microsoftword latihan jayanti nyimasindakusumawati

5/25/2018 MicrosoftWord LATIHAN Jayanti NyimasIndaKusumawati

1Analisis Real, 2011

Jayanti (20102512030) Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)

LATIHAN 5.3

1. Misalkan =,

dan misalkan

: adalah fungsi kontinu sehingga

> 0 untuk setiap . Buktikan terdapat > 0 sehingga , .Bukti :

=, adalah interval tertutup dan : kontinu pada . MenurutTeorema maksimum minimum, maka memiliki m = titik minimum absolutdan M = titik maksimum absolut. Ambil = . Karena > 0, maka

> 0.

Jadi = = , 2. Misalkan =, dan misalkan: dan : adalah fungsi kontinu

pada .Tunjukkan bahwa himpunan : : = mempunyai sifat jika dan , maka .Bukti :

Karena

, maka

.

Karena , dan , kontinu pada maka konvergen kedan konvergen ke .Oleh karena = , , maka = == Jadi kita peroleh .

3. Misalkan =, dan : kontinu pada , sedemikian sehingga , , sehingga

Buktikan : , = 0Bukti :

Kita konstruksi , 0dengan cara sebagai berikut :Ambil : > 0

=12> 0

......




=12=

12 > 0

Sehingga kita peroleh , 0 karena =, , maka sehingga 0.Di sisi lain .Karenakontinu dan , maka .Dengan demikian kita peroleh :

0 = = Ilustrasi lain :

, , 12

, , 12

14

..........

, , 12

,

0 12

04. Tunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real

paling sedikit memiliki satu akar real.

Bukti ;

Misalkan polinom berderajat ganjil = . + . + + Kita perhatikan kasus :

i) Untuk n = ganjil, > 0.

=

=

ii)Untuk < 0

=

=

Dengan demikian :




> 0, > 0 dan < 0, < 0

Karenakontinu di maka kontinu di , ,

= 0Jadi akar dari = 0

LATIHAN 5.6

2. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi monoton naik pada interval I R,

Tunjukkan bahwa f + g adalah sebuah fungsi monoton naik pada I. jika f

monoton naik keras pada I maka f + g adalah monoton naik keras pada I ?

Jawab :

f monoton naik

Jika )()(,, 212121 xfxfxxIxx

gf monoton naik

Jika )()(,, 212121 yfyfyyIyy

Sekarang ambil Ixx 21 , dengan 21 xx

Maka ( ) )( 222111 xgf)) + g(xf(x)) + g(x) = f(x(f+g)(x +=

Karena Ixx 21 , sebarang maka dengan demikian (f+g )(x) monoton naik

Ambil Ixx 21, sebarang dengan x1< x2maka

Maka ( ) )( 222111 xgf)) + g(xf(x)) + g(x) = f(x(f+g)(x +=<

Oleh karena Ixx 21 , sebarang maka kita simpulkan f + g monoton naik

keras.

3. Tunjukkan bahwa f(x) = x dan g(x)=x-1 adalah monoton naik pada I = [0,1],

tetapi hasil kali fg bukan monoton naik pada I ?

Jawab :

Ambil 2121 ,, xxIxx




Ambil x1= dan x2= 1/3 maka x1< x2

Tetapi f.g (1/4) bukan monoton naik pada I

4. Tunjukkan bahwa jika f dan g adalah fungsi-fungsi monoton naik positif

pada interval I, maka hasil kali fg juga monoton naik pada I ?

Jawab :

Ambil 2121 ,, xxIxx

Karena f.g monoton naik positif maka 0 < f(x1) < f(x2) dan 0 < g(x1)< g(x2)

Selanjutnya 0 < fg(x1) < f(x

1) g(x

1) dan 0 < f(x

2)g(x

2)=(fg)(x)

Karena Ixx 21 , maka f.g monoton]

11. Misalkan f(x) = x untuk setiap [ ]1,0x dan f(x) = 1 + x untuk setiap [ ]2,1x .

Tunjukkan bahwa f dan f-1

monoton naik keras. Apakah f dan f-1

kontinu

disetiap titik ?

Jawab :

i. Ambil x1, x2Dfmaka x1< x2Jika x1, x2 [0,1] maka f(x1) = x1< x2= f(x2)

Jika x1, x2 [1,2] maka f(x1) =1+ x1




Jika 143043 ,, xxxxRxx 0maka 1 + /< 1Jadi

(1) 1= 0,0625

2. Jika= , tunjukkan bahwa jika sisa dari teorema Taylor konvergen kenol, jika untuk setiap yang ditetapkan.

Jawab :Sisa dari teorema Taylor

=.

+ 1! =

+ 1!

= + 2

= 0 < 1

= 0




3. Jika = sin x. Tunjukkan bahwa sisa dari Teorema taylor konvergen kenol jika untuk setiap tertentu.Bukti :

= = =

= + 2

= +

+ 1

2

=

+ 1!

=

!

+ 1!

() ( )

( 1) Karena lim()() 0 1maka lim() 0.

LATIHAN 7.2

1. Misalkan , dan: terbatas dan 0.a) Tunjukkan () ()dan () ()b) Tunjukkan jika

terintegral pada

dan

0, maka

terintegralkan

pada dan

Bukti :

a) Misalkan (, , , )partisi dari . Karena 0, maka() , () ,

()

,

()

,

Untuk 1,,, , .




Selanjutnya :

() () , ,

() , ,

() , ,

( )Dan

() () , ,

() , ,

( )

Kemudian :

() () () ( ) () ( ) ()

()Dan

() () ()

( ) () . ( ) () ()

b) Karenaterintegralkan pada , maka () ()Selanjutnya :

() () () ()Jadi

terintegral pada

dan




2. Misalkan , dan dan g fungsi-fungsi terbatas pada ke . Jika() g()untuk semua .Tunjukkan bahwa () (g)dan () (g).Bukti :

i) Misalkan (, , , ) partisi pada . Karena ()g(), maka () , g()

,

dan () , g() , dengan 1,,, , .Dengan demikian :

( ) () , (, )

g() , (, )

( g)Sehingga :

() ( ) () ( g) () (g)

Demikian juga :

( ) () , (, )

g() , (, )

( g)Sehingga

() ( ) ()

( g) () (g)




3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jika : ,

terintegraalkan dan , 1,,, , maka .

terintegralkan pada , dan .

Bukti :

Misalkan (, , , )partisi pada . Dari teorema 7.2.1(a) kitaketahui :

1,,, , . .

Dengan demikian, bila kita gunakan induksi matematika,

i) untuk 1

. (benar teorema 7.2.1.(a))

ii) Andaikan untuk benar, yakni : .

Akan ditunjukkan untuk

1juga benar

. . .

. .

(teorema 7.2.1. (b))




Hipotesa dan teorema 7.2.1)

Jadi untuk 1 juga benar. Dengan demikian formula benar untuksetiap .

4. Misalkan , ,,g, fungsi-fungsi terbatas pada ke . Misalkan() g() ()untuk .Tunjukkan jikadan terintegral padadan jika , maka gterintegralkan pada dan g .Bukti :

i) () g() (), dan , g, fungsi terbatas, maka darisoal 2) kita peroleh :

() (g) ()dan

() (g) ().

Oleh karena dantrintegralkan pada , maka () ()dan() (), akibatnya :() () (g) (g) () ()

Oleh karena , maka (g) (g)Hal ini berarti gterintegralkan pada dari g

microsoftword latihan jayanti nyimasindakusumawati

Documents