METODE TERBUKA

MAYDA WARUNI

PENDAHULUAN

• Metode Akolade selalu konvergen, yaitu makin lama makin mendekati nilai sesungguhnya.

• Dalam metode Terbuka, pencarian dimulai dari harga tunggal x, atau 2 harga yang tak perlu mengurungi akar.

• Metode Terbuka bisa divergen (semakin lama menjauhi nilai sebenarnya) atau konvergen, tapi kalau konvergen biasanya lebih cepat kelajuannya bila dibandingkan dengan metode Akolade.

METODE ALOKADE METODE TERBUKA

divergen (b)

konvergen (c)

ITERASI SATU TITIK

• Mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x berada pada ruas kiri persamaan:x = g(x)

• Transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan

x = sin x + xsin x = 0

1

2

• Persamaan x = g(x) dapat memperkirakan sebuah harga x, sebagai fungsi dari x. Jadi dengan adanya tebakan awal xi, dapat dihitung suatu taksiran baru xi+1 yang dapat dinyatakan:xi+1 = g (xi)

contoh

• Gunakan iterasi satu titik sederhana untuk menempatkan akar dari f(x) = e-x – x.

• Solusi. Fungsi dapat dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai xi+1 = e−xi . Dimulai dari tebakan awal x0 = 0.

xi+1 = e−xi

METODE GRAFIK 2 KURVA

CONTOH• Pernyataan masalah: pisahkan

persamaan e-x – x = 0 menjadi 2 bagian dan tentukan

akarnya secara grafik.• Solusi: tuliskan kembali persamaan

sebagai y1 = x dan y2 = e-x.X Y1 Y2

0 0 1

0,2 0,2 0,818731

0,4 0,4 0,67032

0,6 0,6 0,548812

0,8 0,8 0,449329

1 1 0,367879

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Y=XY=E -̂X

KONVERGEN

divergensi

pola monoton osilasi atau pola spiral

METODE NEWTON RAPHSONgaris singgung Terhadap fungsi pada xi [yakni f’(xi)]diekstrapolasikan ke bawah terhadap sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akarpada xi+1.

CONTOH NR

• gunakan NR untuk menaksir akar dari e-x – x dengan xo = 0.

• Solusi• Turunan pertama dari fungsi adalah:• f’(x) = -e-x-1

e-x-xi

-e-x-1

ITERASI, i Xi |Et| %0 0 100

1 0,511,8388

6

2 0,566311000,14675

13 0,56714317 2,2E-054 0,56714329 7,23E-08

JEBAKAN METODE NEWTON RAPHSON

• Metode NR adalah konvergen secara kuadratik. Artinya secara kasar, kesalahan itu sebanding dengan pangkat 2 dari kesalahan sebelumnya

• Pernyataan masalah: Tentukan akar positif dari f(x) = x10 – 1 menggunakan metode NR dan tebakan awal x = 0,5.

• Solusi• didapatkan hasil seperti disajikan

pada tabel

4 KASUS KONVERGEN NR KURANG BAIK

memperlihatkan kasus dimana sebuah titik belok, yakni f’’(x) = 0, terjadidalam kekosongan suatu akar. Perhatikan bahwa iterasi dimulai pada x0 dan berlanjut dari akar secara divergen.

sebuah kemiringan yang mendekati nol dicapai dimana solusiditempatkan jauh dari daerah yang diinginkan

memperlihatkan bagaimana sebuah tebakan awal yang mendekati suatu akardapat meloncat ke suatu lokasi jauh dari beberapa akar

solusi bergerak secara horizontal dan tak pernahmemotong sumbu x. Jadi kita harus mempunyai tebakan awal yang mendekati akar

METODE SCANT

• Masalah yang didapat dalam metode Newton-Raphson adalah terkadang sulit mendapatkan

• turunan pertama, yakni f’(x).

CONTOH

• Pernyataan masalah: taksir akar dari f(x) = e-x – x menggunakan metode Secant dantaksiran awal x-1 = 0 dan x0 = 1,0.

• Solusi• Ingat bahwa akar sesungguhnya adalah

0,56714329…

• Iterasi 1:• x-1 = 0 f(x-1) = 1,00000• x0 = 0 f(x0) = -0,63212

HASIL

ITERASI X-1 XO F(X-1) f(X0) X1 |Et| %1 0 1 1 -0,63212 0,6127 8,032634 1 0,6127 -0,63212 -0,07081 0,563838 0,582728 0,6127 0,563838 -0,07081 0,005182 0,56717 0,004773