1

PROBABILITAS

Tujuan belajar :

1. Mengerti konsep probalitas

2. Mengerti hukum-hukum probabilita

3. Mengerti konsep mutually exclusif dan non exclusive, serta konsep bebas dan tak bebas

4. Memahami permutasi dan kombinasi

2

Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci :

1. Eksperimen

2. Hasil

3. Kejadian atau peristiwa (event)

Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1.

3

Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.

Ada 2 pendekatan dalam penghitungan probabilitas :

• Pendeketan yang bersifat objektif

2. Pendekatan yang bersifat subjektif

Pendekatan klasik

Pendekatan frek. relatif

PENDEKATAN KLASIK

n

xAP

n = banyaknya eksperimen atau observasi

x = banyaknya nilai yang diharapkan muncul

A sukses

4

Contoh :

Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 6 bola putih,7 bola hijau,3 bola biru.Semua bola sama bentuk,besar dan bobotnya. Apabila Sebuah boladiambil secara random berapa probabilitasnya bahwa

a. bola itu merah b. bola itu hijau

Jawab :

n

xAP 1 A gagal

a. P(M) = 4/20 = 2/10 = 0,2 b. P(H) = 7/20 = 0,35

5

Contoh :

Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 75 yang bagus. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut bagus.

%2525,0100

25

25100

atau

AP

xn 75

750,75 75 %

6

Pendekatan frekuensi relatif

e (hasil) peristiwa dari n

e relatif Frekuensi i

i

Frekuensi relatif tidak mungkin lebih dari 1 (satu), jadi

10 n

ei

7

Diketahui bahwa nilai ujian statistik mahasiswa STT adalah sebagai berikut :

Nilai Ujian f

< 25 10

25 - 50 30

51 - 76 45

> 76 15

100

Kalau kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa dari sekelompok mahasiswa tersebut berapa probabilitasnya bahwa dia mendapat nilai 25 < X < 50, 50 < X < 75

45.0100

457650

3.0100

305025

XP

XP

8

Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji / upah bulanan, yang digambarkan sebagai berikut :

X 55 65 75 85 95 105 115

f 8 10 16 14 10 5 2

Kalau di jalan kita bertemu dengan salah seorang karyawan tersebut, berapakah besarnya prabilitas bahwa upahnya Rp 65 ribu dan Rp Rp.105 ribu

08,065

5105)p(X 6

n

f

15,065

10)65( 2

n

fXP

9

PROBALITAS DENGAN DUA ATAU LEBIH PERISTIWA

• Peristiwa Mutually Exclusive

Mutually Exlusive (disjoint) apabila kedua peristiwa tersebut tidak terjadi

bersama-sama

Artinya : peristiwa yang satu muncul sekaligus menghilangkan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain

BABABatauA PrPrPr) Pr(

10

Contoh:

Apabila kita menarik satu dari setumpuk kartu ‘bridge’,peristiwa(hasil) kartu A dan hasil kartu K adalah mutually exclusive. Maka probabilitas memperoleh salah satu kartu A dan kartu K dalam satu kali tarikan adalah :

15,052

8

52

4

52

4

)Pr()Pr(atau Pr

KAKA

11

Contoh:

Hasil produksi suatu pabrik diketahui 10% nya tidak memenuhi standar kualitas. Diambil sampel random 50 unit dari hasil produksi pabrik itu. Berapa probabilitasnya bahwa yang terambil adalah sebuah produk yang memenuhi standar ?

150

50

50

5

50

45

)Pr()Pr(atau Pr

KAKA

50 x 10% = 5 buah produk tidak memenuhi standar50 – 5 = 45 buah produk memenuhi standar

12

Probabilitas bahwa pabrik batik ‘Damar Kencana’ akan berlokasi disurakarta adalah 0,7, Probabilitas akan berlokasi di yogyakarta adalah 0,4, dan probabilitas akan berlokasi di surakarta dan Yogyakarta atau dikedua kota itu adalah 0,8. Berapa probabilitasnya bahwa pabrik batik itu akan berlokasi di kedua kota itu ?

3,08,01,18,04,07,0

)()()()(

YSPYPSPYSP

Non Exclusive (joint) apabila kedua peristiwa tersebut terjadi bersama-

sama

BABABatauA PrPrPr) Pr(

13

Sebuah lembaga kursus yang mempunyai 90 siswa diketahui bahwa 42siswa mengambil kursus jaringan , 48 siswa mengambil kursusmultimedia dan 35 siswa mengambil kursus jaringan dan kursusmultimedia. Bila seorang siswa dipilih secara random, berapa probailitasbahwa siswa yang terambil mengambil kedua jenis kursus tersebut.JAWAB :

61,0

39,053,047,0

90

35

90

48

90

42)Pr()Pr()Pr(

MJMJ

14

Peristiwa Tak bebas (bersyarat)

Peristiwa tak bebas Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat

bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi

AP

BAPABP

BP

BAPBAP

/

/

15

Contoh

Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan uang logam 100 rupiah, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut:

a. Berapa probabilitas anak yang kedua akan memperoleh bola merah juga, bila anak pertama memasukkan uang logam 100 rupiah dan mendapatkan bola merah

248,0399

99)|( 12 AAP

16

b. Misalnya anak yang kedua mendapat bola merah. Anak yang ketigatidak menghendaki mendapatkan bola merah. Berapa probabilitasnyaanak yang ketiga akan mendapatkan bola bukan berwarna merah ?

7540398

30021 ,dan /'Pr MMM

Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan uang logam 100 rupiah, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut:

17

Peristiwa bebas

Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi.

)Pr( . )Pr()Pr( BABA

Contoh :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan 1 yang mendapat gambar burung (A), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan rumah (B), berapa P(A1 A2)

4

1

2

1 .

2

1

)( . )()(

2

1)()(dan

2

1)()(

21

21

APAPBAP

BPAPAPAP

18

Dari 38 lembar undian dengan nomor 1, 2,3, 4,……..38 terdapat 4nomor yang berisi hadiah. Apabila kita diberi kesempatan mengambillembar undian 3 kali berturut – turut berapa probabilitasnya kita akanmendapatkan lembar undian yang berisi hadiah ketiga - tiganya

00052,0

06.0*08.0*11.036

2

37

3

38

4

)Pr()Pr()Pr()Pr( 321321

UUUUUU

19

PERMUTASI

Permutasi Suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau obyek

dimana urutan itu penting (AB BA)

Banyaknya permutasi dari m elemen adalah jumlah maksimum cara-cara yang berbeda dalam mengatur atau membuat urutan dari m elemen tersebut.

mPm = m !

Permutasi m obyek diambil m setiap kali

! x-m

! mPxm

Permutasi m obyek diambil x setiap kali

20

Contoh :

1. Banyaknya permutasi dari satu set huruf (a,b,c) yang diambil dua huruf diantaranya adalah :

62 . 3

1

1 . 2 .

! 2-3

!

3323 P

2. Misalnya suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan Oleh direksi perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan koisaris diminta memberikan rank atau penilaian terhadap 5 rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali.

30.240

678910

5!

5!678910

!

!

!

!

5

10

510

10510 P

Dari soal diketahui m = 10 dan x = 5

21

Sembilan orang yang terdiri dari 5 pria dan 4 wanita akan diurutkan dalam satu baris dan dikehendaki wanita menempati urutan bernomor genap. Ada berapa banyak caranya ?

288024120!4 !5 4455 PP

22

KOMBINASI

Kombinasi Susunan dari beberapa elemen dimana urutan tidak

diperhatikan (AB = BA)

! x-m !x

! mxm C

Kombinasi m obyek diambil x setiap kali

23

Ada berapa banyak cara dari suatu panitia yang terdiri dari 5 orang dan harus dipilih dari 9 orang

126120

15120

12345

56789

!4 !5

!9

!59!5

!959

C