Rt(2:T).*((a+b*R2(1:T-1)).*zt(2:T)).^(-0.5))+muc/varc);

c = normrnd(Mc,sqrt(Vc),1,1);

33

% --- pembangkitan nilai acak z

alpz = (nu+1)/2;

betz1 = 0.5*((1-b)*Rt(1)^2+a*nu)/a;

betz2 = (R2(2:T)+(a+b*R2(1:T-1)).*nu)./(2*(a+b*R2(1:T-1)));

betz = [betz1; betz2];

% pembangkitan proposal

zprop = 1./gamrnd(alpz,1./betz);

% mengevaluasi probabilitas penerimaan

gzold1 = (sqrt(1-b)*c*Rt(1)./(a*zt(1))^(-0.5));

gzold2 = (c*Rt(2:T)./(sqrt(a+b*R2(1:T...

-1).*sqrt(zt(2:T)))));

gzold = [gzold1; gzold2];

gznew1 = (sqrt(1-b)*c*Rt(1)*(a*zprop(1))^(-0.5));

gznew2 = (c*Rt(2:T)./(sqrt(a+b*R2(1:T...

-1).*sqrt(zprop(2:T)))));

gznew = [gznew1; gznew2];

ratio = exp(gznew-gzold);

% pembaharuan

u = rand(T,1);

minrat = min(1,ratio);

ind = find(u<=minrat);

zt(ind) = zprop(ind);

% mencari rata-rata dan variansi untuk proposal bersyarat

hpv = [alpnu betnu];

mv = bisection_nu(hpv,zt); % rata-rata

d2v = 0.5*T/mv-T/4*psi(1,mv/2)-(alpnu-1)/mv^2;

Dv = min(-0.0001,d2v);

s2v = -1/Dv; %variansi

% algoritma IC-MH

% pembangkitan proposal nu*

pr = truncnormrnd(1,mv,sqrt(s2v),2.1,40);


log_pv = 0.5*pr*T*log(pr/2)-T*gammaln(pr/2)-pr/2 ...

*sum(log(zt)+1./zt)+(alpnu-1)*log(pr)-betnu*pr;

post_pr = exp(log_pv);

log_pv = 0.5*nu*T*log(nu/2)-T*gammaln(nu/2)-nu/2 ...

*sum(log(zt)+1./zt)+(alpnu-1)*log(nu)-betnu*nu;

post_o = exp(log_pv);

ratio = post_pr/post_o;

ap = min(1,ratio);

% pembangkitan variabel acak seragam

u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, nu = pr; end

% --- pembangkitan sampel a

% mencari rata-rata dan variansi untuk distribusi proposal

hp1 = lamd;

m_a = bisection_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,'a'); % rata-rata

d2a = 1/(2*m_a^2)+0.5*sum(1./(m_a+b*R2(1:T-1)).^2)...

-0.5*(1-b)*R2(1)/(m_a^3*zt(1))-(0.25*c*Rt(1)*(1...

-b)^2./((1-b)/m_a*zt(1))^(0.5)*m_a^(4)*zt(1)^2)...

+c*Rt(1)*(1-b)./sqrt((1-b)./m_a*zt(1))*m_a^(3)*zt(1)...

-sum(R2(2:T)./((m_a+b*R2(1:T-1)).^3.*zt(2:T)))...

+0.75*sum(c*Rt(2:T)./(m_a+b*Rt(1:T...

-1).^(2.5).*sqrt(zt(2:T))));

Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a = -1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% pembagkitan proposal a*

34

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1);


log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*sum(log(pr+b*R2(1:T-1)))...

-0.5*(1-b)*R2(1)/(pr*zt(1))...

+sqrt(1-b/pr*zt(1)*c*Rt(1))...

-0.5*sum((R2(2:T)./((pr+b*R2(1:T-1)).*zt(2:T)))...

+(c*Rt(2:T)./(sqrt(pr+b*R2(1:T-1)).*sqrt(zt(2:T)))))...

-lamd*pr; % F(pr)

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*sum(log(a+b*R2(1:T-1)))...

-0.5*(1-b)*R2(1)/(a*zt(1))-...

+sqrt(1-b/a*zt(1)*c*Rt(1)) ...

-0.5*sum((R2(2:T)./((a+b*R2(1:T-1)).*zt(2:T))) ...

+(c*Rt(2:T)./(sqrt(a+b*R2(1:T-1)).*sqrt(zt(2:T)))))...

-lamd*a; % F(a)

post_o = exp(log_pa);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan nilai acak b


mup = alp; Vp = bet;

hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,'b'); % rata-rata

d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((R2(1:T-1).^2)./((a+m_b*R2(1:T...

-1)).^2))-0.25*c*Rt(1)/((1...

-m_b/a*zt(1)).^(1.5)*a^2*zt(1)^2)...

-sum(((R2(1:T-1).^2).*(R2(2:T)))...

./((a+m_b*R2(1:T-1)).^3.*zt(2:T)))...

+0.75*sum(R2(1:T-1).^(2)*c.*Rt(2:T)./(a+m_b*Rt(1:T...

-1).^(2.5).*sqrt(zt(2:T))))...

-(alp-1)/(m_b^2)-(bet-1)/(1-m_b)^2;

Db = min(-0.0001,d2b);

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1);


log_pb = 0.5*log(1-pr)-0.5*sum(log(a+pr*R2(1:T-1)))...

-0.5*(1-pr)*R2(1)/(a*zt(1))...

+sqrt(1-pr/a*zt(1))*c*Rt(1)...

-0.5*sum((R2(2:T)./(a+pr*R2(1:T-1).*zt(2:T)))...

+c*Rt(2:T)./sqrt(a+pr*R2(1:T-1)).*sqrt(zt(2:T)))...

+(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

log_pb = 0.5*log(1-b)-0.5*sum(log(a+b*R2(1:T-1)))...

-0.5*(1-b)*R2(1)/(a*zt(1))...

+sqrt(1-b/a*zt(1))*c*Rt(1)...

-0.5*sum((R2(2:T)./(a+b*R2(1:T-1).*zt(2:T)))...

+c*Rt(2:T)./sqrt(a+b*R2(1:T-1)).*sqrt(zt(2:T)))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, b = pr; end

35

% pengestimasian sigma

volt = [a/(1-b); a+b*R2(1:T-1)];

% simpan a, b, c, dan nu

if its > BI

av(its-BI,1) = a;

bv(its-BI,1) = b;

cv(its-BI,1) = c;

nuv(its-BI,1) = nu;

zv = ((its-BI-1)*zv+zt)/(its-BI);

vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI);

end

end

toc

% ----- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo

draws = [av bv cv nuv];

MP = mean(draws);

SP = std(draws);

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================

% Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel

% yang independent (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws);

IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:));

meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:));

meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb);

onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

resultsHPD = HPD(draws,0.05);

LB = [resultsHPD.LB];

UB = [resultsHPD.UB];

% % ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

resultsNSE = NSE(draws);

NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Pengaturan Pencetakan Hasil =======================

%----- Statistik Parameter

in.cnames = char('a','b','c','nu');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD','p-

Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,'Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnostik\n');

mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol;

hasil.zv = zv;

hasil.av = av;

36

hasil.bv = bv;

hasil.cv = cv;

hasil.nuv = nuv;

hasil.draws = draws;

%========== Calculate Marginal likelihood by Gelfand-Dey (1994) ===========

theta = draws';

[npar,ndraw] = size(theta);

mvn_mean = mean(theta,2);

mvn_cov = cov(theta');

inv_mvn_cov = inv(mvn_cov);

%----- POSTERIOR

% domain

truncate_val = zeros(1,ndraw);

for i = 1:ndraw

draw_element = theta(:,i);

truncate_val(i) = (draw_element-mvn_mean)' * inv_mvn_cov...

* (draw_element-mvn_mean);

end

critical_value = chi2inv(0.99,npar);

truncate_index = truncate_val > critical_value;

source_pdf_log = mvn_pdf_log(theta,mvn_mean(:,ones(ndraw,1)),mvn_cov) ...

- log(0.99);

source_pdf_log(truncate_index) = -inf;

%----- PRIOR

% a

prior_pdf_a_log = log(lamd)-lamd*av';

% b

prior_pdf_b_log = -betaln(alp,bet)+(alp-1).*log(bv')+(bet-1).*log(1-bv');

% c

prior_pdf_c_log = -1/2*log(2*pi*varc) - 1/2*(cv'-muc).^2/varc;

% nu

prior_pdf_nu_log = -gammaln(alpnu)+alpnu.*log(betnu)+(alpnu-1).*log(nuv')-

betnu.*nuv';

% LOG TOTALLY PRIOR

prior_pdf_log = sum(prior_pdf_a_log) + prior_pdf_b_log ...

+ prior_pdf_c_log + prior_pdf_nu_log;

% LIKELIHOOD

likelihood_log = zeros(1,ndraw);

for i = 1:ndraw

likelihood_log(i) = ARCHnct_likelihood(Rt,zt,draws(i,:));

end

GD_log = source_pdf_log - prior_pdf_log - likelihood_log;

constant = max(GD_log);

ML_GD = -constant - log(mean(exp(GD_log - constant)))

3.2 Kode bisection

function mv = bisection_nu(hpv,zt)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(v)= 0 menggunakan metode bagi dua

%

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan : hpv = nilai prior v

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% ---------------------------------------------------------------------

37

% keluaran : mv = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

bb = 2.1;

ba = 100;

if diffFnu(hpv,zt,bb) == 0 % derivatif pertama

mv = bb;

return;

elseif diffFnu(hpv,zt,ba) == 0

mv = ba;

return;

elseif diffFnu(hpv,zt,bb)*diffFnu(hpv,zt,ba) > 0

error( 'diffFnu(a) and diffFnu(b) do not have opposite signs' );

end

while abs(ba - bb) >= eps_step

x = (ba + bb)/2;

if diffFnu(hpv,zt,x) == 0

mv = x;

return;

elseif diffFnu(hpv,zt,x)*diffFnu(hpv,zt,ba) < 0

bb = x;

else

ba = x;

end

end

mv=x;

3.3 Kode bisection NCT function mab = bisection_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode

% bagi dua

%

% ---------------------------------------------------------------------

% Masukan : Rt = returns

% R2 = returns^2

% a = nilai a

% b = nilai b

% c = nilai miu

% hp1 = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% par = 'a' atau 'b'

% ----------------------------------------------------------------------

% keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-5;

ba = 1;

elseif par == 'b'

bb = 0;

ba = 1;

end

if diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,bb,par) == 0 %derivatif pertama

mab = bb;

return;

elseif diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,ba,par) == 0

mab = ba;

return;

elseif

diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,ba,par)*diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,bb,par)

> 0

error( 'diffARCH(ba) and diffARCH(bb) do not have opposite signs' );

38

end

while abs(bb - ba) >= eps_step

x = (ba + bb)/2;

if diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,c,par) == 0

mab = x;

return;

elseif

diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,c,par)*diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,ba,par)

< 0

bb = x;

else

ba = x;

end

end

mab = x;

3.4 Kode untuk turunan pertama F() function y = diffFnu(hpv,zt,nu)

% Tujuan : Mengitung F’(v)

% -----------------------------------------------------------------------

% Masukan : hpv = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% nu = nilai v

% -----------------------------------------------------------------------

% keluaran : y = nilai turunan pertama

T=length(zt);

%derivatif pertama

y = T/2*(log(nu/2)+1-psi(nu/2))-0.5*sum(log(zt)+1./zt)+(hpv(1)-1)/nu-hpv(2);

4.5 Kode untuk turunan pertama F(a) dan F(b) function Fab = diffARCH_nct(Rt,R2,a,b,c,hp1,zt,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(a) atau F’(b)

% ---------------------------------------------------------------------


% R2 = returns^2

% a = nilai a

% c = nilai miu

% hp1 = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua


% ---------------------------------------------------------------------

% keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par =='a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts;

lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)-0.5*sum(1./(a+b*R2(1:end-1)))...

+0.5*(1-b)*R2(1)/(a^2*zt(1))...

-2*(1-b)^2*R2(1)./(a^3+zt(1).^2)...

+0.5*sum(((R2(2:end))./((a+b*R2(1:end-1)).^2.*zt(2:end)))...

-c*Rt(2:end)./(a+b*R2(1:end-1)).^(1.5).*sqrt(zt(2:end)))...

-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))...

-0.5*sum(R2(1:end-1)./(a+b*R2(1:end-1)))...

+R2(1)/(2*a*zt(1))...

-0.5*c*Rt(1)/sqrt(1-b/a*zt(1))*a*zt(1)...

+0.5*sum(R2(1:end-1).*R2(2:end)./((a+b*R2(1:end...

-1)).^2.*zt(2:end)))-1.5*sum(R2(1:end...

-1).^2*c.*Rt(2:end)./(a+b*R2(1:end-1)).^2.5.*zt(2:end))...

39

+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

end

3.6 Kode likelihood NCT

function [log_likelihood] = ARCHnct_likelihood(R,zt,draws)

% Tujuan : Mencari log likelihood ARCH(1) NCT

%

% ---------------------------------------------------------------------

% Masukan : R = returns

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% draws = [av bv cv nuv]

% ----------------------------------------------------------------------

% keluaran : log_likelihood

T = max(size(R));

sig2 = zeros(T,1);

sig2(1) = draws(1)/(1-draws(2));

var(1) = sig2(1)*zt(1);

y2(1) = (R(1)-sqrt(var(1))*draws(3))^2;

log_likelihood = -0.5*log(2*pi*var(1)) -0.5*y2(1)/var(1);

for i=2:T

sig2(i) = draws(1) + draws(2)*R(i-1)^2;

var(i) = sig2(i)*zt(i);

y2(i) = (R(i)-sqrt(var(i))*draws(3))^2;

log_likelihood = log_likelihood -0.5*log(2*pi*var(i)) -0.5*y2(i)/var(i);

end

3.7 Kode untuk memanggil hasil estimasi clc

clear all

%data

data1=csvread('jpy_kursbeli.csv'); data1 = data1(end-1471:end);

data2=csvread('eur_kursbeli.csv'); data3 = data3(end-1471:end);

Rjpy=100*price2ret(data1);

Rjpy=Rjpy-mean(Rjpy);

Reur=100*price2ret(data2);

Reur=Reur-mean(Reur);

lamd=1;

alpb=2.5;

betb=3;

alpnu=16;

betnu=0.8;

muc=0;

varc=1;

HP=[lamd alpb betb muc varc alpnu betnu];

hasil = archnct_mcmc(Rjpy,HP);

vol = hasil.vol ;

zv = hasil.zv;

av = hasil.av;

bv = hasil.bv;

cv = hasil.cv;

nuv = hasil.nuv;

draws = hasil.draws;

% ========== Save data ====================================================

dlmwrite('F:\nct\HASIL\eur_nct_draws.csv',draws,'delimiter',',','precision','%0

.16f')

40

3.8 Kode Pendukung

Kode truncnormrnd, IACT, momentg, HPD, NSE, mprint, dan mvn_pdf_log dapat

dilihat dalam Nugroho (2014).

41

Lampiran 4. Kode Matlab untuk Estimasi Model ARCH(1) Skewed Student-t

4.1 Kode Utama

function hasil=archskt_mcmc(Rt,HP)

% Tujuan: Mengestimasi parameter-parameter dalam model ARCH(1)

% R_t = sigma_t*(k*(zt-miu_z)+zt^0.5*xhi_t), xhi_t~N(0,1)

% sigma_t^2 = a + b*R_{t-1}^2

% -------------------------------------------------------------------------

% Algoritma: MCMC

% -------------------------------------------------------------------------

% Masukan: Rt = Returns = 100*[(log(S_t)-log(S_{t-1}))- 1/T*sum((log(S_t)-

log(S_{t-1}))],

% dimana S_t = nilai kurs pada saat t

% HP = Hyperparameter = [lambda alpha_b beta_b miu_k var_k alpha_nu

beta_nu], untuk prior

% a ~ exp(lambda), b ~ beta(alpha_b,beta_b),

% k ~ Normal(miu_k,var_k),

% dan nu ~ Gamma(alpha_nu, beta_nu)

% -------------------------------------------------------------------------

% Keluaran: hasil.draws = draws

% ----- I: Inisialisasi

T = length(Rt);

R2 = Rt.^2;

% prior untuk a

lamd = HP(1);

% prior untuk b

alp = HP(2); bet = HP(3);

%prior untuk k

muk=HP(4); vark=HP(5);

% prior untuk nu

alpnu = HP(6); betnu = HP(7);

% nilai awal

a = 0.1; b = 0.1; nu = 10;

zt = 1./gamrnd(nu/2,2/nu,T,1);

mz=nu/(nu-2);

sig2t=[a/(1-b); a+b*R2(1:T-1)];

% banyak replikasi

Nits = 15000;

BI = 5000;

N = Nits-BI;

% alokasi penyimpanan nilai-nilai acak

av = zeros(N,1);

bv = zeros(N,1);

kv = zeros(N,1);

nuv = zeros(N,1);

zv = zeros(T,1);

vol = zeros(T,1);

% ----- Algoritma MCMC. Step 1: Membangkitkan Rantai Markov

tic

for its = 1:Nits

% --- pembangkitan sampel k

At = sig2t.^(0.5).*(zt-mz);

42

Bt = sig2t.*zt;

sum1 = sum(At.^2./Bt);

sum2 = sum(-1./2*vark);

Vk = 1./(sum1+sum2);

Mk = Vk*sum(At.*Rt./Bt+muk/vark);

k = normrnd(Mk,sqrt(Vk),1,1);

% --- pembangkitan sampel z

alpz = (nu+1)/2;

betz = nu/2+R2/2+k*Rt.*sig2t.^(-0.5)*mz...

+k^2.*mz^2/2;

% pembangkitan proposal

zprop = 1./gamrnd(alpz,1./betz);


gzold = k*Rt.*sig2t.^(-0.5)-0.5*k^2*zt+k^2*mz*zt;

gznew = k*Rt.*sig2t.^(-0.5)-0.5*k^2*zprop+k^2*mz*zprop;

ratio = exp(gznew-gzold);


u = rand(T,1);

% pembaharuan

minrat = min(1,ratio);

ind = find(u<=minrat);

zt(ind) = zprop(ind);

% mencari rata-rata dan variansi untuk proposal bersyarat

hpv = [alpnu betnu];

mv = bisection_nuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt); % rata-rata

ddv =sum(-4*k./(sig2t.^(0.5).*zt)*(mv-2)^(-4).*((mv-2)*(Rt-

sig2t.^(0.5).*k.*zt...

+sqrt(sig2t).*k.*(mv/(mv-2))).*sqrt(sig2t).*k) );

d2v = ddv +0.5*T/mv-T/4*psi(1,mv/2)-(alpnu-1)/mv^2;

Dv = min(-0.0001,d2v);

s2v = -1/Dv; %variansi

% algoritma IC-MH

% pembangkitan proposal nu*

pr = truncnormrnd(1,mv,sqrt(s2v),2.1,40);


log_pv = -0.5*sum((2*Rt*k.*sig2t.^(-0.5)*pr/(pr-2)...

+k^2.*(-2.*zt*pr/(pr-2)+(pr/(pr-2))^2))./zt)...

+0.5*pr*T*log(pr/2)-T*gammaln(pr/2) ...

-pr/2*sum(log(zt)+1./zt)+(alpnu-1)*log(pr)-betnu*pr;

post_pr = exp(log_pv);

log_pv = -0.5*sum((2*Rt*k.*sig2t.^(-0.5)*(nu./(nu-2))...

+k^2*(-2*zt*(nu/(nu-2))+(nu./(nu-2))^(2)))./zt)...

+0.5*nu*T*log(nu/2)-T*gammaln(nu/2)-nu/2 ...

*sum(log(zt)+1./zt)+(alpnu-1)*log(nu)-betnu*nu;

post_o = exp(log_pv);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, nu = pr; end

mz = nu/(nu-2);

% --- pembangkitan sampel a


hp1 = lamd;

m_a = bisection_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,'a'); % rata-rata

d2a = 1/(2*m_a^2)+0.5*sum(1./(m_a+b*R2(1:T-1)).^2)...

-0.5*(1-b)*R2(1)/(m_a^3*zt(1))-(0.25*k*Rt(1)...

*(1-b)^2)./(((1-b)/m_a*zt(1))^(1.5)*m_a^(4))...

+k*Rt(1)*(1-b)./sqrt((1-b)./m_a*m_a^(3)...

-(0.75)*k*Rt(1)*mz)./((m_a/(1-b))^(2.5)*zt(1)*(1-b)^(2))...

43

-sum(R2(2:T)./((m_a+b*R2(1:T-1)).^3.*zt(2:T)))...

+0.75*sum(k*Rt(2:T)./(m_a+b*Rt(1:T-1).^(2.5)))...

-0.75*sum((k*Rt(2:T).*mz)./(m_a...

+b*Rt(1:T-1).^(2.5).*zt(2:T))));

Da = min(-0.0001,d2a);

s2_a = -1/Da; % variansi

% algoritma IC-MH

% pembagkitan proposal a*

pr = truncnormrnd(1,m_a,sqrt(s2_a),1e-4,1);


log_pa = -0.5*log(pr)-0.5*sum(log(pr+b*R2(1:T-1)))-...

0.5*(1-b)*R2(1)/(pr*zt(1))-...

+sqrt((1-b)/pr)*k*Rt(1)...

-(k*Rt(1)*mz)./(sqrt(pr/(1-b)).*zt(1))...

-0.5*sum(R2(2:T)./((pr+b*R2(1:T-1)).*zt(2:T)) ...

+(k*Rt(2:T)./(sqrt(pr+b*R2(1:T-1))))...

-(k*Rt(2:T)*mz./(sqrt(pr+b*R2(1:T-1))).*zt(2:T)))...

-lamd*pr; % F(pr)

post_pr = exp(log_pa);

log_pa = -0.5*log(a)-0.5*sum(log(a+b*R2(1:T-1)))-...

0.5*(1-b)*R2(1)/(a*zt(1))-...

+sqrt((1-b)/a)*k*Rt(1)...

-(k*Rt(1)*mz)./(sqrt(a/(1-b)).*zt(1))...

-0.5*sum(R2(2:T)./((a+b*R2(1:T-1)).*zt(2:T))...

+(k*Rt(2:T)./(sqrt(a+b*R2(1:T-1))))...

-(k*Rt(2:T)*mz./(sqrt(a+b*R2(1:T-1))).*zt(2:T)))...

-lamd*a; % F(a)

post_o = exp(log_pa);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, a = pr; end

% --- pembangkitan sampel b


mup = alp; Vp = bet;

hp1 = [mup Vp];

m_b = bisection_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,'b'); % rata-rata

d2b = -0.5/(1-m_b)^2+0.5*sum((R2(1:T-1).^2)./((a+m_b*R2(1:T...

-1)).^2))-0.25*k*Rt(1)/((1-m_b/a).^(1.5)*a^2)...

+0.25*k*Rt(1)*mz/((1-m_b/a).^(1.5)*a^2.*zt(1))...

-sum(((R2(1:T-1).^2).*(R2(2:T)))./((a+m_b*R2(1:T...

-1)).^3.*zt(2:T)))+0.75*sum(R2(1:T...

-1).^(2)*k.*Rt(2:T)./(a+m_b*Rt(1:T-1).^(2.5)))...

-0.75*sum(R2(1:T-1).^(2)*k.*Rt(2:T)*mz./(a+m_b*Rt(1:T...

-1).^(2.5).*zt(2:T)))-(alp-1)/(m_b^2)-(bet-1)/(1-m_b)^2;

Db = min(-0.0001,d2b);

s2_b = -1/Db; % variansi

% algoritma IC-MH

% pembangkitan proposal b*

pr = truncnormrnd(1,m_b,sqrt(s2_b),0,1);


log_pb =0.5.*log(1-pr)-0.5.*sum(log(a+pr.*R2(1:T-1)))...

-0.5.*(1-pr).*R2(1)./(a*zt(1))...

+sqrt((1-pr)/a).*k.*Rt(1)-k.*Rt(1).*mz./(sqrt(a/(1...

-pr)).*zt(1))-0.5.*sum(R2(2:T)./(a+pr.*R2(1:T-...

1).*zt(2:T))+k.*Rt(2:T)./sqrt(a+pr.*R2(1:T-1))...

-k.*Rt(2:T).*mz./sqrt(a+pr.*R2(1:T-1)).*zt(2:T))...

+(alp-1)*log(pr)+(bet-1)*log(1-pr); % F(pr)

post_pr = exp(log_pb);

44

log_pb = 0.5.*log(1-b)-0.5.*sum(log(a+b.*R2(1:T-1)))...

-0.5.*(1-b).*R2(1)./(a*zt(1))...

+sqrt((1-b)/a).*k.*Rt(1)-k.*Rt(1).*mz./(sqrt(a/(1...

-b)).*zt(1))-0.5.*sum(R2(2:T)./(a+b.*R2(1:T...

-1).*zt(2:T))+k.*Rt(2:T)./sqrt(a+b.*R2(1:T-1))...

-k.*Rt(2:T).*mz./sqrt(a+b.*R2(1:T-1)).*zt(2:T))...

+(alp-1)*log(b)+(bet-1)*log(1-b); %F(b)

post_o = exp(log_pb);


ap = min(1,ratio);


u = rand(1);

% pembaruan

if u <= ap, b = pr; end

% pengestimasian sigma

volt = [a/(1-b); a+b*R2(1:T-1)];

sig2t = volt;

% simpan a, b, k, dan nu

if its > BI

av(its-BI,1) = a;

bv(its-BI,1) = b;

kv(its-BI,1) = k;

nuv(its-BI,1) = nu;

zv = ((its-BI-1)*zv+zt)/(its-BI);

vol = ((its-BI-1)*vol+volt)/(its-BI);

end

end

toc

% ----- Algoritma MCMC. Step 2: Menghitung rata-rata Monte Carlo

draws = [av bv kv nuv];

MP = mean(draws);

SP = std(draws);

% ===== Integrated Autocorrelation Time (IACT) ============================

% Berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel

% yang bebas (seberapa cepat konvergensi simulasi)

resultsIAT = IACT(draws);

IAT = [resultsIAT.iact];

% ===== Uji Konvergensi Geweke ============================================

idraw1 = round(.1*N);

resultCV = momentg(draws(1:idraw1,:));

meansa = [resultCV.pmean];

nsea = [resultCV.nse1];

idraw2 = round(.5*N)+1;

resultCV = momentg(draws(idraw2:N,:));

meansb = [resultCV.pmean];

nseb = [resultCV.nse1];

CD = (meansa - meansb)./sqrt(nsea+nseb);

onetail = 1-normcdf(abs(CD),0,1);

pV = 2*onetail;

% ===== 95% Highest Posterior Density (HPD) Interval ======================

resultsHPD = HPD(draws,0.05);

LB = [resultsHPD.LB];

UB = [resultsHPD.UB];

% % ===== Numerical Standard Error (NSE) ====================================

45

resultsNSE = NSE(draws);

NSEd = [resultsNSE.nse];

%====================== Pengaturan Pencetakan Hasil =======================

%----- Statistik Parameter

in.cnames = char('a','b','k','nu');

in.rnames = char('Parameter','Mean','SD','LB','UB','IACT','NSE','G-CD','p-

Value');

in.fmt = '%16.6f';

tmp = [MP; SP; LB; UB; IAT; NSEd; CD; pV];

fprintf(1,'Estimasi menggunakan MCMC dan Uji Diagnostik\n');

mprint(tmp,in);

hasil.vol = vol;

hasil.zv = zv;

hasil.av = av;

hasil.bv = bv;

hasil.kv = kv;

hasil.nuv = nuv;

hasil.draws = draws;

4.2 Kode bisection

function mv = bisection_nuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(v)= 0 menggunakan metode bagi dua

%


% Sig2t = sigma_t^2

% k = nilai parameter skewness k

% hpv = nilai prior v

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% ---------------------------------------------------------------------

% keluaran : mv = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

bb = 2.1;

ba = 100;

if diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,bb) == 0 % derivatif pertama

mv = bb;

return;

elseif diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,ba) == 0

mv = ba;

return;

elseif diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,bb).*diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,ba) > 0

error( 'diffFnuSkt(a) and diffFnuSkt(b) do not have opposite signs' );

end

while abs(ba - bb) >= eps_step

x = (ba + bb)/2;

if diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,x) == 0

mv = x;

return;

elseif diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,x).*diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,ba) <

0

bb = x;

else

ba = x;

end

end

mv=x;

46

4.3 Kode bisection SKT function mab = bisection_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,par)

% Tujuan : Mencari akar dari F’(a)=0 atau F’(b)=0 menggunakan metode

% bagi dua

%

% ---------------------------------------------------------------------


% R2 = returns^2

% a = nilai a

% b = nilai b

% mz = nilai miu_z


% hp1 = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]


% ----------------------------------------------------------------------

% keluaran : mab = akar penyelesaian

eps_step = 1e-2;

if par == 'a'

bb = 1e-5;

ba = 1;

elseif par == 'b'

bb = 0;

ba = 1;

end

if diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,bb,par) == 0 %derivatif pertama

mab = bb;

return;

elseif diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,ba,par) == 0

mab = ba;

return;

elseif

diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,ba,par)*diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,b

b,par) > 0

error( 'diffARCH(ba) and diffARCH(bb) do not have opposite signs' );

end

while abs(bb - ba) >= eps_step

x = (ba + bb)/2;

if diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,x,par) == 0

mab = x;

return;

elseif

diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,x,par)*diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,ba

,par) < 0

bb = x;

else

ba = x;

end

end

mab = x;

47

4.4 Kode untuk turunan pertama F() function y = diffFnuSkt(Rt,sig2t,k,hpv,zt,nu)

% Tujuan : Mengitung F’(v)

%

% -----------------------------------------------------------------------


% sig2t = sigma_t^2


% hpv = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% nu = nilai v

% -----------------------------------------------------------------------

% keluaran : y = nilai turunan pertama

T = length(zt);

y = sum(2./(sig2t.^(0.5).*zt)*k*(nu-2)^(-2).*(Rt...

-sig2t.^(0.5)*k.*zt+sig2t*k*nu/(nu-2)))...

+T/2*(log(nu/2)+1-psi(nu/2))-0.5*sum(log(zt)+1./zt)...

+(hpv(1)-1)/nu-hpv(2);

4.5 Kode untuk turunan pertama F(a) dan F(b) function Fab = diffARCH_skt(Rt,R2,a,b,mz,k,hp1,zt,bts,par)

% Tujuan : Mengitung F’(a) atau F’(b)

% ---------------------------------------------------------------------


% R2 = returns^2

% a = nilai a

% b = nilai b

% mz = nilai miu_z


% hp1 = nilai prior

% zt = [z_1, z_2, z_3, ….,z_T]

% bts = batas kiri/kanan interval pada metode bagi dua


% ---------------------------------------------------------------------

% keluaran : Fab = nilai turunan pertama

if par =='a'% derivatif pertama terhadap a

a = bts;

lamd = hp1;

Fab = -1/(2*a)-0.5*sum(1./(a+b*R2(1:end-1)))...

+0.5*(1-b)*R2(1)/(a^2*zt(1))...

-0.5*k.*(1-b)^2*Rt(1)./((sqrt(1-b)./a).*a.^(2))...

+0.5*k.*Rt(1).*mz./sqrt(a./(1-b)).*zt(1).*(1-b)...

+0.5*sum(((R2(2:end))./((a+b*R2(1:end-1)).^2.*zt(2:end)))...

-0.5*k*Rt(2:end)./(a+b*R2(1:end-1)).^(1.5)...

+0.5*k.*Rt(2:end).*mz./(a+b*R2(1:end...

-1)).^(1.5).*zt(2:end))-lamd;

elseif par == 'b' % derivatif pertama terhadap b

b = bts;

alp = hp1(1); bet=hp1(2);

Fab = -1/(2*(1-b))...

-0.5*sum(R2(1:end-1)./(a+b*R2(1:end-1)))...

+R2(1)/(2*a*zt(1))...

-0.5*k*Rt(1)/sqrt((1-b)/a).*a...

+0.5*k*Rt(1).*mz./(sqrt((1-b)./a).*a*zt(1))...

+0.5*sum(R2(1:end-1).*R2(2:end)./((a+b*R2(1:end...

-1)).^2.*zt(2:end)))...

-0.5*sum(R2(1:end-1)*k.*Rt(2:end)./(a+b*R2(1:end-1)).^1.5)...

+0.5*sum(R2(1:end-1)*k.*Rt(2:end)./(a+b*R2(1:end...

-1)).^1.5.*zt(2:end))+(alp-1)/b-(bet-1)/(1-b);

48

end

4.6 Kode untuk memanggil hasil estimasi clc

clear all

%data

data1=csvread('jpy_kursbeli.csv'); data1 = data1(end-1471:end);

data2=csvread('eur_kursbeli.csv'); data3 = data3(end-1471:end);

Rjpy=100*price2ret(data1);

Rjpy=Rjpy-mean(Rjpy);

Reur=100*price2ret(data2);

Reur=Reur-mean(Reur);

lamd=1;

alpb=2.5;

betb=3;

alpnu=16;

betnu=0.8;

muk=0;

vark=1;

HP=[lamd alpb betb muk vark alpnu betnu];

hasil = archskt_mcmc(Reur,HP);

draws = hasil.draws;

% ========== Save data ====================================================

dlmwrite('D:\SKRIPSI\skt\HASIL\jpy_skt_draws.csv',draws,'delimiter',',','precis

ion','%0.16f')

4.7 Kode Pendukung

Kode truncnormrnd, IACT, momentg, HPD, NSE, dan mprint dapat dilihat dalam

Nugroho (2014).

49

Lampiran 5. Sertifikat Seminar

model volatilitas arch(1) untuk returns dengan error...

Documents