mekban.hukumhooke

Hukum Hooke

Diktat Kuliah 4

Mekanika Bahan

Ir. Elisabeth Yuniarti, MT

Hubungan Tegangan dan Regangan

Untuk merancang struktur yang dapat berfungsi

pemahaman tentang perilaku mekanikal dari material/bahan yang digunakan.

mengetahui perilaku bahan ini adalah dengan memberikan beban kepadanya yaitu melalui

eksperimen di laboratorium, yang disebut uji ta

Setiap badan material/bahan akan berdeformasi jika pada badan itu dibebani dengan gaya luar.

– Deformasi ini disebut elastis jika benda dalam keadaan

hilang segera setelah beban dihilangkan.

– Deformasi disebut plastis jika benda dalam keadaan

A

P=σ,Tegangan

L

δε =,Regangan

Hubungan Tegangan dan Regangan (Stress-Strain Relationship)

Untuk merancang struktur yang dapat berfungsi dengan baik, maka kita memerlukan

pemahaman tentang perilaku mekanikal dari material/bahan yang digunakan.


eksperimen di laboratorium, yang disebut uji tarik uniaksial.


Deformasi ini disebut elastis jika benda dalam keadaan reversible, yaitu jika deformasi

hilang segera setelah beban dihilangkan.

Deformasi disebut plastis jika benda dalam keadaan irreversible atau permanen.

1

dengan baik, maka kita memerlukan

Satu cara untuk



, yaitu jika deformasi

atau permanen.

Diagram Tegangan dan Regangan

Mulai titik B, terjadi perpanjangan spesimen u

diketahui, membentuk suatu dataran hingga titik C.

(yielding). Titik B disebut sebagai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut tegangan leleh

(yielding stress) , σy.

Setelah mengalami regangan besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC, material baja

mulai mengalami pengerasan regangan (

daerah ini membutuhkan peningkatan beban tarik.

maksimum, dan tegangan yang terjadi (pada titik F) disebut Tegangan Batas (

σU.

Setelah melewati titik F, spesimen akan memperlihatkan secara jelas penyempitan lateral

(lateral contract) dan pembentukan leher (necking) yang mengarah

akhirnya. Pada daerah OB, material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban, dihilangkan

beban-nya, dan dibebani kembali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku.

Jika pembebanan ditingkatkan diatas B, maka material berada dala

pada titik D, penghilangan beban akan mengikuti garis DE yang paralel dengan garis elastis linier

awal OA. Hanya sebagian regangan yaitu regangan elastis (

Sementara, bagian lain regangan akan tetap sebagai regangan permanen yaitu regangan plastis

(plastic strain), εp.

Diagram Tegangan dan Regangan (Stress-Strain Diagram)

Sebuah kurva tegangan-regangan tipikal pada baja

lunak yang dibebani gaya tarik uniaksial terlihat

pada gambar 1.

Diagram mulai dengan garis lurus dari titik asal O

sampai pada titik A, terdapat hubungan linier dan

proporsional antara tegangan (σ) dan r

Titik A disebut sebagai batas proporsional.

Setelah titik ini, kurva tegangan-

memperlihatkan kemiringan yang terus mengecil,

sampai pada titik B, dimana kurva menjadi

horizontal.

Mulai titik B, terjadi perpanjangan spesimen uji tanpa adanya peningkatan tegangan tarik yang

diketahui, membentuk suatu dataran hingga titik C. Fenomena ini dikenal dengan leleh

). Titik B disebut sebagai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut tegangan leleh

elah mengalami regangan besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC, material baja

mulai mengalami pengerasan regangan (strain hardening), perpanjangan material uji pada

daerah ini membutuhkan peningkatan beban tarik. Beban pada akhirnya mencapai nil

maksimum, dan tegangan yang terjadi (pada titik F) disebut Tegangan Batas (Ultimate Stress


) dan pembentukan leher (necking) yang mengarah pada patah (

Pada daerah OB, material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban, dihilangkan

nya, dan dibebani kembali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku.

Jika pembebanan ditingkatkan diatas B, maka material berada dalam daerah plastis. Contoh,

pada titik D, penghilangan beban akan mengikuti garis DE yang paralel dengan garis elastis linier

awal OA. Hanya sebagian regangan yaitu regangan elastis (elastic strain), εe


2

regangan tipikal pada baja

lunak yang dibebani gaya tarik uniaksial terlihat

Diagram mulai dengan garis lurus dari titik asal O

sampai pada titik A, terdapat hubungan linier dan

proporsional antara tegangan (σ) dan regangan (ε)

Titik A disebut sebagai batas proporsional.

-regangan mulai

memperlihatkan kemiringan yang terus mengecil,

sampai pada titik B, dimana kurva menjadi

ji tanpa adanya peningkatan tegangan tarik yang

Fenomena ini dikenal dengan leleh

). Titik B disebut sebagai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut tegangan leleh

elah mengalami regangan besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC, material baja

), perpanjangan material uji pada

Beban pada akhirnya mencapai nilai

Ultimate Stress),


pada patah (fractur) pada

Pada daerah OB, material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban, dihilangkan

nya, dan dibebani kembali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku.

m daerah plastis. Contoh,

pada titik D, penghilangan beban akan mengikuti garis DE yang paralel dengan garis elastis linier e dikembalikan.


3

Ketika dibebani kembali dari titik E, respon yang terjadi akan mengikuti garis penghilangan

beban ED ke atas menuju titik D, yaitu titik di mana penghilangan beban dimulai pada siklus

pembebanan. Perilaku material kemudian mengikuti kurva tegangan-regangan asli menuju titik

F. Batas proporsional sekarang adalah titik D, pada tegangan yang lebih tinggi dari batas elastis

asli (titik B).

Hukum “Elastisitas Linier” Hooke

Jika suatu material berperilaku secara elastis dan juga menunjukkan hubungan linier antara

tegangan dan regangan, maka dikatakan material elastis linier (lihat wilayah OA pada gambar

1).

Jenis perilaku ini sangat penting dalam bidang rekayasa karena alasan yang jelas, yaitu dengan

cara merancang struktur berfungsi pada wilayah tersebut, dan menghindari keadaan di mana

struktur berdeformasi permanen akibat leleh.

Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial

Hubungan linier antara tegangan aksial σ dan regangan aksial ε akibat gaya tarik atau tekan

aksial sederhana :

σ = Eε,

E adalah konstanta proporsional, dikenal sebagai modulus elastisitas material dan merupakan

kemiringan garis OA dalam daerah elastis linier pada hubungan tegangan-regangan. Persamaan

ini dikenal sebagai Hukum Hooke, dinamakan dengan nama ilmuwan Inggris Robert Hooke

(1635-1703). Modulus Elastisitas biasa dinamakan Modulus Young.

Perpanjangan aksial terjadi dibarengi dengan kontraksi lateral (kontraksi terjadi dalam arah

tangensial terhadap arah beban yang diberikan) yang proporsional terhadap regangan aksial

jika material dalam keadaan elastis linier. Perbandingan/rasio regangan ini adalah properti

material yang dikenal dengan rasio Poisson (Poisson’s Ratio) yang diberi simbol ν dan

diekspresikan dengan :

ε

εν

'

aksialregangan

lateralregangan −=−=

Tanda minus dimasukkan ke dalam persamaan karena secara normal ε dan ε’ memiliki tanda

berlawanan. Regangan lateral ε’ disebabkan oleh

diekspresikan dengan :

Hukum Hooke pada Geser

Properti material menyangkut geser dapat ditentukan secara eksperimen dari uji geser

langsung atau dari uji torsi. Diagram tegangan geser dan regangan yang diplot dari hasil uji di

atas serupa dengan diagram uji tarik (σ

besarannya. Untuk daerah elastis linier awal, tegangan geser τ dan regangan geser γ adalah

proporsional , dan oleh karenanya hukum Hooke pada geser adalah :

dengan G adalah Modulus Geser Elastisitas (disebut juga modulus rigiditas/

Hukum Hooke untuk Tegangan Bidang

Sekarang kita kaji regangan normal ε

berikut.

Tegangan normal σx dan σy memanjangkan atau memendekkan elemen dalam arah x, y, dan z

tetapi tidak menyebabkan distorsi elemen (gambar 2b).


berlawanan. Regangan lateral ε’ disebabkan oleh tegangan aksial σ sehingga dapat


iagram tegangan geser dan regangan yang diplot dari hasil uji di

atas serupa dengan diagram uji tarik (σ-ε) untuk material yang sama, walaupun berbeda pada

Untuk daerah elastis linier awal, tegangan geser τ dan regangan geser γ adalah

proporsional , dan oleh karenanya hukum Hooke pada geser adalah :

τ = G γ

dengan G adalah Modulus Geser Elastisitas (disebut juga modulus rigiditas/modulus of rigidity

Hukum Hooke untuk Tegangan Bidang

Sekarang kita kaji regangan normal εx, εy, εz pada tegangan bidang (σz = 0) dalam gambar 2a

memanjangkan atau memendekkan elemen dalam arah x, y, dan z

rsi elemen (gambar 2b).

E/' νσνεε −=−=

4


tegangan aksial σ sehingga dapat


iagram tegangan geser dan regangan yang diplot dari hasil uji di

ε) untuk material yang sama, walaupun berbeda pada

Untuk daerah elastis linier awal, tegangan geser τ dan regangan geser γ adalah

modulus of rigidity)

= 0) dalam gambar 2a

memanjangkan atau memendekkan elemen dalam arah x, y, dan z

Tegangan geser τxy tidak ada kecenderungan memanjangkan atau memendekkan elemen dalam

arah x, y, z, dengan kata lain, panjang sisi

gambar 2c berikut.

Tegangan geser hanya menyebabkan distorsi elemen sedemikian hingga setiap permukaan z

menjadi sebuah rhombus/diamond

Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial (tegangan bidang)

Tegangan uniaksial σx tidak hanya menghasilkan perpanjangan dalam a

menyebabkan kontraksi lateral masing

Menurut Hukum Hooke untuk tegangan uniaksial, regangan ε

menyebabkan σx dan σy bersamaan.

Menurut hukum Hooke untuk tegangan uniaxial, regangan ε

sama dengan σx /E. Juga, regangan pada arah x akibat tegangan σ

dengan –νσу/E. Maka, regangan resultan pada arah x adalah :

tidak ada kecenderungan memanjangkan atau memendekkan elemen dalam

arah x, y, z, dengan kata lain, panjang sisi-sisi elemen tidak berubah seperti ditunjukkan dalam


rhombus/diamond (parallelogram)

Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial (tegangan bidang)

tidak hanya menghasilkan perpanjangan dalam arah x, tetapi juga

menyebabkan kontraksi lateral masing –masing di arah y dan z.

Menurut Hukum Hooke untuk tegangan uniaksial, regangan εx pada bidang tegangan

bersamaan.

Menurut hukum Hooke untuk tegangan uniaxial, regangan εx pada arah x akibat tegangan σ

/E. Juga, regangan pada arah x akibat tegangan σy (konstraksi lateral) sama

/E. Maka, regangan resultan pada arah x adalah :

EE

yxx

σν

σε −=

5

tidak ada kecenderungan memanjangkan atau memendekkan elemen dalam

sisi elemen tidak berubah seperti ditunjukkan dalam


rah x, tetapi juga

pada bidang tegangan

rah x akibat tegangan σx

(konstraksi lateral) sama

6

Dengan cara yang sama, kita akan mempunyai persamaan berikut :

Regangan geser yang berhubungan dengan tegangan geser oleh hukum Hooke dalam geser

adalah :

Persamaan tegangan yang dinyatakan dalam regangan di bawah ini dapat diselesaikan secara

simultan untuk :

Persamaan di atas secara kolektif disebut Hukum Hooke untuk bidang tegangan.

Generalisasi Hukum Hooke untuk tegangan pada umumnya

Jika material berperilaku menurut hukum Hooke, kita dapat peroleh hubungan antara tegangan

normal dan regangan normal dengan menggunakan prosedur yang sama dengan tegangan

bidang.

Regangan yang dihasilkan oleh tegangan yang bekerja secara mandiri dapat dijumlahkan satu

sama lain untuk mendapatkan regangan normal. Maka, kita sampai pada persamaan untuk

regangan normal :

EE

yxy

σσνε +−=

EE

yxz

σσνε −−=

G

xy

xy

τγ =

( )yxx

Eνεε

νσ +

−=

21

( )xyy

Eνεε

νσ +

−=

21

xyxy Gγτ =

EEE

zyxx

σν

σν

σε −−=

EEE

zyxy

σν

σσνε −+−=

EEE

zyxz

σσν

σνε +−−=

Persamaan tadi dapat diselesaikan secara simultan untuk tegangan

dalam regangan-regangan, sebagai berikut :

Hubungan antara tegangan geser dan regangan geser secara sederhana ditunjukkan oleh

hukum Hooke untuk geser sebagai berikut :

Contoh Persoalan 1

Pelat ABCD yang homogen diberi beban biaksial seperti terlihat pada gambar di bawah.

Diketahui σy= σ0 dan bahwa perubahan panjang pelat pada arah x harus nol. Jika E adalah

modulus elastisitas dan ν adalah rasio Poisson, tentukan :

(a) besar σx yang dibutuhkan, dan

(b) rasio σ0/εy.

σ

σ

σ

xyxy Gγτ =

Persamaan tadi dapat diselesaikan secara simultan untuk tegangan-tegangan yang dinyatakan

regangan, sebagai berikut :


hukum Hooke untuk geser sebagai berikut :


dan bahwa perubahan panjang pelat pada arah x harus nol. Jika E adalah

modulus elastisitas dan ν adalah rasio Poisson, tentukan :

yang dibutuhkan, dan

( )( )( ) ( )[ ]zyxx

Eεενεν

ννσ ++−

−+= 1

211

( )( )( ) ( )[ ]zxyy

Eεενεν

ννσ ++−

−+= 1

211

( )( )( ) ( )[ ]yxzz

Eεενεν

ννσ ++−

−+= 1

211

xzxz Gγτ =

7

tegangan yang dinyatakan



dan bahwa perubahan panjang pelat pada arah x harus nol. Jika E adalah

yzyz Gγτ =

Solusi Contoh 1

Tegangan-tegangan pada setiap titik material berada dalam

komponennya adalah : σx, σ

Karena perubahan panjang pelat dalam arah x adalah nol, maka : ε

Menurut hukum Hooke tentang tegangan bidang :

Kita mendapatkan :

Sehingga : σx = νσ0

Review hukum Hooke tentang tegangan bidang :

Maka :

Contoh Persoalan 2

Blok baja pada gambar di bawah ini dibebani dengan tekanan merata pada permukaannya.

Diketahui bahwa perubahan panjang pada sisi AB adalah 0,03 mm.

tegangan pada setiap titik material berada dalam bidang tegangan dan

, σy = σ0, τxy = 0

Karena perubahan panjang pelat dalam arah x adalah nol, maka : εx = 0

Menurut hukum Hooke tentang tegangan bidang :

Review hukum Hooke tentang tegangan bidang :


Diketahui bahwa perubahan panjang pada sisi AB adalah 0,03 mm.

EE

yxx

σν

σε −=

0=−EE

yxσ

νσ

( ) ( )EEEE

xy

y

2

00

2

0

11 νσσνσ

σν

σε

−=−=−=

2

0

1 νε

σ

−=

E

y

8

bidang tegangan dan


9

Tentukan :

(a) Perubahan panjang dari dua sisi lainnya

(b) Tekanan p yang diberikan pada permukaan blok, dengan mengasumsikan E = 200

Gpa dan ν = 0,29

Solusi Contoh 2

Tegangan pada setiap titik material adalah :

Karena :

Diperoleh :

Kemudian :

Tekanan :

mekban.hukumhooke

Documents