mekanika 2

MEKANIKA IIFUNGSI HAMILTONIAN DAN KEKEKALAN ENERGI

ASSALAMUALAIKUM

LATAR BELAKANG

TUJUAN

KEKEKALAN ENERGI

HAMMILTON

KASUS

BISMILLAHIRRAHMANIRRAHIM PLEASE PAY ATTENTION AND SIT COMFORTLY

LATAR BELAKANG Dalam mekanika klasik kita biasanya menggunakan mekanika

Newtonian dalam memecahkan permasalahan gerak benda. Dengan meninjau gaya total yang dialami benda tersebut. Contoh, ditinjau dari gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku.

Diperlukan pendekatan khusus ketika benda berada dalam sistem dinamis yang berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik. Metode ini menggunakan tinjauan energi total dari karakteristik benda objek. Muncullah pendekatan Hamiltonian. MENU

TUJUAN

MENGETAHUI MEKANIKA HAMMILTON

MEMAHAMI PRINSIP DASAR HAMMILTON

MENINJAU PEMECAHAN KASUS DENGAN HAMILTON

MENU

SEBAGAI DASAR HUKUM KEKEKALAN ENERGI

SEKILAS

KONSEP KEKEKALAN ENERGI :“Energi dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lain dan dipindahkan dari satu benda kebenda yang lain tetapi jumlahnya selalu tetap. Jadi energi total tidak berkurang dan juga tidak bertambah”

SALAH SATUNYA

KEKEKALAN ENERGI MEKANIKEnergi Mekanik selalu tetap atau kekal selama terjadi perubahan energi antara EP dan EK

EP + EK = EM

PENURUNAN RUMUS KEKEKALAN ENERGIDITINJAU DARI GAYA TAK KONSERVATIF“Secara umum, sebuah gaya bersifat konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya pada sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan tertentu hingga kembali ke posisi awalnya sama dengan nol. Sebuah gaya bersifat tak-konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada sebuah benda yang melakukan gerakan menempuh lintasan tertentu hingga kembali ke posisi semula tidak sama dengan nol.”

ENERGI POTENSIALW = EP1 – EP2 = mgh1 – mgh2

ENERGI KINETIKW = EK2 – EK1 = ½ mv22 – ½

mv12

Kedua persamaan ini kita tulis kembali menjadi :Wp = WkEP1 – EP2 = EK2 – EK1mgh1 – mgh2 = ½ mv2

2 – ½ mv12

mgh1 + ½ mv12 = mgh2 + ½

mv22

EM1 = EP1 + EK1 (KEDUDUKAN AWAL)EM2 = EP2 + EK2 (KEDUDUKAN AKHIR)EM1 = EM2 EP + EK = EM (konstan)

KEKEKALAN ENERGI DARI TINJAUAN LANGRANGE

• Gerak suatu system mekanik terdapat perubahan sebanyak yang menentukan keadaan system.• Karena persamaan gerak system tertutup tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, maka

waktu awal dapat dipilih mempunyai harga sembarang sehingga konstanta yang muncul pada penyelesaian persamaan gerak selalu dapat dianggap sebagai penambahan konstanta waktu to

Dengan mengeliminasi t + to dari fungsi banyak 2s didapat rumusan qi dan qi dalam C1 C2

…… C2s-1 sebagai berikutqi = qi ( t + to ,C1 . C 2 , …… C2s-1 )i = i ( t + to ,C1 . C 2 , …… C2s-1 )

jika 2s – 1 konstanta C1 . C 2 ….., C2s-1 ditulis dalam variable q dan q akan diperoleh integral gerak yang dimaksud.• homogenitas waktu akan menghasilkan fungsi Lagrange suatu system tertutup yang tidak

bergantung pada waktu secara eksplisit. Diferensial total Langrange


• Seandainya L bergantung pada waktu secara eksplisit, maka pada ruas kanan akan muncul suku ∂L/∂t. Dengan menggantikan turunan ∂L/∂t dari persamaan Lagrange dengan dL/dt∂L/qi diperoleh

• Atau • Dari persamaan ini diperoleh

(Persamaan 1)Besaran ini disebut sebagai energi sistem• Hukum kekekalan energi tidak hanya berlaku untuk sistem tertutup, tetapi berlaku untuk sistem

yang di dalamnya terdapat medan gaya yang konstan (yaitu jika medan tidak bergantung pada waktu); satu-satunya yang digunakan dalam menurunkan sifat fungsi Lagrange juga terdapat dalam kasus ini adalah ketergantungan terhadap waktu secara eksplisit dan disebut sebagai konservatif. Dinyatakan dalam bentuk : L = T ( q, ) - (q)


• Dalam hal ini T adalah fungsi kecepatan kuadrat. Jika digunakan teorema Euler untuk suatu fungsi homogen dikerjakan pada fungsi ini akan diperoleh:

• Dengan mensubtitusikan persamaan ini ke pers [6.1] didapat bahwa:E = T ( q, ) - (q)

(Persamaan 2)• Dan jika dinyatakan dalam koordinat Cartesioan

(Persamaan 3)• Dengan cara ini energi suatu sistem dapat ditulis mengandung dua suku yang berbeda yaitu

energi kinetik yang bergantung pada kecepatan dan energi potensial yang bergantung pada koordinat partikel yang bersangkutan.

MENU

HAMILTON

PERSAMAAN FUNGSI

HAMILTON

• Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari koordinat umum

H = p – L(1)

• Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja :

L = T ( q, ) – V(q)(2)

• Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogeni, deperoleh

p – L = = = 2T(3)

• Oleh karena itu :H = p – L = 2T – (T-V) = T +V

(4)• Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang

kita tinjau. Selanjutnya, pada n buah persamaan yang ditulis sebagai :

PK = (k = 1,2,…n)(5)

• Dan nyatakan dalam dalam p dan qk = k (pk , qk)

(6)• Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H

yang bersesuaian dengan variasi pk, qk sebagai berikut : (7)

HAMILTON

PERSAMAAN FUNGSI

HAMILTON

• Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakah, oleh karena menurut definisi k = / k, oleh karena itu:

(8)• Variansi fungsi H selanjutnya dapat

dinyatakan dalam persamaan berikut: (9)

• Sehingga diperoleh :

Persamaan Kanonik Hamilton untuk gerak

MENU

CONTOH KASUS HAMILTON

1) Tentukan persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi menggunakan persamaan Hamilton

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

(13)

Momentumnya dapat ditulis (14)

Hamiltoniannya dapat ditulis :

(15)

Persamaan geraknya adalah : (16)dan diperoleh :

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakankedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

(17)yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.


2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinaetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:

(17)Jadi :

(18) (19)

Akibatnya : (20)


Persamaan Hamiltoniannya: (21)Selanjutnya: (22) (23) (24) (25)


Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap, (26)Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan, (27)untuk persamaan gerak dalam arah radial.


1 Coki bermain skateboard. Dengan menganggap Coki dan skateboardnya sebagai sebuah partikel, pusatnya bergerak melewati lintasan berbentuk seperempat lingkaran dengan jari–jari 3,00 m. Massa total Coki dan skateboardnya 25,0 kg. Ia mulai bergerak dari keadaan diam, dan diasumsikan tak ada gesekan. a) Tentukan laju pada akhir lintasan. b) Cari gaya normal yang bekerja padanya saat ia berada di bawah lintasan

CONTOH KASUS KEKEKALAN ENERI

Penyelesaian :a) Kita tidak dapat menggunakan persamaan gerak dengan

percepatan konstan; percepatan tidak konstan karena kemiringan berkurang ketika Coki turun. Oleh karena itu, kita akan menggunakan pendekatan energi. Karena tak ada gesekan maka hanya terdapat gaya normal yang diberikan oleh lintasan selain gaya berat yang dihasilkan Coki. Meskipun gaya-gaya ini terjadi sepanjang lintasan, gaya ini melakukan nol kerja karena gaya normal tegak lurus dengan kecepatan Coki di setiap titik. Oleh karena itu = 0 dan energi mekanik total akan kekal.


Ambil titik 2 sebagai titik awal dan titik 1 pada dasar lintasan, anggap y= 0 pada dasar lintasan. Kemudian y2 = R dan y1 = 0. Coki mulai bergerak dari keadaan diam di atas lintasan sehingga v1= 0. Maka besaran dari berbagai energi adalah K2 = 0 U2 = mgR K1 = mv1

2 U1 = 0


b) Kita akan menghitung besar dari gaya normal di titik 1. Karena tidak muncul pada persamaan energi, maka kita akan menggunakan hukum kedua Newton. Coki bergerak dengan laju di mana R merupakan jari-jari lingkaran; percepatan yang dimiliki Coki terjadi secara radial dan besarnya;

Jika kita ambil dari y positif ke atas, maka pada komponen y dari hukum kedua Newton, adalah:


WASSALAMU’ALAIKUM

MOHON MAAF ATAS KEKURANGAN KAMISEMOGA ILMU INI DAPAT BERMANFAAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KITA

SALAM RAMADHAN…

mekanika 2

Education