PERSAMAAN KUADRAT

Selesaian

Selesaian:

rumus kecepatan: 𝑠 =𝑣

𝑡

⟺ 𝑡 = 𝑣 ∙ 𝑡 Jarak kota A ke kota B = 150 km

Selisih mobil dan motor = 30 menit = jam

misalkan

kecepatan mobil Tiar = x km/jam maka

kecepatan motor Sano = (x – 15) km/jam

tmobil – tmotor =

Smobil

Vmobil−

Smotor

Vmotor=

1

2

150

𝑥−

150

𝑥−15=

1

2

150(𝑥−15)−150𝑥

𝑥(𝑥−15)=

1

2

150𝑥−2250−150𝑥

𝑥2−15𝑥=

1

2

−2250

𝑥2−15𝑥=

1

2

–2250(2) = x2 – 15x

–4500 = x2 – 15x

0 = x2 –15x + 4500

x2 – 15x + 4500 = 0

AKAR–AKAR PERSMAAN KUADRAT

Contoh : carilah akar-akar dari 3x2 + x – 2 = 0

o Memfaktorkan

3𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0

⇔(3𝑥+3)(3𝑥−2)

3= 0

⇔3(𝑥+1)(3𝑥−2)

3= 0

⇔ (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 0

⇔ 𝑥 + 1 = 0 3𝑥 − 2 = 0

⇔ 𝑥 = −1 𝑥 =2

3

Contoh persamaan kuadrat dalam

kehidupan:

Kota A dan kota B berjarak 150 km. Tiar dan

Sano berangkat dari kota A pada waktu yang

sama. Tiar mengendarai mobil sedangkan Sano

menggunakan motor. Tiar sampai di kota B

pada pukul 09.30 dan Sano sampai pada pukul

10.00. Jika kecepatan rata-rata mobil Tiar

15km/jam lebih cepat dari kecepatan rata-rata

motor Sano, tentukan kecepatan mobil Tiar!

(hambatan dalam perjalanan dianggap tidak

ada)

Bentuk umum persamaan kuadrat

Bentuk umumnya adalah

ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c R dan a ≠ 0

x: variabel dan a, b, c: konstanta

menyelesaikan persamaan kuadrat berarti:

mencari nilai x yang memenuhi persamaan

kuadrat tersebut.

Nilai x disebut akar persamaan kuadrat.

Dengan kata lain, satu bilangan disebut akar

dari satu persamaan apabila bilangan tersebut

memenuhi persamaan

Ada tiga cara menentukan akar-

akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Memfaktorkan Mengubah bentuk ax2 + bx + c = 0

menjadi bentuk:

a(x – α)(x – β) = 0

dengan cara (a𝑥+𝛼)(a𝑥+𝛽)

a= 0

2. Melengkapkan kuadrat

sempurna Mengubah bentuk ax2 + bx + c = 0

menjadi bentuk: (x – p)2 = q

3. Rumus abc

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Ingat a = 3, b = 1, c = –2

αβ= ac = –6

α + β = b = 1

maka α = 3 dan β = –2

o Rumus abc

Ingat a = 3, b = 1, c = –2

𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

=−1±√(−1)2−4(3)(−2)

2(3)

=−1±√1+24

6

=−1±√25

6

=−1±5

6

𝑥1 =−1−5

6=

−6

6= −1

atau

𝑥2 =−1+5

6=

4

6=

2

3

Rumus Jumlah dan Hasil Kali

𝑥1 dan 𝑥2 adalah Selesaian:

𝑥1 + 𝑥2 = (2 + √3) + (2 − √3)

= 2 + 2 + √3 − √3

= 4

𝑥1 ∙ 𝑥2 = (2 + √3) ∙ (2 − √3)

= 4 − 2√3 + 2√3 − √9

= 4 − 3

= 1

akar-akar dari

persamaan ax2 + bx + c = 0

maka

Rumus jumlah akar-akar

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Rumus hasil kali akar-akar

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

Rumus selisih akar

𝑥1 − 𝑥2 = |√𝐷

𝑎| = |

√𝑏2−4𝑎𝑐

𝑎|

Menyusun Persamaan Kuadrat jika diketahui

akarnya

Jika diketahui 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar dari

satu persamaan maka cari mencari persamaannya

adalah:

Dengan mengalikan suku-suku bentuk faktor

(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) = 𝟎

Contoh: tentukanlah persamaan kuadrat yang

mempunyai akar-akar 3 dan -2

Selesaian:

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

(𝑥 − 3)(𝑥 − (−2)) = 0

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0

𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑥 − 6 = 0

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

Jadi persamaan kuadratnya adlh x2 – x – 6 = 0

Dengan menggunakan rumus jumlah dan

hasil kali akar

𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒙 + (𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐) = 𝟎

Contoh: tentukanlah persamaan kuadrat yang

mempunyai akar-akar (2 + √3) dan (2 – √3)

Selesaian:

𝑥1 + 𝑥2 = (2 + √3) + (2 − √3)

= 2 + 2 + √3 − √3

= 4

𝑥1 ∙ 𝑥2 = (2 + √3) ∙ (2 − √3)

= 4 − 2√3 + 2√3 − √9

= 4 − 3

= 1

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + (𝑥1 ∙ 𝑥2) = 0

𝑥2 − (4)𝑥 + 1 = 0

𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0

Jadi persamaan kuadratnya adl x2 – 4x + 1 = 0

Nilai Diskriminan

Lambang Diskriminan adalah D

Rumus: D = b2 – 4ac

Menyusun Persamaan Kuadrat jika diketahui

hubungan dengan persamaan kuadrat lain

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali

akar

𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒙 + (𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐) = 𝟎

Contoh: tentukan persamaan kuadrat baru yang

akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan

kuadrat x2 – 3x + 7 = 0

Selesaian:

x2 – 3x + 7 = 0

maka a = 1, b = –3, c = 7

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎= −

(−3)

1= 3

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎=

7

1= 7

Persamaan kuadrat baru adalah 2𝑥1 dan 2𝑥2 2𝑥1 + 2𝑥2 = 2(𝑥1 + 𝑥2) = 2(3) = 6

2𝑥1 ∙ 2𝑥2 = 4𝑥1𝑥2 = 4(7) = 14

PK baru : 𝑥2 − (2𝑥1 + 2𝑥2)𝑥 + (2𝑥1 ∙ 2𝑥2) = 0

𝑥2 − (6)𝑥 + (14) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + 14 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah

x2 – 6x + 14 =0