mbakalah tebil (1)

8/16/2019 mbakalah tebil (1)

1/7

BAB

7

GENERALISASI EULER DARI

TEOREMA FERMAT

Euler menghitung tanpa usaha yang erarti! hanya seperti manusia ernapas! seperti

Elang yang mengemang"an #iri #i u#ara$

Arag%

7.1. Leonhard EULER

Pentingnya pekerjaan Fermat tidak begitu banyak berkontribusi untuk kehidupanmatematikanya sendiri, melainkan digunakan untuk memberikan gambaran pada generasimatematikawan berikutnya. Mungkin kekecewaan terbesar dari karir Fermat adalahketidakmampuannya untuk membuat orang lain tertarik pada teori barunya. Satu abadsetelahnya matematikawan kelas pertama, Leonhard Euler (!"!#!$%&, dengan

pemahamannya atau penghargaanya itu begitu segini'ikan. anyak teorema yang diumumkan

tanpa dibuktikan oleh Fermat menghasilkan keterampilan Euler, dan kemungkinan bahwaargumen yang dibuat oleh Euler tidak substansial berbeda dari yang dikatakan 'ermatdimilikinya.

)okoh utama dalam matematika abad ke#$, Euler adalah anak dari seorang pendetaLutheran yang tinggal di sekitar asel, Swiss. *yah Euler sungguh#sungguh berharap diauntuk masuk ke dalam pelayanan dan mengirim putranya, pada usia %, ke +niersitas aseluntuk belajar teologi. Euler muda bertemu -ohann ernoulli # salah satu matematikawanEropa # dan teman baik dari dua putra ernoulli, icolaus dan /aniel. /alam waktu singkat,Euler menghentikan studi teologi yang telah dipilihnya untuk menempatkan dirinya sendirisecara eksklusi' untuk matematika. 0a menerima gelar masternya tahun !1%, dan pada tahun

!1! pada usia 2, ia memenangkan hadiah dari Paris *cademy o' sciences untuk sebuahrisalah pada susunan paling e'isien dari tiang#tiang kapal.


2/7

(Dover Publications, Inc.)

/i mana abad ke#! telah menjadi era matematikawan amatir yang hebat , *bad ke#$hampir secara eksklusi' adalah era pro'esional# pro'esor pro'esor uniersitas dan anggota dariakademi ilmiah. anyak raja yang memerintah senang menjadikan diri mereka anggota dalam

pembelajarannya, dan akademi memberikannya jabatan sebagai mahkota permata intelektualdi pengadilan kerajaan. Meskipun moti' penguasa ini mungkin belum sepenuhnya 'ilantropis,kenyataannya tetap bahwa konstitusi tempat masyarakat belajar merupakan lembaga yang

penting untuk promosi ilmu. Mereka menyediakan gaji untuk cendekiawan, menerbitkan jurnal makalah penelitian secara teratur, dan menawarkan hadiah moneter untuk penemuan# penemuan ilmiah. Euler dalam kurun waktu yang berbeda bergabung dengan dua akademi

yang baru terbentuk, Imperial Academy di St. Petersburg (!1!#!34 !55#!$%& dan The Royal Academy di erlin (!3# !55&. Pada !16, Peter *gung mendirikan Academy of St Petersburg dan menarik sejumlah pemimpin matematikawan ke 7usia, termasuk icolausdan /aniel ernoulli. /ari rekomendasi mereka, janji temu dibuat untuk Euler. 8arena+sianya yang muda, ia ditolak pro'esor 'isika di +niersitas asel dan hanya menerimaundangan dari *kademi. /i St. Petersburg, ia datang dengan sarjana serbaguna 9hristian:oldbach (sebutan yang dikenal&, seorang pria yang kemudian diangkat dari pro'esor matematika menjadi Menteri Luar egeri 7usia. Mengingat kepentingannya, tampaknyaterlihat bahwa :oldbach adalah orang yang pertama kali menarik perhatian Euler pada hasiltemuan Fermat di teori bilangan.

Euler akhirnya bosan pada represi politik di 7usia dan menerima panggilan Frederick*gung untuk menjadi anggota dari *kademi erlin. /iceritakan bahwa, selama acara diPengadilan, ia diterima ramah oleh 0bu 7atu yang bertanya mengapa ia begitu berbedaapakah sarjana harus jadi pemalu dan pendiam4 dia membalas, ;Madame, itu karena saya

baru saja datang dari negara lain, ketika seseorang berbicara, maka yang lain harus diam. ; amun,dia tersanjung dengan kehangatan perasaan orang 7usia terhadapnya


3/7

dalam sejarah matematika. /ia menulis lebih dari !"" buku dan artikel di sepanjang hidupnyadan meninggalkan begitu banyak bahan yang belum selesai dicetak St. Petersburg Academysampai 3! tahun setelah kematiannya. Publikasi dari kumpulan karya Euler dimulai olehSwiss Society of Natural Sciences di tahun 2= diperkirakan bahwa lebih dari !6 olume

besar yang pada akhirnya akan diperlukan untuk penyelesaian proyek monumental ini. ukti

terbaik untuk kualitas tulisan ini adalah 'akta bahwa pada 1 kesempatan merekamemenangkan hadiah dua tahunan yang didambakan di French Academy, Paris.

Selama tinggal di erlin, Euler memperoleh kebiasaan menulis catatan demi catatan,dan setelah selesai menempatkannya di atas tumpukan naskah. 8apanpun bahan tersebutdibutuhkan untuk mengisi jurnal *kademi, pencetak akan terbantu untuk memperoleh catatandari atas tumpukan. 8etinggian tumpukan meningkat lebih cepat dibandingkan dengantuntutan yang dibuat di atasnya, catatan di bagian bawah cenderung tetap pada waktu yanglama. 0ni menjelaskan bagaimana hal itu terjadi bahwa berbagai tulisan Euler yangditerbitkan, sebelum ekstensi dan perbaikan dari bahan yang terkandung di dalamnya adacatatan yang sebelumnya muncul yaitu namanya. /ari hal ini kita menyadari bahwa caraEuler mempublikasikan karyanya kontras dengan adat kerahasiaan pada era Fermat.

7.2. EULER' P!I"#U$%&I$

ab ini membahas teori yang timbul dari hasil pemikiran Euler sebagai :eneralisasi dari)eorema Fermat. Singkatnya, Euler mengembangkan teorema Fermat, yang menyangkutkekongruenan dengan modulus bilangan prima, untuk ketetapan modulus. Meskipundemikian, ia memperkenalkan 'ungsi penting teori bilangan, dijelaskan dalam /e'inition !",.

Deinisi 7.1.

+ntuk n > ,ϕ

(n& menyatakan banyaknya bilangan bulat positi' yang tidakmelebihi n yang relati' prima terhadap n.

Sebagai ilustrasi dari de'inisi, kita menemukan bahwa ϕ (%"& ? $, karena, di antara bilangan bulat positi' yang tidak melebihi %", ada delapan yang relati' prima terhadap %"4secara khusus,

, !, , %, !, 2, 1%, 12

Demi"ian pula! untu" eerapa ilangan ulat p%siti& pertama! pema'a #apatmemeri"sa ah(a

ϕ (& ? , ϕ (1& ? , ϕ ? (%& ? 1, ϕ (3& ? 1, ϕ (6& ? 3,

ϕ (5& ? 1, ϕ (!& ? 5, . . .

Perhatikan bahwa ϕ (& ? , karena gcd (,& ? . /alam hal n @, maka gcd (n, n& ? nA , sehingga ϕ(n& dapat dicirikan sebagai jumlah bilangan bulat kurang dari n dan relati'

prima untuk itu. Fungsi ϕ biasanya disebut 'ungsi phi Euler .

-ika n adalah bilangan prima, maka setiap bilangan bulat kurang dari n relati' primauntuk n4 dimana, ϕ (n& ? n # . /i sisi lain, jika n @ adalah komposit, maka n memiliki

pembagi d sehingga B d B n. Cal berikut bahwa setidaknya ada dua bilangan bulat antara ,1, %, ..., n yang tidak relati' prima untuk n, yaitu, d dan n itu sendiri.


4/7

ϕ (n& ? n # jika dan hanya jika n adalah bilangan prima

&eorea 7.1. -ika p adalah bilangan prima dan k @ ", maka

*u+ti. -elas, gcd (,& ? jika dan hanya jika p D n. Pada Pk −1

ada bilangan bulat antara

dan Pk

dibagi oleh p, yaitu,

/engan demikian, 0, 1, ..., berisi tepat Pk − P

k −1

bilangan relati' prima terhadap Pk

dan dengan de'inisi 'ungsi phi, .

Sebagai contoh, kita memiliki

enam bilangan bulat kurang dari dan relati' prima terhadap 2 menjadi , 1, 3, 6, !, $. +ntukmemberikan ilustrasi kedua, ada $ bilangan bulat yang kurang dari 5 dan relati' primauntuknya4 mereka adalah , %, 6, !, 2, , %, 6. )eorema !. menghasilkan jumlah yang

sama=

8ita sekarang tahu bagaimana menghitung 'ungsi phi untuk bilangan prima berpangkat, dan tujuan kami adalah untuk mendapatkan 'ormula untuk ϕ (n& berdasarkan'aktorisasi n sebagai perkiraan dari bilangan prima.


5/7

. /engan demikian, kita dapat mengasumsikan bahwa m @ dan n @ . *tur bilangan bulatdari sampai mn di kolom m dari masing#masing bilangan bulat n, sebagai berikut=

8ita tahu bahwa ϕ (mn& adalah sama dengan jumlah data dalam susunan ini yang relati' prima terhadap mn4 berdasarkan lemma, ini adalah sama dengan jumlah bilangan bulat yangrelati' prima untuk m dan n.

Sebelum lebih rinci, perlu dikomentari taktik yang diadopsi= karena gcd (Hm I r, m& ?gcd (r, m&, angka di kolom ke#r yang relati' prima terhadap m jika dan hanya jika r itu sendirirelati' prima terhadap m. Jleh karena itu, hanya kolom ϕ (m& yang berisi bilangan bulatrelati' prima terhadap m, dan setiap data dalam kolom akan relati' prima terhadap m.Masalahnya adalah salah satu menunjukkan bahwa di masing#masing kolom ϕ(m& adalahtepat bahwa ϕ (n& bilangan bulat yang relati' prima terhadap n4 untuk kemudian sama sekaliakan ada ϕ(m& ϕ(n& angka dalam tabel yang relati' prima terhadap m dan n.

Sekarang entri dalam kolom ke#r (di mana diasumsikan bahwa gcd (r, m& ? & adalah

*da n bilangan bulat dalam urutan ini dan tidak ada dua angka yang kongruen modulo n.Memang, jika

dengan " B k B j B n, dengan km K jm (mod n&. 8arena gcd (m, n& ? , kita bisa membatalkanm dari kedua sisi yang kongruen dalam kontradiksi bahwa k K j (mod n&. /engan demikian,angka#angka dalam kolom ke#r kongruen modulo n untuk ", , 1, ..., n # , dalam beberapaurutan. )etapi jika s K t (mod n&, maka gcd (s, n& ? jika dan hanya jika gcd (t, n& ? .0mplikasinya adalah bahwa kolom ke#r berisi banyak bilangan bulat yang relati' primaterhadap n seperti halnya himpunan J, , 1, ..., n # l, yaitu, ϕ (n& bilangan bulat. Jlehkarena itu, total jumlah entri dalam susunan yang relati' prima terahadap m dan n adalahϕ(m& ϕ(n&. 0ni melengkapi bukti dari teorema ini.

/engan pendahuluan ini, kita sekarang dapat membuktikan )eorema !.%.


6/7

&eorea 7.. -ika bilangan bulat n @ memiliki 'aktorisasi prima n= p1k 1 p

2

k 2…p r

k r

maka

*u+ti. 8ita bermaksud untuk menggunakan induksi pada r, bilangan dari jumlah 'aktor primaterhadap n. /engan )eorema !., hasilnya adalah benar untuk r ? . Misalkan itu berlakuuntuk r ? i. 8arena

de'inisi 'ungsi multiplikati' adalah

Meminjam asumsi induksi, 'aktor pertama di sisi kanan menjadi

dan ini ber'ungsi untuk menyelesaikan langkah induksi dan dengan itu terbukti.

%ontoh 7.1. Mari kita menghitung nilai ϕ (%5"&, misalnya. ilangan prima berpangkat

dekomposisi dari %5" adalah 23.3

2

.5 , dan )eorema !.% memberitahu kita bahwa

&eorea 7.-. +ntuk n @ 1, ϕ(n& bahkan adalah bilangan bulat.

*u+ti. Pertama, anggaplah bahwa n adalah pangkat dari 1, mari kita mengatakan bahwa n ? 1k, dengan k > 1. Jleh )eorema !.%,


7/7

-ika n tidak menjadi pangkat dari 1, maka ini habis dibagi oleh bilangan prima ganjil p,

karena itu kita dapat menulis n sebagai n= pk m , di mana k > dan gcd ( pk , m& ? .

Meman'aatkan si'at multiplikati' dari 'ungsi phi, kita memperoleh

mbakalah tebil (1)

Documents