BAB IVEKTOR

Besaran ?

• Besaran adalah suatu pernyataan yang mempunyai kuantitas / nilai dan baru lengkap jika diikuti oleh satuannya.

1. Pengertian Besaran Vektor.

Besaran pokok ?• Besaran pokok adalah suatu besaran

yang satuannya telah ditentukan terlebih dahulu dan sebagai dasar untuk menentukan satuan besaran yang lain (besaran turunan).

Berdasarkan satuannya besaran dikelompokkan menjadi dua, yaitu

Besaran pokok

Besaran turunan

Besaran turunan ?

• Besaran turunan adalah suatu besaran yang satuannya ditentukan / dijabarkan dari satuan besaran pokok.

Berdasarkan arahnya besaran dikelompokkan menjadi dua, yaitu: • Besaran skalar • Besaran vektor.

Besaran Skalar ? Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja.

Besaran vektor ?. • Besaran vektor adalah suatu besaran

yang mempunyai besar dan arah.

• Penulisan Vektor:• 1) Huruf besar atau kecil dicetak

tebal. Contoh: A, B, C, D, a, b, c, d dll.

• 2) Huruf besar atau kecil yang di atasnya diberi tanda → dan ^. contoh:

,C,B,A

dll.,n .k ,j ,i,c,b,a

Vektor digambarkan dengan segmen garis yang berarah

• 0 : titik asal ( titik pangkal vektor)• A : titik akhir (titik terminal atau titik

ujung vektor) • Panjnag OA = besarnya vektor.

0

A

A

Kalau dinyatakan dengan koordinat Cartesian maka vektor dapat ditulis

Z

Yi

k

j

X

A

0

A(x;y;z)

kzjyix

k3

Aj2

Ai1

AA

2z2y2xAA vektor besarnya

z y, sumbu x,searah yangsatuan tor adalah vek k ,j ,i

z3

A y,2

A x,1

A

Difinisi

• Dua buah vektor dikatakan sama, apabila mempunyai besar sama dan arahnya sama.

A

B

B A

Dua buah vektor dikatakan beralawanan, apabila kedua vektor tersebut mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan.

A

B

B - A

Vektor satuan adalah suatu vektor yang mempunyai besar satu.

a

a a

anbersangkut yang vektor besarnya

VektorsatuanVektor

2. Operasi Pada Vektor: a. Operasi penjumlahan vektor.

2

212

212

21

212121

222111

222

111

zz yyxxCC

k zz j yy i xx

k z j y i xk z j y i x

B A C k z j y i x B

k z j y i x A

:Misal

Contoh soal 1.

. B A besarnyaHitunglah

.k 4 j 3 i 2Bdan

k 3 j 2 i 1A

vektor dua diketahui Bila

Diketahui :

Ditanyakan : = .......?Penyelesaian :

k 4 j 3 i 2B

k 3 j 2 i 1A

B A

8349259753B A Jadi

k 7 j 5i 3

k 4)3( j )32(i 2) (1

)k 4 j 3 i (2)k 3 j 2 i (1 B A

222

b. Operasi pengurangan vektor.

2

122

122

12

121212

111222

222111

zz y - y x- xCC

k zz j y - y i x- x

k z j y i xk z j y i x

A B C

maka k z j y i x Bdan k z j y i x A

: vektorduaMisalkan

Contoh soal 2.

B A besarnyaHitunglah

.k 3 j 2 i 1B

dan k 4 j 3 i 2A

vektor dua diketahui Bila

Diketahui :

Ditanyakan : = .......?

k 3 j 2 i 1B

k 4 j 3 i 2A

B A

3111212121B A Jadi

k j i

k 3)(4 j 2)(3i 1)- (2

)k 3 j 2 i (1)k 4 j 3 i (2B A

Penyelsaian :

c. Operasi perkalian vektor. 1) Hasil kali skalar antara dua vektor (dot product).

B

A

A

θ0

θ cos BA B A

z z y y xx

k z j y i xk z j y i x B A

k z j y i x B

k z j y i x A

: vektor duaMisalkan

121212

222111

222

111

Hukum yang berlaku pada dot product:

23

22

21

23

22

21

332211

321321

321321

B BBBB

A AAAA

BABABA BA

kB jBiB kA jAiABA

maka , kB jBiBBdan kA jAiAA Jika )5

0i kk jjidan 1k kj jii 4)

skalarsebuah adalah m m,BA)B(mABAm BAm 3)

f.distributi Hukum CA BA)CB(A 2)

titik.kali hasiluntuk komutatif Hukum A BBA )1

Contoh soal 3.

B A besarnyaHitunglah

k 3 j 2 i 1Bdan

k 4 j 3 i 2A

vektor dua diketahui Bila

Diketahui :

Ditanyakan : = .......?

20B A Jadi

12 6 2 3 4 2 3 1 2 )k 3 j 2 i (1)k 4 j 3 i (2B A

k 3 j 2 i 1B

dan k 4 j 3 i 2A

B A

Penyelesaian:

2) Hasil kali vektor antara dua vektor (cross product).

A

B

C

O

.Bdan A roleh vektodibentuk yang bidangdengan

lurus tegak yang normalsatuan vektor n

Bdan Ar oleh vektodibentuk yangsudut θ

n θsin B A B X AC

k z j y i x X k z j y i x B X A

maka k z j y i x B

dan k z j y i x A

: vektorduaMisalkan

222111

222

111

C

θ

k y xy x j z x xz i z yz y

y xy x k z x xz j z yz y i

y x

y x k

z x

z x j

z y

z y i

z y x

z y x

k j i

B X A

122121211221

122121211221

22

11

22

11

22

11

222

111

Hukum-hukum yang berlaku pada hasil kali silang

sejajaradalah BdanAmaka nol,or bukan vektBdan Asedangkan ,0BXA Jika )7

B.dan sisiA sisidengan genjangjajaran luasdengan sama BXA Besarnya )6

3A

2A

1A

3B

2B

1B

k j i BXA

maka kBjBiBBdan kAjAiAA Jika 5)

jkx i ,i jx k ,kix j

jiXk ,i kXj ,kjXi ,0kXkjXjiXi )4

skalarsebuah adalah m),BX(mAB)XA(m)BXAm( )3

f.distributi Hukum CXABXACBXA )2

silang. kali hasil padaberlaku tidak komutatif Hukum AXBBXA )1

32121

Contoh soal 4.

Bx A besarnyaHitunglah

. k 3 j 2 i 1B

dan k 4 j 3 i 2A

vektor dua diketahui Bila

Diketahui :

Ditanyakan : = .......?Penyelesaian :

k 3 j 2 i 1B

dan k 4 j 3 i 2A

Bx A

k 3 - 4 j6-4 i8-9

3 1 - 2 2k 3 2 - 4 1 j 4 2 - 3 3 i

2 1

3 2 k

3 1

4 2 j

3 2

4 3 i

3 2 1

4 3 2

k j i

)k 3 j 2 i (1 x )k 4 j 3 i (2Bx A

6141121 Bx A Jadi

k j2 - i Bx A

222

3) Hasil kali tripel.

.CXBXAdan,CXBA ,CBA

:berikutbentuk bentuk mempunyai yang

kali hasilan menghasilkdapat CdanB,A

vektor tigadari silangdan titik kali Hasil

skalar tripelkali hasildisebut seringkali CXBA kali Hasil

3A

2A

1A

C C 3

B 2

B 1

B CXBA

:maka, kCjCiC Cdan kBjBiBB ,kA jAiAA Jika

kah tidak.atau kanan tangan sistemsebuah membentuk Cdan B ,A

apakah dengan sesuai ini, volumedari negatifatau Cdan B ,A sisisisi memiliki yang

ruang genjangjajaran sebuah volume.BXACAXCB CXBA 2)

.CBACBA 1)

321

321321321

C

Hukum-hukum yang berlaku pada triple product

skalar tripelkali hasildisebut seringkali CXBA kali Hasil

3A

2A

1A

C C 3

B 2

B 1

B CXBA

:maka, kCjCiC Cdan

kBjBiBB ,kA jAiAA Jika

321

321

321321

C

vektor. tripelkali hasildisebut CXBXAkali Hasil

.A CB- B CA CX BXA

.C BA- B CA CXBXA 4)

silang) kali hasiluntuk

berlaku tak asosiatif Hukum(, CX BXA CXBXA 3)

Contoh soal 5

. CxBxA e) ,C x ) Bx A( d) , CxBA c)

,CBA b) ,CBA a) :besarnyaHitunglah

.k 5 j 4 i 3Cdan k 4 j 3 i 2B

,k 3 j 2 i 1A vektor tigadiketahui Bila

Diketahui :

k 5 j 4 i 3C

dan k 4 j 3 i 2B

,k 3 j 2 i 1A

....? CXBXA e)

....? C x ) Bx A( d)

....? CXBAc)

....? CBA b)

....? CBA a)

Ditanyakan :

Penyelesaian :

k 5 j 4 i 3 k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1CBA a)

k 100 j 80 i 60

k 5 20 j 4 20 i 3 20

k 5 j 4 i 3 20

k 5 j 4 i 31262

k 5 j 4 i 34 3 3 2 2 1

421,141 210020000

10000640036001008060 CBA 222

k 5 j 4 i 3 k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1CBA b)

k 114 j 76 i 38

k 3 38 j 2 38 i 1 38

k 3 j 2 i 1 38

20 12 6 k 3 j 2 i 1

5 4 4 3 3 2 k 3 j 2 i 1

183,14220216

1299657761444

1147638CBA 222

k 5 j 4 i 3 k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1 CXBA c) x

kj2i 9 - 8k10 - 21j16 - 51i

3 3 - 4 2k5 2 - 4 3j4 4 - 5 3i

4 3

3 2k

5 3

4 2j

5 4

4 3i

5 4 3

4 3 2

k j i

k 5 j 4 i 3 k 4 j 3 i 2CXB x

0341k1j2i 1 k 3 j 2 i 1

k 5 j 4 i 3 x k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1 CXBA

Atau

0341 9 - 8310 - 12 216 - 15 1

3 3 - 4 235 2 - 4 3 24 4 - 5 3 1

4 3

3 23

5 3

4 22

5 4

4 31

5 4 3

4 3 2

3 2 1

CxBA

k 5 j 4 i 3 x k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1 CxBA

A CB- B CA Cx BxA d)

k 3 j 2 i 120 12 6k 4 j 3 i 2 15 8 3

k 3 j 2 i 15 4 4 3 3 2k 4 j 3 i 2 5 3 4 2 3 1

k 3 j 2 i 1 k 5 j 4 i 3k 4 j 3 i 2

k 4 j 3 i 2 k 5 j 4 i 3k 3 j 2 i 1 CxBxA

k10j2i14

k 114104 j 7678 i3852

k 114- j 76- i 38k 410 j 78 i 52

k 114 j 76 i 38k 410 j 78 i 52

k 3 38 j 2 38 i 1 38k 4 26 j 3 26 i 2 26

k 3 j 2 i 138k 4 j 3 i 2 26

320,17300

1004196

10214 CxBxA 222

k 5 j 4 i 31262k 4 j 3 i 2 15 8 3

k 5 j 4 i 34 3 3 2 2 1k 4 j 3 i 2 5 3 4 2 3 1

k 5 j 4 i 3 k 4 j 3 i 2k 3 j 2 i 1

k 4 j 3 i 2 k 5 j 4 i 3k 3 j 2 i 1CxBA x

.C BA- B CA CxBxA e)

k 4 j 2 i 8k 100-410 j 8078 i 60-52

k 100 j 80 i 60k 410 j 78 i 52

k 5 20 j 4 20 i 3 20-k 4 26 j 3 26 i 2 26

k 5 j 4 i 320k 4 j 3 i 2 26

165,98416464428 CXBXA. 222

Terimakasih

Terima kasih