ALJABAR LINIER

(KELOMPOK 3)

Nama npm

1. Diana Puspita Sari (10130068)

2. Febriyanti Fathonah (10130103)

3. Maulina Sari (10130190)

4. Nurul Komariah (10130231)

5. Siska Oktarina (10130306)

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yangmembentuk suatu susunan persegipanjang, Bilangan – bilangan tersebutdisebut entri dalam matriks.

baris

Kolom

203

142

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian :

perkalian skalar

perkalian matriks

*

Penjumlahan dan PenguranganMatriks

• Definisi : Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyaiukuran yang samadan entri-entri yang berpadanan sama.

Contoh:

Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.

Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlahA+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka

(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij

Contoh 3 Tinjau matriks-matriks

Maka

Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi.

Perkalian

Perkalian skalar

Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.

• Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka

cA)ij = c(A)ij = caij

• Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2, …, cn adalah skalar, maka sebuah ekspresi berbentuk

c1A1 + c2A2 + … + cnAn

disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisienc1, c2, …, cn.

Contoh 4 Untuk matriks-matriks

2A – B + C = 2A + (-1)B + C

=

=

adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1, dan .

Kita dapatkan

Perkalian matriks

Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x nyang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris idari matriks A dan kolom j pada matriks B. kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Contoh 5 Tinjau matriks-matriks

Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, makahasil kali AB adalah sebuah matriks 2x4

(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26

(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13

Matriks-Matriks

Terpartisi

adalah sebuah matriks dapatdibagi atau dipartisi menjadimatriks-matriks yang lebihkecil dengan menyelipkan

garis horizontal dan vertical di antara baris dan kolom

yang ditentukan.

Perkalian Matriks dengan

Kolom dan dengan Baris

Tujuannya adalah untuk

mendapatkan hasil kali

matriks AB tanpa

menghitung keseluruhan

hasil kalinya.

Matriks kolom ke-j dari AB =

A[matriks kolom ke-j dari B]

…...(3)

Matriks baris ke-i dari AB =

[matriks baris ke-i dari A]B

……(4)

contoh:

hitunglah hasil kali berikut ini dengan perkalian blok!

a. 5412

3013

412

531

203

142

b.

c.

41

50

31

52

7510

4312

21000

02000

00100

00010

00001

61

22

51

41

33

Jika a1, a2, …, am menyatakan matriks-matriks baris dari A

dan b1, b2, …, bn menyatakan matriks-matriks kolom dari

B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh

AB = A = AB = A =

(AB dihitung kolom per kolom)

AB = B =

(AB dihitung baris per baris)

HASIL KALI MATRIKS SEBAGAIKOMBINASI LINIER

Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatucara berfikir alternative mengenai perkalian matriks. Misalnya:

A dan

Maka,

hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matrikskolom x adalah sebuah kombinasi linier dari matriks-matrikskolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari matriks x. dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1 × m dengan sebuah matriks A berukuran m × n merupakansebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A dengankoefisien scalar yang berasal dari y.

mn

n

n

mmnmnmm

nn

nn

a

a

a

a

a

a

x

a

a

a

x

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Ax2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

2211

2222121

1212111

...

....

....

....

Contoh:

kombinasi linier

hasil kali matriks

kombinasi linier

TRANSPOSE SUATU MATRIKS

(AT)ij ij

Sifat-sifat transpose :

1. (A’)’ = A

2. (A+B)’ = A’ + B’

3. k(A’) = kA’

4. (AB)’ = B’A’

5. Jika A adalah matriks

simetris, maka A’ = A

Contoh:

A AT

B BT

TRACE SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR

110751)(Btr332211)( aaaAtr