mattek 2_05 pd non homogen

MATEMATIKATEKNIK2

DEPARTEMENTEKNIKELEKTROUNIVERSITASINDONESIA

JAKARTA

AGUS.R.UTOMO

5PERSAMAANDIFERENSIALNONHOMOGEN

1.PENGERTIANDASAR

Persamaan Diferensial Linier Non Homogen (PDNH) adalah persamaandiferensial yang mempunyai sisa (residu) berupa variabel terikat.

Solusi Umum PDNH terdiri atas 2 macam solusi :1. Solusi Homogen ; Yh2. Solusi Particular ; Yp

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogendiketahui.

Theorema1:f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakansolusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk olehdua konstanta. Konstanta pertama, berubahubah, terdapat pada solusiumum (homogen) yh(x). Konstanta kedua, tetap,terdapat pada fungsi (x),yaitu sembarang solusi PD pada interval I.

AGUS.R.UTOMO DEPARTEMENTEKNIKELEKTRO UNIVERSITASINDONESIA JAKRTA 1

MATEMATIKATEKNIK2 PERSAMAANDIFERENSIALNONHOMOGEN

Theorema2:Solusi umum dari PD seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaanhomogen yh(x) dengan solusi partikular yang tetap (tak berubahubah) yP(x).

Sehingga y(x) = yh(x) + yP(x)

ContohPDNH orde 2.Bentuk umum persamaan PDNH Orde 2, adalah sebagai berikut :

y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 1 )

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogendiketahui.PD homogen :

y + f(x) y + g(x) y = 0 ( 2 )



y(x) terbentuk dari penambahan yh(x) dengan sembarang solusi termasukkonstanta tak tetapnya.

Sehingga y(x)=yh(x)+(x) (3)

1.METODEKOEFISIENTAKTENTU.Bentuk PersamaanUmum:

y+ay+by=r(x) (4)

Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi partikular yP(x) diperoleh dengancara menebak, seperti misalnya : fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensialatau jumlah dari beberapa fungsi.

r(x) berisi koefisien tak tentu. Turunkan yP sesuai persamaan umum ( 4 ) di atas. Substitusikan yP dan seluruh turunannya ke dalam persamaan ( 4 ).


y~

y~


Tabel 1.Metode koefisien tak tentu

Aturan: Bilar(x)merupakansalahsatufungsisepertidalamtabel, pilihbentuk yP

yangsesuaidanmerupakankombinasilinierdengankonstantataktentu.Turunanr(x)harusbebaslinierpula.

Bilar(x)merupakanpenjumlahan,pilihyP yangmerupakanpenjumlahanfungsiyangsesuai.

Bilar(x)adalahsolusidaripersamaanhomogen,pilihandapatdimodifikasisepertiberikut


Bentuk r(x) Pilihan untuk yPkepx Cepx p

kxn (n=0,1....) Knxn + kn-1xn-1 +.....+ k1x + k0 0

k cos qxk sin qx

K cos x + M sin x iq

iq


AturanModifikasiKalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2 tergantung dari apakah padakolom 3 berupa akar tunggal atau akarakar ganda dari persamaan homogen.

ContohcontohSoal1. Selesaikanpersamaanberikut:

y 4y+3y=10e2x

Jawab:JawabpartikularyPTurunane2x adalahke2x

maka yP =ke2x

yP=2ke2x danyP=4ke2x

4ke2x4(2ke2x )+3ke2x=10e2x;k=2/3

yP =(2/3)e2x



Jawabhomogenyh2 4 +3=0; 1 =3 dan2 =1yh=k1e1x +k2e2x =k1e3x+k2ex

SolusiUmum y=yh +yP

y=k1e3x+k2ex+(2/3)e2x

2. Selesaikan y+4y=8x2

Jawab:Jawabhomogen: 2 +4=0

1 =p+jq=+j2;2 =p jq=j2;p=0SolusiumumPDhomogenuntukD


Jawabpartikular:

Misal1 : y=kx2 ;y=2k

denganmetodeidentifikasi

2k+4kx2 =8x2 ;2k=0 ;4k=8

Gagal,tidakkonsisten(tidaksesuaidenganpersamaan).

Misal2 : yP =kx2 +Lx+m; y=2k2k+4(kx2+Lx+M)=8x2

4kx2 +4Lx+(2k+4m)=8x2

denganmetodeidentifikasi:k=2 ;L=0 ;m=1

maka yP =2x2 +1

Solusiumum y=yP +yh

y=Acos2x+Bsin2x+2x2 +1



3. Selesaikan y y 2y=10cosxJawab:Jawabhomogen 2 2=0

yh =c1e2x +c2 e2xyh =c1e2x +c2 ex

Jawabpartikular yP =kcosx+msinxyP=ksinx+mcosxyP=kcosx msinx

(kcosx msinx)(ksinx+mcosx) 2(kcosx+msinx)=10cosx(3k m)cosx+(k3m)sinx=10cosx

3k m=10; k 3m=0 ; k=3 ; m=1yP =3cosx sinx

Solusiumum : y=yh +yPy=ce2x +cex 3cosx sinx



4. Selesaikan : y 3y+2y=4x+e3x

Jawab :Jawab homogen : yh =c1e2x +c2ex

Jawab partikular :yP =k1x+k0 +Ce3x

yP=k1 +3Ce3x

yP=9Ce3x

(9Ce3x)3(k1 +3Ce3x)+2(k1x+k0 +Ce3x)=4x+e3x

k1=2 ;k0 =3 ;C=(1/2)

yp =2x+3+(1/2)Ce3x

Solusi umum : y=c1e2x +c2ex +2x+3+(1/2)Ce3x



5. Selesaikan : y 2y+y=(D1)2 =ex +xJawab :Jawab homogen : yh =c1ex +c2xex =(c1x+c2)ex

Jawabpartikular :Lihattabel k1x+k0karenaakarganda cx2ex

sehingga yp =k1x+k0 +cx2ex

Biladisubstitusikankedalampersamaan:yp 2yp+yp =ex +x

makadidapatkan: 2cex +k1x 2k1 +k0 =ex +x

c=;k1 =1;k0 =2

Solusiumum:y=(c1x+c2)ex +x2ex +x+2



SOALSOALLATIHAN1

Selesaikan PDnonhomogen berikut ini :1. y+4y=ex2. y+2y+y=2x23. y+y 2y=3ex4. y+y=2sinx5. y+y 6y=52cos2x6. y5y+4y=10cosx7. y 2y+2y=2ex cosx8. y+y=x2 +x9. y+5y+6y=9x4 x10. y 2y+y=2x2 8x+411. y+2y y 2y=1 4x312. y 4y+9y=10e2x 12cos3x13. y+2y+10y=4.5cosx sinx14. y+2y+2y=2cos2x 4sin2x15. y+4y+8y=4cosx+7sinx



2. METODEKOMPLEKSUNTUKMENENTUKANSOLUSIPARTIKULAR

Bentukumumnyasepertipersamaan(1)Contoh:

(5)

Denganmetodekoefisientaktentuakandiperoleh:

IP(t)=3cost+3sint

MenuruthukumEuler,ruaskananpers(5),6cost,adalahkomponennyata(riel),karena:

6eit =6(cost+isint)

Sehinggapersamaan(5)dapatditulisdengan:

(6)


.. .I + I + 2I = 6 cos t

.. .itI + I + 2I = 6 e


Solusi partikularkompleksdapatdibuatdalambentuk:

Ip*(t)=keit (7)

dan Ip*=ikeit Ip*=keit

Biladisubstitusikankedalampers(6):

(1+I+2)keit =6eit

=3 i3

Sehinggasolusiumumpers.(6)adalah:

IP*(t)=(3i3)eit =(3i3)(cost+i sint)

dankomponennyatanyaadalah:IP(t)=3cost+3sint



3.METODEUMUM

BentukumumPDnonhomogeny+f(x)y+g(x)y=r(x) (8)

f,gdanrkontinyupadaintervalterbukaI

BentukumumPDhomogen: y+f(x)y+g(x)y=0 ( 9)

makasolusiumumnya yh(x)padaintervalterbukaI berbentuk:

Yh(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x)

Bilac1 danc2 digantidenganu(x)danv(x)makadiperolehsolusipartikularpadaintervalterbukaI,sbb:

yP(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2(x) ( 10)



Jikapers.(10)diturunkan,hasilnya:

yP=uy1 +uy1+vy2 +vy2

Karenau(x)danv(x)adalahpenggantic1 danc2,maka:

uy1 +vy2 =0 ( 11)

SehinggayPmenjadi:

yP=uy1+vy2 ( 12)

Bilapers.( 12)diturunkan,hasilnya:

yP=uy1+uy1+vy2+vy2 ( 13 )



Substitusikan pers.(10), (12) dan (13) ke dalam pers.(8), dan kemudiankumpulkan komponen yang mengandung u dan v :

u(y1+fy1+gy1)+v(y2+fy2+gy2)+uy1+vy2=r

Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogen dari pers. ( 9 ), sehingga terjadipenyederhanaan persamaan, menjadi ;uy1 + vy2=r

Lihatpers.(11): uy1 +vy2 =0

Terbentuksebuahsistemdari2persamaanaljabarlinierdengan2fungsiudanvyangtakdiketahui.PenyelesaianselanjutnyadenganmemakaiaturanCramer,sehingga:

dan ( 14)

dengan W=y1 y2 y1y2 ;W 0.W=BilanganWronskian dari y1 dan y2


2y ru' = -W

1y rv' = -W


Denganintegrasidiperoleh:

dan

substitusikanhasilinike dalampers(10),sehinggadidapatkan:

( 15)


2y ru = - dxW 1y rv = - dxW

2 1p 1 2

y r y ry (x) = -y dx y dx

W W


Contoh :

Selesaikan PDberikut ini :y+y=secx

Jawab :misalkan y1 =cosx dan y2 =sinx

Solusi homogen :Bilangan Wronskian : W(y1,y2)=cosxcosx(sinx)sinx =1

Solusi partikular :Daripers.(15) :

yP =cosxln|cos x|+xsinx

maka solusi umumnya adalah : y=yh +yP

y=[c1 +ln|cos x|]cosx+(c2 +x)xsinx


py = -cos x sin x sec x dx + sinx cos x sec x dx


SOALSOALLATIHAN 2

Selesaikan PDnonhomogen berikut ini :1. y+y=cosecx+x2. y+9y=sec3x3. y 4y+4y=[e2x]/x4. y+2y+y=ex ln x5. y+6y 9y=[e3x]/[x2 +1]6. y+2y+y=ex cosx7. x2y 5xy+9=3x2

8. x2y 4xy+6y=1/[x2]9. x2y (12x)y+(64x2)y=x2 cosx10. 2x2y xy 2y=x3 ex


mattek 2_05 pd non homogen

Documents